1 Fisica 2 Argomenti trattati Le variabili angolari. Sistema rigido di punti materiali : energia cinetica rotazionale,momento di inerzia,definizione e.
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Fisica 2Argomenti trattati
• Le variabili angolari. • Sistema rigido di punti materiali : energia cinetica rotazionale,momento di
inerzia,definizione e collocamento del centro di massa, raggio giratorio,momento meccanico e momento angolare. Equazioni cardinali del moto di un sistema di punti materiali rigido.
• Rotazione in due dimensioni di un corpo rigido: il centro di massa, rotazione piana, momento angolare, conservazione del momento angolare. Centro di Massa; Momento di Inerzia: proprietà del Centro di Massa, collocazione del Centro di Massa. Calcolo del Momento di Inerzia. Teoremi del Momento di Inerzia. Energia cinetica Rotazionale.
• Rotazione nello spazio. Il momento meccanico in tre dimensioni,le equazioni della rotazione usando il prodotto vettoriale. Momento angolare di un corpo rigido in tre dimensioni. Lavoro energia e potenza nel moto rotatorio. Moto oscillatorio di un corpo rigido: il pendolo fisico il pendolo composto, il giroscopio.
• Attrito e rotolamento• Equilibrio statico di un corpo rigido. Il diagramma di corpo libero. Vari esempi.
Leve e c arrucole. Cenni sui sistemi deformabiliTesti e dispense consigliati
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meccanica,termologia editrice Ambrosianao Il materiale didattico distribuito a lezione e reperibile sul sito web: http://www.fe.infn.it/~ferretti
2
richiami
le variabili angolari
3
Posizione angolare:definizione di radiantePosizione angolare:definizione di radiante
0
0
3,571
;22
360
rad
radr
r
r
s
x
y
r
polo di rotazione
s
4
Le variabili angolariLe variabili angolari
dt
d
tt t
0lim)(
)(tposizioneposizione 12 spostamentospostamento
ttt
12
12
accelerazione accelerazione mediamedia
dt
d
tt t
0lim)(
Velocità istantaneaVelocità istantanea
ttt
12
12
Velocità mediaVelocità media
accelerazione accelerazione istantaneaistantanea
5
altre variabilialtre variabili
2
21
T
frequenza
periodoperiodo
La frequenza di rotazione è il numero di giri compiuti nell’unità di tempo
Il periodo del moto è l’intervallo di tempo impiegato per compiere un giro completo
evidentemente:
T
22
6
equazioni dimensionaliequazioni dimensionali
1 s
2 s
[numero puro][numero puro]
sT 1 s
1 sHz
L’Hertz L’Hertz
7
Gli spostamenti angolari Gli spostamenti angolari finiti finiti non sono non sono vettorivettori
L’ordine delle rotazioni L’ordine delle rotazioni cambia il risultato.cambia il risultato.Le rotazioni “Le rotazioni “non non commutanocommutano””
È possibile dimostrare È possibile dimostrare che che sono vettori gli sono vettori gli spostamenti angolari spostamenti angolari infinitesimiinfinitesimi
8
Le variabili angolari istantanee come vettori
Per convenzione, l’asse di rotazione è orientato con verso positivo verso l’alto
La rotazione è in verso orario, è diretta verso il basso, negativaLa rotazione in verso antiorario, è diretta verso l’ alto,positiva
come un vettore diretto come l’asse di rotazione.
9
z
vr
Moto circolare
Relazione vettoriale tra velocità lineare e
angolare, e vettore posizione
10
relazioni tra le variabili angolari
dttt
t0
0
dttt
t0
0
0
0
0
posizione angolare
velocità angolare
accelerazione angolare all’istante iniziale 0t
un caso particolare importante tcos
02
1
0
200
0
t
tt
t
11
variabili lineari e variabili angolari, accelerazione costante
atvv 0t 0
200 2
1attvxx 2
00 2
1tt
tvvxx 00 2
1 t 00 2
1
020
2 2 xxavv 0022 2
accelerazione costante
12
Un esercizio
13
rdt
dr
dt
ds
rs
;
Dalle variabili angolari alle variabili lineari
Rotazione piana di un punto materiale a distanza r dall’asse , o dal polo di rotazione
x
y
P
r
x
y
P
r
ta
ra
rr
dt
drar
22
importante: gli angoli sono in radianti
r
dt
dr
dt
dat
r
dt
dr
dt
dat
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richiami:accelerazione e velocità• Per produrre una curva, la forza risultante Per produrre una curva, la forza risultante
deve formare un angolo con la velocitàdeve formare un angolo con la velocità.
