Page 1
1
ZJAWISKA TRANSPORTU ORAZ ZASADA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO
1.1. Zjawiska transportu.
Krystaliczne ciało stałe jest tradycyjnym obiektem bada� mechaniki
kwantowej. Wykorzystuj�c formalizm mechaniki kwantowej wytłumaczono
przyczyn� istnienia ciał o ró�nych wła�ciwo�ciach elektrycznych tj. dielektryków,
półprzewodników i metali, wyja�niono obserwowan� zale�no�� ciepła wła�ciwego
i przewodnictwa metali od temperatury, oraz natur� magnetyzmu ciał stałych
i rozwini�to zagadk� nadprzewodnictwa. Zjawisko przewodnictwa cieplnego, obok
kilku innych termodynamicznych procesów nierównowagowych, zaliczamy do tzw.
zjawisk transportu.
Podstawowe termodynamiczne parametry stanu, tj. temperatura, ci�nienie itp. s�
�ci�le zdefiniowane jedynie w stanie równowagi termodynamicznej. W odniesieniu do
stanów nierównowagowych okre�lenie funkcji termodynamicznych mo�e sta� si� b�d�
niejednoznaczne, b�d� pozbawione sensu fizycznego. Istnieje jednak szeroka klasa
zjawisk nierównowagowych, których opis jest stosunkowo prosty, poniewa�
nawi�zuje do opisu stanów równowagi. Do takich zjawisk nale�� zjawiska
przenoszenia lub transportu, do których zaliczamy: przewodnictwo cieplne
i elektryczne, dyfuzj� i lepko��. W dalszej cz��ci tej pracy uwag� swoj� skupi� na
przewodnictwie cieplnym.
Przewodnictwo cieplne polega na przekazywaniu energii pomi�dzy cz��ciami ciała,
których temperatury s� ró�ne. Z tym zjawiskiem mamy do czynienia wówczas, gdy
wydzielon� cz��� ciała podgrzejemy. Po pewnym czasie dzi�ki przekazywaniu energii,
temperatura całego ciała wyrówna si�. Wielko�ci� przenoszon� jest energia
wewn�trzna ciała, a zjawisko zachodzi dzi�ki temu, �e w tym ciele wyst�puje gradient
temperatury.
Wprawdzie mechanizmy przewodno�ci cieplnej, elektrycznej, lepko�ci i dyfuzji
s� zupełnie od siebie ró�ne, to maj� wspólne, makroskopowe cechy, co da si� wyrazi�
ogólnym równaniem transportu:
Page 2
2
gradAj β−=
gdzie j jest wektorem g�sto�ci strumienia odpowiedniej wielko�ci (energii
wewn�trznej, ładunku, masy, p�du), β jest współczynnikiem proporcjonalno�ci
(przewodno�ci cieplnej, elektrycznej, dyfuzji, lepko�ci), za� A jest zale�n� od
współrz�dnych przestrzennych, wielko�ci� skalarn�, której gradient powoduje dane
zjawisko (temperatur�, potencjałem, g�sto�ci�, pr�dko�ci�). Dokładnie tak� sam�
posta� ma prawo Fouriera, które opisuje nam przewodnictwo cieplne. Prawo to
zostanie szerzej omówione w rozdziale drugim. Wszystkie procesy, w których
parametry stanu z biegiem czasu zmieniaj� si�, nosz� nazw� niestacjonarnych.
1.2. Sposoby przekazywania ciepła.
Podstawy teoretyczne opisuj�ce proces przekazywania ciepła wewn�trz
pewnego obiektu lub mi�dzy kilkoma podobiektami mog�cymi oddziaływa� na siebie
obejmuj� jeden z obszernych rozdziałów termodynamiki. Podstawowym prawem
przekazywania ciepła jest druga zasada termodynamiki, która głosi, �e samoczynne
przekazywanie ciepła jest mo�liwe tylko w kierunku spadku temperatury,
za� o intensywno�ci przekazywania ilo�ci ciepła decyduje głównie ró�nica temperatur.
