6. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA - fct.unesp.br Circuitos... · 6.2 Resistências em Série e em Paralelo. 6.3 As Regras de Kirchhoff ... (uma bateria ou um gerador) ... * Em geral
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6. CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA
6.1 Força Electromotriz6.2 Resistências em Série e em Paralelo.6.3 As Regras de Kirchhoff6.4 Circuitos RC6.5 Instrumentos Eléctricos
• Análise de circuitos simples que incluem baterias, R e C, diversamente combinados.
• A análise é simplificada pelo uso das (duas) Regras de Kirchhoff.
• As regras são consequência das leis da conservação da energia e da conservação da carga.
6.1 Força Electromotriz
• Uma fonte de força electromotriz (fem) é um dispositivo qualquer (uma bateria ou um gerador) que aumenta a energia potencial das cargas que circulam num circuito.
• A fem, ε, duma fonte é medida pelo trabalho feito sobre uma carga unitária. A unidade SI de fem é o volt.
• Vamos admitir que os fios de ligação têm R desprezável.
• Se desprezássemos a resistência interna (r) da bateria ⇒ ∆V na bateria (a V entre os terminais) = à fem da bateria.
• Uma bateria real tem sempre uma certa r, por isso V entre os terminais ≠ da fem da bateria.
• Uma carga (+) deslocando-se entre “a” e “b” ⇒ quando passa do terminal (–) para o terminal (+) da bateria, o seu V aumenta de ε; ao deslocar-se através de r, o seu V diminui de Ir (I= corrente no circuito)
- + r
d c
RI
a ε bbateria
V = Vb – Va = ε - Ir⇒ ← entre os terminaisda bateria
• ε é a voltagem em circuito aberto, a voltagem entre os terminais quando a corrente é nula.
• Variações de V quando o circuito for percorrido no sentido a, b, c, d.
V ε r R
εIR Ir
a b c d
• A voltagem, V, entre os terminais da bateria = à diferença de potencial na R, que é muitas vezes denominada a resistência de carga, V = IR
V = ε - Ir V = IR
! I depende de r e da R! Quando R >> r ⇒ podemos desprezar r na análise.
A potência total debitada pela fonte de fem, Iε, converte-se em potência dissipada pelo efeito Joule na resistência de carga, I2R, mais a potência dissipada na resistência interna, I2r.
! Se R >> r ⇒ a maior parte da P da bateria transfere-se para aresistência de carga.
ε = IR + Ir ,,rR
I+
=ε
Iε = I2 R + I2 r
6.2 Resistências em Série e em Paralelo
Resistências em Série
• A corrente é a mesma através de ambas as resistência, pois qualquer carga que passa por R1 também passa por R2
• Queda de potencial entre a e b = IR1
Queda de potencial entre b e c = IR2
⇒A queda de potencial de a para c:
I
a R1 b R2 c
VI
+ -
)( 2121 RRIIRIRV +=+=
• Podemos substituir os dois R em série por uma única resistência equivalente Req,
• Req é equivalente à combinação em série R1 + R2 porque I no circuito será a mesma se Req substituir R1 + R2
• Três ou mais resistências ligadas em série:
• A Req de resistências em série é sempre maior do que qualquer das resistências individuais.
21 RRReq +=
...+++= 321 RRRReq
Resistências em Paralelo.
• A diferença de potencial é a mesma em todas as resistências. • A corrente não é, em geral, a mesma en todas as resistências.• Quando I atinge “a” (um nó), divide-se em duas partes, I1 pelo
ramo R1, e I2 pelo ramo R2. Se R1 > R2 ⇒ I1 < I2. A carga tende a seguir a via de menor R.
• A carga dever ser conservada ⇒ I = I 1 + I2 (a corrente I que entra no nó “a” deve ser igual à corrente que sai deste nó, I1 + I2 )
Ia
R1
+ -
R2I2
I1b
V
• Uma vez que a queda de potencial em cada R é a mesma, a lei de Ohm dá:
• Para três ou mais resistências
• Cada nova R ligada em paralelo com uma ou mais resistências diminui a Req do conjunto.
eqRV
RRV
RV
RVIII =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+=+=
212121
11
21
111RRReq
+=⇒ →21
21
RRRRReq +
=
321
1111RRRReq
++=
6.3 As Regras de Kirchhoff
• Muitas vezes não é possível reduzir um circuito a uma simples malha que possa ser analisada pela Lei de Ohm e as regras das ligações das R em série ou em paralelo.
