Transcript
เฉลยละเอยด
ขอสอบ กสพท. คณตศาสตร 2558
วธทา จากโจทย บอกวา 𝑥𝑥 − 1 หาร 𝑃𝑃(𝑥𝑥) เหลอเศษ 6
จากทฤษฎบทเศษเหลอ จะไดวา 𝑃𝑃(1) = 6
𝑎𝑎 + 4 = 6
เพราะฉะนน 𝑎𝑎 = 2
จะแกสมการ 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 0
ดงนน 2𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥 − 5 = 0
(𝑥𝑥 + 5)(2𝑥𝑥 − 1) = 0
เพราะฉะนน รากทเปนจานวนจรงบวกของสมการน จะเทากบ 12
ตอบ
วธทา จากสมบตของวงร “ผลรวมของระยะจากจดโฟกสทงสองไปยงจดบนวงร จะเทากบความยาวแกนเอก”
เพราะฉะนน 2𝑎𝑎 = 10 𝑎𝑎 = 5
จากโจทย บอกวา 𝐹𝐹1𝐹𝐹2 = 2𝑐𝑐 = 8 𝑐𝑐 = 4
เพราะฉะนน ความเยองศนยกลาง = 𝑐𝑐𝑎𝑎
= 45
ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 1
วธทา เนองจาก ห.ร.ม. ของ 𝑚𝑚 และ 𝑛𝑛 คอ 35
แสดงวา 𝑚𝑚 และ 𝑛𝑛 ตองหารดวย 35 ลงตว
เพราะฉะนน จะเหลอคา 𝑚𝑚 และ 𝑛𝑛 ทเปนไปได ไดแก 105 , 140 , 175
เนองจาก ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 𝑚𝑚 และ 𝑛𝑛 คอ 35 และ 525 ตามลาดบ
ดงนน 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 35 × 525 = 18375
เมอลองจบค 𝑚𝑚 กบ 𝑛𝑛 มาคณกน พบวา 𝑚𝑚 = 105 และ 𝑛𝑛 = 175 เทานน
เพราะฉะนน 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 = 280 ตอบ
วธทา จากโจทย |𝑢𝑢� × ��𝑣| = 1 |𝑢𝑢� ||��𝑣| sin𝜃𝜃 = 1 ----------------------- (๑)
|𝑢𝑢� ∙ ��𝑣| = √3 |𝑢𝑢� ||��𝑣| cos 𝜃𝜃 = √3 ----------------------- (๒)
นา (๑)/(๒) จะไดวา tan𝜃𝜃 = 1√3
ดงนน 𝜃𝜃 = 30°
เพราะฉะนน sin2 𝜃𝜃 = �12�
2= 1
4 ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 2
วธทา พจารณาดานขวาของสมการ
𝑅𝑅. 𝑆𝑆. = log32 3 + log3 32
= 12
+ 2
ดงนน log4 𝑥𝑥 = 52
จะไดวา 𝑥𝑥 = 452 = �4
12�
5= 25
เพราะฉะนน 𝑥𝑥 = 32
วธทา จะหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน
จะไดวา��𝑥 = 2+5+8+10+12+15+187
= 10
จะหาความแปรปรวนของขอมลชดน
เนองจากขอมลชดนเปน กลมตวอยาง
ดงนน จะตองใชสตรความแปรปรวนของกลมตวอยาง
𝑠𝑠2 = ∑(𝑥𝑥−𝑥𝑥)2
𝑛𝑛−1
= (2−10)2+(5−10)2+(8−10)2+(10−10)2+(12−10)2+(15−10)2+(18−10)2
7−1
เพราะฉะนน ความแปรปรวนของกลมตวอยางน เทากบ 31 ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 3
วธทา จากโจทย จะสามารถเขยนเมตรกซ 𝐴𝐴 ไดวา
𝐴𝐴 = �𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
�
ดงนน จะสามารถเขยนเมตรกซ 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 ไดวา
𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = �𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 + 2𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 + 2𝑎𝑎12 𝑎𝑎23 + 2𝑎𝑎132𝑎𝑎31 2𝑎𝑎32 2𝑎𝑎33
�
อาศยสมบตของดเทอรมนนต
จะไดวา det(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) = �𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 + 2𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 + 2𝑎𝑎12 𝑎𝑎23 + 2𝑎𝑎132𝑎𝑎31 2𝑎𝑎32 2𝑎𝑎33
