= M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"

matem.or

g.ua

Министерство образования и науки Украины

Национальный горный университет

Библиотека иностранного студента

В.П. Орел О.В. Бугрим О.Ф. Кибкало

МАТЕМАТИКА Часть 8

Функции нескольких переменных (в примерах и задачах)

Учебное пособие

Днепропетровск НГУ 2008


matem.or

g.ua

УДК 517.51 (075.8) ББК 22.161 О 65

Затверджено до видання навчально-методичним управлінням НГУ як навчальний посібник для студентів технічних спеціальностей різних форм навчання (протокол № 10 від 09.10.07).

Орел В.П., Бугрим О.В., Кібкало О.Ф.

О 65 Математика. У 14 ч. Ч.8. Функції кількох змінних (у прикладах і задачах): Навчальний посібник. – Д.: Національний гірничий університет, 2008. – С. 49. – Рос. мовою. – (Бібліотека іноземного студента).

Розглянуто розділ курсу вищої математики – функції кількох змінних. Наведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник містить методичні вказівки, а також приклади розв’язання близько 70 типових задач і задачі для самостійного розв’язування. Для студентів – іноземних громадян, громадян України, які навчаються на всіх спеціальностях очно, заочно, дистанційно, за вечірньою формою та екстерном.

Рассмотрен раздел курса высшей математики – функции нескольких

переменных. Приведены теоретические основы раздела: теоремы, определения, формулы, прикладные задачи.

Пособие содержит методические рекомендации, а также примеры решения около 70 типовых задач и задачи для самостоятельного решения.

Для студентов – иностранных граждан, а также для студентов – граждан Украины, обучающихся на всех специальностях очно, заочно, дистанционно, по вечерней форме и экстерном.

УДК 517.51 (075.8) ББК 22.161

© В.П. Орел, О.В. Бугрим, О.Ф. Кібкало, 2008 © Національний гірничий університет, 2008


matem.or

g.ua

3

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................... 4

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ......................................................... 5

2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ......................................................................... 9

3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ............................................................... 12

4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.................... 16

5. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ............................................................. 18

6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ....................... 21

7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ........................ 22

8. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ 24

9. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ...................... 28

10. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ...... 33

11. ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ.

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ.................................................................... 35

12. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ................................................ 39

13. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ................. 42

14. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА............................................. 45

Список литературы.................................................................................... 51


matem.or

g.ua

4

ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие подготовлено с целью повышения качества и

прогнозирования результатов обучения иностранных студентов в областях знаний: разработка полезных ископаемых, информатика и вычислительная техника, машиностроение и металлообработка.

Соответствует проекту НГУ об издании серии "Библиотека иностранного студента", авторами которого являются профессора кафедры высшей математики Новикова Л.В. и Мильцын А.М., а также начальник управления международных связей профессор Рогоза М.В., декан горного факультета профессор Бузило В.И. и директор ИЗДО профессор Рыбалко А.Я. Серия содержит четырнадцать справочно-практических руководств к решению задач по математике.

Объем и содержание 8-й части "Функции нескольких переменных" отвечает общему курсу высшей математики. Включает элементы теории, определения, методические указания, решение задач и примеров, контрольные вопросы, задачи для самостоятельного решения.

Работая с учебным пособием студенты практически ознакомятся с основными понятиями, определениями и приобретут навыки решения различных примеров и задач.

Учебное пособие по составу и структуре позволяет оперативно формировать общие и индивидуальные контрольные и тестовые задания, диагностировать усвоение учебного материала, вести контроль знаний и прогнозировать результаты.

Учебное пособие издано на русском языке, что обусловлено договором между университетом и иностранными студентами о языке их образования.

Ка

федра высшей математики ГВУЗ "НГУ"

matem.or

g.ua

5

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Функциональная зависимость между переменными величинами

представляет собой математическую модель, которая применяется для описания реальных явлений. При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более переменных.

Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых

равны х и у, выражается формулой

S xy= .

Каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади S ; S есть функция двух переменных.

Пример 2. Абсолютная температура Т, давление р и объем V данной

массы газа связаны формулой Клапейрона pV RT= ,

где R – некоторая постоянная. Отсюда TV R P= .

Таким образом, V – функция двух переменных р и Т.

Пример 3. Дальность полета снаряда R , выпущенного с начальной скоростью 0v из орудия, ствол которого наклонен к горизонту под углом ϕ , выражается формулой

20 sin 2vR g

ϕ=

(если пренебречь сопротивлением воздуха). Здесь g – ускорение силы тяжести. Для каждой пары значений 0v и ϕ эта формула дает определенное значение R , то есть R является функцией двух переменных 0v и ϕ .

Пример 4. Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны , ,x y z , выражается формулой

V xyz= . Здесь V есть функция трех переменных , ,x y z .

Определение. Если каждой паре (х, у) значений двух независящих друг от друга переменных х и у из некоторой области их изменения Д соответствует определенное значение переменной z , то говорят, что z – функция двух независимых переменных х и у, определенная в области Д.

Символически функцию двух переменных обозначают так: ( ) ( ) ( ); , , , ,z f x y z F x y z z x y= = = .


matem.or

g.ua

6

Определение. Множество пар чисел ( ),x y , которым соответствует вполне определенное числовое значение ( );z f x y= , называют областью определения данной функции.

Геометрически область определения функции двух переменных представляет собой часть плоскости, ограниченной линиями. В частности, областью определения может быть или вся плоскость, или ее отдельные точки.

Линию, ограничивающую область на плоскости xOy , называют границей области.

Точки области, не лежащие на границе, называют внутренними точками. Область, состоящую из одних внутренних точек, называют открытой или

незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называют

замкнутой. Найти область определения функций. Пример 5.

2z x y= − . аналитическое выражение 2x y− имеет смысл при любых значениях х и у. Следовательно, областью определения функции является вся плоскость Oxy .

Пример 6. 2 21z x y= − − .

Для того, чтобы х имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, то есть х и у должны удовлетворять неравенству

2 21 0x y− − ≥ или 2 2 1x y+ ≤ . Все точки ( ),M x y , координаты которых удовлетворяют указанному

неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга (рис. 1).

x

y

1

0

Рис. 1


matem.or

g.ua

7

Пример 7. ( )lnz x y= + .

Так как логарифмы существуют

только для положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство

0x y y x+ > ⇒ > − . Это значит, что областью

определения функции z является половина плоскости, расположенная над прямой y x= − , не включая самой прямой (рис. 2).

Пример 8. ( )2 2arcsin 3z x y= + − .

Функция определена при условии

2 21 3 1x y− ≤ + − ≤ ,

которое равносильно условию

2 22 4x y≤ + ≤ . Граничными линиями области

определения являются окружности 2 2 2x y+ = и 2 2 4x y+ = , которые также

принадлежат этой области. Таким образом, область определения

функции состоит из всех точек, лежащих между окружностями 2 2 2x y+ = и

2 2 4x y+ = , и точек, лежащих на этих окружностях (рис. 3).

Рис. 3

x

y

0

Рис. 2

x

y

0


matem.or

g.ua

8

Геометрический смысл функции двух переменных

Пусть Д – область определения функции ( ),z f x y= . Функция ( ),z f x y= ставит в соответствие каждой точке ( ),M x y области Д некоторое

число z , геометрически изображаемое аппликатой точки ( ), ,M x y z (рис. 4).

z

x

0y

D

Рис. 4

Таким образом, каждой точке ( ),M x y области Д ставится в соответствие

единственная точка М в пространстве. Придавая х и у различные значения из области Д, получим множество точек в пространстве. Это множество представляет собой поверхность, уравнение которой имеет вид

( );z f x y= .

Область Д является проекцией этой поверхности на плоскость xOy . Определение. Если каждой рассматриваемой совокупности значений

переменных , , ,... ,x y z u t соответствует определенное значение переменной w , то w называют функцией независимых переменных , , ,... ,x y z u t и обозначают

( ), , ,... ,w f x y z u t= . Для функции трех переменных ( ), ,w f x y z= областью определения

является некоторая совокупность точек ( ), ,M x y z пространства. Область определения функции большего числа переменных не допускает

простого геометрического истолкования.


matem.or

g.ua

9

2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Определение. Окрестностью точки ( )0 0 0;M x y радиуса r

( r – окрестностью) называют множество всех точек ( ),M x y плоскости xOy , лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке 0M . Для всех таких точек

( ) ( )2 20 0 0M M x x y y r= − + − < .

Определение. Число А называют пределом функции ( ),f x y при

стремлении точки ( ),M x y к точке ( )0 0 0;M x y , если для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно подобрать такую r -окрестность точки

0M , что будет выполняться неравенство

( ),f x y A ε− < . Это означает, что разность ( )f x A− становится сколь угодно малой,

когда точка М оказывается от точки 0M сколь угодно близко. Записывают

( )00

lim ,x xy y

f x y A→→

= или ( )0

limM M

f M A→

= .

Функция двух переменных называется бесконечно малой, если ее предел

равен нулю. Замечание. Для функции двух переменных справедливы теоремы о

пределе суммы, произведения и частного аналогичные теоремам для функции одной переменной.

Пример 9. Найти 00

2 2

2 2lim

1 1x xy y

x yx y→

→

+

+ + −.

Предел функции находится при ( ) ( )0; 0;0M x y M→ , то есть при 0r → , где 0r M M= – расстояние между точками 0M и M . В данном случае точка

0M есть начало координат. Следовательно, 2 2r x y= + . Таким образом,

( ) ( )

0

2 2 2

2 2 20

2 22

20 0

0lim lim 01 1 1 1

1 1lim lim 1 1 2.

1 1

M M r

r r

x y rx y r

r rr

r

→ →

→ →

+ = = = + + − + −

+ += = + + =

+ −


matem.or

g.ua

10

Следует обратить внимание на то, что в разобранном примере функция 2 2

2 2 1 1x y

x y+

+ + − не определена в точке ( )0 0,0M , но имеет предел при

0M M→ .

