= M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"

matem.or

Министерство образования и науки Украины

Национальный горный университет

Библиотека иностранного студента

В.П. Орел О.В. Бугрим О.Ф. Кибкало

МАТЕМАТИКА Часть 8

Функции нескольких переменных (в примерах и задачах)

Учебное пособие

Днепропетровск НГУ 2008

matem.or

УДК 517.51 (075.8) ББК 22.161 О 65

Затверджено до видання навчально-методичним управлінням НГУ як навчальний посібник для студентів технічних спеціальностей різних форм навчання (протокол № 10 від 09.10.07).

Орел В.П., Бугрим О.В., Кібкало О.Ф.

О 65 Математика. У 14 ч. Ч.8. Функції кількох змінних (у прикладах і задачах): Навчальний посібник. – Д.: Національний гірничий університет, 2008. – С. 49. – Рос. мовою. – (Бібліотека іноземного студента).

Розглянуто розділ курсу вищої математики – функції кількох змінних. Наведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник містить методичні вказівки, а також приклади розв’язання близько 70 типових задач і задачі для самостійного розв’язування. Для студентів – іноземних громадян, громадян України, які навчаються на всіх спеціальностях очно, заочно, дистанційно, за вечірньою формою та екстерном.

Рассмотрен раздел курса высшей математики – функции нескольких

переменных. Приведены теоретические основы раздела: теоремы, определения, формулы, прикладные задачи.

Пособие содержит методические рекомендации, а также примеры решения около 70 типовых задач и задачи для самостоятельного решения.

Для студентов – иностранных граждан, а также для студентов – граждан Украины, обучающихся на всех специальностях очно, заочно, дистанционно, по вечерней форме и экстерном.

УДК 517.51 (075.8) ББК 22.161

matem.or

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................... 4

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ......................................................... 5

2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ......................................................................... 9

3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ............................................................... 12

4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.................... 16

5. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ............................................................. 18

6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ....................... 21

7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ........................ 22

8. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ 24

9. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ...................... 28

10. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ...... 33

11. ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ.

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ.................................................................... 35

12. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ................................................ 39

13. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ................. 42

14. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА............................................. 45

Список литературы.................................................................................... 51

matem.or

ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие подготовлено с целью повышения качества и

прогнозирования результатов обучения иностранных студентов в областях знаний: разработка полезных ископаемых, информатика и вычислительная техника, машиностроение и металлообработка.

Соответствует проекту НГУ об издании серии "Библиотека иностранного студента", авторами которого являются профессора кафедры высшей математики Новикова Л.В. и Мильцын А.М., а также начальник управления международных связей профессор Рогоза М.В., декан горного факультета профессор Бузило В.И. и директор ИЗДО профессор Рыбалко А.Я. Серия содержит четырнадцать справочно-практических руководств к решению задач по математике.

Объем и содержание 8-й части "Функции нескольких переменных" отвечает общему курсу высшей математики. Включает элементы теории, определения, методические указания, решение задач и примеров, контрольные вопросы, задачи для самостоятельного решения.

Работая с учебным пособием студенты практически ознакомятся с основными понятиями, определениями и приобретут навыки решения различных примеров и задач.

Учебное пособие по составу и структуре позволяет оперативно формировать общие и индивидуальные контрольные и тестовые задания, диагностировать усвоение учебного материала, вести контроль знаний и прогнозировать результаты.

Учебное пособие издано на русском языке, что обусловлено договором между университетом и иностранными студентами о языке их образования.

федра высшей математики ГВУЗ "НГУ"

matem.or

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Функциональная зависимость между переменными величинами

представляет собой математическую модель, которая применяется для описания реальных явлений. При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более переменных.

Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых

равны х и у, выражается формулой

S xy= .

Каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади S ; S есть функция двух переменных.

Пример 2. Абсолютная температура Т, давление р и объем V данной

массы газа связаны формулой Клапейрона pV RT= ,

где R – некоторая постоянная. Отсюда TV R P= .

Таким образом, V – функция двух переменных р и Т.

Пример 3. Дальность полета снаряда R , выпущенного с начальной скоростью 0v из орудия, ствол которого наклонен к горизонту под углом ϕ , выражается формулой

20 sin 2vR g

(если пренебречь сопротивлением воздуха). Здесь g – ускорение силы тяжести. Для каждой пары значений 0v и ϕ эта формула дает определенное значение R , то есть R является функцией двух переменных 0v и ϕ .

Пример 4. Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны , ,x y z , выражается формулой

V xyz= . Здесь V есть функция трех переменных , ,x y z .

Определение. Если каждой паре (х, у) значений двух независящих друг от друга переменных х и у из некоторой области их изменения Д соответствует определенное значение переменной z , то говорят, что z – функция двух независимых переменных х и у, определенная в области Д.

Символически функцию двух переменных обозначают так: ( ) ( ) ( ); , , , ,z f x y z F x y z z x y= = = .

matem.or

Определение. Множество пар чисел ( ),x y , которым соответствует вполне определенное числовое значение ( );z f x y= , называют областью определения данной функции.

Геометрически область определения функции двух переменных представляет собой часть плоскости, ограниченной линиями. В частности, областью определения может быть или вся плоскость, или ее отдельные точки.

Линию, ограничивающую область на плоскости xOy , называют границей области.

Точки области, не лежащие на границе, называют внутренними точками. Область, состоящую из одних внутренних точек, называют открытой или

незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называют

замкнутой. Найти область определения функций. Пример 5.

2z x y= − . аналитическое выражение 2x y− имеет смысл при любых значениях х и у. Следовательно, областью определения функции является вся плоскость Oxy .

Пример 6. 2 21z x y= − − .

Для того, чтобы х имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, то есть х и у должны удовлетворять неравенству

2 21 0x y− − ≥ или 2 2 1x y+ ≤ . Все точки ( ),M x y , координаты которых удовлетворяют указанному

неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга (рис. 1).

Рис. 1

matem.or

Пример 7. ( )lnz x y= + .

Так как логарифмы существуют

только для положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство

0x y y x+ > ⇒ > − . Это значит, что областью

определения функции z является половина плоскости, расположенная над прямой y x= − , не включая самой прямой (рис. 2).

Пример 8. ( )2 2arcsin 3z x y= + − .

Функция определена при условии

2 21 3 1x y− ≤ + − ≤ ,

которое равносильно условию

2 22 4x y≤ + ≤ . Граничными линиями области

определения являются окружности 2 2 2x y+ = и 2 2 4x y+ = , которые также

принадлежат этой области. Таким образом, область определения

функции состоит из всех точек, лежащих между окружностями 2 2 2x y+ = и

2 2 4x y+ = , и точек, лежащих на этих окружностях (рис. 3).

Рис. 3

Рис. 2

matem.or

Геометрический смысл функции двух переменных

Пусть Д – область определения функции ( ),z f x y= . Функция ( ),z f x y= ставит в соответствие каждой точке ( ),M x y области Д некоторое

число z , геометрически изображаемое аппликатой точки ( ), ,M x y z (рис. 4).

Рис. 4

Таким образом, каждой точке ( ),M x y области Д ставится в соответствие

единственная точка М в пространстве. Придавая х и у различные значения из области Д, получим множество точек в пространстве. Это множество представляет собой поверхность, уравнение которой имеет вид

( );z f x y= .

Область Д является проекцией этой поверхности на плоскость xOy . Определение. Если каждой рассматриваемой совокупности значений

переменных , , ,... ,x y z u t соответствует определенное значение переменной w , то w называют функцией независимых переменных , , ,... ,x y z u t и обозначают

( ), , ,... ,w f x y z u t= . Для функции трех переменных ( ), ,w f x y z= областью определения

является некоторая совокупность точек ( ), ,M x y z пространства. Область определения функции большего числа переменных не допускает

простого геометрического истолкования.

matem.or

2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Определение. Окрестностью точки ( )0 0 0;M x y радиуса r

( r – окрестностью) называют множество всех точек ( ),M x y плоскости xOy , лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке 0M . Для всех таких точек

( ) ( )2 20 0 0M M x x y y r= − + − < .

Определение. Число А называют пределом функции ( ),f x y при

стремлении точки ( ),M x y к точке ( )0 0 0;M x y , если для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно подобрать такую r -окрестность точки

0M , что будет выполняться неравенство

( ),f x y A ε− < . Это означает, что разность ( )f x A− становится сколь угодно малой,

когда точка М оказывается от точки 0M сколь угодно близко. Записывают

lim ,x xy y

f x y A→→

= или ( )0

limM M

f M A→

Функция двух переменных называется бесконечно малой, если ее предел

равен нулю. Замечание. Для функции двух переменных справедливы теоремы о

пределе суммы, произведения и частного аналогичные теоремам для функции одной переменной.

Пример 9. Найти 00

2 2lim

1 1x xy y

x yx y→

+ + −.

Предел функции находится при ( ) ( )0; 0;0M x y M→ , то есть при 0r → , где 0r M M= – расстояние между точками 0M и M . В данном случае точка

0M есть начало координат. Следовательно, 2 2r x y= + . Таким образом,

( ) ( )

2 2 20

0lim lim 01 1 1 1

1 1lim lim 1 1 2.

x y rx y r

→ →

+ = = = + + − + −

+ += = + + =

matem.or

Следует обратить внимание на то, что в разобранном примере функция 2 2

2 2 1 1x y

+ + − не определена в точке ( )0 0,0M , но имеет предел при

0M M→ .

