1 Sistem Koordinat

AWAL

KALKULUS II (TKE 201 / WAJIB)

Dosen Pengajar: Drs. Ir. Moch. Dhofir, MT.

Ruang Dimensi Tiga dan Vektor Fungsi Dinilai Vektor Derivatif Parsial Integral Lipat Kalkulus Vektor

MATERI

AWAL

1

2

3

4 5

1.1 Sistem Koordinat dalam Ruang-3D 1.2 Vektor 1.3 Persamaan Parametrik 1.4 Bidang-Bidang dalam Ruang-3D 1.5 Permukaan Kuadratik 1.6 Fungsi Multivariabel

Ruang Dimensi Tiga dan Vektor

AWAL

Sistem Koordinat Koordinat Titik 1. Kartesian (x,y,z) 2. Tabung (,,z) 3. Bola (r,,)

1.1 Sistem Koordinat dalam Ruang 3D

AWAL

AWAL

y

x

z P(,,z)

y

x

z

P(x,y,z)

x

y

z

X = cos

y = sin

z = z

= (x2 + y2)1/2

= atan (y/x)

z = z

Transformasi Kartesian - Tabung KARTESIAN TABUNG

Transformasi Kartesian - Bola

AWAL

y

x

z

P(x,y,z)

x

y

z

X = r cos sin

y = r sin sin

z = r cos

r = (x2 + y2+ z2)1/2

= atan (y/x)

= acos (z/r)

y

x

z P(r,,)

r

KARTESIAN BOLA

AWAL

0 0 2

rad = 180o ; 1 rad = 180o/ = 57,273o

Contoh :

AWAL

1. Natakan titik (2,-1,3) kedalam koordinat tabung !

2. Natakan titik (2,-1,3) kedalam koordinat bola !

Penyelesaian soal No. 1:

= (x2 + y2)1/2 = (22 + (-1)2)1/2 = 5

= atan (y/x) = atan (-1/2) = - atan (1/2)

= - 26,6o = - 0,464 rad di kwadran IV

z = 3

(2,-1,3) (5; -26,6o; 3)

AWAL

Penyelesaian soal No. 2:

r = (x2 + y2+ z2)1/2 = [22 + (-1)2+ 32]1/2 = 14

= atan (y/x) = atan (-1/2) = -26,6o

= acoz (z/r) = acos (3/14) = 36,7o

(2,-1,3) (14; -26,6o; 36,7o)

AWAL

Bidang2 utama Koordinat Kartesian

Tiga bidang utama dalam koordinat tabung :

1.x = xo

2.y = yo

3.z = zo

AWAL

Bidang2 utama Koordinat Tabung

Tiga bidang utama dalam koordinat tabung :

1. = o

2. = o

3.z = zo

= o o

o

AWAL

Bidang2 utama Koordinat Bola

Tiga bidang utama dalam koordinat bola :

1. r = ro

2. = o

3. = o

o = o

= o

o ro r = ro

AWAL

Bidang2 utama Koordinat Bola

Interseksi kerucut dan bola

BOLA KERUCUT

AWAL

Segmentasi Panjang, Luas dan Volume

KOORDINAT KARTESIAN

Segmentasi panjang :

dx, dy, dz

Segmentasi luas :

dAz = dx dy

dAx = dy dz

dAy = dx dz

Segmentasi volume :

dV = dx dy dz

dX dy

dz

AWAL

Segmentasi Panjang, Luas dan Volume

KOORDINAT TABUNG

Segmentasi panjang :

d, d, dz

Segmentasi volume :

dV = d d dz

d

dz

d

2 1 1

2

AWAL

Segmentasi Luas

KOORDINAT TABUNG

Segmentasi luas :

dAz = d d

dAr = d dz

dA = d dz

x

y

z

dA

dAr

dAz

AWAL

Segmentasi Panjang, Luas dan Volume

KOORDINAT BOLA

Segmentasi panjang :

dr, r d sin, r d

Segmentasi Volume:

dV = r2 dr d d sin

dr r d

r d sin

1 2

2 1

r2 r1

AWAL

Segmentasi Luas

x

y

z

dA

dA

dA

KOORDINAT BOLA

Segmentasi luas :

dA = r dr d

dA = r2 d d sin

dA = r dr d sin

AWAL

Segmentasi Panjang

ds

222 dzdydxds

222 dzddds

222 sin drdrdrds

KARTESIAN :

TABUNG :

BOLA :

AWAL

1.Titik P(2, /6, -3) dalam koordinat tabung. Nyatakan titik P kedalam koordinat kartesian dan bola!

2.Titik Q(4, 2/3, /6) dalam koordinat bola. Nyatakan titik Q kedalam koordinat kartesian dan tabung!

PENYELESAIAN

Soal mandiri :

AWAL

3.Gambarkan bidang-bidang : x = 1; y = 2 ; z = 3 dalam sistem koordinat kartesian yang sama. Berupa apakan perpotongan antara kedua bidang? Dimanakan perpotongan dari ketiga bidang tersebut?

PENYELESAIAN

Soal mandiri :

AWAL

4.Gambarkan bidang r = 3; = /3; z = 2! Berupa apakah perpotongan antara bidang r = 3 dan = /3, antara = /3 dan bidang z = 2; antara bidang r = 3 dan z = 2?

5.Gambarkan bidang = 4; = /3; = /3 dalam koordinat bola!

PENYELESAIAN

Soal mandiri :

AWAL