Základy hydrauliky vodních toků Jan Unucka, 2014
Síly ovlivňující proudění
1. Gravitace
2. Tření
3. Coriolisova síla
4. Vítr
5. Vztlak (rozdíly hustot),
hustotní anomálie
vody
6. Tlak (atmosférický,
hydrostatický)
Hydrostatický tlak 1
2N.m ATMABS PghP
Atmosférický tlak (PATM) na hladině 0 m n.m. při teplotě 0 °C odpovídá tlaku sloupce
vody o výšce 10.3 m.
Manometrický tlak (gauge pressure) je hodnota, o kterou převyšuje tlak kapaliny
atmosférický tlak (PG = PABS – PATM).
Hydrostatický tlak 2
Jezový segment o délce 3 m napříč korytem. Pokud vzdouvá tok, tak
na horním segmentu je výška hladiny 3.5 m a na dolním 2.0 m.
F1 = 1000*9.81*(3.5/2)*(3.5*3.0)= 180.26 x103 N.m-2
F2 = 1000*9.81*(2.0/2)*(2.0*3.0) = 58.86 x103 N.m-2
Y1 = 3.5/3 = 1.17 m
Y2 = 2.0/3 = 0.67 m
FR = F1 – F2 = 121.40 N.m-2
YR = 180.26x103*1.17 – 58.86x103*0.67 = 1.41 m
AgHF G
Hydrostatický tlak 3
Vertikální výška projekce, BC = 5.0 * cos 60° = 2.5 m
HG = 2.0 + (2.5/2) = 3.25 m
A = 2.5 * 3.5 = 8.75 m2
FH = 1000*9.81*(2.0+(2.5/2)*8.75 = 278.87 N.m-2
AEFH :
AB = 5.0*sin 60° = 4.33 m , pak DE = 5.00 – 4.33 = 0.67 m
ACE = (30/360)**5.02 = 6.54 m2
ACD = (1/2)*4.33*2.5 = 5.41 m2
ADE = 6.54 – 5.41 = 1.13 m2, pak AEFH = 1.13 + (0.67 * 2.00) = 2.47 m2
VDW = 2.47 * 3.5 = 8.65 m3
FV = 1000*9.81*8.65 = 84.86x103 N
= (278.972 + 84.862)1/2 = 291.59 N.m-2 2/122
VH FFF
Hydrostatický tlak 4
Dále viz rovňové plochy, hladinové plochy,
Pascalův teorém a hydrostatické paradoxon
• Průtočná plocha (P, A) – plošný obsah řezu proudu
rovinou kolmou v každém bodě k vektoru bodové
rychlosti
• Hydraulický poloměr – poměr plochy k omočenému
obvodu příčného profilu (R = P/O)
• Froudovo číslo (Fr) – poměr sil setrvačnosti k silám
gravitačním
• Nadkritická rychlost – Fr > 1 a převládá vektor
setrvačnosti, bystřinný typ proudění, malá hloubka a
velký sklon, rozčeřená a nerovná hladina
• Subkritická rychlost – Fr < 1 a převládá vektor
gravitace, říční typ proudění, dostatečná hloubka a malý
sklon, klidná hladina, malý sklon
• Kritická rychlost – přechodová rychlost Fr = 1
Několik důležitých pojmů 1
Několik důležitých pojmů 2
• Normální hloubka (DN, yN) – hloubka v úseku určité
délky a homogenního příčného profilu, u které dochází k
rovnoměrnému proudění
• Průměrná hydraulická hloubka (DM, yM) – průměrná
hloubka v korytě o nepravidelných a
nepravoúhelníkových příčných profilech
• Kritická hloubka (DC, yk) – hloubka na vrcholu křivky
energetické výšky (specifické energie), přechod mezi
říčním (subkritickým) a bystřinným (nadkritickým)
prouděním, kritická rychlost je přibližně rovna rychlosti
šíření vln na povrchu kapaliny, Fr = 1
Froudovo & Reynoldsovo číslo
v rychlost proudění [m.s-1]
g gravitační zrychlení
[9.81 m.s-2]
D hydraulická hloubka [m]
gD
vFr
dvsRe
vs střední rychlost
proudění [m.s-1]
d střední hloubka vody
[m]
υ kinematická viskozita
vody [m2.s-1]
Pokud Fr < 1, jedná se o subkritické proudění, kde převažují gravitační síly a hydraulická
hloubka je dostatečná. Pro superkritické proudění (Fr > 1) dominuje vliv rychlosti proudění
a hloubka je nedostatečná. Superkritické proudění je typické např. pro kanály
bezpečnostních přelivů vodních děl a povodňové situace.
Příklad č. 1 – obdélníkové koryto
Q = 2.28 m3.s-1
n = 0.014
I = 0.006 m.m-1
b = 2 m
IRn
v 3/21
IPRn
Q 3/21
O
PR
2*nn ybyP
22* nyO
006.0*22
2*2*
014.0
128.2
3/2
n
nn
y
yy
3/5
3/2
2*22
1413.0 n
n
yy
myn 45.0
Příklad č. 2 – lichoběžníkové koryto
Q = 200 m3.s-1
n = 0.025
I = 0.0006 m.m-1
BW = 1.5ynIR
nv 3/21
525.1525.1422/122 nnnnn yyyyyBWO
222 5.325.122
12 nnnnnn yyyyyBWyP
IPRn
Q 3/21
0006.0586.05.3025.0
1200
3/22
nn yy
3/840142342200 ny.