�
= �𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23
2𝑎𝑎31 2𝑎𝑎32 2𝑎𝑎33
� 𝑅𝑅2 − 2𝑅𝑅1
= 2 �𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
�
= 2(det𝐴𝐴)
= 2 × 10
เพราะฉะนน det(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) = 20 ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 4
วธทา จะหา 𝑛𝑛(𝑆𝑆)
เนองจาก 𝑆𝑆 คอ เซตของเหตการณในการหยบไอศกรม 2 รส จาก 10 รส ทเปนไปไดทงหมด
จะไดวา 𝑛𝑛(𝑆𝑆) = �102 � = 45
จะหา 𝑛𝑛(𝐸𝐸)
เนองจาก 𝐸𝐸 คอ เซตของเหตการณในการหยบไอศกรม 2 รส จาก 9 รส ทไมรวมรสกะท
จะไดวา 𝑛𝑛(𝐸𝐸) = �92� = 36
จะไดวา 𝑃𝑃(𝐸𝐸) = 45
ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 5
วธทา จากโจทย จะไดวา 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 6𝑎𝑎𝑥𝑥 − 9𝑎𝑎2
และ 𝑓𝑓′′ (𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 + 6𝑎𝑎
จะหาคาวกฤต
กาหนดใหคา 𝑥𝑥 ทเปนคาวกฤต เทากบ 𝑐𝑐
จะไดวา 𝑓𝑓′(𝑐𝑐) = 0 = 3𝑐𝑐2 + 6𝑎𝑎𝑐𝑐 − 9𝑎𝑎2
0 = 3(𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)(𝑐𝑐 + 3𝑎𝑎)
ดงนน 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 หรอ 𝑐𝑐 = −3𝑎𝑎
ตรวจสอบคาสงสดหรอตาสดสมพทธ
เนองจาก 𝑓𝑓′′ (𝑎𝑎) = 12𝑎𝑎 > 0 จดท 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 เปนคาต าสดสมพทธ
𝑓𝑓′′ (−3𝑎𝑎) = −12𝑎𝑎 < 0 จดท 𝑥𝑥 = −3𝑎𝑎 เปนคาสงสดสมพทธ
จะหาคา 𝑎𝑎
จากโจทย บอกวา 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 0
ดงนน −5𝑎𝑎3 + 5𝑎𝑎 = 0
−5𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎 − 1) = 0
เพราะฉะนน 𝑎𝑎 = −1 , 0 , 1
แตจากโจทย บอกวา 𝑎𝑎 เปนจานวนจรงบวก
เพราะฉะนน 𝑎𝑎 = 1 ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 6
วธทา กาหนดให 𝐿𝐿 = lim𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛
จากโจทย 𝑎𝑎𝑛𝑛 = �1+2𝑛𝑛𝑛𝑛
+ 𝑎𝑎𝑛𝑛
take lim𝑛𝑛→∞
ทงสองขางของสมการ
จะไดวา lim𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = lim𝑛𝑛→∞
�1+2𝑛𝑛𝑛𝑛
+ 𝑎𝑎𝑛𝑛
= � lim𝑛𝑛→∞
1+2𝑛𝑛𝑛𝑛
+ lim𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛
ดงนน 𝐿𝐿 = √2 + 𝐿𝐿
𝐿𝐿2 = 𝐿𝐿 + 2
แกสมการ จะไดวา 𝐿𝐿 = 2 ,−1
แตจากโจทย บอกวา 𝑎𝑎𝑛𝑛 เปนลาดบของจานวนจรงบวก
เพราะฉะนน lim𝑛𝑛→∞
𝑎𝑎𝑛𝑛 = 2 ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 7
วธทา เนองจาก 995 ≡ 1(mod 7) จะไดวา 99516 ≡ 1(mod 7)
996 ≡ 2(mod 7) จะไดวา 9968 ≡ 256(mod 7)
และ 256 ≡ 4(mod 7)
ฉะนน 9968 ≡ 4(mod 7)
997 ≡ 3(mod 7) จะไดวา 9974 ≡ 81(mod 7)
และ 81 ≡ 4(mod 7)
ฉะนน 9974 ≡ 4(mod 7)
998 ≡ 4(mod 7) จะไดวา 9982 ≡ 16(mod 7)
และ 16 ≡ 2(mod 7)
ฉะนน 9982 ≡ 2(mod 7)
และ 999 ≡ 5(mod 7)
