1 Fisica 2 Argomenti trattati Le variabili angolari. Sistema rigido di punti materiali : energia cinetica rotazionale,momento di inerzia,definizione e.

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Fisica 2Argomenti trattati

• Le variabili angolari. • Sistema rigido di punti materiali : energia cinetica rotazionale,momento di

inerzia,definizione e collocamento del centro di massa, raggio giratorio,momento meccanico e momento angolare. Equazioni cardinali del moto di un sistema di punti materiali rigido.

• Rotazione in due dimensioni di un corpo rigido: il centro di massa, rotazione piana, momento angolare, conservazione del momento angolare. Centro di Massa; Momento di Inerzia: proprietà del Centro di Massa, collocazione del Centro di Massa. Calcolo del Momento di Inerzia. Teoremi del Momento di Inerzia. Energia cinetica Rotazionale.

• Rotazione nello spazio. Il momento meccanico in tre dimensioni,le equazioni della rotazione usando il prodotto vettoriale. Momento angolare di un corpo rigido in tre dimensioni. Lavoro energia e potenza nel moto rotatorio. Moto oscillatorio di un corpo rigido: il pendolo fisico il pendolo composto, il giroscopio.

• Attrito e rotolamento• Equilibrio statico di un corpo rigido. Il diagramma di corpo libero. Vari esempi.

Leve e c arrucole. Cenni sui sistemi deformabiliTesti e dispense consigliati

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meccanica,termologia editrice Ambrosianao Il materiale didattico distribuito a lezione e reperibile sul sito web: http://www.fe.infn.it/~ferretti

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richiami

le variabili angolari

3

Posizione angolare:definizione di radiantePosizione angolare:definizione di radiante

0

0

3,571

;22

360

rad

radr

r

r

s

x

y

r

polo di rotazione

s

4

Le variabili angolariLe variabili angolari

dt

d

tt t

0lim)(

)(tposizioneposizione 12 spostamentospostamento

ttt

12

12

accelerazione accelerazione mediamedia

dt

d

tt t

0lim)(

Velocità istantaneaVelocità istantanea

ttt

12

12

Velocità mediaVelocità media

accelerazione accelerazione istantaneaistantanea

5

altre variabilialtre variabili

2

21

T

frequenza

periodoperiodo

La frequenza di rotazione è il numero di giri compiuti nell’unità di tempo

Il periodo del moto è l’intervallo di tempo impiegato per compiere un giro completo

evidentemente:

T

22

6

equazioni dimensionaliequazioni dimensionali

1 s

2 s

[numero puro][numero puro]

sT 1 s

1 sHz

L’Hertz L’Hertz

7

Gli spostamenti angolari Gli spostamenti angolari finiti finiti non sono non sono vettorivettori

L’ordine delle rotazioni L’ordine delle rotazioni cambia il risultato.cambia il risultato.Le rotazioni “Le rotazioni “non non commutanocommutano””

È possibile dimostrare È possibile dimostrare che che sono vettori gli sono vettori gli spostamenti angolari spostamenti angolari infinitesimiinfinitesimi

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Le variabili angolari istantanee come vettori

Per convenzione, l’asse di rotazione è orientato con verso positivo verso l’alto

La rotazione è in verso orario, è diretta verso il basso, negativaLa rotazione in verso antiorario, è diretta verso l’ alto,positiva

come un vettore diretto come l’asse di rotazione.

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z

vr

Moto circolare

Relazione vettoriale tra velocità lineare e

angolare, e vettore posizione

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relazioni tra le variabili angolari

dttt

t0

0

dttt

t0

0

0

0

0

posizione angolare

velocità angolare

accelerazione angolare all’istante iniziale 0t

un caso particolare importante tcos

02

1

0

200

0

t

tt

t

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variabili lineari e variabili angolari, accelerazione costante

atvv 0t 0

200 2

1attvxx 2

00 2

1tt

tvvxx 00 2

1 t 00 2

1

020

2 2 xxavv 0022 2

accelerazione costante

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Un esercizio

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rdt

dr

dt

ds

rs

;

Dalle variabili angolari alle variabili lineari

Rotazione piana di un punto materiale a distanza r dall’asse , o dal polo di rotazione

x

y

P

r

x

y

P

r

ta

ra

rr

dt

drar

22

importante: gli angoli sono in radianti

r

dt

dr

dt

dat

r

dt

dr

dt

dat

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richiami:accelerazione e velocità• Per produrre una curva, la forza risultante Per produrre una curva, la forza risultante

deve formare un angolo con la velocitàdeve formare un angolo con la velocità.

