Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 1 / 21 Zusammenfassung Physik I Jerome Faist, FS14 1 Inhaltsverzeichnis Jerome Faist, FS14 ..................................................................1 2 Spannung und Dehnung .....................................................2 3 Flüssigkeiten .......................................................................2 3.1 stehende Flüssigkeiten .............................................2 3.2 Fluiddynamik.............................................................3 3.3 viskose Strömung ......................................................3 4 Schwingungen ....................................................................4 4.1 ungedämpfte Schwingung ........................................4 4.1.1 Grundlagen ...........................................................4 4.1.2 Beispiele für ungedämpfte harmonische Schwingsysteme .................................................................5 5 Gedämpfte Schwingungen .................................................5 5.1 Grundlagen ...............................................................5 5.2 gedämpfte Oszillatoren ............................................5 5.2.1 überdämpfter Oszillator .......................................5 5.2.2 kritisch bedämpfter Oszillator ..............................6 5.2.3 schwach bedämpfter Oszillator ............................6 5.3 Erzwungene Schwingungen und Resonanz ...............6 6 Ausbreitung von Wellen .....................................................7 6.1 Grundlagen ...............................................................7 6.1.1 Wellentypen .........................................................7 6.1.2 Grössen:................................................................7 6.2 Phasengeschwindigkeiten (in verschiedenen Medien) ..................................................................................8 6.3 Wellenimpedanz .......................................................8 6.4 Energiebetrachtungen ..............................................8 6.5 Wellenausbreitung an Hindernissen .........................9 6.6 Wellenausbreitung: Huygens und Fermat ................9 7 Überlagerung & stehende Wellen ......................................9 7.1 Überlagerung von Wellen .........................................9 7.1.1 Doppler-Effekt ......................................................9 7.2 Interferenz ..............................................................10 7.3 Stehende Wellen.....................................................10 7.3.1 allgemein ............................................................10 7.3.2 beidseitig eingespannt .......................................10 7.3.3 einseitig eingespannt..........................................10 8 Thermodynamik ............................................................... 11 8.1 Formen der Zustandsgleichung .............................. 11 8.2 kinetische Gastheorie ............................................. 11 8.3 Wärme und erster Hauptsatz der Thermodynamik 12 8.3.1 Wärmekapazitäten von Gasen ........................... 12 8.3.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik: .............. 12 8.3.3 Prozesse ............................................................. 12 8.4 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie 13 8.5 Entropie .................................................................. 13 8.6 Wärme- / Kältemaschine, Wärmepumpe............... 13 APPENDIX ............................................................................ 15 9 Mechanik allgemein ......................................................... 15 9.1 Planare Bewegungen .............................................. 15 9.1.1 Impuls................................................................. 15 9.1.2 Kraft.................................................................... 15 9.1.3 Trägheitskraft ..................................................... 15 9.2 Drehbewegungen ................................................... 15 9.2.1 Winkel ................................................................ 15 9.2.2 Drehimpuls ≅ Impuls, Energie .......................... 15 9.2.3 Drehmoment ≅ Kraft ......................................... 15 9.2.4 Trägheitsmoment ≅ Masse................................ 15 9.2.5 weitere Kräfte .................................................... 15 9.3 Objekte ................................................................... 16 9.3.1 Drehmoment eines verdrehten Vollkörpers ...... 16 9.3.2 Feder .................................................................. 16 10 Energieformen ............................................................ 16 Dieser Zusammenfassung liegt die handschriftliche Version von Aldo Tobler zugrunde. Ergänzungen und Korrekturen durch Stefan Rickli. Koordinaten SORGFÄLTIG wählen! Feder- und Reibungskraftrichtung entsprechend anpassen
21
Embed
Zusammenfassung Physik Iricklis/blog/download/studienunterlagen/basisjahr... · Pascal’sches Prinzip (Spezialfall Bernoulli): Die Druckänderung einer in einem Behältnis eingeschlossenen
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 1 / 21
θ: Scherwinkel, Δx: Verschiebung, ℓ: Höhe Schubmodul / Torsionsmodul G:
Beziehung zwischen den Grössen:
Volumenänderung bei Zug- oder Druckbelastung
und damit:
, das heisst 𝜇 ≤ 0.5, damit Δ𝑉 𝑉⁄ ≥ 0 Kompressionsmodul:
Kompressibilität:
(grosser Wert: gut komprimierbar: hohe relative Volumenän-derung auf einen kleinen Druckunterschied)
3 Flüssigkeiten
3.1 stehende Flüssigkeiten
Dichte:
relative Dichte:
Druck:
andere Einheiten:
Gravitationskraft einer Wassersäule
Druckdifferenz oben/unten:
Pascal’sches Prinzip (Spezialfall Bernoulli):
Die Druckänderung einer in einem Behältnis eingeschlossenen Flüssigkeit teilt sich unverändert auf jeden Punkt innerhalb der Flüssigkeit und den Wänden des Behältnisses auf. Hydrostatisches Paradoxon:
- der Wasserspiegel in allen kommunizierenden Röhren ist gleich hoch.
- der Druck hängt nur von der Wasserhöhe ab, nicht von der Form des Gefässes.
휀 =Δℓ
ℓ, [휀] = 1
𝜎 =𝐹𝑁𝐴, [𝜎] =
N
m2= Pa
𝐸 =𝜎
휀=𝐹𝑁 𝐴⁄
Δℓ ℓ⁄, [𝐸] =
N
m2= Pa
Δ𝑑
𝑑= −𝜇
Δℓ
ℓ
𝜏 =𝐹𝑡𝐴, [𝜏] =
N
m2= Pa
𝛾 =Δ𝑥
ℓ= tan𝜃
G =𝜏
𝛾=𝐹𝑇 𝐴⁄
Δ𝑥 ∕ ℓ=𝐹𝑇 𝐴⁄
tan𝜃, [𝐺] =
N
m2= Pa
𝐸 = 2𝐺(1 + 𝜇)
Δ𝑉 ≅ 2𝑑ℓΔ𝑑 + 𝑑2Δℓ
Δ𝑉
𝑉=Δ𝑉
𝑑2ℓ= 2
Δ𝑑
𝑑+Δℓ
ℓ=Δℓ
ℓ(1 − 2𝜇)
𝐾 = −Δ𝑝
ΔV V⁄, [𝐾] =
N
m2= Pa
𝜅 =1
𝐾= −
Δ𝑉 𝑉⁄
Δ𝑝=3(1 − 2𝜇)
𝐸
𝜚 =𝑚
𝑉, [𝜚] =
kg
m3
𝜚𝑟𝑒𝑙 =𝜚
𝜚𝑤, [𝜚𝑟𝑒𝑙] = 1
𝑝 =𝐹
𝐴, [𝑝] =
N
m2= Pa
1bar = 1000 mbar = 105 Pa1atm = 1.01325 bar
𝐹𝐺 = ϱ𝑔Δ𝑉 = 𝜚𝑔𝐴Δℎ
𝑝𝑢 = 𝑝𝑜 + 𝜚𝑔Δℎ
Für Zylinder: Δ𝑥 = 𝑟𝜃
Zusammenfassung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 3 / 21
Gesetz von Boyle-Mariotte:
bei konstanter Temperatur. Archimedisches Prinzip:
Ein Körper, der ganz oder teilweise in eine Flüssigkeit ein-taucht, erfährt eine Auftriebskraft, deren Betrag gleich der Ge-wichtskraft der durch den Körper verdrängten Flüssigkeits-menge ist. Archimedisches Prinzip:
Menge Flüssigkeit, die in der Zeit Δ t den Querschnitt A durch-fliesst:
Volumenstrom:
Kontinuitätsgleichung:
Verknüpft die zeitliche Änderung der zu einer Erhaltungsgrösse gehörigen Dichte ϱ mit der räumlichen Änderung ihrer Strom-dichte. (Wiki) Der Volumenstrom durch verschiedene Querschnitte ist kon-stant:
Annahme: Flüssigkeit ist inkompressibel Durchflussmasse:
Gesetz von Torricelli:
Austrittsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit in Höhe Δh ab Flüssigkeitsspiegel
Bernoulli zur Herleitung:
𝑝1 = 𝑝2, 𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 ⇒𝑣1 = vernachlässigbar
Achtung! Obiges v nicht direkt für Durchfluss verwenden, sondern: Venturi-Rohr:
𝐼 = 𝜋𝑟22𝑣 =
𝜋𝑟12
2⋅ √2𝑔Δℎ
Venturi-Effekt:
Wenn die Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit zu-nimmt, geht der Druck zurück.
