Page 1
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
1
321 102 General Mathematics
( ส าหรบนกศกษาคณะเภสชศาสตร ประจ าภาคเรยนท 1/2549 ) ผสอน: ดร.วฒนา เถาวทพย
3 ลมตและความตอเนอง(Limit and Continuity)
บทน ำ: ลมตของฟงกชน (Limit of Function) เปนหนงในความคดพนฐานทจะ
น าไปสคณตศาสตรแผนใหมดงเชน แคลคลส (Calculus) ลมตของฟงกชนจะถกน าไปก าหนดนยาม อตรำกำรเปลยนแปลงของฟงกชน (Rate of Changes) หรอ อนพนธของฟงกชน (Derivative of Function) ซงนบวาเปนเครองมอทางคณตศาสตร ทไดน าไปประยกตใชในแทบทกสาขาในปจจบน
3.1 นยามของลมต (Informal Definition of Limit)
นยำม 3.1.1
ให ( )f x เปนฟงกชนทก าหนดบนชวงรอบจด 0x โดยอาจจะไมรวมจด 0x กได ถา ( )f x เขาสคา L ในขณะท x เขาใกล 0x เพยงพอ เราจะกลาววา
( )f x มลมตเทำกบ L เมอ x เขำใกล 0x และ เขยนแทนดวย
0
lim ( )x x
f x L
Page 2
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
2
Example 3.1.1 ใหหาลมตของฟงกชนตอไปน: (a)
3lim 4x
(b) 12
lim 4x
(c) 5
limx
x
(d) 1
lim5 2x
x
(e) 2
3 1lim
2 5x
x
x
Theorem 3.1.1 ถา f เปน ฟงกชนทมคำคงท (Constant function) โดยท ( )f x c แลว ส าหรบจด 0x ใดๆ
0 0
lim ( ) limx x x x
f x c c
Theorem 3.1.2 ถา f เปน ฟงกชนทเอกลกษณ (Constant function) โดยท ( )f x x แลว ส าหรบจด 0x ใดๆ
0 0
0lim ( ) limx x x x
f x x x
Page 3
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
3
Example 3.1.2 ฟงกชนบางฟงกชนอาจไมมลมตทบางจดในโดเมน เชน
(a) 0, 0
( )1, 0
xg x
x
(b)
0, 0
( ) 1, 0
x
f xx
x
(c)
0, 0
( ) 1sin , 0
x
h xx
x
Page 4
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
4
3.2 กฎในการหาลมต (Rules for Finding Limits)
ในหวขอนจะน าเสนอทฤษฏตางๆในการหาลมตของฟงกชน
Theorem 3.2.1 ( Properties of Limits ) กฎตอไปนเปนจรงเมอ
0
lim ( )x x
f x L
และ 0
lim ( )x x
g x M
เมอ L และ M เปนจ านวนจรง 1. Sum Rule:
0
lim ( ( ) ( ))x x
f x g x L M
2. Difference Rule: 0
lim ( ( ) ( ))x x
f x g x L M
3. Product Rule: 0
lim ( ( ) ( ))x x
f x g x L M
4. Constant Multiple Rule: 0
lim ( )x x
cf x cL
(any constant c)
5. Quotient Rule: 0
( )lim , 0
( )x x
f x LM
g x M
6. Power Rule: 0
lim [ ( )]m m
n n
x xf x L
Example 3.2.1 จงหา 3 2
22
4 3lim
5x
x x
x
Example 3.2.2 จงหา 2
2lim 4 3x
x
Page 5
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
5
Theorem 3.2.2 (Limit of Polynomials) ถา 1
1 1 0( ) ...n n
n nP x a x a x a x a
แลว
1
1 1 0lim ( ) ( ) ...n n
n nx c
P x P c a c a c a c a
Theorem 3.2.3 (Limits of Rational Functions) ถา ( )P x และ ( )Q x เปนพหนาม โดยท ( ) 0Q c แลว
( ) ( )
lim( ) ( )x c
P x P c
Q x Q c
Example 3.2.3 จงหา 3 2
21
4 3lim
5x
x x
x
Page 6
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
6
Example 3.2.4 จงหา 2
21
2limx
x x
x x
Example 3.2.5 จงหา 0
2 2limh
h
h
Example 3.2.6 ให 2( ) 3f x x จงหา 0
( ) ( )limh
f x h f x
h
Page 7
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
7
■ ทฤษฎบทกำรประกบ (The Sandwich Theorem)
ถาฟงกชนหนงถกประกบดวยฟงกชนสองฟงกชนทตางกมลมตเทากบ L แลวฟงกชนนนจะมลมตเทากบ L ดวย ดงทฤษฏบทตอไปน
