ე ე ე ე ე ე ე ე ე ე ე ე 2012 ნნნნნნნ ნნნნნნნნნ Mეეეეეე 5 ეეეეეეეეე ეეეეეეეეე ეეეეეე ეე ეეეეეეეე ეეეეეეეე
Jan 04, 2016
ე კ ო ნ ო მ ე ტ რ ი კ ა 2012ნიკოლოზ ოსტაპენკო
Mლექცია 5არაწრფივი რეგრესიის მოდელი და ფიქტიური
ცვლადები
არაწრფივი რეგრესიის მოდელებისა
ქონლ
ის რ
აოდ
ენო
ბა
0
5
10
15
0 4 8 12
შემოსავალი
X
YY=+X+.
კობი–დუგლასის საწარმოო ფუნქციაბევრი ეკონომიკური პროცესი არ წარმოადგენს წრფივ შინაარსობრივად. მათი წრფივად მოდელირება არ იძლევა სასურველ შედეგებს.
მაგალითად. კობი დუგლასის საწარმოო ფუნქცია
Y – გამოშვების მოცულობა; K, L – დანახარჯები შრომაზე და კაპიტალზე; , – მოდელის პარამეტრები.
LAKY
ეკონომიკური ზრდის ანალიზი
თეორიული წანამძღვრის ანალიზი:
– ნაზრდი დაგროვებული პოტენციალის პროპორციულია
წანამძღვრის ფორმალიზაცია:
tYY
dYYdY ln
ინტერპრეტაცია და ანალიზი: რეგრესიის კოეფიციენტი წლიურ ზრდის ტემპს.
კლასიკური არაწრფივი რეგრესიის მოდელები
განასხვავე ორი ტიპის არაწრფივ რეგრესიას:1. რეგრესია, არაწრფივი ცლადების მიმართ მაგრამ წრფივი პარამეტრების მიმართ.2. რეგრესია, არაწრფივი პარამეტრების მიმართ მაგრამ ცლადების წრფივი მიმართ. რეგრესია, არაწრფივი ცლადების მიმართ მაგრამ
წრფივი პარამეტრების მიმართ ყოველთვის დაიყვანება წრფივ მოდელამდე.
არაწრფივი რეგრესიის მოდელები
წყვილური რეგრესიის დროს დაკვირვებები წარმოადგენენ შყვილურ კომბინაციათა შემდეგ სიმრავლეს:
),( ii YX Ni ,...,1
არაწრფივი რეგრესიის მოდელები
სიპრტყეზე ყოველ მსგავს დაკვირვებას შეესაბამება წერტილი:
0
2
4
6
8
0 5 10 15 20
X
Y
მიღებულ გრეფიკს ეწოდება დაკვირებათა ღრუბელი, კორელაციის ველი ან გაფანტულობის დიაგრამა. გაფანტულობის მიხედვით შეიძლება დავადგინოთ რეგრესიული ფუნქციის სახე.
არაწრფივი რეგრესიის მოდელები
წრფივი Y=+X+.
0
2
4
6
8
0 5 10 15 20
X
Y
წრფივი ფორმა
რეგრესის კოეფიციენტის ინტერპრეტაცია
დამოუკიდებელი ფაქტორის ზღვრული ეფექტი
iii XY
X
Y
dX
dYYX
bXaY
X
Yb
1X Yb XbYa )0( XYa
– რეგრესის კოეფიციენტი b ამხსნელი ცვლადის ერთი ერთეული ცვლილება რამდენად ცვლის დამოკიდებულ ცვლადს. რეგრესიის წრფის დახრის კუთხე.
–რეგრესიის კოეფიციენტი a – დამოკიდებული ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა, როცა ამხსნელი ცვლადი ნულის ტოლია.
წრფივი ფუნქცია დროის მიმართ
– რეგრესის კოეფიციენტის ინტერპრეტაციაა დამოკიდებული ცვლადის ნაზრდი
ii btaY
ელესტიურობის მოდელირებამათემატიკური კავშირი სმიუხედავად
Y და X შორის ელასტიკურობა ტოლია:
XY
dXdY
XdX
YdYL
/
/
/
/
Y
X
X
Y
XX
YY
/
/
მაგალითიენგელის მრუდი:
სადაც Y – მოთხოვნა საქონელზე, X – შემოსავალი. გვაქვს: ელასტიკურობა =
მაგალოითად მოდელისათვის მოთხოვნის ელასტიკურობა შემოსავლის მიმართ ტოლია 0,3. სხვა სიტყვებით, შემოსავლის (X) 1%–ით ცვლილება მოთხოვნის ცვლილებას (Y) 0,3%–ით.
XY
,/
/1
1
X
X
XY
dXdY
3,001,0 XY
ელექტიკურობა – ცვლადი სიდიდეა. სხვადასხვა X და Y–თვის ელასტურობა ყოველთვის მუდმივი არ არის.
