Измерение космологических параметров при ...sed.sao.ru/~vo/cosmo_school/presentations/Burenin.pdfР. А. Буренин ИКИ РАН Однородное

Измерение космологических параметров при

помощи наблюдений скоплений галактик

Р. А. Буренин

ИКИ РАН

Однородное изотропное пространство

Метрика:

ds2 = c2dt2 − a2(t)dx2 + dy2 + dz2

(

1 + kr2

4

)2 , k = ±1, 0

(Фридмана-Робертсона-Уокера)

Вид расширения:

l = ar, l = ar, l =a

al, H ≡ a

a

H — постоянная Хаббла

Однородное изотропное пространство

Вид расширения:

ra va

r

v

r′

v′

v = Hr

r′ = r − ra, v′ = v − va, va = Hra, H(r − ra) = Hr′

v′ = Hr′

— только при таком движении сохраняется однородность и изотропия

Космологическая постоянная

Rik − 1

2gikR =

8πG

c4Tik+Λgik

εΛ = c4Λ/8πG

ε 0 0 0

0 p 0 0

0 0 p 0

0 0 0 p

→

ε + εΛ 0 0 0

0 p − εΛ 0 0

0 0 p − εΛ 0

0 0 0 p − εΛ

pΛ = −εΛ

Подобным образом: pΛ = wεΛ, где w — параметр уравнения состояния

темной энергии

Уравнения Фридмана

a2 + kc2

a2=

8πG

3c2(ε + εΛ)

a

a= −4πG

c2

(

ε + εΛ

3+ p + pΛ

)

А. А. Фридман, 1922 г.

Если εΛ = 0, то p > 0, a < 0 — нет статического решения

При εΛ = (ε + 3p)/2 — a = 0, a = 0, a = const

— для этого Λ и была введена изначально Эйнштейном

Расширение Вселенной

Пусть εΛ = 0, p = 0 и ε = ρc2, тогда:

a

a= −4

3πGρ

a = −4πGρa3

3a2= −G

M

a2, M =

4

3πρa3

a

В прошлом — сингулярность.

Критическая плотность

В будущем:

v2c = 2G

M

a

С другой стороны v = H0a. Пусть v = vc, ρ = ρc:

H20a2 = 2G

M

a, H2

0 = 2G4

3πρc, ρc =

3H20

8πG

Ωm =ρ

ρc

Ωm > 1, k > 0, — расширение сменяется сжатием

Ωm < 1, k < 0, — неограниченное расширение

Ωm = 1, k = 0, — неограниченное расширение

Уравнения Фридмана

− 3kc2

8πGa2+ εm + εγ + εΛ = ρcc

2

Ωk = − 3kc2

8πGa2ρc, Ωm = εm/ρc, Ωγ = εγ/ρc, ΩΛ = εΛ/ρc

Ω′

k + Ω′

m + Ω′

γ + Ω′

Λ = 1

a

a= −4πGρc

3c2(Ω′

m + Ω′

γ + (1 + 3w)Ω′

Λ)

Уравнения Фридмана

Ω′

k + Ω′

m + Ω′

γ + Ω′

Λ = 1

H2(z) =8π

3

[

Ωma−3 + Ωγa−4 + ΩΛ + Ωka−2

]

H0,Ωi,+Ωc,Ωb,Ων , . . . ,+σ8, n, dn/d ln k, r,Neff , Yp,+ . . . —

космологические параметры, как они измеряются?

Реликтовое излучение

РЕЛИКТ-1: COBE:

WMAP:

Анизотропия реликтового излучения

Акустические («сахаровские») осцилляции:

Hu, Dodelson, ARA&A, 2002

Анизотропия реликтового излучения

Конец 2001 г.:

Hu, Dodelson, ARA&A, 2002

Анизотропия реликтового излучения

3 года наблюдений WMAP, Spergel et al., 2006

Анизотропия реликтового излучения

WMAP, SPT, Keisler et al., 2011

Анизотропия реликтового излучения

Lewis & Bridle, 2002

Барионные акустические осцилляции

Барионные акустические осцилляции

Eisenstein et al., 2005

Сверхновые Ia

a > 0 — ускорение: например, Риесс, и др., 1998:

Сверхновые Ia

Современные данные:

UNION2, Amanullah et al., 2010

Большие систематические неопределенности.

