ZS nr 2 w Jędrzejowiezspgrot.edu.pl/files/3.Sosnowska-MATEMATYKA-M.-Sosnowska... · Web view2020/04/08  · Temat : Bryły podobne str.170) ( Temat 7 kwietnia 2020 r.) 1. Dwie bryły

Klasa 1tes, 1tfg

Temat : Przesuwanie wykresu wzdłuż osi OX i osi OY ( str. 161-166) ( Temat na lekcje z 6 kwietnia2020 r.)

1. Analiza przykładu 1/1612.Twierdzenie str. 161 ( przepisać)3. Ćw.1/ 161 a) Aby sporządzić wykres funkcji y = IxI+2 sporządzam wykres funkcji y = IxI i przesuwam o 2 jednostki w górę względem osi OY ( proszę to przepisać, a następnie zrobić tabelkę i wykres y=IxI i przesunąć ) b) Aby sporządzić wykres funkcji y = IxI-2 sporządzam wykres funkcji y = IxI i przesuwam o 2 jednostki w dół względem osi OY ( proszę to przepisać, a następnie zrobić tabelkę i wykres y=IxI i przesunąć ) c) Aby sporządzić wykres funkcji y = IxI-3 sporządzam wykres funkcji y = IxI i przesuwam o 3 jednostki w dół względem osi OY ( proszę to przepisać, a następnie zrobić tabelkę i wykres y=IxI i przesunąć )

d) Aby sporządzić wykres funkcji y = IxI+ 12 sporządzam wykres funkcji y = IxI i przesuwam o 1

2 jednostki w górę względem osi OY ( proszę to przepisać, a następnie zrobić tabelkę i wykres y=IxI i przesunąć ) Praca domowa: Zad 1 i zad.6/ 162 Karty pracy zadania str.71-72

Proszę do mnie przesłać zdjęcia rozwiązań zadań zad 1 i zad.6/ 162podręcznik( podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą) do 10 kwietnia2020 r. na adres: [email protected]

Klasa 1Th

Temat : Przekształcanie wykresu przez symetrię względem osi OY ( str.180) ( Temat na lekcje z 7kwietnia 2020 r.) 1.Obraz funkcji y = f(x) w symetrii względem osi OY

2.Obraz funkcji y=f(x) w symetrii względem osi OY x1= – x i y1= y stąd x= – x1 i y= y1wstawiając do wzoru funkcji y=f(x) otrzymamyy1= f(– x1)Wykres funkcji y = f(–x) powstaje w wyniku przekształcenia wykresu funkcji y=f(x) przez symetrię osiową względem osi OY.

3. Przykład 4/ 180 ( przerysować tabelkę i wykresy )

Należy zwrócić uwagę, że za x mogę podstawić tylko liczby nieujemne, bo tylko dla takich istnieje pierwiastek kwadratowy.4. Twierdzenie str.180 ( przepisać)5. Analiza przykładu 5/180 ( przeczytać )6. Ćw.5/180 (zrobić)Praca domowa: Ćw.6/180

Temat : Funkcje - zastosowania ( str. 186) ( Temat na lekcje z 8 kwietnia 2020 r.)

W zadaniach tekstowych opisywane są zależności między wielkościami niewiadomymi. Analiza tych zależności powinna doprowadzić do zapisania związków między tymi wielkościami w postaci równania, nierówności, układu równań bądź układu nierówności.

x 0 1 4 9 16

y = √x 0 1 2 3 4

Zadanie uważa się za rozwiązane, kiedy wyznaczymy wszystkie wartości niewiadomych, spełniające warunki zadania.

Zadanie 1. Ojciec jest dwa razy starszy od syna. Dziesięć lat temu miał tyle lat, ile syn będzie miał za dziesięć lat. Ile lat ma każdy z nich obecnie?

x- wiek ojca y- wiek syna

x= 2 y oraz x- 10= y+10

x - y = 20

2y –y = 20

y = 20 Zatem x = 2 * 20 = 40

Odp: Ojciec ma obecnie 40 , a syn 20 lat.

Zadanie2 :Mama ma 32 lata, a jej córka 12.Za ile lat mama będzie trzy razy starsza od córki?

32 + x = 3 ( 12 + x)

32 + x = 36 + 3x

x – 3x = 36 – 32

- 2x = 4 / : (-2)

x = -2 sprzeczność

Odp. Taka sytuacja się nie zdarzy w przyszłości.