เพราะฉะนน 99516 + 9968 + 9974 + 9982 + 999 ≡ 16(mod 7)
และ เรารกนอยแลววา 16 ≡ 2(mod 7)
ดงนน 99516 + 9968 + 9974 + 9982 + 999 ≡ 2(mod 7)
เพราะฉะนน 99516 + 9968 + 9974 + 9982 + 999 หารดวย 7 จะเหลอเศษ 2 ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 8
วธทา เนองจากเปนอสมการคาสมบรณ จงตองแบงกรณในการปลดคาสมบรณ
กรณท ๑ : 𝑥𝑥 ≥ 100
จะไดวา 100 + 𝑥𝑥 มคาเปนบวก และ 100 − 𝑥𝑥 มคาเปนลบ
จะไดวา �(100 + 𝑥𝑥) − �−(100 − 𝑥𝑥)�� < 100
|(100 + 𝑥𝑥) + (100 − 𝑥𝑥)| < 100
200 < 100
เปนเทจ
เพราะฉะนน ในกรณน ไมมจานวนจรงทสอดคลองกบอสมการ
กรณท ๒ : −100 < 𝑥𝑥 < 100
จะไดวา 100 + 𝑥𝑥 มคาเปนบวก และ 100 − 𝑥𝑥 มคาเปนบวก
จะไดวา |(100 + 𝑥𝑥) − (100 − 𝑥𝑥)| < 100
|2𝑥𝑥| < 100
ดงนน −100 < 2𝑥𝑥 < 100
−50 < 𝑥𝑥 < 50
เมอตรวจสอบกบเงอนไข พบวา คาตอบทกตวอยในเงอนไขนทงหมด
เพราะฉะนน ในกรณน จะมเซตคาตอบของอสมการ คอ (−50 , 50)
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 9
ขอ 12 (ตอ) :
กรณท ๓ : 𝑥𝑥 ≤ −100
จะไดวา 100 + 𝑥𝑥 มคาเปนลบ และ 100 − 𝑥𝑥 มคาเปนบวก
จะไดวา |−(100 + 𝑥𝑥) − (100 − 𝑥𝑥)| < 100
|(−100 − 𝑥𝑥) − (100 − 𝑥𝑥)| < 100
200 < 100
เปนเทจ
เพราะฉะนน ในกรณน ไมมจานวนจรงทสอดคลองกบอสมการ
เพราะฉะนน เซตคาตอบของอสมการ คอ (−50 , 50)
จะไดวา มจานวนเตมทสอดคลองกบอสมการอย 99 ตว ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 10
วธทา พจารณาเซต 𝐴𝐴
จากสมการ จะไดวา 𝑧𝑧12 = cos 0° + 𝑖𝑖 sin 0°
จากทฤษฎบทของเดอมวร
จะไดวา 𝑧𝑧 = cos 0° + 𝑖𝑖 sin 0° , cos 30° + 𝑖𝑖 sin 30° , cos 60° + 𝑖𝑖 sin 60°
, … , cos 330° + 𝑖𝑖 sin 330°
จะเหนไดวา 𝑧𝑧 มโมดลสเทากบ 1 ทกตว
พจารณาเซต 𝐵𝐵
จากสมการ จะไดวา (𝑧𝑧9 − 2)(𝑧𝑧9 + 1) = 0
ดงนน 𝑧𝑧9 = 2 หรอ 𝑧𝑧9 = −1
จะไดวา |𝑧𝑧| = √29 หรอ |𝑧𝑧| = 1
เพอจะหา 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 จะไดวา สมาชกในเซตนตองมาจากสมการดานขวาเทานน
ดงนน 𝑧𝑧9 = cos 180° + 𝑖𝑖 sin 180°
จะไดวา 𝑧𝑧 = cos 20° + 𝑖𝑖 sin 20° , cos 60° + 𝑖𝑖 sin 60° , cos 100° + 𝑖𝑖 sin 100°
, … , cos 340° + 𝑖𝑖 sin 340°
เมอหาตวทซ ากน จะไดวา สมาชกของ 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ไดแก
cos 60° + 𝑖𝑖 sin 60° , cos 180° + 𝑖𝑖 sin 180° , cos 300° + 𝑖𝑖 sin 300°
เพราะฉะนน 𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 3 ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 11
วธทา พจารณาโจทย
(𝑢𝑢� + ��𝑣) × (𝑢𝑢� − ��𝑣) = (𝑢𝑢� × 𝑢𝑢� ) − (𝑢𝑢� × ��𝑣) + (��𝑣 × 𝑢𝑢� ) − (��𝑣 × ��𝑣)
= 0� + (��𝑣 × 𝑢𝑢� ) + (��𝑣 × 𝑢𝑢� ) − 0�
= 2(��𝑣 × 𝑢𝑢� )
เพราะฉะนน 2(��𝑣 × 𝑢𝑢� ) = �2−4√5
�
จะไดวา |2(��𝑣 × 𝑢𝑢� )| = 5
ดงนน |��𝑣 × 𝑢𝑢� | = 52
โจทยถามหา |3𝑢𝑢� × 3��𝑣|
ดงนน |3𝑢𝑢� × 3��𝑣| = 3 × 3|𝑢𝑢� × ��𝑣|
= 9|��𝑣 × 𝑢𝑢� |