Przekazywanie ilo�ci ciepła jest nauk� opart� na termodynamice obiektów nie
znajduj�cych si� w równowadze termicznej. Ilo�ciowe uj�cie wymienionej energii
musi podlega� pierwszej zasadzie termodynamiki. Badania naukowe wykazały, �e
przekazywanie ilo�ci ciepła nie stanowi jednolitej cało�ci pod wzgl�dem metod
stosowanych w rozwi�zaniu poszczególnych problemów. Dlatego wyodr�bnia si� trzy
podstawowe, ró�ne pod wzgl�dem fizycznym, sposoby realizacji przekazywania ilo�ci
ciepła zwane: przewodzeniem ciepła, konwekcj� oraz przekazywaniem ciepła przez
promieniowanie. Ka�dy z tych sposobów przekazywania ciepła jest opisywany innymi
podstawami teoretycznymi.
1.2.1. Przewodnictwo cieplne.
Przewodzenie ciepła, jak wy�ej było wspomniane, polega na bezpo�rednim
przekazywaniu energii kinetycznej jednej cz�stki innej cz�stce, a wi�c jest mo�liwe
tylko wówczas gdy wyst�puje bezpo�redni kontakt mi�dzy molekułami
Page 3
3
(cz�steczkami). Cz�stki znajduj�ce si� w cieplejszych miejscach ciała s� obdarzone
wi�ksz� energi� ni� pozostałe i cz��� swej energii oddaj� bezpo�rednio cz�stkom
s�siednim, nale��cym do chłodniejszej cz��ci ciała. Proces ten trwa dopóty, dopóki nie
nast�pi mo�liwie równomierny rozkład pr�dko�ci w całym ciele, ewentualnie w całej
przestrzeni. Przewodzenie ciepła mo�e odbywa� si� zarówno w substancjach stałych,
jak i w cieczach oraz gazach. Jednak�e ciecze i gazy wykazuj� mniejsz� zdolno��
przewodzenia ciepła (z wyj�tkiem ciekłych metali).
Teoria zagadnie� obejmuj�cych przewodzenie ciepła sprowadza si� do rozwi�zania
równa� ró�niczkowych cz�stkowych w zmiennych warunkach brzegowych.
Metale, które s� najlepszymi przewodnikami elektryczno�ci, s� równocze�nie
najlepszymi przewodnikami ciepła. Przyczyna tkwi w tym, �e ciepło w metalach jest
przekazywane nie tylko przez drgaj�ce atomy, lecz tak�e przez wyst�puj�ce w nich
swobodne elektrony.
1.2.2. Konwekcja.
Cho� gazy i ciecze �le przewodz� ciepło, dobrze jednak przekazuj� ciepło przez
unoszenia, czyli konwekcje. Konwekcja polega na w�drówce substancji wraz ze swym
ciepłem z jednego miejsca na inne. Wyró�niamy dwa rodzaje konwekcji, mianowicie
konwekcj� swobodn�, która wyst�puje wówczas gdy ruch o�rodka (płynu lub gazu)
wywołany jest jedynie ró�nic� temperatur oraz konwekcj� wymuszon� – gdy ruch
o�rodka wywołany jest za pomoc� pompy lub wentylatora.
Dobrymi przykładami konwekcji s� wiatry, centralne ogrzewanie oraz pr�dy morskie,
np. Golfstrom, który unosi ciepło z Zatoki Meksyka�skiej a� do północno –
wschodnich wybrze�y Europy i dalej do Morza Arktycznego. Je�eli warunki, w jakich
znajdzie si� gaz, uniemo�liwiaj� powstawanie pr�dów, a zatem i unoszenie ciepła, to
gaz staje si� dobrym izolatorem ciepła; przykładem mo�e tu by� warstwa powietrza
mi�dzy podwójnymi oknami i podwójnymi drzwiami, wypełnione powietrzem puste
miejsca i pory w ubraniu, w wacie, w słomie itd. Najlepszym izolatorem cieplnym jest
pró�nia, przestrze� pozbawiona powietrza i innych gazów; wobec braku cz�steczek
nie jest tu mo�liwe ani przewodzenie, ani unoszenie ciepła. Najbardziej znane jest
zastosowanie izoluj�cej wła�ciwo�ci pró�ni w termosie. Jego �cianki s� podwójne,
Page 4
4
a przestrze� mi�dzy nimi opró�niona jest z powietrza. Aby utrudni� przenoszenie
ciepła przez promieniowanie, �cianki termosu s� posrebrzane, wskutek czego odbijaj�
promieniowanie cieplne.
