เอกนามสอน

2. พหนาม 1

1. เอกนาม น�พจน� ค�อ ข�อความท��เข�ยนได�ในร�ปส�ญล�กษณ เช"น 2/3, 4x, x

+ y

ความหมายของเอกนาม

น$พจน ท��สามารถเข�ยนให�อย�"ในร�ปการคณของคาคงตวกบตวแปรต�งแตหน�งตวข�นไป และเลขช�กาลงของตวแปรแตละตวเปนศนย�หร$อจานวนเตมบวก เรยกวา เอกนาม (Monomial)

เอกนามประกอบด�วยสองส"วน ค�อ ส"วนท��เปนค"าคงต�ว และส"วนท��อย�"ในร�ปของต�วแปรหร�อ การค�ณก�นของต�วแปร

เร�ยกค"าคงต�วว"า สมประส�ทธ��ของเอกนาม และเร�ยกผลบวกของเลขช�-กาล�งของต�วแปร แต"ละต�วในเอกนามว"า ดกร

ต�วอย"างหน.�งส"วนประกอบของเอกนาม

ด�กร�

ค"าคงต�ว A

xnymzk

ต�วแปร

2

ต"อไปน�-เปนต�วอย"างของน$พจน ท��เปนเอกนามน$พจ

น ส�มประส$ทธ$0 ต

�วแปรด�กร�4

x-a36ab-50

ห ม าย เ ห ต ค"าคงต�วหร�อจำานวนจร$งใดๆ ถ�อเปนเอกนามด�กร� 0 เพราะสามารถเข�ยนในร�ปการค�ณก�น ของค"าคงต�วก�บต�วแปร โดยท��เลขช�-กาล�งเปนจำานวนเตมบวกหร�อศ�นย เช"น5 = 5x0 = 5x0y0 = 5a0b0c0

√2=√2 x0=√2 x0 y0=√2 a0 b0 c0 เปนต�นส"วน 0 เปนเอกนามท��ม�ส�มประส$ทธ$0เท"าก�บ 0 และด�กร�เท"าก�บ

เท"าใดกได� เพราะ 0 ค�ณ จำานวนใดกได� 0 เช"น 0x2 = 0xy3 =

0x2y6z3 เปนต�น

2. พหนาม 3

ต"อไปน�-เปนต�วอย"างของน$พจน ท��ไม"เปนเอกนามน$พจ

น เหตผลท��ไม"เปน

เอกนามx y

x + y( 1

) 24x-31 + 3x2ตวอยางท� 1 จงพ$จารณาว"าน$พจน ท��กำาหนดให�ต"อไปน�-เปนเอกนามหร�อไม"

ถ�าเปนจงบอกส�มประส$ทธ$0และด�กร�ของเอกนามด�งกล"าวข�อ น$พจน ไม"เปนเอก

นามเปนเอกนาม

ส�มประส$ท

ด�กร�(

1)√5

(2)

x2 + y2

(3)

a-

1(4)

5x4 – 4x4(

5)0

(6)

abc(

7)-4(

8)2x + 2y(

9)8-6xyz2

(10

13

(11

x2y(

12-4-1ab2

(13

√3 pq

pq(14

√3+√3

(15

-c(1

6) x2 yz−1

(17)

5 x−2 y−3

x−5 y2

a

4

เอกนามคล�าย

ก"อนท��เข�าส�"เร��องการบวกและการลบเอกนาม น�กเร�ยนจำาเปนต�องศ.กษาล�กษณะบางอย"าง ของเอกนามก"อน ซ.�งล�กษณะด�งกล"าวจะนามาช"วยคำานวณการบวกและการลบเอกนามได� ล�กษณะ ด�งกล"าวน�-นค�อ เอกนามคลาย

เอกนามสองเอกนามจะคล�ายก�นกต"อเม��อ1. เอกนามท�-งสองม�ต�วแปรชดเด�ยวก�น

และ 2. เลขช�-กาล�งของต�วแปรต�วเด�ยวก�นในแต"ละเอกนามเทาก�นต�วอย"างเช"น ax คล�ายก�บ -2ax