𝑣2 > 𝑣1 ⇒ 𝑝2 < 𝑝1
Bernoulli-Gleichung:
die Summe der Grössen an jedem Punkt entlang einer
Stromlinie ist konstant. Dynamische Reibungskräfte:
CR: Reibungskoeffizient Dynamischer Auftrieb:
3.3 viskose Strömung
Viskose Reibungskraft:
η: Zähigkeit / Viskosität, v: Geschwindigkeit der Platte, A: Fläche der Platte, d: Plattenabstand
𝑝𝑉 = const 𝑝
𝜚= const
𝐹𝐴 = 𝑝1𝐴 − 𝑝0𝐴 = 𝜚𝐹𝑔 Δℎ𝐴⏟V𝐾
= 𝑔 (𝜚𝐹Δℎ𝐴)⏟ Masse
⏟
Gewichtskraft
𝑝1 =𝐹1𝐴1= 𝑝2 =
𝐹2𝐴2
⇔ 𝐹2 = 𝐹1𝐴2𝐴1
𝑝 = 𝑝0 ⋅ exp (−(𝜚0𝑔ℎ
𝑝0))
Δ𝑉 = 𝐴𝑣Δ𝑡
𝐼𝑉 = 𝐴𝑣 =ⅆ𝑉
ⅆ𝑡, [𝐼𝑉] =
m3
s
Δ𝑉1 = Δ𝑉2 ⇔ 𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 = const.
𝐼𝑚 = 𝜚𝑣𝐴 =ⅆ𝑚
ⅆ𝑡, [𝐼𝑚] =
kg
s
𝑣 = √2𝑔Δℎ
𝑝1Δ𝑉⏟ Duckenergie
+ 𝜚𝑔Δ𝑉ℎ1⏟ pot. Energie
+1
2𝜚𝑣1
2Δ𝑉⏟ kin. Energie
=
𝑝2Δ𝑉 + 𝜚𝑔Δ𝑉ℎ2 +1
2𝜚𝑣2
2Δ𝑉
⇒ 𝑝 + 𝜚𝑔ℎ +1
2𝜚𝑣2 = const. an jeⅆem Punkt
𝐹𝑅 =1
2𝐶𝑅𝜚𝑣
2𝐴
𝐹𝐴 =1
2𝐶𝐴𝜚𝑣
2𝐴
𝐹𝐴 = Δ𝑝𝐴
𝐹𝑅 = 𝜂𝑣𝐴
𝑑, allg.: 𝐹 = η
∂v
∂z𝐴, [𝐹𝑅] = Pa s
i.d.R. atm. Druck
Zusammenfassung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 4 / 21
Hagen-Poiseuille-Strömung:
Die Geschwindigkeit der zähen Flüssigkeit ist abhängig vom Rand. (parabolisches Geschwindigkeitsgefälle)
Gesetz von Hagen-Poiseuille:
Reynoldszahl:
Gibt Aussage über Turbulenzverhalten einer Strömung
4 Schwingungen
4.1 ungedämpfte Schwingung
4.1.1 Grundlagen
Federkraft in harmonischer Schwingung: Hook’sches Gesetz:
Bedingungen für eine harmonische Schwingung:
Ein Körper führt eine harmonische Schwingung aus, wenn seine Beschleunigung zu seiner Auslenkung aus der Ruhelage und stets zu dieser hin gerichtet ist. Irgendein System, welches sich in einem stabilen Gleichgewicht befindet, lässt sich durch die Gleichung eines harmonischen Oszillators beschreiben! Bewegungs-DGL eines harmonischen Oszillators:
Zusammenfassung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 5 / 21
Kreisfrequenz für einen Federschwinger:
daraus folgt: Frequenz und Schingungsdauer einer harmonischen Schwin-gung sind unabhängig von der Amplitude. Potenzielle Energie der harmonischen Schwingung:
Kinetische Energie der harmonischen Schwingung:
Mechanische Gesamtenergie:
Die mechanische Gesamtenergie der harmonischen Schwin-gung ist proportional zum Amplitudenquadrat.
4.1.2 Beispiele für ungedämpfte harmonische Schwingsysteme
Mathematisches Pendel (Punktmasse):
Achtung: gilt nur für kleine Winkel! ϕ0: Amplitude, Anfangszustand
Schwingungsdauer und Frequenz sind beim mathema-tischen Pendel unabhängig von der Masse.
Physikalisches Pendel:
Achtung: gilt nur für kleine Winkel! ϕ0: Amplitude, Anfangszustand, I: Trägheitsmoment (bezogen vom Schwerpunkt des aufgehängten Objekts zur Aufhängung), ℓ: Abstand von der Aufhängung zum Massenmittelpunkt Das mathematische Pendel ist ein Spezialfall des physikalischen Pendels, wenn 𝐼 = 𝑚ℓ2 und 𝑑 = ℓ (Punktmasse).
5 Gedämpfte Schwingungen
5.1 Grundlagen
Bei einer gedämpften Schwingung nimmt die Energie im Sys-tem mit der Zeit ab. Reibungskraft:
b: Viskosität des Mediums Bei Reibungserscheinungen die x-Koordinate am besten in FR-Richtung wählen. Bewegungs-DGL:
allgemeiner:
mit 𝛾 =1
𝜏=
𝑏
𝑚 und 𝜔0 = √
𝑘𝐹
𝑚 .
