Transcript
2. พหนาม 1
1. เอกนาม น�พจน� ค�อ ข�อความท��เข�ยนได�ในร�ปส�ญล�กษณ เช"น 2/3, 4x, x
+ y
ความหมายของเอกนาม
น$พจน ท��สามารถเข�ยนให�อย�"ในร�ปการคณของคาคงตวกบตวแปรต�งแตหน�งตวข�นไป และเลขช�กาลงของตวแปรแตละตวเปนศนย�หร$อจานวนเตมบวก เรยกวา เอกนาม (Monomial)
เอกนามประกอบด�วยสองส"วน ค�อ ส"วนท��เปนค"าคงต�ว และส"วนท��อย�"ในร�ปของต�วแปรหร�อ การค�ณก�นของต�วแปร
เร�ยกค"าคงต�วว"า สมประส�ทธ��ของเอกนาม และเร�ยกผลบวกของเลขช�-กาล�งของต�วแปร แต"ละต�วในเอกนามว"า ดกร
ต�วอย"างหน.�งส"วนประกอบของเอกนาม
ด�กร�
ค"าคงต�ว A
xnymzk
ต�วแปร
2
ต"อไปน�-เปนต�วอย"างของน$พจน ท��เปนเอกนามน$พจ
น ส�มประส$ทธ$0 ต
�วแปรด�กร�4
x-a36ab-50
ห ม าย เ ห ต ค"าคงต�วหร�อจำานวนจร$งใดๆ ถ�อเปนเอกนามด�กร� 0 เพราะสามารถเข�ยนในร�ปการค�ณก�น ของค"าคงต�วก�บต�วแปร โดยท��เลขช�-กาล�งเปนจำานวนเตมบวกหร�อศ�นย เช"น5 = 5x0 = 5x0y0 = 5a0b0c0
√2=√2 x0=√2 x0 y0=√2 a0 b0 c0 เปนต�นส"วน 0 เปนเอกนามท��ม�ส�มประส$ทธ$0เท"าก�บ 0 และด�กร�เท"าก�บ
เท"าใดกได� เพราะ 0 ค�ณ จำานวนใดกได� 0 เช"น 0x2 = 0xy3 =
0x2y6z3 เปนต�น
2. พหนาม 3
ต"อไปน�-เปนต�วอย"างของน$พจน ท��ไม"เปนเอกนามน$พจ
น เหตผลท��ไม"เปน
เอกนามx y
x + y( 1
) 24x-31 + 3x2ตวอยางท� 1 จงพ$จารณาว"าน$พจน ท��กำาหนดให�ต"อไปน�-เปนเอกนามหร�อไม"
ถ�าเปนจงบอกส�มประส$ทธ$0และด�กร�ของเอกนามด�งกล"าวข�อ น$พจน ไม"เปนเอก
นามเปนเอกนาม
ส�มประส$ท
ด�กร�(
1)√5
(2)
x2 + y2
(3)
a-
1(4)
5x4 – 4x4(
5)0
(6)
abc(
7)-4(
8)2x + 2y(
9)8-6xyz2
(10
13
(11
x2y(
12-4-1ab2
(13
√3 pq
pq(14
√3+√3
(15
-c(1
6) x2 yz−1
(17)
5 x−2 y−3
x−5 y2
a
4
เอกนามคล�าย
ก"อนท��เข�าส�"เร��องการบวกและการลบเอกนาม น�กเร�ยนจำาเปนต�องศ.กษาล�กษณะบางอย"าง ของเอกนามก"อน ซ.�งล�กษณะด�งกล"าวจะนามาช"วยคำานวณการบวกและการลบเอกนามได� ล�กษณะ ด�งกล"าวน�-นค�อ เอกนามคลาย
เอกนามสองเอกนามจะคล�ายก�นกต"อเม��อ1. เอกนามท�-งสองม�ต�วแปรชดเด�ยวก�น
และ 2. เลขช�-กาล�งของต�วแปรต�วเด�ยวก�นในแต"ละเอกนามเทาก�นต�วอย"างเช"น ax คล�ายก�บ -2ax
5x2y คล�ายก�บ -2x2yabc2 คล�ายก�บ 4abc2
2x2
y
ไม"คล�ายก�บ ไม"
คล�ายก�บ
2xy2 เ
ตวอยางท� 2 จงพ$จารณาว"าเอกนามท��กำาหนดให�คล�ายก�นหร�อไม" ถ�าคล�ายให�เข�ยนเคร��องหมาย
หน�าข�อ ถ�าไม"คล�ายให�เข�ยนเคร��องหมาย หน�าข�อ1) 4a2 ก�บ 1 2
42) 3x2y3 ก�บ x3y2
3) 4xy2 ก�บ 4x2y
