3 ลิมิตและความต่อเนื่อง (Limit and Continuity · 2010-01-13 · 321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity 2 Dr Wattana

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

1

321 102 General Mathematics

( ส าหรบนกศกษาคณะเภสชศาสตร ประจ าภาคเรยนท 1/2549 ) ผสอน: ดร.วฒนา เถาวทพย

3 ลมตและความตอเนอง(Limit and Continuity)

บทน ำ: ลมตของฟงกชน (Limit of Function) เปนหนงในความคดพนฐานทจะ

น าไปสคณตศาสตรแผนใหมดงเชน แคลคลส (Calculus) ลมตของฟงกชนจะถกน าไปก าหนดนยาม อตรำกำรเปลยนแปลงของฟงกชน (Rate of Changes) หรอ อนพนธของฟงกชน (Derivative of Function) ซงนบวาเปนเครองมอทางคณตศาสตร ทไดน าไปประยกตใชในแทบทกสาขาในปจจบน

3.1 นยามของลมต (Informal Definition of Limit)

นยำม 3.1.1

ให ( )f x เปนฟงกชนทก าหนดบนชวงรอบจด 0x โดยอาจจะไมรวมจด 0x กได ถา ( )f x เขาสคา L ในขณะท x เขาใกล 0x เพยงพอ เราจะกลาววา

( )f x มลมตเทำกบ L เมอ x เขำใกล 0x และ เขยนแทนดวย

0

lim ( )x x

f x L

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

2

Example 3.1.1 ใหหาลมตของฟงกชนตอไปน: (a)

3lim 4x

(b) 12

lim 4x

(c) 5

limx

x

(d) 1

lim5 2x

x

(e) 2

3 1lim

2 5x

x

x

Theorem 3.1.1 ถา f เปน ฟงกชนทมคำคงท (Constant function) โดยท ( )f x c แลว ส าหรบจด 0x ใดๆ

0 0

lim ( ) limx x x x

f x c c

Theorem 3.1.2 ถา f เปน ฟงกชนทเอกลกษณ (Constant function) โดยท ( )f x x แลว ส าหรบจด 0x ใดๆ

0 0

0lim ( ) limx x x x

f x x x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

3

Example 3.1.2 ฟงกชนบางฟงกชนอาจไมมลมตทบางจดในโดเมน เชน

(a) 0, 0

( )1, 0

xg x

x

(b)

0, 0

( ) 1, 0

x

f xx

x

(c)

0, 0

( ) 1sin , 0

x

h xx

x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

4

3.2 กฎในการหาลมต (Rules for Finding Limits)

ในหวขอนจะน าเสนอทฤษฏตางๆในการหาลมตของฟงกชน

Theorem 3.2.1 ( Properties of Limits ) กฎตอไปนเปนจรงเมอ

0

lim ( )x x

f x L

และ 0

lim ( )x x

g x M

เมอ L และ M เปนจ านวนจรง 1. Sum Rule:

0

lim ( ( ) ( ))x x

f x g x L M

2. Difference Rule: 0

lim ( ( ) ( ))x x

f x g x L M

3. Product Rule: 0

lim ( ( ) ( ))x x

f x g x L M

4. Constant Multiple Rule: 0

lim ( )x x

cf x cL

(any constant c)

5. Quotient Rule: 0

( )lim , 0

( )x x

f x LM

g x M

6. Power Rule: 0

lim [ ( )]m m

n n

x xf x L

Example 3.2.1 จงหา 3 2

22

4 3lim

5x

x x

x

Example 3.2.2 จงหา 2

2lim 4 3x

x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

5

Theorem 3.2.2 (Limit of Polynomials) ถา 1

1 1 0( ) ...n n

n nP x a x a x a x a

แลว

1

1 1 0lim ( ) ( ) ...n n

n nx c

P x P c a c a c a c a

Theorem 3.2.3 (Limits of Rational Functions) ถา ( )P x และ ( )Q x เปนพหนาม โดยท ( ) 0Q c แลว

( ) ( )

lim( ) ( )x c

P x P c

Q x Q c

Example 3.2.3 จงหา 3 2

21

4 3lim

5x

x x

x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

6

Example 3.2.4 จงหา 2

21

2limx

x x

x x

Example 3.2.5 จงหา 0

2 2limh

h

h

Example 3.2.6 ให 2( ) 3f x x จงหา 0

( ) ( )limh

f x h f x

h

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

7

■ ทฤษฎบทกำรประกบ (The Sandwich Theorem)