Пример 10. Функция 2 2

2 2x yzx y

+ определена на всей плоскости, за

исключением начала координат. Покажем, что при приближении точки ( ),M x y к началу координат функция не имеет предела. Действительно,

приближаясь к началу координат по оси Ox , где 0y = , получим 2

0lim lim 10x x

xzx→ →

−= =

+. Если же приближаться к началу координат по оси Oy ,

где 0x = , то 2

0lim lim 10y y

yzy→ →

−= = −

+. Таким образом, при приближении точки

( ),M x y к началу координат по различным направлениям функция имеет различные предельные значения и, следовательно, не имеет предела при

0, 0x y→ → . Пример 11.

( )2 200

1lim sin 0xy

x y xy→→

+ = . 1sin xy – величина ограниченная, а произведение

бесконечно малой величины на ограниченную есть величина бесконечно малая. Предел бесконечно малой величины есть нуль.

Пример 12. а) 2 2lim 0xy

x yx y→∞

→∞

+; б)

sinlim 2xy

xy yx y→

в) lim 1 limx

y kx y ky

y e ex→∞ →→∞

Пусть функция ( ),f x y определена в точке ( )0 0 0;M x y и некоторой ее окрестности.

Определение. Функция ( ),f x y называется непрерывной в точке ( )0 0 0;M x y , если всяким бесконечно малым приращениям обоих аргументов

x∆ и y∆ в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть

lim 0xy

z∆ →∆ →

∆ = .

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.

matem.or

Определение. Точки плоскости, в которых нарушены условия непрерывности, называются точками разрыва.

Замечание. Функция двух переменных может иметь не только точки разрыва, но также линии разрыва.

Пример 13. Функция

2 2z x y= + непрерывна при любых значениях х и у, то есть в любой точке плоскости Oxy .

Действительно, каковы бы ни были числа х и у, ,x y∆ ∆ ,имеем:

( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 ,

z x x y y x y x x x x y

y y y x y x x y y x y

∆ = + ∆ + + ∆ − + = + ∆ + ∆ + +

+ ∆ + ∆ − − = ∆ + ∆ + ∆ + ∆

следовательно,

lim 0xy

z∆ →∆ →

∆ = .

Пример 14. Найти точки разрыва функции

Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль. Но

2 0x y− = или 2y x= – уравнение параболы. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва параболу 2y x= (рис. 5).

Рис. 5 Пример 15. Найти точки разрыва следующих функций: а) 2 2lnz x y= + ; точка разрыва 0, 0x y= = , так как логарифмическая

функция определена для всех 0, 0x y> > ;

2y x=Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"

matem.or

б) ( )2

– функция определена для всех х и у, исключая значения х

и у, которые лежат на прямой y x= – линия разрыва;

в) 2 21

− − – линия разрыва – окружность 2 2 1x y+ = ;

г) 1cosz xy= – линии разрыва координатные оси 0; 0x y= = .

3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Определение. Частным приращением функции ( );z f x y= по переменной х называют приращение функции, вызванное изменением только этой переменной х, то есть

( ) ( ), ,x z f x x y f x y∆ = + ∆ − . Определение. Частным приращением функции ( );z f x y= по

переменной у называют приращение функции, вызванное изменением только переменной у, то есть

( ) ( ), ,y z f x y y f x y∆ = + ∆ − . Определение. Полным приращением функции ( );z f x y= называют

приращение, вызванное изменением обеих переменных х и у

( ) ( ), ,z f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ − . Как правило, полное приращение не равно сумме частных приращений. Аналогичным образом определяются частные и полное приращения

функции любого числа переменных. Пример 16. Для функции

( ) 2 2;f x y x xy y= + −

найти частные и полное приращения функции.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

, ,x z f x x y f x y x x x x y y x xy y

∆ = + ∆ − = + ∆ + + ∆ − − − + =

= 22x x x xy+ ∆ + ∆ + 2y x y+ ∆ − 2x− xy− 2y+ 22 .x x x y x= ∆ + ∆ + ∆

matem.or

( ) ( ) 2, ,y z f x y y f x y x∆ = + ∆ − = ( ) ( )2 2x y y y y x+ + ∆ − + ∆ − 2xy y

− + =

= 2x y y+ ∆ − 22 y y y xy− ∆ − ∆ − 2y+ 22 .x y y y y= ∆ − ∆ − ∆

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

, ,z f x x y y f x y x x x x y y

y y y x xy y

∆ = + ∆ + ∆ − = + ∆ + + ∆ + ∆ −

− + ∆ − − − + =

= 22x x x xy+ ∆ + ∆ + 2x y y x x y y+ ∆ + ∆ + ∆ ∆ − 2

2 y y y

− ∆ − ∆ −

− xy− 2y+ 2 22 2 .x x x x y y x x y y y y= ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ∆ − ∆ − ∆

Пример 17. Для функции

( )2 2lnz x y= + . Найти частные и полное приращение функции.

( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

2 2ln ln lnxx x yz x x y x y

x y+ ∆ +

∆ = + ∆ + − + =+

( )( ) ( )( )( )22

22 2 22 2ln ln lny

x y yz x y y x y

+ + ∆∆ = + + ∆ − + =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

2 2ln ln ln x x y yz x x y y x yx y

+ ∆ + + ∆∆ = + ∆ + + ∆ − + =

Определение. Частной производной по переменной х от функции ( ),z f x y= называют предел отношения частного приращения x z∆ к

приращению x∆ при стремлении x∆ к нулю. Частная производная по х от функции ( ),z f x y= обозначается одним из

символов

( )' '; ; ; ;x xz fz f x y x x∂ ∂∂ ∂

Таким образом, по определению

, ( , )lim limxx x

z z f x x y f x yx x x∆ → ∆ →

∂ ∆ + ∆ −= =

∂ ∆ ∆.

Аналогично частная производная по у от функции ( ),z f x y=

определяется как предел отношения частного приращения функции y z∆ по у к приращению y∆ при стремлении y∆ к нулю. Частная производная по у обозначается одним из символов

matem.or

' '; ; ;y yz fz f y y∂ ∂∂ ∂

Таким образом,

( ) ( )

, ,lim limyy y

zz f x y y f x yy y y∆ → ∆ →

∆∂ + ∆ −= =

∂ ∆ ∆.

Заметив, что x z∆ вычисляется при неизменном у, а y z∆ – при

неизменном х, мы можем определения частных производных сформулировать так: частной производной по х от функции ( ),z f x y= называется производная по х, вычисленная в предположении, что у – постоянная. Частной производной по у от функции ( ),z f x y= называется производная по у, вычисленная в предположении, что х – постоянная.

Из этого определения ясно, что правило вычисления частных производных совпадает с правилами, указанными для функций одного переменного, и только требуется каждый раз помнить, по какому переменному ищется производная.

Пример 18. Найти частные производные функции

3 4sinz x y y= ⋅ + .

Считая у как постоянной величиной, получим 23 sinz x yx∂

= ⋅∂

Рассматривая х как постоянную, найдем 3 3cos 4z x y yy∂

= ⋅ +∂

Пример 19. Найти значения частных производных функции

xyz e−= в точке ( )0 0;1M . Находим частные производные, используя формулу дифференцирования

сложной функции ( ) ' 'u ue e u= ⋅ :

( ) ( )'xy xy xyx

z e xy e y yex− − −∂

= ⋅ − = ⋅ − = −∂

( ) ( )'xy xy xyy

z e xy e x xey− − −∂

= ⋅ − = ⋅ − = −∂

Подставляя координаты точки 0M , получим

1; 0M M

z zx y∂ ∂

= − =∂ ∂

matem.or

Пример 20. Найти частные производные функции

6 4 53u x y z= − + . 5 3 46 ; 4 ; 15u u ux y zx y z

∂ ∂ ∂= = − =

∂ ∂ ∂.

Пример 21. Показать, что функция ( )2 2lnz y x y= ⋅ − удовлетворяет

уравнению 21 1z z zx x y y y

∂ ∂⋅ + ⋅ =∂ ∂

Находим частные производные:

( )2 22 2 2 22 2; lnz x z yy x y yx yx y x y

∂ ∂= ⋅ = − − ⋅

∂ ∂− −.

Подставим найденные выражения в левую часть заданного уравнения:

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2ln

ln ln2 2 .

xy yx yx yx y x y

x y x yy y zy yx y x y y

⋅ + − − = − −

− −= + − = =

− −

Получаем тождество, то есть функция z удовлетворяет данному

уравнению.

Пример 22. Показать, что функция / siny x yz y x= ⋅ удовлетворяет

уравнению 2 z zx xy yzx y∂ ∂⋅ + =∂ ∂

Находим

/ /2 2ln sin cosy x y xz y y y yy y yx x xx x

∂ = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ∂ .

/ / 1 /1 1ln sin cosy x y x y xz y y yy y y yy x x x x x−∂ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∂

Подставив найденные выражения в левую часть заданного уравнения,

2 / 2 / / 1

ln sin cos sin

1 1ln sin cos sin ,

y x y x y x

y y y y y yx y y x y xy yx x x xx xy y yxy y y xy y y y yzx x x x x

−− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ =

получаем тождество, следовательно, функция z удовлетворяет данному уравнению.

matem.or

4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Частные производные первого порядка

( )' ,xz f x yx∂

и ( )' ,yz f x yy∂

в общем случае также являются функциями двух переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить производные. Частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций

( )' ,xf x y и ( )' ,yf x y можно дифференцировать как по х, так и по у. Имеем

2 , ,z z z zx x x y y xx

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

2 , .z z z zy y y x x yy

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

Частные производные второго порядка обозначаются также символами

( )'' ,xxf x y , ( )'' ,xyf x y , ( )'' ,yyf x y , ( )'' ,yxf x y .