• Possiamo scomporre la forzaPossiamo scomporre la forza
• In tal caso, l’In tal caso, l’accelerazione accelerazione che è sempre che è sempre parallela alla forza avrà due componenti: una parallela alla forza avrà due componenti: una parallela alla velocità ed una normale alla parallela alla velocità ed una normale alla velocità: una velocità: una tangenzialetangenziale ed una ed una normalenormale alla alla traiettoriatraiettoria.
• la accelerazione tangenziale causa il la accelerazione tangenziale causa il cambimento del modulo della velocità, mentre cambimento del modulo della velocità, mentre quella normale ( o radiale) cambia la direzionequella normale ( o radiale) cambia la direzione
v
ra
taa
tF
F
rF
15
richiami
moto di un punto materiale soggetto ad una forza F
16
vmp
quantità di moto, o momento lineare
moto di un punto materiale soggetto alla forza F
Fr
momento meccanico, rispetto ad un polo distante r dal punto
pr
momento angolare, rispetto ad un centro di rotazione, o polo, distante r dal punto
2222
2
1
2
1
2
1 rmrmmvK energia cinetica rotazionale
2
2
1 IK
2rmI momento di inerzia, rispetto ad un polo distante r dal punto
energia cinetica rotazionale, in funzione del momento di inerzia
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Energia cinetica rotazionale per una Energia cinetica rotazionale per una singola particella in moto rotatoriosingola particella in moto rotatorio
2222
2
1
2
1
2
1 ImrmK
L’energia cinetica di rotazione è uguale al L’energia cinetica di rotazione è uguale al prodotto del momento di inerzia prodotto del momento di inerzia il il
quadrato della velocità angolare, diviso quadrato della velocità angolare, diviso duedue
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richiamirichiami
il momento meccanicoil momento meccanico
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bF
rF
Fr
sin
Retta o linea di azione di F
Braccio di leva di F
Centro di rotazione
O
Fb r
B A
O F
b r
B A
definizione di momento meccanico di un punto materiale A, rispetto ad un polo O
richiami
20
x
Una forza Una forza FF,giacente sul ,giacente sul piano xy agisce piano xy agisce su una su una particella particella posizionata in A.posizionata in A.
Questa forza Questa forza esercita sulla esercita sulla particella un particella un
momento momento meccanicomeccanico =r =r F F rispetto all’origine rispetto all’origine
OO
Il vettoreIl vettore èè diretto come diretto come z e la sua z e la sua intensità èintensità è rrFF==rFrF
Braccio di F
sinrr
Dimensioni
newtonm.
Fr
A F
O
z
y
x
r
A
F
O
z
y
xF
F
rr
Fr
A
F
O
z
y
x
r
il momento meccanico è un il momento meccanico è un vettore che risulta da un vettore che risulta da un prodotto vettorialeprodotto vettoriale
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Il momento Il momento meccanico è un meccanico è un vettore libero che vettore libero che si ottiene come si ottiene come momento polare momento polare od assiale del od assiale del vettore forza (F,P) vettore forza (F,P) applicata nel applicata nel punto Ppunto P
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metodo scalare
determinazione del momento meccanico rispetto ad un punto.
metodo vettoriale
Fr
zyx FFF
zyx
kji
bFx
y
z
rA
xF
zF
yF
BAC
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Il momento delle forze è un vettore ed Il momento delle forze è un vettore ed ubbidisce al principio di sovrapposizioneubbidisce al principio di sovrapposizione
Se più momenti agiscono su un corpo, la Se più momenti agiscono su un corpo, la loro somma prende il nome di loro somma prende il nome di
momento risultantemomento risultante delle forze, delle forze,
oppure oppure momento netto .momento netto . net
Momento nettoMomento netto
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propietà del momento meccanico rispetto ad un punto:il principio dei momenti
il momento di una forza il momento di una forza rispetto ad un polo è uguale rispetto ad un polo è uguale alla somma dei momenti alla somma dei momenti delle sue componenti delle sue componenti rispetto a quello stesso polorispetto a quello stesso polo
321 FrFrFrFrnet
risulnet FrFFFr
321
x
y
z
rA
1F
2F
3F
321 net
25
x
y
r
polo di rotazione
o
m
F
rF
tF
relazione tra il momento meccanico ed il momento di inerzia, nel caso del moto rotatorio di un punto
materiale su un piano
amrFr
IAngoli in radianti
2mrrrmrmat
tt maF
amF
trt FrFFr
trF
Dimostrazione della II legge di Newton per il moto rotatorio di un punto materiale
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richiami: momento angolare di un punto materiale
A
p
O
z
y
x
rUn punto materiale di massa m si trova nel punto A e si muove sul piano xyxy con un momento (o quantità di moto) p.