Zadanie 3:

Zadanie 4:

Zadanie 5:

Praca domowa: Ćw.1,2,3/ 168Proszę przesłać mi zdjęcia rozwiązań ćwiczeń 6 / 180 i ćw.1,2,3/168 z prac domowych do 10 kwietnia 2020r. na adres: [email protected]

Klasa 1K

Temat : Punkty przecięcia prostej z osiami układu ( str. 112) ( Temat z 6 kwietnia 2020r.) 1.Są dwa rodzaje punktów przecięcia funkcji z osiami układu współrzędnych:a) punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OX, inaczej miejsca zerowe, obliczamy przez podstawienie za y lub f(x) zera i rozwiązanie równania, wynikiem jest punkt ( x1 ;0) ( x2 ;0) b) punkty przecięcia wykresu funkcji z osią OY, obliczamy przez wstawienia za x zera i wyliczenie y lub f(x), wynikiem jest punkt (0;f(0)) . 2.Oblicz miejsca przecięcia funkcji f(x)=2x+6 z osiami układu współrzędnych. f(0)=2⋅0+6=6 więc miejscem przecięcia funkcji z osią OY jest punkt (0;6)

Następnie obliczamy punkty przecięcia funkcji z osią OX przez podstawienie za f(x)=0: 2x+6=0 2x= −6/: 2 x = −3więc miejscem przecięcia funkcji z osią OX jest punkt (−3 ;0)

Odp: Punktami przecięcia funkcji f(x)=2x+6 jest z osią OX jest (−3 ;0),z osią OY jest (0;6)

3.Narysuj wykres funkcji f(x)= 13x i wyznacz punkty przecięcia z osiami układu.

Obierzmy dwie wartości argumentu x, np. x1 =-3 oraz x2=3Obliczamy wartości funkcji :

f(-3)= 13* (-3)= -1 oraz f(3) = 1

3 *3 =1

Rysujemy prostą przechodzącą przez dwa punkty (x1,y1) i (x2,y2) tzn. przez punkty (-3,-1) oraz (3,1).Pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu z osią X, znajdziemyrozwiązując równanie:1/3 *x=0 / *3 x=0

Jeżeli a jest różne od zera, to miejscem zerowym funkcji y=ax+b jest liczba x=-b/a Punkt przecięcia wykresu z osią Y otrzymamy obliczając wartość danej funkcji dla argumentu x=0, czyli f(0)=1/3* 0=0.Wykres funkcji przecina oś Y w punkcie (0,0)Wykres funkcji y=ax+b przecina oś Y w punkcie (0,b).

4. Ćw.4 / 113 ( zrobić)

Praca domowa: zad1/113 i zad.2/113 a,b,c,d

Proszę przesłać mi zdjęcia rozwiązań zadań z pracy domowej ( podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą) do 10 kwietnia 2020r. na adres: [email protected]

Klasa 2 TbsTemat : Zadania prowadzące do równań wielomianowych ( str. 60 ) ( Temat na 3lekcje z 6 i 8 kwietnia 2020 r. )

Zadanie 1Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest równy 192. Jakie to liczby? 2x- szukana liczba parzysta,2x + 2 - kolejna liczba parzysta,2x + 4- trzecia liczba 2x * (2x + 2)*(2x +4) = 1922x(4x² + 8x + 4x + 8 ) = 1928x³ + 24 x² + 16x -192=0Jednym pierwiastkiem tego równania jest x =2Musimy podzielić ten wielomian trzeciego stopnia przez(x-2) i otrzymamy(x-2)(8 x² + 40x +96)=08(x-2)( x²+ 5x +12)=0Powyższe równanie kwadratowe ma wyróżnik kwadratowy ujemny a zatem nie ma pierwiastków. Zatem jedynym rozwiązaniem naszego wielomiany jest x=2. Czyli2x=4, 2x+2=6, 2x+4=8Odp. Szukane liczby to 4,6,8 Zadanie 2 Iloczyn trzech liczb całkowitych, z których druga jest o 3 większa od pierwszej, a trzecia o 1 mniejsza od drugiej, jest równy -30. Wyznacz te liczby.