Смешанные производные, отличающиеся только порядком

дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Таким образом,

2 2.z z

x y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высоких порядков.

Пример 23. Найти вторые частные производные функции

( )2sin 3z x y= + . Убедиться, что

.z zx y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

Находим сначала первые производные:

( )2cos 3 2z x y xx∂

= + ⋅∂

, ( )2cos 3 3z x yy∂

= + ⋅∂

matem.or

Дифференцируя каждую из полученных производных по х и по у, получим вторые частные производные:

( ) ( )2

2 2 22 sin 3 4 2cos 3z x y x x y

= − + ⋅ + +∂

, ( )2

22 9sin 3z x y

= − +∂

26 sin 3z z x x yx y x y∂ ∂ ∂ = = − + ∂ ∂ ∂ ∂

, ( )2

26 sin 3z z x x yy x y x∂ ∂ ∂ = == − + ∂ ∂ ∂ ∂

Отсюда видно, что смешанные частные производные равны. Пример 24. Найти частные производные второго порядка функции 3 3z xy yx= − .

( )3 3 3 23xz xy yx y yxx∂ ′= − = −∂

, ( )3 3 2 33yz xy yx xy xy∂ ′= − = −∂

( )2 '3 2

2 3 6x

z z y yx yxx xx∂ ∂ ∂ = = − = − ∂ ∂∂

, ( )2 '2 3

2 3 6y

z z xy x xyy yy∂ ∂ ∂ = = − = ∂ ∂∂

3 2 2 23 3 3z z y yx y xx y y x y∂ ∂ ∂ ∂ = = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 3 2 23 3 3z z xy x y xy x x y x∂ ∂ ∂ ∂ = = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Пример 25. Найти 3

x y∂∂ ∂

функции ( )cos yu ax e= + .

( ) ( )sin siny yu ax e a a ax ex∂

= − + ⋅ = − +∂

, ( )2

cos y yz a ax e ex y∂

= − + ⋅∂ ∂

( ) ( )( )

2 sin cos

sin cos .

y y y y

z a ax e e e a ax ex yae e ax e ax e

∂= ⋅ + ⋅ + − + =

∂ ∂

= ⋅ + − +

Пример 26. Показать, что 2 2z z

x y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

, если yz x= .

( )' 1y yx

z x y xx−∂

= = ⋅∂

, ( )' lny yy

z x x xy∂

= = ⋅∂

21 1 lny yz x y x xx y− −∂

= + ⋅ ⋅∂ ∂

1 1 11ln lny y y yz y x x x x yx xy x x− − −∂

= ⋅ ⋅ + = + ⋅∂ ∂

matem.or

5. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Определение и вычисление полного дифференциала

Пусть ( ),M x y – данная точка, а ( )1 ,M x x y y+ ∆ + ∆ – близкая точка, отвечающая приращениям аргументов x∆ и y∆ . Полным приращением функции ( ),z f x y= в точке М называется разность

( ) ( ) ( ) ( )1 , ,z f M f M f x x y y f x y∆ = − = + ∆ + ∆ − .

Если приращение z∆ можно представить в виде z zz x yx y ε∂ ∂

∆ = ∆ + ∆ +∂ ∂

где ε – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с расстоянием 2 2x yρ = ∆ + ∆ между точками М и 1M , то функция z называется

дифференцируемой в точке М. Определение. Полным дифференциалом функции двух переменных ( ),z f x y= называется главная линейная часть приращения функции

z zdz x yx y∂ ∂

= ∆ + ∆∂ ∂

Так как приращения независимых переменных совпадают с их

дифференциалами ( ), x dx y dy∆ = ∆ = , то дифференциал функции ( ),z f x y= вычисляется по формуле

z zdz dx dyx y∂ ∂

= +∂ ∂

Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал функции

любого числа переменных. Теоремы и формулы для дифференциалов функций одной переменной

полностью сохраняются и для дифференциалов функций двух и большего числа переменных.

Пример 27. Найти полный дифференциал функции

2 2z x y y x= − . Находим частные производные:

( )'2 2 22x

z x y y x xy yx∂

= − = −∂

, ( )'2 2 2 2y

z x y y x x yxy∂

= − = −∂

matem.or

Имеем

( ) ( )2 22 2dz xy y dx x yx dy= − + − . Пример 28. Найти полный дифференциал второго порядка функции

sin sinz x y= ⋅ .

Находим частные производные:

( )'sin sin sin cosxz x y y xx∂

= = ⋅∂

, ( )'sin sin sin cosyz x y x yy∂

= = ⋅∂

'2 sin cos sin sinxz y x y x

= = − ⋅∂

, ( )2

'2 sin cos sin sinyz x y x y

= = − ⋅∂

'sin cos cos cosyz y x y xx y

∂= = ⋅

∂ ∂. Имеем

( )2 2 2sin sin 2cos cos sin sind z y x dx y xdxdy x y dy= − ⋅ + + − .

Пример 29. Найти полный дифференциал третьего порядка функции 2z x y= . Находим частные производные:

22 22 , , 2 , 0, 2z z z z zxy x y xx y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂,

3 3 3 3

3 3 2 20, 0, 0, 2z z z zx y x y x y∂ ∂ ∂ ∂

= = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

3 3 2 2 3 20 3 2 3 0 0 6d z dx dx dy dx dy dy dx dy= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = . Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

Приращение функции z∆ и ее полный дифференциал dz связаны равенством

z dz ε∆ = + , где ε – бесконечно малая величина; при достаточно малых приращениях аргументов можно величиной ε пренебречь и считать z dz∆ ≈ . Это приводит к приближенному равенству

z zz dz dx dyx y∂ ∂

∆ ≈ = +∂ ∂

matem.or

или ( ) ( ), ,dz f x x y y f x y≅ + ∆ + ∆ − .

Этой формулой можно пользоваться для приближенного подсчета величины ( ),f x x y y+ ∆ + ∆ по известным значениям функции ( ),f x y и ее частных

производных в данной точке ( ),M x y , то есть

( ) ( ), ,f x x y y f x y dz+ ∆ + ∆ = + .

Пример 30. Вычислить приближено число ( )2,031,04a = . Рассмотрим функцию ( ), yf x y x= . Данное число а есть приращенное значение этой функции в точке ( )0 1;2M при 0,04, 0,03x y∆ = ∆ = .

Дифференциал данной функции

1 lny yf fdf x y yx x x x yx y−∂ ∂

= ∆ + ∆ = ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆∂ ∂

Его значения в точке ( )0 1;2M при данных приращениях

( ) 0 2 1 0,04 1 ln1 0,03 0,08Mdf = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = .

Следовательно,

( ) ( ) ( ) 01,04;2,03 1;2 1 0,08 1,08Mf f df≅ + ≈ + ≅ .

Пример 31. Вычислить приближенно 2 0,015sin 1,55 8e+ , исходя из

значения функции 2sin 8 yz x e= + при 1,571, 02x yπ= ≈ = .

Искомое число есть наращенное значение функции z при 0,021x∆ = ,

0,015y∆ = . Найдем значение z при , 02x yπ= = ; имеем 2 0sin 8 32z eπ

= + = .

Находим приращение функции:

sin 2 8 8 0,015 0,0262 sin 8

z z x x e yz dz x yx y x e∂ ∂ ∆ + ⋅ ∆ ⋅

∆ ≈ = ∆ + ∆ = = =∂ ∂ +

Следовательно, 2 0,015sin 1,55 8 3,02e+ ≅ . Пример 32. Вычислить приближенно ( )1,02 / 0,95arctg , исходя из

значения функции ( )/z arctg y x= при 1, 1x y= = . Значение функции z при

matem.or

1, 1x y= = есть 1 0,7851 4z arctg π= = ≅ . Найдем приращение функции z∆ при

0,05, 0,02x y∆ = − ∆ = .

2 2 2 2

2 21 0,02 1 0,05 0,035.2

z z y x x yz dz x yx y x y x yx y y x

∂ ∂ ∆ ∆∆ ≈ = ⋅ ∆ + ⋅ ∆ = − + =

∂ ∂ + +∆ − ∆ ⋅ + ⋅

= = =+

Следовательно, ( )1,02 / 0,95 7,85 0,035 0,82arctg z z≅ + ∆ ≅ + = .

6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ Пусть ( ),z f u v= , а ,u v сами являются функциями двух переменных: ( ),u u x y= , ( ),v v x y= . При этом z оказывается сложной функцией

аргументов х и у: ( ) ( )( ), , ,z f u x y v x y= и ее частные производные zx∂∂

и zy∂∂

будут находиться по формулам:

z z u z vx u x v x∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂

, z z u z vy u y v y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Если ( ),z f u v= ; ( )u tϕ= ; ( )v t t= , то dz z du z dvdt u dt v dt

∂ ∂= ⋅ + ⋅∂ ∂

Если ( ),z f u v= и ( )v uϕ= , то dz z u dvdu u v du

∂ ∂= + ⋅∂ ∂

– формула полной

производной.

Пример 33. Найти zx∂∂

и zy∂∂

, если 2 vz u v ue= + , ( )sin 2u x y= + , /v x y= .

( ) ( ) ( )2 12 cos 2v vz uv e x y u uex x∂

= + + + +∂

( ) ( ) ( )222 2cos 2v vz xuv e x y u uey y

∂ = + ⋅ + + + ⋅ − ∂ .

Пример 34. 3 2 , 2 , lnz x xy x arctg t y t= + = = . Найти dzdt .