5x2y คล�ายก�บ -2x2yabc2 คล�ายก�บ 4abc2

2x2

y

ไม"คล�ายก�บ ไม"

คล�ายก�บ

2xy2 เ

ตวอยางท� 2 จงพ$จารณาว"าเอกนามท��กำาหนดให�คล�ายก�นหร�อไม" ถ�าคล�ายให�เข�ยนเคร��องหมาย

หน�าข�อ ถ�าไม"คล�ายให�เข�ยนเคร��องหมาย หน�าข�อ1) 4a2 ก�บ 1 2

42) 3x2y3 ก�บ x3y2

3) 4xy2 ก�บ 4x2y

4) 5 ก�บ −12

xy

5) 8x ก�บ -46) xyz ก�บ -abc

7) 3x2y ก�บ8) -6 ก�บ 8x0

9) 14x ก�บ x

xy

10) abc ก�บ a0b0c0

4.1 5x3 4.2 -2y4 4.3 0.6z 4.4 x3y

4.5 -6yz4 4.6 3 x4z25 4.7 –x2y3z5 4.8

2.2 (1/7 -4yz2 0

2.3 -6xz3 0.4x5y z3

x

2. พหนาม 5

แบบฝ,กทกษะ

1. จงบอกสมประส�ทธ�. ตวแปร และดกรของเอกนามตอไปน �-1.13x5

1.2

1 2 1.3 0.6y4

2

1.4 -7x3 1.5 x6 1.6 4.2x1.75x3y4 1.8 -2x3y3z2 1.9 1.7xy1.10 13 1.11 z 1.12 0

2. จากเอกนามท�ก/าหนดใหตอไปน� จงบอกวาเอกนามใดมดกรสงสด และเอกนามใดมดกร ต/�าสด

2 2 5 3 22.1 6xy3 x

yz

8xy

-4x y

4 3 22.4 5xy7 -8yz3

xz 1.3y z 5 3 6 22.5

xz4yz

9xyz

-x y

3. จงเล$อกเอกนามท�คลายกบเอกนามท�ก/าหนดใหตอไปน �-เอกนามท��กำาหนดให�

ต�วเล�อก3.1 6x3

3.2 4x2z5

3.3 -xy3.4 16x3y2z3.5 0.6xy4

4z 9x2 3x3

6z3

8y2z5 x2z5 2xz4x2z

3x2y -yz 1 xy 16xz24. จงยกตวอยางเอกนามท�คลายกบเอกนามท�ก/าหนดใหมา 3 เอกนาม

6

การบวกเอกนาม

เอกนามต�-งแต"สองเอกนามจะสามารถหาผลบวกได�เม��อเอกนามด�งกล"าวต�องเปน เ อ ก น า ม

ค ล า ย ด�งท��เราได�ศ.กษาไปแล�วในห�วข�อท��ผ"านมา ซ.�งการหาผลบวกของเอกนามสามารถทำาได�โดย ใช�สมบ�ต$การแจกแจง หร�อการกระจายในการหาคำาตอบ ซ.�งสามารถทำาได�ด�งน�- ผลบวกของเอกนานาม = (ผลบวกของสมประส�ทธ�.) (สวนท�อยในรปของตวแปรหร$อการ

คณของตวแปร)

หร�อจะกล"าวว"า การบวกเอกนามทำาได�เม��อเอกนามท��จะนำามาบวกก�นเปนเอกนามคล�าย ให� นาส�มประส$ทธ$0มาบวกก�น โดยม�ส"วนของต�วแปรคงเด$ม

สาหร�บเอกนามท��ไม"คล�ายก�น ไม"สามารถนามาบวกก�นได� ให�เข�ยนในร�ปการบวกของเอก นาม เช"น ผลบวกของ 3x2y และ -4xy2 ท�-งสองเอกนามไม"ใช"เอกนามคล�าย เม��อหาผลบวกจะได� จะ เข�ยนในร�ปการบวกก�นของเอกนาม ค�อ 3x2y + (-4xy2) ซ."งจะเร�ยกว"าพหนาม และน�กเร�ยนจะได� ศ.กษาในห�วข�อต"อๆ ไป