Постоянная Хаббла

Сверхновые типа I на z < 0.1. Абсолютные величины сверхновых откалиброваны

при помощи наблюдений цефеид в близких галактиках.

H0 = 73.8 ± 2.4 км с−1 Мпк−1, Riess et al., 2009, 2011

Крупномасштабная стуктура Вселенной

Моделирования тысячелетия (Millenium simulations)

z = 18.3, 5.7, 1.4, 0 (t = 0.21, 1, 4.7, 13.6 Глет)

Рост малых возмущений плотности

В расширяющейся Вселенной с ΩK = 0, в сопутствующих (Лагранжевых)

координатах:

δ + 2Hδ +

(

k2

a2c2s − 4πGρ0

)

δ = 0 ,

где δ = (ρ − ρ0)/ρ0 — контраст плотности, H = a/a — параметр Хаббла.

При H = 0, a = 1 — решение Джинса (1902 г). На масштабах больше

λJ = cs

√

π

Gρ0

— гравитационная неустойчивость, экспоненциальный рост.

Во время рекомбинации для барионов λJ ∼ 106M⊙, для темной материи

— очень мала (T ∝ a−2, cs ∝ a−2).

Рост малых возмущений плотности

При p = 0, cs = 0, имеем:

δ + 2Hδ − 4πGρ0δ = 0 ,

Таким образом:

• Возмущения растут одинаково, независимо от длины волны.

• Пространственное распределение возмущений остается постоянным

в сопутствующих координатах. Растет только амплитуда возмущений.

• Рост более медленный по сравнению с экспоненциальным.

Рост малых возмущений плотности

Например, для случая с Ωm = 1, имеем:

H =2

3t, ρ0 =

1

6πGt2,

δ +4

3tδ − 2

3t2δ = 0 ,

откуда:

δ ∝ t2/3, δ ∝ a

Рост малых возмущений плотности

Фактор роста:

G =δ(t)

δ0, G(z) =

1

1 + z

где δ0 — линейный контраст плотности в настоящее время.

Крупномасштабная стуктура Вселенной

— малые возмущения плотности темной материи наблюдать трудно

Спектр мощности больших красных галактик

Reid et al., 2009

Нелинейный сферический коллапс

R

Если ρ > ρ′c, Ω′m > 1, расширение сменится

сжатием.

δ =

нелинейная сфера линейный рост

остановка 5.5 1.07

коллапс 180 1.69

Количество гравитационно-связанных объектов

δR(x) ≡∫

d3x′δ(x′)WR(x − x′)

Количество гравитационно-связанных объектов

σ2R ≡ 〈δ2

R(x)〉, σM = σR(R(M))

M = 1.16 × 1015Ωmh−1M⊙

(

R

10h−1 Мпк

)

Количество гравитационно-связанных объектов

Доля гравитационно связанных объектов:

fcoll(M,z) =2√

2πσ(M,z)

∫

∞

δc

dδ e−δ2/2σ2(M,z)

где δc = 1.69. Тогда число объектов:

dn(M,z) = −ρm

M

dfcoll(M,z)

dMdM

функция масс:

dn(M,z)

dM=

√

2

π

δc

σM

ρm

M2e−δ2

c/2σ2

M

d ln σM

d ln M

Press & Schechter, 1974

Количество гравитационно-связанных объектов

F (r,R) =

Z

d3r′

W (r − r′)F (r, 0), F (kR) = W (kR)F (k, 0)

σ2(R) =

Z

d3k

(2π)3〈|F (k,R)|2〉

Bond et al., 1991

Количество гравитационно-связанных объектов

Достижение порога при случайных блужданиях

Bond et al., 1991

Количество гравитационно-связанных объектов

Переменный порог

Sheth & Tormen, 2002

Функция масс

Калибровка из моделирований. Универсальная ФМ.

Jenkins et al., 2001

Функция масс

Tinker, Kravtsov, Klypin et al., 2008

Зависимость от космологических параметров

Измерение функции масс скоплений галактик

Вихлинин и др., 2009:

Что требуется для измерения функции масс скоплений?

Для этого нужно:

• «Найти» скопления галактик. При этом должен быть с достаточной

точностью известен поисковый объем.

• Измерить их массу с достаточной точностью.