x- szukana liczba całkowitax+3 - druga liczba całkowitax+2 - trzecia liczba całkowitax*(x + 3)*(x+2)= -30x*(x²+2x+3x+6)+30 =0x³+5x² +6x +30 =0Jednym pierwiastkiem tego wielomianu jest x =-5 ( bo w(-5)=0)Dzielimy ten wielomian przez x+5 i otrzymujemy(x+5)(x² + 6)=0 ( proszę zrobić dzielenie pisemne)Wyróżnik kwadratowy równania kwadratowego jest ujemny a zatem nie ma ono rozwiązania, a zatem x=-5 jest jedynym rozwiązaniem równania wielomianowego. Czyli x = -5x+3 = -2x+2 = -3Odp. Szukane liczby to -5,-2,-3 .Zadanie 3Uczniowie pewnej klasy podzielili sie na trzy wieloosobowe grupy. W drugiej grupie było o 6 osób więcej niż w pierwszej, zaś w trzeciej grupie o 10 osób więcej niż w pierwszej. Iloczyn liczby uczniów grupy drugiej i trzeciej jest o 76 większy od sześcianu liczby uczniów pierwszej grupy. Ilu uczniów liczy ta klasa? x -I grupax+6 - II grupax+10- III grupa(x+6)(x+10)-76=x³

x²+ 10x + 6x + 60 - 76 = x³-x³ + x²+ 16x -16 =0Jednym pierwiastkiem tego równania jest x=1 ( proszę zrobić dzielenie pisemne)Dzielimy ten wielomian trzeciego stopnia przez (x-1) i otrzymujemy (x-1)(-x² +16)=0Powyższe równanie kwadratowe możemy rozwiązać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia i mamy( wyciągamy minus przed wszystko dla lepszego liczenia)-(x-1)(x+4)(x-4)=0zatem mamy trzy odpowiedzi x=1 x=4 i x=-4x=-4 odpada, bo grupa ludzi nie może być ujemnax=1 odpada, bo ma być grupa wieloosobowaZatem jest x=4 Dla x=4 I grupa 4, II grupa 4+6=10, III grupa 4+10=14 Zatem 4 +10 + 14 = 28Odp. Klasa liczy 28 uczniów.

Zadanie 4Iloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych jest o 65 większy od różnicy kwadratów liczby największej i najmniejszej. Znajdź te liczby.

Kolejne liczby to x ; x+2 i x+4

x(x+2)(x+4)+65=(x+4)²- x²x³+6x²+8x+65-(x+4)²+x²=0x³+6x²-81=0 ( proszę rozwiązać)(x-3)(x²+9x+27)=0x=3 czyli:x=3; x+2=5; x+4 =7Odp. Szukane liczby to 3,5,7.

Praca domowa: Ćw. 1/ 60 i ćw.2 a/ 60

Proszę przepisać notatkę do zeszytu i wykonać zalecone działania .Przesłać mi zdjęcia rozwiązań pracy domowej ( podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą) do 10 kwietnia 2020r. na adres: [email protected]

Klasa 2 C

Temat: Rozwiązywanie nierówności kwadratowych ( str.71 )

(Temat z 8 kwietnia2020r.)

1.Rozwiąż nierówność kwadratową: −6x ² +x−1<0 

Rozwiązanie nierówności kwadratowych sprowadza się w zasadzie do naszkicowania paraboli. Wystarczą same miejsca zerowe, a następnie określasz czy parabola jest skierowana ramionami do góry (a > 0) czy do dołu (a < 0) – o tym decyduje współczynnik przy x2. Patrząc na znak nierówności określasz, w których przedziałach wykres funkcji jest nad osią X (wartości funkcji są dodatnie), a w których pod osią X (wartości funkcji są ujemne).

W przykładzie wyżej mamy dość osobliwy przypadek, kiedy nie ma miejsc zerowych, ponieważ delta jest mniejsza od zera. Współczynnik przy x2 jest ujemny więc parabola jest skierowana ramionami do dołu. Rysujemy więc przybliżony (a nie dokładny) wykres funkcji kwadratowej. Patrzymy teraz na znak nierówności „<” ,który informuje nas, że rozwiązaniami są ujemne wartości funkcji – te pod osią X. W tym wypadku cały wykres jest pod osią X. Dlatego rozwiązaniami są wszystkie liczby rzeczywiste.

2. Rozwiąż nierówność kwadratową: x ² +9x+18>0 

Krok 1. Wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego. Nierówności kwadratowe rozwiązujesz obliczając na początku pierwiastki trójmianu kwadratowego. Można to zrobić na kilka sposobów:

korzystając ze znanych wzorów wyznaczasz deltę, następnie pierwiastki trójmianu kwadratowego

możesz przy pomocy wzorów skróconego mnożenia doprowadzić trójmian kwadratowy do postaci iloczynowej, a patrząc na postać iloczynową już łatwo określić pierwiastki nierówności

możesz w nierównościach niezupełnych wyłączyć x przed nawias otrzymując w prosty sposób postać iloczynową, a tym samym pierwiastki trójmianu kwadratowego

Wzór na deltę i miejsca zerowe(pierwiastki)

Krok 2. Zaznaczenie pierwiastków w układzie współrzędnych. Mając wyznaczone pierwiastki trójmianu kwadratowego zaznaczasz je w układzie współrzędnych.