• Possiamo scomporre la forzaPossiamo scomporre la forza

• In tal caso, l’In tal caso, l’accelerazione accelerazione che è sempre che è sempre parallela alla forza avrà due componenti: una parallela alla forza avrà due componenti: una parallela alla velocità ed una normale alla parallela alla velocità ed una normale alla velocità: una velocità: una tangenzialetangenziale ed una ed una normalenormale alla alla traiettoriatraiettoria.

• la accelerazione tangenziale causa il la accelerazione tangenziale causa il cambimento del modulo della velocità, mentre cambimento del modulo della velocità, mentre quella normale ( o radiale) cambia la direzionequella normale ( o radiale) cambia la direzione

v

ra

taa

tF

F

rF

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richiami

moto di un punto materiale soggetto ad una forza F

16

vmp

quantità di moto, o momento lineare

moto di un punto materiale soggetto alla forza F

Fr

momento meccanico, rispetto ad un polo distante r dal punto

pr

momento angolare, rispetto ad un centro di rotazione, o polo, distante r dal punto

2222

2

1

2

1

2

1 rmrmmvK energia cinetica rotazionale

2

2

1 IK

2rmI momento di inerzia, rispetto ad un polo distante r dal punto

energia cinetica rotazionale, in funzione del momento di inerzia

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Energia cinetica rotazionale per una Energia cinetica rotazionale per una singola particella in moto rotatoriosingola particella in moto rotatorio

2222

2

1

2

1

2

1 ImrmK

L’energia cinetica di rotazione è uguale al L’energia cinetica di rotazione è uguale al prodotto del momento di inerzia prodotto del momento di inerzia il il

quadrato della velocità angolare, diviso quadrato della velocità angolare, diviso duedue

18

richiamirichiami

il momento meccanicoil momento meccanico

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bF

rF

Fr

sin

Retta o linea di azione di F

Braccio di leva di F

Centro di rotazione

O

Fb r

B A

O F

b r

B A

definizione di momento meccanico di un punto materiale A, rispetto ad un polo O

richiami

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x

Una forza Una forza FF,giacente sul ,giacente sul piano xy agisce piano xy agisce su una su una particella particella posizionata in A.posizionata in A.

Questa forza Questa forza esercita sulla esercita sulla particella un particella un

momento momento meccanicomeccanico =r =r F F rispetto all’origine rispetto all’origine

OO

Il vettoreIl vettore èè diretto come diretto come z e la sua z e la sua intensità èintensità è rrFF==rFrF

Braccio di F

sinrr

Dimensioni

newtonm.

Fr

A F

O

z

y

x

r

A

F

O

z

y

xF

F

rr

Fr

A

F

O

z

y

x

r

il momento meccanico è un il momento meccanico è un vettore che risulta da un vettore che risulta da un prodotto vettorialeprodotto vettoriale

21

Il momento Il momento meccanico è un meccanico è un vettore libero che vettore libero che si ottiene come si ottiene come momento polare momento polare od assiale del od assiale del vettore forza (F,P) vettore forza (F,P) applicata nel applicata nel punto Ppunto P

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metodo scalare

determinazione del momento meccanico rispetto ad un punto.

metodo vettoriale

Fr

zyx FFF

zyx

kji

bFx

y

z

rA

xF

zF

yF

BAC

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Il momento delle forze è un vettore ed Il momento delle forze è un vettore ed ubbidisce al principio di sovrapposizioneubbidisce al principio di sovrapposizione

Se più momenti agiscono su un corpo, la Se più momenti agiscono su un corpo, la loro somma prende il nome di loro somma prende il nome di

momento risultantemomento risultante delle forze, delle forze,

oppure oppure momento netto .momento netto . net

Momento nettoMomento netto

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propietà del momento meccanico rispetto ad un punto:il principio dei momenti

il momento di una forza il momento di una forza rispetto ad un polo è uguale rispetto ad un polo è uguale alla somma dei momenti alla somma dei momenti delle sue componenti delle sue componenti rispetto a quello stesso polorispetto a quello stesso polo