ถาฟงกชนหนงถกประกบดวยฟงกชนสองฟงกชนทตางกมลมตเทากบ L แลวฟงกชนนนจะมลมตเทากบ L ดวย ดงทฤษฏบทตอไปน

Theorem 3.2.4 (Sandwich Theorem) ถา ( ) ( ) ( )g x f x h x ส าหรบทก x ในชวงรอบจด c อาจยกเวนจด x c และ lim ( ) lim ( )

x c x cg x h x L

แลว lim ( )x c

f x L

Example 3.2.7 ใหหา 0

limsinx

x

x และ

0

sinlimx

x

xโดยใช Sandwich

Theorem

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

8

Example 3.2.8 ใหหาลมตของฟงกชนตอไปนโดยใช Example 3.2.7

(a) 0

sin3limx

x

x

(b) 0

tanlimx

x

x

(c) 0

sin5lim

sin3x

x

x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

9

■ ลมตทำงเดยว และ ลมตสองทำง (One-sided and Two-sided Limits)

พจารณาลกษณะของฟงกชนเมอ x เขาใกล 0

1, 0

( )3, 0

xf x

x

จากรป เราจะเหนวา (a) เมอ x เขาใกล 0 ทางขวา แลว ( )f x เขาส 3

(b) เมอ x เขาใกล 0 ทางซาย แลว ( )f x เขาส 1

(c) 0

lim ( )x

f x

ไมม (Does not exist)

นยำม 3.2.1 ให ( )f x เปนฟงกชนทนยามบนชวงรอบจด c อาจยกเวนจด c ถา ( )f x เขาส L เมอ x เขาใกล c ทางขวา เราจะเขยนวา

lim ( )x c

f x L

ถา ( )f x เขาส L เมอ x เขาใกล c ทางซาย เราจะเขยนวา

lim ( )x c

f x M

Theorem 3.2.4 ให ( )f x เปนฟงกชนทนยามบนชวงรอบจด c อาจยกเวนจด c

lim ( )x c

f x L

กตอเมอ lim ( )x c

f x L

และ lim ( )x c

f x L

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

10

Example 3.2.9 อธบายการลเขาแตละจดของฟงกชนทก าหนดในกราฟ

ทจด 0x :

ทจด 1x :

ทจด 2x :

ทจด 3x :

ทจด 4x :

ทจด x a อนๆในชวง 0,4 จะเหนวา lim ( ) ( )x a

f x f a

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

11

Example 3.2.10 ใหหา0

limx

x

x

Example 3.2.11 ใหหา 2

2lim 4x

x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

12

3.3 ลมตทเกยวกบอนนต (Limit involving infinity)

พจารณาฟงกชน 1( )f x

x จากกราฟ

■ เมอ x เขาใกล 0จะเหนวา

0

1limx x

และในลกษณะเดยวกน

0

1limx x

■ แต เมอ x เขาใกล จะเหนวา

1

lim 0x x

และในลกษณะเดยวกน

1

lim 0x x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

13

Theorem 3.3.1 ถา n เปนจ านวนจรงบวก แลว

(a) 1

lim 0nx x

(b) 1

lim 0nx x

Example 3.3.1 ใหหา ลมตของฟงกชนตอไปน

(1) 3

1limx x

(2) 4

2lim ( 3)x x

(3) 1 24 3

2 1lim( 3)x

x x

(4)

2

2

3 2lim

3 8x

x x

x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

14

(5)

2

3

2lim

3 2 8x

x

x x

(6)

22 4lim

3x

x

x

(7) 12

1 12 4

13

5 3 2lim

3 2 8x

x x

x x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

15

หมำยเหต:

ถา 1

1 1 0( ) ... , 0n n

n n nP x a x a x a x a a

และ 1

1 1 0( ) ... , 0m m

m m mQ x b x b x b x b b

แลว จะไดวา

; if( )

lim( )

0 ; if

n

mx

an mP x

bQ x

n m

Theorem 3.3.2 ถา n เปนจ านวนเตมบวก และ a เปนจ านวนจรง โดย หลก การเลอนแกนทางขนาน จาก Theorem 3.3.1 จะไดวา

(a) 1

lim( )n

x a x a

(b) ; is even1

lim; is odd( )n

x a

n

nx a

Example 3.3.2 ใหหาลมตของฟงกชนตอไปน

(1) 32

1lim 5

( 2)x x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

16

(2) 51

1lim

( 1)x x

(3) 23

4lim

( 3 )x x x

Theorem 3.3.2 ถา n เปนจ านวนเตมบวก แลว (a) lim n

xx

(b) ; is even

lim; is odd

n

x

nx

n

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

17

■ สมบตบางประการเกยวกบ คำอนนต (infinity)