DGL mit konstanten Koeffizienten - Ansatz:
𝑥(𝑡) = 𝐴e𝜆𝑡, 𝜆 ∈ ℂ
𝜆2 + (𝑏
𝑚) 𝜆1 + (
𝑘𝐹
𝑚) 𝜆0⏟=1
= 0 ⇒ 𝜆 = −𝑏
2𝑚±√(
𝑏
2𝑚)2
−𝜔02
Für die Ortsfunktion ergeben sich dadurch 3 Fälle: 𝑏
2𝑚> 𝜔0 ⇒ Überdämpftes System
𝑏
2𝑚= 𝜔0 ⇒ kritisch bedämpftes System
𝑏
2𝑚< 𝜔0 ⇒ schwach bedämpftes System
5.2 gedämpfte Oszillatoren
5.2.1 überdämpfter Oszillator
Voraussetzung: 𝑏
2𝑚> 𝜔0 , der Wurzelterm wird reell und damit
gilt 𝑥(𝑡) = 𝐴e(−
𝑏
2𝑚+√(
𝑏
2𝑚)2−𝜔0
2)𝑡+ 𝐵e
−(𝑏
2𝑚+√(
𝑏
2𝑚)2−𝜔0
2)𝑡 .
Es kommt zu keiner Schwingung. Der Oszillator kehrt mit expo-nentieller Abnahme der Auslenkung einfach in die Ruhelage zu-rück.
𝜔 = √𝑘𝐹𝑚
𝐸pot =1
2𝑘𝐹𝑥
2 =1
2𝑘𝐹𝐴
2 cos2(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝐸kin =1
2𝑚𝑣𝑥
2 =1
2𝑚�̇�2 =
1
2𝑘𝐹𝐴
2 sin2(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝐸mech = 𝐸kin + 𝐸pot
𝐸mech =1
2𝐴2𝑘𝐹 (sin
2(𝜔𝑡 + 𝛿) + cos2(𝜔𝑡 + 𝛿))⏞ =1
=1
2𝑘𝐹𝐴
2 =1
2𝑚𝜔2𝐴2
𝜑(𝑡) = 𝜑0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) , 𝜔 = √𝑔
ℓ
𝜑(𝑡) = 𝜑0 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) , 𝜔 = √𝑚𝑔ℓ
𝐼
𝐹𝑅 = −𝑏𝑣 = −𝑏�̇�(𝑡)
𝑚�̈� = −𝑘𝐹𝑥𝑥(0)⏟
Feder
−𝑏�̇�⏟Reibung
⇔ �̈� +𝑏
𝑚�̇� +
𝑘𝐹𝑚𝑥(0) = 0
�̈� + 𝛾�̇� + 𝑚𝜔02𝑥 = 0
ℓ
mg s
𝑠 = 𝑙 ⋅ 𝜑
Zusammenfassung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 6 / 21
5.2.2 kritisch bedämpfter Oszillator
Voraussetzung 𝑏
2𝑚= 𝜔0 , der Wurzelterm wird gleich null (die
NS doppelt) und damit gilt 𝑥(𝑡) = 𝐴e−𝑏
2𝑚𝑡 + 𝐵𝑡e−
𝑏
2𝑚𝑡⏟
2-fache NS
.
Hier kommt es ebenfalls zu keiner Schwingung, aber die Rück-stellzeit ist minimal. Würde die Dämpfung noch kleiner, käme es zu einer Schwingung.
𝑏𝑘 = 2𝑚𝜔0 ⇒ 𝜏𝑘 =𝑚
𝑏𝑘=
1
2𝜔0
Index k: kritisch
5.2.3 schwach bedämpfter Oszillator
Voraussetzung: 𝑏
2𝑚< 𝜔0
Der Wurzelterm wird imaginär und damit die Bewegungsglei-chung:
mit einer Quasi-Kreisfrequenz 𝜔′:
𝑇′: Quasi-Periode, 𝜔0 = √𝑘𝐹
𝑚
𝜔′ sinkt mit steigender Dämp-fung für eine sehr schwache Dämp-fung gilt:
Abnahme der Amplitude:
Zeitkonstante / Zerfallszeit:
𝜏 =𝑚
𝑏 𝛾 =
𝑏
2𝑚 𝜏 =
1
2𝛾
b: Reibungskoeffizient
Die Energie zerfällt mit der Zerfallskonstante τ, da 𝐸~𝑒−𝑡
𝜏 .
Gütefaktor:
Q hoch: langsamer Abfall der Schwingung
Physikalische Interpretation Q-Faktor:
𝑄 =2𝜋
(|Δ𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ|
𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ)𝑇= 2𝜋 ⋅
gesamte gespeicherte Energie
Energieverlust pro Schwingungsperioⅆe⏟ NuS-Erklärung
für |Δ𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ|
𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ≪ 1
Der Q-Faktor gibt die Zahl der Schwingungen an, nach denen (in Abwesenheit einer äußeren Kraft) die Amplitude auf 𝑒−𝜋 ≅4% des Anfangswerts abgeklungen ist. Energie im System:
5.3 Erzwungene Schwingungen und Resonanz
Antreibende Kraft:
Ist die Frequenz Ω der treibenden Kraft näherungsweise gleich der Eigenfrequenz des Systems, wird das angetriebene System mit einer relativ grossen Amplitude schwingen. (Ω = 𝜔0) Bandbreite:
inhomogene DGL:
mit 𝛾 =𝑏
𝑚 und 𝜔0 = √
𝑘𝑓
𝑚
homogene Lösung: nach entsprechend langer Zeit kann der homogene Teil der Lösung wegen dessen exponenzieller Ab-nahme vernachlässigt werden. ⇒ Einschwingvorgang partikuläre Lösung: stationäre Lösung nach Einschwingen Ortsfunktion des erzwungenen Oszillators:
Ω: Kreisfrequenz der treibenden Kraft Amplitude:
𝑥(𝑡) = 𝐴0e−𝑡2𝜏 cos(ω′𝑡 + 𝜑)
ω′ = 𝜔0√1 − (𝑏
2𝑚𝜔0)2
⇒ 𝑇′ =2𝜋
ω′
(𝑏
2𝑚𝜔0) ≪ 1 ⇒ 𝜔′ = 𝜔0
𝐴(𝑡) = 𝐴0𝑒−𝑡2𝜏
𝑄 = 𝜔0𝜏
𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ,0 =1
2𝑚𝜔0
2𝐴02, 𝑡 = 0
𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ,𝑡>0 = 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ,0 ⋅ 𝑒−𝑡𝜏, 𝑡 ≠ 0
𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos(Ωt)
B = Δω =𝜔0𝑄
𝑚�̈� = −𝑘𝐹𝑥⏟ Feder
−𝑏�̇�⏟Reibung
+𝐹0 cos(Ω𝑡)⏟ äussere Kraft
⇒ �̈� +𝑏
𝑚�̇� +
𝑘𝐹
𝑚𝑥 =
𝐹0
𝑚𝑐𝑜𝑠(𝛺𝑡)
⇒ �̈� + 𝛾�̇� + 𝜔02𝑥 =
𝐹0
𝑚cos(Ω𝑡)
𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(Ω𝑡 + 𝜑)
𝐴 =𝐹0
√𝑚2(𝜔02 − Ω2)2 + 𝑏2Ω2
=𝐹0𝑚
1
√(𝜔02 − Ω2)2 + 𝛾2Ω2
Zusammenfassung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 7 / 21
Phase:
Grenzfälle:
Die Masse „folgt“ der antreibenden Kraft.
