-
19/07/2007
1
PENYELESAIAN INTERPOLASI MODUL 4
KOMPETENSI : |Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian
tentang interpolasi serta dapat menyelesaikan persoalan interpolasi
-
19/07/2007
2
PENDAHULUAN | Interpolasi Polinomial adalah y suatu metode yang digunakan untuk menaksir harga-
harga tengahan diantara titik- titik data. y Sebagai alat untuk pendekatan dalam bidang numerik
yang digunakan untuk penyelesaian persamaan-persamaan dan dalam pendekatan fungsi-fungsi dari integral dan turunan
| Interpolasi diferensi terbagi Newton adalah diantara bentuk yang paling populer
-
19/07/2007
3
x0 x1 x
f(x)
L(x)
Interpolasi Linier
INTERPOLASI KUDRAT
x0 x1 x
f(x)
x2 h h
L(x)
-
19/07/2007
4
INTERPOLASI QUBIC
x0 x1 x
f(x)
x2 h h
L(x)
x3 h
INTERPOLASI POLINOM | adalah suatu metode untuk menaksir harga-harga
tengahan diantara titik-titik data yang telah tepat | Bentuk umum untuk sebuah polinom orde ke-n adalah f(x) = ao+a1x+a2x2 +..anxn (1)
Untuk n+1 titik-titik data terdapat satu dan hanya satu polinom orde ke n
y polinom orde pertama: hanya terdapat satu garis lurus y polinom orde ke dua : hanya satu parabola yang menghubungkan kumpulan
dari tiga titik data y polinom orde ketiga : Menghubungkan empat titik
-
19/07/2007
5
1. INTERPOLASI LINIER
y Bentuk yang paling sederhana dari interpolasi
Yaitu dengan menghubungkan dua titik data dengan garis lurus
f1(x)
f(x1)
f(xo)
xo x X1
dengan menggunakan segitiga sebangun
o1
o1
o
o1
xx)x(f)x(f
xx)x(f)x(f
=
FORMULASI INTERPOLASI LINIER
.. (2) f1(x) adalah polinomial interpolasi orde pertama adalah Slope dari garis yg menghubungkan titik-titik sebuah pendekatan diferensi terbagi hingga dari turunan pertama SEMAKIN KECIL INTERVAL DIANTARA TITIK-TITIK DATA MAKA APROKSIMASI SEMAKAIN BAIK
)xx(xx
)x(f)x(f)xo(f)x(f oo1
o11
+=
o1
o1xx
)x(f)x(f
-
19/07/2007
6
CONTOH | Perkirakan jumlah penduduk Indonesia pada
tahun 1968 berdasarkan data tabulasi sbb :
| Penyelesaian : y X=1968
Tahun 1960 1970 Jumlah Penduduk (juta) 179.3 203.2
)()()()()( 001
0101 xxxx
xfxfxfxf +=
)19601968(19601970
3.1792.2033.179)1968(1 +=f
42,198)1968(1 =f
CONTOH | Taksirlah logaritma asli dari 2 dengan menggunakan
interpolasi linier. Lakukan Interpolasi antara ln 1 dan ln 6. serta ln 1 dan ln 4 bila diketahui harga sebenarnya untuk ln 2 = 0,69314718
| Jawab: | xo=1 f(xo) = 0 | x1=6 f(x1) = 1.7917595
35835190,0)12(16
07917595,10)2(f1 =+=
)xx(xx
)x(f)x(f)xo(f)x(f oo1
o11
+=
%3,48%10069314718,0
35835190,069314718,0 ==t
x 1 4 6ln (x) 0 1,386294 1,791759
-
19/07/2007
7
Untuk interval yang lebih kecil antara xo=1 dan x1=4 xo=1 f(xo) = 0 x1=4 f(x1) = 1.3862994
46209813,0)12(14
03862994,10)2(f1 =+=
)xx(xx
)x(f)x(f)xo(f)x(f oo1
o11
+=
%3,33t =
2. INTERPOLASI KUADRATIK | Untuk memperbaiki taksiran yaitu dengan
memperkenalkan beberapa lengkungan kedalam garis yang menghubungkan titik-titik.