მაგალითად წრფივი მოდელისათვის: Y
X
XYXY
dXdYL
//
/
ელესტიურობის მოდელირება
საშუალო ელასტიკურობის კოეფიციენტი – გიჩვენებს, საშუალოდ რამდენი პროცენტით იცვლება Y თავისი საშუალო მნიშვნელობის მიმართ, საკუთარი საშუალოს მიმართ X ფაქტორის 1%–ით ცვლილებისას.
Y
XXfL )(
არაწრფივი რეგრესიის მოდელები
კვადრატული
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15
X
Y
2XXY
არაწრფივი რეგრესიის მოდელები
მაჩვენებლიანი
0
1
2
3
4
0 5 10 15
X
Y
XY
არაწრფივი რეგრესიის მოდელები
ხარისხოვანი
-20
0
20
40
60
80
0 5 10 15
X
Y
XeY
არაწრფივი რეგრესიის მოდელები
ჰიპერბოლური
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 5 10 15
X
Y
X
Y
არაწრფივი რეგრესიის მოდელები
X და Y დამოუკიდებელია
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15
X
Y
არაწრფივი რეგრესიის მოდელები
დასახელება განტოლება ცვლადებისმიხედვით
პარამეტრებისმიხედვით
პარაბოლა არაწრფივი წრფივი
ჰიპერბოლა არაწრფივი წრფივი
მაჩვენებლიანი არაწრფივი არაწრფივი
ხარისხოვანი არაწრფივი არაწრფივი
ექსპონეციალური არაწრფივი არაწრფივი
ux
y
uy x
uxy
uxxy 2
uey x
ლოგარითმული ფორმა
ტოლობის ორივე ნაწილის გამოგარითმებით ვღებულობთ:
iii XY
iii XY lnlnრეგრესიის კოეფიციენტის ინტერპრეტაცია – დამოკიდებული ცვლადის ელესტიკურობა დამოუკიდებელი ცვალდის მიმართ
X
dX
Y
dY XdX
YdY
/
/
ლოგარითმული მოდელის გამოყენება მიზანშეწონილია იქ სადაც მოსალოდნელია რომ ელასტიკურობა მუდმივი იქნება.
დახრიც კუთხე(ზრდის სიჩქარე)
X
Y
dX
dY
დახრიც კუთხე იცვლება დაკვირვებების რიგის ცვლილებასთან ერთად
ლოგარითმულო მოდელების გრაფიკები
0
Y
X
1
0
10
ნახევრად ლოგარითმული მოდელები
1. წრფივი– ლოგარითმული ფორმა
(ამხსნელი ცვლადის ლოგარითმულო დამოკიდებულოების დროს)
2. ლოგარითული– წრფივი ფორმა
(დამოკიდებული ცვლადის ლოგარითმულო დამოკიდებულოების დროს)
წრფივი–ლოგარითმული ფორმა
რეგრესიის კოეფიციენტის ინტერპრეტაცია – :
კოეფიციენტი გვიჩვენებს რამდენი ერთეულით იცვლება Y როცა X იცვლება 1%. ინტერპრეტაციის დროს კოეფიციენტი უნდა გავყოთ 100–ზე. თუ X იზრდება 1%–ით, მაშინ Y–ის ნაზრდი იქნება /100 ერთეული.
22110 ln XXY
X
dXdY
XdX
dY
/
)/(100100 XdX
dY
ელასტიკურობა მცირდებაY–ის ზრდასთან ერთად:
X
dXdY
YY
X
XY
X
dX
dYL
11
ეს გარემოება მიგვითითებს მსგავ შემთხვევებში წრფივი–ლოგარითმული ფორმა გამოვიყენოთ. კერძოდ, როცა გვაქვს კლებადი სიჩქარით ზრდის შემთხვევები.
წრფივი–ლოგარითმული ფორმის გრაფიკი
0 X
Y
> 0
< 0
xy ln
xy
ლოგარითმული-წრფივი ფორმა
რეგრესიის კოეფიციენტის ინტერპრეტაცია :
კოეფიციენტი გვიჩვენებს რამდენი პროცენტით იცვლება Y, X–ის ერთი ერთეულით ცვლილებისას. ინტერპრეტაციის დროს კოეფიციენტი უნდა გავამრავლოთ100–ზე.
iii XY ln
dXY
dY YdX
dY
1
dX
%100%100 Y
dY
ელასტიკურობა იზრდებაY–ის ზრდასთან ერთად:
XY
YX
Y
X
dX
dYL
YdX
dY
ეს გარემოება მიგვითითებს მსგავ შემთხვევებში წრფივი–ლოგარითმული ფორმა გამოვიყენოთ. კერძოდ, როცა გვაქვს ზრდადი სიჩქარით ზრდის შემთხვევები.
