حل المتباينات المتعددة الخطوات

4الفصل

المتباينات الخطية

حل معادلت فيما سبق: درست متعددة الخطوات

وال:ن:

تُمتباينات خطية تتضمن أكثر من عملية واحدة. أحل

أحل متباينات خطية تتضمن خاصية التوزيع.

لماذا؟

يحصل مندوب مبيعات على راتب شهري يضاف إليه عمولة تبع ًا

لمبيعاته. ويمكن استعمال متباينة متعددة الخطوات ليجاد قيمة

المبيعات التي تحقق للمندوب دخ ًال شهري ًا يلبي طموحه.

حل المتباينات المتعددة الخطوات: يمكن حل المتباينات المتعددة

اء أثر العمليات غالخطوات بإلبالطريقة نفسها التي اتبعتها في حل

المعادلت المتعددة الخطوات.

من واقع الحياة: 1مثال

حل المتباينة متعددة الخطوات:

6000مبيعات: يعمل عبد المجيد مندوب مبيعات براتب شهري قدره % من مبيعاته، فإذا كان هدفه أن يكسب 10ريال وعمولة مقدارها

ريال شهري ًا على القل. فاكتب متباينة وحلها ليجاد قيمة 12000المبيعات الالزمة لتحقيق هدفه؟

الدخل المطلوب >الراتب الساسي + (العمولة × المبيعات)

بالتعويض 12000≥س 6000+0.10

% من مبيعاته، 10 ريال وعمولة مقدارها 6000مبيعات: يعمل عبد المجيد مندوب مبيعات براتب شهري قدره ريال شهري ًا على القل. فاكتب متباينة وحلها ليجاد قيمة المبيعات الالزمة 12000فإذا كان هدفه أن يكسب

لتحقيق هدفه؟

من كال الطرفين 6000 اطرح 6000≥س 0.10

0.10 اقسم كال الطرفين على 60000≥س

60000لذا، يجب أن ل تقل مبيعاته عن ريال ليحقق هدفه.

تأكد

إذا أراد أربعة أشخاص ركوب قارب ومعهم قوارب: ) 1 كجم، فاكتب متباينة ليجاد معدل 40حمولة مقدارها

الوزن المسموح به للشخص الواحد (ن)، وحلها، علم ًا كجم. 400بأن حمولة القارب

الحــــــــــــــــل

40 ــ 400 ≤ 40 ــ 40 ن + 4 360 ن ≤ 4

4 4 90 ن ≤

أو أقل 90 فيكون للشخص الواحد

عند ضرب المتباينة في عدد سالب أو قسمتها عليه يتغير اتجاه إشارة المتباينة،

وتنطبق هذه الخاصية على المتباينات المتعددة الخطوات.

متباينة تتضمن معام ًال سالب ًا:

42> 13ص- 11حل المتباينة: -

المتباينة الصلية 42> 13ص -11-

إلى كال الطرفين13أضف 55ص > 11-

ص11ـ-ـــــــــــ < ــــــــــــ

-1155

-115ص < -

وغرّير اتجاه إشارة المتباينة 11 قسم كال الطرفين على -

رّس ط ب} 5لذا، فمجموعة الحل هي: {ص│ص < -

تحقق من فهمك

حل ك ًال من المتباينتين التيتين:

ك2 – 10 ≥ 23أ) 2

الحــــــــــــــل

ك 2 ــ 10 ــ 10 ≥ 10 ـــ 23 ك 2ــ ≥ 13

2 ــ 2 ــ ≤ ك 6 . 5 ــ

تحقق من فهمك

م ًال من المتباينتين التيتين: حل ك

11ص + 4 > -43) ب2

الحـــــــــــــــل

11 ــ 11 ص + 4 > ــ 11 ــ 43 ص 4ــ > 32

4 ــ 4 ــ < ص8 ــ

يمكن تحويل الجمل الرياضية إلى متباينات متعددة الخطوات، ثم حلها

باستعمال خصائص المتباينات.