ตวอยางท� 1 จงหาผลบวกของเอกนามต"อไปน�-(1) 4x2

+ 2x2==

(4 + 2)x2

= 6x2

(3) -4x + (-2x)(4) 3a2b + (-6a2b)(5) -17m2 + (-2m2)(6) st2 + (-5st2)

=====

(8)st + 4st + (-7s)

=

การลบเอกนาม

สำาหร�บการหาผลลบของเอกนามสามารถทำาได�โดยใช�สมบ�ต$การ

2. พหนาม 7

แจกแจง หร�อการกระจาย ในการหาคำาตอบ เช"นเด�ยวก�บการหาผลบวกของเอกนาม ซ.�งสามารถทำาได�ด�งน�-

8

ผลบวกของเอกนานาม = (ผลลบของสมประส�ทธ�.) (สวนท�อยในรปของตวแปรหร$อ การคณของตวแปร)

ตวอยางท2

จงหาผลลบของเอกนามต"อไปน�- = (4 – = 2x2

(2) -5x2y2z – =(3) -4x – (-2x)(4) 3a2b – (-6a2b)(5) 3x2y2 – (-2xy)(6) -17m2 – (-2m2)

=====

(8)st – 4st – (-7s) =

แบบฝ,กหด เร$�องการบวกและการลบเอก1. จงหาผลบวกของเอกนามตอไปน �-

1.14x + 9x1.27z + 5z1.39xy2 + 3xy2

1.48xz + 3xz

1.5 6xyz + (-5xyz)1.6 -4xz3 + xz3

1.7 -2yz2 + (-6yz2)1.8 5x2y2 + 4x2y2 + 3x2y2

1.9 8xz5 + 6xz5 + (-xz5)1.10 -4y2z3 + (-y2z3) + (-2y2z3)

2. จงหาผลลบของเอกนามตอไปน�2.110y – 4y2.28xz – 3xz2.37x2y – 8x2y2.4x3z – (-

6x3z)3. จงหา

ผลลพธ�ตอไปน�

2.5 -4x3 – 2x3

2.6 -6xy2 – (-8xy2)2.7 -5xyz – (-10xyz)2.8 12x2z – 6x2z – 3x2z

2. พหนาม 9

2.9 8y3z – 5y3z – (-2y3z) 2.10 -4x – (-2x) – (-8x)

3.18x – 6x + 5x3.24xy3 - 6xy3

+ (-4xy3)3.312xz + 7xz – (-xz)3.4 -8y2z3 + y2z3 – 3y2z3

3.5 -8yz2 + 6yz2

+ (-4yz2)

3.6 -9x3y4 + 5x3y4 – (-x3y4)3.7 (9xz + 9xz) – (12xz + 7xz)3.8 (6xy5 – 2 xy5) + (4xy5

– 9xy5)3.9 [3xz – (-4xz)] + (6xz + 9xz)3.10 (7y3z - 2y3z) + [-6y3z + (-4y3z)]

2. พหนามน$พจน ท��อย�"ในร�ปเอกนาม หร�อเข�ยนอย�"ในร�ปการบวกของเอก

นาม ต�-งแต"สองเอกนามข.-นไป เร�ยกว"า พหนาม

*****ส$�งท��ต�องร� � ค�อ เอกนามกเป6นพหนามด�วย

1. แต"ละเอกนามในพหนามเร�ยกว"า พจน� เช"น abc เป6นพหนามท��ม� 1 พจน

2a – 4 เป6นพหนามท��ม� 2 พจน

2. พหนามในรปผลส/าเรจหมายถ.ง พหนามท��ไม"ม�พจน ท��คล�ายก�นเลย เช"น a2+2a+4 , 3m 2n

7

3. ดกรของพหนาม ค�อ ด�กร�ของพจน ท��ม�ด�กร�ส�งสดในพหนามท��ทำาให�เป6นพหนามในร�ปผลสำาเรจแล�ว เช"น