ლოგარითმული–წრფივი ფორმის გრაფიკი
xy
Y
X0
xy lnlnln
ლოგარითმული-წრფივი ფორმა დროის მიმართ
განტოლების ფორმა:
ინტერპრეტაცია:
კოეფიციენტი დრის ცვალსთან ერთად გამოსახავს ზრდის სიჩქარეს. ის გვიქცენებს რამდენი პროცენტით(თუ მას 100–ზე გავამრავლებთ) იზრდება Y ყოველწლიურად.
iii tY lniieeeY t
i
tY
dY
ეს ფუნქციური ფორმა მოსახერხებელია ეკონომიკური ზრდის პროცესის მოდელირების დროს.
უკუპროპორციული კავშირი
ელესტიკურობა
ii
i XY
1
XYXdX
YdYL
1
/
/
X–ის ზრდასთან ერთად დამოკიდებული ცვლადი უახლოვდება მის განსაზღვრულ მნიშვნელობას.
მაგალითად: ფილიფსის მრუდი
მოდელთა გაწრფივება
არაწრფივიმოდელი
გალოგარითმება ცვლადის შეცვლა წრფივი სახე
-
-uxxy 2 2
21, xxxx uxxy 21
ux
y
xt1
uty
uy x uxy lnlnlnln uu
zy
ln,ln
,ln,ln
11
1
111 uxz
uxy uxy lnlnlnln uuxt
zy
ln,ln
,ln,ln
1
1
11 utz
uey x uxy lnln uuzy ln,ln 1 1uxz
არაგაწრფივებადი მოდელები
მაგალითი:
ადიტიური შემთხვევითი წევრით არაწრფივი მოდელის გალოგარითმება არ გვაძლევს გაწრფივებულ მოდელს.
XY)ln(
)ln(ln XY
უკმ გამოიყენება გაწრფივებადი მოდელების დროს. ამიტომ დიდი მნიშვნელობა ენიჭება შემთხვევითი გადახრის მნიშვნელობას – აკმაყოფილებენ თუ არა ისინი გაუს მარჯოვის პირობებს.
მოდელის ხარისხობრივი მახასიათებლები
1. სიმარტივე –ერთნაირად მახასიათბელი ორი მოდელიდან ირჩევა ის რომელშიც უფრო ცოტა ამხსნელიცვლადია
2. ერთადერთობა –ნებისმიერი შერჩევის პირობებში კოეფიციენტები უნდა განისაზღვრებოდეს ერთმნიშვნელოვნად
3. მაქსიმალური შესაბამისობა – მოდელი მით უკეთესია რაც მაღალია კორექტირებული დეტერმინაციის კოეფიციენტი
4. თეორიასთან შესაბამისობა –რეგრესიის განტოლება უნდა შეესაბამებოდეს თეორიულ წანამძღვრებს
5. საპროგნოზო თვისებები –პროგნოზი უნდა ემთხეოდეს ფაქტობრივ მნიშვნელობას.
მოდელების შედარება ზერემბკას მეთოდით
1. გამოვთვლით დამოკიდებული ცვლადის საშუალო გეომეტრიულ მნიშვნელობას და ვყოფთ მის საშუალო მნიშვნელობაზე:
2. აიგება წრფივი და ლოგარითმული რეგრესია და შევადარებთ ნარჩენობითი წევრის კვადრატების ჯამს (ESS)
n
iiYn
in
nii eYYYYYY 1
ln1
21 //
)( 111 ESSXY iii )(lnln 222 ESSXY iii
3. გამოვთვლით 2-სტატისტიკა განსხვავების მნიშვნელოვნების შესაფასებლად
4. შევადაროთ მის კრიტიკულ მნიშვნელობას 2-განაწილებისAAAAAAAმნიშვნელობებიAAმნიშვნელოვენიბის დონისათვის
2
12 ln2 SSR
SSRn
2;
2m
მოდელების შედარება ზერემბკას მეთოდით
2;m
ბოქს–კოქსის მეთოდი
მეთოდის არსი. ცვლადის განსაზღვა :
როცა =1 გარდაიქმნება წრფივ ფუნქციად
როცა 0 გარდაიქმნება ლოგარითმულად
–ს იტერაციული ცვლილებით, შეიძლება თანდათან წრფივ ან ლოგარითმულ მოდელზე გადასვლა ყოველ ჯერზე ხარისხების შედარებით.