Пример 10. Функция 2 2

2 2x yzx y

−=

+ определена на всей плоскости, за

исключением начала координат. Покажем, что при приближении точки ( ),M x y к началу координат функция не имеет предела. Действительно,

приближаясь к началу координат по оси Ox , где 0y = , получим 2

20 0

0lim lim 10x x

xzx→ →

−= =

+. Если же приближаться к началу координат по оси Oy ,

где 0x = , то 2

20 0

0lim lim 10y y

yzy→ →

−= = −

+. Таким образом, при приближении точки

( ),M x y к началу координат по различным направлениям функция имеет различные предельные значения и, следовательно, не имеет предела при

0, 0x y→ → . Пример 11.

( )2 200

1lim sin 0xy

x y xy→→

+ = . 1sin xy – величина ограниченная, а произведение

бесконечно малой величины на ограниченную есть величина бесконечно малая. Предел бесконечно малой величины есть нуль.

Пример 12. а) 2 2lim 0xy

x yx y→∞

→∞

+=

+; б)

02

sinlim 2xy

xy yx y→

→

⋅=

⋅;

в) lim 1 limx

y kx y ky

y e ex→∞ →→∞

+ = =

.

Пусть функция ( ),f x y определена в точке ( )0 0 0;M x y и некоторой ее окрестности.

Определение. Функция ( ),f x y называется непрерывной в точке ( )0 0 0;M x y , если всяким бесконечно малым приращениям обоих аргументов

x∆ и y∆ в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть

00

lim 0xy

z∆ →∆ →

∆ = .

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.


matem.or

g.ua

11

Определение. Точки плоскости, в которых нарушены условия непрерывности, называются точками разрыва.

Замечание. Функция двух переменных может иметь не только точки разрыва, но также линии разрыва.

Пример 13. Функция

2 2z x y= + непрерывна при любых значениях х и у, то есть в любой точке плоскости Oxy .

Действительно, каковы бы ни были числа х и у, ,x y∆ ∆ ,имеем:

( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 ,

z x x y y x y x x x x y

y y y x y x x y y x y

∆ = + ∆ + + ∆ − + = + ∆ + ∆ + +

+ ∆ + ∆ − − = ∆ + ∆ + ∆ + ∆

следовательно,

00

lim 0xy

z∆ →∆ →

∆ = .

Пример 14. Найти точки разрыва функции

21xyz

x y+

=−

.

Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль. Но

2 0x y− = или 2y x= – уравнение параболы. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва параболу 2y x= (рис. 5).

Рис. 5 Пример 15. Найти точки разрыва следующих функций: а) 2 2lnz x y= + ; точка разрыва 0, 0x y= = , так как логарифмическая

функция определена для всех 0, 0x y> > ;

x

y

0

2y x=Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"

matem.or

g.ua

12

б) ( )2

1zx y

=−

– функция определена для всех х и у, исключая значения х

и у, которые лежат на прямой y x= – линия разрыва;

в) 2 21

1z

x y=

− − – линия разрыва – окружность 2 2 1x y+ = ;

г) 1cosz xy= – линии разрыва координатные оси 0; 0x y= = .

3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Определение. Частным приращением функции ( );z f x y= по переменной х называют приращение функции, вызванное изменением только этой переменной х, то есть

( ) ( ), ,x z f x x y f x y∆ = + ∆ − . Определение. Частным приращением функции ( );z f x y= по

переменной у называют приращение функции, вызванное изменением только переменной у, то есть

( ) ( ), ,y z f x y y f x y∆ = + ∆ − . Определение. Полным приращением функции ( );z f x y= называют

приращение, вызванное изменением обеих переменных х и у

( ) ( ), ,z f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ − . Как правило, полное приращение не равно сумме частных приращений. Аналогичным образом определяются частные и полное приращения

функции любого числа переменных. Пример 16. Для функции

( ) 2 2;f x y x xy y= + −

найти частные и полное приращения функции.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

2

, ,x z f x x y f x y x x x x y y x xy y

x

∆ = + ∆ − = + ∆ + + ∆ − − − + =

= 22x x x xy+ ∆ + ∆ + 2y x y+ ∆ − 2x− xy− 2y+ 22 .x x x y x= ∆ + ∆ + ∆


matem.or

g.ua

13

( ) ( ) 2, ,y z f x y y f x y x∆ = + ∆ − = ( ) ( )2 2x y y y y x+ + ∆ − + ∆ − 2xy y

xy

− + =

= 2x y y+ ∆ − 22 y y y xy− ∆ − ∆ − 2y+ 22 .x y y y y= ∆ − ∆ − ∆

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

2 2 2 2

2

, ,z f x x y y f x y x x x x y y

y y y x xy y

x

∆ = + ∆ + ∆ − = + ∆ + + ∆ + ∆ −

− + ∆ − − − + =

= 22x x x xy+ ∆ + ∆ + 2x y y x x y y+ ∆ + ∆ + ∆ ∆ − 2

2

2 y y y

x

− ∆ − ∆ −

− xy− 2y+ 2 22 2 .x x x x y y x x y y y y= ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ∆ − ∆ − ∆

Пример 17. Для функции

( )2 2lnz x y= + . Найти частные и полное приращение функции.

( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

2 2ln ln lnxx x yz x x y x y

x y+ ∆ +

∆ = + ∆ + − + =+

( )( ) ( )( )( )22

22 2 22 2ln ln lny

x y yz x y y x y

x y

+ + ∆∆ = + + ∆ − + =

+

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2

2 2ln ln ln x x y yz x x y y x yx y

+ ∆ + + ∆∆ = + ∆ + + ∆ − + =

+.

Определение. Частной производной по переменной х от функции ( ),z f x y= называют предел отношения частного приращения x z∆ к

приращению x∆ при стремлении x∆ к нулю. Частная производная по х от функции ( ),z f x y= обозначается одним из

символов

( )' '; ; ; ;x xz fz f x y x x∂ ∂∂ ∂

.

Таким образом, по определению

( )

0 0

, ( , )lim limxx x

z z f x x y f x yx x x∆ → ∆ →

∂ ∆ + ∆ −= =

∂ ∆ ∆.

Аналогично частная производная по у от функции ( ),z f x y=

определяется как предел отношения частного приращения функции y z∆ по у к приращению y∆ при стремлении y∆ к нулю. Частная производная по у обозначается одним из символов


matem.or

g.ua

14

' '; ; ;y yz fz f y y∂ ∂∂ ∂

.

Таким образом,

( ) ( )

0 0

, ,lim limyy y

zz f x y y f x yy y y∆ → ∆ →

∆∂ + ∆ −= =

∂ ∆ ∆.

Заметив, что x z∆ вычисляется при неизменном у, а y z∆ – при

неизменном х, мы можем определения частных производных сформулировать так: частной производной по х от функции ( ),z f x y= называется производная по х, вычисленная в предположении, что у – постоянная. Частной производной по у от функции ( ),z f x y= называется производная по у, вычисленная в предположении, что х – постоянная.

Из этого определения ясно, что правило вычисления частных производных совпадает с правилами, указанными для функций одного переменного, и только требуется каждый раз помнить, по какому переменному ищется производная.

Пример 18. Найти частные производные функции

3 4sinz x y y= ⋅ + .

Считая у как постоянной величиной, получим 23 sinz x yx∂

= ⋅∂

.

Рассматривая х как постоянную, найдем 3 3cos 4z x y yy∂

= ⋅ +∂

.

Пример 19. Найти значения частных производных функции

xyz e−= в точке ( )0 0;1M . Находим частные производные, используя формулу дифференцирования

сложной функции ( ) ' 'u ue e u= ⋅ :

( ) ( )'xy xy xyx

z e xy e y yex− − −∂

= ⋅ − = ⋅ − = −∂

;

( ) ( )'xy xy xyy

z e xy e x xey− − −∂

= ⋅ − = ⋅ − = −∂

.

Подставляя координаты точки 0M , получим

0 0

1; 0M M

z zx y∂ ∂

= − =∂ ∂

.


matem.or

g.ua

15

Пример 20. Найти частные производные функции

6 4 53u x y z= − + . 5 3 46 ; 4 ; 15u u ux y zx y z

∂ ∂ ∂= = − =

∂ ∂ ∂.

Пример 21. Показать, что функция ( )2 2lnz y x y= ⋅ − удовлетворяет

уравнению 21 1z z zx x y y y

∂ ∂⋅ + ⋅ =∂ ∂

.

Находим частные производные:

( )2 22 2 2 22 2; lnz x z yy x y yx yx y x y

∂ ∂= ⋅ = − − ⋅

∂ ∂− −.

Подставим найденные выражения в левую часть заданного уравнения:

( )

( ) ( )

22 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2ln

ln ln2 2 .

xy yx yx yx y x y

x y x yy y zy yx y x y y

⋅ + − − = − −

− −= + − = =

− −

Получаем тождество, то есть функция z удовлетворяет данному

уравнению.

Пример 22. Показать, что функция / siny x yz y x= ⋅ удовлетворяет

уравнению 2 z zx xy yzx y∂ ∂⋅ + =∂ ∂

.

Находим

/ /2 2ln sin cosy x y xz y y y yy y yx x xx x

∂ = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ∂ .

/ / 1 /1 1ln sin cosy x y x y xz y y yy y y yy x x x x x−∂ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∂

.

