ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 20 1 2

ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 2012ნიკოლოზ ოსტაპენკო

Mლექცია 5არაწრფივი რეგრესიის მოდელი და ფიქტიური

ცვლადები

არაწრფივი რეგრესიის მოდელებისა

ქონლ

ის რ

აოდ

ენო

ბა

0

5

10

15

0 4 8 12

შემოსავალი

X

YY=+X+.

კობი–დუგლასის საწარმოო ფუნქციაბევრი ეკონომიკური პროცესი არ წარმოადგენს წრფივ შინაარსობრივად. მათი წრფივად მოდელირება არ იძლევა სასურველ შედეგებს.

მაგალითად. კობი დუგლასის საწარმოო ფუნქცია

Y – გამოშვების მოცულობა; K, L – დანახარჯები შრომაზე და კაპიტალზე; , – მოდელის პარამეტრები.

LAKY

ეკონომიკური ზრდის ანალიზი

თეორიული წანამძღვრის ანალიზი:

– ნაზრდი დაგროვებული პოტენციალის პროპორციულია

წანამძღვრის ფორმალიზაცია:

tYY

dYYdY ln

ინტერპრეტაცია და ანალიზი: რეგრესიის კოეფიციენტი წლიურ ზრდის ტემპს.

კლასიკური არაწრფივი რეგრესიის მოდელები

განასხვავე ორი ტიპის არაწრფივ რეგრესიას:1. რეგრესია, არაწრფივი ცლადების მიმართ მაგრამ წრფივი პარამეტრების მიმართ.2. რეგრესია, არაწრფივი პარამეტრების მიმართ მაგრამ ცლადების წრფივი მიმართ. რეგრესია, არაწრფივი ცლადების მიმართ მაგრამ

წრფივი პარამეტრების მიმართ ყოველთვის დაიყვანება წრფივ მოდელამდე.

არაწრფივი რეგრესიის მოდელები

წყვილური რეგრესიის დროს დაკვირვებები წარმოადგენენ შყვილურ კომბინაციათა შემდეგ სიმრავლეს:

),( ii YX Ni ,...,1

არაწრფივი რეგრესიის მოდელები

სიპრტყეზე ყოველ მსგავს დაკვირვებას შეესაბამება წერტილი:

0

2

4

6

8

0 5 10 15 20

X

Y

მიღებულ გრეფიკს ეწოდება დაკვირებათა ღრუბელი, კორელაციის ველი ან გაფანტულობის დიაგრამა. გაფანტულობის მიხედვით შეიძლება დავადგინოთ რეგრესიული ფუნქციის სახე.

არაწრფივი რეგრესიის მოდელები

წრფივი Y=+X+.

0

2

4

6

8

0 5 10 15 20

X

Y

წრფივი ფორმა

რეგრესის კოეფიციენტის ინტერპრეტაცია

დამოუკიდებელი ფაქტორის ზღვრული ეფექტი

iii XY

X

Y

dX

dYYX

bXaY

X

Yb

1X Yb XbYa )0( XYa

– რეგრესის კოეფიციენტი b ამხსნელი ცვლადის ერთი ერთეული ცვლილება რამდენად ცვლის დამოკიდებულ ცვლადს. რეგრესიის წრფის დახრის კუთხე.

–რეგრესიის კოეფიციენტი a – დამოკიდებული ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა, როცა ამხსნელი ცვლადი ნულის ტოლია.

წრფივი ფუნქცია დროის მიმართ

– რეგრესის კოეფიციენტის ინტერპრეტაციაა დამოკიდებული ცვლადის ნაზრდი

ii btaY

ელესტიურობის მოდელირებამათემატიკური კავშირი სმიუხედავად

Y და X შორის ელასტიკურობა ტოლია:

XY

dXdY

XdX

YdYL

/

/

/

/

Y

X

X

Y

XX

YY

/

/

მაგალითიენგელის მრუდი:

სადაც Y – მოთხოვნა საქონელზე, X – შემოსავალი. გვაქვს: ელასტიკურობა =

მაგალოითად მოდელისათვის მოთხოვნის ელასტიკურობა შემოსავლის მიმართ ტოლია 0,3. სხვა სიტყვებით, შემოსავლის (X) 1%–ით ცვლილება მოთხოვნის ცვლილებას (Y) 0,3%–ით.

XY

,/

/1

1

X

X

XY

dXdY

3,001,0 XY

ელექტიკურობა – ცვლადი სიდიდეა. სხვადასხვა X და Y–თვის ელასტურობა ყოველთვის მუდმივი არ არის.