Скопление в созвездии Волосы Вероники

Скопление Эйбелл 2065

Каталог Эйбелла

RA = 1.72′/z, N > 50, m3 > m > m3 + 2

4073 скопления Abell, 1958; Abell, Corwin, Olowin, 1989

Проекция

В каталоге Эйбелла более 30% скоплений ложные, столько же настоящих

пропущено (например, ван Хаарлем, Френк и Вайт, 1997, MNRAS, 287, 817)

Современные оптические обзоры

Szabo et al., 2011

Современные оптические обзоры

Tinker et al., 2011

Современные оптические обзоры

более 5000 скоплений

MaxBCG, Rozo et al., 2010

Рентгеновское излучение горячего газа

T ∼ 3–10 кэВ

Эффект Сюняева-Зельдовича

Сюняев, Зельдович, 1972

Эффект Сюняева-Зельдовича

обсерватория им. Планка, январь 2011 г.

Эффект Сюняева-Зельдовича

Телескоп на южном полюсе, январь 2011 г.

Какие нужны скопления?

Войт, 2004

Требуются массивные скопления: M > 2 − 3 · 1014M⊙

T > 3 − 5 кэВ

Рентгеновские обзоры скоплений

Площ

адь,

кв.

град.

Поток, (0.5-2 кэВ), эрг с−1 см−2

REFLEX+BCS

400d

ChaMP

COSMOS

Обзор всего неба спутника РОСАТ

Обзор всего неба спутника РОСАТ

Обзор всего неба спутника РОСАТ

Несколько сотен скоплений на z < 0.1–0.3.

Рентгеновские обзоры скопленийПлощ

адь,

кв.

град.

Поток, (0.5-2 кэВ), эрг с−1 см−2

REFLEX+BCS

400d

ChaMP

COSMOS

Потоки:

fx ≈ 10−13 эрг с−1 см−2

↓данные наведений РОСАТа:

9.5 лет — ≈ 400 кв. град.

↓обзор 400d

Буренин и др., 2007, ApJS,

172, 561

Рентгеновские изображения РОСАТа

Рентгеновские изображения РОСАТа

Алгоритм поиска скоплений

160d, Вихлинин и др.,

1998, ApJ, 502, 558

изображение →вейвлет-разложение →метод максимального

правдоподобия

Разложение по вейвлетам

Алгоритм поиска скоплений

160d, Вихлинин и др.,

1998, ApJ, 502, 558

изображение →вейвлет-разложение →метод максимального

правдоподобия

Сравнение с обзором Bright SHARC

Сравнение с обзором на северном полюсе эклиптики

Сравнение с обзором на северном полюсе эклиптики

Обзор WARPS

VTP — фильтрация диаграммы Вороного

Обзор 400 кв. градусов

1600 полей,

287 протяженных

рентгеновских источников,

с потоками fx >

1.4 × 10−13 эрг с−1 см−2

Оптические наблюдения

РТТ-150, R, 15 мин:

z = 0.5

Оптические наблюдения

РТТ-150, R, 60 мин:

z = 0.7

Оптические наблюдения

РТТ-150, R, I, 3 ч:

z = 0.8

Оптические наблюдения

РТТ-150

Оптические наблюдения

Измерение красных смещений:

MgI NaD

Keck II, Magellan, ESO 3.6-m, NTT, FLWO 1.5-m, NOT, Danish 1.54-m

+ БТА

Обзор скоплений 400d

http://hea.iki.rssi.ru/400d/:

Моделирования Монте-Карло

Моделирования Монте-Карло

Вероятность регистрации

Радиус

,угл

.се

к.

Поток, (0.5-2 кэВ), эрг с−1 см−2

Измерение потоков

0.81

2

0.81

2

0.81

2

0.81

2

0.81

2

0.81

2

Измерение потоков

Площадь обзора

nobs(fm, z) =

∫∫

Pm(fm|f, rc)Pd(f, rc)n(f, rc, z) drc df

Psel(f, rc) = Pd(f, rc)

∫

∞

fmin

Pm(fm|f, rc) dfm

Эффективная площадь обзора:

Aeff(fm) = A

∫∫∫

Pm(fm|f, rc)Pd(f, rc)n(f, rc, z) drc df dz∫∫

n(fm, rc, z) drc dz

Кривая подсчетов:

N(> f) =∑

fi>f

(Aeff(fi))−1

Кривая подсчетов

Объем обзора

Aeff(fm, z) = A

∫∫

Pm(fm|f, rc)Pd(f, rc)n(f, rc, z) drc df∫

n(fm, rc, z) drc

Veff(Lm, z1, z2) =

∫ z2

z1

Aeff(fm, z)dV

dzdz

Систематическая ошибка измерения функции отбора

XLF evolution:

no ev.Mullis et al (2004)dev. from best fit

Radii distr.:

JF99

Площадь и объем обзора вычисляются с точностью несколько процентов (!)