เพราะฉะนน |3𝑢𝑢� × 3��𝑣| = 452
ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 12
วธทา ลองวาดกราฟไฮเพอรโบลาดกอน จะไดวา
ขอ (ก) ถก เพราะ จะหาเสนกากบ ใหเปลยน 1 เปน 0 ในสมการรปมาตรฐาน
จะไดวา สมการเสนกากบ คอ 𝑥𝑥2
8− 𝑦𝑦2
2= 0
คอ 𝑦𝑦2 = 14𝑥𝑥2
คอ 𝑦𝑦 = ± 12𝑥𝑥
ดงนน ผลคณความชนของเสนกากบ เทากบ − 14
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 13
ขอ 15 (ตอ) :
ขอ (ข) ถก เพราะ จากรป จะไดวา จดโฟกส คอ �±√10, 0�
เนองจาก |𝑃𝑃𝐹𝐹1 − 𝑃𝑃𝐹𝐹2| = 2𝑎𝑎 ตามสมบตของไฮเพอรโบลา
ดงนน |𝑃𝑃𝐹𝐹1 − 𝑃𝑃𝐹𝐹2| = 2�2√2�
เพราะฉะนน |𝑃𝑃𝐹𝐹1 − 𝑃𝑃𝐹𝐹2|2 = 32
ขอ (ค) ถก เพราะ เนองจากเสนกราฟ 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2
คอ เสนกากบของกราฟ
เมอพจารณาบรเวณท 𝑥𝑥 > 0
จะพบวา เสนไฮเพอรโบลานน อยในบรเวณของ 𝑦𝑦 < 𝑥𝑥2
ทงหมด
เพราะฉะนน จด 𝑃𝑃 จะไมอยบน �(𝑥𝑥,𝑦𝑦) | 𝑥𝑥 > 0 และ 𝑦𝑦 < 𝑥𝑥2� แนนอน
ขอ (ง) ถก เพราะ ให 𝑃𝑃 มพกด (𝑎𝑎,𝑏𝑏)
จะไดวา ระยะจากจด 𝑃𝑃 ไปยงเสนกากบ 𝑦𝑦 = 12𝑥𝑥 เทากบ
|𝑎𝑎−2𝑏𝑏|√12+22
และ ระยะจากจด 𝑃𝑃 ไปยงเสนกากบ 𝑦𝑦 = − 12𝑥𝑥 เทากบ
|−𝑎𝑎−2𝑏𝑏 |√12+22
พจารณาจด 𝑃𝑃 บนไฮเพอรโบลา
จะไดวา 𝑎𝑎2
8− 𝑏𝑏2
2= 1
ดงนน 𝑎𝑎2 − 4𝑏𝑏2 = 8
เพราะฉะนน ผลคณของระยะจากจด 𝑃𝑃 ไปยงเสนกากบ = |𝑎𝑎−2𝑏𝑏||−𝑎𝑎−2𝑏𝑏|5
= |𝑎𝑎−2𝑏𝑏||𝑎𝑎+2𝑏𝑏|5
= �𝑎𝑎2−4𝑏𝑏2�5
= 85
เพราะฉะนน ผลคณของระยะจากจด 𝑃𝑃 ไปยงเสนกากบ จะเทากบ 85
ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 14
วธทา จากโจทย arccos �− 115� = 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶
𝜋𝜋 − arccos 115
= 𝜋𝜋 − 𝐴𝐴
เพราะฉะนน 𝐴𝐴 = arccos 115
จากโจทย จะไดวา 𝑐𝑐 = 3 และ 𝑏𝑏 = 5
จากกฎของ cos
ดงนน 𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 2𝑏𝑏𝑐𝑐 cos𝐴𝐴
= 52 + 32 − 2(5)(3) � 115�
= 25 + 9 − 2
= 32
จะไดวา 𝑎𝑎 = 4√2
เพราะฉะนน ดาน 𝐵𝐵𝐶𝐶 จะยาว 4√2 หนวย ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 15
วธทา จากโจทย take log2 ทงสองขางของสมการ
จะไดวา log2 𝑥𝑥(log 2 𝑥𝑥+1) = log2 64
(log2 𝑥𝑥 + 1)(log2 𝑥𝑥) = 6
มอง 𝐴𝐴 = log2 𝑥𝑥
จะไดวา (𝐴𝐴 + 1)(𝐴𝐴) = 6
𝐴𝐴2 + 𝐴𝐴 − 6 = 0
(𝐴𝐴 + 3)(𝐴𝐴 − 2) = 0
ดงนน log2 𝑥𝑥 = −3 หรอ log2 𝑥𝑥 = 2
เพราะฉะนน 𝑥𝑥 = 18
, 4
ตรวจคาตอบแลว สมการเปนจรงทงหมด
เพราะฉะนน ผลบวกคาตอบของสมการ เทากบ 338
ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 16
วธทา เราจะใชคาของ 𝑧𝑧 ในโจทย ยอนกลบไปหาวา ระบบสมการชดนคออะไร
จากกฎของคราเมอร จะไดระบบสมการ คอ
𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 4 --------------------- (๑)
2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 = −1 --------------------- (๒)
𝑥𝑥 + 2𝑧𝑧 = 1 --------------------- (๓)
จากโจทย เมอคานวณคาดเทอรมนนท จะไดวา 𝑧𝑧 = −1
แทนคาในสมการ (๓) จะไดวา 𝑥𝑥 = 3
นาคา 𝑥𝑥 และ 𝑦𝑦 ไปแทนคาใน (๑) จะไดวา 𝑦𝑦 = 1