Krok 3. Rysujesz parabolę ramionami skierowanymi do dołu lub do góry.

Jeśli współczynnik „a” trójmianu kwadratowego x2 + bx + c = 0 jest:

a > 0 to ramiona paraboli są skierowane do góry a < 0 to ramiona paraboli są skierowane do dołu

Krok 4. Patrząc na znak nierówności zaznaczasz na rysunku przedział rozwiązań nierówności.

Jeśli wzór wyrażający trójmian kwadratowy: x2 + bx + c jest większy od 0 wówczas zaznaczasz tę część osi X, w której wykres jest powyżej osi X.

Jeśli trójmian kwadratowy: x2 + bx + c jest mniejszy od 0 to zakreskowujemy tą część osi, której wartości są ujemne, czyli wykres leży pod osią X.

Pamiętamy również o zaznaczeniu miejsc zerowych:

kółkami zamalowanymi jeśli występuje znak nierówności ≥ lub ≤ kółkami pustymi jeśli masz znaki < lub >

Warto wspomnieć, że znaki ≥ lub ≤ powodują domknięcie przedziałów rozwiązania danej nierówności, zaś znaki < lub > powodują otwarcie tychże przedziałów w wybranych punktach.

Treść dostępna po opłaceniu abonamentu.3. Zad.1/73

a) 2x² - 6x +5 > 0 x=2

Podstawiam 2 za x i obliczam: 2 *2² - 6*2 +5 = 2*4 - 12 +5 = 8 -12+5= -4 +5 =1>0

Odp. Liczba 2 spełnia daną nierówność.

Praca domowa: Zad.1 b ,c/73 i zad 4 a,b,e,f/73

Proszę przesłać mi zdjęcia rozwiązań zadań z pracy domowej ( podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą) do 10 kwietnia 2020r. na adres: [email protected]

Klasa 3 KTemat : Bryły podobne str.170)( Temat 7 kwietnia 2020 r.)

1. Dwie bryły są podobne, jeśli odległości między punktami jednej figury są proporcjonalne do odległości między odpowiednimi punktami drugiej figury. Stosunek tych odległości nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy literką k.2. Przykład 1/ 170 ( przerysować i przepisać)3.Mając dwa kwadraty , oblicz skalę podobieństwa mniejszego do większego.

4. Ćw.1/ 170 (zrobić)5. Twierdzenie str. 170 (przepisać)6. Mając pola figur podobnych P = 64 cm i P=1600mm oblicz skalę podobieństwa mniejszej figury do większej.

Praca domowa: Zad.1/ 170 Zad.3/ 171 Przerysować tabelkę do zeszytu i pod tabelką wszystkie obliczenia.

Proszę przesłać mi zdjęcia rozwiązań ( podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą) do 10 kwietnia 2020r.na adres: [email protected]

Klasa 3 TfgTemat : Funkcje wykładnicze ( str. 104) ( Temat z 6 kwietnia 2020r.)

1. Definicja funkcji wykładniczej - str. 105 ( przepisać) 2. Przykład 1/ 104 ( przepisać wzór, tabelkę i wykres) 3. Przykład 2/ 104 ( przepisać wzór, tabelkę i wykres) 4. Przykład 3/ 105 ( przepisać wzór, tabelkę i wykres) 5. Własności funkcji wykładniczej a) dla a>1 b) dla a<1(Własności te przepisać z załączonego poniżej materiału i przeanalizować wszystkie wykresy)

GŁÓWNAMATURA

Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji wykładniczych o podstawie a>1

Własności funkcji wykładniczej o podstawie a>1

Dziedzina: R . Zbiór wartości: R + . Monotoniczność: funkcja jest rosnąca. Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa. Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie: f(x)>0, dla x∈R Miejsca zerowe: funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcje wykładnicze o podstawie a<1

Bardzo podobnie wyglądają wykresy innych funkcji wykładniczych o podstawie a<1

Własności funkcji wykładniczej o podstawie a<1

Dziedzina: R Zbiór wartości: R + Monotoniczność: funkcja jest malejąca. Różnowartościowość: funkcja jest różnowartościowa. Funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie: f(x)>0, dla x∈R Miejsca zerowe: funkcja nie ma miejsc zerowych.