( )2 22

2 13 21 4

dz z dx z dy x y xydt x dt y dt tt∂ ∂

= ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅∂ ∂ +

matem.or

Пример 35. Найти полную производную dzdx , если z xtgy= , где

( )3cos 5 1y x= + . По формуле полной производной получим

( ) ( )( )2 2sec 3cos 5 1 sin 5 1 5dz z z dy tgy x y x xdx x y dx∂ ∂

= + ⋅ = + ⋅ + − + ⋅∂ ∂

7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ Рассмотрим случай, когда функциональная зависимость ( )y f x=

определена неявно посредством некоторого равенства ( ), 0F x y = , то есть ( )( ), 0F x f x ≡ . При этом производная / 0dF dx ≡ также. Очевидно, что

( ),F x y , где ( )y f x= – сложная функция аргумента х. Предположим, ( ),F x y – дифференцируемая функция. Ее производная /dF dx отыскивается по формуле полной производной, так что

0dF F F dydx x y dx

∂ ∂= + ⋅ ≡∂ ∂

Следовательно, если в точке ( ),x y производная / 0F y∂ ∂ ≠ , то

справедливо равенство //

dy F xdx F y

∂ ∂= −

∂ ∂.

Пример 36. Функция у определена уравнением 2 5 1 0xyx y e+ − = . Найти /dy dx .

Имеем ( ) 2 5, 1xyF x y x y e= + − , 5/ 2 xyF x xy ye∂ ∂ = + , 2 4/ 5 xyF y x y xe∂ ∂ = + , тогда

2 4/ 2/ 5

xydy F x xy yedx F y x y xe

∂ ∂ += − = −

∂ ∂ + в точках, где / 0F y∂ ∂ ≠ .

Пример 37. В точке ( )0 1,1M составить уравнение касательной к кривой

3 3 2x y xy+ = . Уравнение касательной имеет вид

( )( )0 0 0'y y f x x x− = − .

matem.or

Положим ( ) 3 3, 2F x y x y xy= + − и по формуле найдем 2

2/ 3 2/ 3 2

dy F x x ydx F y y x

∂ ∂ −= − = −

∂ ∂ −. В точке ( )0 1,1M производная

3 2' 1 13 2M

dyf dx−

= = − = −−

. Следовательно, уравнение искомой касательной:

( )1 1y x− = − − или 2 0x y+ − = .

Функция z называется неявной функцией от х и у, если она задана

уравнением

( ), , 0F x y z = , неразрешенным относительно z . Это значит, что при каждой паре значений аргументов 0x x= и 0y y= из области определения неявной функции она принимает такое значение 0z , для которых ( )0 0 0, , 0F x y z = . Если ( ), ,F x y z – дифференцируемая функция трех переменных , ,x y z и ( )' , , 0zF x y z ≠ , то неявная функция ( ),z z x y= также дифференцируема и ее частные производные находятся по формулам

( )( )

', ,, ,

z F x y zx F x y z∂

= −∂

; ( )( )

', ,, ,

F x y zzy F x y z∂

= −∂

Пример 38. Найти частные производные функции ( ),z x y , заданной уравнением

2 2 2 1x y za b c

+ + = .

В данном случае ( )2 2 2

2 2 2, , 1x y zF x y za b c

= + + − , поэтому

2 2 22 2 2, ,F x F y F z

x y za b c∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

2 22 2

x yz c x z c ya bx z y za z b z

− −∂ ∂= = − = = −

∂ ∂.

matem.or

Пример 39. Найти частные производные функции ( ),z x y , заданной уравнением

2 2 5 0xe y x x y z+ + + + = .

Здесь ( ) 2 2, , 5zF x y z e y x x y z= + + + + .

2 22 , 2 , 1zF F Fy xy xy x ex y z∂ ∂ ∂

= + = + = +∂ ∂ ∂

2 22 2,1 1z z

z y xy z xy xx ye e∂ + ∂ +

= − = −∂ ∂+ +

Пример 40. Найти частные производные функции ( ),z x y , заданной

уравнением cos cos cos 1x y y z z x+ + = .

В данном случае ( ), , cos cos cos 1F x y z x y y z z x= + + − , поэтому

cos sin , sin cos , sin cosF F Fy z x x y z y z xx y z∂ ∂ ∂

= − = − + = − +∂ ∂ ∂

cos sin sin cos,sin cos sin cosz y z x F x y zx y z x y y z x∂ − ∂ − +

= − = −∂ − + ∂ − +

8. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ Пусть F – некоторая поверхность и ( )0 0 0 0, ,M x y z – какая-либо точка на

ней. Определение. Касательной плоскостью Р к поверхности F в точке 0M

называется плоскость, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на поверхности F через точку 0M .

Определение. Нормалью к поверхности называется прямая, проходящая

через точку 0M перпендикулярно касательной плоскости. Чтобы написать уравнение касательной плоскости Р в точке 0M , надо узнать вектор ( ), ,N A B C , идущий по нормали (рис. 6). Тогда уравнение плоскости Р

запишется в виде

( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = .

matem.or

Рис. 6

Уравнение нормали п

0 0 0x x y y z z

A B C− − −

Если поверхность задана уравнением, разрешенным относительно z : ( ),z f x y= , то координаты нормального вектора N вычисляются по формулам

( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , ,, , 1f x y z f x y zA B Cx y

∂ ∂= = = −

∂ ∂.

В этом случае точка 0M задается значениями 0 0, x x y y= = , а 0z

находится из уравнения поверхности ( )0 0 0,z f x y= . Если поверхность задана уравнением, неразрешенным относительно z :

( ), , 0F x y z = , то координаты вектора N вычисляются по формулам

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,, ,f x y z f x y z f x y zA B Cx y z∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

а координаты заданной точки М должны удовлетворять уравнению поверхности, то есть ( )0 0 0, , 0f x y z = .

Пример 41. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 2 2z x y= + в точке ( )0 0 0 0, ,M x y z , где 0 01, 2x y= = − .

Находим прежде всего 0z ( )22 2

0 0 0 1 2 5z x y= + = + − = ,

matem.or

затем находим частные производные

2 , 2z zx yx y∂ ∂

= =∂ ∂

Подставляя в частные производные координаты точки ( )0 1, 2,5M − ,

получим координаты вектора N , перпендикулярного поверхности параболоида в данной точке:

0 02 2, 2 4, 1M M

z zA x B y Cx y∂ ∂ = = = = = = − = − ∂ ∂

Следовательно, касательная плоскость имеет уравнение

( ) ( ) ( )2 1 4 2 5 0x y z− − + − − = ,

или 2 4 5 0x y z− − − = .

Уравнение нормали

2 4 1x y z− + −

= =− −

Пример 42. Дана поверхность 2 22 2z x xy y x y= − + − + . Составить

уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к этой поверхности в точке ( )0 1,1,1M .

Найдем частные производные:

2 2 1, 2 2 2z zx y x yx y∂ ∂

= − − = − + +∂ ∂

и вычислим их значения в точке ( )0 1,1,1M :

1, 2, 1M M

z z Cx y∂ ∂ = − = = − ∂ ∂

Следовательно, касательная плоскость имеет уравнение

( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 0x y z− − + − − − = ,

или 2 0x y z− + = .

Уравнение нормали: 1 1 1

1 2 1x y z− − −

= =− −

matem.or

Пример 43. Найти уравнение касательной плоскости к сфере 2 2 2 4x y z+ + = в точке 0M , где 0 01, 3y z= = .

Подставляя 0y и 0z в уравнение сферы, находим 0 0x = , то есть точка ( )0 0;1; 3M . Сфера записывается уравнением

( ) 2 2 2, , 4 0F x y z x y z= + + − = , откуда ' ' '2 , 2 , 2x y zF x F y F z= = = . Следовательно,

( ) ( ) ( )' ' '0 0 0 0 0 02 0, 2 2, 2 2 3x y zA F M x B F M y C F M z= = = = = = = = = .

Поэтому уравнение касательной плоскости следующее:

( ) ( ) ( )0 0 2 1 2 3 3 0x y z− + − + − = или

3 4 0y z+ − = . Эта плоскость параллельна оси Ox . Пример 44. К поверхности 2 2 22 3 11x y z+ + = провести касательные

плоскости, параллельные плоскости 1x y z+ + = . Здесь ( ) 2 2 2, , 2 3 11F x y z x y z= + + − . Найдем частные производные

2 , 4 , 6F F Fx y zx y z∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

Из условия параллельности касательной плоскости и данной плоскости

A B CA B C

– условие параллельности двух плоскостей

следует, что

FF Fyx z

∂∂ ∂∂∂ ∂= = или 2 4 6

1 1 1x y z= = . Присоединив к этим уравнениям уравнение

поверхности 2 2 22 3 11x y z+ + = , найдем координаты точек касания.

2 3 21 1 1 6

2 3 11 3

x ttyx y z t

ttzx y zt tt

= = = = = ⇒ ⇒ = = + + = + + =

точки касания будут ( )1 6, 6 / 2, 6 / 3M и ( )2 6, 6 / 2, 6 / 3M − − − . Следовательно, уравнения касательных плоскостей имеют вид

matem.or

( ) 6 61 6 1 1 02 3x y z ⋅ ± + ⋅ ± + ⋅ ± =

то есть 11/ 6 0x y z+ + + = и 11/ 6 0x y z+ + − = .