Подставив найденные выражения в левую часть заданного уравнения,

2 / 2 / / 1

2 2

/ / /

ln sin cos sin

1 1ln sin cos sin ,

y x y x y x

y x y x y x

y y y y y yx y y x y xy yx x x xx xy y yxy y y xy y y y yzx x x x x

−− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ =

получаем тождество, следовательно, функция z удовлетворяет данному уравнению.


matem.or

g.ua

16

4. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Частные производные первого порядка

( )' ,xz f x yx∂

=∂

и ( )' ,yz f x yy∂

=∂

в общем случае также являются функциями двух переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить производные. Частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций

( )' ,xf x y и ( )' ,yf x y можно дифференцировать как по х, так и по у. Имеем

2 2

2 , ,z z z zx x x y y xx

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

2 2

2 , .z z z zy y y x x yy

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

Частные производные второго порядка обозначаются также символами

( )'' ,xxf x y , ( )'' ,xyf x y , ( )'' ,yyf x y , ( )'' ,yxf x y .

Смешанные производные, отличающиеся только порядком

дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Таким образом,

2 2.z z

x y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

Аналогично определяются и обозначаются частные производные более высоких порядков.

Пример 23. Найти вторые частные производные функции

( )2sin 3z x y= + . Убедиться, что

2 2

.z zx y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

Находим сначала первые производные:

( )2cos 3 2z x y xx∂

= + ⋅∂

, ( )2cos 3 3z x yy∂

= + ⋅∂

.


matem.or

g.ua

17

Дифференцируя каждую из полученных производных по х и по у, получим вторые частные производные:

( ) ( )2

2 2 22 sin 3 4 2cos 3z x y x x y

x∂

= − + ⋅ + +∂

, ( )2

22 9sin 3z x y

y∂

= − +∂

,

( )2

26 sin 3z z x x yx y x y∂ ∂ ∂ = = − + ∂ ∂ ∂ ∂

, ( )2

26 sin 3z z x x yy x y x∂ ∂ ∂ = == − + ∂ ∂ ∂ ∂

.

Отсюда видно, что смешанные частные производные равны. Пример 24. Найти частные производные второго порядка функции 3 3z xy yx= − .

( )3 3 3 23xz xy yx y yxx∂ ′= − = −∂

, ( )3 3 2 33yz xy yx xy xy∂ ′= − = −∂

,

( )2 '3 2

2 3 6x

z z y yx yxx xx∂ ∂ ∂ = = − = − ∂ ∂∂

, ( )2 '2 3

2 3 6y

z z xy x xyy yy∂ ∂ ∂ = = − = ∂ ∂∂

,

( )2

3 2 2 23 3 3z z y yx y xx y y x y∂ ∂ ∂ ∂ = = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

,

( )2

2 3 2 23 3 3z z xy x y xy x x y x∂ ∂ ∂ ∂ = = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Пример 25. Найти 3

2z

x y∂∂ ∂

функции ( )cos yu ax e= + .

( ) ( )sin siny yu ax e a a ax ex∂

= − + ⋅ = − +∂

, ( )2

cos y yz a ax e ex y∂

= − + ⋅∂ ∂

,

( ) ( )( )

( ) ( )( )

32

2 sin cos

sin cos .

y y y y

y y y y

z a ax e e e a ax ex yae e ax e ax e

∂= ⋅ + ⋅ + − + =

∂ ∂

= ⋅ + − +

Пример 26. Показать, что 2 2z z

x y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

, если yz x= .

( )' 1y yx

z x y xx−∂

= = ⋅∂

, ( )' lny yy

z x x xy∂

= = ⋅∂

21 1 lny yz x y x xx y− −∂

= + ⋅ ⋅∂ ∂

, 2

1 1 11ln lny y y yz y x x x x yx xy x x− − −∂

= ⋅ ⋅ + = + ⋅∂ ∂

.


matem.or

g.ua

18

5. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Определение и вычисление полного дифференциала

Пусть ( ),M x y – данная точка, а ( )1 ,M x x y y+ ∆ + ∆ – близкая точка, отвечающая приращениям аргументов x∆ и y∆ . Полным приращением функции ( ),z f x y= в точке М называется разность

( ) ( ) ( ) ( )1 , ,z f M f M f x x y y f x y∆ = − = + ∆ + ∆ − .

Если приращение z∆ можно представить в виде z zz x yx y ε∂ ∂

∆ = ∆ + ∆ +∂ ∂

,

где ε – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с расстоянием 2 2x yρ = ∆ + ∆ между точками М и 1M , то функция z называется

дифференцируемой в точке М. Определение. Полным дифференциалом функции двух переменных ( ),z f x y= называется главная линейная часть приращения функции

z zdz x yx y∂ ∂

= ∆ + ∆∂ ∂

.

Так как приращения независимых переменных совпадают с их

дифференциалами ( ), x dx y dy∆ = ∆ = , то дифференциал функции ( ),z f x y= вычисляется по формуле

z zdz dx dyx y∂ ∂

= +∂ ∂

.

Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал функции

любого числа переменных. Теоремы и формулы для дифференциалов функций одной переменной

полностью сохраняются и для дифференциалов функций двух и большего числа переменных.

Пример 27. Найти полный дифференциал функции

2 2z x y y x= − . Находим частные производные:

( )'2 2 22x

z x y y x xy yx∂

= − = −∂

, ( )'2 2 2 2y

z x y y x x yxy∂

= − = −∂

.


matem.or

g.ua

19

Имеем

( ) ( )2 22 2dz xy y dx x yx dy= − + − . Пример 28. Найти полный дифференциал второго порядка функции

sin sinz x y= ⋅ .

Находим частные производные:

( )'sin sin sin cosxz x y y xx∂

= = ⋅∂

, ( )'sin sin sin cosyz x y x yy∂

= = ⋅∂

,

( )2

'2 sin cos sin sinxz y x y x

x∂

= = − ⋅∂

, ( )2

'2 sin cos sin sinyz x y x y

y∂

= = − ⋅∂

,

( )2

'sin cos cos cosyz y x y xx y

∂= = ⋅

∂ ∂. Имеем

( )2 2 2sin sin 2cos cos sin sind z y x dx y xdxdy x y dy= − ⋅ + + − .

Пример 29. Найти полный дифференциал третьего порядка функции 2z x y= . Находим частные производные:

2 2 2

22 22 , , 2 , 0, 2z z z z zxy x y xx y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂,

3 3 3 3

3 3 2 20, 0, 0, 2z z z zx y x y x y∂ ∂ ∂ ∂

= = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

3 3 2 2 3 20 3 2 3 0 0 6d z dx dx dy dx dy dy dx dy= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = . Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

Приращение функции z∆ и ее полный дифференциал dz связаны равенством

z dz ε∆ = + , где ε – бесконечно малая величина; при достаточно малых приращениях аргументов можно величиной ε пренебречь и считать z dz∆ ≈ . Это приводит к приближенному равенству

z zz dz dx dyx y∂ ∂

∆ ≈ = +∂ ∂


matem.or

g.ua

20

или ( ) ( ), ,dz f x x y y f x y≅ + ∆ + ∆ − .

Этой формулой можно пользоваться для приближенного подсчета величины ( ),f x x y y+ ∆ + ∆ по известным значениям функции ( ),f x y и ее частных

производных в данной точке ( ),M x y , то есть

( ) ( ), ,f x x y y f x y dz+ ∆ + ∆ = + .

Пример 30. Вычислить приближено число ( )2,031,04a = . Рассмотрим функцию ( ), yf x y x= . Данное число а есть приращенное значение этой функции в точке ( )0 1;2M при 0,04, 0,03x y∆ = ∆ = .

Дифференциал данной функции

1 lny yf fdf x y yx x x x yx y−∂ ∂

= ∆ + ∆ = ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆∂ ∂

.

Его значения в точке ( )0 1;2M при данных приращениях

( ) 0 2 1 0,04 1 ln1 0,03 0,08Mdf = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = .

Следовательно,

( ) ( ) ( ) 01,04;2,03 1;2 1 0,08 1,08Mf f df≅ + ≈ + ≅ .

Пример 31. Вычислить приближенно 2 0,015sin 1,55 8e+ , исходя из

значения функции 2sin 8 yz x e= + при 1,571, 02x yπ= ≈ = .

Искомое число есть наращенное значение функции z при 0,021x∆ = ,

0,015y∆ = . Найдем значение z при , 02x yπ= = ; имеем 2 0sin 8 32z eπ

= + = .

Находим приращение функции:

2

sin 2 8 8 0,015 0,0262 sin 8

y

y

z z x x e yz dz x yx y x e∂ ∂ ∆ + ⋅ ∆ ⋅

∆ ≈ = ∆ + ∆ = = =∂ ∂ +

.

Следовательно, 2 0,015sin 1,55 8 3,02e+ ≅ . Пример 32. Вычислить приближенно ( )1,02 / 0,95arctg , исходя из

значения функции ( )/z arctg y x= при 1, 1x y= = . Значение функции z при


matem.or

g.ua

21

1, 1x y= = есть 1 0,7851 4z arctg π= = ≅ . Найдем приращение функции z∆ при

0,05, 0,02x y∆ = − ∆ = .

2 2 2 2

2 21 0,02 1 0,05 0,035.2

z z y x x yz dz x yx y x y x yx y y x

x y

∂ ∂ ∆ ∆∆ ≈ = ⋅ ∆ + ⋅ ∆ = − + =

∂ ∂ + +∆ − ∆ ⋅ + ⋅

= = =+

Следовательно, ( )1,02 / 0,95 7,85 0,035 0,82arctg z z≅ + ∆ ≅ + = .

6. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ Пусть ( ),z f u v= , а ,u v сами являются функциями двух переменных: ( ),u u x y= , ( ),v v x y= . При этом z оказывается сложной функцией

аргументов х и у: ( ) ( )( ), , ,z f u x y v x y= и ее частные производные zx∂∂

и zy∂∂

будут находиться по формулам:

z z u z vx u x v x∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂

, z z u z vy u y v y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Если ( ),z f u v= ; ( )u tϕ= ; ( )v t t= , то dz z du z dvdt u dt v dt

∂ ∂= ⋅ + ⋅∂ ∂

.

Если ( ),z f u v= и ( )v uϕ= , то dz z u dvdu u v du

∂ ∂= + ⋅∂ ∂

– формула полной

производной.