3m4 + 2m2+m 5 เป6นพหนามในร�ปผลสำาเรจ ด�กร�ของพหนามเท"าก�บ 4

5b+ 2ab2 + a3b2 เป6นพหนามในร�ปผลสำาเรจ ด�กร�ของพหนามเท"าก�บ 5

แบบฝ,กทกษะ

ค/าช�แจง ใหนกเรยนอานขอความตอไปน� แลวเขยนค/าวา ( ถก ) หนาขอถกและเขยนค/าวา (ผ�ด) หนาขอผ�ด.............. 1. 2x4 – 4x + 3x + 1 เป6นพหนามในร�ปผลสำาเรจ

.............. 2. 9x2 – 5x + 3x2 – 2 เป6นพหนามท��ไม"ม�พจน คล�ายก�น

.............. 3. 6a2 – 7a + 2 เป6นพหนามท��ม�ด�กร�เท"าก�บ 2

.............. 4. -5x2yz + 7x2y2z – 4xyz ม�ด�กร�ของพหนามเท"าก�บ 5

.............. 5. 8ab – 3a3 + 9ab – 5a3 เท"าก�บ 17ab – 8a3

.............. 6. 2m2 – 4m + 3m5 – 4m6 เป6นพหนามเร�ยงพจน จากพจน ท��ม�ด�กร�น�อยไปหา

พจน ท��ม�ด�กร�มาก

.............. 7. 1 + 2y – 3y2 – y + 3 เป6นพหนามท��ม�ด�กร�พหนามเท"าก�บ 2

.............. 8. 3 เป6นด�กร�ของพจน 3x2y

.............. 9. x3 – 3x2 – 2x + 1 – 4 + x2 – x3 ม�ด�กร�พหนามเท"าก�บ 3

.............. 10. 3m + 7m2 + 4 – 5m3 + 8 = -5m3 – 7m2+12

ค/าช�แจง จงเขยนพหนามในแตละขอตอไปน�ใหเป4นพหนามในรปผลส/าเรจและบอกดกรของพหนามดวย

ก) -3y+14-7y = (-3y+7y)+14 ข) 4a+a-6 = (4a+a)-6

1) 7a2 + 5a5 – 6a3 + 7 – a5 2) 7y4 – 4y + 7y3 – 5y2 + 4y................................................

................................................................................................

...............................................................................................

................................................

3) 7c +4c3 + 4 – 3c2 – 5c – 4c2 4) 4p3 – 3p + 7p3q – 2p3 + 4 - 8................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

................................................

5) 9s2t – 5st2 + 7s2t – 3st2 + 6 6) (-10b3c2)+10b3c2+7bc2-9bc2+c4+(-5)................................................

................................................

................................................ ................................................

............................................... ................................................

7) 5m3+3m2 m4+m3+3m2 14m2 8) k2 2k2+k52k 1+3k 4...............................................

...............................................................................................

...............................................................................................

................................................

การบวก ลบ พหนามการบวก หร�อ ลบ พหนาม ทำาได�โดยนำาพหนามมาเข�ยนในร�ปการบวก หร�อ การลบ โดยถ�า

ม�พจน ท��คล�ายก�น ให�บวกหร�อลบพจน ท��คล�ายก�นเข�าด�วยก�น หล�กการบวก ลบ พหนามม� 2 ว$ธ� ค�อ กระท/าตามแนวนอน และ กระท/าตามแนวต�งตวอยาง จงหาผลบวกของพหนามต"อไปน�- ท�-งแนวนอนและแนวต�-ง

5a4 + 7a3 – 5a + 6 ก�บ (-7a4) + (-5a2) - 4a – 3

แบบฝ,กทกษะ จงหาผลบวกหร�อผลต"างของพหนามต"อไปน�-1. (7a 8b + 9c) + (2a 3b + 5c) 2. (10y2 5y 4) + (5y2 + 5y 8)

3. (7z2 + 4z) + (3 3z2 5z3 + 6z) 4. (7cdf 5cd10cf) + (3cd 4cf + 6cdf)

5. (7m + 6n s) + (8m 7n + 9s) 6. (5r2 + 6rs 8s2) + (6r2 5rs + 9s2)

7. (6a2 + 9a 5) + (8 + 8a 7a2) 8. (9a25b2 3ab) + (8b2 + 7ab)