1.2.3. Promieniowanie.
W pustej przestrzeni istnieje jednak trzecia mo�liwo�� transportu ciepła – przez
promieniowanie. W taki wła�nie sposób dociera ciepło ze Sło�ca na Ziemi�
przebywaj�c 150 milionów kilometrów przez pozbawion� substancji przestrze�
kosmiczn�.
Energia promienista zaabsorbowana przez o�rodek materialny jest zamieniana na
ciepło, co powoduje, �e w ten sposób mo�emy ogrzewa� dane ciało.
Ogrzewaj�c ciało dostarcza si� mu energi� powoduj�c� wzmo�enie drga� atomów
i cz�steczek, które przechodz� w stan wzbudzony (w tym przypadku wzbudzony
termicznie, czyli za pomoc� ciepła). Stany wzbudzone trwaj� jednak bardzo krótko, na
ogół tylko ułamek sekundy. Po upływie tego czasu atomy i cz�steczki na powierzchni
ciała przechodz� z wy�szego stanu energetycznego w stan ni�szy i ró�nica energii
zostaje wypromieniowana w postaci fotonu. Fotony w�druj� w przestrzeni po liniach
prostych z pr�dko�ci� �wiatła jako niewidzialne promieniowanie cieplne dopóty,
dopóki nie zostan� pochłoni�te przez inne cz�stki i wyzyskane do wzbudzenia, a wi�c
do ogrzania. Energia promieniowania ulega przemianie w energi� drga� atomów
i cz�steczek.
Dodatkow� cech� charakterystyczn� przekazywania ilo�ci ciepła przez
promieniowanie jest to, �e odbywa si� ono mi�dzy substancjami nie b�d�cymi
w kontakcie ze sob�.
W warunkach rzeczywistych wy�ej wymienione sposoby przekazywania ilo�ci
ciepła bardzo rzadko wyst�puj� pojedynczo, a w wi�kszo�ci przypadków stanowi� ich
ł�czne przekazywanie ciepła.
Cz�sto w praktyce in�ynierskiej mo�na pomin�� jeden ze sposobów przekazywania
ciepła. Je�li w danym zjawisku wyst�puje równocze�nie promieniowanie
i przewodzenie, to mo�na pomin�� ten sposób przekazywania ciepła, który ma
mniejsze oddziaływanie na całe zjawisko.
Page 5
5
1.3. Mechanizmy przewodzenia ciepła.
1.3.1. Mechanizm przewodzenia ciepła w gazach.
Kinetyczna teoria gazów
Teoria kinetyczna gazów (nazywana te� teori� kinetyczno-molekularn� albo
kinetyczno-cz�steczkow�) jest efektem zastosowania zasad dynamiki i prostych
technik u�redniania do układu cz�steczek okre�lonego w mikroskopowej definicji gazu
doskonałego. Jest pierwotn� i okrojon� wersja mechaniki statystycznej. Pozwala
ł�czy� kinematyczne wielko�ci dotycz�ce pojedynczych cz�stek gazu
z termodynamicznymi parametrami takimi jak ci�nienie czy temperatura. Rozwin�li j�
m.in. R. Boyle, D. Bernoulli, R. Clausius i C. Maxwell.
Gaz - zgodnie z przyj�tym modelem - to zespół wielu cz�steczek - punktów
materialnych poruszaj�cych si� chaotycznie. Cz�steczki te zderzaj� si� ze sob� oraz
ze �ciankami naczynia i wła�nie zderzenia ze �ciankami s� dla nas szczególnie
interesuj�ce. Podczas tych zderze� zmienia si� wektor pr�dko�ci cz�steczek. Zgodnie
z drug� zasad� dynamiki F = m (∆v/∆t) do zmiany pr�dko�ci ciała potrzebna jest siła.