Пример 33. Найти zx∂∂

и zy∂∂

, если 2 vz u v ue= + , ( )sin 2u x y= + , /v x y= .

( ) ( ) ( )2 12 cos 2v vz uv e x y u uex x∂

= + + + +∂

;

( ) ( ) ( )222 2cos 2v vz xuv e x y u uey y

∂ = + ⋅ + + + ⋅ − ∂ .

Пример 34. 3 2 , 2 , lnz x xy x arctg t y t= + = = . Найти dzdt .

( )2 22

2 13 21 4

dz z dx z dy x y xydt x dt y dt tt∂ ∂

= ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅∂ ∂ +

.


matem.or

g.ua

22

Пример 35. Найти полную производную dzdx , если z xtgy= , где

( )3cos 5 1y x= + . По формуле полной производной получим

( ) ( )( )2 2sec 3cos 5 1 sin 5 1 5dz z z dy tgy x y x xdx x y dx∂ ∂

= + ⋅ = + ⋅ + − + ⋅∂ ∂

.

7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ Рассмотрим случай, когда функциональная зависимость ( )y f x=

определена неявно посредством некоторого равенства ( ), 0F x y = , то есть ( )( ), 0F x f x ≡ . При этом производная / 0dF dx ≡ также. Очевидно, что

( ),F x y , где ( )y f x= – сложная функция аргумента х. Предположим, ( ),F x y – дифференцируемая функция. Ее производная /dF dx отыскивается по формуле полной производной, так что

0dF F F dydx x y dx

∂ ∂= + ⋅ ≡∂ ∂

.

Следовательно, если в точке ( ),x y производная / 0F y∂ ∂ ≠ , то

справедливо равенство //

dy F xdx F y

∂ ∂= −

∂ ∂.

Пример 36. Функция у определена уравнением 2 5 1 0xyx y e+ − = . Найти /dy dx .

Имеем ( ) 2 5, 1xyF x y x y e= + − , 5/ 2 xyF x xy ye∂ ∂ = + , 2 4/ 5 xyF y x y xe∂ ∂ = + , тогда

5

2 4/ 2/ 5

xy

xydy F x xy yedx F y x y xe

∂ ∂ += − = −

∂ ∂ + в точках, где / 0F y∂ ∂ ≠ .

Пример 37. В точке ( )0 1,1M составить уравнение касательной к кривой

3 3 2x y xy+ = . Уравнение касательной имеет вид

( )( )0 0 0'y y f x x x− = − .


matem.or

g.ua

23

Положим ( ) 3 3, 2F x y x y xy= + − и по формуле найдем 2

2/ 3 2/ 3 2

dy F x x ydx F y y x

∂ ∂ −= − = −

∂ ∂ −. В точке ( )0 1,1M производная

( )0

3 2' 1 13 2M

dyf dx−

= = − = −−

. Следовательно, уравнение искомой касательной:

( )1 1y x− = − − или 2 0x y+ − = .

Функция z называется неявной функцией от х и у, если она задана

уравнением

( ), , 0F x y z = , неразрешенным относительно z . Это значит, что при каждой паре значений аргументов 0x x= и 0y y= из области определения неявной функции она принимает такое значение 0z , для которых ( )0 0 0, , 0F x y z = . Если ( ), ,F x y z – дифференцируемая функция трех переменных , ,x y z и ( )' , , 0zF x y z ≠ , то неявная функция ( ),z z x y= также дифференцируема и ее частные производные находятся по формулам

( )( )

'

', ,, ,

x

z

z F x y zx F x y z∂

= −∂

; ( )( )

'

', ,, ,

y

z

F x y zzy F x y z∂

= −∂

.

Пример 38. Найти частные производные функции ( ),z x y , заданной уравнением

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = .

В данном случае ( )2 2 2

2 2 2, , 1x y zF x y za b c

= + + − , поэтому

2 2 22 2 2, ,F x F y F z

x y za b c∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

.


2 22 2

2 2

2 2

2 2

;2 2

x yz c x z c ya bx z y za z b z

c c

− −∂ ∂= = − = = −

∂ ∂.


matem.or

g.ua

24

Пример 39. Найти частные производные функции ( ),z x y , заданной уравнением

2 2 5 0xe y x x y z+ + + + = .

Здесь ( ) 2 2, , 5zF x y z e y x x y z= + + + + .

2 22 , 2 , 1zF F Fy xy xy x ex y z∂ ∂ ∂

= + = + = +∂ ∂ ∂

.

2 22 2,1 1z z

z y xy z xy xx ye e∂ + ∂ +

= − = −∂ ∂+ +

.

Пример 40. Найти частные производные функции ( ),z x y , заданной

уравнением cos cos cos 1x y y z z x+ + = .

В данном случае ( ), , cos cos cos 1F x y z x y y z z x= + + − , поэтому

cos sin , sin cos , sin cosF F Fy z x x y z y z xx y z∂ ∂ ∂

= − = − + = − +∂ ∂ ∂

.


cos sin sin cos,sin cos sin cosz y z x F x y zx y z x y y z x∂ − ∂ − +

= − = −∂ − + ∂ − +

.

8. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ Пусть F – некоторая поверхность и ( )0 0 0 0, ,M x y z – какая-либо точка на

ней. Определение. Касательной плоскостью Р к поверхности F в точке 0M

называется плоскость, в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на поверхности F через точку 0M .

Определение. Нормалью к поверхности называется прямая, проходящая

через точку 0M перпендикулярно касательной плоскости. Чтобы написать уравнение касательной плоскости Р в точке 0M , надо узнать вектор ( ), ,N A B C , идущий по нормали (рис. 6). Тогда уравнение плоскости Р

запишется в виде

( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = .


matem.or

g.ua

25

.

z

x

0y

N

Рис. 6

Уравнение нормали п

0 0 0x x y y z z

A B C− − −

= = .

Если поверхность задана уравнением, разрешенным относительно z : ( ),z f x y= , то координаты нормального вектора N вычисляются по формулам

( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , ,, , 1f x y z f x y zA B Cx y

∂ ∂= = = −

∂ ∂.

В этом случае точка 0M задается значениями 0 0, x x y y= = , а 0z

находится из уравнения поверхности ( )0 0 0,z f x y= . Если поверхность задана уравнением, неразрешенным относительно z :

( ), , 0F x y z = , то координаты вектора N вычисляются по формулам

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,, ,f x y z f x y z f x y zA B Cx y z∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

,

а координаты заданной точки М должны удовлетворять уравнению поверхности, то есть ( )0 0 0, , 0f x y z = .

Пример 41. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 2 2z x y= + в точке ( )0 0 0 0, ,M x y z , где 0 01, 2x y= = − .

Находим прежде всего 0z ( )22 2

0 0 0 1 2 5z x y= + = + − = ,


matem.or

g.ua

26

затем находим частные производные

2 , 2z zx yx y∂ ∂

= =∂ ∂

.

Подставляя в частные производные координаты точки ( )0 1, 2,5M − ,

получим координаты вектора N , перпендикулярного поверхности параболоида в данной точке:

0 0

0 02 2, 2 4, 1M M

z zA x B y Cx y∂ ∂ = = = = = = − = − ∂ ∂

.

Следовательно, касательная плоскость имеет уравнение

( ) ( ) ( )2 1 4 2 5 0x y z− − + − − = ,

или 2 4 5 0x y z− − − = .

Уравнение нормали

1 2 5

2 4 1x y z− + −

= =− −

.

Пример 42. Дана поверхность 2 22 2z x xy y x y= − + − + . Составить

уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к этой поверхности в точке ( )0 1,1,1M .

Найдем частные производные:

2 2 1, 2 2 2z zx y x yx y∂ ∂

= − − = − + +∂ ∂

и вычислим их значения в точке ( )0 1,1,1M :

0 0

1, 2, 1M M

z z Cx y∂ ∂ = − = = − ∂ ∂

.

Следовательно, касательная плоскость имеет уравнение

( ) ( ) ( )1 1 2 1 1 0x y z− − + − − − = ,

или 2 0x y z− + = .

Уравнение нормали: 1 1 1

1 2 1x y z− − −

= =− −

.


matem.or

g.ua

27

Пример 43. Найти уравнение касательной плоскости к сфере 2 2 2 4x y z+ + = в точке 0M , где 0 01, 3y z= = .

Подставляя 0y и 0z в уравнение сферы, находим 0 0x = , то есть точка ( )0 0;1; 3M . Сфера записывается уравнением

( ) 2 2 2, , 4 0F x y z x y z= + + − = , откуда ' ' '2 , 2 , 2x y zF x F y F z= = = . Следовательно,

( ) ( ) ( )' ' '0 0 0 0 0 02 0, 2 2, 2 2 3x y zA F M x B F M y C F M z= = = = = = = = = .

Поэтому уравнение касательной плоскости следующее:

( ) ( ) ( )0 0 2 1 2 3 3 0x y z− + − + − = или

3 4 0y z+ − = . Эта плоскость параллельна оси Ox . Пример 44. К поверхности 2 2 22 3 11x y z+ + = провести касательные

плоскости, параллельные плоскости 1x y z+ + = . Здесь ( ) 2 2 2, , 2 3 11F x y z x y z= + + − . Найдем частные производные

2 , 4 , 6F F Fx y zx y z∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

.

Из условия параллельности касательной плоскости и данной плоскости

1 1 1

2 2 2

A B CA B C

= =

– условие параллельности двух плоскостей

следует, что

1 1 1

FF Fyx z

∂∂ ∂∂∂ ∂= = или 2 4 6

1 1 1x y z= = . Присоединив к этим уравнениям уравнение

поверхности 2 2 22 3 11x y z+ + = , найдем координаты точек касания.