4) 5 ก�บ −12
xy
5) 8x ก�บ -46) xyz ก�บ -abc
7) 3x2y ก�บ8) -6 ก�บ 8x0
9) 14x ก�บ x
xy
10) abc ก�บ a0b0c0
4.1 5x3 4.2 -2y4 4.3 0.6z 4.4 x3y
4.5 -6yz4 4.6 3 x4z25 4.7 –x2y3z5 4.8
2.2 (1/7 -4yz2 0
2.3 -6xz3 0.4x5y z3
x
2. พหนาม 5
แบบฝ,กทกษะ
1. จงบอกสมประส�ทธ�. ตวแปร และดกรของเอกนามตอไปน �-1.13x5
1.2
1 2 1.3 0.6y4
2
1.4 -7x3 1.5 x6 1.6 4.2x1.75x3y4 1.8 -2x3y3z2 1.9 1.7xy1.10 13 1.11 z 1.12 0
2. จากเอกนามท�ก/าหนดใหตอไปน� จงบอกวาเอกนามใดมดกรสงสด และเอกนามใดมดกร ต/�าสด
2 2 5 3 22.1 6xy3 x
yz
8xy
-4x y
4 3 22.4 5xy7 -8yz3
xz 1.3y z 5 3 6 22.5
xz4yz
9xyz
-x y
3. จงเล$อกเอกนามท�คลายกบเอกนามท�ก/าหนดใหตอไปน �-เอกนามท��กำาหนดให�
ต�วเล�อก3.1 6x3
3.2 4x2z5
3.3 -xy3.4 16x3y2z3.5 0.6xy4
4z 9x2 3x3
6z3
8y2z5 x2z5 2xz4x2z
3x2y -yz 1 xy 16xz24. จงยกตวอยางเอกนามท�คลายกบเอกนามท�ก/าหนดใหมา 3 เอกนาม
6
การบวกเอกนาม
เอกนามต�-งแต"สองเอกนามจะสามารถหาผลบวกได�เม��อเอกนามด�งกล"าวต�องเปน เ อ ก น า ม
ค ล า ย ด�งท��เราได�ศ.กษาไปแล�วในห�วข�อท��ผ"านมา ซ.�งการหาผลบวกของเอกนามสามารถทำาได�โดย ใช�สมบ�ต$การแจกแจง หร�อการกระจายในการหาคำาตอบ ซ.�งสามารถทำาได�ด�งน�- ผลบวกของเอกนานาม = (ผลบวกของสมประส�ทธ�.) (สวนท�อยในรปของตวแปรหร$อการ
คณของตวแปร)
หร�อจะกล"าวว"า การบวกเอกนามทำาได�เม��อเอกนามท��จะนำามาบวกก�นเปนเอกนามคล�าย ให� นาส�มประส$ทธ$0มาบวกก�น โดยม�ส"วนของต�วแปรคงเด$ม
สาหร�บเอกนามท��ไม"คล�ายก�น ไม"สามารถนามาบวกก�นได� ให�เข�ยนในร�ปการบวกของเอก นาม เช"น ผลบวกของ 3x2y และ -4xy2 ท�-งสองเอกนามไม"ใช"เอกนามคล�าย เม��อหาผลบวกจะได� จะ เข�ยนในร�ปการบวกก�นของเอกนาม ค�อ 3x2y + (-4xy2) ซ."งจะเร�ยกว"าพหนาม และน�กเร�ยนจะได� ศ.กษาในห�วข�อต"อๆ ไป
ตวอยางท� 1 จงหาผลบวกของเอกนามต"อไปน�-(1) 4x2
+ 2x2==
(4 + 2)x2
= 6x2
(3) -4x + (-2x)(4) 3a2b + (-6a2b)(5) -17m2 + (-2m2)(6) st2 + (-5st2)
=====
(8)st + 4st + (-7s)
=
การลบเอกนาม
สำาหร�บการหาผลลบของเอกนามสามารถทำาได�โดยใช�สมบ�ต$การ
2. พหนาม 7
แจกแจง หร�อการกระจาย ในการหาคำาตอบ เช"นเด�ยวก�บการหาผลบวกของเอกนาม ซ.�งสามารถทำาได�ด�งน�-
8
ผลบวกของเอกนานาม = (ผลลบของสมประส�ทธ�.) (สวนท�อยในรปของตวแปรหร$อ การคณของตวแปร)
ตวอยางท2
จงหาผลลบของเอกนามต"อไปน�- = (4 – = 2x2