W tym przypadku jest to siła z jak� �cianka działa na cz�steczk� podczas zderzenia,
a skoro �cianka działa na cz�steczki gazu, to, zgodnie z trzecia zasad� dynamiki,
cz�steczki gazu oddziałuj� pewn� sił� na �cianki. Widzimy wi�c, �e na poziomie
mikroskopowym za ci�nienie gazu wywierane na �cianki naczynia odpowiedzialne jest
oddziaływanie cz�steczek gazu ze �ciankami podczas zderze�.
Poni�ej pokazane jest wyprowadzenie wzoru na ci�nienie gazu wywierane na �cianki naczynia.
Rozwa�my gaz - zespół cz�steczek chaotycznie poruszaj�cych si� w pudle -
sze�cianie o kraw�dzi l. Podczas spr��ystych zderze� z wybran� - powiedzmy "doln�
poziom�" - �ciank� zmienia si� na przeciwn� składowa pr�dko�ci prostopadła do
�cianki, dwie pozostałe składowe - le��ce w płaszczy�nie �cianki - nie ulegaj�
zmianie.
Wektory p�du i cz�steczki przed i po zderzeniu mo�emy zapisa�:
( )zyxprzed mvmvmvp ,,=
Page 6
6
( )zyxprzed mvmvmvp −= ,,
co ilustruje poni�szy rysunek.
Zmiana p�du dana jest przez:
( )zprzedpo mvppp 2,0,0 −=−=∆
a wi�c ma tylko jedn� składow� i jej warto�� równa jest:
zmvp 2−=∆
Druga zasada dynamiki daje natychmiast warto�� siły działaj�cej na cz�stk�:
tmv
tp
F z
∆−=�
�
���
�
∆∆= 2
Znak minus oznacza tu, �e siła działaj�ca na cz�steczk� skierowana jest "od �cianki".
Trzecia zasada dynamiki pozwala zauwa�y�, �e siła z jak� cz�steczka działa na
�ciank� równa jest:
tmv
F z
∆= 2
Czas mi�dzy zderzeniami to czas potrzebny do przebycie przez cz�steczk�
drogi "tam i z powrotem" pomi�dzy �ciankami naczynia: zvl
t2=∆ , i takiej warto�ci
czasu u�yjemy obliczaj�c �redni� warto�� siły.
lmv
vl
mvF z
z
z2
22 ==
Jest to wkład od jednej cz�steczki. Sumuj�c wkład od wszystkich cz�steczek
otrzymamy:
Page 7
7
( )...22
21 ++= zz vv
lm
F
W nawiasie sumujemy tu kwadraty z-owej składowej wszystkich cz�steczek.
Praw� stron� podzielimy i pomno�ymy przez liczb� cz�steczek N:
( )Nvv
lmN
F zz ...22
21 ++=
Łatwo zauwa�y�, �e drugi ułamek jest po prostu �redni� kwadratu z-owej
składowej pr�dko�ci w całym zespole:
( ) { }222
21 ...
zzz v
Nvv =++
Wzór na sił� przybiera posta�:
{ }2zv
lNm
F =
Ci�nienie z kolei jest stosunkiem siły działaj�cej na powierzchni� (w naszym
przypadku �ciank�) do pola tej powierzchni (u nas kwadratowa �ciana sze�cianu ma
pole S = l2)
{ } { } { }22
3
2
zzz v
VvM
lvNm
SF
p ρ====
Pozostaje uwolni� si� od wybranego do rozwa�a� kierunku z. Dla ka�dej
cz�steczki mamy v2 = vx2 + vy
2 + vz2, co dla �redniej w zespole daje:
{v2} = {vx2} + {vy
2} + {vz2}
Poniewa� �aden kierunek nie jest wyró�niony i �rednie pr�dko�ci we
wszystkich kierunkach s� równe wi�c {vx2} = {vy
2} = {vz2} . Mo�emy napisa�:
{v2} = {vz2} + {vz
2} + {vz2} = 3{vz
2}
czyli
{ } { }22
31
vvz =
Wzór na ci�nienie da si� wi�c zapisa� nast�puj�co:
{ }2
31
vp ρ=
Page 8
8
gdzie v2 oznacza �redni� w całym zespole warto�� kwadratu pr�dko�ci cz�stki a ρ jest
g�sto�ci� gazu.
