2. A következtetési statisztika alapfogalmai
Post on 28-Jan-2016
42 Views
Preview:
DESCRIPTION
Transcript
2. A következtetési statisztika alapfogalmai
Tartalom
Statisztikai következtetések A véletlen minta fogalma Pontbecslés és hibája Intervallumbecslés A hipotézisvizsgálat alapfogalmai A legegyszerűbb statisztikai próbák Normalitásvizsgálat
A statisztikai következtetéskét fő típusa
Statisztikai becslés Statisztikai hipotézisvizsgálat
Statisztikai hipotézisvizsgálat
Van-e különbség a teljesítményátlag tekintetében a magyar pszichológus hallgató fiúk és lányok között?
Nullhipotézis (H0): nincs különbség
Ellenhipotézis (HA): van különbség a) A fiúk a jobbak b) A lányok a jobbak
Statisztikai becslés
Kb. mekkora egy egészséges felnőtt nő szisztolés vérnyomása?
Átlagosan hány próbálkozással tanul meg egy ivarérett patkány egy adott útvesztőt?
Hogyan következtünk?
Mintát veszünk a populációból és abból következtetünk arra, hogy milyen lehet a populáció.
Milyen legyen a minta?
Legyen olyan, mint a populáció. Képviselje jól a populációt (legyen
reprezentatív).
Mivel lehet a minta reprezentativitását biztosítani?
Ha a kiválasztás véletlenszerű Ezzel kizárjuk a szubjektivitást.
Ha a minta elég nagy Ezzel lehetővé tesszük, hogy a populáció
sokszínűsége a mintában is megjelenjen.
Hogyan lehet valódi véletlen mintát venni a populációból?
Némi véletlenszerűséget könnyű alkalmazni, de a szubjektivitást nehéz kizárni.
Az önmagában nem elég, hogy a minta nagy: USA elnökválasztás, 1936: Roosevelt versus
Landon. A Literary Digest folyóirat 2,4 millió kérdőív
feldolgozása alapján Landon nagyarányú győzelmét jósolta.
Ezzel szemben Roosevelt 62%-ot kapott és nyert. A Gallup kisebb, de jó minta alapján helyes becslést
adott.
Néhány jó tanács a megfelelő minta kiválasztásához
Minden olyan réteg arányosan képviselve legyen, amelyik a populációhoz tartozik.
Hólabda módszer (ismerős ismerősének az ismerőse).
A kényelmi és hozzáférhetőségi alapon összeállított minták (pl. egyetemisták) esetlegesek.
Az ideálistól eltérő mintaválasztást hibafaktorként számítsuk be a döntés bizonytalanságába.
Ha összeállt a minta, töprengjünk el azon, hogy az milyen populációt képvisel. (Pl. a jelen évfolyam?)
A valószínűségi döntés véletlen jellege
Az egyik urnából véletlenszerűen kiveszek egy golyót. Látjuk, hogy piros. Melyik urnából vettem ki?
A valószínűségi döntés véletlen jellege
Bárhogyan is döntök, nem lehetek teljesen biztos abban, hogy a döntésem helyes, vagyis hogy nem követek el hibát.
Ha piros golyót húzva a bal oldali urnát valószínűsítem, 2/3 az esélye, hogy igazam van, de 1/3 az esélye, hogy tévedek.
Sárga húzás esetén?
Példa: a depresszió két kezelési típusának összehasonlítása
Melyik a jobb kezelés?1. Placebo (napi 3x1, 3 hónapig)
2. Pszichoterápia (heti 3x1 óra, 3 hónapig)
Gyógyulók %-a
1. 2. 3. 4. 5.
Placebo 0 30 30 30 10
Pszicho-terápia 90 60 80 90 70
Következtetés
Melyik esetben jelenthetjük ki legalább 95%-os megbízhatósággal, hogy a pszichoterápia hatásosabb a placebónál?
1. 2. 3. 4. 5.
