1.1 Schwingungsgleichung 1.2 Statische Vorlast 1.3 Einheitenwandinger.userweb.mwn.de/LA_Elastodynamik/v2_1.pdf · Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit einem Freiheitsgrad Elastdoynamik
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Prof. Dr. Wandinger 2. Systeme mit einem FreiheitsgradElastdoynamik
2.1-1
1. Freie ungedämpfte Schwingungen
1.1 Schwingungsgleichung
1.2 Statische Vorlast
1.3 Einheiten
1.4 Federsysteme
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2.1-2
1.1 Schwingungsgleichung
● Lösung der Bewegungsgleichung:
– Für freie ungedämpfte Schwingungen lautet der Impulssatz:
– Mit folgt daraus die Schwingungsgleichung
– Sie hat die allgemeine Lösung
– Die Ableitungen berechnen sich zu
m xc x=02=c /m
x2 x=0
x t =As sin t Accos t =A cos t
x t =v t =− A sin t= A cos t/2x t =a t =−2 A cos t=2 A cos t
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2.1-3
1.1 Schwingungsgleichung
– Für die Maxima gilt:
● Schwingungskenngrößen:
– Die Kreisfrequenz ω kann direkt aus der Schwingungsglei-chung abgelesen werden.
– Daraus lassen sich Frequenz und Periode berechnen:
xmax=A , vmax= A , amax=2 A
f =
2, T=
1f=2
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2.1-4
1.1 Schwingungsgleichung
● Anfangsbedingungen:
– Die Konstanten As und A
c bzw. A und φ werden durch die
Anfangsbedingungen festgelegt:
– Für die Konstanten A und φ folgt:
x 0=x 0=Ac Ac=x 0
v0= x 0= As As=v0
A= As2Ac2= x 02 v0 2
, tan =−AsAc
=−v0
x 0
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2.1-5
1.1 Schwingungsgleichung
– Ergebnis:
x t =x 0cos t v0 sin t
= x02v0 2
cos t
mit tan =−v0
x 0
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2.1-6
1.1 Schwingungsgleichung
● Beispiel: Stab mit Einzel-masse
– Ermittlung der Federkon-stanten c:
● Auslenken der Masse um x
L
E, A
m
Fx
● Dazu nötige Kraft F:
● Federkonstante c:
– Schwingungsgleichung:
– Frequenz:
F= A=E A=EAxL
c=Fx
=EAL
f =12 EAmL
xEAm L
x=0
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1.1 Schwingungsgleichung
● Beispiel: Torsionsstab mit Einzelmasse
– Torsionsstab:● Länge L● Torsionssteifigkeit GJ● masselos
– Scheibe:● Massenträgheitsmoment
Θ
– Freiheitsgrad:● Verdrehung φ
L G, J
M, φ
Θ
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2.1-8
1.1 Schwingungsgleichung
– Ermittlung der Federkon-stanten c:
● Verdrehen der Scheibe um Winkel φ
● Bestimmung des dazu nötigen Moments M:
● Für die Federkonstante folgt:
– Schwingungsgleichung:
– Kreisfrequenz:
– Frequenz:M=
GJL
c=GJL
c =0
= c= GJL
f =
2=12 GJL
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1.1 Schwingungsgleichung
● Beispiel: Kragbalken mit Einzelmasse
– Ermittlung der Federkon-stanten c:
● Auslenken der Masse um w
● Bestimmung der dazu nötigen Kraft F:
● Für die Federkonstante c folgt:
– Frequenz:
L
E, I m
F
w
F=3EI
L3w
c=3EI
L3
f =12 3 EIm L3
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1.1 Schwingungsgleichung
● Beispiel: Rollschwinger – Eine zylindrische Walze mit Masse m und Massenträg-heitsmoment Θ bezüglich des Schwerpunktes wird durch eine im Schwerpunkt befestigte Feder der Stei-figkeit c gehalten.
– Die Walze rollt auf einer ho-rizontalen Ebene.
r
m, Θ
xφc
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1.1 Schwingungsgleichung
– Walze freigeschnitten:
– Rollbedingung:
– Drallsatz bezüglich Schwerpunkt S:
– Impulssatz:
– Bewegungsgleichung:
– Frequenz:
r
m, Θ
φc∙x
x
mg
NH
S
x=r x=r
=r H
mr2 c r2=0
f =12 c r 2
mr2
m x=−c x−H H=−c r−mr
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1.2 Statische Vorlast
xs
xx
s + x
G
G
c(xs + x)
G
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1.2 Statische Vorlast
● Statische Ruhelage:
● Impulssatz:
● Die Schwingung erfolgt um die statische Ruhela-ge.
c x s=G
m x=G−c x sx
m xc x=0
● Vorspannkraft und stati-sche Last sind im Gleich-gewicht.
● Bei linearen Systemen muss die statische Last nicht berücksichtigt wer-den, wenn die Auslenkung von der statischen Ruhe-lage aus gemessen wird.
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1.2 Statische Vorlast
● Die Frequenz kann aus der statischen Auslenkung be-rechnet werden:
– Gewichtskraft:
– Statische Ruhelage:
– Frequenz:
G=m g
c x s=m g cm
=gxs
f =12 gx s
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1.3 Einheiten
● Die Einheiten von Steifig-keit und Masse müssen konsistent sein.