| Jika tiga titik data telah tersedia dapat dilakukan dengan polinomial orde kedua yang disebut kuadratik atau parabola
| Formulasi polinum orde dua f2 (x) = bo +b1(x-xo)+ b2(x-xo)(x-x1) = bo +b1x b1xo+b2x2 +b2xox1 - b2xxo - b2xx1 .(3)
-
19/07/2007
8
CONTOH | Untuk menentukan hubungan antara tegangan
yg diberikan kepada baja tahan karat dan waktu yang diperlukan hingga baja tersebut patah.bila diketahui dari hasil pengukuran sbb :
| Berapa jam waktu patah untuk tegangan x yang diberikan kepada baja dengan berat 12 kg/mm^2
Tegangan yg diterapkan x kg/mm^2 5 10 15waktu patah y jam 40 30 25
Dimana : bo = f(xo)
o1
o11 xx
)x(f)x(fb =
o2
o1
o1
o1
12
2 xxxx
)x(f)x(fxx
)x(f)x(f
b
=
-
19/07/2007
9
CONTOH | Taksirlah logaritma asli dari 2 dengan menggunakan
interpolasi kuadratik, lakukan Interpolasi antara x=1; x=4 dan x=6
| Jawab: Xo = 1 f(Xo) =0 X1 = 4 f(X1) =1,3862944 X2 = 6 f(X2) =1,7917595 | Formulasi polinom orde dua y f2 (x) = bo +b1(x-xo)+ b2(x-xo)(x-x1) = bo +b1x b1xo+b2x2 +b2xox1 - b2xxo - b2xx1 bo = f(xo)
= 0
o1
o11 xx
)x(f)x(fb
=
46209813,014
03862944,1b1 ==
o2
o1
o1
o1
12
2 xxxx
)x(f)x(fxx
)x(f)x(f
b
=
051873116,016
46209813,046
3862944,17917595,1
b2 =
=
f2 (x) = bo +b1(x-xo)+ b2(x-xo)(x-x1) = 0 + 0,46209813(x-1)-0,051873116(x-1)(x-4) Dievaluasikan pada x=2 f2(2)=0,56584436
-
19/07/2007
10
3. BENTUK UMUM POLINOMIAL INTERPOLASI NEWTON Polinomial orde ke-n utk n+1 titik data. Polinomial orde ke-n fn(x) = bo +b1(x-xo).+bn(x-xo)(x-x1).(x-xn-1)
untuk suatu polynomial orde ke-n diperlukan n+1 titik data yaitu : xo,x1,x2,xn utk mengevaluasi koefisien-koefisien: y bo =f(xo) y b1 =f[x1 ,xo ] y b2 =f[x2 ,x1, xo] y bn =f[xn ,xn-1 ,x1, xo]
evaluasi dari fungsi [xi,xj ] adalah diferensi terbagi hingga y diferensi terbagi hingga pertama
y diferensi terbagi hingga kedua
y diferensi terbagi hingga ke-n
fn(x) = f(xo)+(x-xo) f[x1,xo] +(x-xo)(x-x1) f[x2,x1,xo] + + (x-xo)(x-x1).(x-xn-1) ) f[xn,xn-1..xo]
ji
jiji xx
)x(f)x(f]x,x[f
=
ki
kjjikji xx
]xx[f]x,x[f]x,x,x[f
=
on
o2n1n11nno1nn xx
]x,...x,x[f]x....,x,x[f]x,...x,x[f =
-
19/07/2007
11
y Titik data yang digunakan tdk perlu harus berspasi sama
y Nilai absis tdk harus dalam urutan naik y Persamaan bersifat rekursif
Artinya diferensi orde yang lebih tinggi adalah gabungan dari diferensi orde yang lebih rendah
i xi f(xi) Pertama kedua Ketiga0 xo f(xo) f[x1,xo] f[x2x1,xo] f[x3x2x1,xo]1 X1 f(x1) f[x2,x1] f[x3,x2x1]2 X2 f(x2) f[x3,x2]3 X3 f(x3)
Taksirlah logaritma asli dari 2 dengan menggunakan interpolasi diferensi terbagi Newton, lakukan Interpolasi antara x=1; 4 dan 6. Jawab: Xo = 1 f(Xo) =0 X1 = 4 f(X1) =1,3862944 X2 = 6 f(X2) =1,7917595 Gunakan polinomial untuk mengevaluasikan ln 2 Dengan menambah titik ke empat X3 =5 f(X3) =1,6094379 Polinomial orde ke-3 f3(x) = bo +b1(x-xo)+b2(x-xo)(x-x1) +b3(x-xo)(x-x1) (x-x2)
-
19/07/2007
12
f[x1 ,xo ]=
f[x2 ,x1]=
46209813,014
03862944,1xx
)x(f)x(f
