AnáLise CombinatóRia

Alice AhlertVanessa Paula ReginattoBernadete

ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA

A análise combinatória é a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento.

COMBINAÇÃO SIMPLESCOMBINAÇÃO SIMPLES

Combinação  simplesCombinação  simples é o tipo de é o tipo de agrupamento sem repetição em que um agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro apenas pela grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.natureza dos elementos componentes.

Exemplo: Quantas comissões de dois podem ser formados com 5 alunos ( A, B, C, D e E) de uma classe?Exemplo: Quantas comissões de dois podem ser formados com 5 alunos ( A, B, C, D e E) de uma classe? 1° aluno1° aluno 2ª aluno2ª aluno n° de comissõesn° de comissões( 5 possibilidades)( 5 possibilidades) ( 4 possibilidades)( 4 possibilidades) (10 comissões)(10 comissões)

AA BB ABABCC ACACDD ADADEE AEAE

BB AA BA = ABBA = ABCC BCBCDD BDBDEE BEBE

CC AA CA = ACCA = ACBB CB = BCCB = BCDD CDCDEE CECE

DD AA DA = ADDA = ADBB DB = BDDB = BDCC DC = CDDC = CDEE DEDE

EE AA EA = AEEA = AEBB EB = BEEB = BECC EC = CEEC = CEDD ED  = DEED  = DE

FÓRMULA DA COMBINAÇÃO SIMPLES:FÓRMULA DA COMBINAÇÃO SIMPLES:

No exemplo anterior, para descobrirmos o número de combinações, basta No exemplo anterior, para descobrirmos o número de combinações, basta calcular o número de arranjos e dividir o resultado por 2 ( 20 : 2 = 10 ), calcular o número de arranjos e dividir o resultado por 2 ( 20 : 2 = 10 ), que é o que é o fatorial do número de elementos que compõe cada comissão ( 2).fatorial do número de elementos que compõe cada comissão ( 2).

O número de combinações de n elementos de grupos de p elementos é igual O número de combinações de n elementos de grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de n elementos tomados p a p divididos por p!, isto é:ao número de arranjos de n elementos tomados p a p divididos por p!, isto é:

C n, pC n, p = = n ! n ! p! ( n – p)!p! ( n – p)!

C C 5, 25, 2 = 5 ! 5 ! = 5. 4. 3. 2. 15. 4. 3. 2. 1

2! ( 5 – 2) !2! ( 5 – 2) ! 2! 3! 2! 3!

CC 5, 2 5, 2 = 120 120 = 120 120 = 1010

2.1.3.2.1 12

n= elementos distintos, quantidades de coisas n= elementos distintos, quantidades de coisas ex: 5 alunos (A, B, C, D e E)ex: 5 alunos (A, B, C, D e E)

p= agrupamentos possíveis p= agrupamentos possíveis ex: duplas ou tomados dois a dois.ex: duplas ou tomados dois a dois.

PERMUTAÇÃO SIMPLESPERMUTAÇÃO SIMPLES    

Permutações simples de Permutações simples de nn elementos elementos distintos são os agrupamentos formados com distintos são os agrupamentos formados com todos os todos os nn elementos e que diferem uns dos elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. outros pela ordem de seus elementos.

PPn n = n!   = n!   

Ex.:Ex.:Quantos são os anagramas da palavra AMOR?Quantos são os anagramas da palavra AMOR?

AMORAMORAMROAMRO

AA AORMAORMAOMRAOMRARMOARMOAROMAROM

MORAMORAMOARMOARMROAMROA

MM MRAOMRAOMAORMAORMAROMARO

OAMROAMROARMOARM

OO OMAROMAROMRAOMRAORMAORMAORAMORAM

R O M AR O M AR O A MR O A MR A O MR A O M

RR R A M OR A M OR M A OR M A OR M O AR M O A

P 4 = 4!

P = 4. 3. 2. 1 = 24

Temos 24 possibilidades de escrever a palavra amor.

Com a 1ª letra da palavra amor, (A) , consigo obter  6 possibilidades

Ex 2 - Quantos são os anagramas da palavra Ex 2 - Quantos são os anagramas da palavra OSSOOSSO??

OSSOOSSO

OSOSOSOSSOSOSOSOOOSSOOSSSSOOSSOOSOOSSOOS

    P P 44

2, 2 2, 2 = 6 permutações ou anagramas= 6 permutações ou anagramas

ARRANJOS SIMPLESARRANJOS SIMPLES

Arranjos  simplesArranjos  simples é o tipo de é o tipo de agrupamento em que um grupo é agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.natureza dos elementos componentes.