Die Auslenkung geht gegen null während die Phase
gegen -180° geht. Die Masse hat somit keine Zeit, der antreibenden Kraft zu folgen.
Im Vergleich mit Ω ≅ 0 ist die Auslenkung um einen
Faktor Q vergrössert.
6 Ausbreitung von Wellen
6.1 Grundlagen
Definition Welle:
Die Erscheinung der Ausbreitung eines Schwingungszustandes im Raum, bei dem eine Energieübertragung, nicht aber ein Massentransport stattfindet. Kennzeichen einer Welle:
Teilchen führen Schwingungen an Ort aus, während sich in-folge Kopplung mit benachbarten Teilchen der Bewegungszu-stand (die Schwingungsenergie) mit konstanter, endlicher Ge-schwindigkeit vom Erregerzentrum wegbewegt. Harmonische Wellen (Gleichung):
- : fortschreitende Welle, + : rückläufige Welle
Die harmonische Welle ist ein zeitlich und räumlich periodischer Vorgang.
Gleiche Schwingungszustände wiederholen sich in Ausbreitungsrichtung periodisch in bestimmten Ab-ständen, der Wellenlänge λ.
6.1.1 Wellentypen
a) Transversalwellen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. b) Longitudinalwellen schwingen parallel zur Ausbreitungsrichtung.
Schallwellen:
Können mittels einer Druck- und Auslenkungswelle beschrie-ben werden.
1. Auslenkungswelle: 𝜉(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝜉 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
2. Druckwelle: 𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑝 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
6.1.2 Grössen:
A: Amplitude [A] = m Phasengeschwindigkeit:
Ausbreitungsgeschwindigkeit gleicher Phasen. Kann für ver-schiedene Frequenzen unterschiedlich sein. Mehr dazu: suche nach Stichwort „dispersives Medium“.
λ: Wellenlänge, f: Frequenz Wellenzahl:
Kreisfrequenz:
Transversale Geschwindigkeit:
Transversale Beschleunigung:
eindimensionale Wellengleichung:
In festen Stoffen können sich aufgrund ihrer Gestaltelastizität sowohl reine Transversalwellen als auch aufgrund ihrer Volu-menelastizität reine Longitudinalwellen ausbreiten.
tan𝜑 = −𝑏Ω
𝑚(𝜔02 − Ω2)
Ω ≪ 𝜔0 ⇒ 𝐴 ≅𝐹0
𝑘, 𝜑 ≅ 0
Ω ≫ 𝜔0 ⇒ 𝐴 ≅𝐹0
𝑚
1
Ω2, 𝜑 ≅ −𝜋
Ω = 𝜔0 ⇒ 𝐴 =𝐹0
𝑘𝑄, 𝜑 ≅ −
𝜋
2
𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 ∓ 𝜔𝑡 + 𝛿)
𝑣 = 𝜆𝑓, [𝑣] =m
s
𝑘 =2𝜋
𝜆
𝜔 = 𝑘𝑣 = 2𝜋𝑓, [𝜔] =raⅆ
s
𝑣𝑓 =𝜕𝑓
𝜕𝑡= −𝜔𝐴 cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝑎𝑓 =𝜕2𝑓
𝜕𝑡2= −𝜔2𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2= 𝑓′′ =
1
𝑣2𝜕2𝑓
𝜕𝑡2
Zusammenfassung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 8 / 21
6.2 Phasengeschwindigkeiten (in verschiedenen Medien)
Seilwellen / Saiten:
μ: Längendichte [𝜇] = kg m−1 σ: Spannung [𝜎] = N m−2 ϱ: Dichte [𝜚] = kg m−3 Longitudinalwellen elastischen Medien (z.B. Stäbe):
E: Elastizitätsmodul (Young’s Modulus) [𝐸] = N m−2 Longitudinalwellen in dicken Stäben:
K: Kompressionsmodul [𝐾] = N m−2 G: Schubmodul [𝐺] = N m−2 Transversalwellen in Stäben:
G: Schubmodul [𝐺] = N m−2 Schallwellen in Flüssigkeiten und Gasen:
κT: 𝜅𝑇 =
1
𝑝
κS: Kompressibilität von Gasen: 𝜅𝑆 =1
𝛾𝑝
KT: isothermes Kompressionsmodul KS: Kompressionsmodul für adiabatische Zustandsänderung (Kompressionswärme kann nicht abfliessen) T: absolute Temperatur [𝑇] = 𝐾 Umrechnung: {𝑇} = {𝑇𝐶} + 273.15
obere 𝑣2 mit der quadrierten Mediumgeschwindigkeit
(z.B. 𝑣2 =𝐾
𝜚 ) ersetzt werden kann.
Energiedichte (Herleitung Skript):
Es zeigt sich (Herleitung in Skript), dass
𝑈 = �̅�𝑘𝑖𝑛 + �̅�𝑝𝑜𝑡 mit �̅�𝑘𝑖𝑛 = �̅�𝑝𝑜𝑡 =1
4𝜚𝜔2𝐴0
2
Intensität einer Welle via Impedanz (d’Alembert-Gleichung):
Schallpegel:
Referenzschallintensität: 𝐼0 = 10
−12 W
m2 (Hörschwelle bei 0dB)
Schmerzgrenze: 𝐼 = 120 ⅆB
𝑣 = √|𝐹𝑠|
𝜇= √
𝜎
𝜚
𝑣 = √𝐸
𝜚
𝑣 = √𝐾 +
43𝐺
𝜚
𝑣 = √𝐺
𝜚
𝑣 = √𝐾𝑆𝜚= √
𝛾𝑅𝑇
𝑀⏟ nur Gase
𝑍 =Spannung
Strom
⏞ ET
=Druckⅆifferenz
Geschwinⅆigkeit
⏞ Akustik
𝑍 = 𝑣𝜚 =𝐾
𝑣, [𝑍] =
kg
m2 s=N s
m3
𝑃 = 𝐹𝑣 = −𝜎(𝑥, 𝑡)𝐴𝜕𝑓
𝜕𝑡
𝑃 = 𝜇𝑣𝜔2𝐴2 cos2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) ??