m
A
p
O
z
y
x
r
Rispetto all’origine O, esso ha un un momento angolare ( momento angolare ( o della quantità della quantità di motodi moto):
pr
pr
27
sJsmkg 12
pr
sinrp
Dimensioni nel sistema SI
A
p
O
z
y
x
p
rr
richiami: momento angolare di un punto materiale
sinmr rppr
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il momento angolare di un punto materiale in moto circolare uniforme
• Nel caso del moto circolare uniforme la velocità del punto materiale,costante ed r, distanza dal centro di rotazione, sono sempre perpendicolari e giacciono entrambi sul piano dell’orbita circolare del punto
• La direzione del momento angolare, rispetto al centro dell’orbita, è perpendicolare al piano dell’orbita. Il verso si calcola come per il prodotto vettoriale.
• Nel moto circolare uniforme, il momento angolare è costante se il centro di rotazione è posto nell’origine, ( o polo) ma non se l’origine è posta altrove.
• In tal caso il momento angolare si il momento angolare si conserva.conserva.
rm
mr
2mr
29
il momento angolare di un punto materiale in moto circolare
uniformeuna relazione importante
Imr 2Questa relazione è importante, perchè collega il modulo del momento angolare con la quantità I=mr2,
che è il momento di inerzia del punto materiale. Nel caso del punto materiale I non ha un grande interesse.
Vedremo che nel caso dei sistemi estesi rigidi, invece, I è la quantità che descrive la distribuzione della massa del sistema in questione, necessaria per determinarne la dinamica
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In genere il momento angolare di un punto materiale varia in direzione istante per istante.
Nel caso particolare in cui il punto materiale si muove su un piano, che contiene il
centro di rotazione O,che considereremo l’origine delle coordinate, allora rr e vv sono
coplanari ed l l è sempre perpendicolare al piano.
Per il caso di moto circolare se il momento angolare è calcolato rispetto ad al centro del cerchio si ha :
Momento angolare e velocità angolareMomento angolare e velocità angolare
Nel caso del moto circolare possiamo convenzionalmente definire la velocità
angolare come un vettore diretto vettore diretto come il momento angolarecome il momento angolare..
il modulo della velocità lineare è
rr
2mr
mr
rm
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OSSERVAZIONE
• Nel caso del moto circolare uniforme il momento angolare rispetto al centro della traiettoria è costante: r,m,v sono costanti.
• Quando il punto materiale si muove attorno ad un centro di forza, verso cui punta la forza che lo fa girare allora il momento angolare è costante.
• Una forza che punta verso un polo si chiama forza centrale
• Il momento angolare si conserva se il punto materiale si muove sotto l’azione di una forza centrale
relazione tra momento angolare e momento meccanico per un punto materiale in moto rotatorio, attorno ad un centro O
Imr 2
Idt
dmr
dt
d 2
Idt
d
Seconda legge di Newton, in forma angolare
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Famdt
pd
Idt
d
le equazioni cardinali del moto di un punto materiale soggetto ad una forza
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Seconda legge di Newton in forma angolare per un punto materiale.
dt
d
dt
net
net
La somma vettoriale di tutti i La somma vettoriale di tutti i momenti delle momenti delle forzeforze che agiscono su una particella è uguale alla che agiscono su una particella è uguale alla derivata rispetto al tempoderivata rispetto al tempo del del momento angolaremomento angolare della particelladella particella
La somma vettoriale di tutte La somma vettoriale di tutte le forzele forze che che agiscono su una particella è uguale alla agiscono su una particella è uguale alla derivata derivata rispetto al temporispetto al tempo del del momento linearemomento lineare della della particellaparticella
35
Leggi di conservazione
dt
d
dt
net
net
se il punto materiale non è soggetto a forze esterne , la sua quantità di moto si conserva
tpdt
pdcos;0
se il punto materiale non è soggetto a momenti meccanici esterni , il suo momento angolare si conserva
tdt
dcos;0
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