მაგალითად წრფივი მოდელისათვის: Y

X

XYXY

dXdYL

//

/

ელესტიურობის მოდელირება

საშუალო ელასტიკურობის კოეფიციენტი – გიჩვენებს, საშუალოდ რამდენი პროცენტით იცვლება Y თავისი საშუალო მნიშვნელობის მიმართ, საკუთარი საშუალოს მიმართ X ფაქტორის 1%–ით ცვლილებისას.

Y

XXfL )(

არაწრფივი რეგრესიის მოდელები

კვადრატული

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15

X

Y

2XXY

არაწრფივი რეგრესიის მოდელები

მაჩვენებლიანი

0

1

2

3

4

0 5 10 15

X

Y

XY

არაწრფივი რეგრესიის მოდელები

ხარისხოვანი

-20

0

20

40

60

80

0 5 10 15

X

Y

XeY

არაწრფივი რეგრესიის მოდელები

ჰიპერბოლური

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 5 10 15

X

Y

X

Y

არაწრფივი რეგრესიის მოდელები

X და Y დამოუკიდებელია

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15

X

Y

არაწრფივი რეგრესიის მოდელები

დასახელება განტოლება ცვლადებისმიხედვით

პარამეტრებისმიხედვით

პარაბოლა არაწრფივი წრფივი

ჰიპერბოლა არაწრფივი წრფივი

მაჩვენებლიანი არაწრფივი არაწრფივი

ხარისხოვანი არაწრფივი არაწრფივი

ექსპონეციალური არაწრფივი არაწრფივი

ux

y

uy x

uxy

uxxy 2

uey x

ლოგარითმული ფორმა

ტოლობის ორივე ნაწილის გამოგარითმებით ვღებულობთ:

iii XY

iii XY lnlnრეგრესიის კოეფიციენტის ინტერპრეტაცია – დამოკიდებული ცვლადის ელესტიკურობა დამოუკიდებელი ცვალდის მიმართ

X

dX

Y

dY XdX

YdY

/

/

ლოგარითმული მოდელის გამოყენება მიზანშეწონილია იქ სადაც მოსალოდნელია რომ ელასტიკურობა მუდმივი იქნება.

დახრიც კუთხე(ზრდის სიჩქარე)

X

Y

dX

dY

დახრიც კუთხე იცვლება დაკვირვებების რიგის ცვლილებასთან ერთად

ლოგარითმულო მოდელების გრაფიკები

0

Y

X

1

0

10

ნახევრად ლოგარითმული მოდელები

1. წრფივი– ლოგარითმული ფორმა

(ამხსნელი ცვლადის ლოგარითმულო დამოკიდებულოების დროს)

2. ლოგარითული– წრფივი ფორმა

(დამოკიდებული ცვლადის ლოგარითმულო დამოკიდებულოების დროს)

წრფივი–ლოგარითმული ფორმა

რეგრესიის კოეფიციენტის ინტერპრეტაცია – :

კოეფიციენტი გვიჩვენებს რამდენი ერთეულით იცვლება Y როცა X იცვლება 1%. ინტერპრეტაციის დროს კოეფიციენტი უნდა გავყოთ 100–ზე. თუ X იზრდება 1%–ით, მაშინ Y–ის ნაზრდი იქნება /100 ერთეული.

22110 ln XXY

X

dXdY

XdX

dY

/

)/(100100 XdX

dY

ელასტიკურობა მცირდებაY–ის ზრდასთან ერთად:

X

dXdY

YY

X

XY

X

dX

dYL

11

ეს გარემოება მიგვითითებს მსგავ შემთხვევებში წრფივი–ლოგარითმული ფორმა გამოვიყენოთ. კერძოდ, როცა გვაქვს კლებადი სიჩქარით ზრდის შემთხვევები.

წრფივი–ლოგარითმული ფორმის გრაფიკი

0 X

Y

> 0

< 0

xy ln

xy

ლოგარითმული-წრფივი ფორმა

რეგრესიის კოეფიციენტის ინტერპრეტაცია :

კოეფიციენტი გვიჩვენებს რამდენი პროცენტით იცვლება Y, X–ის ერთი ერთეულით ცვლილებისას. ინტერპრეტაციის დროს კოეფიციენტი უნდა გავამრავლოთ100–ზე.

iii XY ln

dXY

dY YdX

dY

1

dX

%100%100 Y

dY

ელასტიკურობა იზრდებაY–ის ზრდასთან ერთად:

XY

YX

Y

X

dX

dYL

YdX

dY

ეს გარემოება მიგვითითებს მსგავ შემთხვევებში წრფივი–ლოგარითმული ფორმა გამოვიყენოთ. კერძოდ, როცა გვაქვს ზრდადი სიჩქარით ზრდის შემთხვევები.