Inn� popularn� posta� tego wzoru otrzymujemy pami�taj�c, �e oraz M = Nm -
ilo�� cz�steczek pomno�ona przez mas� cz�steczki.
Daje to:
{ }2
31
vNmpV =
Iloczyn masy cz�steczki i kwadratu pr�dko�ci prowadzi do poj�cia energii kinetycznej.
Wzór mo�na wi�c zapisa� jako:
{ }KENpV32=
Oczywi�cie { } 2
21
mvEK = oznacza �redni� warto�� energii kinetycznej cz�steczek
gazu. Kinetyczna interpretacja temperatury gazu
Znajomo�� wyprowadzonego powy�ej wzoru na ci�nienie gazu pozwala na
podanie kinetycznej interpretacji temperatury. Ł�cz�c zale�no�� KNEpV32=
z równaniem Clapeyrona NkTpV = otrzymujemy:
KNENkT32=
czyli
kTEK 23=
Wida� wi�c, �e temperatura jest niczym innym jak miar� �redniej energii
kinetycznej cz�steczek gazu i �e energia cz�steczek gazu zale�y wył�cznie od
temperatury.
Jest to podstawowy wynik kinetycznej teorii gazu doskonałego. Pami�taj�c, �e 2
21
mvEK = , mo�emy z powy�szego zwi�zku otrzyma� "termiczn�" posta� wzoru na
�redni� pr�dko�� kwadratow�:
VM=ρ
Page 9
9
mkT
vv kw�r
32, ==
Ten ciekawy rezultat wi��e wprost pr�dko�� cz�steczek z temperatur� i mas�.
Dla gazu składaj�cego si� z cz�steczek o ró�nych masach, w danej temperaturze
wi�ksze pr�dko�ci (oczywi�cie bior�c pod uwag� warto�ci �rednie) b�d� miały
cz�steczki o mniejszej masie. Tym wła�nie tłumaczymy nieobecno�� wodoru
w ziemskiej atmosferze. Cz�steczki wodoru, jako najmniej masywne, miały
najwi�ksze pr�dko�ci, w szczególno�ci cz�sto wi�ksze od drugiej pr�dko�ci
kosmicznej (pr�dko�� ucieczki) co spowodowało ich odpływ w przestrze� kosmiczn�.
Ró�nicowanie pr�dko�ci w zale�no�ci od masy jest te� podstaw� rozdzielania
izotopów. Cz�steczki zawieraj�ce l�ejsze j�dra szybciej dyfunduj�. Wielokrotnie
powtarzany proces dyfuzji przez porowate przegrody prowadzi do wyselekcjonowania
cz�stek ró�ni�cych si� mas�, tak na przykład prowadzi si� proces wzbogacania uranu.
Przewodnictwo cieplne gazów.
Z kinetycznej teorii gazów, po przyj�ciu pewnych uproszcze�, mo�na
wyprowadzi� wzór na przewodnictwo cieplne gazów .
Strumie� cz�stek w kierunku x wynosi { }xvn21 . Gdzie n jest koncentracj� cz�stek;
w warunkach równowagi istnieje strumie� cz�stek równy co do warto�ci, lecz
przeciwnie skierowany. Je�li przez cw oznaczymy ciepło wła�ciwe cz�stki, to
wówczas przy przesuni�ciu jej z obszaru o temperaturze T+∆T do temperatury T
energia cz�stki wynosi� b�dzie cw∆T. Ró�nica temperatur ∆T mi�dzy kra�cami drogi
swobodnej cz�stki wynosi teraz:
τxvdxdT
T =∆
gdzie τ jest �rednim czasem mi�dzy zderzeniami.