9. (4y2 + 6z + 9) + (7y + 3) + (5y29z + 1) 10. (5 9d + 6c2) + (8c2 + 9) + (13d 18)

11. ( 5y2 11y + 3 ) + ( 3y2 + y + 14 ) 12. ( 15z + 2 ) + (z2 3z 8)

13. ( 4a + 6b + 5c ) + ( a +3b 4c ) 14. ( a2 3a 1 ) + ( 3a2 + 2a + 9 )

15. ( 3a2 2a + 1) + ( a2 + 3 ) 16. ( 8x2 4x + 5 ) + ( 2x 4 )

17. ( 2a 6b + 4c ) + ( 3a 3b ) 18. ( x2 2x + 3 ) + ( x3 + 3x 8 )

19. ( 5x2 7x + 3 ) + ( 7x2 6x + 5 ) 20. (5a2 4b + 6 ) + ( 6b 7)

21. (a3 − 2a2 ) − (3a2 − 4a3 ) 22. (5 p2

− 3) + (2 p2

− 3 p3 )

23) (4 + 2n3 ) + (5n

3 + 2) 24) (4n − 3n

3 ) − (3n3

+ 4n)

25) (3a2

+ 1) − (4 + 2a2 ) 26) (4r

3 + 3r

4 ) − (r4

− 5r3 )

27) (5a + 4) − (5a + 3) 28) (3x4

− 3x) − (3x − 3x4 )

29) (−4k4

+ 14 + 3k2 ) + (−3k

4 − 14k

2 − 8) 30) (3 − 6n

5 − 8n

4 ) − (−6n4

− 3n − 8n5 )

31) (12a5

− 6a − 10a3 ) − (10a − 2a

5 − 14a

4 ) 32) (8n − 3n4

+ 10n2 ) − (3n

2 + 11n

4 − 7)

33) (−x4

+ 13x5

+ 6x3 ) + (6x

3 + 5x

5 + 7x

4 ) 34) (9r3

+ 5r2

+ 11r) + (−2r3

+ 9r − 8r2 )

35) (13n2

+ 11n − 2n4 ) + (−13n

2 − 3n − 6n

4 ) 36) (−7x5

+ 14 − 2x) + (10x4

+ 7x + 5x5 )

37) (3v5 + 8v3 − 10v2 ) − (−12v5 + 4v3 + 14v2 )

38) (8b3 − 6 + 3b4 ) − (b4 − 7b3 − 3)

39) (k4 − 3 − 3k3 ) + (−5k4 + 6k3 − 8k5 )

40) (−10k2 + 7k + 6k4 ) + (−14 − 4k4 − 14k)

41) (−7n2 + 8n − 4) − (−11n + 2 − 14n2 )

42) (14 p4 + 11 p2 − 9 p5 ) − (−14 + 5 p5 − 11 p2 )

43) (8k + k2 − 6) − (−10k + 7 − 2k2 )

44) (−9v2 − 8u) + (−2uv − 2u2 + v2 ) + (−v2 + 4uv)

45) (4x2 + 7x3 y2 ) − (−6x2 − 7x3 y2 − 4x) − (10x + 9x2 )

46) (−5u3 v4 + 9u) + (−5u3 v4 − 8u + 8u2 v2 ) + (−8u4 v2 + 8u3 v4 )

47) (−9xy3 − 9x4 y3 ) + (3xy3 + 7 y4 − 8x4 y4 ) + (3x4 y3 + 2xy3 )

48) ( y3 − 7x4 y4 ) + (−10x4 y3 + 6 y3 + 4x4 y4 ) − (x4 y3 + 6x4 y4 )

49) (7 − 13x3 − 11x) − (2x3 + 8 − 4x5 ) 50) (13a2 − 6a5 − 2a) − (−10a2 − 11a5 + 9a)