o1
o1 ==
20273225,046
3862944,17917595,1xx
)x(f)x(f
12
12 ==
18232160,063
7917595,16094379,1xx
)x(f)x(f]x,x[f
13
1323
==
=
051873116,016
46209813,020273255,0]x,x,x[f o12 ==
020410950,045
20273255,018232160,0]x,x,x[f 123 ==
f3(x) = bo +b1(x-xo)+b2(x-xo)(x-x1) +b2(x-xo)(x-x1) (x-x2) = 0 +0,46209813 (x-1)-0,051873116(x-1)(x-4) + 0,0078655415(x-1)(x-4) (x-6) f3(2)=0,62876869
0078655415,0]x,x,x,x[f o123 =
-
19/07/2007
13
| POLINOMIAL INTERPOLASI LAGRANGE Polinomial interpolasi Lagrange secara mudah nya adalah formulasi kembali dari polinomial Newton yang mencegah komputasi diferensi terbagi
Secara umum dapat dinyatakan tanda menyatakan hasil kali dari diperoleh secara langsung dari formulasi Newton Untuk orde pertama f1(x)=f(xo) + (x-xo) f([x1, xo]
=
= n0i iin
)x(f)x(L)x(f
=
=
n
ijoj
ji
ii xx
xx)x(L
Diferensi terbagi yg pertama atau Sehingga f1(x) menjadi
01
0121 xx
)x(f)x(f]x,x[f
=10
0
01
1
xx)x(f
xx)x(f
+
)x(f)xx()xx()x(f
)xx()xx()x(f)x(f 0
10
o1
01
oo1
++=
)x(f)xx()xx()x(f
)xx()xx()x(f 1
01
o0
10
11
+=
-
19/07/2007
14
| untuk orde kedua :
| Formulasi Kesalahan taksirannya Lagrange
Rn=f[xn+1,xn,xn-1,xo] (x-x1)
)x(f)xx)(xx(
)xx)(xx(
)x(f)xx)(xx(
)xx)(xx()x(f)xx)(xx(
)xx)(xx()x(f
21202
10
12101
2o0
2010
212
+
+
=
Metode yang memanfaatkan tabel beda hingga dalam penyelesaian interpolasi adalah yMetode Newton Gregory Forward (NGF) yNewton Gregory Backward (NGB) yMetode Stirling
Tabel beda hingga Adalah suatu tabel yang memuat variabel,
fungsi variabel dan niali-nilai beda hingga fungsi tsb.
-
19/07/2007
15
Jenis tabel beda hingga a. Menurut letak nilai beda hingga yTabel beda hingga diagonal yTabel beda hingga horizontal
b. Berdasarkan cara memperoleh beda hingga
yTabel beda hingga maju yTabel beda hingga mundur
Tabel 1. beda hingga diagonal dan tabel beda hingga maju s x f(x) f(x) 2f(x) 3f(x) 4f(x) 0 xo fo fo 1 x1 f1 2fo f1 3fo 2 x2 f2 2f1 4fo f2 3f1 . . 3fn-4 n-2 xn-2 fn-2 2f1 4fn-4 fn-2 3fn-3 n-1 xn-1 fn-1 2fn-2 fn-1 n xn fn
-
19/07/2007
16
|Tabel 2. beda hingga Horizontal
s x f(x) f(x) 2f(x) 3f(x) 4f(x) 0 xo fo fo 2fo 3fo 4fo 1 x1 f1 f1 2f1 3f1 4f1 2 x2 f2 f2 2f2 3f2 4f2 . . . n-4 xn-4 fn-4 fn-4 2fn-4 3fn-4 4fn-4 n-3 xn-3 fn-3 fn-3 2fn-3 3fn-3 n-2 xn-2 fn-2 fn-2 2fn-2 n-1 xn-1 fn-1 fn-1 n xn fn
Tabel 3. tabel beda hingga mundur
s x f(x) f(x) 2f(x) 3f(x) 4f(x) 0 xo fo fo 1 x1 f1 2fo f1 3fo 2 x2 f2 2f1 4fo f2 3f1 . . 3fn-4 n-2 xn-2 fn-2 2f1 4fn-4 fn-2 3fn-3 n-1 xn-1 fn-1 2fn-2 fn-1 n xn fn
-
19/07/2007
17
Cara mencari Nilai beda hingga fungsi f(x) Untuk tabel beda hingga maju dengan persamaan : nf(x)=n-1f(x+h) - n-1f(x)
Untuk tabel beda hingga mundur dengan persamaan
nf(x)=n-1f(x) - n-1f(x-h) Dimana h=x
Untuk n=1 disebut beda hingga tingkat satu Untuk n=2 disebut beda hingga tingkat dua
CONTOH
x f(x)0 0
0,2 0,4060,4 0,8460,6 1,3680,8 2,06
1 3,1141,2 5,144
Tabel Equispaced Contoh Cara Membuat Tabel beda Hingga Maju