2

2 2 2

2 22

2 3 21 1 1 6

2 3 11 3

112 3

x ttyx y z t

ttzx y zt tt

= = = = = ⇒ ⇒ = = + + = + + =

,

точки касания будут ( )1 6, 6 / 2, 6 / 3M и ( )2 6, 6 / 2, 6 / 3M − − − . Следовательно, уравнения касательных плоскостей имеют вид


matem.or

g.ua

28

( ) 6 61 6 1 1 02 3x y z ⋅ ± + ⋅ ± + ⋅ ± =

,

то есть 11/ 6 0x y z+ + + = и 11/ 6 0x y z+ + − = .

Пример 45. Найти углы с осями координат нормали к поверхности

2 2 0x y xz yz+ − − = в точке ( )0 0;2;2M . Найдем частные производные

2 , 2 ,F F Fx z y z x yx y z∂ ∂ ∂

= − = − = − −∂ ∂ ∂

.

Вычислим значения частных производных в точке ( )0 0;2;2M . Будем

иметь:

0 0 0

2, 2, 2M M M

F F Fx y z

∂ ∂ ∂ = − = = − ∂ ∂ ∂ .

Уравнение нормали к заданной поверхности:

0 2 22 2 2

x y z− − −= =

− −.

Углы с осями координат будем находить по формулам:

2 2 2

2 2 1cos4 4 4 2 3 3

mm n p

α = = − = − = −+ ++ +

;

2 2 2

2 1 2 1cos ; cos .2 3 3 2 3 3

nm n p

β γ−

= = − = − = = −+ +

;

9. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Функция ( ),z f x y= имеет в точке ( )0 0 0,M x y максимум

(соответственно, минимум), если найдется такая окрестность точки 0M , для всех точек ( ),M x y которой выполняется неравенство ( ) ( )0 0, ,f x y f x y> (соответственно, ( ) ( )0 0, ,f x y f x y< ). Слова максимум и минимум можно заменить одним словом экстремум.

Необходимые условия экстремума. Всякая дифференцируемая функция двух переменных может достигать экстремума только в тех точках, в которых ее частные производные обращаются в нуль

( ) ( )' ', 0, , 0x yf x y f x y= = .


matem.or

g.ua

29

Такие точки называют стационарными. В стационарной точке касательная плоскость к поверхности ( ),z f x y= параллельна плоскости xOy (рис. 7).

z

x

0y

z0

Рис. 7 Достаточные условия экстремума. Пусть в некоторой области,

содержащей точку ( )0 0 0,M x y , функция ( ),z f x y= имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка ( )0 0 0,M x y является стационарной точкой функции ( ),f x y , то есть

( )'0 0, 0xf x y = и ( )'

0 0, 0yf x y = . Обозначим

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 200 0, ,z z zA B Cx y Mx M y M

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂∂ ∂

и пусть 2AC B∆ = − .

Если в стационарной точке ( )0 0 0,M x y : 1) 0∆ > и 0A > , то 0M – точка минимума,

0∆ > и 0A < , то 0M – точка максимума; 2) 0∆ < , то в точке 0M экстремума нет; 3) 0∆ = , то требуется дополнительное исследование.


matem.or

g.ua

30

Пример 46. Найти экстремум функции 2 2 3 6z x xy y x y= + + − − . Находим частные производные первого порядка

2 3, 2 6z zx y x yx y∂ ∂

= + − = + −∂ ∂

.

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

( )02 3 0 2

3 0 0, 3; 0,32 6 0

x yx x y M

x y+ − = −+ ⇒ − = ⇒ = = + − =

.

Находим частные производные второго порядка в точке 0M

2 2 2

2 22, 1, 2; 2, 1, 2z z z A B Cx yx y∂ ∂ ∂

= = = = = =∂ ∂∂ ∂

.

Составляем дискриминант

2 2 2 1 3 0, 0AC B A∆ = − = ⋅ − = > > .

Следовательно, в точке ( )0 0,3M заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке

( )min 0,3 9 18 9z = − = − . Пример 47. Найти экстремум функции

( )1 472 3 4x yz xy x y = + − − +

.

Преобразуем заданную функцию

2 2 2 21 47 47 1 47 47

2 3 4 3 4 3 4 12 3 4 3 4x xy xy y x yz xy x y xy x y= + + − − − − = − + + − − .

Находим частные производные первого порядка: 1 47 2 1 47,12 3 3 12 4 2

z z yy x xx y∂ ∂

= − + − = − + −∂ ∂

.

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки:

1 2 47 012 3 31 1 47 02 12 4

y x

y x

− − + =− − + =

или 8 188 6

47 987 21, 206 141

x yx x y

x y+ = − ⇒ − = − ⇒ = = + =

;


matem.or

g.ua

31

стационарная точка ( )0 21,20M . Найдем значения вторых производных в точке 0M :

2 2 2

2 22 1 1, ,3 2 12

z z zx yx y

∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂∂ ∂.

Тогда 2

2 2 1 1 1 1 03 2 12 3 144AC B ∆ = − = − ⋅ − − − = − >

.

Так как 0A < , то в точке ( )0 21,20M функция имеет максимум: max 282z = .

Пример 48. Исследовать на экстремум функцию

3 23 15 12z x xy x y= + − − . Найдем частные производные и составим систему уравнений

2 23 3 15, 6 12z zx y xyx y∂ ∂

= + − = −∂ ∂

.

4 22 2 2 2

22 122

5 4 03 3 15 0 526 12 0 2 , 0

5 3 42 1 , 2

2

y yx y x yxy xy x yy

yyy

x y x y

− + = + − = + = ⇒ ⇒ ⇒

− = = = ≠

± == ⇒ = = =

то есть получим четыре стационарные точки

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 41;2 ; 2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 .M M M M− − − −

Найдем частные производные второго порядка:

2 2 2

2 26 , 6 , 6z z zx y xx yx y∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂∂ ∂

и составим дискриминант 2AC B∆ = − для каждой стационарной точки.

1. Для точки 1 :M 1 1 1

2 2 2

2 26, 12, 6M M M

z z zA B Cx yx y∂ ∂ ∂

= = = = = = ∂ ∂∂ ∂ ,

2 36 144 0AC B∆ = − = − < . Значит, в точке 1M экстремума нет.

2. Для точки 2 :M 12, 6, 12A B C= = = , 144 36 0∆ = − > . В точке 2M имеем минимум. Минимум этот равен значению функции при 2, 1x y= =

min 8 6 30 12 28z = + − − = − .


matem.or

g.ua

32

3. Для точки 3 :M 6, 12, 6A B C= − = − = − , 36 144 0∆ = − < . Экстремума нет.

4. Для точки 4 :M 12, 6, 12A B C= − = − = − , 144 36 0∆ = − > , 0A < . В точке 4M функция имеет максимум: max 8 6 30 12 28z = − − + + = . Пример 49. Найти экстремумы функции 4 4 2 22 4 2z x y x xy y= + − + − . Находим частные производные

3 34 4 4 , 4 4 4z zx x y y x yx y∂ ∂

= − + = + −∂ ∂

.

Приравнивая эти производные к нулю, получим систему уравнений, из

которой определяются стационарные точки данной функции 3

3

0,

0.

x x y

y x y

− + =

+ − =

Складывая эти уравнения, получим 3 3 0x y+ = или 3 3y x= − ,

и, следовательно, y x= − . Подставляя это в первое из уравнений, найдем значения х:

( )3 22 0, 2 0x x x x− = − = .

Отсюда 1 2 30, 2, 2x x x= = = , а тогда 1 2 30, 2, 2y y y= = − = . Таким образом, имеются три стационарные точки:

( ) ( ) ( )1 2 30;0 , 2, 2 , 2, 2M M M− − .

Проверяем эти точки на экстремум с помощью достаточных условий. Для этого найдем сначала вторые частные производные:

2 2 22 2

2 212 4, 4, 12 4z z zx yx yx y∂ ∂ ∂

= − = = −∂ ∂∂ ∂

.

Подставляя сюда координаты стационарных точек, получим: для точки 1 :M 24, 4, 4, 0A B C AC B= − = = − ∆ = − = ; 2 :M 220, 4, 20, 384 0A B C AC B= = = ∆ = − = > ;

3 :M 220, 4, 20, 384 0A B C AC B= = = ∆ = − = > .

В точках 2M и 3M 0, 0A∆ > > , так что это точки минимума функции. В этих точках значения функции

( )min 4 4 2 2 4 2 2 2 8z = + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ = .


matem.or

g.ua

33

В точке 1 0M ∆ = и достаточный признак ответа не дает. Дополнительными исследованиями можно установить, что в начале координат функция z экстремума не имеет.

10. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ Экстремумы функции по своему определению носят локальный характер:

в точке экстремума 0M функция принимает максимальное или минимальное значение среди всех ее значений в некоторой, быть может, очень малой окрестности точки 0M .

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции ( ),z f x y= в некоторой замкнутой области Д, нужно определить:

– стационарные точки функции; – значения функции в стационарных точках; – наибольшее и наименьшее значения функции на границах области Д. Затем среди всех найденных значений выбрать наибольшее и

наименьшее. Пример 50. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

( )2 2 3 2 22 2z x y x y x y x y x y= − − = − −

x

y

0

6

6

х+у=6х=0

у=0

Рис. 8

в треугольнике, ограниченном прямыми 0, 0, 6x y x y= = + = (рис. 8). Найдем стационарные точки, лежащие внутри данного треугольника:

( )2 24 3 2 4 3 2z xy x y xy xy x yx∂

= − − = − −∂

,

( )2 3 2 32 2 2 2z x x x y x x yy∂

= − − = − −∂

.


matem.or

g.ua

34

Приравнивая производные к нулю, можно на х и у сократить, так как внутри треугольника 0x > и 0y > :

4 3 2 02 2 0.

x yx y

− − = − − =

Решение этой системы: 0 011, 2x y= = . Стационарная точка ( )0 1;0,5M

лежит внутри треугольника. Значение функции z в этой точке

( ) ( )0 0 1 0,5 2 1 0,5 0,25z z M= = ⋅ − − = . На сторонах треугольника 0, 0x y= = значения функции z равны нулю.