เพราะฉะนน 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 4 ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 17
วธทา ขอ (ก) ผด เพราะ ลองแทน 𝐴𝐴 = 0� , 𝐵𝐵 = �1 23 4� , 𝐶𝐶 = �1 3
5 7� ซง 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐶𝐶 จรง แต 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶 เปนเทจ
ขอ (ข) ถก เพราะ เนองจาก 𝐴𝐴2 = 𝐼𝐼
จะทาให det𝐴𝐴2 = det 𝐼𝐼 = 1
ดงนน det𝐴𝐴 จะไมเทากบ 0 แนๆ
ทาให 𝐴𝐴 จะตองม 𝐴𝐴−1 เสมอ
จากโจทย 𝐴𝐴2 = 𝐼𝐼
𝐴𝐴−1 × 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴−1 × 𝐼𝐼
𝐴𝐴−1𝐴𝐴 × 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴−1
𝐼𝐼 × 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴−1
จงสามารถสรปไดวา 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴−1
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 18
ขอ 19 (ตอ) :
ขอ (ค) ถก เพราะ เนองจาก 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐼𝐼
จะไดวา det𝐴𝐴𝐵𝐵 = det 𝐼𝐼
det𝐴𝐴 det𝐵𝐵 = 1
แสดงวา det𝐴𝐴 และ det𝐵𝐵 ตองไมเทากบ 0 แนๆ
สมการอกอน พสจนในทานองเดยวกน จะไดวา det𝐶𝐶 ตองไมเทากบ 0 แนๆ
แสดงวา 𝐴𝐴 ,𝐵𝐵 และ 𝐶𝐶 จะตองม 𝐴𝐴−1 ,𝐵𝐵−1 ,𝐶𝐶−1 เสมอ
จากโจทย 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐼𝐼
𝐴𝐴−1 × 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐴𝐴−1 × 𝐼𝐼
𝐴𝐴−1𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴−1
𝐼𝐼 × 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴−1
แสดงวา 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴−1
จากโจทย 𝐶𝐶𝐴𝐴 = 𝐼𝐼
𝐶𝐶𝐴𝐴 × 𝐴𝐴−1 = 𝐼𝐼 × 𝐴𝐴−1
𝐶𝐶 × 𝐴𝐴𝐴𝐴−1 = 𝐴𝐴−1
𝐶𝐶 × 𝐼𝐼 = 𝐴𝐴−1
แสดงวา 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴−1
จงสามารถสรปไดวา 𝐵𝐵 = 𝐶𝐶
ขอ (ง) ผด เพราะ จากการทาในขอ (ค) คอ ถา 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐼𝐼 จะไดวา 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴−1
จากสมบต 𝐴𝐴−1 = 1det 𝐴𝐴
adj𝐴𝐴
จะไดวา adj𝐴𝐴 = det𝐴𝐴 × 𝐴𝐴−1
ดงนน adj𝐵𝐵 = adj𝐴𝐴−1
= det𝐴𝐴−1 × (𝐴𝐴−1)−1
= 1det 𝐴𝐴
× 𝐴𝐴
เพราะฉะนน adj𝐵𝐵 = 1det 𝐴𝐴
× 𝐴𝐴
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 19
วธทา เนองจากตองการจานวนทมากกวา เจดแสน จงตองแบงเปน 3 กรณ คอ
กรณท ๑ : ตวแรกขนตนดวยเลข 7
จะไดวา เหลออก 5 ตว ไดแก 0 , 7 , 8 , 8 , 9
ซงจะสามารถเรยงสบเปลยนได 5!2!
= 60 วธ
เพราะฉะนน กรณนจะสรางตวเลขได 60 จานวน
กรณท ๒ : ตวแรกขนตนดวยเลข 8
จะไดวา เหลออก 5 ตว ไดแก 0 , 7 , 7 , 8 , 9
ซงจะสามารถเรยงสบเปลยนได 5!2!
= 60 วธ
เพราะฉะนน กรณนจะสรางตวเลขได 60 จานวน
กรณท ๓ : ตวแรกขนตนดวยเลข 9
จะไดวา เหลออก 5 ตว ไดแก 0 , 7 , 7 , 8 , 8
ซงจะสามารถเรยงสบเปลยนได 5!