1) Quatro clubes Juventude, Palmeiras e Esperança e Fluminense disputam as finais de um torneio de futebol. Ao final do certame as classificações possíveis desses clubes são os arranjos simples dos quatro elementos Juventude, Palmeiras, Esperança e Fluminense tomados quatro a quatro.

a) Quais são as possibilidades que podemos a) Quais são as possibilidades que podemos encontrar?encontrar?

1° lugar1° lugar    2° lugar2° lugar 3° lugar3° lugar 4° lugar4° lugar

PalmeirasPalmeiras EsperançaEsperança Fluminense Fluminense JuventudeJuventude PalmeirasPalmeiras FluminenseFluminense EsperançaEsperança

FluminenseFluminense PalmeirasPalmeiras Esperança Esperança FluminenseFluminense EsperançaEsperança PalmeirasPalmeirasEsperançaEsperança PalmeirasPalmeiras FluminenseFluminenseEsperançaEsperança FluminenseFluminense PalmeirasPalmeiras

JuventudeJuventude EsperançaEsperança Fluminense Fluminense JuventudeJuventude FluminenseFluminense EsperançaEsperançaFluminenseFluminense JuventudeJuventude Esperança Esperança FluminenseFluminense EsperançaEsperança JuventudeJuventudeEsperançaEsperança JuventudeJuventude FluminenseFluminenseEsperançaEsperança FluminenseFluminense JuventudeJuventude

            Juventude Juventude  PalmeirasPalmeiras Fluminense Fluminense JuventudeJuventude FluminenseFluminense PalmeirasPalmeirasFluminenseFluminense JuventudeJuventude PalmeirasPalmeirasFluminenseFluminense PalmeirasPalmeiras JuventudeJuventudePalmeirasPalmeiras JuventudeJuventude FluminenseFluminensePalmeirasPalmeiras FluminenseFluminense PalmeirasPalmeiras

JuventudeJuventude PalmeirasPalmeiras Esperança Esperança JuventudeJuventude EsperançaEsperança PalmeirasPalmeirasEsperançaEsperança JuventudeJuventude PalmeirasPalmeirasEsperançaEsperança PalmeirasPalmeiras JuventudeJuventudePalmeirasPalmeiras JuventudeJuventude EsperançaEsperançaPalmeirasPalmeiras EsperançaEsperança JuventudeJuventude

Palmeiras

Esperança

Fluminense

b) Quantas possibilidades existem?b) Quantas possibilidades existem?

Existem 24 possibilidades. Existem 24 possibilidades.

O número de arranjos simples tomados O número de arranjos simples tomados quatro a quatro ( A quatro a quatro ( A

4, 4 4, 4 ) também pode ser ) também pode ser calculado pelo princípio fundamental da calculado pelo princípio fundamental da contagem:contagem:

A A 4, 4 4, 4 = 4. 3. 2. 1 = 24= 4. 3. 2. 1 = 24

c) Quantas possibilidades há do Flamengo ficar c) Quantas possibilidades há do Flamengo ficar em 1° lugar?em 1° lugar?

Existem 6 possibilidades do Flamengo Existem 6 possibilidades do Flamengo ficar em primeiro lugar, assim como os ficar em primeiro lugar, assim como os demais times também possuem 6 demais times também possuem 6 possibilidades de ficar em primeiro lugar.possibilidades de ficar em primeiro lugar.

2) Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser forma-dos, usando os algarismos 2) Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser forma-dos, usando os algarismos (elementos) 2, 3, 4 e 5?(elementos) 2, 3, 4 e 5?

1 ° algarismo 1 ° algarismo 2° algarismo 2° algarismo números formadosnúmeros formados(4 possibilidades)(4 possibilidades) (3 possibitidades)(3 possibitidades) ( 12 números)( 12 números)

33 232322 44 2424

55 2525

22 323233 44 3434

55 3535

22 424244 33 4343

55 4545

22 525255 33 5353

4 4 5454

Pode-se observar que os grupos (números ou elementos) obtidos diferem entre si:

* pela ordem dos elementos (23 e 32, por exemplo)

Os grupos assim obtidos são denominados

arranjos simples dos 4 elementos tomados 2 a 2 e são indicados A 4, 2 = 4. 3 = 12

Trabalho feito por:Trabalho feito por:Alice AhlertAlice AhlertVanessa Paula ReginattoVanessa Paula ReginattoBernadeteBernadete

Estudantes do curso de Estudantes do curso de Ciências ExatasCiências Exatas – – UNIVATESUNIVATES

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