3مثال

كتابة المتباينة وحلها

ها. لعرف المتغير، واكتب المتباينة، ثم ح

خمسة ناقص ستة أمثال عدد أكبر من أربعة 45أمثال ذلك العدد زائد

خمسة ناقص ستة أمثال عدد أكبر من أربعة أمثال ذلك 45العدد زائد

أكبرمن خمسة ناقص ستة أمثال عدد

أربعة أمثال العدد

خمسة زائدوأربعين

45 ن + 4 ن > 6 ــ 5

ن من طرفي المتباينة 4 اطرح 45ن > 10 – 5

من طرفي المتباينة 5اطرح 40ن > 10–

40ن10– ــــــــــ < ـــــــــ-10-10

، وغي ّر اتجاه 10اقسم طرفي المتباينة على -إشارة المتباينة

ب ّس ط 4ن < -

}4لذا، فمجموعة الحل هي {ن│ن < -

تحقق من فهمك

د اثنين أكبر من سبعة وعشرين ئ) نصف عدد زا3

تحقق من فهمك

27 > 2 ن + 1 2 2 ــ 27 > 2 ــ 2 ن + 1

2 25 × 2 ن > 1 × 2

2 50 ن >

عند حل متباينات حل المتباينات التي تتضمن خاصية التوزيع: م ًال خاصية التوزيع للتخلص من تحتوي على أقواس استعمل أوالقواس، ثم استعمل ترتيب العمليات لتبسي ط المتباينة الناتجة.

مراجعة المفردات:

ترتيب العمليات

) احسب قيمة العبارات داخل القواس. 1

) احسب قيمة كل القوى. 2

) اضرب و / أو اقسم من اليمين إلى اليسار. 3

) اجمع و/ أو اطرح من اليمين إلى اليسار. 4

تنبيه!

خاصية التوزيعإذا ضرب عدد سالب في مجموع حدين أو الفرق بينهما، فتذ ّكر أن توزيع العدد مع إشارته السالبة

على كل حد من الحدين بين القوسين.

خاصية التوزيع

3ت + 8 ≥ 7) + 5- ت3 (4حل المتباينة: المتباينة الصلية3ت + 8 ≤ 7 + )5- ت3 (4

4مثال

خاصية التوزيع3ت + 8 ≤ 7 + 20- ت12ج ّمع الحدود المتشابهة3ت + 8≤ 13- ت12

ت من الطرفين8اطرح 3≤ 13- ت4

ألى كال الطرفين 13أضف 16≤ ت4

ـــــــ≤ ــــــــ 16ت444

4اقسم طرفي المتباينة على

ب ّس ط4≤ ت

} 4لذا، فمجموعة الحل هي: {ت│ت ≥

} 4لذا، فمجموعة الحل هي: {ت│ت ≥

تحقق من فهمك

م ًال من المتباينتين التيتين، وتحقق من صحة الحل: حل ك

42 ≤) 3ع -5(6أ) 4

الحــــــــــل

42 ≤ 18 ع ــ 30 42 ≤ 18 ع ــ 30 18 + 42 ≤ 18 + 18 ع ــ 30 60 ع ≤ 30 30 30

20 ع ≤

إذا كانت نتيجة حل المتباينة صحيحة دائم،ًا ، فإن مجموعة حل المتباينة هي مجموعة العداد الحقيقية ، وتكتب على الصورة

اّما إذا كانت نتيجة الحل غير صحيحة دائم،ًا ، {س│س عدد حقيقي}. أفإن مجموعة الحل هي المجموعة الخالية وهي التي ل تحتوي على