Wypadkowy strumie� energii (b�d�cy wynikiem obu strumieni cz�stek) wynosi
zatem:
{ }dxdT
cvndxdT
cvnq wwx ττ 22
31=><=
gdzie:
Page 10
10
cw - ciepło wła�ciwe
Je�eli v jest stałe, tak jak w przypadku fononów, to powy�szym wzór mo�emy napisa�
w postaci:
dxdT
Cvlq31=
w którym �rednia droga swobodna cz�steczek wynosi l=vτ, a C=cwn. Porównuj�c ten
wzór z wzorem na strumie� energii cieplnej w stanie ustalonym, mo�emy stwierdzi�,
�e współczynnik przewodno�ci cieplnej jest równy Cvl31=λ .
1.3.2. Mechanizm przewodzenia ciepła w ciałach stałych.
Jednym z fundamentalnych rezultatów kwantowej fizyki ciała stałego jest
wniosek, �e struktura energetyczna kryształu, przy niezbyt wysokich temperaturach,
jest podobna do struktury energetycznej gazu nie oddziałuj�cych obiektów
kwantowych zwanych quasi-cz�stkami. Znaczy to, �e energia ciała stałego jest sum�
energii poszczególnych kwazicz�stek, odpowiadaj�cych ruchom elementarnym
kryształu.
Atomy kryształu zajmuj� w ró�nych jego komórkach identyczne poło�enia i maj�
identyczne otoczenia. Atomy te mo�na porówna� do obwodów drgaj�cych
nastrojonych na t� sam� cz�sto�� i zdolnych do wzajemnego rezonansu. Dowolne
wzbudzenie jednego z atomów powoduje analogiczne wzbudzenie w atomach
s�siednich, poniewa� kryształ jest o�rodkiem spr��ystym. Tak wi�c wzbudzenie nie
utrzymuje si� w danym miejscu, lecz w postaci fali rozchodzi si� po całym krysztale.
Zgodnie z prawami mechaniki kwantowej ruch zwi�zany z tymi falami powstaje
i mo�e by� przekazywany wył�cznie w postaci okre�lonych porcji energii (kwantu)
fali spr��ystej.
Mechanizm przewodnictwa cieplnego sieci krystalicznych ciał stałych, nie
zawieraj�cych elektronów swobodnych, jako�ciowo ró�ni si� od przewodnictwa
cieplnego metali. Przewodnictwo cieplne takich ciał stałych jest �ci�le zwi�zane
z charakterem ruchu cieplnego cz�stek tworz�cych ich sieci krystaliczne. Istotny jest
fakt, �e cz�stki te zwi�zane s� ze sob� siłami wzajemnego oddziaływania, zale�nymi
od odległo�ci mi�dzy nimi. Dlatego drgania cieplne jednych cz�stek s� przekazywane
Page 11
11
drugim. Na przykład, drgania spr��yste cz�stek A w sieci jednowymiarowej, któr�
mo�na schematycznie przedstawi� w postaci szeregu cz�stek poł�czonych ze sob�
spr��ynami (rys.1.), b�d� przekazywane cz�stkom s�siednim B, C itd.
Rysunek 1 Schematyczne przedstawienie sieci jednowymiarowej.
Proces ten prowadzi do rozchodzenia si� w krysztale tzw. fal spr��ystych,
przenosz�cych energi� drga� od jednych w�złów do drugich. Analogiczne fale
spr��yste, rozchodz�ce si� w gazach i cieczach, stanowi� fizyczn� natur� d�wi�ku
(fale akustyczne). Pr�dko�� rozchodzenia si� fal spr��ystych w ciele stałym jest
w przybli�eniu równa kilku kilometrom na sekund�. Wydawałoby si�, �e z tak�
pr�dko�ci� powinna rozchodzi� si� w takim ciele energia cieplnych drga� cz�stek.