Placebo 0 30 30 30 10
Pszicho-terápia 90 60 80 90 70
Gyógyulók %-a
A STATISZTIKA RENDSZERE
LEÍRÓ STATISZTIKA
PONT-BECSLÉS
INTERVALLUM-BECSLÉS
BECSLÉS HIPOTÉZIS-VIZSGÁLAT
KÖVETKEZTETÉSISTATISZTIKA
STATISZTIKA
Szokásos jelölések
• Mintabeli (tapasztalati) átlag: x (ejtsd: x-vonás)• Populációbeli (elméleti) átlag: μ (ejtsd: mű)• Mintabeli (tapasztalati) szórás: s
• Populációbeli (elméleti) szórás: σ (ejtsd: szigma)
Következtetési statisztika két fő típusa
Becslés (Mekkora? Milyen nagy?) Pontbecslés (kb. 10,6 1,3) Intervallumbecslés (95%-os
megbízhatósággal 7,8 és 12,5 között)
Hipotézisvizsgálat (Igaz-e, hogy …?)
Statisztikai becslés
Mi a teljesítményátlaga az iménti memóriajátékban az összes magyar pszichológus hallgatónak?
Ha azt mondjuk, hogy kb. 4,3, akkor pontbecslést adunk.
Ha azt mondjuk, hogy 3 és 6 között van, akkor intervallumbecslést adunk.
Mit szoktak becsülni?
Populációátlag (elméleti átlag: μ, E(X)) Populációmedián (elméleti medián: Med(X)) Populációszórás (elméleti szórás: , D(X)) Elméleti variancia (2, Var(X)) Két elméleti átlag különbsége (μ1 – μ2)
Általában a populációk különféle kvantitatív jellemzőit szokták becsülni
Az elméleti átlag pontbecslése konkrét példával illusztrálva
Változó: félév végi statisztika vizsgajegy Populáció: I. éves pszichológus hallgatók Egy lehetséges véletlen minta (rendezve):
{2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5} Néhány szóba jöhető pontbecslés az elméleti
átlagra: Módusz: Mo = 5 Medián: M = 4,5 Terjedelemközép: TK = (Min + Max)/2 = 3,5 Átlag: x = 41/10 = 4,1
Pontbecslés a μ elméleti átlagra
Következtetés: mintából a populációra. Mi van olyan a mintában, aminek köze van
(lehet) a populációátlaghoz? Becslés jelölése: a kalap (^) szimbólummal. Az elméleti átlag egy pontbecslése a mintaátlag:
μ = x
A pontbecslésről
Amit becsülünk (pl. μ, stb.), az egy konkrét szám.
Amivel becsülünk (mintaátlag, TK stb.), egy véletlen minta statisztikai mutatója, véletlen változó, melynek értéke a minta kiválasztása után lesz csak ismert.
6789
1011121314
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
véletlen minták
10 véletlen minta átlaga: μ = ?
Hogyan mérhető a pontbecslés jósága (pontatlansága)?
Standard hiba (SH): körülbelül ennyit tévedünk
μ ≈ x SH Példa: ROPstat, részletesebb
statisztikák
A pontbecslés hibája
Hibavariancia = átlagos négyzetes eltérés a valódi értéktől
Standard hiba (SH) = Hibavariancia négyzetgyöke Egyfajta átlagos eltérés
Mit várunk el egy jó pontbecsléstől?
Ne torzítson szisztematikusan se pozitív, se
negatív irányban (torzítatlanság)
SH-ja legyen kisebb, mint a többi becslésé
(hatékonyság)
SH-ja az elemszám növelésével csökkenjen
és tartson 0-hoz (konzisztencia)
A mintaátlag standard hibájának meghatározása
Elméleti SH = /
Mintabeli SH = s/
Mi itt a „” és mi az „s”?
Ha X = IQ, n = 25, SH = ?
Mekkora elemszámnál lesz SH
1-nél kisebb?GYAK
Miért jó becslése a mintaátlag a populációátlagnak?
A véletlen minta átlaga a populációátlag
körül ingadozik (torzítatlanság)
A mintaátlag SH-ja az elemszám
növelésével csökken (konzisztencia)
A mintaátlag SH-ja sok esetben (pl. normális
eloszlású változók esetén) kisebb, mint más
pontbecsléseké (mediáné, TK-é stb.)
Intervallumbecslés
Definíció: Olyan intervallum (szakasz,
övezet), mely nagy megbízhatósággal
tartalmazza a becsülni kívánt értéket.
Intervallumbecslésaz elméleti átlagra
X-skála
x
• Vegyünk alkalmas övezetet a mintaátlag körül!• Milyen övezet lesz jó?• Ha nagyon szűk, könnyen kívül maradhat.• Ha nagyon tág (pl. 0-1000): semmitmondó állítás.