Функция светимости

Скоплений с Lx > 1044 эрг с−1 см−2, на z > 0.3:

ожидается 116, наблюдается 47 — ≈ 7σ

Буренин и др., 2007, ApJS, 172, 561

Как измеряются массы скоплений?

Границы скопления: δρ/ρ > 200

Профили плотности скоплений

Скопления — самоподобные объекты. (Полная масса — гидростатика.)

Вихлинин и др., 2006

Радиальная дисперсия скоростей

σ ∝ T 0.6 ∝ M0.4

Соотношение масса – светимость

Соотношение масса – температура

M∆c∝ ρc∆cR

3∆c

, ρc(z) = ρc0E2(z), E(z) = H(z)/H0, R∆c

∝ M1/3

∆c

E−2/3(z),

T ∝ M∆c/R∆c

, =⇒ M∆c∝ T 3/2E−1(z)

Массовая доля газа

Соотношение масса – YX

Кравцов, Вихлинин, Нагаи, 2006, ApJ, 650, 128

Слабое гравитационное линзирование

A1689

Слабое гравитационное линзирование

δM/M ≈ 0.09

Chandra Cluster Cosmology Project — CCCP

z < 0.1 z > 0.45

86 близких и далеких массивных скоплений,

около 2 миллионов секунд наблюдений телескопа Чандра

Функция масс скоплений

Вихлинин и др., 2009, ApJ, 672, 1060

Функция масс скоплений

Новое независимое подтверждение существования темной энергии.

Вихлинин и др., 2009, ApJ, 672, 1060

Ограничения на космологические параметры

Вихлинин и др., 2009, ApJ, 672, 1060

Ограничения на космологические параметры

Вихлинин и др., 2009, ApJ, 672, 1060

Ограничения на космологические параметры

без скоплений

wo = −0.991 ± 0.045 (стат.) ±0.067

± 0.039 (сист.) ±0.076

Функция правдоподобия

Худсон, «Статистика для физиков»

Величина −2∆ lnL распределена как χ2

Марковские цепочки значений параметров

Алгоритм Метрополиса-Гастингса.

Ядро перехода к новой точке:

T (θn, θn+1) = α(θn, θn+1)q(θn, θn+1)

α(θn, θn+1) = min

1,P (θn+1)q(θn+1, θn)

P (θn)q(θn, θn+1)

При этом выполняется:

P (θn)T (θn, θn+1) = P (θn+1)T (θn+1, θn)

P (θ) — равновесное распределение цепочки

Требуемое количество точек примерно пропорционально числу параметров.

Как это работает?

Как это работает?

Как это работает?

Как это работает?

Как это работает?

Как это работает?

Как это работает?

Как это работает?

Как это работает?

Как это работает?

Как это работает?

Как это работает?

Математическое обеспечение

• cosmomc — Cosmological MonteCarlo

http://cosmologist.info/cosmomc/

• CAMB — Code for Anisotropies in the Microwave Background

http://camb.info/

• RECFAST

http://www.astro.ubc.ca/people/scott/recfast.html

МВС-100К

Ограничения на параметры модели ΛCDM

Буренин и Вихлинин, готовится к печати

Ограничения на параметры модели ΛCDM

Буренин и Вихлинин, готовится к печати

Суммарная масса нейтрино

Hu, Eisenstein, 1998

Cуммарная масса нейтрино

Число видов нейтрино

LSDN, MiniBooNE, реакторная нейтринная аномалия — требуют начичия

1 и 2-х видов стерильных нейтрино с массами 0.5–1 эВ

Число видов массивных нейтрино

Число видов массивных нейтрино

Уравнение состояния темной энергии

Уравнение состояния темной энергии

Спектр-рентген-гамма (СРГ)

Спектр-рентген-гамма (СРГ)