⟨𝑃⟩ =1
2𝜇𝑣𝜔2𝐴2
⟨𝐸⟩ = ⟨𝑃⟩Δ𝑥, Δ𝑥 = 𝑣Δ𝑡
⇒ ⟨𝐸⟩ =1
2𝜇𝜔2𝐴2Δ𝑥
𝐼 =𝑃
𝐴, [𝐼] =
W
m2
𝐼 ̅ =1
2𝜚𝑣𝜔2𝐴0
2
𝑈 =𝐼̅
𝑣=1
2𝜚𝜔2𝐴0
2
𝐼 =1
2𝑍𝜔2𝐴2
𝐼ⅆB = (10ⅆB) log10 (𝐼
𝐼0) , [𝐼ⅆB] = ⅆB
Zusammenfassung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 9 / 21
6.5 Wellenausbreitung an Hindernissen
Faktoren für die Berechnung der Amplitude der reflektierten und der durchgelassenen Welle: Transmittivität:
Ai: Eingangsamplitude, At: Amplitude der durchgelassenen Welle Reflektivität:
Ar: Amplitude der reflektierten Welle ⇒ es wird keine Welle reflektiert, falls beide Impedanzen gleich sind. Faktoren für die Berechnung der Intensität der reflektierten und der durchgelassenen Welle: Transmittivität:
i: Input, t: transmittiert Reflektivität:
i: Input, r: reflektriert Intensität der durchgelassenen Welle:
1 Wechsel des Mediums (Z1 → Z2): 𝐼𝑡 = 𝐼𝑖 ⋅ 𝑇
2 Wechsel des Mediums (Z1 → Z2 → Z1): 𝐼𝑡 = 𝐼𝑓 ⋅ 𝑇
2
Spezialfälle:
𝑍1 = 𝑍2 ⇒ 𝑅 = 0, 𝑇 = 1 𝑍2 ≫ 𝑍1 ⇒ 𝑅 → 1, 𝑇 → 0
Es gilt Energieerhaltung, d.h.:
𝐼𝑖 = 𝐼𝑟 + 𝐼𝑡 ⇔ 1 =𝐼𝑟𝐼𝑖+𝐼𝑡𝐼𝑖
⇔ 1 = 𝑅 + 𝑇
6.6 Wellenausbreitung: Huygens und Fermat
Huygens: „In jedem Punkt einer Wellenfront sitzt ein Streu-zentrum, von dem wieder eine Kugelwelle ausgeht“ Brechungsgetz (Snellius):
Fermat: „Eine Welle läuft zwischen zwei Punkten immer so, dass sie möglichst wenig Zeit braucht.“
7 Überlagerung & stehende Wellen
7.1 Überlagerung von Wellen
Superpositionsprinzip:
Wenn zwei oder mehr Wellen sich überlagern, ergibt sich die resultierende Welle als algebraische Summe der einzelnen Aus-lenkungen. Gleichung zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude, aber unterschiedlichem Abstand bzw. Phase: 𝜉1(𝑥, 𝑡) + 𝜉2(𝑥, 𝑡) = 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) + 𝐴 sin(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 + 𝛿)
Es gibt in solchen Systemen keine geradzahligen Har-monischen.
Bedingung für stehende Wellen:
Resonanzfrequenzen:
n: n-te Harmonische, v: Wellengeschwindigkeit Notwendige Bedingungen für stehende Wellen auf einer Saite:
1. Jeder Punkt auf der Saite bleibt entweder in Ruhe o-der schwingt in einer einfachen harmonischen Bewe-gung. (Die in Ruhe befindlichen Punkte sind die Kno-ten)
2. Die Bewegungungen von zwei beliebigen Punkten, welche keine Knoten sind, auf der Saite sind entweder in Phase oder um 180° phasenverschoben.
allgemeine Wellenfunktion für schwingende Saiten:
𝑓(𝑥, 𝑡) =∑𝐴𝑛 sin(𝑘𝑛𝑥) cos(𝜔𝑛𝑡 + 𝛿𝑛)
𝑛
Δφ = 2πΔℓ
λ
Δ𝜑 = 2𝜋Δ𝑡
𝑇
𝑦𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑛 sin(𝑘𝑛𝑥) cos(𝜔𝑛𝑡)
𝐴 = 2𝑦0 cos (𝛿
2)
ℓ = 𝑛𝜆𝑛2, 𝑛 ∈ ℤ
𝑓𝑛 = 𝑛𝑣
2ℓ= 𝑛𝑓1, 𝑛 ∈ ℤ
ℓ = 𝑛𝜆𝑛4, 𝑛 = 1,3,5, …
𝑓𝑛 = 𝑛𝑣
4ℓ= 𝑛𝑓1, 𝑛 = 1,3,5, …
Zusammenfassung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 11 / 21
8 Thermodynamik
Zustandsgrösse Austauschgrösse U innere Energie Q Wärme V Volumen W Arbeit n Anzahl Mol eines Gases p Druck T Temperatur S Entropie
Nullter Hauptsatz der Thermodynamik:
Befinden sich zwei Körper in thermischem Gleichgewicht mit einem dritten, so stehen sie auch untereinander in thermi-schem Gleichgewicht. Temperaturskala der absoluten Tempertatur:
p: Druck im zu messenden System p3: Druck des Thermometers (Tripelpunkt H2O) Definition des idealen Gases:
Das ideale Gas ist ein Gas, dessen Verhalten vollständig und uneingeschränkt durch die Gastheorie beschrieben wird. Umrechnung Grad Celsius → Kelvin:
(wandelt Temperaturskala in Energie um) Zustandsgleichung bei bestimmten Konstanten:
Konstante Menge (n = const):
Konstante Menge und Temperatur (n = const., T = const.): Gesetz von Boyle-Mariotte
Reversibler adiabatischer Prozess:
Korrekte Anwendung von Zustandsgleichungen bei Zustands-änderungen:
richtig: Δ𝑛 = 𝑛2 − 𝑛1 =𝑝2𝑉2
𝑅𝑇−𝑝1𝑉1
𝑅𝑇 falsch:
8.2 kinetische Gastheorie
Freiheitsgrad f eines Moleküls / Atoms:
# Atome Bsp. für Gase dieses Typs Freiheitsgrad
1 Argon Helium
Translation: 3
f=3
2 Stickstoff N2 Sauerstoff O2 Kohlenmonoxid CO
Translation: 3 Rotation: 2
f=5
>3 Ammoniak NH3 Kohlendioxid CO2
Wasser H2O
Translation: 3 Rotation: 3
f=6
Adiabatische Konstante:
f: Freiheitsgrad
# Atome Freiheits-
grad cV cp γ
1 3 3
2𝑅
5
2𝑅
5
3
2 5 5
2𝑅
7
2𝑅
7
5
>2 6 3𝑅 4𝑅 4
3
Molekulare Deutung der Temperatur:
Die absolute Temperatur T ist ein Mass für die mittlere kineti-sche Energie der Teilchen im idealen Gas. Mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens:
Innere Energie von n Mol eines Gases:
mit 𝑁 = 𝑛 ⋅ 𝑛𝐴 Die Innere Energie hängt nur von der Temperatur und nicht von Druck oder Volumen ab! quadratisch gemittelte Geschwindigkeit vRMS:
cV: Wärmekapazität bei konstantem Volumen [𝑐𝑃,𝑉] =
J
mol K
cP: Wärmekapazität bei konstantem Druck
8.3.2 Erster Hauptsatz der Thermodynamik:
Die innere Energie eines Systems ändert sich mit dem Masse wie Wärme zu- bzw. abgeführt wird oder / und wie Arbeit am bzw. vom System verrichtet wird. ΔU: Veränderung der inneren Energie des Systems 𝑊 > 0 ⇒ Umgebung leistet Arbeit, pumpt Energie ins System 𝑊 < 0 ⇒ System / Gas gibt Arbeit ab 𝑄 > 0 ⇒ zugeführte Wärme 𝑄 < 0 ⇒ abgeführte Wärme
Dem Gas zugeführte Volumenarbeit:
V1: Anfangsvolumen, V2: Endvolumen W und Q sind wegabhängig. ΔU ist aber wegunabhängig!