Szokásos kritérium
Olyan övezetet vegyünk a mintaátlag körül, amelyik nagy (90 vagy 95%-os) eséllyel tartalmazza az elméleti átlagot (azaz -t).
Ennek az övezetnek (intervallumnak) a neve: 90, illetve 95%-os konfidencia-intervallum.
Jelölés: C0,90, illetve C0,95.
A konfidencia-intervallummeghatározása
X-skála
x
2SH
C0,95 2SH
95%-os konfidencia-intervallum nagy minták esetén:
2SH
x
GYAK
Egy következmény
Minél nagyobb az elemszám, annál keskenyebb lesz rögzített (pl. 90 vagy 95%-os) megbízhatósági szinten a konfidencia-intervallum, vagyis annál jobb lesz az intervallumbecslés.
SH = / n
Egy példa
Tegyük fel, hogy a MAWI-IQ az egyetemihallgatók populációjában közel normáliseloszlású, szórása 15, de a populációátlagotnem ismerjük. • Egy véletlen 25 fős mintában az átlag 110. • Mekkora lehet a populációátlag?
C0,95 110± ·SE110 ± 2·± ·
GYAK
Statisztikai hipotézisvizsgálat
Igen-nem segítségével megválaszolható kérdések
1. Egyetemi hallgatók IQ-ja nagyobb-e az átlagosnál?
2. Van-e különbség férfiak és nők verbális intelligenciaszintje között?
3. Összefügg-e a nyugalmi vérnyomásszint és a CPI személyiségteszt Tolerancia skálájának szintje?
A hipotézisvizsgálat fő fogalmai az előző dia 2. kérdésével
szemléltetve1. Szakmai feltételezés: a nők verbális
IQ-jának átlaga nagyobb a férfiakénál.2. Szakmai hipotézis formulával:
E(IQ_nő) > E(IQ_férfi).3. Statisztikai nullhipotézis:
E(IQ_nő) = E(IQ_férfi).4. Indirekt gondolatmenet: szakmai
hipotézis igazolása a nullhipotézis elutasításával történik.
A hipotézisvizsgálat fő fogalmai az iménti dia 1. kérdésével
szemléltetve1. Szakmai feltételezés: az egyetemi
hallgatók IQ-ja nagyobb az átlagosnál.
2. Szakmai hipotézis formulával: E(IQ) > 100.
3. Statisztikai nullhipotézis: E(IQ) = 100.
4. Indirekt gondolatmenet: szakmai hipotézis igazolása a nullhipotézis elutasításával történik.
10 véletlenszerűen kiválasztott egyetemi hallgató
IQ-ja
117, 137, 152, 149, 110, 135, 108, 120, 127, 127
E(IQ) = 100 esetén mi a valószínűsége, hogy 10 véletlenszerűen kiválasztott hallgató mindegyikének 100-nál nagyobb lesz az IQ-ja?
p = 1/210 = 1/1024 ≈ 0,001
Vagyis:
Ha igaz az a nullhipotézis, hogy az egyetemi hallgatók átlagos IQ-júak, akkor igen kicsi (p < 0,001) annak a valószínűsége, hogy ilyen nagy (csupa 100-nál nagyobb) adatokat kapjunk 10 megfigyelésből.
A statisztikai hipotézisvizsgálat alapgondolata
Ha a minta, illetve a mintából kiszámított valamely mutató értéke a nullhipotézis (H0) fennállása esetén igen kis valószínűségű, akkor a nullhipotézist elutasítjuk.
A statisztikai próba p-értéke
Mi a valószínűsége, hogy a nullhipotézis (H0) fennállása esetén ilyen, vagy ennél szélsőségesebb legyen a minta, illetve a mintából kiszámított valamely mutató értéke?
A szélsőségesség kétirányú
100-nál nagyobb
IQ
100-nál kisebb
IQ
Egy-oldalú
p
Két-oldalú
pEllentmond
H0-nak?
10 0 0,001 0,002 IGEN
9 1 0,011 0,022 IGEN
8 2 0,055 0,110 NEM
7 3 0,172 0,344 NEM
Mi is itt a nullhipotézis?
A próba neve: előjelpróba
Nullhipotézis: H0: E(IQ) = 100 Az IQ elméleti átlaga 100-zal egyenlő
Ekvivalens nullhipotézis normális eloszlású változók esetén:
H0: P(IQ < 100) = P(IQ > 100) A populációban ugyanolyan gyakran fordul elő
100-nál kisebb, mint 100-nál nagyobb IQ-érték Ez az előjelpróba szokásos alakú nullhipotézise Döntés az elemszám alapján statisztika táblázat
segítségével (lásd tankönyv)
A statisztikai döntés logikája
• Miért érezzük úgy, hogy 10-0 vagy 0-10
esetén elutasítható a nullhipotézis (H0)?