| Beda hingga tingkat 1, n=1
| Beda hingga tingkat 2, n=2
406,00406,0)()()(
01
0000
===+==
ffxfhxffxf
440,0406,0846,0)()()(
12
1111
===+==
ffxfhxffxf
522,0846,0368,1)()()(
23
2222
===+==
ffxfhxffxf
082,0440,0522,0)(
034,0406,0440,0)(
1212
0102
======
ffxfffxf
-
19/07/2007
18
CONTOH TABEL BEDA HINGGA MAJU
x f(x)0 0
0,2 0,4060,4 0,8460,6 1,3680,8 2,06
1 3,1141,2 5,144
x f(x) f(x) 2f(x) 3f(x) 4f(x) 5f(x) 6f(x)0 0
0,4060,2 0,406 0,034
0,44 0,0480,4 0,846 0,082 0,04
0,522 0,088 0,0640,6 1,368 0,17 0,104 0,254
0,692 0,192 0,3180,8 2,06 0,362 0,422
1,054 0,6141 3,114 0,976
2,031,2 5,144
Tabel 1. Equispaced Tabel 2. beda Hingga
Metode Newton Gregrory Forward Adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi dengan menggunakan rumus
.. (1)
dimana :
|Nilai beda hingga yang digunakan adalah spt tabel
beda hingga maju
o
n
o
3
o
2
oos
f!n
)1ns)...(2s)(1s(s
....f!3
)2s)(1s(sf!2
)1s(sfsf)x(f
++++++=
hxxs os =
-
19/07/2007
19
Metode NGF mempunyai beberapa keterbatasan y Metode ini hanya dapat digunakan untuk
menyelesaiakan persoalan interpolasi equispaced ( x=konstan)
y Hanya cocok untuk menyelesaiakan persoalan interpolasi untuk nilai xs yang terletak didekat nilai awal xo atau x1 ( tdk menimbulkan nilei error yang besar)
y Tdk dapat digunakan menyelesaiakan permasalahan interpolasi balik
Keuntungan Metode yang efektif jika digunakan untuk mencari nilai fungsi f(x) di sekitar titik awal
Cara Penyelesaian Interpolasi dengan Metode NGF
Langkah pertama:
Menyelesaiakan persoalan interpolasi dengan metode Newton Gregory Forward adalah mencari nilai-nilai beda hingga dari fungsi f(x) dan membuat tabel beda hingga
Langkah kedua
Mencari nilai s dan mencari nilai fungsi f(xs) dengan persamaan (1)
-
19/07/2007
20
CONTOH | Carilah nilai f(xs) pada xs=0,03 dari tabel 1.
dengan metode Newton-Gregory Forward
x f(x)0 0
0,2 0,4060,4 0,8460,6 1,3680,8 2,06
1 3,1141,2 5,144
PENYELESAIAN
| Mencari nilai s dan nilai f(xs)
| Dari tabel hingga dapat diketahui nilai
Langkah 1 : Membuat Tabel Beda Hingga Langkah 2 :
x f(x) f(x) 2f(x) 3f(x)4f(x)5f(x) 6f(x)0 0
0,4060,2 0,406 0,034
0,44 0,0480,4 0,846 0,082 0,04
0,522 0,088 0,0640,6 1,368 0,17 0,104 0,254
0,692 0,192 0,3180,8 2,06 0,362 0,422
1,054 0,6141 3,114 0,976
2,031,2 5,144
15,002,0003,00 =
==h
xxs s
;254,0;064,0;04,0;048,0;034,0;406,0
06
05
04
03
02
0
======
ffffff
-
19/07/2007
21
LANJUTAN LANGKAH 2
06
05
04
03
02
00
!6)5)(4)(3)(2)(1(
!5)4)(3)(2)(1(
!4)3)(2)(1(
!3)2)(1(
!2)1()(
fssssss
fsssssfssss
fsssfssfsfxsf
=
++=
++++=
121816,0
254,0!6
)515,0)(415,0)(315,0)(215,0)(115,0(15,0
064,0!5
)4)(315,0)(215,0)(115,0(15,004,0!4
)315,0)(215,0)(115,0(15,0
048,0!3
)215,0)(115,0(15,0034,0!2
)115,0(15,0406,0.15,00)03,0(
=
=
++=
++++=s
f
Metode Newton Gregrory Backward Adalah metode yang digunakan untuk
menyelesaikan persoalan interpolasi dengan menggunakan rumus