8/383,284ny
yn = 5.25062 m
BW = 7.875 m
TW = 39.375 m
Froudovo & Reynoldsovo číslo
Přechod mezi laminárním a turbulentním prouděním je v rozmezí hodnot 500 až
2000 pro otevřená koryta.
Specifická energie a kritické proudění
g
Vz
pH
2
2
kde = g a y = p/ = hloubka, pak:
g
VyE2
2
Pro rovnoměrné proudění (V = Q/P)
můžeme zjednodušit:
2
2
2gP
QyE
Pro obdélníkové koryto pak:
22
2
2 ygb
QyE
dy
dP
Pg
Q
dy
dE3
2 2
21 nebo
cyyB
P
g
Q
32
Pro neobdélníkové koryto pak:
Příklad č. 3 – výpočet kritického proudění
Q = 14 m3.s-1
n = 0.012
I = 0.0006 m.m-1
B
P
g
Q 32
P = y2
yO 22
y
y
y
O
PR 2
22
2
g
Q
B
P 23
81.9
14
2
26
c
c
y
y
96.395 cy
myc 09.2
yn … normální hloubka
(Dle Manningova vztahu
rovnoměrné proudění)
yc … kritická hloubka
y … aktuální hloubka
Hydraulický skok
2
181 2
1
1
2
Fr
y
y
Fr1 … Froudovo číslo počátečního úseku
2
12
2
12
1
2
2
2
y
yy
g
yVyy
y
Bernoulliho rovnice
Y1, Y2 hloubka vody v uvažovaných příčných průřezech 1, 2 [m]
Z1, Z2 střední výška dna v uvažovaných příčných průřezech (= hydraulický spád) [m]
v1, v2 střední profilové rychlosti [m.s-1]
α1, α2 váhové koeficienty rychlosti [-]
g gravitační zrychlení [m.s-2]
he ztráta energie [m]
ehg
vZY
g
vZY
22
2
1111
2
2222
g
v
g
vCSLh Fe
22
2
11
2
22
L vážená průtočná délka úseku [-]
S
F
reprezentativní hodnota sklonu a
drsnosti na uvažovaném
úseku [-]
C koeficient kontrakce / expanze [-]
Saint Venantovy rovnice
0
0
qx
Q
t
S
qx
Q
t
S
qx
Q
t
S
xqtQtxS
xqtQQtxS
xqttQQtxS
io
oi
Odvození rovnice kontinuity (Saint Venant)
Kinematická vlnová aproximace I.
Pro koryta toků je rovnice kontinuity v diferenciálním tvaru (Saint Venant):
Hhtxpztxq
x
txQ
t
txAjijiji
jiji
,,,
,,,,,
,,
A – průtočná plocha
x – vzdálenost ve směru toku
t – čas
qi,j(x,t) – specifický boční přítok (ze srážek,
bočních zdrojů, popř. odběrů)
pzi,j(x,t) – podzemní přítok, který lze v rámci
schematizace
vyjádřit zjednodušeně jako odtok z podzemní
nádrže sestrojené pro každou plochu
samostatně
Kinematická vlnová aproximace II.
Hybnostní vztah dle Manninga nabývá tvaru:
Bk,l(x) – šířka plochy
Sk,l – sklon plochy
n – Manningův koeficient drsnosti
yk,l(x,t) – výška odtoku na ploše
Ppn
txySxBtxQ sji
lklklk
lk ,,
3/5
,
2/1
,,
, ,,**
,
Dynamická vlnová aproximace
0
t
y
x
Uy
x
yU
00
fSSg
x
yg
x
UU
t
U
x vzdálenost v korytě [m]
g gravitační zrychlení [m.s-2]
S0 sklon koryta [-]
y hloubka vody [-]
U rychlost [m.s-1]
Sf drsnostní sklon, [-]
Metoda Muskingum
QIdt
dS
S objem (storage) [m3]
t čas (time) [s]
I přítok (inflow) [m3.s-1]
Q odtok (outflow) [m3.s-1]
QXXIKS 1
K objemový odtokový koeficient proporcionality mající časový rozměr [s]
X váhový koeficient nabývající hodnot 0<X <0.5 (Maidment 1993)
j
jjjj
j
jj
t
QXXIQXXIK
t
SS
dt
dS
11 111
jjjj QCICICQ 32111
tXK
KXtC
12
21
tXK
KXtC
)1(2
22
tXK
tXKC
12
123
Zároveň platí, že C1 + C2 + C3 = 1 a K/3 t K.
Metoda Muskingum-Cunge
wc
xK
xJc
QX
w
p15,0
x délka úseku [m]
cw rychlost kinematické vlny (wave celerity) na vstupním úseku [m.s-1]
J sklon dna úseku [-]
Qp průtok na jednotku plochy [m3.s-1]