• A análise de circuitos mais complicados pode simplificar-se pelo uso de duas regras simples, as regras de Kirchhoff:
1. A soma das correntes que entram num nó é igual à soma das correntes que saem desse nó. (Um nó é qualquer ponto do circuito onde é possível a divisão da corrente.)
2. A soma algébrica das variações de potencial em todos os elementos duma malha fechada do circuito é igual a zero.
• A primeira regra é um enunciado da conservação da carga: qualquer q que chega a um dado ponto do circuito, deve abandonar esse ponto, pois não pode haver acumulação de qem nenhum ponto.
• A segunda regra é consequência da conservação da energia: qualquer q que se desloque ao longo de qualquer malha fechada num circuito (começa e termina o deslocamento no mesmo ponto) deve ganhar tanta energia como aquela que perder.
I1 I2I3
I1=I2+I3
• Aplicação da segunda regra de KirchhoffRegras de cálculo:
1. Se uma R for atravessada na direcção da I, a variação do potencial (∆V) na R é -IR
2. Se R for atravessada numa direcção oposta à de I ⇒a ∆V no R é +IR
a b
I
a b
I
∆V = Vb – Va = -IR
∆V = Vb – Va = +IR
3. Se uma fonte de fem for atravessada na direcção da fem (do terminal (-) para o (+)), a ∆V é +ε
4. Se uma fonte de fem for atravessada na direcção oposta à da fem (do (+) para (-)), a ∆V é - ε
! A regra das nós pode ser utilizada tantas vezes quantos os nós no circuito.
∆V = Vb – Va = +ε
∆V = Vb – Va = - ε
a b- +ε
a b+ -ε
! A regra das malhas pode ser usada desde que em cada nova equação apareça um novo elemento do circuito (R ou
) ou uma nova I.
* Em geral o número de vezes que a regra dos nós deve ser usada é uma unidade menor que o número de nós no circuito.
+ -
• O número de equações independentes de que se precisa deve ser pelo menos igual ao número de incógnitas, para que um certo problema seja solúvel.
• Redes complicadas ⇒ grande número de eq. lineares independentes e grande número de incógnitas ⇒ álgebra de matrizes (ou programas de computador)
• Admite-se que os circuitos estejam em estado estacionário, e as I nos diversos ramos sejam constantes.
! Se um C aparecer como componente dum ramo, esse C actua como um interruptor aberto no circuito, e a I no ramo onde estiver será nula.
Estratégia e sugestões para a resolução de problemas:
1. Faça o diagrama do circuito e identifique, com nomes ou símbolos, todas as grandezas conhecidas e desconhecidas.Em cada parte do circuito, atribua uma direcção a I. (*)
2. Aplique a regra dos nós (fácil!)3. Aplique a segunda regra. Tenha atenção aos sinais!!! 4. Resolva o sistema de equações.* Não fique preocupado se fizer uma escolha incorrecta do
sentido duma corrente: nesse caso, o resultado terá o sinal negativo, mas o seu valor estará correcto. Embora seja arbitrária a fixação inicial da direcção de I, a partir daí éindispensável respeitá-la RIGOROSAMENTE ao aplicar as regras de Kirchhoff.
6.4 Circuitos RC
! Até agora: circuitos com as correntes constantes, os circuitos em estado estacionário.
! Agora: circuitos com C, nos quais as correntes podem variar com o tempo.
Quando se aplica uma diferença de potencial a um C descarregado, a velocidade de carga do C depende da sua capacidade e da resistência do circuito.
Carregando um Condensador• C inicialmente descarregado.• Quando S estiver aberto ⇒ não há I no
circuito.• Se S for fechado (t=0) ⇒ estabelece-se
uma I ⇒ principia a carga do C.
• Durante esse processo, as cargas não passam através do C.
• Há transferência de q duma para outra placa através de R, S e ε, até que o C adquira a plena carga.
• O valor da qmax depende da fem da bateria.• Uma vez atingida esta qmax → I no circuito é nula.
S
εR
C
t < 0
S
ε R
C
t > 0+q
-qI
Discussão Quantitativa:
Aplicamos a regra das malhas (Kirchhoff), ao circuito depois de S ter sido fechado ⇒
! q e I são valores instantâneos durante o processo de carga do C.
Podemos usar para achar a I inicial no circuito e a qmax no condensador:
1
0=−−CqIRε1
queda de potencial na Rqueda de potencial no C
• Em t = 0, S é fechado ⇒ a carga no C é zero.⇒ → a I inicial no circuito, I0, é um máximo (I em t = 0)
! Nesse instante, a queda de potencial ocorre inteiramente na resistência.
