UNIVERSITÄT SIEGEN LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK Baudynamik (Master) – SS 2014 3. Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden 3.1 Einige Prinzipien der Mechanik und Herleitung der Schwingungsgleichungen 3.1.1 Einige Prinzipien der Mechanik 3.1.2 Herleitung der Schwingungsgleichungen 3.2 Ungedämpfte freie Schwingungen 3.2.1 Eigenfrequenzen und Eigenformen 3.2.2 Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen 3.2.3 Modalmatrix und modale Transformation 3.2.4 Näherungsverfahren zur Berechnung der Eigenfrequenzen 3.2.4.1 Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme 3.2.4.2 Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme 3.2.4.3 Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme
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Zwei und mehr Freiheitsgrade [Kompatibilitätsmodus] · Wird das Ritz-Verfahren nicht auf die gesamte Struktur, sondern nur auf ein Element angewendet,
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UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Baudynamik (Master) – SS 2014
3. Schwingungen mit zwei und mehr Freiheitsgraden3.1 Einige Prinzipien der Mechanik und Herleitung der Schwingungsgleichungen3.1.1 Einige Prinzipien der Mechanik3.1.2 Herleitung der Schwingungsgleichungen
3.2 Ungedämpfte freie Schwingungen3.2.1 Eigenfrequenzen und Eigenformen3.2.2 Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen3.2.3 Modalmatrix und modale Transformation3.2.4 Näherungsverfahren zur Berechnung der Eigenfrequenzen
3.2.4.1 Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme3.2.4.2 Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme3.2.4.3 Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme
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Baudynamik (Master) – SS 2014
3.3 Gedämpfte freie Schwingungen3.3.1 Eigenwertproblem3.3.2 Modale Dämpfung und Rayleigh-Dämpfung
3.4 Ungedämpfte erzwungene Schwingungen3.4.1 Direkte Lösungsmethode3.4.2 Methode der Modaltransformation
3.5 Gedämpfte erzwungene Schwingungen3.5.1 Direkte Lösungsmethode3.5.2 Methode der Modaltransformation
3.6 Modale Reduktion und Vergleich der Methoden3.6.1 Modale Reduktion3.6.2 Vergleich der direkten Methode und der modalen Methode
Charakteristische Gleichung für die Eigenfrequenzen
2
1Det 0ω
⋅ =
Iδ Μ − ( )2Det 0ω =MΚ −oder
1 2 ,Eigenvektoren : A A
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( )( )
21 1
22 2
ω
ω
=
=
M A 0
M A 0
Κ −
Κ −
Bemerkungen:
Eigenfrequenzen und Eigenformen sind wichtige dynamische Systemeigenschaften.
Die Eigenfrequenzen sind die Eigenwerte des Eigenwert-problems.
Die Eigenvektoren werden häufig als Eigenformen oder Eigenmoden bezeichnet.
Eigenfrequenzen und Eigenformen
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1 1 1 1 2 2 2 2cos( ) cos( )c t c tω α ω α− + −x = A A
Lösung:
Insgesamt 4 Unbekannten aus 4 Anfangsbedingungen (pro Masse 2 Anfangsbedingungen)!
10 101 1
20 202 2
(0) (0)(0) , (0)
(0) (0)x vx xx vx x
= =
x = x =
Homogene Lösung
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Bemerkungen zu Freiheitsgraden
Kontinuierliches System: Unendlich viele Freiheitsgrade
Diskretes System:Endlich viele Freiheitsgrade
Methode der verallgemeinerten
Koordinaten
Methode der konzentrierten
Massen
1 2 n, ,...,m m m1
( ) ( ) ( )n
i ii
w x a t xϕ=
=
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
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Bemerkungen zu Freiheitsgraden
Die Anzahl der Freiheitsgrade ist im Allgemeinen nicht gleichder Anzahl der Massen.
Die Anzahl der Freiheitsgrade ist abhängig von der Annahme(dehnstarr, dehnbar, etc.).
Die Anzahl der Freiheitsgrade ist unabhängig von derstatischen Unbestimmtheit und der geometrischen Unbe-stimmtheit.
Je mehr Freiheitsgrade, desto genauer sind die Ergebnisse,desto aufwendiger ist die dynamische Berechnung.