Theorem 3.2.4 (Sandwich Theorem) ถา ( ) ( ) ( )g x f x h x ส าหรบทก x ในชวงรอบจด c อาจยกเวนจด x c และ lim ( ) lim ( )
x c x cg x h x L
แลว lim ( )x c
f x L
Example 3.2.7 ใหหา 0
limsinx
x
x และ
0
sinlimx
x
xโดยใช Sandwich
Theorem
Page 8
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
8
Example 3.2.8 ใหหาลมตของฟงกชนตอไปนโดยใช Example 3.2.7
(a) 0
sin3limx
x
x
(b) 0
tanlimx
x
x
(c) 0
sin5lim
sin3x
x
x
Page 9
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
9
■ ลมตทำงเดยว และ ลมตสองทำง (One-sided and Two-sided Limits)
พจารณาลกษณะของฟงกชนเมอ x เขาใกล 0
1, 0
( )3, 0
xf x
x
จากรป เราจะเหนวา (a) เมอ x เขาใกล 0 ทางขวา แลว ( )f x เขาส 3
(b) เมอ x เขาใกล 0 ทางซาย แลว ( )f x เขาส 1
(c) 0
lim ( )x
f x
ไมม (Does not exist)
นยำม 3.2.1 ให ( )f x เปนฟงกชนทนยามบนชวงรอบจด c อาจยกเวนจด c ถา ( )f x เขาส L เมอ x เขาใกล c ทางขวา เราจะเขยนวา
lim ( )x c
f x L
ถา ( )f x เขาส L เมอ x เขาใกล c ทางซาย เราจะเขยนวา
lim ( )x c
f x M
Theorem 3.2.4 ให ( )f x เปนฟงกชนทนยามบนชวงรอบจด c อาจยกเวนจด c
lim ( )x c
f x L
กตอเมอ lim ( )x c
f x L
และ lim ( )x c
f x L
Page 10
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
10
Example 3.2.9 อธบายการลเขาแตละจดของฟงกชนทก าหนดในกราฟ
ทจด 0x :
ทจด 1x :
ทจด 2x :
ทจด 3x :
ทจด 4x :
ทจด x a อนๆในชวง 0,4 จะเหนวา lim ( ) ( )x a
f x f a
Page 11
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
11
Example 3.2.10 ใหหา0
limx
x
x
Example 3.2.11 ใหหา 2
2lim 4x
x
Page 12
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
12
3.3 ลมตทเกยวกบอนนต (Limit involving infinity)
พจารณาฟงกชน 1( )f x
x จากกราฟ
■ เมอ x เขาใกล 0จะเหนวา
0
1limx x
และในลกษณะเดยวกน
0
1limx x
■ แต เมอ x เขาใกล จะเหนวา
1
lim 0x x
และในลกษณะเดยวกน
1
lim 0x x
Page 13
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
13
Theorem 3.3.1 ถา n เปนจ านวนจรงบวก แลว
(a) 1
lim 0nx x
(b) 1
lim 0nx x
Example 3.3.1 ใหหา ลมตของฟงกชนตอไปน
(1) 3
1limx x
(2) 4
2lim ( 3)x x
(3) 1 24 3
2 1lim( 3)x
x x
(4)
2
2
3 2lim
3 8x
x x
x
Page 14
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
14
(5)
2
3
2lim
3 2 8x
x
x x
(6)
22 4lim
3x
x
x
(7) 12
1 12 4
13
5 3 2lim
3 2 8x
x x
x x
Page 15
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
15
หมำยเหต:
ถา 1
1 1 0( ) ... , 0n n
n n nP x a x a x a x a a
และ 1
1 1 0( ) ... , 0m m
m m mQ x b x b x b x b b
แลว จะไดวา
; if( )
lim( )
0 ; if
n
mx
an mP x
bQ x
n m
Theorem 3.3.2 ถา n เปนจ านวนเตมบวก และ a เปนจ านวนจรง โดย หลก การเลอนแกนทางขนาน จาก Theorem 3.3.1 จะไดวา
(a) 1
lim( )n
x a x a
(b) ; is even1
lim; is odd( )n
x a
n
nx a
Example 3.3.2 ใหหาลมตของฟงกชนตอไปน
(1) 32
1lim 5
( 2)x x
Page 16
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
16
(2) 51
1lim
( 1)x x
(3) 23
4lim
( 3 )x x x
Theorem 3.3.2 ถา n เปนจ านวนเตมบวก แลว (a) lim n
xx
(b) ; is even
lim; is odd
n
x
nx
n
Page 17
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
17
■ สมบตบางประการเกยวกบ คำอนนต (infinity)
(1) ถา L เปนจ านวนจรง แลว L L