(1) ถา L เปนจ านวนจรง แลว L L

L L

( ) ,

แต เปน รปแบทยงไมก ำหนดคำ (indeterminate form)

(2) ถา L เปนจ านวนจรงบวก แลว L L

( ) ( )L L

และ ถา L เปนจ านวนจรงลบ แลว L L

( ) ( )L L

แต 0 และ 0 ( ) เปน รปแบทยงไมก ำหนดคำ (3) ถา L เปนจ านวนจรง แลว 0

L

และ 0

L

(4) ถา L เปนจ านวนจรงบวก แลว

L

และ

L

และ ถา L เปนจ านวนจรงลบ แลว

L

and

L

(5) ถา n เปนจ านวนเตมบวก แลว ( )n

; if is even

( ); if is odd

nn

n

(6) ถา n เปนจ านวนเตมบวก แลว n

และ ถา n เปนจ านวนเตมบวกค แลว n

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

18

Example 3.3.3 ใหหาลมตของฟงกชนตอไปน

(1) 3lim 2

xx

(2) 3lim 6

xx

(3) 3lim4 2

xx

(4) 3lim ( )

xx x

(5) 2lim( )

xx x

(6) 3 2lim (1 )

xx x

(7)

23 1lim

2 1x

x x

x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

19

(8)

23 1lim

1 5x

x x

x

(9) 3 2lim 1

xx

(10) 5 4lim 1

xx

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

20

3.4 ความตอเนองของฟงกชน (Continuity of Functions)

พจารณากราฟของฟงกชนตอไปน

นยำม 3.4.1 ฟงกชน f ตอเนอง (Continuous) ทจด x c ในโดเมน ถา

lim ( ) ( )x c

f x f c

■ กำรตรวจสอบควำมตอเนอง (Continuity Test)

ฟงกชน f ตอเนอง (Continuous) ทจด x c กตอเมอ (1) ( )f c หาคาได (2) lim ( )

x cf x

หาคาได

(3) lim ( ) ( )x c

f x f c

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

21

Example 3.4.1 ใหอธบายความตอเนองของฟงกชน ทจดทก าหนดให

(1) ( )f x x at 0x

(2) ( )x

f xx

at 0x

(3) , 0

( )

1, 0

xx

f x x

x

at 0x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

22

(4)

2 6( )

2

x xf x

x

at 2x

(5)

2 6, 2

( ) 2

6, 2

x xx

f x x

x

at 2x

(6)

2 6, 2

( ) 2

5, 2

x xx

f x x

x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

23

■ ควำมตอเนองดำนเดยว (One side continuity)

นยำม 3.4.2 ฟงกชน f ตอเนองทางขวา ทจด x a ถา lim ( ) ( )

x af x f a

ฟงกชน f ตอเนองทางซาย ทจด x b ถา lim ( ) ( )

x bf x f b

Example 3.4.2 ใหอธบายความตอเนองของฟงกชน ขนบนได

1, 0

( )0, 0

xf x

x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

24

Example 3.4.3 ใหอธบายความตอเนองของฟงกชน ( )y f x ทจด 0,1,2,3,and 4x

ทจด 0x :

ทจด 1x :

ทจด 2x :

ทจด 3x :

ทจด 4x :

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

25

Theorem 3.4.1 ทกฟงกชนพหนาม เปนฟงกชนตอเนองทกจดใน R และทกฟงกชนทเปนผลหารของพหนาม เปนฟงกชนตอเนองทกจดยกเวนจดทตวหารเปนศนย

Example 3.4.4 Show that f is continuous every point if

2( ) 5 4f x x x

Example 3.4.5 Find the points where f is not continuous if

2

2

4( )

2

xf x

x x

321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity

Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006

26

■ ควำมตอเนองบนชวง (Continuity on Intervals)

นยำม 3.4.2 ฟงกชน f จะกลาววาเปนฟงกชนตอเนอง (continuous

function) ถา ฟงกชน f ตอเนองทจดทกจดในโดเมน

Example 3.4.6 Show that f is continuous if

2

2 1, 1( )

3 1, 1

x xf x

x x x

Chapter 4 Derivative of functions

Chapter 5 Applications of derivative and

differentials

Chapter 6 Integration

Chapter 7 Applications of integration

Chapter 8 Differential equations