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n Freiheitsgrade:
+ =x x 0Κ Μcos( )tω α= ⋅ −x A
( )2ω =M A 0Κ −
( )2Det 0ω =MΚ −
1 2 n, ,...,ω ω ωEigenfrequenzen :
1 2 n , ,...,Eigenvektoren : A A A
Eigenfrequenzen und Eigenformen
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1 1 1 1 2 2 2 2 n n n ncos( ) cos( ) ... cos( )c t c t c tω α ω α ω α− + − + + −x = A A A
Lösung:
Insgesamt 2xn Unbekannten aus 2xn Anfangsbedingungen
(pro Masse 2 Anfangsbedingungen)!
10 10
20 20
n0 n0
(0) , (0)
x vx v
x v
x = x =
Homogene Lösung
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3.2 Ungedämpfte freie Schwingungen
3.2.2 Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen
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Die Berechnung der Nullstellen der charakteristischen Gleichung bei großen Matrizen (größer als 3x3)ist meistens sehr aufwendig. Daher werden häufig numerische Näherungsverfahren angewendet.Dazu gehören numerische Methoden für symmetrische Matrizen und dünnbesetzte große Matrizen:
Wenn M und K reell, symmetrisch und positiv definit sind, dannexistieren n positive reelle Eigenfrequenzen (n = Anzahl der Freiheits-grade).
Wenn M reell, symmetrisch und positiv definit, und K reell,symmetrisch und semi-positiv definit ist, dann existieren n nicht-negative Eigenfrequenzen (n = Anzahl der Freiheitsgrade).
Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen
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Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen
Eine Matrix ist positiv definit, falls ihre quadratische Formpositiv ist, d.h.
T 0>x Kx
Eine Matrix ist semi-positiv definit, falls ihre quadratischeForm nicht negativ ist, d.h.
T 0≥x Kx
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Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen
Eigenschaften der Eigenformen: Die Elemente der Eigenvektoren Ai sind nicht unabhängig
voneinander und können nicht eindeutig bestimmt werden. Aikönnen nur für ihre Verhältnisse oder mit einer Normierungbestimmt werden.
Die Orthogonalitätseigenschaft der Eigenvektoren wird häufigbei iterativen Bestimmungen der Eigenvektoren ausgenutzt.
Eigenschaften der Eigenfrequenzen und Eigenformen
Physikalische Bedeutung:
Schwingt ein System in einer bestimmten Eigenform, leistenseine Trägheitskräfte keine Arbeit auf andere Eigenformen.Seine Energie kann also nicht auf andere Eigenformenübertragen werden.
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3.2 Ungedämpfte freie Schwingungen
3.2.3 Modalmatrix und modale Transformation
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Eigenmatrix oder Modalmatrix:
[ ]11 12 1n
21 22 2n1 2 n
n1 n2 nn
A A AA A A
, ,...,
A A A
= =
A A A
Φ
T
T
1 (Massennormiert)
0 (Orthogonalität)i i
i j
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ =
A M AA M A
!)i iM(hier : A A
T ⋅ ⋅ =M IΦ Φ
( )2i iω =M A 0Κ −
( )
( )
T 2 T 2 T
1
T 2 T 2 T
0
i i i i i i i i
i j j i j j i j
ω ω
ω ω
= − =
= − =
A M A A A A A 0
A M A A A A A 0
Κ − Κ Μ
Κ − Κ Μ
21
T 2 22
0 00 00 0
ωω
⋅ ⋅ = =
K
Φ Φ ω
Modalmatrix
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Modaltransformation:x = qΦ
⋅ + =q q 0Κ Φ ΜΦ
2
T T+ =I
q q 0 ω
Φ ΚΦ Φ ΜΦ
2+ =q q 0 ω Entkoppelte Differentialgleichungen!
x = qΦ
qRücktransformation
: Physikalische Koordinaten: Modale Koordinaten
xq
Modale Transformation
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0
0
2222
1211
=+
=+
qωq
qωq 1 1 1 1
2 2 2 2
cos( )cos( )
q c tq c t
ω αω α
= −= −
01-1-
01-1- )0()0(;)0()0( vΦxΦq xΦxΦq ====
Insgesamt 2n Unbekannten aus 2n Anfangsbedingungen(pro Masse 2)!
T -1 T= Φ MΦ I Φ = Φ MBeachte:
Modale Transformation
Alternativ: Die Anpassung der Anfangsbedingungen kann auchnach der Rücktransformation durchgeführt werden!
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Die Methode der modalen Transformation wird häufig auchals Modalanalyse bezeichnet.
Die grundlegende Idee der Modalanalyse besteht darin,Schwingungen von Mehrfreiheitsgradsystemen als Super-position der Schwingungen von mehreren Einfreiheitsgrad-systemen darzustellen.