• Quando o C estiver com a sua qmax = Q ⇒ cessa o movimento das q, I = 0 ⇒ ! A queda de potencial ocorre inteiramente no CI = 0 + → Q = Cε (q máxima)
1 RI ε=0
1
• Dependência temporal da q e da I:
1 010 =−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
dtdIR
dtdq
CIR
Cq
dtd ε
0=⇒=dtdcte εε
dtdqI =
CI
dtdIR −=
dtRCI
dI 1=
R e C são constantes ⇒ esta equação pode ser integrada, com a condição inicial.
I = I0 em t = 0
A fim de achar q no C, em função de t, podemos substituirna Eq e integrar:
RCt
IIdt
RCIdI tI
I−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫∫
000
1 ln,
RCt
RCt
eR
eItI−−
==ε
0)( 2
dtdqI =2
dteR
dqeRdt
dqRC
tRC
t −−
==εε ,
Usando q = 0 em t = 0 ⇒
:,, vemedxeusandoedteR
dq xxtqRC
t αα
αε −− −== ∫∫∫
− 1 00
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
−−RC
tRC
teQeCtq 11ε)( 3
q max no C
q
t
τ = RC
I
t
Cε0.63Cε
I0
0.37 I0
REI =0
ττ
3 2
! q = 0 em t = 0; q → qmax = Cε quando t →∞! Imax = I0 = ε/R em t = 0 e decai exponencialmente até zero
quando t →∞
• A grandeza RC das Eqs. é a constante de tempo, τ, do circuito → O tempo necessário para I decrescer para o valor 1/e do seu valor inicial.
• No tempo τ, I = e-1 I0= 0.37 I0
No tempo 2τ I = e-2 I0= 0.135 I0
• Da mesma forma, no tempo τ a carga aumentará de zero até
•
[ ] εε CeC 6301 1 .=− −
[ ] [ ] [ ]TTQ
QVQ
IVRC =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ×==τ ← Dimensão de tempo
• Trabalho feito pela bateria no processo de carga Qε = C ε2
C completamente carregado → energia no C: ½ Qε = ½Cε2 = metade do W feito pela bateria.→ A outra metade é dissipada como calor na R, por efeito deJoule.
Descarga de um Condensador
• Carga inicial no C → Q• t < 0, interruptor (S) aberto ⇒ V = Q/C no C
V = 0 na R (I = 0)• t = 0, interruptor (S) fechado ⇒ o C principia a descarregar-se
através da R.• Num certo instante t ⇒ corrente = I, carga = q• 2ª regra de Kirchhoff ⇒ IR = q/C → a queda de potencial na R
= à diferença de potencial no C.
Rs
C+Q-Q
t < 0
RIC+q-q
t > 0
A corrente no circuito é igual à taxa de diminuição da carga no C, I = -dq/dt
Integrando, com a condição inicial q = Q em t = 0
Derivando a Eq. em ordem ao tempo ⇒
Onde I0 = Q/RC (corrente inicial)A carga no C e a I no circuito decrescem exponencialmente a uma taxa caracterizada pela constante de tempo τ = RC
dtRCq
dqCq
dtdqR 1
−==− ,→
→−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫∫ RC
tQqdt
RCqdq tq
Qln,,
0
1 ( ) RCtQetq −
=
( ) RCt
RCt
eIeRCQ
dtdqtI
−−==−= 0
• O Amperímetro → aparelho que mede corrente eléctrica
No caso ideal, um amperímetro deve ter resistência nula, de modo a não alterar a corrente a ser medida.
• O Voltímetro → dispositivo que mede diferenças de potencial.
Um voltímetro ideal tem resistência infinita, de modo que não haja passagem de corrente através dele.
! Ter sempre em conta a polaridade do instrumento.
6.5 Instrumentos Eléctricos
A+ -
V
• O Galvanómetro → é o principal componente dos amperímetros e dos voltímetros.• A operação do galvanómetro baseia-se no facto de haver
um momento sobre uma espira de corrente na presença dum campo magnético.
• O momento sobre a bobina é proporcional à corrente na bobina: a deflexão angular da bobina é proporcional àcorrente.
• Galvanómetro típico ⇒ R ~ 60 Ω
Galvanómetro num Amperímetro
Exemplo: para medir uma I = 2A com um galvanómetro,RG = 60 Ω⇒ RP ~ 0.03 Ω
Galvanómetro num Voltímetro
Exemplo: para medir uma Vmax = 100V com um galvanómetro,,RG = 60 Ω⇒ RS~ 105 Ω
RP
60 Ω
RS
60 Ω
RP – resistência shuntRP << RG
RS >> RG
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