.(2) Dimana Metode ini sangat cocok untuk menyelesaikan kasus interpolasi untuk mencari nilai f(x) di sekitar titik akhir akan menghasilkan nilai error yang kecil
n
n
3
3
2
2
1os
f!n
)1ns)...(2s)(1s(s
....f!3
)2s)(1s(sf!2
)1s(sfsf)x(f
+++++++++++=
hxxs os =
-
19/07/2007
22
Cara Penyelesaian Interpolasi dengan Metode NGB
Langkah pertama: Menyelesaiakan persoalan interpolasi dengan metode Newton Gregory backward adalah mencari nilai-nilai beda hingga dari fungsi f(x) dan membuat tabel beda hingga
Langkah kedua
Mencari nilai s dan mencari nilai fungsi f(xs) dengan persamaan(2)
Nilai beda hingga yang digunakan pd metode NGB adalah sbb:
s x f(x) f(x) 2f(x) 3f(x) 4f(x) 5f(x) -5 x-5 f-5 f-5 -4 x-4 f-4 2f-5 f-4 3f-5 -3 x-3 f-3 2f-4 4f-5 f-3 3f-4 5f-5 -2 x-2 f-2 2f-3 4f-4 f-2 3f-3 -1 x-1 f-1 2f-2 f-1 0 xo fo
-
19/07/2007
23
Metode NGB mempunyai keterbatasan sama dengan NGF
|Keuntungan Metode yang efektif jika digunakan untuk
mencari nilai fungsi f(x) di sekitar titik Akhir
CONTOH | Carilah nilai f(xs) pada xs=1,16 dari tabel 1.
dengan metode Newton-Gregory Backward
x f(x)0 0
0,2 0,4060,4 0,8460,6 1,3680,8 2,06
1 3,1141,2 5,144
-
19/07/2007
24
PENYELESAIAN
| Mencari nilai s dan nilai f(xs)
| Dari tabel hingga dapat diketahui nilai
Langkah 1 : Membuat Tabel Beda Hingga Langkah 2 :
x f(x) f(x) 2f(x) 3f(x)4f(x)5f(x) 6f(x)0 0
0,4060,2 0,406 0,034
0,44 0,0480,4 0,846 0,082 0,04
0,522 0,088 0,0640,6 1,368 0,17 0,104 0,254
0,692 0,192 0,3180,8 2,06 0,362 0,422
1,054 0,6141 3,114 0,976
2,031,2 5,144
04,002,02,116,10 =
==h
xxs s
;254,0;318,0
;422,0;614,0
;976,0;03,2;144,5
66
55
44
33
22
10
====
===
ffff
fff
LANJUTAN LANGKAH 2
66
55
44
33
22
10
!6)5)(4)(3)(2)(1(
!5)4)(3)(2)(1(
!4)3)(2)(1(
!3)2)(1(
!2)1()(
+++++=
+++++++++=
+++++++=
fssssss
fsssssfssss
fsssfssfsfxsf
031658,0
254,0!6
)504,0)(404,0)(304,0)(204,0)(104,0(04,0
318,0!5
)404,0)(304,0)(204,0)(104,0(04,0422,0!4
)304,0)(204,0)(104,0(04,0
614,0!3
)204,0)(104,0(04,0976,0!2
)104,0(04,003,2.04,01444,5)16,1(
=
=
++=
+++++=f
-
19/07/2007
25
LATIHAN | Carilah nilai f(xs) pada xs=2,67 dari tabel
dibawah ini x f(x)
1,0 1,449 1,3 2,060 1,6 2,645 1,9 3,216 2,2 3,779 2,5 4,338 2,8 4,898
Metode Stirling Adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan
persoalan interpolasi dengan menggunakan rumus
(3) dimana :
3
62
5
3
5
2
4
1
3
2
3
1
2o1
os
f2
62s
63s
2ff
52s
f2
41s
42s
2ff
31s
f2
2s
21s
2ff
1s
f)x(f
+++
+++++++
++++++
+++=
hxxs os =
!k)1kjs).......(2js)(1js)(js(
kjs +++++=+
-
19/07/2007
26
Keuntungan Metode yang efektif jika digunakan untuk mencari nilai
fungsi f(x) di sekitar titik tengah yang akan menghasilkan nilai error yang kecil
Cara Penyelesaian Interpolasi dengan Metode stirling
Langkah pertama: Menyelesaiakan persoalan interpolasi dengan metode Stirling adalah mencari nilai-nilai beda hingga dari fungsi f(x) dan membuat tabel beda hingga
Langkah kedua
Mencari nilai s dan mencari nilai fungsi f(xs) dengan persamaan(2)