Modalanalyse
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3.2 Ungedämpfte freie Schwingungen
3.2.4 Näherungsverfahren zur Berechnung der Eigenfrequenzen
3.2.4.1 Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme3.2.4.2 Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme3.2.4.3 Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme
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UNIVERSITÄT SIEGEN
Lord Rayleigh (12.11.1842-30.06.1919) Walter Ritz (22.02.1878-07.07.1909)
Rayleigh und Ritz
Quelle: http://www.wikipedia.org
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2
2
1Potentielle Energie: 21Kinetische Energie: 2
p
k
E kx
E mx
=
=
T
T
1212
p
k
E
E
=
=
x Kx
x Mx
cos( )tω α= −x AT 2
T 2 2
1 cos ( )21 sin ( )2
p
k
E t
E t
ω α
ω ω α
= ⋅ −
= ⋅ −
A KA
A MA
T,max
T 2,max
1212
p
k
E
E ω
=
= ⋅
A KA
A MA
,max ,maxp kE E=
T2
Tω = A KAA MA
Energieerhaltung:
Rayleigh-Quotient
Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme
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T2
Ti i
ii i
ω = A KAA MA
2 2,i i exaktω ω≥
Bemerkungen:Falls der exakte Eigenvektor A verwendet wird, dann erhält man auch die exakteEigenfrequenz.
Falls nur eine Näherungslösung für den Eigenvektor verwendet wird, dann erhält maneine Näherungslösung für die Eigenfrequenz:
Man kann zeigen, dass die Näherungslösung für die Eigenfrequenz immer größer alsdie exakte Eigenfrequenz ist:
Das Rayleigh-Verfahren wird überwiegend für die 1. (niedrigste) Eigenfrequenzverwendet.
Als Näherungslösung für den Eigenvektor kann die statische Lösung verwendetwerden.
Rayleigh-Verfahren für diskrete Systeme
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[ ]
[ ]
22
0 0
2
0
1 1Formänderungsenergie: ( ) ( , )2 ( ) 2
1Kinetische Energie: ( ) ( , )2
l l
p
l
k
ME U dx EI x w x t dxEI x
E m x w x t dx
′′= = = ⋅
= ⋅
( ) cos( )w W x tω α= −
,max ,maxp kE E=
Rayleigh-Quotient
Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme
[ ]
[ ]
22
0
22 2
0
1 cos ( ) ( ) ( )2
1 sin ( ) ( ) ( )2
l
p
l
k
E U t EI x W x dx
E t m x W x dx
ω α
ω ω α
′′= = − ⋅ ⋅
= − ⋅
[ ][ ]
2
2 02
0
( ) ( )
( ) ( )
l
l
EI x W x dx
m x W x dxω
′′⋅=
⋅
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Rayleigh-Verfahren für kontinuierliche Systeme
2
2 02
0
( ) ( )
( ) ( )
l
i l
EI x W x dx
m x W x dxω
′′⋅ = ⋅
2 2,i i exaktω ω≥
Bemerkungen:Falls die exakte Biegelinie W(x) verwendet wird, dann erhält man auch die exakte Eigenfrequenz.
Falls nur eine Näherungslösung für die Biegelinie verwendet wird, dann erhält man auch nur eineNäherungslösung für die Eigenfrequenz:
Man kann zeigen, dass die Näherungslösung für die Eigenfrequenz immer größer als die exakteEigenfrequenz ist:
Das Rayleigh-Verfahren wird überwiegend für die 1. (niedrigste) Eigenfrequenz verwendet.
Als Näherungslösung für die Biegelinie kann die statische Biegelinie verwendet werden.
Je weniger die Näherungslösung von der exakten Biegelinie abweicht, desto genauer ist dieabgeschätzte Eigenfrequenz im Rayleigh-Verfahren.
Die Näherungslösung für die Biegelinie soll mindestens die geometrischen Randbedingungenerfüllen.