1Y
1
1Y
YY
ln1
1. ზერემბკას მეთოდით გარდავქმნით დამოკიდებულ ცვლადს:
2. განვსაზღვროთ ცვლადები(ბოქსი–კოქსის გარდაქმნით) იმ დაშვებით რომ განსაზღვრულია (0-1) შუალედში:
n
iiYn
in
nii eYYYYYY 1
ln1
21 //
1)(
iCBi
YY
1)( iCB
i
XX
ბოქს–კოქსის მეთოდი
3. –ს (0-1) შუალედში განსაზღვრული მნიშვნელობებისათვის იგება რეგრესიი განტოლებები:
4. განვსაზღვრავთ ნარჩენობითი წევრის კვადრატების ჯამის მინიმალურ მნიშვნელობას (SSR).
5. აირჩევა ის განტოლება, რომლისთვისაც SSR–ს მნიშვნელობა მინიმალურია.
iCB
iCB
i XY )()(
ბოქს–კოქსის მეთოდი
ფიქტიური ცვლადები
მაგალითად. ვიკვლევთ კავშირს “ჩვეულებრივ” და “სპეციალუზირებულ” სკოლებში დანახარჯებსა Y და მოსწავლეების რაოდენობას შორის N
დავუშვათ:
1. დანახარჯების დამოკიდებულება N–ის მიმართ ორივე სკოლაშ ერთიდა იგივეა
2. სხვაობა ხარჯებში გამოწვეულია სწავლების სპეციალური კურსისათვის სპეციალური მოწყობილობების შეძენით.
მაშინ თუ ავაგებთ სხვადასხვა მოდელებს სკოლის ყველა ტიპისათვის მაშნ გვექნება::
Yჩ = a0 + a1N +u
Yს = b0 + a1N + v
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6
დანახარ
ჯები
N/100
პროფესიული
ჩვეულებრივი
a0
a0+d
Yჩ=a0+a1N
Yს=b0+a1N
b0=a0+δ
ფიქტიური ცვლადები
1
0d
ორივე მოდელი შეგვიძლია გავაერთიანოთ თუ შემოვიღებთ ფიქტიურ d ცვლადს, რომელიც იღებს მხოლოდ ორ მნიშვნელობას: 0 და 1. ამასთან:
ასეთი მოდელის სპეციფიკაციას აქვს შემდეგი სახე:
Y = a0 + a1N + δd + u
თუ d=0 გვექნება Yჩ = a0 + a1N + u
თუ d=1 გვექნება Yს = (a0+δ) +a1N + v
ფიქტიური ცვლადები
ჩვეულებრივი სკოლებისათვის
სპეციალური სკოლებისათვის
0.0
100000.0
200000.0
300000.0
400000.0
500000.0
600000.0
700000.0
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
დანახ
არჯ
ები
N
სპეციალუზირებული
ჩვეულებრივი
საერთო მოდელი Y=-33612+331.5N+133259d
შესაბამისად:
1. Yჩ = -33612 + 331.5N
2. Yს= 96647 + 331.5N
ფიქტიური ცვლადები
1
,,,
4321
4321
DDDD
DDDD0
1
0
1
0
1
0
1
თუ გვაქვს რამდენიმე ერთი სიდიდის მასახიათებელი თვისობრივი ცვლადი მაშინ
Х მატრიცაში ორთხივე ფაქტორის გათვალისწინების შედეგად ადგილი ექნება კოლინიალურობას, ამიტომ ხდება ერთით ნაკლები ფიქტიური ცვლადის გათვალისწინება მოდელში.
მაშინ მოდელის სპეციფიკაცია შემდეგ სახის იქმება: Y=a0+a1N+a2d2+a3d3+a4d4+u
ფიქტიური ცვლადები
Y = a0 +a1N +U1 - პირველი მახასიატებლისათვის
Y =(a0+a2) +a1N + U2 - მეორე მახასიათბლისათვის
Y=(a0+a3) + a1N + U3 - მესამე მახასიათებლისათვის
Y=(a0+a4) + a1N + U4 მეოთხე მახასიათებლისათვის
ფიქტიური ცვლადებიფიქტიური ცვლადის დახრის კუთხის ცვლილების შესაფასებლად, ანუ თუ უარყოფთ დაშვებას ამხსნელი ცვლადის და ასახსნელი ცვლადის მუდმივი ურთიერთკავშირის შესახებ თვისობრივი ცვლადის ცვლილების მიუხედავად, მაშინ შეგვიძლია ჩავწეროთ ზოგადი სახით:
Y = a0 + a1N + a2*d + a3dN +U
როცა d=0 მაშინ მოდელი იქნება
Y= a0 + a1N +U1
როცა d=1 მაშინ მოდელი იქნება :
Y= a0 +a1N +a2 +a3N +U2 ანუ Y= (a0+a2) + (a1+a3)N +U2
ფიქტიური ცვლადები
0 200 400 600 800 1000 1200 14000
100000
200000
300000
400000
500000
600000
700000
N
დან
ახარ
ჯები
მოდელი:
Y=51475+152*N-3501*d+284*d*N;
R2=0.68
Y=51475+152N
Y=47974+436N