8.3.3 Prozesse
zuge
füh
rte
W
ärm
e
𝑄=𝑛𝑐 𝑝Δ𝑇
𝑄=𝑛𝑐 𝑣Δ𝑇
𝑄=−𝑊
𝑄=0
zuge
füh
rte
V
olu
me
nar
be
it
𝑊=−𝑝(𝑉2−𝑉 1)
𝑊=0
𝑊=−𝑛𝑅𝑇ln(𝑉
2 𝑉 1)
𝑊=𝑛𝑐 𝑉Δ𝑇
𝑊=𝑝2𝑉 2−𝑝1𝑉 1
𝛾−1
𝑝1
𝑝2=(𝑇
1 𝑇 2)
𝛾
𝛾−1
∫1 𝑇𝑑𝑇
𝑇 2 𝑇 1=
−𝑅
𝐶𝑉 ∫
1 𝑉𝑑𝑉
𝑉2
𝑉1
inn
ere
En
erg
ie
Δ𝑈=𝑊+𝑄
𝛥𝑈=𝑄
𝛥𝑈=0
𝛥𝑈=𝑊
𝑝1
𝑝2=(𝑉
2 𝑉 1)𝛾
Vo
lum
en-
bei
Tem
pe
ratu
r-än
der
un
g:
Eige
nh
eit
p =
co
nst
.
V =
co
nst
.
T =
con
st.
kein
Wär
mea
us-
tau
sch
mit
Um
-
geb
un
g
𝑇 1 𝑇 2=(𝑉
2 𝑉 1)𝛾−1
𝐶𝑝𝑑𝑇 𝑇=−𝑅𝑑𝑉 𝑉
Pro
zess
typ
iso
bar
iso
cho
r
iso
the
rm
adia
bat
isch
Ad
iab
ate
n-
gle
ich
un
gen
Ad
iab
aten
-DG
L:
Anmerkung zu isothermem Prozess:
Es gilt 𝑊 = −∫𝑛𝑅𝑇
𝑉𝑑𝑉
𝑉2𝑉1
= −𝑛𝑅𝑇 ln (𝑉2
𝑉1)
isotherme Kompression: W > 0, Ausdehnung: W < 0 Volumenarbeit ist die Fläche unter einem Kurvenstück im pV-Diagramm. ⇒ isochore Zustandsänderung hat Arbeit = 0 Kreisprozess (Stirling):
Gesamt 𝛥𝑈 = 0 Uhrzeigersinn: System leistet Arbeit Gegenuhrzeigersinn: Umgebung leistet Arbeit
1. Isotherme Ausdehnung auf hoher Temperatur:
Gas verrichtet Arbeit Wab ⇒ Wärmezufluss Qzu
2. Isochore Abkühlung:
keine Arbeit, nur Wärmeabfluss 𝑄𝑇1→𝑇2
3. Isotherme Kompression auf tiefer Temperatur:
Gas nimmt Arbeit Wzu auf ⇒ Wärmeabfluss Qab
4. Isochore Erwärmung:
keine Arbeit, nur Wärmezufluss 𝑄𝑇2→𝑇1
𝑄 = 𝑚𝑐Δ𝑇, [𝑄] = J
𝑄 = 𝑚𝜆𝑆 (schmelzen)
𝑄 = 𝑚𝜆𝐷 (verdampfen)
Q = ncvΔ𝑇 Q = nc𝑝Δ𝑇
𝑐𝑣 =𝑓
2⋅ 𝑅 𝑐𝑝 = 𝑐𝑣 + 𝑅
Δ𝑈 = 𝑊 +𝑄
𝑊 = −∫ 𝑝𝑑𝑉𝑉2
𝑉1
𝑇1 > 𝑇2
Zusammenfassung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 13 / 21
8.4 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik und Entropie Thomson:
Kein System kann Energie in Form von Wärme einem einzelnen Reservoir ent-nehmen und sie vollständig in Arbeit umsetzen, ohne dass gleichzeitig zusätzli-che Veränderungen im System oder in dessen Umgebung eintreten. Clausius:
Ein Prozess, bei dem letztlich nichts anderes geschieht als der Übergang von Wärmeenergie von einem kälteren auf einen wärmeren Gegenstand, ist un-möglich. Wärmekraftmaschine:
Es ist unmöglich, eine zyklisch arbeitende Wärmekraftmaschine zu konstruie-ren, die keinen anderen Effekt bewirkt, als Wärme aus einem einzigen Reser-voir zu entnehmen und eine äquivalente Menge an Arbeit zu verrichten.
8.5 Entropie
Definition der Entropie-Änderung:
z.B. bei Wärmeaustausch: 𝑄 = 𝑚𝑐Δ𝑇
a) Bei einem reversiblen Prozess ist die Entropieänderung des Universums gleich null.
b) Bei einem irreversiblen Prozess nimmt die Entropie des Uni-versums zu.
Es gibt keinen Prozess, durch den die Entropie des Univer-sums abnimmt!
Entropieänderung bei idealen Gasen:
Entropieänderung bei verschiedenen Prozessen:
Prozess Entropieänderung
isotherm Δ𝑆 = 𝑛𝑅 ln (𝑉2
𝑉1)
isobar Δ𝑆 = 𝑛𝑐𝑝 ln (𝑇2
𝑇1)
isochor Δ𝑆 = 𝑛𝑐𝑣 ln (𝑇2
𝑇1)
adiabatisch Δ𝑆 = 0 i.d.R. *
Wärmeleitung Δ𝑆 =|𝑄|
𝑇𝑘−|𝑄|
𝑇𝑤
unelastischer Stoss
Δ𝑆 =𝑚𝑔ℎ
𝑇
*: es gibt sowohl isentrope als auch nicht isentrope adiabati-sche Zustandsänderungen
Statistische Definition der Entropie:
Ω: Anzahl von Mikrozuständen für einen Makrozustand n Moleküle links (n1) und rechts (n2) verteilt:
Ω(𝑛1, 𝑛2) =(𝑛1+𝑛2)!