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Das Ritz-Verfahren ist eine Erweiterung des Rayleigh-Verfahrens (daher auch als Rayleigh-Ritz-Verfahren bekannt) , indem man einen mehrgliederigen Ansatz macht:
Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme
1( ) ( )
n
i ii
W x a xϕ=
=ai werden als verallgemeinerte Koordinaten und ϕi(x) werden als Ritz-Basisfunktionen oderFormfunktionen bezeichnet. n entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade. Mit der Energiebetrachtungerhält man nun den Rayleigh-Quotienten:
2
012
2
01
( ) ( )( )
( ) ( )
nl
i ii
i nl
i ii
EI x a x dxUR aE
m x a x dx
ϕω
ϕ
=
=
′′⋅ = = = ⋅
Damit der Fehler minimal bleibt, muss gelten:
2
2
( ) 1 0 0 i
i i i i i
R a U U E U U Ea E a a a E aE
ω
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − = − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂
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Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme
1 10
1 10
2 ( ) ( ) ( ) 2
2 ( ) ( ) ( ) 2
ln n
j j i ij jj ji
ln n
j j i ij jj ji
U a EI x x x dx k aa
E a m x x x dx m aa
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= =
= =
∂ ′′ ′′= =∂
∂ = =∂
Daraus ergibt sich:
( )2
1
0n
ij ij jj
k m aω=
− =Oder in Matrizenschreibweise:
( )2 0ω− =K M a
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Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme
0
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
l
ij i j
l
ij i j
k EI x x x dx
m m x x x dx
ϕ ϕ
ϕ ϕ
′′ ′′=
=
Die verallgemeinerte Steifigkeitsmatrix K und die verallgemeinerteMassenmatrix M können aus den folgenden Gleichungen bestimmtwerden:
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Bemerkungen:Falls nur ein Glied im Ritz-Ansatz verwendet wird, dann ergibt sich als Sonderfall das Rayleigh-Verfahren.
Das Rayleigh-Verfahren ist nur für die 1. (niedrigste) Eigenfrequenz geeignet, während das Ritz-Verfahren auch für höhere Frequenzen geeignet ist.
Man kann zeigen, dass die Eigenfrequenzen aus dem Ritz-Verfahren immer größer als dieexakten Werte sind:
Je mehr Glieder verwendet werden, desto genauer sind die Ergebnisse, desto aufwendiger ist dieBerechnung.
Der Ritz-Ansatz muss mindestens die geometrischen Randbedingungen erfüllen.
Wird das Ritz-Verfahren nicht auf die gesamte Struktur, sondern nur auf ein Element angewendet,dann ist das Ritz-Verfahren identisch mit der finiten Elemente Methode (FEM).
Ritz-Verfahren für kontinuierliche Systeme
2 2,i i exaktω ω≥
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
FEM
1 1 2 2 3 3 4 4
2 3
1
2
2
2 3
3
2
4
( )
( ) 1 3 2
( ) 1 2
( ) 3 2
( )
w x a a a a
x xxl l
x xx xl l
x xxl l
x xx xl l
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
= + + +
= − +
= − +
= − = − +
1ϕ
2ϕ
3ϕ
4ϕ1
1
/x l
1a
2a3a
4a, ,EI m l
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
FEM
0
2
( ) ( )
12 126 6
6 4 6 212 126 6
6 2 6 4
l
ij i jk EI x x dx
l ll lEI
ll l
l l
ϕ ϕ′′ ′′= ⋅ ⋅
−
− = − − − −
K
0
2 2
2 2
( ) ( )
156 22 54 1322 4 13 354 13 156 2242013 3 22 4
l
ij i jm m x x dx
l ll l l lm
l ll l l l
= ⋅ ⋅
− − = − − − −
M
ϕ ϕ
1 2 3 4
2 1 3 4
3 1 2 4
4 1 2 3
(0) 1, (0) (0) (0) 0(0) 1, (0) (0) (0) 0( ) 1, ( ) ( ) ( ) 0( ) 1, ( ) ( ) ( ) 0l l l ll l l l
Bemerkungen: Die Eigenwertberechnung bei gedämpften Systemen ist im Allgemeinen sehr
aufwendig.
Falls δj positiv (schwache Dämpfung) ist, dann hat man eine gedämpfteSchwingung mit abklingenden Amplituden. Falls δi negativ (starkeDämpfung) ist, dann hat man keine Schwingung (Kriechbewegung).
D ist im Allgemeinen symmetrisch.
Die Modalmatrix Φ kann die Steifigkeitsmatrix K, aber nicht die Dämpfungs-matrix D diagonalisieren. D.h., eine Entkoppelung der Schwingungs-gleichungen ist durch eine Modaltransformation bei gedämpften Schwin-gungen im Allgemeinen nicht möglich.
Nur durch spezielle Annahmen für die Dämpfung (modale Dämpfung undRayleigh-Dämpfung, siehe später) können die Schwingungsgleichungendurch eine Modaltransformation entkoppelt werden.