L L
( ) ,
แต เปน รปแบทยงไมก ำหนดคำ (indeterminate form)
(2) ถา L เปนจ านวนจรงบวก แลว L L
( ) ( )L L
และ ถา L เปนจ านวนจรงลบ แลว L L
( ) ( )L L
แต 0 และ 0 ( ) เปน รปแบทยงไมก ำหนดคำ (3) ถา L เปนจ านวนจรง แลว 0
L
และ 0
L
(4) ถา L เปนจ านวนจรงบวก แลว
L
และ
L
และ ถา L เปนจ านวนจรงลบ แลว
L
and
L
(5) ถา n เปนจ านวนเตมบวก แลว ( )n
; if is even
( ); if is odd
nn
n
(6) ถา n เปนจ านวนเตมบวก แลว n
และ ถา n เปนจ านวนเตมบวกค แลว n
Page 18
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
18
Example 3.3.3 ใหหาลมตของฟงกชนตอไปน
(1) 3lim 2
xx
(2) 3lim 6
xx
(3) 3lim4 2
xx
(4) 3lim ( )
xx x
(5) 2lim( )
xx x
(6) 3 2lim (1 )
xx x
(7)
23 1lim
2 1x
x x
x
Page 19
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
19
(8)
23 1lim
1 5x
x x
x
(9) 3 2lim 1
xx
(10) 5 4lim 1
xx
Page 20
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
20
3.4 ความตอเนองของฟงกชน (Continuity of Functions)
พจารณากราฟของฟงกชนตอไปน
นยำม 3.4.1 ฟงกชน f ตอเนอง (Continuous) ทจด x c ในโดเมน ถา
lim ( ) ( )x c
f x f c
■ กำรตรวจสอบควำมตอเนอง (Continuity Test)
ฟงกชน f ตอเนอง (Continuous) ทจด x c กตอเมอ (1) ( )f c หาคาได (2) lim ( )
x cf x
หาคาได
(3) lim ( ) ( )x c
f x f c
Page 21
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
21
Example 3.4.1 ใหอธบายความตอเนองของฟงกชน ทจดทก าหนดให
(1) ( )f x x at 0x
(2) ( )x
f xx
at 0x
(3) , 0
( )
1, 0
xx
f x x
x
at 0x
Page 22
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
22
(4)
2 6( )
2
x xf x
x
at 2x
(5)
2 6, 2
( ) 2
6, 2
x xx
f x x
x
at 2x
(6)
2 6, 2
( ) 2
5, 2
x xx
f x x
x
Page 23
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
23
■ ควำมตอเนองดำนเดยว (One side continuity)
นยำม 3.4.2 ฟงกชน f ตอเนองทางขวา ทจด x a ถา lim ( ) ( )
x af x f a
ฟงกชน f ตอเนองทางซาย ทจด x b ถา lim ( ) ( )
x bf x f b
Example 3.4.2 ใหอธบายความตอเนองของฟงกชน ขนบนได
1, 0
( )0, 0
xf x
x
Page 24
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
24
Example 3.4.3 ใหอธบายความตอเนองของฟงกชน ( )y f x ทจด 0,1,2,3,and 4x
ทจด 0x :
ทจด 1x :
ทจด 2x :
ทจด 3x :
ทจด 4x :
Page 25
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
25
Theorem 3.4.1 ทกฟงกชนพหนาม เปนฟงกชนตอเนองทกจดใน R และทกฟงกชนทเปนผลหารของพหนาม เปนฟงกชนตอเนองทกจดยกเวนจดทตวหารเปนศนย
Example 3.4.4 Show that f is continuous every point if
2( ) 5 4f x x x
Example 3.4.5 Find the points where f is not continuous if
2
2
4( )
2
xf x
x x
Page 26
321 102 General Mathematics Chapter 3 Limits and Continuity
Dr Wattana Toutip Khon Kaen University 2006
26
■ ควำมตอเนองบนชวง (Continuity on Intervals)
นยำม 3.4.2 ฟงกชน f จะกลาววาเปนฟงกชนตอเนอง (continuous
function) ถา ฟงกชน f ตอเนองทจดทกจดในโดเมน
Example 3.4.6 Show that f is continuous if
2
2 1, 1( )
3 1, 1
x xf x
x x x
Chapter 4 Derivative of functions
Chapter 5 Applications of derivative and
differentials
Chapter 6 Integration
Chapter 7 Applications of integration
Chapter 8 Differential equations