Найдем ее наибольшее и наименьшее значения на стороне 6x y+ = . На ней 6y x= − , 0 6x< < и ( ) ( ) ( ) ( )2 26 2 6 4 6z z x x x x x x x= = − − − + = − − . На концах интервала ( ) ( )0 6 0z z= = . Стационарные точки находим из

уравнения ( )' 0z x = , где

( )248 12 0, 12 4 0x x x x− + = − = . Отсюда 4x = (так как 0x = – граничная точка). При этом

( )2, 4 16 6 4 128y z= = − ⋅ − = − . Итак, наибольшее и наименьшее значения функции z в данном

треугольнике надо искать среди следующих ее значений: z = 0,25 – внутри треугольника, в точке (1; 0,5); z = 0 – на сторонах 0, 0x y= = (в том числе и в вершинах); z = – 128 – на стороне 6x y+ = , в точке (4; 2).

Отсюда видно, что наибольшее значение z = 0,25 данная функция принимает внутри треугольника, в точке (1; 0,5), а наименьшее значение z = – 128 – на его границе, в точке (4; 2).

Пример 51. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 2z x y= − в круге 2 2 4x y+ ≤ . Находим частные производные ' '2 , 2x yz x z y= = − . Решаем систему

уравнений: 2 0

2 0,x

y=

− =

получим одну критическую точку ( )0 0;0P , в которой значение функции равно нулю.

Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения функции на границе, то есть на окружности 2 2 4x y+ = . Для точек этой окружности функцию


matem.or

g.ua

35

2 2z x y= − можно представить как функцию одной переменной ( )2 2( ) 4z x x x= − − , то есть. 22 4z x= − , причем 2 2x− ≤ ≤ . Итак, нахождение

наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных на окружности 2 2 4x y+ = мы свели к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной 22 4z x= − на сегменте [ ]2,2− . Найдем критические точки функции в интервале ( )2,2− и вычислим значения функции в этих точках и на концах интервала. Имеем ' 4 , 4 0z x x= = , откуда получаем критическую точку 00; 4xx z == = − . Далее, находим 2 24, 4x xz z=− == = . Таким образом, функция имеет наибольшее значение, равное 4, и наименьшее значение, равное –4.

Итак, наибольшее значение функция 2 2z x y= − в круге 2 2 4x y+ ≤ принимает в точках ( )1 2;0M − и ( )2 2;0M окружности 2 2 4x y+ = и наименьшее в точках ( )3 0;2M и ( )4 0; 2M − той же окружности.

Заметим, что наибольшее и наименьшее значения функции на окружности 2 2 4x y+ = можно найти иначе.

Представим уравнения окружности в параметрическом виде:

( )2cos , 2sin 0 2x t y t t π= = ≤ ≤ . Тогда 2 2 2 24cos 4sin 4cos2z x y t t t= − = − = . Найдем наибольшее и

наименьшее значения этой функции на сегменте 0 2t π≤ ≤ . Для этого, продифференцировав функцию 4cos2z t= , получим ' 8sin 2z t= − . Составив уравнение 8sin 2 0t− = , находим три критические точки 1 2 3/ 2, , 3 / 2t t tπ π π= = = , лежащие внутри указанного сегмента. Вычислив значения функции 4cos2z t= в этих точках, а также на концах сегмента 0t = и

2t π= , заметим, что получаются лишь два различных между собой значения функции: 1 4z = − (наименьшее значение) и 2 4z = (наибольшее значение).

11. ПРОИЗВОДНАЯ В ДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ. ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ

Определение. Производной функции ( ),z f x y= в точке ( ),M x y в

направлении вектора 1l MM= называется предел ( ) ( )

1

10 01

lim limMM

z f M f M zl MM ρ ρ→ →

∂ − ∆= =

∂,

где 2 2x yρ = ∆ + ∆ .

Если функция ( ),f x y дифференцируемая, то производная в данном направлении вычисляется по формуле


matem.or

g.ua

36

cos sinz z zl x yα α∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂

,

где α – угол, образованный вектором l с осью Ox .

В случае функции трех переменных ( ), ,u f x y z= производная в данном направлении определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид

cos cos cosu u u ul x y zα β γ

∂ ∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ ∂,

где cosα , cosβ , cosγ – направляющие косинусы вектора l .

Градиентом функции ( ),z f x y= в точке ( ),M x y называется вектор, выходящий из точки М и имеющий своими координатами частные производные функции z :

z zgradz i jx y∂ ∂

= ⋅ + ⋅∂ ∂

.

Градиент функции и производная в направлении вектора l связаны

формулой

ez np gradzl∂

=∂

.

Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в

данной точке. Производная zl∂∂

в направлении градиента имеет наибольшее

значение, то есть 2 2

наиб

z z zgradzl x y∂ ∂ ∂ = = + ∂ ∂ ∂

.

В случае функции ( ), ,u f x y z= градиент функции

u u ugradu i j kx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

.

Пример 52. Найти производную функции 2 2z x y= − в точке ( )1,1M в

направлении вектора l , составляющем угол 60α = с положительным направлением оси Ox .

Найдем значения частных производных в точке М:

2 , 2 , 2, 2M M

z z z zx yx y x y∂ ∂ ∂ ∂ = = − = = − ∂ ∂ ∂ ∂

.


matem.or

g.ua

37

Так как cos cos60 1/ 2, sin sin 60 3 / 2α α= = = = , то

1 32 2 1 3 0,72 2zl∂

= ⋅ − ⋅ = − ≈ −∂

.

Пример 53. Найти производную функции 2 3u xy z= в точке ( )3,2,1M в

направлении вектора MN , где ( )5,4,2N . Найдем вектор MN и его направляющие косинусы:

( ) ( ) ( )5 3 4 2 2 1 2 2MN l i j k i j k= = − + − + − = + + .

2 2 2

2 2 2 1cos ; cos ; cos3 3 32 2 1α β γ= = = =

+ +.

Вычислим значения частных производных в точке М:

2 3 3 2 2; 2 ; 3 ;u u uy z xyz xy zx y z

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

4; 12; 36M M M

u u ux y z∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂

.

Следовательно, 2 2 1 24 12 36 223 3 3 3ul

∂= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

∂.

Пример 54. Найти производную функции ( )2 2lnz x y= + в точке

( )3,4M в направлении градиента функции z . Здесь вектор l совпадает с градиентом функции ( )2 2lnz x y= + в точке

( )3,4M

2 2 2 22 2 6 8

25 25M M

x ygradz i j i jx y x y

= ⋅ + ⋅ = + + + .

Следовательно, 2 26 8 2

25 25 5z gradzl∂ = = + = ∂

.

Пример 55. Найти величину и направление градиента функции

33sin sinu tgx x y y z ctgz= − + − + + в точке ( )/ 4; / 3; / 2M π π π . Найдем частные производные

2 22

1sec 1; 3cos 3sin cos ; 1sin

u u ux y y yx y z z∂ ∂ ∂

= − = − = −∂ ∂ ∂


matem.or

g.ua

38

и вычислим их значения в точке ( )/ 4; / 3; / 2M π π π : 21 3 1 32 1; 3 3 ; 1 1 02 2 2 8M M M

u u ux y z∂ ∂ ∂ = − = ⋅ − ⋅ ⋅ = = − = ∂ ∂ ∂

.


( ) ( )23 3; 1 73 /88 8M Mgradu i j gradu = + = + =

;

1 8cos ; cos sin 3/ 7373 /8 73

α β α= = = = .

Пример 56. Найти производную от функции ( )ln 2z x y= + в точке

( )1 1,1/ 2M , принадлежащей параболе 2 / 2y x= по направлению касательной к этой параболе.

Находим частные производные от функции ( )ln 2z x y= + :

1 2,2 2z zx x y y x y∂ ∂

= =∂ + ∂ +

и их значения в точке ( )1 1,1/ 2M :

1 1

1 1 2; 11 2 11 2 1 22 2M M

z zx y∂ ∂ = = = = ∂ ∂ + ⋅ + ⋅

.

Для того, чтобы найти значения cosα и sinα , находим угловой коэффициент касательной в точке ( )1 1,1/ 2M

1

'2'

11

12M xx

xk tg y xα ==

= = = = =

.

Таким образом, 1tgα = , откуда получим два значения α : 1 45α = и 2 225α = , которые соответствуют двум взаимно противоположным направлениям касательной.

При 1 45α = имеем 12cos cos45 ; sin sin 45 2 / 22α α= = = = .

Следовательно, 1 2 2 3 212 2 2 4ul

∂= ⋅ + ⋅ =

∂.

При 2 225α = аналогично получим 3 24

ul

∂=

∂.


matem.or

g.ua

39

12. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что называется функцией двух переменных? 2. Что называется областью определения функции двух переменных и

какой ее геометрический смысл? 3. Что представляет собой график функции ( ),z f x y= ? 4. Дать определения предела функции ( )z f M= при 0M M→ . 5. Дать определения непрерывной функции двух переменных в точке и на

множестве точек. 6. Найти область определения Д функции

( )2 2 2 21 ln 4z x y x y= + − + − − .

7. Убедиться, что ( )( )

22

2200

2 1 1 1lim 22xy

x yx y→

→

+ − + −=

+ −.

8. Доказать, что 2 200

limxy

xyx y→

→+

не существует.

9. Исследовать на непрерывность функции

а) 22 3z x y= + , б) 2

2 22 1x yz

x y+ −

=+

, в) 21

2x yzy x+ −

=−

.

10. Дать определение частной производной функции двух переменных по одной из них.

11. Как определяют частные производные второго и третьего порядков для функции двух переменных?