ლოგარითმული–წრფივი ფორმის გრაფიკი

xy

Y

X0

xy lnlnln

ლოგარითმული-წრფივი ფორმა დროის მიმართ

განტოლების ფორმა:

ინტერპრეტაცია:

კოეფიციენტი დრის ცვალსთან ერთად გამოსახავს ზრდის სიჩქარეს. ის გვიქცენებს რამდენი პროცენტით(თუ მას 100–ზე გავამრავლებთ) იზრდება Y ყოველწლიურად.

iii tY lniieeeY t

i

tY

dY

ეს ფუნქციური ფორმა მოსახერხებელია ეკონომიკური ზრდის პროცესის მოდელირების დროს.

უკუპროპორციული კავშირი

ელესტიკურობა

ii

i XY

1

XYXdX

YdYL

1

/

/

X–ის ზრდასთან ერთად დამოკიდებული ცვლადი უახლოვდება მის განსაზღვრულ მნიშვნელობას.

მაგალითად: ფილიფსის მრუდი

მოდელთა გაწრფივება

არაწრფივიმოდელი

გალოგარითმება ცვლადის შეცვლა წრფივი სახე

-

-uxxy 2 2

21, xxxx uxxy 21

ux

y

xt1

uty

uy x uxy lnlnlnln uu

zy

ln,ln

,ln,ln

11

1

111 uxz

uxy uxy lnlnlnln uuxt

zy

ln,ln

,ln,ln

1

1

11 utz

uey x uxy lnln uuzy ln,ln 1 1uxz

არაგაწრფივებადი მოდელები

მაგალითი:

ადიტიური შემთხვევითი წევრით არაწრფივი მოდელის გალოგარითმება არ გვაძლევს გაწრფივებულ მოდელს.

XY)ln(

)ln(ln XY

უკმ გამოიყენება გაწრფივებადი მოდელების დროს. ამიტომ დიდი მნიშვნელობა ენიჭება შემთხვევითი გადახრის მნიშვნელობას – აკმაყოფილებენ თუ არა ისინი გაუს მარჯოვის პირობებს.

მოდელის ხარისხობრივი მახასიათებლები

1. სიმარტივე –ერთნაირად მახასიათბელი ორი მოდელიდან ირჩევა ის რომელშიც უფრო ცოტა ამხსნელიცვლადია

2. ერთადერთობა –ნებისმიერი შერჩევის პირობებში კოეფიციენტები უნდა განისაზღვრებოდეს ერთმნიშვნელოვნად

3. მაქსიმალური შესაბამისობა – მოდელი მით უკეთესია რაც მაღალია კორექტირებული დეტერმინაციის კოეფიციენტი

4. თეორიასთან შესაბამისობა –რეგრესიის განტოლება უნდა შეესაბამებოდეს თეორიულ წანამძღვრებს

5. საპროგნოზო თვისებები –პროგნოზი უნდა ემთხეოდეს ფაქტობრივ მნიშვნელობას.

მოდელების შედარება ზერემბკას მეთოდით

1. გამოვთვლით დამოკიდებული ცვლადის საშუალო გეომეტრიულ მნიშვნელობას და ვყოფთ მის საშუალო მნიშვნელობაზე:

2. აიგება წრფივი და ლოგარითმული რეგრესია და შევადარებთ ნარჩენობითი წევრის კვადრატების ჯამს (ESS)

n

iiYn

in

nii eYYYYYY 1

ln1

21 //

)( 111 ESSXY iii )(lnln 222 ESSXY iii

3. გამოვთვლით 2-სტატისტიკა განსხვავების მნიშვნელოვნების შესაფასებლად

4. შევადაროთ მის კრიტიკულ მნიშვნელობას 2-განაწილებისAAAAAAAმნიშვნელობებიAAმნიშვნელოვენიბის დონისათვის

2

12 ln2 SSR

SSRn

2;

2m

მოდელების შედარება ზერემბკას მეთოდით

2;m

ბოქს–კოქსის მეთოდი

მეთოდის არსი. ცვლადის განსაზღვა :

როცა =1 გარდაიქმნება წრფივ ფუნქციად

როცა 0 გარდაიქმნება ლოგარითმულად

–ს იტერაციული ცვლილებით, შეიძლება თანდათან წრფივ ან ლოგარითმულ მოდელზე გადასვლა ყოველ ჯერზე ხარისხების შედარებით.