• Miért érezzük 10 egymás utáni fej dobás után azt, hogy a pénzérme szabályosságát
állító H0 elutasítható?
• Ha ilyen esetben H0-t elvetjük, mi az esélye
annak, hogy hibásan döntünk? • Ha elméletileg lehetséges ilyen sorozat, akkor miért lepődünk meg, ha bekövetkezik?
Eddig mit néztünka mintában?
Azt, hogy hány 100-nál nagyobb és hány 100-nál kisebb IQ-érték van.
Van más mutató is, ami mond valamit a nullhipotézis (H0) valószínűségéről?
Egy másik lehetséges mutató: t-statisztika
(100: a feltételezett elméleti átlag)
Próbastatisztika
A t-statisztikát és a statisztikai hipotézisvizsgálatokhoz használt hasonló – mintából kiszámított – mutatókat próbastatisztikáknak nevezzük.
Ha H0: μ = 100 igaz, akkor t eloszlása n = 10 esetén
t
-2,26 2,260
Hogyan döntsünk különböző t-értékekre n = 10 esetén?
t
-2,26 2,26
t = -2,50 t = 4,60t = 0,41
0GYAK
Széli p-értékek kétirányú döntésnél
t-értékt-értékhez tartozó
széli p-érték (kétold.)Ellentmond
H0-nak?
-2,50 0,034 IGEN
-2,26 0,050 IGEN
0,41 0,691 NEM
2,26 0,050 IGEN
4,60 0,001 IGEN***
Döntés H0-ról n = 10 esetén
t
-2,26 2,26
t = -2,50 t = 4,60t = 0,41
Kritikustartomány
Kritikustartomány
Megtartásitartomány
A H0-ról szóló döntés logikája
Hova esik a t-érték?
Széli p A t-érték megítélése
Megtartási tartomány
Nem kicsi (> 0,05)
Nem mond ellent H0-nak
Kritikus tartomány
Kicsi (≤ 0,05)
Ellentmond H0-nak
Az előjelpróba és az egymintás t-próba nullhipotézise
‘A’: az X változó hipotetikus nagyságszintje Előjelpróba: H0: P(X < A) = P(X > A)
Az X változó esetében ugyanolyan gyakran fordul elő A-nál kisebb, mint A-nál nagyobb érték
Egymintás t-próba: H0: E(X) = A Az X változó elméleti átlaga A-val egyenlő
Az előjelpróba és az egymintást-próba alkalmazási feltételei
Előjelpróba: nincs, de kis minták esetén a próba kevéssé hatékony
Egymintás t-próba: X változó normalitása Mennyire fontos ez? Ha a minta nagyon kicsi (n < 20): fontos Ha a minta elég nagy (n > 50): nem igazán fontos
Az egymintás t-próba robusztus változatai
Mit tegyünk, ha erősen sérül az X változó normalitási feltétele?
Léteznek olyan próbák, amelyek a normalitás megsértésére kevésbé érzékenyek: robusztus alternatívák Lásd ROPstat, illetve tankönyv
Szokásos statisztikai szóhasználat
p < 0,05 (szignifikancia)
• H0-t 5%-os szignifikanciaszinten elutasítjuk• a próba 5%-os szinten szignifikáns
p < 0,01 (erős szignifikancia)
• H0-t 1%-os szignifikanciaszinten elutasítjuk• a próba 1%-os szinten szignifikáns
p < 0,10 (tendencia)• H0-t 5%-os szinten nem utasíthatjuk el• a próba 5%-os szinten nem szignifikáns• csak egy tendencia van arra, hogy H0 nem igaz
Normalitásvizsgálat (n = 500)
Változó Átlag St.hiba
Ferdeség
Csúcsos-ság
Szülsúly 3,21 0,0223 -0,331** 0,858***
Szülhosz 50,15 0,113 -0,352** 1,097***
Súly10 33,23 0,305 1,221*** 1,992***
Tmag10 138,7 0,288 0,198 0,278
Jelölés: *: p < 0,05 **: p < 0,01 ***: p < 0,001
GYAK
top related