(2) -5x2y2z – =(3) -4x – (-2x)(4) 3a2b – (-6a2b)(5) 3x2y2 – (-2xy)(6) -17m2 – (-2m2)
=====
(8)st – 4st – (-7s) =
แบบฝ,กหด เร$�องการบวกและการลบเอก1. จงหาผลบวกของเอกนามตอไปน �-
1.14x + 9x1.27z + 5z1.39xy2 + 3xy2
1.48xz + 3xz
1.5 6xyz + (-5xyz)1.6 -4xz3 + xz3
1.7 -2yz2 + (-6yz2)1.8 5x2y2 + 4x2y2 + 3x2y2
1.9 8xz5 + 6xz5 + (-xz5)1.10 -4y2z3 + (-y2z3) + (-2y2z3)
2. จงหาผลลบของเอกนามตอไปน�2.110y – 4y2.28xz – 3xz2.37x2y – 8x2y2.4x3z – (-
6x3z)3. จงหา
ผลลพธ�ตอไปน�
2.5 -4x3 – 2x3
2.6 -6xy2 – (-8xy2)2.7 -5xyz – (-10xyz)2.8 12x2z – 6x2z – 3x2z
2. พหนาม 9
2.9 8y3z – 5y3z – (-2y3z) 2.10 -4x – (-2x) – (-8x)
3.18x – 6x + 5x3.24xy3 - 6xy3
+ (-4xy3)3.312xz + 7xz – (-xz)3.4 -8y2z3 + y2z3 – 3y2z3
3.5 -8yz2 + 6yz2
+ (-4yz2)
3.6 -9x3y4 + 5x3y4 – (-x3y4)3.7 (9xz + 9xz) – (12xz + 7xz)3.8 (6xy5 – 2 xy5) + (4xy5
– 9xy5)3.9 [3xz – (-4xz)] + (6xz + 9xz)3.10 (7y3z - 2y3z) + [-6y3z + (-4y3z)]
2. พหนามน$พจน ท��อย�"ในร�ปเอกนาม หร�อเข�ยนอย�"ในร�ปการบวกของเอก
นาม ต�-งแต"สองเอกนามข.-นไป เร�ยกว"า พหนาม
*****ส$�งท��ต�องร� � ค�อ เอกนามกเป6นพหนามด�วย
1. แต"ละเอกนามในพหนามเร�ยกว"า พจน� เช"น abc เป6นพหนามท��ม� 1 พจน
2a – 4 เป6นพหนามท��ม� 2 พจน
2. พหนามในรปผลส/าเรจหมายถ.ง พหนามท��ไม"ม�พจน ท��คล�ายก�นเลย เช"น a2+2a+4 , 3m 2n
7
3. ดกรของพหนาม ค�อ ด�กร�ของพจน ท��ม�ด�กร�ส�งสดในพหนามท��ทำาให�เป6นพหนามในร�ปผลสำาเรจแล�ว เช"น
3m4 + 2m2+m 5 เป6นพหนามในร�ปผลสำาเรจ ด�กร�ของพหนามเท"าก�บ 4
5b+ 2ab2 + a3b2 เป6นพหนามในร�ปผลสำาเรจ ด�กร�ของพหนามเท"าก�บ 5
แบบฝ,กทกษะ
ค/าช�แจง ใหนกเรยนอานขอความตอไปน� แลวเขยนค/าวา ( ถก ) หนาขอถกและเขยนค/าวา (ผ�ด) หนาขอผ�ด.............. 1. 2x4 – 4x + 3x + 1 เป6นพหนามในร�ปผลสำาเรจ
.............. 2. 9x2 – 5x + 3x2 – 2 เป6นพหนามท��ไม"ม�พจน คล�ายก�น
.............. 3. 6a2 – 7a + 2 เป6นพหนามท��ม�ด�กร�เท"าก�บ 2
.............. 4. -5x2yz + 7x2y2z – 4xyz ม�ด�กร�ของพหนามเท"าก�บ 5
.............. 5. 8ab – 3a3 + 9ab – 5a3 เท"าก�บ 17ab – 8a3
.............. 6. 2m2 – 4m + 3m5 – 4m6 เป6นพหนามเร�ยงพจน จากพจน ท��ม�ด�กร�น�อยไปหา
พจน ท��ม�ด�กร�มาก
.............. 7. 1 + 2y – 3y2 – y + 3 เป6นพหนามท��ม�ด�กร�พหนามเท"าก�บ 2
.............. 8. 3 เป6นด�กร�ของพจน 3x2y