. øأي عنصر ويعبر عنها بالرمز

ارشادات للدراسة

ل تستعمل الصيغة المجموعة الخالية المميزة للمجموعة عندما تكون

مجموعة حل المتباينة هي المجموعة ،ًل من ذلك يعاّبر عن الخالية. وبد

. øمجموعة الحل بالرمز

5مثال

المجموعة الخالية ومجموعة العداد الحقيقية

) 3- (ت4)≤ 5- (ت5ت -9أ)

المتباينة الصلية )3- (ت4)≤ 5- (ت5ت -9

خاصية التوزيع 12- ت4≤ 25 + ت5ت -9

جمع الحدود المتشابهة 12- ت4≤ 25+ ت 4

ت4-12– ت4≤ ت4-25+ ت 4ت من كل الطرفين 4 اطرح

ت من كل الطرفين 4 اطرح 12≤ – 25

بما أن نتيجة الحل غير صحيحة دائم،ًا ، فإن مجموعة .øحل هذه المتباينة هي المجموعة الخالية

5مثال

المجموعة الخالية ومجموعة العداد الحقيقية

) 4- م 2(6+42)≤ 6 م +4(3) ب

المتباينة الصلية )4م- 2(6 + 42) ≤ 6م + 4(3

خاصية التوزيع 24- م 12+42≤ 18م + 12

جمع الحدود المتشابهة 18م + 12≤ 18م + 12

م12-18م + 12≤ م12-18م + 12

م من الطرفين 12 اطرح

اّس�ط 18≤ 18 ببما أن نتيجة الحل صحيحة دائم،ًا ، فإن مجموعة حل

هذه المتباينة هي مجموعة العداد الحقيقية.

تحقق من فهمك

،ًل من المتباينتين التيتين ، حل كوتحقق من صحة الحل:

)5م +2(4م -8 ≤46) ب5

الحـــــــــــــل

20 م ــ 8 م ــ 8 ≤ 46 20 ≤ ــ 46 Ø المعادلة مستحيلة الحل

تأكد

،ًل من المتباينتين التيتين ، حل كوتحقق من صحة الحل:

43 > 7س + 3-) 2

الحل

7 ـــ 43 > 7 ــ 7 س + 3 ـــ 36 س > 3 ــ

3 ــ 3 ــ

12 س < ــ

تأكد

عرف المتغير ، واكتب المتباينة وحلها ، ثم تحقق من صحة الحل:

أكبر 6أربعة أمثال عدد ناقص ) 4الْثل ذلك العدد. 8من ثِم مضاف،ًا إليها

الحـــــــــــل

س 2 + 8 > 6 س ــ 4 6 + 8 س > 2 س ــ 4 14 س > 2

7 س >

تأكد

م ًال من المتباينات التية، وتحقق حل كمن صحة الحل:

)4(ق-3) > 4(ق+5-) 6

الحل

12 ق ــ 3 > 20 ق ــ 5 ــ 20 + 12 ق > ــ 3 ق ــ 5 ــ 8 ق > 8ــ

8 ــ 8 ــ 1 ق < ــ

تدرب وحل المسائل

)، واكتب 13- 11عرف متغيرم ًا في كل من الئسئلة (المتباينة وحلها، ثم تحقق من صحة الحل:

ثالثة أرباع عدد ناقص تسعة ) 11يساوي على القل اثنين وأربعين.

الحل

9 + 42 ≥ 9 + 9 س ــ 3 4

51 س ≥ 3 4 51 × 4 س ≥ 3 × 4

4 204 س ≥ 3

3 3 68 س ≥

تدرب وحل المسائل

م ًال من المتباينتين التيتين، وتحقق من صحة الحل: حل ك

ن6) < 3ن + 7(3-) 14

الحــــــــــــــــل

ن 6 < 9 ن ــ 21 ــ 9 ن + 6 < 9 + 9 ن ــ 21 ــ 9 ن + 6 ن < 21 ــ 9 ن < 6 ــ 21 ــ

9 ن < 27ــ 27 ــ 27 ــ

1ــ ن > 3

انتهى الدرس