1Y

1

1Y

YY

ln1

1. ზერემბკას მეთოდით გარდავქმნით დამოკიდებულ ცვლადს:

2. განვსაზღვროთ ცვლადები(ბოქსი–კოქსის გარდაქმნით) იმ დაშვებით რომ განსაზღვრულია (0-1) შუალედში:

n

iiYn

in

nii eYYYYYY 1

ln1

21 //

1)(

iCBi

YY

1)( iCB

i

XX

ბოქს–კოქსის მეთოდი

3. –ს (0-1) შუალედში განსაზღვრული მნიშვნელობებისათვის იგება რეგრესიი განტოლებები:

4. განვსაზღვრავთ ნარჩენობითი წევრის კვადრატების ჯამის მინიმალურ მნიშვნელობას (SSR).

5. აირჩევა ის განტოლება, რომლისთვისაც SSR–ს მნიშვნელობა მინიმალურია.

iCB

iCB

i XY )()(

ბოქს–კოქსის მეთოდი

ფიქტიური ცვლადები

მაგალითად. ვიკვლევთ კავშირს “ჩვეულებრივ” და “სპეციალუზირებულ” სკოლებში დანახარჯებსა Y და მოსწავლეების რაოდენობას შორის N

დავუშვათ:

1. დანახარჯების დამოკიდებულება N–ის მიმართ ორივე სკოლაშ ერთიდა იგივეა

2. სხვაობა ხარჯებში გამოწვეულია სწავლების სპეციალური კურსისათვის სპეციალური მოწყობილობების შეძენით.

მაშინ თუ ავაგებთ სხვადასხვა მოდელებს სკოლის ყველა ტიპისათვის მაშნ გვექნება::

Yჩ = a0 + a1N +u

Yს = b0 + a1N + v

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6

დანახარ

ჯები

N/100

პროფესიული

ჩვეულებრივი

a0

a0+d

Yჩ=a0+a1N

Yს=b0+a1N

b0=a0+δ

ფიქტიური ცვლადები

1

0d

ორივე მოდელი შეგვიძლია გავაერთიანოთ თუ შემოვიღებთ ფიქტიურ d ცვლადს, რომელიც იღებს მხოლოდ ორ მნიშვნელობას: 0 და 1. ამასთან:

ასეთი მოდელის სპეციფიკაციას აქვს შემდეგი სახე:

Y = a0 + a1N + δd + u

თუ d=0 გვექნება Yჩ = a0 + a1N + u

თუ d=1 გვექნება Yს = (a0+δ) +a1N + v

ფიქტიური ცვლადები

ჩვეულებრივი სკოლებისათვის

სპეციალური სკოლებისათვის

0.0

100000.0

200000.0

300000.0

400000.0

500000.0

600000.0

700000.0

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

დანახ

არჯ

ები

N

სპეციალუზირებული

ჩვეულებრივი

საერთო მოდელი Y=-33612+331.5N+133259d

შესაბამისად:

1. Yჩ = -33612 + 331.5N

2. Yს= 96647 + 331.5N

ფიქტიური ცვლადები

1

,,,

4321

4321

DDDD

DDDD0

1

0

1

0

1

0

1

თუ გვაქვს რამდენიმე ერთი სიდიდის მასახიათებელი თვისობრივი ცვლადი მაშინ

Х მატრიცაში ორთხივე ფაქტორის გათვალისწინების შედეგად ადგილი ექნება კოლინიალურობას, ამიტომ ხდება ერთით ნაკლები ფიქტიური ცვლადის გათვალისწინება მოდელში.

მაშინ მოდელის სპეციფიკაცია შემდეგ სახის იქმება: Y=a0+a1N+a2d2+a3d3+a4d4+u

ფიქტიური ცვლადები

Y = a0 +a1N +U1 - პირველი მახასიატებლისათვის

Y =(a0+a2) +a1N + U2 - მეორე მახასიათბლისათვის

Y=(a0+a3) + a1N + U3 - მესამე მახასიათებლისათვის

Y=(a0+a4) + a1N + U4 მეოთხე მახასიათებლისათვის

ფიქტიური ცვლადებიფიქტიური ცვლადის დახრის კუთხის ცვლილების შესაფასებლად, ანუ თუ უარყოფთ დაშვებას ამხსნელი ცვლადის და ასახსნელი ცვლადის მუდმივი ურთიერთკავშირის შესახებ თვისობრივი ცვლადის ცვლილების მიუხედავად, მაშინ შეგვიძლია ჩავწეროთ ზოგადი სახით:

Y = a0 + a1N + a2*d + a3dN +U

როცა d=0 მაშინ მოდელი იქნება

Y= a0 + a1N +U1

როცა d=1 მაშინ მოდელი იქნება :

Y= a0 +a1N +a2 +a3N +U2 ანუ Y= (a0+a2) + (a1+a3)N +U2

ფიქტიური ცვლადები

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

N

დან

ახარ

ჯები

მოდელი:

Y=51475+152*N-3501*d+284*d*N;

R2=0.68

Y=51475+152N

Y=47974+436N