การคณพหนาม

การค�ณพหนามสามารถใช�สมบ�ต$การสล�บท�� (commutative property) สมบ�ต$การ

แจกแจง (distribution property)ได�เช"นเด�ยวก�บการค�ณจำานวนก�บจำานวน

…….การพหนามดวยเอกนาม ทำาได�โดยค�ณเอกนามก�บทก ๆ พจน ของพหนาม แล�วนำาผล

ค�ณเหล"าน�-นมาบวกก�น เช"น

…….(2x2) · (3x2 − 4x + 5)  =  

…….การคณพหนามดวยพหนาม ทำาได�โดยค�ณแต"ละพจน ของพหนามหน.�งก�บทก ๆ พจน

ของอ�กพหนามหน.�ง แล�วนำาผลค�ณเหล"าน�-นมาบวกก�น เช"น

…….(2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x)   =

…….เพ��อความสะดวกในการหาผลค�ณสำาหร�บพหนามใด ๆ ท��ม�จำานวนพจน ต� -งแต" 3 พจน ข.-น

ไป จะใช�ว$ธ�การต�-งค�ณ ซ.�งเวลาต�-งค�ณต�วต�-งลงไปให�คำาน.งถ.งการเร�ยงลำาด�บด�กร�และต�วแปร

ผลของการค�ณน�-นควรจะเร�ยงลำาด�บด�กร�ด�วย เช"น

P(x) · Q(x) = (3x4 + 5x3 − 2x + 3) · (2x2 − x + 3) 

แบบฝ9กท�กษะการค�ณ

1) 6v(2v + 3) 2) 7(−5v − 8)

3) 2x(−2x − 3) 4) −4(v + 1)

5) (2n + 2)(6n + 1) 6) (4n + 1)(2n + 6)

7) (x − 3)(6x − 2) 8) (8 p − 2)(6 p + 2)

9) (6 p + 8)(5 p − 8) 10) (3m − 1)(8m + 7)

11) (2a − 1)(8a − 5) 12) (5n + 6)(5n − 5)

13) (4 p − 1)2 14) (7x − 6)(5x + 6)

15) (6n + 3)(6n − 4) 16) (8n + 1)(6n − 3)

17) (6k + 5)(5k + 5) 18) (3x − 4)(4x + 3)

19) (4a + 2)(6a2 − a + 2) 20) (7k − 3)(k2 − 2k +

7)

21) (7r2 − 6r − 6)(2r − 4) 22) (n2 + 6n − 4)(2n − 4)

23) (6n2 − 6n − 5)(7n2 + 6n − 5) 24) (m2 -7m- 6)(7m2 - 3m- 7)

การหารพหนามดวยเอกนามต�วอย"าง จงหาผลหารต"อไปน�-

1) 8 x7

4 x5 2) −78 a3 b2 c+4 a2b3 c2−16 abc2 abc

แบบฝ,กทกษะ

ตวอยางโจทย�ระคน ตวอยาง จงหาผลล�พธ ของ (6x + 3x)(-4xy3)

ตวอยาง จงหาผลล�พธ ของ (18x3z4

6xz2) – 12x2z2

ตวอยาง จงหาผลล�พธ ของ [(7x3y)(3xy2)] – (15x6y5 5x2y2)

ตวอยาง จงหาผลล�พธ ของ (8xz2 – 14xz2)(-11xy3

+ 4xy3)

จงหาผลลพธ�ตอไปน� 1 (3x + 7x)(6xy) 2 (12z – 4z)(-2z2)

3 (-6xz2 – 4xz2) 5z 4 (-3x2y3

+ 14x2y3) 11xy2

5 [(3xy)(6x)] – 5x2y 6 [(4xz2)(-12x2z)] – (-16x3z3)

7 [14xy3 (-7xy)] + 9y2

8 [-6x3y5 (-

2xy4)] – 13x2y

9 [(-6xz3)(2x2y)] (-4x2z3) 10 [18x3y4 (-2xy3)](-6xz5)

11 (6xy3 + 8xy3) – [11xy3

– (-4xy3)] 12 (4xz)(-2x2z4) + (-3x3z)(6z4)

13 (7xz4 + 12xz4)(-6xy2

+ 8xy2) 14 (7x3y2 –

4x3y2) (2x2y + x2y)

15 (16x5z38xz) + [32x4yz2 (-11y)] 16

[(12y4z)(-12y)] + (32y6z4 8yz3)