Пример 45. Найти углы с осями координат нормали к поверхности

2 2 0x y xz yz+ − − = в точке ( )0 0;2;2M . Найдем частные производные

2 , 2 ,F F Fx z y z x yx y z∂ ∂ ∂

= − = − = − −∂ ∂ ∂

Вычислим значения частных производных в точке ( )0 0;2;2M . Будем

иметь:

2, 2, 2M M M

F F Fx y z

∂ ∂ ∂ = − = = − ∂ ∂ ∂ .

Уравнение нормали к заданной поверхности:

0 2 22 2 2

x y z− − −= =

− −.

Углы с осями координат будем находить по формулам:

2 2 1cos4 4 4 2 3 3

mm n p

α = = − = − = −+ ++ +

2 1 2 1cos ; cos .2 3 3 2 3 3

nm n p

β γ−

= = − = − = = −+ +

9. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Функция ( ),z f x y= имеет в точке ( )0 0 0,M x y максимум

(соответственно, минимум), если найдется такая окрестность точки 0M , для всех точек ( ),M x y которой выполняется неравенство ( ) ( )0 0, ,f x y f x y> (соответственно, ( ) ( )0 0, ,f x y f x y< ). Слова максимум и минимум можно заменить одним словом экстремум.

Необходимые условия экстремума. Всякая дифференцируемая функция двух переменных может достигать экстремума только в тех точках, в которых ее частные производные обращаются в нуль

( ) ( )' ', 0, , 0x yf x y f x y= = .

matem.or

Такие точки называют стационарными. В стационарной точке касательная плоскость к поверхности ( ),z f x y= параллельна плоскости xOy (рис. 7).

Рис. 7 Достаточные условия экстремума. Пусть в некоторой области,

содержащей точку ( )0 0 0,M x y , функция ( ),z f x y= имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка ( )0 0 0,M x y является стационарной точкой функции ( ),f x y , то есть

( )'0 0, 0xf x y = и ( )'

0 0, 0yf x y = . Обозначим

( ) ( ) ( )

2 200 0, ,z z zA B Cx y Mx M y M

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂∂ ∂

и пусть 2AC B∆ = − .

Если в стационарной точке ( )0 0 0,M x y : 1) 0∆ > и 0A > , то 0M – точка минимума,

0∆ > и 0A < , то 0M – точка максимума; 2) 0∆ < , то в точке 0M экстремума нет; 3) 0∆ = , то требуется дополнительное исследование.

matem.or

Пример 46. Найти экстремум функции 2 2 3 6z x xy y x y= + + − − . Находим частные производные первого порядка

2 3, 2 6z zx y x yx y∂ ∂

= + − = + −∂ ∂

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

( )02 3 0 2

3 0 0, 3; 0,32 6 0

x yx x y M

x y+ − = −+ ⇒ − = ⇒ = = + − =

Находим частные производные второго порядка в точке 0M

2 22, 1, 2; 2, 1, 2z z z A B Cx yx y∂ ∂ ∂

= = = = = =∂ ∂∂ ∂

Составляем дискриминант

2 2 2 1 3 0, 0AC B A∆ = − = ⋅ − = > > .

Следовательно, в точке ( )0 0,3M заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке

( )min 0,3 9 18 9z = − = − . Пример 47. Найти экстремум функции

( )1 472 3 4x yz xy x y = + − − +

Преобразуем заданную функцию

2 2 2 21 47 47 1 47 47

2 3 4 3 4 3 4 12 3 4 3 4x xy xy y x yz xy x y xy x y= + + − − − − = − + + − − .

Находим частные производные первого порядка: 1 47 2 1 47,12 3 3 12 4 2

z z yy x xx y∂ ∂

= − + − = − + −∂ ∂

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

1 2 47 012 3 31 1 47 02 12 4

− − + =− − + =

или 8 188 6

47 987 21, 206 141

x yx x y

x y+ = − ⇒ − = − ⇒ = = + =

matem.or

стационарная точка ( )0 21,20M . Найдем значения вторых производных в точке 0M :

2 22 1 1, ,3 2 12

z z zx yx y

∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂∂ ∂.

Тогда 2

2 2 1 1 1 1 03 2 12 3 144AC B ∆ = − = − ⋅ − − − = − >

Так как 0A < , то в точке ( )0 21,20M функция имеет максимум: max 282z = .

Пример 48. Исследовать на экстремум функцию

3 23 15 12z x xy x y= + − − . Найдем частные производные и составим систему уравнений

2 23 3 15, 6 12z zx y xyx y∂ ∂

= + − = −∂ ∂

4 22 2 2 2

22 122

5 4 03 3 15 0 526 12 0 2 , 0

5 3 42 1 , 2

y yx y x yxy xy x yy

x y x y

− + = + − = + = ⇒ ⇒ ⇒

− = = = ≠

± == ⇒ = = =

то есть получим четыре стационарные точки

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41;2 ; 2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 .M M M M− − − −

Найдем частные производные второго порядка:

2 26 , 6 , 6z z zx y xx yx y∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂∂ ∂

и составим дискриминант 2AC B∆ = − для каждой стационарной точки.

1. Для точки 1 :M 1 1 1

2 26, 12, 6M M M

z z zA B Cx yx y∂ ∂ ∂

= = = = = = ∂ ∂∂ ∂ ,

2 36 144 0AC B∆ = − = − < . Значит, в точке 1M экстремума нет.

2. Для точки 2 :M 12, 6, 12A B C= = = , 144 36 0∆ = − > . В точке 2M имеем минимум. Минимум этот равен значению функции при 2, 1x y= =

min 8 6 30 12 28z = + − − = − .

matem.or

3. Для точки 3 :M 6, 12, 6A B C= − = − = − , 36 144 0∆ = − < . Экстремума нет.

4. Для точки 4 :M 12, 6, 12A B C= − = − = − , 144 36 0∆ = − > , 0A < . В точке 4M функция имеет максимум: max 8 6 30 12 28z = − − + + = . Пример 49. Найти экстремумы функции 4 4 2 22 4 2z x y x xy y= + − + − . Находим частные производные

3 34 4 4 , 4 4 4z zx x y y x yx y∂ ∂

= − + = + −∂ ∂

Приравнивая эти производные к нулю, получим систему уравнений, из

которой определяются стационарные точки данной функции 3

− + =

+ − =

Складывая эти уравнения, получим 3 3 0x y+ = или 3 3y x= − ,

и, следовательно, y x= − . Подставляя это в первое из уравнений, найдем значения х:

( )3 22 0, 2 0x x x x− = − = .

Отсюда 1 2 30, 2, 2x x x= = = , а тогда 1 2 30, 2, 2y y y= = − = . Таким образом, имеются три стационарные точки:

( ) ( ) ( )1 2 30;0 , 2, 2 , 2, 2M M M− − .

Проверяем эти точки на экстремум с помощью достаточных условий. Для этого найдем сначала вторые частные производные:

2 2 22 2

2 212 4, 4, 12 4z z zx yx yx y∂ ∂ ∂

= − = = −∂ ∂∂ ∂

Подставляя сюда координаты стационарных точек, получим: для точки 1 :M 24, 4, 4, 0A B C AC B= − = = − ∆ = − = ; 2 :M 220, 4, 20, 384 0A B C AC B= = = ∆ = − = > ;

3 :M 220, 4, 20, 384 0A B C AC B= = = ∆ = − = > .

В точках 2M и 3M 0, 0A∆ > > , так что это точки минимума функции. В этих точках значения функции

( )min 4 4 2 2 4 2 2 2 8z = + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ = .

matem.or

В точке 1 0M ∆ = и достаточный признак ответа не дает. Дополнительными исследованиями можно установить, что в начале координат функция z экстремума не имеет.

10. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Экстремумы функции по своему определению носят локальный характер:

в точке экстремума 0M функция принимает максимальное или минимальное значение среди всех ее значений в некоторой, быть может, очень малой окрестности точки 0M .

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции ( ),z f x y= в некоторой замкнутой области Д, нужно определить:

– стационарные точки функции; – значения функции в стационарных точках; – наибольшее и наименьшее значения функции на границах области Д. Затем среди всех найденных значений выбрать наибольшее и

наименьшее. Пример 50. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

( )2 2 3 2 22 2z x y x y x y x y x y= − − = − −

х+у=6х=0

Рис. 8

в треугольнике, ограниченном прямыми 0, 0, 6x y x y= = + = (рис. 8). Найдем стационарные точки, лежащие внутри данного треугольника:

( )2 24 3 2 4 3 2z xy x y xy xy x yx∂

= − − = − −∂

( )2 3 2 32 2 2 2z x x x y x x yy∂

= − − = − −∂

matem.or

Приравнивая производные к нулю, можно на х и у сократить, так как внутри треугольника 0x > и 0y > :

4 3 2 02 2 0.

x yx y

− − = − − =

Решение этой системы: 0 011, 2x y= = . Стационарная точка ( )0 1;0,5M

лежит внутри треугольника. Значение функции z в этой точке

( ) ( )0 0 1 0,5 2 1 0,5 0,25z z M= = ⋅ − − = . На сторонах треугольника 0, 0x y= = значения функции z равны нулю.

Найдем ее наибольшее и наименьшее значения на стороне 6x y+ = . На ней 6y x= − , 0 6x< < и ( ) ( ) ( ) ( )2 26 2 6 4 6z z x x x x x x x= = − − − + = − − . На концах интервала ( ) ( )0 6 0z z= = . Стационарные точки находим из

уравнения ( )' 0z x = , где

( )248 12 0, 12 4 0x x x x− + = − = . Отсюда 4x = (так как 0x = – граничная точка). При этом

( )2, 4 16 6 4 128y z= = − ⋅ − = − . Итак, наибольшее и наименьшее значения функции z в данном

треугольнике надо искать среди следующих ее значений: z = 0,25 – внутри треугольника, в точке (1; 0,5); z = 0 – на сторонах 0, 0x y= = (в том числе и в вершинах); z = – 128 – на стороне 6x y+ = , в точке (4; 2).