.............. 9. x3 – 3x2 – 2x + 1 – 4 + x2 – x3 ม�ด�กร�พหนามเท"าก�บ 3
.............. 10. 3m + 7m2 + 4 – 5m3 + 8 = -5m3 – 7m2+12
ค/าช�แจง จงเขยนพหนามในแตละขอตอไปน�ใหเป4นพหนามในรปผลส/าเรจและบอกดกรของพหนามดวย
ก) -3y+14-7y = (-3y+7y)+14 ข) 4a+a-6 = (4a+a)-6
1) 7a2 + 5a5 – 6a3 + 7 – a5 2) 7y4 – 4y + 7y3 – 5y2 + 4y................................................
................................................................................................
...............................................................................................
................................................
3) 7c +4c3 + 4 – 3c2 – 5c – 4c2 4) 4p3 – 3p + 7p3q – 2p3 + 4 - 8................................................
...............................................................................................
...............................................................................................
................................................
5) 9s2t – 5st2 + 7s2t – 3st2 + 6 6) (-10b3c2)+10b3c2+7bc2-9bc2+c4+(-5)................................................
................................................
................................................ ................................................
............................................... ................................................
7) 5m3+3m2 m4+m3+3m2 14m2 8) k2 2k2+k52k 1+3k 4...............................................
...............................................................................................
...............................................................................................
................................................
การบวก ลบ พหนามการบวก หร�อ ลบ พหนาม ทำาได�โดยนำาพหนามมาเข�ยนในร�ปการบวก หร�อ การลบ โดยถ�า
ม�พจน ท��คล�ายก�น ให�บวกหร�อลบพจน ท��คล�ายก�นเข�าด�วยก�น หล�กการบวก ลบ พหนามม� 2 ว$ธ� ค�อ กระท/าตามแนวนอน และ กระท/าตามแนวต�งตวอยาง จงหาผลบวกของพหนามต"อไปน�- ท�-งแนวนอนและแนวต�-ง
5a4 + 7a3 – 5a + 6 ก�บ (-7a4) + (-5a2) - 4a – 3