321 FrFrFrFrnet

risulnet FrFFFr

321

x

y

z

rA

1F

2F

3F

321 net

25

x

y

r

polo di rotazione

o

m

F

rF

tF

relazione tra il momento meccanico ed il momento di inerzia, nel caso del moto rotatorio di un punto

materiale su un piano

amrFr

IAngoli in radianti

2mrrrmrmat

tt maF

amF

trt FrFFr

trF

Dimostrazione della II legge di Newton per il moto rotatorio di un punto materiale

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richiami: momento angolare di un punto materiale

A

p

O

z

y

x

rUn punto materiale di massa m si trova nel punto A e si muove sul piano xyxy con un momento (o quantità di moto) p.

m

A

p

O

z

y

x

r

Rispetto all’origine O, esso ha un un momento angolare ( momento angolare ( o della quantità della quantità di motodi moto):

pr

pr

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sJsmkg 12

pr

sinrp

Dimensioni nel sistema SI

A

p

O

z

y

x

p

rr

richiami: momento angolare di un punto materiale

sinmr rppr

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il momento angolare di un punto materiale in moto circolare uniforme

• Nel caso del moto circolare uniforme la velocità del punto materiale,costante ed r, distanza dal centro di rotazione, sono sempre perpendicolari e giacciono entrambi sul piano dell’orbita circolare del punto

• La direzione del momento angolare, rispetto al centro dell’orbita, è perpendicolare al piano dell’orbita. Il verso si calcola come per il prodotto vettoriale.

• Nel moto circolare uniforme, il momento angolare è costante se il centro di rotazione è posto nell’origine, ( o polo) ma non se l’origine è posta altrove.

• In tal caso il momento angolare si il momento angolare si conserva.conserva.

rm

mr

2mr

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il momento angolare di un punto materiale in moto circolare

uniformeuna relazione importante

Imr 2Questa relazione è importante, perchè collega il modulo del momento angolare con la quantità I=mr2,

che è il momento di inerzia del punto materiale. Nel caso del punto materiale I non ha un grande interesse.

Vedremo che nel caso dei sistemi estesi rigidi, invece, I è la quantità che descrive la distribuzione della massa del sistema in questione, necessaria per determinarne la dinamica

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In genere il momento angolare di un punto materiale varia in direzione istante per istante.

Nel caso particolare in cui il punto materiale si muove su un piano, che contiene il

centro di rotazione O,che considereremo l’origine delle coordinate, allora rr e vv sono

coplanari ed l l è sempre perpendicolare al piano.

Per il caso di moto circolare se il momento angolare è calcolato rispetto ad al centro del cerchio si ha :

Momento angolare e velocità angolareMomento angolare e velocità angolare

Nel caso del moto circolare possiamo convenzionalmente definire la velocità

angolare come un vettore diretto vettore diretto come il momento angolarecome il momento angolare..

il modulo della velocità lineare è

rr

2mr

mr

rm

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OSSERVAZIONE

• Nel caso del moto circolare uniforme il momento angolare rispetto al centro della traiettoria è costante: r,m,v sono costanti.

• Quando il punto materiale si muove attorno ad un centro di forza, verso cui punta la forza che lo fa girare allora il momento angolare è costante.

• Una forza che punta verso un polo si chiama forza centrale

• Il momento angolare si conserva se il punto materiale si muove sotto l’azione di una forza centrale

relazione tra momento angolare e momento meccanico per un punto materiale in moto rotatorio, attorno ad un centro O

Imr 2

Idt

dmr

dt

d 2

Idt

d

Seconda legge di Newton, in forma angolare

33

Famdt

pd

Idt

d

le equazioni cardinali del moto di un punto materiale soggetto ad una forza

34

Seconda legge di Newton in forma angolare per un punto materiale.

dt

d

dt

pdF

net

net

La somma vettoriale di tutti i La somma vettoriale di tutti i momenti delle momenti delle forzeforze che agiscono su una particella è uguale alla che agiscono su una particella è uguale alla derivata rispetto al tempoderivata rispetto al tempo del del momento angolaremomento angolare della particelladella particella

La somma vettoriale di tutte La somma vettoriale di tutte le forzele forze che che agiscono su una particella è uguale alla agiscono su una particella è uguale alla derivata derivata rispetto al temporispetto al tempo del del momento linearemomento lineare della della particellaparticella

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Leggi di conservazione

dt

d

dt

pdF

net

net

se il punto materiale non è soggetto a forze esterne , la sua quantità di moto si conserva

tpdt

pdcos;0

se il punto materiale non è soggetto a momenti meccanici esterni , il suo momento angolare si conserva

tdt

dcos;0