2!2!= 30 วธ
เพราะฉะนน กรณนจะสรางตวเลขได 30 จานวน
เมอรวมทงสามกรณ จะไดวา จะสรางตวเลขไดทงหมด 150 จานวน ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 20
วธทา จากโจทย บอกวา นกเรยนทสอบไดนอยกวา 40 คะแนน ม 33%
ดงนน พนทใตเสนโคงจากตรงกลางจนถง 40 คะแนน เทากบ 0.17
เทยบกบตาราง จะไดวา คะแนนมาตรฐานของ 40 คะแนน เทากบ −0.44
ดงนน −0.44 = 40−𝑥𝑥10
เพราะฉะนน ��𝑥 = 44.4
คะแนนสอบ 50 คะแนน จะมคะแนนมาตรฐานเทากบ 50−44.4
10= 0.56
คะแนนสอบ 60 คะแนน จะมคะแนนมาตรฐานเทากบ 60−44.4
10= 1.56
เมอเทยบกบตาราง จะไดวา
พนทใตเสนโคงระหวาง 0.56 ถง 1.56 เทากบ 0.4406 − 0.2123 = 0.2283
เพราะฉะนน จะมนกเรยนทสอบไดคะแนนระหวาง 50 ถง 60 คะแนน อย 22.83% ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 21
วธทา จากโจทย จะไดวา คาเฉลยเลขคณต = 𝑥𝑥+447
จะทาให มธยฐาน = 𝑥𝑥+447
ลองเรยงขอมลจากนอยไปมาก
3.5 , 5 , 7 , 8 , 8.5 , 12
𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥
ถา 𝑥𝑥 อยระหวาง 3 ชองแรก จะทาใหมธยฐานเทากบ 7
ดงนน 𝑥𝑥+44
7= 7 𝑥𝑥 = 5 ซงขดแยงกบโจทย เพราะโจทยบอกวาไมมฐานนยม
ถา 𝑥𝑥 อยระหวาง 3 ชองหลง จะทาใหมธยฐานเทากบ 8
ดงนน 𝑥𝑥+44
7= 8 𝑥𝑥 = 12 ซงขดแยงกบโจทย เพราะโจทยบอกวาไมมฐานนยม
ถา 𝑥𝑥 อยตรงกลางพอด จะทาใหมธยฐานเทากบ 𝑥𝑥
ดงนน 𝑥𝑥+44
7= 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 22
3
จะไดวา 𝑅𝑅 = 12 − 3.5 = 8.5 เพราะฉะนน 𝑅𝑅 − 𝑥𝑥 = 76
ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 22
วธทา จากโจทย จะไดวา 𝑓𝑓(0) = 1 และ 𝑓𝑓′(0) = 32
โจทยถามหา lim𝑥𝑥→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥)−1𝑥𝑥
ดงนน lim𝑥𝑥→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥)−1𝑥𝑥
= lim𝑥𝑥→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑓𝑓(0)𝑥𝑥−0
= lim𝑥𝑥→0
𝑓𝑓(0+𝑥𝑥)−𝑓𝑓(0)(0+𝑥𝑥)−0
= 𝑓𝑓′(0)
= 32
เพราะฉะนน lim𝑥𝑥→0
𝑓𝑓(𝑥𝑥)−1𝑥𝑥
= 32
ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 23
วธทา จากโจทย จะไดวา ลาดบเลขคณตน มผลตางรวมเทากบ 3
เพราะฉะนน 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 3𝑛𝑛 + 1
ถา 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 121 จะไดวา 𝑛𝑛 = 40
จากโจทย 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + ⋯+ 𝑥𝑥40) + 𝑥𝑥(𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯+ 𝑎𝑎40)
= (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + ⋯+ 𝑥𝑥40) + 𝑥𝑥 �402
(4 + 121)�
. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 + ⋯+ 𝑥𝑥40) + 2500𝑥𝑥
ดงนน 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = (1 + 2𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥2 + ⋯+ 40𝑥𝑥39) + 2500
เพราะฉะนน 𝑓𝑓′(1) = (1 + 2 + 3 + ⋯+ 40) + 2500
= �402
(1 + 40)� + 2500
เพราะฉะนน 𝑓𝑓′(1) = 2480 ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 24
วธทา พจารณา 𝑎𝑎20 − 𝑎𝑎1 = 19𝑑𝑑
𝑎𝑎19 − 𝑎𝑎2 = 17𝑑𝑑
…..