𝑛1!𝑛2!
Entropie und Verfügbarkeit der Energie:
Durch einen irreversiblen Prozess wird die Energiemenge TΔS entwertet, ist also nicht mehr als Arbeit nutzbar. Dabei ist T die Absolute Temperatur des kältesten vorhandenen Reservoirs:
Zwischen zwei gegebenen Wärmereservoiren hat die reversibel arbeitende Wärmekraftmaschine den höchstmöglichen Wir-kungsgrad Die Schritte des Carnot-Kreisprozesses:
1. Reversible isotherme Aufnahme von Wärme aus ei-nem wärmeren Reservoir
2. Reversible adiabatische Expansion, bei der die tiefere Temperatur erreicht wird
3. Reversible isotherme Abgabe von Wärme an ein kälte-res Reservoir
4. Reversible adiabatische Kompression, wieder zurück in den Anfangszustand
Carnot-Wirkungsgrad:
Δ𝑆 =𝑄𝑟𝑒𝑣𝑇
Δ𝑆 = 𝑆2 − 𝑆1 = 𝑛𝑅 ln (𝑉2𝑉1) + 𝑛𝑐𝑉 ln (
𝑇2𝑇1)
𝑆 = 𝑘𝐵 ln(Ω)
Δ𝑆 = 𝑘𝐵 ln (Ω𝐵Ω𝐴)
𝑊𝑒𝑛𝑡 = 𝑇 ⋅ Δ𝑆
𝜂𝑊𝐴𝑀 =|𝑊𝑛𝑢𝑡𝑧|
𝑄𝑧𝑢= 1 −
|𝑄𝑎𝑏|
|𝑄𝑧𝑢|
𝑇𝑘𝑇𝑤=|𝑄𝑘|
𝑄𝑤
Wnutz
𝜂max = 1 −𝑇𝑘𝑇𝑤
=∑𝑊
∑𝑄⏟>0
⏞
vom System gewonnene Arbeit
𝑇𝑤
𝑇𝑘
Q
Wärmeleitung:
WAM
zu
ab
nutz
Zusammenfassung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 14 / 21
Wirkungsgrad Kältemaschine (KM) und Wärmepumpe (WP):
𝜂𝑊𝑃 =𝑄𝑎𝑏𝑊
𝜂𝐾𝑀 =𝑄𝑧𝑢𝑊
𝑄𝑎𝑏
𝑄𝑧𝑢
W KM/WP
Zusammenfassung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 15 / 21
Angular Momentum; Drall, Impulsmoment, Schwung der Drehung Drehimpuls eines Massepunktes:
𝑟: Ortsvektor des Massepunktes p: Impuls des Massepunktes �⃗� = 𝑚�⃗� L ist in trivialen Fällen parallel zu Drehachse. Rotation eines starren Körpers um eine Symmetrieachse:
I: Trägheitsmoment des st. Körpers ω: Kreisfrequenz der Drehung
Massepunktwechsel:
�⃗�: Vektor vom alten zum neuen Massepunkt �⃗�: Impuls des neuen Massepunkts
Massenträgheitsmoment, Inertialmoment, Moment of inertia; Widerstand eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung um eine gegebene Achse.
vergl. �⃗� = 𝑚�⃗� Allgemeine Definition:
𝑟⊥: der zur Rotationsachse �⃗⃗⃗� (Winkelgeschwindigkeit) senk-rechte Anteil von 𝑟 (also quasi Abstand zur Achse). 𝜌(𝑟): ortsabhängige Dichte. Bei konstanter Dichte kann diese auch vor das Integral gezogen werden. Einige Trägheitsmomente:
Dünner Stab, Drehachse in der Mitte: 𝐼 =1
12𝑚ℓ2
Dünner Stab, Drehachse am Ende: 𝐼 =1
3𝑚ℓ2
Massiver Zylinder, Drehachse längs: 𝐼 =1
2𝑚𝑟2
Vollkugel: 𝐼 ≅2
5𝑚𝑟2
Hohlkugel mit Wandstärke 𝑑 ≪ 𝑟 : 𝐼 =2
3𝑚𝑟2
Bezugsachsenwechsel: Satz von Steiner:
wobei d den Abstand der neuen zur alten parallelen, Bezugs-achse bezeichnet.
9.2.5 weitere Kräfte
Zentripetalkraft (zeigt nach innen):
Gravitationskraft
G: Gravitationskonstante 6.673 ⋅ 10−11m3
kg s2
𝛼 =𝑑𝜔
𝑑𝑡= �̇�, 𝜔 =
𝑑𝜑
𝑑𝑡= �̇�
�⃗⃗� = 𝑟 × �⃗� [𝐿] = N m s
�⃗⃗� = 𝐼�⃗⃗⃗� = 𝐼�̇⃗⃗�
�⃗⃗�′ = �⃗⃗� + �⃗� × �⃗�
�⃗⃗⃗� = r⃗ × �⃗� =ⅆ�⃗⃗�
ⅆ𝑡= �̇⃗⃗� [𝑀] = N m
�⃗⃗⃗� = �̇⃗⃗� = 𝐼�̇⃗⃗⃗� = 𝐼�⃗�
𝑀 = −𝐷𝜑
�⃗⃗⃗� = 𝐼�̇⃗⃗⃗� [𝐼] = kg m2
𝐼 = ∫𝑟⊥2𝜌(𝑟) 𝑑𝑉
𝑉
𝐼2 = 𝐼1 +𝑚𝑑2
𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧 =𝑚𝑣2
𝑟
𝐹𝐺 = 𝐺𝑚1𝑚2
𝑟2
Zusammenfassung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
zuletzt gespeichert: 02.01.2017 20:01:00, Version 71 16 / 21
𝑡 ist Anzahl von 𝜆, welche im charakteristischen Polynom = 0 sind (also 𝜆𝑡(𝜆 − ⋯))
2. Cosinus / Sinus:
𝑦𝑃(𝑥) = 𝐴 ⋅ cos(𝜔𝑥) + 𝐵 ⋅ sin(𝜔𝑥) 𝜔 ist die gleiche Konstante wie bei 𝑓(𝑥)
3. Exponentialfunktion:
𝑦𝑃(𝑥) = 𝐴𝑥𝑡𝑒𝑎𝑥
a ist gleiche Konstante wie bei 𝑓(𝑥).
𝑡 ist Anzahl von 𝜆 = 𝑎 im charakteristischen Polynom.