12. Сформулировать теорему о равенстве смешанных производных. 13. Дать определение полного дифференциала функции двух переменных

и записать формулу для его нахождения. 14. Как применяется полный дифференциал функции для приближенных

вычислений ее значений?

15. Как найти производную dzdt сложной функции ( ) ( )( ),z f x t y t= ?

16. Что называют полной производной? 17. Написать формулу для нахождения производных '

xz и 'yz , если

( ),z f u v= , где ( ),u u x y= , ( ),v v x y= . 18. Правила дифференцирования неявных функций одной и двух

переменных.


matem.or

g.ua

40

19. Найти частные производные 'xz и '

yz в точке ( )0 1,1M , если 3 3z x y xy= + − .

20. Доказать, что функция ( )2 2lnz x xy y= + + удовлетворяет

уравнению: ' ' 2x yx z y z⋅ + ⋅ = .

21. Показать, что функция sin yz x x= удовлетворяет уравнению ' '2 2x yx z y z z⋅ + ⋅ = .

22. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала число 2,031,04a = .

23. Показать, что для функции 3 2 3z x y xy= + + дифференциал третьего

порядка ( )3 3 36d z dx dy= + .

24. Пусть 2z u v= + , где ( )2 sin , lnu x y v x y= + = + . Показать, что ' ' 2 cosx yz z x y− = − .

25. Пусть ( )5

xe y zu −= , где 2sin , cosy x z x= = . Показать, что полная

производная 2 sinxdu e xdx = ⋅ .

26. Доказать, что частные производные 'xz и '

yz неявной функции

( ),z x y , которая задана уравнением 2 2 22z y zx+ = − , удовлетворяют условию

2 ' '1 1x yx z zy z+ = .

27. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением ( ), , 0F x y z = в точке 0M .

28. Сформулировать необходимые условия существования экстремума функции двух переменных.

29. Сформулировать достаточные условия экстремума функции двух переменных.

30. Метод нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных.

31. Привести формулу нахождения производной по направлению. 32. Дать определение градиента скалярного поля.


matem.or

g.ua

41

33. Найти уравнение касательной плоскости и нормали в точке (1, 2, 1) к

однополостному гиперболоиду 2 2 22 4 5x y z+ − = .

34. Найти производную функции 2 22u y z xyz z= − + в точке ( )0 3,1,1M по направлению вектора, который образует с осями координат углы

, 3 4π π

α β= = .

35. Найти экстремумы функции ( )3 2 1z x y x y= − − . 36. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x y= + в круге

2 2 1x y+ ≤ .

Ответы: 6. Д – множество точек, которые находятся между окружностями 2 2 1x y+ = и 2 2 4x y+ = , причем внутренняя окружность входит в области Д, а внешняя – нет. 9. а) функция непрерывна на всей плоскости xOy ; б) функция не определена, а значит, разрывна в точке О (0, 0); в) точки разрыва находятся на параболе 2 2y x= . 19. ( ) ( )' '1,1 1,1 2x yz z= = .

22. 1,08a ≈ . 33. 1 2 14 4 5, 1 4 4x y zx y z − − −

+ − = = = . 34. 5 4 22

ul

∂ += −

∂.

35. max1 1 1;2 3 432z z = =

. 36. 2, 2− . Указание. При нахождении

стационарных точек на границе области воспользоваться параметрическими уравнениями окружности.


matem.or

g.ua

42

13. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Найти частные производные второго порядка 1. 42 .xz arctg y= − 2. 5 2.z x y= ⋅

3. .xz x y=+

4. 2arccos .z y x=

5. 6 47 .z y xy= − 6. 2 .x yzx−

=

7. 2

5 .xyz = 8. 5 3.z x y= +

9. 3 3

3 3 .x yzx y

+=

− 10. cosy y x= .

2. Найти частные производные zu∂∂

и zv∂∂

для сложных функций:

1. 2 2 2 2, , .y xz xe ye x u v y u v= + = + = −

2. 4 , , .xz x y x u v y v u= + = − = −

3. 2

3 , , / .xyz x u v y u v= = ⋅ =

4. ( )3 2 3 46 , ln , .z x x y x uv y uv= − − = =

5. 2 2cos , 3 , / .z xy x u v y v u= = =

6. ( )4 4 5 2, , .z x y x tg uv y u v= − = =

7. ( )3 5 27 , , sin .x yz x u v y uv−= = =

8. ( )2 2 , , .v uz ctg x y x u y v= = =

9. ( ) ( )2

2 22 , cos , sin .xz x uv y u v

y= = =

10. 4 4 3 3arcsin , , .z xy x u v y u v= = + = − 3. Найти полный дифференциал первого порядка функции. 1. ( )ln 2 3 .yz x y arctge= − − 2. 3sin .z x y xy= ⋅ +

3. 2 4 2arcsin sin .z x y x y= − − 4. 2 4 cos .yz y arctgx x e= − +

5. 3 3arccos2 .z x y y y= + − 6. 3ln5 .z x x xy= − +

7. ( ) 22 sin .z yarctg x y y= − − 8. ( )2 2 3ln cos .z x y x y= − −

9. 4 32 ln .2x yz x yx y−

= −+

10. 4 .yx yz arctg ex y−

= −+


matem.or

g.ua

43

4. Вычислить приближенно значение 0z

1. 3,040 1,97 .z = 2. 2,81

0 4,02 .z =

3. 5,060 3,92 .z = 4. 3,97

0 0,95 .z =

5. 2,940 1,08 .z −= 6. 4,07

0 1,09 .z =

7. 2,050 1,93 .z −= 8. 1,97

0 2,03 .z =

9. 1,080 2,96 .z = 10. 1,08

0 4,96 .z −= 5. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной

поверхности в точке 0M .

1. ( )2 20; 1, 2,5 .z x y M= + − 2. ( )2 2

05 3 ; 1,1,2 .z x y xy M= −

3. ( )2 2 202 3 21; 1,2,2 .x y z M+ + = 4. ( )2 2 2

03 5; 2,1, 2 .x y z M− + = −

5. ( )2 20; 1,1, 1 .z x xy y M= + − − − 6. ( )2

04 6 ; 1,1,10 .z x xy M= − −

7. ( )2 202 3 ; 1, 1,4 .z x xy y M= + − − − 8. ( )2 2 2

02 3; 2,1,1 .x y z M+ − =

9. ( )4 203 2 4; 1; 1; 1 .x xy z M− − = − − 10. ( )4 2

03 , 1;1;1 .z x y M= − −

6. Исследовать на экстремум функцию.

1. ( )22 21 2 .z x y= − + 2. 2 2 2 .z x xy y x y= + + − −

3. 3 38 6 5.z x y xy= + − + 4. 2 2 9 6 1.z x xy y x y= − + + − +

5. 2 23 6 .z x y x xy y= + − − − 6. 3 2 2 22 5 .z x xy x y= − + +

7. ( )2 21 2 .z x y= − − 8. 4 4 2 22 4 2 .z x y x xy y= + − + −

9. 2 6 .z y x y x y= − − + 10. 2 4 2 .z xy x y= − + 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ( ),z f x y= в

замкнутой области Д, которая задается системою неравенств. Сделать рисунок.

1. 2 2 , 0, 0, 3.z x y xy x y x y x y= + − + + ≤ ≤ + ≥ −

2. 3 2 2, 1.z x y x y= + ≤

3. 3 3 3 , 0 2, 1 2.z x y xy x y= + − ≤ ≤ − ≤ ≤

4. 2 , 1 1,0 3.z x xy x y= + − ≤ ≤ ≤ ≤

5. 2 23 , 1, 1, 1.z x y x y x y x y= + + − ≥ ≥ − + ≤


matem.or

g.ua

44

6. 2 25 3 4, 1, 1, 1.z x xy y x y x y= − + + ≥ − ≥ − + ≤

7. 2 22 2 , 1 1,0 2.z x xy y x y= + + − ≤ ≤ ≤ ≤

8. 2 210 2 , 0 4 .z xy x y x= + − ≤ ≤ −

9. 2 22 4 , 0, 0, 2 0.z x xy y x x y x y= + − + ≤ ≤ + + ≥

10. 2 2 2 2, 1.z x y x y= − + ≤

8. Найти градиент функции U и производную в точке М по направлению

вектора 1MM .

1. ( ) ( )2

1arcsin , 1,2, 1 , 3,1,12xU yz M M= − − .

2. ( ) ( ) ( )21ln 4 3 , 1,1,1 , 3, 1,0U z y x M M= − − − − .

3. ( ) ( ) ( )21arc 3 , 1, 1,2 , 1, 1,3U tg xy x M M= + − − − .

4. ( ) ( ) ( )2 21ln 5 3 , 2,4, 1 , 0, 1, 2U x y xz M M= + − − − − .

5. ( ) ( )4 2 313 , 1,2,1 , 3,3, 1U x z y z M M= + − − − .

6. ( ) ( )2 215 , 1,1, 1 , 1,3, 2U xyz y z M M= + − − − .

7. ( ) ( )21, 1,1,1 , 3, 1,2U x z yz M M= − − .

8. ( ) ( )21, 3,4,1 , 5,2,2U xyz z y M M= − .

9. ( ) ( )2 215 , 1,3,1 , 3,5,1U x xyz M M= + − − .

10. ( ) ( )2 312 , 3,2,1 , 5,4, 2U xyz x y M M= + − .


matem.or

g.ua

45

14. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА 1. Найти частные производные второго порядка 2sinz x y= .

Найдем частные производные первого порядка:

( ) ( )2 2 2 2sin sin , sin 2 cosx yz zx y y x y xy yx y∂ ∂′ ′= = = =∂ ∂

.