𝑎𝑎11 − 𝑎𝑎10 = 𝑑𝑑
เพราะฉะนน โจทย = 121(19𝑑𝑑) + 1
19(17𝑑𝑑) + 117(15𝑑𝑑) + ⋯+ 1
3(1𝑑𝑑)
= 1𝑑𝑑� 1
1×3+ 1
3×5+ ⋯+ 1
15×17+ 1
17×19+ 1
19×21�
= 1𝑑𝑑�∑ 1
(2𝑛𝑛−1)(2𝑛𝑛+1)10𝑖𝑖=1 �
= 1𝑑𝑑�∑ 1
2× 2
(2𝑛𝑛−1)(2𝑛𝑛+1)10𝑖𝑖=1 �
= 12𝑑𝑑�∑ (2𝑛𝑛+1)−(2𝑛𝑛−1)
(2𝑛𝑛−1)(2𝑛𝑛+1)10𝑖𝑖=1 �
= 12𝑑𝑑�∑ � 1
2𝑛𝑛−1− 1
2𝑛𝑛+1�10
𝑖𝑖=1 �
= 12𝑑𝑑�1
1− 1
3+ 1
3− 1
5+ ⋯+ 1
17− 1
19+ 1
19− 1
21�
= 12𝑑𝑑�1 − 1
21�
= 214�20
21�
เพราะฉะนน โจทย = 5 ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 25
วธทา เพอใหเหนภาพ เราจะเขยนเมตรกซ 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 �3×3= �
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
�
พจารณาเหตการณทเราสนใจ
สมมตใหสมาชกในเมตรกซ 𝐴𝐴 ม 1 อย 𝑥𝑥 ตว
จะไดวา สมาชกในเมตรกซ 𝐴𝐴 ม -1 อย 9 − 𝑥𝑥 ตว
ถาตองการผลรวมสมาชกในเมตรกซ 𝐴𝐴 เทากบ 3
จะตงสมการไดวา 𝑥𝑥 − (9 − 𝑥𝑥) = 3
แกสมการ จะไดวา 𝑥𝑥 = 6
แสดงวา เมตรกซในเซตของเหตการณ จะตองม 1 อย 6 ตว และม -1 อย 3 ตว
จะหา 𝑛𝑛(𝐸𝐸) จะหาไดจาก
ขนท 1 : เลอกสมาชกในเมตรกซทมสมาชก คอ 1 ทงหมด 6 ตว ใสลงไปได 9 ตาแหนง ทาได �96� วธ
ขนท 2 : เลอกสมาชกในเมตรกซทมสมาชก คอ -1 ทงหมด 3 ตว ใสลงไปได 3 ตาแหนง ทาได �33� วธ
เพราะฉะนน 𝑛𝑛(𝐸𝐸) = �96��
33� = 84
จะหา 𝑛𝑛(𝑆𝑆)
หาไดจาก แตละตาแหนงสามารถใสตวเลขได 2 แบบ คอ 1 และ -1 แตเมตรกซนมอย 9 ตาแหนง
เพราะฉะนน 𝑛𝑛(𝑆𝑆) = 29
เพราะฉะนน 𝑃𝑃(𝐸𝐸) = 8429 = 21
27 ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 26
วธทา กาหนดให 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑖𝑖 = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)
จะไดวา 𝐴𝐴 = {𝑧𝑧 | 𝑦𝑦 − 2 + 𝑥𝑥2 ≤ 0}
และ 𝐵𝐵 = {𝑧𝑧 | 𝑦𝑦 ≥ 0}
เมอนามาวาดกราฟ จะไดกราฟดงน
ดงนน พนทของ 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = ∫ (−𝑥𝑥2 + 2)𝑑𝑑𝑥𝑥√2−√2
= �− 𝑥𝑥3
3+ 2𝑥𝑥� |𝑥𝑥=−√2
𝑥𝑥=√2
= �− 2√23
+ 2√2� − �2√23− 2√2�
เพราะฉะนน พนทของ 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 เทากบ 8√3
2 ตารางหนวย ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 27
วธทา จากโจทย จะไดวา 𝑃𝑃(1) = −1
ขอ (ก) ผด เพราะ จะหาเศษจากการหาร –𝑃𝑃(𝑥𝑥) ดวย 𝑥𝑥 − 1
ซงกคอ เศษ = −𝑃𝑃(1) = −(−1) = 1