Отсюда видно, что наибольшее значение z = 0,25 данная функция принимает внутри треугольника, в точке (1; 0,5), а наименьшее значение z = – 128 – на его границе, в точке (4; 2).

Пример 51. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 2z x y= − в круге 2 2 4x y+ ≤ . Находим частные производные ' '2 , 2x yz x z y= = − . Решаем систему

уравнений: 2 0

получим одну критическую точку ( )0 0;0P , в которой значение функции равно нулю.

Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения функции на границе, то есть на окружности 2 2 4x y+ = . Для точек этой окружности функцию

matem.or

2 2z x y= − можно представить как функцию одной переменной ( )2 2( ) 4z x x x= − − , то есть. 22 4z x= − , причем 2 2x− ≤ ≤ . Итак, нахождение

наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных на окружности 2 2 4x y+ = мы свели к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной 22 4z x= − на сегменте [ ]2,2− . Найдем критические точки функции в интервале ( )2,2− и вычислим значения функции в этих точках и на концах интервала. Имеем ' 4 , 4 0z x x= = , откуда получаем критическую точку 00; 4xx z == = − . Далее, находим 2 24, 4x xz z=− == = . Таким образом, функция имеет наибольшее значение, равное 4, и наименьшее значение, равное –4.

Итак, наибольшее значение функция 2 2z x y= − в круге 2 2 4x y+ ≤ принимает в точках ( )1 2;0M − и ( )2 2;0M окружности 2 2 4x y+ = и наименьшее в точках ( )3 0;2M и ( )4 0; 2M − той же окружности.

Заметим, что наибольшее и наименьшее значения функции на окружности 2 2 4x y+ = можно найти иначе.

Представим уравнения окружности в параметрическом виде:

( )2cos , 2sin 0 2x t y t t π= = ≤ ≤ . Тогда 2 2 2 24cos 4sin 4cos2z x y t t t= − = − = . Найдем наибольшее и

наименьшее значения этой функции на сегменте 0 2t π≤ ≤ . Для этого, продифференцировав функцию 4cos2z t= , получим ' 8sin 2z t= − . Составив уравнение 8sin 2 0t− = , находим три критические точки 1 2 3/ 2, , 3 / 2t t tπ π π= = = , лежащие внутри указанного сегмента. Вычислив значения функции 4cos2z t= в этих точках, а также на концах сегмента 0t = и

2t π= , заметим, что получаются лишь два различных между собой значения функции: 1 4z = − (наименьшее значение) и 2 4z = (наибольшее значение).

11. ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ. ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ

Определение. Производной функции ( ),z f x y= в точке ( ),M x y в

направлении вектора 1l MM= называется предел ( ) ( )

lim limMM

z f M f M zl MM ρ ρ→ →

∂ − ∆= =

где 2 2x yρ = ∆ + ∆ .

Если функция ( ),f x y дифференцируемая, то производная в данном направлении вычисляется по формуле

matem.or

cos sinz z zl x yα α∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂

где α – угол, образованный вектором l с осью Ox .

В случае функции трех переменных ( ), ,u f x y z= производная в данном направлении определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид

cos cos cosu u u ul x y zα β γ

∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂,

где cosα , cosβ , cosγ – направляющие косинусы вектора l .

Градиентом функции ( ),z f x y= в точке ( ),M x y называется вектор, выходящий из точки М и имеющий своими координатами частные производные функции z :

z zgradz i jx y∂ ∂

= ⋅ + ⋅∂ ∂

Градиент функции и производная в направлении вектора l связаны

формулой

ez np gradzl∂

Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в

данной точке. Производная zl∂∂

в направлении градиента имеет наибольшее

значение, то есть 2 2

наиб

z z zgradzl x y∂ ∂ ∂ = = + ∂ ∂ ∂

В случае функции ( ), ,u f x y z= градиент функции

u u ugradu i j kx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

Пример 52. Найти производную функции 2 2z x y= − в точке ( )1,1M в

направлении вектора l , составляющем угол 60α = с положительным направлением оси Ox .

Найдем значения частных производных в точке М:

2 , 2 , 2, 2M M

z z z zx yx y x y∂ ∂ ∂ ∂ = = − = = − ∂ ∂ ∂ ∂

matem.or

Так как cos cos60 1/ 2, sin sin 60 3 / 2α α= = = = , то

1 32 2 1 3 0,72 2zl∂

= ⋅ − ⋅ = − ≈ −∂

Пример 53. Найти производную функции 2 3u xy z= в точке ( )3,2,1M в

направлении вектора MN , где ( )5,4,2N . Найдем вектор MN и его направляющие косинусы:

( ) ( ) ( )5 3 4 2 2 1 2 2MN l i j k i j k= = − + − + − = + + .

2 2 2 1cos ; cos ; cos3 3 32 2 1α β γ= = = =

Вычислим значения частных производных в точке М:

2 3 3 2 2; 2 ; 3 ;u u uy z xyz xy zx y z

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

4; 12; 36M M M

u u ux y z∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂

Следовательно, 2 2 1 24 12 36 223 3 3 3ul

∂= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

Пример 54. Найти производную функции ( )2 2lnz x y= + в точке

( )3,4M в направлении градиента функции z . Здесь вектор l совпадает с градиентом функции ( )2 2lnz x y= + в точке

( )3,4M

2 2 2 22 2 6 8

25 25M M

x ygradz i j i jx y x y

= ⋅ + ⋅ = + + + .

Следовательно, 2 26 8 2

25 25 5z gradzl∂ = = + = ∂

Пример 55. Найти величину и направление градиента функции

33sin sinu tgx x y y z ctgz= − + − + + в точке ( )/ 4; / 3; / 2M π π π . Найдем частные производные

1sec 1; 3cos 3sin cos ; 1sin

u u ux y y yx y z z∂ ∂ ∂

= − = − = −∂ ∂ ∂

matem.or

и вычислим их значения в точке ( )/ 4; / 3; / 2M π π π : 21 3 1 32 1; 3 3 ; 1 1 02 2 2 8M M M

u u ux y z∂ ∂ ∂ = − = ⋅ − ⋅ ⋅ = = − = ∂ ∂ ∂

( ) ( )23 3; 1 73 /88 8M Mgradu i j gradu = + = + =

1 8cos ; cos sin 3/ 7373 /8 73

α β α= = = = .

Пример 56. Найти производную от функции ( )ln 2z x y= + в точке

( )1 1,1/ 2M , принадлежащей параболе 2 / 2y x= по направлению касательной к этой параболе.

Находим частные производные от функции ( )ln 2z x y= + :

1 2,2 2z zx x y y x y∂ ∂

= =∂ + ∂ +

и их значения в точке ( )1 1,1/ 2M :

1 1 2; 11 2 11 2 1 22 2M M

z zx y∂ ∂ = = = = ∂ ∂ + ⋅ + ⋅

Для того, чтобы найти значения cosα и sinα , находим угловой коэффициент касательной в точке ( )1 1,1/ 2M

12M xx

xk tg y xα ==

= = = = =

Таким образом, 1tgα = , откуда получим два значения α : 1 45α = и 2 225α = , которые соответствуют двум взаимно противоположным направлениям касательной.

При 1 45α = имеем 12cos cos45 ; sin sin 45 2 / 22α α= = = = .

Следовательно, 1 2 2 3 212 2 2 4ul

∂= ⋅ + ⋅ =

При 2 225α = аналогично получим 3 24

matem.or

12. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что называется функцией двух переменных? 2. Что называется областью определения функции двух переменных и

какой ее геометрический смысл? 3. Что представляет собой график функции ( ),z f x y= ? 4. Дать определения предела функции ( )z f M= при 0M M→ . 5. Дать определения непрерывной функции двух переменных в точке и на

множестве точек. 6. Найти область определения Д функции

( )2 2 2 21 ln 4z x y x y= + − + − − .

7. Убедиться, что ( )( )

2 1 1 1lim 22xy

x yx y→

+ − + −=

+ −.

8. Доказать, что 2 200

xyx y→

не существует.

9. Исследовать на непрерывность функции

а) 22 3z x y= + , б) 2

2 22 1x yz

x y+ −

, в) 21

2x yzy x+ −

10. Дать определение частной производной функции двух переменных по одной из них.

11. Как определяют частные производные второго и третьего порядков для функции двух переменных?

12. Сформулировать теорему о равенстве смешанных производных. 13. Дать определение полного дифференциала функции двух переменных

и записать формулу для его нахождения. 14. Как применяется полный дифференциал функции для приближенных

вычислений ее значений?

15. Как найти производную dzdt сложной функции ( ) ( )( ),z f x t y t= ?

16. Что называют полной производной? 17. Написать формулу для нахождения производных '

xz и 'yz , если

( ),z f u v= , где ( ),u u x y= , ( ),v v x y= . 18. Правила дифференцирования неявных функций одной и двух

переменных.

matem.or

19. Найти частные производные 'xz и '

yz в точке ( )0 1,1M , если 3 3z x y xy= + − .

20. Доказать, что функция ( )2 2lnz x xy y= + + удовлетворяет

уравнению: ' ' 2x yx z y z⋅ + ⋅ = .