แบบฝ,กทกษะ จงหาผลบวกหร�อผลต"างของพหนามต"อไปน�-1. (7a 8b + 9c) + (2a 3b + 5c) 2. (10y2 5y 4) + (5y2 + 5y 8)
3. (7z2 + 4z) + (3 3z2 5z3 + 6z) 4. (7cdf 5cd10cf) + (3cd 4cf + 6cdf)
5. (7m + 6n s) + (8m 7n + 9s) 6. (5r2 + 6rs 8s2) + (6r2 5rs + 9s2)
7. (6a2 + 9a 5) + (8 + 8a 7a2) 8. (9a25b2 3ab) + (8b2 + 7ab)
9. (4y2 + 6z + 9) + (7y + 3) + (5y29z + 1) 10. (5 9d + 6c2) + (8c2 + 9) + (13d 18)
11. ( 5y2 11y + 3 ) + ( 3y2 + y + 14 ) 12. ( 15z + 2 ) + (z2 3z 8)
13. ( 4a + 6b + 5c ) + ( a +3b 4c ) 14. ( a2 3a 1 ) + ( 3a2 + 2a + 9 )
15. ( 3a2 2a + 1) + ( a2 + 3 ) 16. ( 8x2 4x + 5 ) + ( 2x 4 )
17. ( 2a 6b + 4c ) + ( 3a 3b ) 18. ( x2 2x + 3 ) + ( x3 + 3x 8 )
19. ( 5x2 7x + 3 ) + ( 7x2 6x + 5 ) 20. (5a2 4b + 6 ) + ( 6b 7)
21. (a3 − 2a2 ) − (3a2 − 4a3 ) 22. (5 p2
− 3) + (2 p2
− 3 p3 )
23) (4 + 2n3 ) + (5n
3 + 2) 24) (4n − 3n
3 ) − (3n3
+ 4n)
25) (3a2
+ 1) − (4 + 2a2 ) 26) (4r
3 + 3r
4 ) − (r4
− 5r3 )
27) (5a + 4) − (5a + 3) 28) (3x4
− 3x) − (3x − 3x4 )
29) (−4k4
+ 14 + 3k2 ) + (−3k
4 − 14k
2 − 8) 30) (3 − 6n
5 − 8n
4 ) − (−6n4
− 3n − 8n5 )
31) (12a5
− 6a − 10a3 ) − (10a − 2a
5 − 14a
4 ) 32) (8n − 3n4
+ 10n2 ) − (3n
2 + 11n
4 − 7)
33) (−x4
+ 13x5
+ 6x3 ) + (6x
3 + 5x
5 + 7x
4 ) 34) (9r3
+ 5r2
+ 11r) + (−2r3
+ 9r − 8r2 )
35) (13n2
+ 11n − 2n4 ) + (−13n
2 − 3n − 6n
4 ) 36) (−7x5
+ 14 − 2x) + (10x4
+ 7x + 5x5 )
37) (3v5 + 8v3 − 10v2 ) − (−12v5 + 4v3 + 14v2 )
38) (8b3 − 6 + 3b4 ) − (b4 − 7b3 − 3)
39) (k4 − 3 − 3k3 ) + (−5k4 + 6k3 − 8k5 )
40) (−10k2 + 7k + 6k4 ) + (−14 − 4k4 − 14k)
41) (−7n2 + 8n − 4) − (−11n + 2 − 14n2 )
42) (14 p4 + 11 p2 − 9 p5 ) − (−14 + 5 p5 − 11 p2 )
43) (8k + k2 − 6) − (−10k + 7 − 2k2 )
44) (−9v2 − 8u) + (−2uv − 2u2 + v2 ) + (−v2 + 4uv)
45) (4x2 + 7x3 y2 ) − (−6x2 − 7x3 y2 − 4x) − (10x + 9x2 )
46) (−5u3 v4 + 9u) + (−5u3 v4 − 8u + 8u2 v2 ) + (−8u4 v2 + 8u3 v4 )
47) (−9xy3 − 9x4 y3 ) + (3xy3 + 7 y4 − 8x4 y4 ) + (3x4 y3 + 2xy3 )
48) ( y3 − 7x4 y4 ) + (−10x4 y3 + 6 y3 + 4x4 y4 ) − (x4 y3 + 6x4 y4 )
49) (7 − 13x3 − 11x) − (2x3 + 8 − 4x5 ) 50) (13a2 − 6a5 − 2a) − (−10a2 − 11a5 + 9a)
การคณพหนาม