4. Superposition: Kombination aus 1-3 (selten)
Exponent x entspricht μ im gelben Rechenbuch. b. Diesen Ansatz für 𝑦𝑃(𝑥) ohne 𝑦𝐻(𝑥) in DGL einsetzen (n Ableitungen für Grad n berechnen) und c. Koeffizienten von 𝑦𝑃(𝑥) durch Koeffizientenvergleich bestimmen.
Formelsammlung Physik I Stefan Rickli http://blogs.ethz.ch/ricklis
Zuletzt gespeichert: 02.01.2017, 20:01, Version 71 21 / 21
14 Bemerkungen (V3.1) Notation
Gelbe Markierungen bezeichnen i.d.R. Abschnitte, welche eine Überarbeitung nötig haben, weitere Infos von den markierten Quel-len nötig hätten oder unklar sind. Disclaimer
Meine Formelsammlungen entstehen und wachsen meist über eine längere Zeit. Es besteht immer ein gewisses Risiko, dass sich einige Fehler über zig Iterationen versteckt gehalten haben. Ich freue mich deshalb über jegliche (Fehler-) Verbesserungen, Anmer-kungen, Lob, Dank oder auch Kritik. Meine Zusammenfassungen werden fortlaufend korrigiert und aktualisiert veröffentlicht. Weiterverarbeitung:
Weil ich es nicht ausstehen kann, dass ständig das Rad neu erfunden werden muss, habe ich das Originaldokument mit veröffentlicht mit der Einladung, sich hier für die eigene Formelsammlung zu bedienen. Ihr könnt diese Zusammenfassung also gerne weiterverar-beiten und / oder auch in überarbeiteter Form veröffentlichen. Haltet jedoch die Herkunft der kopierten/übernommenen Teile so gut wie möglich nachvollziehbar, falls ihr weiter veröffentlicht. Obiges gilt auch für alle anderen Formelsammlungen von mir, welche diesen Bemerkungstext (noch) nicht enthalten. Quellenangaben:
Aus Platz- und Zeitgründen (blame the 'Prüfungsstress') fehlen natürlich praktisch jegliche Quellenangaben (worüber ich auch schon ab und zu fluchen musste). Ich versuche jedoch in diesem Abschnitt die Arbeiten zu referenzieren, von denen ich wissentlich kopiert habe: Wesentliche Bestandteile:
allgemeines aus dem Skript "Physik I" von Prof. Jérôme Faist
Grossteil der Zfsg Abschrift und Überarbeitung der handgeschriebenen Zfsg von Aldo Tobler
Revisionsverlauf:
1.0 Sept. 2014 erste Veröffentlichung Stefan Rickli
To Do:
15 Ressourcen zu „Word und Formeleditor“ Es gibt ein paar Ressourcen, welche mir sehr geholfen haben, den Formeleditor in Word zu meistern:
- Microsoft Word formula editor: https://support.office.com/en-us/article/Linear-format-equations-and-Math-AutoCor-rect-in-Word-2e00618d-b1fd-49d8-8cb4-8d17f25754f8?ui=en-US&rs=en-US&ad=US
- Unicode Nearly Plain-Text Encoding of Mathematics: http://www.unicode.org/notes/tn28/ o das ist der Standard, an den sich der Editor (fast vollständig) hält. Ist sehr gut beschrieben und dokumen-
tiert. Ausnahme sind Umrahmungen, welche nicht die ganze Funktionalität erhalten haben. - Die Zeichenübersicht des Editors selber: wenn man mit der Maus über ein Zeichen fährt, zeigt es einem den Tastatur-
Shortcut an, den man eingeben kann Nice to know:
- Alt + Shift + 0 erstellt eine neue Formel (durch einen Bug in Office 2016 muss dieser Shortcut neu manuell definiert werden, Stand Mai 2016)
- der Leerschlag ist euer Freund! Er veranlasst den Formeleditor, die Syntax bis zum aktuellen Punkt zu überprüfen und das Zeug fixfertig bis zu dem Punkt, wo ihr seid, darzustellen (ausser es gibt noch offene Klammern).
o verhält sich der Editor mal komisch, liegt es zu 95% daran, dass etwas in der Syntax nicht stimmt. Hier hilft ab und an mal, sich die Formel im linearen Modus anzuschauen, wo alles bis auf Sonderzeichen wieder auseinander genommen wird. Das einzige, mit dem der Editor Mühe hat, sind grosse Eq-Arrays und mehr-zeiliges Zeug.
- Wenn die Formel auf einer eigenen Zeile steht, veranlasst ein Leerschlag ausserhalb nach der Formel (also AUSSERHALB des Formeleditorfelds) den Editor, die Formel im Inline-Modus darzustellen (Formel braucht weniger Platz)
o siehe Tabellen in dieser ZF, dort habe ich das konsequent benutzt. Löscht mal das Leerzeichen nach einer Formel, das ein Integral enthält
- benutzt die Backslash (\) Befehle! Wenn man sich die beiden Dokumente oben ausdruckt und zur Referenz hält, geht es nicht lange, bis man alles mit der Tastatur machen kann und nie absetzen muss, um was mit der Maus zu machen
- \ensp und \emsp können helfen, um grössere, gewollte Abstände zu realisieren - \\eqarray ordnet mit jedem & einmal links und dann wieder rechts an - bastelt euch eure eigenen Shortcuts
o zum Beispiel \La für ⇐ \Ra für ⇒ \Lra für ⇔ oder \to für ein → oder eine leere 4x4 Matrix als \4x4 mit (■(&&&@&&&@&&&@&&&)) und einem Leerschlag
am Ende (damit der Ausdruck gleich aufgebaut wird) etc
o dazu einfach das entsprechende Zeichen in die Zwischenablage kopieren und im Formeleditor unter „Formeloptionen“ (in den Tools als kleiner Pfeil unten rechts zu finden) und „Math. Autokorrektur“ einfü-gen und den entsprechenden Backslashbefehl definieren
o manchmal ist es sinnvoll, noch eigene Funktionsnamen zu definieren, welche der Editor erkennen soll, wenn man sie häufig benutzt. Z.B. Imag()
ansonsten Leerschlag funktionsname\funcapply Leerschlag - die mathematische Autokorrektur ist manchmal auch ausserhalb des Formeleditors nützlich. Ich hab das in den Optio-
nen auch aktiviert - Wenn Word langsam wird wegen vielen anzuzeigenden Formeln, hilft
o 1. die Entwurfsansicht (anstatt Seitenlayout). Wenn man sich damit abfindet, dass dann ab und zu das Lay-out (noch) nicht dargestellt oder updated wird (nicht beirren lassen), kann man gut die kritischen Ab-schnitte bearbeiten. Achtung: Bilder werden NICHT angezeigt, sondern einfach mit einem Leerschlag reprä-sentiert!
o 2. reinzoomen, bis weniger Formeln sichtbar sind.