– Beispiel:
[c ]=Nm, [m ]=kg
[ cm ]= Nm⋅kg
=kg⋅m
s2⋅m⋅kg=1
s2
[ f ]=[ cm ]=1s=1Hz
● In der Praxis werden in der Regel folgende Einhei-ten verwendet:
– Längeneinheit: mm
– Krafteinheit: N
– Elastizitätsmodul: N/mm2
● Damit ist die Einheit für die Masse eine abgeleitete Einheit.
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1.3 Einheiten
● Einheit für die Masse: ● Konsistente Einheiten:
– N, kg, m
– N, t, mm
● Falsch:
– N, kg, mm
1N=1kg⋅m
s2=1kg⋅103mm
s2
1N=1000kg⋅mm
s2
1 kg=10−3 N s2
mm
1N s2
mm=1000 kg=1 t
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1.3 Einheiten
● Beispiel: Kragbalken mit Einzelmasse
– Für die folgenden Zahlenwerte ist die Frequenz zu bestim-men:
● E = 2∙105N/mm2
● I = 2∙105mm4
● L = 1000mm● m = 1kg
– Umrechnung der Masse:● m = 1∙10-3t
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1.3 Einheiten
– Frequenz:
f =12 3 EIm L3
f =12 3⋅2⋅10
5N /mm2⋅2⋅105mm4
10−3Ns2/mm⋅10003mm3=12 4⋅3⋅10
10Nmm2
106Ns2mm2
=100 3
1s=55,13Hz
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1.4 Federsysteme
x
c1
c2
c
m m
● Parallelschaltung:
– Beide Federn haben die gleiche Auslenkung x.
– Die Federkräfte addieren sich:
– Damit folgt für die Steifig-keit der Ersatzfeder:
– Bei mehr als zwei Fe-dern gilt:
F=F 1F 2=c1 xc2 x=c1c2 x=c x
c=c1c2
c=∑k=1
n
ck
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1.4 Federsysteme
● Reihenschaltung:
– Beide Federn haben die gleiche Kraft F.
– Die Wege addieren sich:
– Damit folgt für die Steifig-keit der Ersatzfeder:
– Bei mehr als zwei Fe-dern gilt:
m
c1
c2
x
x
c
x=x1 x2=Fc1
Fc2
=F 1c11c2
1c=1c1
1c2
c=c1c2c1c2
1c=∑k=1
n1ck
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1.4 Federsysteme
EI
m
L/2 L/2
EI
m
L/2 L/2
cF
cF
System 1 System 2
● Beispiel:
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2.1-22
1.4 Federsysteme
– Die beiden dargestellten Systeme bestehen je-weils aus einem masse-losen Balken (Biegestei-figkeit EI), einer Feder (Federkonstante c
F ) und
einer Masse m.
– Wie groß sind die Eigen-frequenzen?
– Daten:● L = 1m● m = 5kg● EI = 4∙1010Nmm2
● cF = 500N/mm
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2.1-23
1.4 Federsysteme
– System 1:● Durchbiegung in Bal-
kenmitte und Verlänge-rung der Feder sind gleich.
● Es handelt sich um eine Parallelschaltung.
● Federsteifigkeit des Bal-kens:
cB=48 EI
L3
● Ersatzsteifigkeit:
● Frequenz:
c1=cFcB=c F48 EI
L3
f 1=12 c1m
=12 cF L
348 EI
mL3
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1.4 Federsysteme
– System 2:● Die Auslenkung der
Masse ist gleich der Summe der Durchbie-gung des Balkens und der Verlängerung der Feder.
● Es handelt sich um eine Reihenschaltung.
1c2
=1cF
L3
48 EI
=48 EIcF L
3
48 cF EI
● Ersatzsteifigkeit:
● Frequenz:
f 2=12 48 cF EI
cL348 EI m
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1.4 Federsysteme
– Zahlenwerte:● Masse:
● Balkensteifigkeit:
5 kg=5⋅10−3 t=5⋅10−3 Ns2
mm
cB=48⋅4⋅1010
109Nmm2
mm2
=1920Nmm
● Ersatzsteifigkeiten:
c1=500 N /mm1920 N /mm=2420 N /mm
c2=cF cBc FcB
=500⋅19205001920
N 2⋅mm
mm2⋅N=396,7N /mm
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1.4 Federsysteme
● Frequenzen:
f 1=12 24205⋅10−3
N⋅mmmm⋅Ns²
=110,7Hz
f 2=12 396,75⋅10−3
N⋅mmmm⋅Ns²
=44,8Hz
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1.4 Federsysteme
● Schräg eingebaute Feder:
– Bei einer schräg eingebauten Feder ist die Federachse ge-genüber der Schwingungsrichtung geneigt.
– Vorgehen:● Die Verschiebung wird in ihre Komponenten parallel und
senkrecht zur Federachse zerlegt. Da die Verschiebung als klein vorausgesetzt wird, kann diese Zerlegung am unver-formten System durchgeführt werden.
● Mit Hilfe der Federkonstanten wird die Federkraft parallel zur Federachse ermittelt.
● Daraus wird die Komponente der Federkraft in Schwingungs-richtung berechnet.
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2.1-28
1.4 Federsysteme
– Beispiel:
● Die abgebildete Masse kann sich nur in x-Rich-tung bewegen.
● Sie wird durch zwei Fe-dern gestützt.
αx
m
cc
● Zerlegung der Verschie-bung x:
● Federkraft:
x
xp
α
α
x p=x sin
F p=c x p=c x sin
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2.1-29
1.4 Federsysteme
● Kraft in Schwingungsrichtung:
● Ersatzsteifigkeit der beiden Federn:
Fp
αF
F=F p sin =c sin2 x
cges=2 c sin2
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