Praca domowa: Ćw.3 /105

Temat: Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej (str. 108) (Temat na lekcje z 8 kwietnia 2020r.)

1. Przykład 1/ 108 ( przepisać + wykres)2. Przykład 2/ 108 ( przepisać + wykres)3. Ćw. 1 a/ 108 (zrobić jak w przykł.1)4. Ćw. 2 a/ 108 ( zrobić jak w przykł.2)

Praca domowa: Ćw. 1 b,c / 108 i Ćw. 2 b,c/ 108

Proszę zadania zrobić w zeszycie i przesłać mi zdjęcia rozwiązań obu prac domowych do 10 kwietnia2020r. na adres: [email protected]

Klasa 4 Tbe

Temat : Rozkład wielomianów na czynniki - powtórzenie ( str.245 -250 podręcznik kl.3) ( Temat z 7 kwietnia 2020 r.)

1. Przypomnienie metod rozkładu wielomianów na czynniki: a) wyłączanie wspólnego czynnika przed nawiasb) grupowanie wyrazówc) zastosowanie wzorów skróconego mnożeniad) zastosowanie tw. Bezoute"a ( dzielenie pisemne wielomianów)

2.Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawiasa) w(x) = 12x3 + 48x2 = 12x2 ( x + 4) b)w(x) = 8x3 + 16x2 + 8x = 8x( x2 + 2x +1) = 8x( x +1 )2

c) w(x) = 2x5 – x4 – x3 = x3 (2x2 – x – 1) = 2x3 ( x + 12)( x – 1 )

2x2 – x – 1 =0 ∆ = ( -1)2 – 4 ∙ 2 ∙ (-1) = 9

x1 = - 12 x2 = 1

3. Grupowanie wyrazówa) u(x) = x 3 + 3x 2 – x – 3 = x2 (x + 3) – 1(x + 3) = ( x + 3 )(x2 – 1) = ( x + 3 )(x – 1)(x + 1)b) u(x) = x3 + 4x2 – 25x – 100 = = x2 (x + 4) – 25(x + 4) = ( x + 4 )(x2 – 25 )= = ( x + 4 )(x – 5)(x + 5)

4. Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia a) w(x) = 3x3 + 6x2 + 3x = 3x ( x2 + 2x +1) = 3x( x +1 )2 b) w(x) = 2x3 - 4x2 + 2x = 2x (x2 - 2x +1) = 2x( x -1 )2

5. Zastosowanie tw. Bezoute"a ( dzielenie pisemne wielomianów)

w (x) = 2x3 -5x² +4x-1 = ( x-1)(2x²- 3x +1) =( x-1) (x - 12)( x - 1)= (x - 1

2)( x - 1)²

2x2 –3 x + 1 =0 ∆ = ( -3)2 – 4 ∙ 2 ∙ 1 = 9 - 8 = 1

x1 = 12 x2 = 1

Praca domowa: Zad 5 a,b,c/246 i Zad6 a,b/246

Temat: Równania i nierówności wielomianowe - powtórzenie (str. 245 -250 podręcznik kl.3) ( Temat na 2 lekcje z 8 kwietnia 2020r.)

1.Rozwiąż równania:

a) x6 + x = x + 9x4 x6 + x - x - 9x4 = 0 x6 - 9x4 = 0 x4 ( x2 - 9) = 0 x4 ( x -3)( x + 3) = 0 x4 = 0 lub x – 3 =0 lub x + 3 = 0 x=0 lub x = 3 lub x = - 3

Odp. Rozwiązaniami równania są liczby: 0, -3, 3.

b) 3x3 + 4x2 + x = 0 - x ( 3x2 + 4x + 1 ) = 0 x = 0 lub 3x2 + 4x + 1 = 0 ∆ = 42 – 4 ∙3∙1 = 16 -12 = 4 ∆ > 0 , √∆ = 2

x1 = −4−22 ∙3 = −6

6=−1 lub x2 = −4+2

2 ∙3 = −26

=−13

odp. Rozwiązaniami równania są liczby: 0, -1, −13

2.Zad 8 a,b,c/246

3.Zad 17 a,f/248

Praca domowa: Zad.13/ 247 i zad 18/248 Proszę przesłać mi zdjęcia rozwiązań zadań z obu prac domowych ( podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą) do 10 kwietnia 2020r. na adres: [email protected]