ดงนน 𝑥𝑥 − 1 หาร –𝑃𝑃(𝑥𝑥) จะเหลอเศษ 1
ขอ (ข) ถก เพราะ จะหาเศษจากการหาร 𝑃𝑃2(𝑥𝑥) ดวย 𝑥𝑥 − 1
ซงกคอ เศษ = 𝑃𝑃2(1) = (−1)2 = 1
ดงนน 𝑥𝑥 − 1 หาร 𝑃𝑃2(𝑥𝑥) จะเหลอเศษ 1
ขอ (ค) ผด เพราะ จะหาเศษจากการหาร 𝑃𝑃(−𝑥𝑥) ดวย 𝑥𝑥 + 1
ซงกคอ เศษ = 𝑃𝑃�−(−1)� = 𝑃𝑃(1) = −1
ดงนน 𝑥𝑥 + 1 หาร 𝑃𝑃(−𝑥𝑥) จะเหลอเศษ −1
ขอ (ง) ถก เพราะ จะหาเศษจากการหาร −𝑃𝑃(−𝑥𝑥) ดวย 𝑥𝑥 + 1
ซงกคอ เศษ = −𝑃𝑃�−(−1)� = −𝑃𝑃(1) = 1
ดงนน 𝑥𝑥 + 1 หาร −𝑃𝑃(−𝑥𝑥) จะเหลอเศษ 1
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 28
วธทา จากโจทย จะไดวา 𝐺𝐺𝑛𝑛 = (𝑎𝑎1 × 𝑎𝑎1𝑟𝑟 × 𝑎𝑎1𝑟𝑟2 × … × 𝑎𝑎1𝑟𝑟𝑛𝑛−1)1𝑛𝑛
= �𝑎𝑎1𝑛𝑛𝑟𝑟1+2+⋯+(𝑛𝑛−1)�
1𝑛𝑛
= �𝑎𝑎1𝑛𝑛𝑟𝑟
(𝑛𝑛−1)𝑛𝑛2 �
1𝑛𝑛
เพราะฉะนน 𝐺𝐺𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1𝑟𝑟𝑛𝑛−1
2
ดงนน ∑ 𝐺𝐺𝑛𝑛∞𝑛𝑛=1 = ∑ 𝑎𝑎1𝑟𝑟
𝑛𝑛−12∞
𝑛𝑛=1
= 𝑎𝑎1 ∑ 𝑟𝑟𝑛𝑛−1
2∞𝑛𝑛=1
= 𝑎𝑎1 �1 + 𝑟𝑟12 + 𝑟𝑟
22 + 𝑟𝑟
32 + ⋯�
= 𝑎𝑎1 �1
1−𝑟𝑟12�
เพราะฉะนน ∑ 𝐺𝐺𝑛𝑛∞𝑛𝑛=1 = 𝑎𝑎1
1−𝑟𝑟12
ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 29
วธทา จากกฎการวนลปของ 𝑖𝑖 𝑖𝑖4𝑘𝑘+1 = 𝑖𝑖 𝑖𝑖4𝑘𝑘+2 = −1 𝑖𝑖4𝑘𝑘+3 = −𝑖𝑖 𝑖𝑖4𝑘𝑘 = 1
ถาลองจบกลมตดกน 4 ตว
จะไดวา ผลบวกจะมคาเทากบ 0
ถาจบกลม 𝑖𝑖4𝑘𝑘+1 , 𝑖𝑖4𝑘𝑘+2 , 𝑖𝑖4𝑘𝑘+3
จะไดวา ผลบวกจะมคาเทากบ −1
เพราะฉะนน คาของ 𝑛𝑛 ททาให 𝑆𝑆𝑛𝑛 = ∑ 𝑖𝑖𝑘𝑘𝑛𝑛𝑘𝑘=1 = −1
𝑛𝑛 จะตองหารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3 (ซงกคอ เขยนในรป 𝑛𝑛 = 4𝑘𝑘 + 3 ไดนนเอง)
เนองจาก ในเซต {10 , 11 , 12 , 13 , … , 100} จะมจานวนทหารดวย 4 ลงตวอย 23 ตว
เพราะฉะนน จะมจานวนนบ 𝑛𝑛 ในเซต {10 , 11 , … , 100} อย 23 ตว ททาให 𝑆𝑆𝑛𝑛 = −1 ตอบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 30
เฉลยไมละเอยด
ขอสอบ กสพท. คณตศาสตร 2558
1. 0.5 16. ตอบขอ 1
2. 280 17. ตอบขอ 1
3. 0.8 18. ตอบขอ 4
4. 0.25 19. ตอบขอ 3
5. 32 20. ตอบขอ 2
6. 20 21. ตอบขอ 2
7. 31 22. ตอบขอ 1
8. 0.8 23. ตอบขอ 3
9. 1 24. ตอบขอ 5
10. 2 25. ตอบขอ 5
11. ตอบขอ 2 26. ตอบขอ 3
12. ตอบขอ 4 27. ตอบขอ 1
13. ตอบขอ 3 28. ตอบขอ 3
14. ตอบขอ 5 29. ตอบขอ 1
15. ตอบขอ 5 30. ตอบขอ 2
ขอขอบคณ ตวโจทยและภาพประกอบเฉลย จากคณ GTRPing ดวยครบ
เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2558 Page 31
top related