01. Transf de Laplace
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El método de la transformada de
Laplace convierte las ecuaciones
diferenciales lineales, de “difícil”
solución, en ecuaciones
algebraicas simples.
La transformada de Laplace
La transformada de Laplace es un operador lineal
perteneciente a la familia de las integrales de transformación,
es especialmente útil para resolver ecuaciones diferenciales
lineales ordinarias. Se puede decir que es la segunda
transformación más utilizada para resolver problemas físicos,
después de la transformación de Fourier. La transformada de
Laplace unilateral se define como:
0
)()()( dtetftfsF stLdonde:
)(sF : es la transformada de Laplace de )(tf
)(tf : es una función en el tiempo
: es una variable compleja (s = x + yj) s
: es el operador lineal de Laplace L
La transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial en una
ecuación algebraica, su solución se obtiene a partir de operaciones
básica de álgebra.
No todas las funciones tienen transformada de Laplace. La transformada
de Laplace de )(tf existe si:
0
)( dtetf t
donde:
: es una constante real positiva
0)( tAetf tSi la integral convergerá para . La región de
convergencia es . Y es la abscisa de convergencia. 0cteA
Todas las señales realizables físicamente tienen transformada de
Laplace.
La transformada de Laplace
Ejemplo 1
• Sea f(t) = c Obtenga la transformada de Laplace para dicha
función.
s
e st
cb
Limdtec
b
Limcdtec
b
b
stst
0
00
}{L
s
c
sc
b
Lim
s
ec
b
Lim sb
11
Para S>0
Ejemplo 2
• Obtenga la transformada de Laplace para la
función f(t)=eat.
b
tastasatstat dteb
Limdtedteee
000
)()(}{L
as
tas
b
Lime
as
b
10
1
0
)(
Para s>a
Ejemplo 3
• Obtenga la transformada de Laplace para la
función f(t) = tn.
2
00
0
0
110
1
sdte
sdte
s
st
tdtet ststst
s
te
}{L
3
00
0
0
22 220
22
sdtte
sdte
s
tst
dttet ststst
s
et
{t}L
L }{
Ejemplo 4
• Obtenga la transformada de Laplace para la
función f(t) = Cos(bt).
0
0
0
)()(
)()}({ dtebtSens
b
s
stebtCos
dtbtCosebtCos ststL
)}({
0
0
)()(
)1
0(
btCos
stdtebtCoss
b
s
stebtSen
s
b
s
L
Ejemplo 4 (cont.)
• Obtenga la transformada de Laplace para la
función f(t) = Cos(bt)
22
2
2
2
2
11
1
bs
sbtCos
ss
bbtCos
btCoss
b
sbtCos
)}({
)}({
)}({)}({
L
L
LL
La transformada de Laplace
Transformada de Laplace de funciones comunes
1) Escalón unitario, f(t)=1, t>0.
2) Rampa, f(t)=t, t>0.
3) Función exponencial,
0,1
)}({ ss
tfL
0,1
)}({2
ss
tfL
.0,)( tetf at
asas
tfL
,1
)}({
La transformada de Laplace
Transformada de Laplace de funciones comunes
4) Función escalonada (función de Heaviside)
5) Función impulso unitario, f(t)=(t)
at
atatu
,1
,0)(
0,)}({
ss
eatuL
as
1)}({ tfL
La transformada de Laplace
Propiedades de la transformada de Laplace
1) Linealidad Si y son constantes y si y
son funciones cuyas transformadas de Laplace son,
respectivamente y entonces
1c 2c )(1 tf )(2 tf
).()()}()({ 22112211 sFcsFctfctfcL
)(1 sF )(2 sF
Debido a esta propiedad, se dice que la transformada de
Laplace es un operador lineal.
La transformada de Laplace
Propiedades de la transformada de Laplace
2) Transformada de Laplace de las derivadas de una función
La transformada de Laplace de la derivada de una función está
dada por
donde f(0) es el valor de f(t) en t=0.
La transformada de Laplace de la segunda derivada de una
función está dada por
)0()()}('{ fssFtfL
)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL
La transformada de Laplace
Propiedades de la transformada de Laplace
En forma similar
3) Transformada de Laplace de integrales
)0()0(')0()()}({ )1(21)( nnnnn ffsfssFstfL
s
sFduufL
t )()(
0
La transformada de Laplace
Teoremas de la transformada de Laplace
4) Teorema del valor final
Si existe, entonces
5) Teorema del valor inicial
El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de
Laplace es F(s), es
)(lim tft
)(lim)(lim 0 ssFtf st
)(lim)(lim)0(0
ssFtff st
La transformada de Laplace
La transformada inversa de Laplace
La transformada inversa de Laplace formalmente se define por
la siguiente integral de inversión:
jc
jcstdsesF
jtf )(
2
1)(
donde
c )(sF: es una constante mayor que cualquier punto singular de
Esta integral de inversión rara vez se usa, ya que existen otros
métodos más directos y simples. Como por ejemplo tablas de
transformadas o fracciones parciales.
.
transformada inversa
0)()( '10 tfatfa n
)(tf
Ecuación diferencial Ecuación algebraica
0)()( 10 ssFasFsa n
)(sFSolución en
transformada
L
1-L
La transformada de Laplace
Aplicando la transformada de Laplace a una ecuación diferencial, se
tiene una ecuación algebraica cuya solución se obtiene a partir de
operaciones básicas del álgebra. Esta solución está en función de s
y para transformarla a una función en el tiempo se necesita de La
Transformada inversa de Laplace.
Algunas transformadas inversas
22
1
22
1
22
1
22
11
1
11
)(.7
)(.6)(.5
)(.41
.3
!.2.1
bs
sbtCosh
bs
bbtSenh
bs
sbtCos
bs
bbtSen
ase
s
nt
s
cc
at
n
n
L
L L
L L
L L
L es un transformador lineal
• Para una combinación lineal de funciones se
puede escribir:
• Siempre que ambas integrales converjan para
s>c. Por consiguiente se deduce que:
000
dttgedttfedttgtfe ststst)()()]()([
)}({)}({)}()({ tgtftgtf LLL
Ejercicios:
• Obtenga la Transformada de Laplace para
las funciones:
1.- f(t) = 1+ 5t2
2.- f(t) = 4e-2t + 10 Cos(2t)
3.- v(t) = 5e-t/50
Transformada de una derivada
)()()(
)()]()([
)()(
)()()()´´(
)()(
)()(
)()()()(
00
00
0
0
0
2
00
0
00
0
fsfsFs
ffssFs
tfsf
dttfestfedxxfexf
fssF
tfsf
dttfestfedxxfexf
ststst
ststst
L
L
L
L
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