Дифференцируем каждую из полученных частных производных по х и у,

будем иметь частные производные второго порядка:

( ) ( )2 2' '2 2 2

2 sin 0, sin cos 2 .x y

z z z zy y y yx x x y y xx∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = = = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

( )2 '2 22 cos 2 cos .

xz z xy y y yy x x y

∂ ∂ ∂ = = ⋅ = ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂

( )2 '2 2 2 2

2 2 cos 2 cos 4 sin .y

z z xy y x y xy yy yy∂ ∂ ∂ = = ⋅ = − ∂ ∂∂

2. Найти частные производные zu∂∂

и zv∂∂

от сложных функций

( ) 3 5 4 3cos , ,z y x y x u v y u v= + = + = .

Формулы для нахождения частных производных сложной функции

имеют вид

;z z x z y z z x z yu x u y u v x v y v∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Находим:

( ) ( ) ( )sin , cos sin ,z zy x y x y y x yx y∂ ∂

= − + = + − +∂ ∂

2 4 3 3 4 23 , 5 , 4 , 3z x y yu v u v u vu v u v∂ ∂ ∂ ∂

= = = =∂ ∂ ∂ ∂

.


matem.or

g.ua

46

Получаем

( ) ( ) ( )( )2 3 3sin 3 cos sin 4z y x y u x y y x y u vu∂

= − + ⋅ + + − + ⋅∂

.

( ) ( ) ( )( )4 4 2sin 5 cos sin 3z y x y v x y y x y u vv∂

= − + ⋅ + + − + ⋅∂

.

3. Найти полный дифференциал первого порядка функции

2sin ln 4xyz x y= − . Дифференциал первого порядка:

( ) ( ), ,z x y z x ydz dx dyx y

∂ ∂= +

∂ ∂.

Найдем частные производные первого порядка

2 221 2cosln 2 4 ln 4 cosln 4 ln 4xy xyz x y xy y x y yx xx y

∂= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅

∂.

2 2 221 1cosln 4 ln 4 cosln 4 ln 4xy xyz x y x x x y xy yx y

∂= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅

∂.

По формуле дифференциала первого порядка имеем:

2 22 1cosln 4 ln 4 cosln 4 ln 4xy xydz x y y dx x y x dyx y = − + − ⋅

.

4. Вычислить приближено значение 0z . 3,98

0 2,08z −= .

Рассмотрим функцию ( ), yf x y x= . Данное число 0z есть приращенное значение этой функции в точке ( )0 2; 4M − при 0,08x∆ = , 0,02y∆ = + .

Дифференциал данной функции

1 lny yz zdz x y yx x x x yx y−∂ ∂

= ∆ + ∆ = ⋅ ∆ + ⋅ ⋅ ∆∂ ∂

.

Его значение в точке ( )0 2; 4M − при данных приращениях


matem.or

g.ua

47

( )0

5 4 14 2 0,08 2 ln 2 0,02 0,01 0,69 0,02 0,00916Mdz − −= − ⋅ ⋅ + ⋅ = − + ⋅ ⋅ = − .


( ) ( ) ( )

0

42,08; 3,98 2; 4 2 0,009 0,0625 0,009 0,0535Mf f dz −− ≅ − + ≅ − = − = .

5. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности 23z xy y= − в точке ( )0 1; 2,2M − − .

Уравнение касательной плоскости записывается в виде

( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = . Уравнение нормали

0 0 0x x y y z zA B C− − −

= = .

Так как заданная поверхность имеет уравнение 23z xy y= − , то

координаты нормального вектора N вычисляются по формулам ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , ,, , 1z x y z z x y zA B Cx y

∂ ∂= = = −

∂ ∂

( ) ( )0 0

0 0

23 6; 3 2 11, 1M MM M

z zA y B x y Cx y∂ ∂ = = = − = = − = − = − ∂ ∂

.

Следовательно, касательная плоскость имеет уравнение ( ) ( ) ( )6 1 11 2 2 0x y z− + − + − − = , 6 6 11 22 2 0x y z+ + + + − = или

6 11 26 0x y z+ + + = . Уравнение нормали

1 2 26 11 1

x y z+ + −= =

− − − или 1 2 2

6 11 1x y z+ + −

= = .

6. Исследователь на экстремум функцию 3 3 3 .z x y xy= + − Находим частные производные

2 23 3 , 3 3z zx y y xx y∂ ∂

= − = −∂ ∂

.

Приравнивая эти производные к нулю, получим систему уравнений, из которой определяются стационарные точки данной функции.

2 2

2 4

3 3 0

3 3 0 0

x y y x

y x x x

− = =⇒ ⇒

− = − = 1 1

2 2

0, 01, 1.

x yx y= == =


matem.or

g.ua

48

Таким образом, имеем две стационарные точки: ( )1 0;0M , ( )2 1;1M . Найдем сначала вторые частные производные:

2 2 2

2 26 , 3, 6z z zx yx yx y∂ ∂ ∂

= = − =∂ ∂∂ ∂

.

Подставляя сюда координаты стационарных точек, получим: для точки 2

1 : 0, 3, 0, 9 0M A B C AC B= = − = ∆ = − = − < , экстремума нет; для точки 2 : 6, 3, 6, 6 6 3 33 0M A B C= = − = ∆ = ⋅ − = > и 0A > , так что это точка минимума функции.

min 1 1 3 1z = + − = − .

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 2 29 27z xy x y= − + + + , если 0 3,0 3x y≤ ≤ ≤ ≤ .

Заданная область изображена на рис. 9. y

x0

A B

C

Рис. 9

Заданная область изображена на рис. 9. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее

значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные

2 9 , 2 9z zx y y xx y∂ ∂

= − = −∂ ∂

равны нулю.


matem.or

g.ua

49

Решим систему уравнений 9

2 9 0 22 9 0 92 9 02

x yx yy x y y

=− = ⇒ ⇒ − = − ⋅ =

00.

xy==

Точка 0 (0;0) принадлежит границе заданной области, внутренних

стационарных точек нет. На отрезке ОА имеем х = 0 и поэтому на этом отрезке 2 27z y= +

( )0 3y≤ ≤ есть возрастающая функция от одной переменной у, наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка ОА: ( )0;0 27z = ; ( )0,3 36z = .

На отрезке АВ: у = 3 функция 2 27 36z x x= − + ( )0 3x≤ ≤ представляет функцию одной переменной х, ее наибольшее значение находится среди ее значений в критических точках и на концах отрезка: ' 2 27z x= − , 2 27 0 13,5x x− = ⇒ = , эта точка не принадлежит отрезку АВ. На концах отрезка АВ: ( )0,3 36z = , ( )3,3 9 9 81 27 36z = + − + = − .

На отрезке ВС: х = 3, ( )0 3y≤ ≤ , 2 29 27 27 27 36z y y y y= + − + = − + , ' 2 27z y= − , 2 27 0 13,5y y− = ⇒ = , эта точка не принадлежит отрезку ВС.

Отрезок СО: у = 0, ( )0 3x≤ ≤ , 2 27, ' 2z x z x= + = , 2 0 0x x= ⇒ = . Точка О (0;0) принадлежит границе заданной замкнутой области.

Итак, ( )0,0 27z = , ( )0,3 36z = , ( )3,3 36z = − . Наибольшее значение функции в точке А ( )0;3 36наибz = . Наименьшее –

в точке В 36наимz = − . 8. Найти градиент U в точке ( )1,3, 1M − и производную в точке М по

направлению вектора 1MM .

( ) ( ) ( )2 21ln 3 4 , 1;3, 1 , 3,5, 2U x y zy M M= + − − − .

Найдем вектор 1MM и его направляющие косинусы:

( ) ( ) ( )1 3 1 5 3 2 1 2 2MM i j k i j k= − ⋅ + − ⋅ + − + ⋅ = + − .

( )22 2

2 2 2 1cos ; cos ; cos3 3 32 2 1α β γ= = = = −

+ + −.


matem.or

g.ua

50

Найдем частные производные от функции U и вычислим их значения в точке М:

2 2 2 26 8, ;

3 4 3 4u x u y uz yx y zx y x y∂ ∂ ∂

= = − = −∂ ∂ ∂+ +

.

6 6 2 24 21; 1 ; 33 36 39 13 39 13M M M

u u ux y z∂ ∂ ∂ = = = = + = = − ∂ + ∂ ∂

.

Производная по направлению вектора 1MM l= :

2 2 21 2 1 4 42 853 113 3 13 3 3 39 39 39

ul

∂ = ⋅ + ⋅ − − = + + = ∂ .

Градиент данной функции в точке ( )1;3; 1M − :

( ) ( ) ( )

2 21 313 13M M M

u u ugradU i j k i j kx y z∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + −∂ ∂ ∂

.


matem.or

g.ua

51

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.:

Наука, 1978. – Т. 1. – 456 с.

2. Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика.

– К.: Техніка. – Ч. 1. – 2000. – 590 с.

3. Соколенко О.І., Новик Г.А. Вища математика в прикладах і задачах. –

К.: Либідь, 2001. – 245 с.

4. Вища математика. Основні розділи/ Г.Й. Призва, В.В. Плахотник,

Л.Д. Гординський та ін. – К.: Либідь, 2003. – 400 с.


matem.or

g.ua

52

Навчальне видання

Бібліотека іноземного студента

Орел Валентина Пантеліївна Бугрим Ольга Володимирівна Кібкало Ольга Федорівна

МАТЕМАТИКА

Частина 8

Функції кількох змінних (у прикладах і задачах)

Навчальний посібник (Російською мовою)

Редактор Ю.В. Рачковська

Підписано до друку 15.01.08. Формат 30х42/4. Папір офсет. Ризографія. Ум. друк. арк. 2,8. Обл.-вид. арк. 2,8 Тираж 250 прим.. Зам. №

Підготовлено до друку та видрукувано у Національному гірничому університеті.

Свідоцтво про внесення до Державного реєстру ДК № 1842 49005, м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 19.


matem.or

g.ua

= M M A b f j Z D ZНаведені теоретичні основи розділу: теореми, визначення, формули, прикладні задачі. Посібник

Documents