21. Показать, что функция sin yz x x= удовлетворяет уравнению ' '2 2x yx z y z z⋅ + ⋅ = .

22. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала число 2,031,04a = .

23. Показать, что для функции 3 2 3z x y xy= + + дифференциал третьего

порядка ( )3 3 36d z dx dy= + .

24. Пусть 2z u v= + , где ( )2 sin , lnu x y v x y= + = + . Показать, что ' ' 2 cosx yz z x y− = − .

25. Пусть ( )5

xe y zu −= , где 2sin , cosy x z x= = . Показать, что полная

производная 2 sinxdu e xdx = ⋅ .

26. Доказать, что частные производные 'xz и '

yz неявной функции

( ),z x y , которая задана уравнением 2 2 22z y zx+ = − , удовлетворяют условию

2 ' '1 1x yx z zy z+ = .

27. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением ( ), , 0F x y z = в точке 0M .

28. Сформулировать необходимые условия существования экстремума функции двух переменных.

29. Сформулировать достаточные условия экстремума функции двух переменных.

30. Метод нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных.

31. Привести формулу нахождения производной по направлению. 32. Дать определение градиента скалярного поля.

matem.or

33. Найти уравнение касательной плоскости и нормали в точке (1, 2, 1) к

однополостному гиперболоиду 2 2 22 4 5x y z+ − = .

34. Найти производную функции 2 22u y z xyz z= − + в точке ( )0 3,1,1M по направлению вектора, который образует с осями координат углы

, 3 4π π

α β= = .

35. Найти экстремумы функции ( )3 2 1z x y x y= − − . 36. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x y= + в круге

2 2 1x y+ ≤ .

Ответы: 6. Д – множество точек, которые находятся между окружностями 2 2 1x y+ = и 2 2 4x y+ = , причем внутренняя окружность входит в области Д, а внешняя – нет. 9. а) функция непрерывна на всей плоскости xOy ; б) функция не определена, а значит, разрывна в точке О (0, 0); в) точки разрыва находятся на параболе 2 2y x= . 19. ( ) ( )' '1,1 1,1 2x yz z= = .

22. 1,08a ≈ . 33. 1 2 14 4 5, 1 4 4x y zx y z − − −

+ − = = = . 34. 5 4 22

∂ += −

35. max1 1 1;2 3 432z z = =

. 36. 2, 2− . Указание. При нахождении

стационарных точек на границе области воспользоваться параметрическими уравнениями окружности.

matem.or

13. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти частные производные второго порядка 1. 42 .xz arctg y= − 2. 5 2.z x y= ⋅

3. .xz x y=+

4. 2arccos .z y x=

5. 6 47 .z y xy= − 6. 2 .x yzx−

5 .xyz = 8. 5 3.z x y= +

9. 3 3

3 3 .x yzx y

− 10. cosy y x= .

2. Найти частные производные zu∂∂

и zv∂∂

для сложных функций:

1. 2 2 2 2, , .y xz xe ye x u v y u v= + = + = −

2. 4 , , .xz x y x u v y v u= + = − = −

3 , , / .xyz x u v y u v= = ⋅ =

4. ( )3 2 3 46 , ln , .z x x y x uv y uv= − − = =

5. 2 2cos , 3 , / .z xy x u v y v u= = =

6. ( )4 4 5 2, , .z x y x tg uv y u v= − = =

7. ( )3 5 27 , , sin .x yz x u v y uv−= = =

8. ( )2 2 , , .v uz ctg x y x u y v= = =

9. ( ) ( )2

2 22 , cos , sin .xz x uv y u v

y= = =

10. 4 4 3 3arcsin , , .z xy x u v y u v= = + = − 3. Найти полный дифференциал первого порядка функции. 1. ( )ln 2 3 .yz x y arctge= − − 2. 3sin .z x y xy= ⋅ +

3. 2 4 2arcsin sin .z x y x y= − − 4. 2 4 cos .yz y arctgx x e= − +

5. 3 3arccos2 .z x y y y= + − 6. 3ln5 .z x x xy= − +

7. ( ) 22 sin .z yarctg x y y= − − 8. ( )2 2 3ln cos .z x y x y= − −

9. 4 32 ln .2x yz x yx y−

= −+

10. 4 .yx yz arctg ex y−

= −+

matem.or

4. Вычислить приближенно значение 0z

1. 3,040 1,97 .z = 2. 2,81

0 4,02 .z =

3. 5,060 3,92 .z = 4. 3,97

0 0,95 .z =

5. 2,940 1,08 .z −= 6. 4,07

0 1,09 .z =

7. 2,050 1,93 .z −= 8. 1,97

0 2,03 .z =

9. 1,080 2,96 .z = 10. 1,08

0 4,96 .z −= 5. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной

поверхности в точке 0M .

1. ( )2 20; 1, 2,5 .z x y M= + − 2. ( )2 2

05 3 ; 1,1,2 .z x y xy M= −

3. ( )2 2 202 3 21; 1,2,2 .x y z M+ + = 4. ( )2 2 2

03 5; 2,1, 2 .x y z M− + = −

5. ( )2 20; 1,1, 1 .z x xy y M= + − − − 6. ( )2

04 6 ; 1,1,10 .z x xy M= − −

7. ( )2 202 3 ; 1, 1,4 .z x xy y M= + − − − 8. ( )2 2 2

02 3; 2,1,1 .x y z M+ − =

9. ( )4 203 2 4; 1; 1; 1 .x xy z M− − = − − 10. ( )4 2

03 , 1;1;1 .z x y M= − −

6. Исследовать на экстремум функцию.

1. ( )22 21 2 .z x y= − + 2. 2 2 2 .z x xy y x y= + + − −

3. 3 38 6 5.z x y xy= + − + 4. 2 2 9 6 1.z x xy y x y= − + + − +

5. 2 23 6 .z x y x xy y= + − − − 6. 3 2 2 22 5 .z x xy x y= − + +

7. ( )2 21 2 .z x y= − − 8. 4 4 2 22 4 2 .z x y x xy y= + − + −

9. 2 6 .z y x y x y= − − + 10. 2 4 2 .z xy x y= − + 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ( ),z f x y= в

замкнутой области Д, которая задается системою неравенств. Сделать рисунок.

1. 2 2 , 0, 0, 3.z x y xy x y x y x y= + − + + ≤ ≤ + ≥ −

2. 3 2 2, 1.z x y x y= + ≤

3. 3 3 3 , 0 2, 1 2.z x y xy x y= + − ≤ ≤ − ≤ ≤

4. 2 , 1 1,0 3.z x xy x y= + − ≤ ≤ ≤ ≤

5. 2 23 , 1, 1, 1.z x y x y x y x y= + + − ≥ ≥ − + ≤

matem.or

6. 2 25 3 4, 1, 1, 1.z x xy y x y x y= − + + ≥ − ≥ − + ≤

7. 2 22 2 , 1 1,0 2.z x xy y x y= + + − ≤ ≤ ≤ ≤

8. 2 210 2 , 0 4 .z xy x y x= + − ≤ ≤ −

9. 2 22 4 , 0, 0, 2 0.z x xy y x x y x y= + − + ≤ ≤ + + ≥

10. 2 2 2 2, 1.z x y x y= − + ≤

8. Найти градиент функции U и производную в точке М по направлению

вектора 1MM .

1. ( ) ( )2

1arcsin , 1,2, 1 , 3,1,12xU yz M M= − − .

2. ( ) ( ) ( )21ln 4 3 , 1,1,1 , 3, 1,0U z y x M M= − − − − .

3. ( ) ( ) ( )21arc 3 , 1, 1,2 , 1, 1,3U tg xy x M M= + − − − .

4. ( ) ( ) ( )2 21ln 5 3 , 2,4, 1 , 0, 1, 2U x y xz M M= + − − − − .

5. ( ) ( )4 2 313 , 1,2,1 , 3,3, 1U x z y z M M= + − − − .

6. ( ) ( )2 215 , 1,1, 1 , 1,3, 2U xyz y z M M= + − − − .

7. ( ) ( )21, 1,1,1 , 3, 1,2U x z yz M M= − − .

8. ( ) ( )21, 3,4,1 , 5,2,2U xyz z y M M= − .

9. ( ) ( )2 215 , 1,3,1 , 3,5,1U x xyz M M= + − − .

10. ( ) ( )2 312 , 3,2,1 , 5,4, 2U xyz x y M M= + − .

matem.or

14. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА 1. Найти частные производные второго порядка 2sinz x y= .

Найдем частные производные первого порядка:

( ) ( )2 2 2 2sin sin , sin 2 cosx yz zx y y x y xy yx y∂ ∂′ ′= = = =∂ ∂

Дифференцируем каждую из полученных частных производных по х и у,

будем иметь частные производные второго порядка:

( ) ( )2 2' '2 2 2

2 sin 0, sin cos 2 .x y

z z z zy y y yx x x y y xx∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = = = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

( )2 '2 22 cos 2 cos .

xz z xy y y yy x x y

∂ ∂ ∂ = = ⋅ = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂

( )2 '2 2 2 2

2 2 cos 2 cos 4 sin .y

z z xy y x y xy yy yy∂ ∂ ∂ = = ⋅ = − ∂ ∂∂

2. Найти частные производные zu∂∂

и zv∂∂

от сложных функций

( ) 3 5 4 3cos , ,z y x y x u v y u v= + = + = .