การค�ณพหนามสามารถใช�สมบ�ต$การสล�บท�� (commutative property) สมบ�ต$การ
แจกแจง (distribution property)ได�เช"นเด�ยวก�บการค�ณจำานวนก�บจำานวน
…….การพหนามดวยเอกนาม ทำาได�โดยค�ณเอกนามก�บทก ๆ พจน ของพหนาม แล�วนำาผล
ค�ณเหล"าน�-นมาบวกก�น เช"น
…….(2x2) · (3x2 − 4x + 5) =
…….การคณพหนามดวยพหนาม ทำาได�โดยค�ณแต"ละพจน ของพหนามหน.�งก�บทก ๆ พจน
ของอ�กพหนามหน.�ง แล�วนำาผลค�ณเหล"าน�-นมาบวกก�น เช"น
…….(2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =
…….เพ��อความสะดวกในการหาผลค�ณสำาหร�บพหนามใด ๆ ท��ม�จำานวนพจน ต� -งแต" 3 พจน ข.-น
ไป จะใช�ว$ธ�การต�-งค�ณ ซ.�งเวลาต�-งค�ณต�วต�-งลงไปให�คำาน.งถ.งการเร�ยงลำาด�บด�กร�และต�วแปร
ผลของการค�ณน�-นควรจะเร�ยงลำาด�บด�กร�ด�วย เช"น
P(x) · Q(x) = (3x4 + 5x3 − 2x + 3) · (2x2 − x + 3)
แบบฝ9กท�กษะการค�ณ
1) 6v(2v + 3) 2) 7(−5v − 8)
3) 2x(−2x − 3) 4) −4(v + 1)
5) (2n + 2)(6n + 1) 6) (4n + 1)(2n + 6)
7) (x − 3)(6x − 2) 8) (8 p − 2)(6 p + 2)
9) (6 p + 8)(5 p − 8) 10) (3m − 1)(8m + 7)
11) (2a − 1)(8a − 5) 12) (5n + 6)(5n − 5)
13) (4 p − 1)2 14) (7x − 6)(5x + 6)
15) (6n + 3)(6n − 4) 16) (8n + 1)(6n − 3)
17) (6k + 5)(5k + 5) 18) (3x − 4)(4x + 3)
19) (4a + 2)(6a2 − a + 2) 20) (7k − 3)(k2 − 2k +
7)
21) (7r2 − 6r − 6)(2r − 4) 22) (n2 + 6n − 4)(2n − 4)
23) (6n2 − 6n − 5)(7n2 + 6n − 5) 24) (m2 -7m- 6)(7m2 - 3m- 7)
การหารพหนามดวยเอกนามต�วอย"าง จงหาผลหารต"อไปน�-
1) 8 x7
4 x5 2) −78 a3 b2 c+4 a2b3 c2−16 abc2 abc
แบบฝ,กทกษะ
ตวอยางโจทย�ระคน ตวอยาง จงหาผลล�พธ ของ (6x + 3x)(-4xy3)
ตวอยาง จงหาผลล�พธ ของ (18x3z4
6xz2) – 12x2z2
ตวอยาง จงหาผลล�พธ ของ [(7x3y)(3xy2)] – (15x6y5 5x2y2)
ตวอยาง จงหาผลล�พธ ของ (8xz2 – 14xz2)(-11xy3
+ 4xy3)
จงหาผลลพธ�ตอไปน� 1 (3x + 7x)(6xy) 2 (12z – 4z)(-2z2)
3 (-6xz2 – 4xz2) 5z 4 (-3x2y3
+ 14x2y3) 11xy2
5 [(3xy)(6x)] – 5x2y 6 [(4xz2)(-12x2z)] – (-16x3z3)
7 [14xy3 (-7xy)] + 9y2
8 [-6x3y5 (-
2xy4)] – 13x2y
9 [(-6xz3)(2x2y)] (-4x2z3) 10 [18x3y4 (-2xy3)](-6xz5)
11 (6xy3 + 8xy3) – [11xy3
– (-4xy3)] 12 (4xz)(-2x2z4) + (-3x3z)(6z4)
13 (7xz4 + 12xz4)(-6xy2
+ 8xy2) 14 (7x3y2 –
4x3y2) (2x2y + x2y)
15 (16x5z38xz) + [32x4yz2 (-11y)] 16
[(12y4z)(-12y)] + (32y6z4 8yz3)
top related