Partikularlösung: Ansatz vom Typ der rechten Seite
n1 1 2 2 n n2 2 2 2 2 2 2 2
11 2 n
dyn
TT T TiM iMM M M M M M
pi iω ω ω ω=
= + + + ⋅ − Ω − Ω − Ω − Ω
A AA A A A A Ax F = F
δ
2 2
TiM
ipi
qω
=− Ω
A F
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3.5 Gedämpfte erzwungene Schwingungen
3.5.1 Direkte Lösungsmethode3.5.2 Methode der Modaltransformation
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h h h+ + =x Dx x 0 Κ Μ
( )h tx
Direkte Lösungsmethode: Homogene Lösung
Bemerkung:Die homogene Lösung bei gedämpften Systemen klingt mit der Zeit rasch ab, so dass nach kurzer Zeit (im eingeschwungenen Zustand) nur die Partikularlösung maßgebend bleibt.
vgl.: Gedämpfte freie Schwingungen!
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p p p+ + =x Dx x F Κ Μ
( )2i p+ Ω Ω =D - x FΚ Μ
( ) i tt e Ω=F F
Direkte Lösungsmethode: Partikularlösung
( ) i tp pt e Ω=x x
( )2i
dyn
pΩ Ω =K
D x FΚ + − Μ
Dynamische Steifigkeitsmatrix
1
dyn
p dyn−= ⋅x K F
δ
Dynamische Nachgiebigkeitsmatrix
( ) 11 2idyn
−−Ω = Ω = = Ω − Ω( ) H( ) K K + M Mδ Wird häufig auch als Frequenzgangmatrix Hoder Übertragungsmatrix bezeichnet.
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+ + =x Dx x F Κ Μ
* *( ) cos( )t t= ΩF F
=x qΦ
2 *=q + dq + q F ω
+ =q D q + q F ΚΦ Φ ΜΦ
( ) *
T T+ =F
q D q + q F Φ ΚΦ Φ ΜΦ Φ ( ) cos( )t t= ΩF F
2 *2 cos( )i i i i i i iq D q q F tω ω = Ω+ +
2 * 22 / ) ( / ) cos( )i i i i i i i iq D q q F tω ω ω= ⋅ Ω/ + ( +
Methode der Modaltransformation
(vgl. gedämpfter Einmassenschwinger!)
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h p+q = q q
=x qΦ Rücktransformation
( )2 22 2 2
2 1tan( ) , 1 1 4
i ii i
ii i i
D VD
ηαη η η
= =− − +
* 2( ) ( / ) cos( )ip i i i iq t V F tω α= ⋅ Ω −Partikularlösung
( )h tq
( )p tq
Methode der Modaltransformation
2( ) cos( )n
T ip iM iM i
i i
Vt t αω
= Ω −x A A F
* Ti iMF = A F
( )h ht =x qΦ
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Baudynamik (Master) – SS 2014
3.6 Modale Reduktion und Vergleich der Methoden
3.6.1 Modale Reduktion
3.6.2 Vergleich der direkten Methode und der modalen Methode
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Modale Reduktion
1 1 2 2 1 1( ) N N N N n nt q q q q q+ += = + + + + + +x q A A A A A Φ
Modale Reduktion
Wichtig! Weniger wichtig!
1 1 2 2 ( )N N N Nq q q ×≅ + + + =x A A A q Φ
Die Lösung einer Schwingung ist die gewichtete Superposition derEigenschwingungen (Eigenformen, Eigenmoden). Daher wird die Methodeder Modaltransformation auch als Methode der Modalsuperposition oderModalsuperpositionsmethode bezeichnet.
Niedrige Eigenformen leisten größere Beiträge und höhere Eigenformen haben kleinere Beiträge.
Große Rechenaufwandsreduzierung falls N<<n!
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Modale Reduktion
Modale Reduktion reduziert den Rechenaufwand, aber wie bestimmt man dieGrenze N?
Faustregel:
[ ]min max
max
Frequenzband der Erregung: ,Obergrenze der Eigenfrequenzen: 1,5iω
Ω ∈ Ω Ω≤ Ω
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Vergleich der direkten Methode und der modalen Methode
Direkte Methode Modale Methode
Dämpfung Beliebig. Beliebig.
Entkoppelung Nein. Ja, nur mit Annahme (modal oder Rayleigh).
Aufwand Groß, da Kdyn für jede Anregungsfrequenz neu zu berechnen und zu invertieren ist.
Klein, wenn Entkoppelung oder modale Reduktion (N<<n).
Genauigkeit Hoch. Hoch wenn keine modale Reduktion. Niedrig bei modaler Reduktion.
Linearität Anwendbar auch bei Nichtlinearität.
Nur anwendbar bei Linearität.
Empfehlung Bei Stoß (schmallbandig) (direkte Zeit-Integration)