Формулы для нахождения частных производных сложной функции

имеют вид

;z z x z y z z x z yu x u y u v x v y v∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Находим:

( ) ( ) ( )sin , cos sin ,z zy x y x y y x yx y∂ ∂

= − + = + − +∂ ∂

2 4 3 3 4 23 , 5 , 4 , 3z x y yu v u v u vu v u v∂ ∂ ∂ ∂

= = = =∂ ∂ ∂ ∂

matem.or

Получаем

( ) ( ) ( )( )2 3 3sin 3 cos sin 4z y x y u x y y x y u vu∂

= − + ⋅ + + − + ⋅∂

( ) ( ) ( )( )4 4 2sin 5 cos sin 3z y x y v x y y x y u vv∂

= − + ⋅ + + − + ⋅∂

3. Найти полный дифференциал первого порядка функции

2sin ln 4xyz x y= − . Дифференциал первого порядка:

( ) ( ), ,z x y z x ydz dx dyx y

∂ ∂= +

∂ ∂.

Найдем частные производные первого порядка

2 221 2cosln 2 4 ln 4 cosln 4 ln 4xy xyz x y xy y x y yx xx y

∂= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅

2 2 221 1cosln 4 ln 4 cosln 4 ln 4xy xyz x y x x x y xy yx y

∂= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅

По формуле дифференциала первого порядка имеем:

2 22 1cosln 4 ln 4 cosln 4 ln 4xy xydz x y y dx x y x dyx y = − + − ⋅

4. Вычислить приближено значение 0z . 3,98

0 2,08z −= .

Рассмотрим функцию ( ), yf x y x= . Данное число 0z есть приращенное значение этой функции в точке ( )0 2; 4M − при 0,08x∆ = , 0,02y∆ = + .

Дифференциал данной функции

1 lny yz zdz x y yx x x x yx y−∂ ∂

= ∆ + ∆ = ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆∂ ∂

Его значение в точке ( )0 2; 4M − при данных приращениях

matem.or

5 4 14 2 0,08 2 ln 2 0,02 0,01 0,69 0,02 0,00916Mdz − −= − ⋅ ⋅ + ⋅ = − + ⋅ ⋅ = − .

( ) ( ) ( )

42,08; 3,98 2; 4 2 0,009 0,0625 0,009 0,0535Mf f dz −− ≅ − + ≅ − = − = .

5. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности 23z xy y= − в точке ( )0 1; 2,2M − − .

Уравнение касательной плоскости записывается в виде

( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = . Уравнение нормали

0 0 0x x y y z zA B C− − −

Так как заданная поверхность имеет уравнение 23z xy y= − , то

координаты нормального вектора N вычисляются по формулам ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , ,, , 1z x y z z x y zA B Cx y

∂ ∂= = = −

∂ ∂

( ) ( )0 0

23 6; 3 2 11, 1M MM M

z zA y B x y Cx y∂ ∂ = = = − = = − = − = − ∂ ∂

Следовательно, касательная плоскость имеет уравнение ( ) ( ) ( )6 1 11 2 2 0x y z− + − + − − = , 6 6 11 22 2 0x y z+ + + + − = или

6 11 26 0x y z+ + + = . Уравнение нормали

1 2 26 11 1

x y z+ + −= =

− − − или 1 2 2

6 11 1x y z+ + −

6. Исследователь на экстремум функцию 3 3 3 .z x y xy= + − Находим частные производные

2 23 3 , 3 3z zx y y xx y∂ ∂

= − = −∂ ∂

Приравнивая эти производные к нулю, получим систему уравнений, из которой определяются стационарные точки данной функции.

3 3 0 0

x y y x

y x x x

− = =⇒ ⇒

− = − = 1 1

0, 01, 1.

x yx y= == =

matem.or

Таким образом, имеем две стационарные точки: ( )1 0;0M , ( )2 1;1M . Найдем сначала вторые частные производные:

2 26 , 3, 6z z zx yx yx y∂ ∂ ∂

= = − =∂ ∂∂ ∂

Подставляя сюда координаты стационарных точек, получим: для точки 2

1 : 0, 3, 0, 9 0M A B C AC B= = − = ∆ = − = − < , экстремума нет; для точки 2 : 6, 3, 6, 6 6 3 33 0M A B C= = − = ∆ = ⋅ − = > и 0A > , так что это точка минимума функции.

min 1 1 3 1z = + − = − .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 29 27z xy x y= − + + + , если 0 3,0 3x y≤ ≤ ≤ ≤ .

Заданная область изображена на рис. 9. y

Рис. 9

Заданная область изображена на рис. 9. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее

значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные

2 9 , 2 9z zx y y xx y∂ ∂

= − = −∂ ∂

равны нулю.

matem.or

Решим систему уравнений 9

2 9 0 22 9 0 92 9 02

x yx yy x y y

=− = ⇒ ⇒ − = − ⋅ =

Точка 0 (0;0) принадлежит границе заданной области, внутренних

стационарных точек нет. На отрезке ОА имеем х = 0 и поэтому на этом отрезке 2 27z y= +

( )0 3y≤ ≤ есть возрастающая функция от одной переменной у, наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка ОА: ( )0;0 27z = ; ( )0,3 36z = .

На отрезке АВ: у = 3 функция 2 27 36z x x= − + ( )0 3x≤ ≤ представляет функцию одной переменной х, ее наибольшее значение находится среди ее значений в критических точках и на концах отрезка: ' 2 27z x= − , 2 27 0 13,5x x− = ⇒ = , эта точка не принадлежит отрезку АВ. На концах отрезка АВ: ( )0,3 36z = , ( )3,3 9 9 81 27 36z = + − + = − .

На отрезке ВС: х = 3, ( )0 3y≤ ≤ , 2 29 27 27 27 36z y y y y= + − + = − + , ' 2 27z y= − , 2 27 0 13,5y y− = ⇒ = , эта точка не принадлежит отрезку ВС.

Отрезок СО: у = 0, ( )0 3x≤ ≤ , 2 27, ' 2z x z x= + = , 2 0 0x x= ⇒ = . Точка О (0;0) принадлежит границе заданной замкнутой области.

Итак, ( )0,0 27z = , ( )0,3 36z = , ( )3,3 36z = − . Наибольшее значение функции в точке А ( )0;3 36наибz = . Наименьшее –

в точке В 36наимz = − . 8. Найти градиент U в точке ( )1,3, 1M − и производную в точке М по

направлению вектора 1MM .

( ) ( ) ( )2 21ln 3 4 , 1;3, 1 , 3,5, 2U x y zy M M= + − − − .

Найдем вектор 1MM и его направляющие косинусы:

( ) ( ) ( )1 3 1 5 3 2 1 2 2MM i j k i j k= − ⋅ + − ⋅ + − + ⋅ = + − .

( )22 2

2 2 2 1cos ; cos ; cos3 3 32 2 1α β γ= = = = −

+ + −.

matem.or

Найдем частные производные от функции U и вычислим их значения в точке М:

2 2 2 26 8, ;

3 4 3 4u x u y uz yx y zx y x y∂ ∂ ∂

= = − = −∂ ∂ ∂+ +

6 6 2 24 21; 1 ; 33 36 39 13 39 13M M M

u u ux y z∂ ∂ ∂ = = = = + = = − ∂ + ∂ ∂

Производная по направлению вектора 1MM l= :

2 2 21 2 1 4 42 853 113 3 13 3 3 39 39 39

∂ = ⋅ + ⋅ − − = + + = ∂ .

Градиент данной функции в точке ( )1;3; 1M − :

( ) ( ) ( )

2 21 313 13M M M

u u ugradU i j k i j kx y z∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + −∂ ∂ ∂

matem.or

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.:

Наука, 1978. – Т. 1. – 456 с.

2. Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика.

– К.: Техніка. – Ч. 1. – 2000. – 590 с.

3. Соколенко О.І., Новик Г.А. Вища математика в прикладах і задачах. –

К.: Либідь, 2001. – 245 с.

4. Вища математика. Основні розділи/ Г.Й. Призва, В.В. Плахотник,

Л.Д. Гординський та ін. – К.: Либідь, 2003. – 400 с.

matem.or

Навчальне видання

Бібліотека іноземного студента

Орел Валентина Пантеліївна Бугрим Ольга Володимирівна Кібкало Ольга Федорівна

МАТЕМАТИКА

Частина 8

Функції кількох змінних (у прикладах і задачах)

Навчальний посібник (Російською мовою)

Редактор Ю.В. Рачковська

Підписано до друку 15.01.08. Формат 30х42/4. Папір офсет. Ризографія. Ум. друк. арк. 2,8. Обл.-вид. арк. 2,8 Тираж 250 прим.. Зам. №

Підготовлено до друку та видрукувано у Національному гірничому університеті.

Свідоцтво про внесення до Державного реєстру ДК № 1842 49005, м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 19.

matem.or

= M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник

Documents

Лекція 1€¦ · Web viewЗміст...

Прикладні задачі в шкільному...

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ - nmetau.edu.ua · 6...

Теоретичні та прикладні питання....

Зовнішнє незалежне оцінювання...

Презентація Partizip II der unregelmäßigen...

Презентація Partizip II der unregelmäßigen...

Приклади завдань PISA з...

5.2.4.3 Лабораторна робота −...

.. 9-14leontyev.net/_ld/2/227___8_.pdfДиски,...

ТЕОРЕТИЧНІ ТА ПРИКЛАДНІ АСПЕКТИ....

Силабус курсу «Теоретико 2019-2020...

ОЗНАКИ ТА ОБЕРНЕНІ ТЕОРЕМИ...

buhgalter.com.ua · Web viewЗаповнення...

Урок геометрії у 9 класіТип...

Програма до розділу дисципліни...