Tymczasem pr�dko�� przekazywania tej energii od cieplejszych do zimniejszych
obszarów ciała stałego jest proporcjonalna do gradientu temperatury i pozostaje
stosunkowo mała, nawet przy bardzo du�ych gradientach temperatury. Tylko w bardzo
niskich temperaturach współczynnik przewodnictwa cieplnego osi�ga znaczne
warto�ci. Mo�na by było podsumowa� to nast�puj�cym stwierdzeniem : „Zaburzenie
nie mo�e oczywi�cie rozchodzi� si� pr�dzej, ni� poruszaj� si� przekazuj�ce je no�niki,
podobnie jak wiadomo�� nie mo�e przyby� wcze�niej ni� nios�cy j� goniec”1.
Oczywi�cie to tylko w małej mierze tłumaczy, dlaczego energia cieplnych drga�
cz�stek rozchodzi si� wolniej ni� fale spr��yste.
Aby dokładniej wytłumaczy� dlaczego tak si� dzieje, konieczne jest
uwzgl�dnienie nieharmonicznego charakteru drga� cz�stek ciała stałego. Okazuje si�,
�e drgania te powoduj� osłabianie i rozpraszanie fal cieplnych w krysztale.
Rozpraszanie fal cieplnych zwi�ksza si� ze wzrostem amplitudy nieharmonicznych
drga� cz�stek sieci, tj. ro�nie z podwy�szeniem temperatury, przy czym
przewodnictwo cieplne ciała maleje. Rozpraszanie fal cieplnych mo�na uwzgl�dni�,
1 Katscher F.: Fizyka popularna, wyd. Wiedza Powszechna, Warszawa 1976r., str.34.
Page 12
12
wprowadzaj�c poj�cie �redniej długo�ci drogi swobodnej fal spr��ystych w krysztale.
Wówczas wszystko odbywa si� tak, jakby fala została urwana po okre�lonym
przebiegu i na jej miejsce powstała nowa, o innym kierunku rozchodzenia si� przy tym
przenoszenie energii od cieplejszej do zimniejszej cz��ci kryształu jest znacznie
utrudnione, gdy� fale cieplne nie rozchodz� si� prostoliniowo. Analogiczne zjawisko
wyst�puje w przypadku przewodnictwa cieplnego gazów. Je�li długo�� drogi
swobodnej cz�stki b�dzie wielokrotnie mniejsza od rozmiarów liniowych naczynia,
którego przeciwne �cianki utrzymywane s� w ró�nych temperaturach, wówczas
cz�steczki, ulegaj�c cz�stym zderzeniom z drugimi cz�steczkami, powoli dyfunduj�
od �cianki ciepłej do zimnej, poruszaj�c si� po zło�onej zygzakowatej drodze.
Stan kryształu zmienia si� wraz ze zmian� temperatury. Rozpatrzmy sytuacj� kiedy
ciało znajduje si� w temperaturze zera bezwzgl�dnego. Z punktu widzenia fizyki
klasycznej przy T=0 [K] ustaje wszelki ruch. Atomy i jony powinny zastyga� w swych
poło�eniach równowagi. Mechanika kwantowa obala ten wniosek jako niezgodny
z zasad� Heisenberga. A wi�c ruch trwa nawet w T=0 [K] i nosi on nazw� drga�
zerowych.
Podwy�szenie temperatury oznacza zwi�kszenie energii chaotycznego,
nieuporz�dkowanego ruchu atomów. W ciele stałym ruch dowolnej cz�stki wywiera
wpływ na jej s�siadów, a wi�c w ciele stałym mo�liwe s� tylko kolektywne ruchy
cz�stek (patrz rys. 1.).
Atomy mo�na traktowa� jako trójwymiarowe oscylatory harmoniczne. Energia takich
oscylatorów jest skwantowana i jak wykazano, dozwolone warto�ci energii s� opisane
wzorem:
νhnEn ��
���
� +=21
gdzie n=0, 1, 2,..., natomiast ν jest cz�sto�ci� drga� mechanicznych. Zmiany energii
towarzysz�ce przej�ciu ze stanu energetycznego opisanego liczb� kwantow� n1 do
s�siedniego stanu o wi�kszej energii opisanego liczb� kwantow� n2, wynosz�:
( ) νννν hhnnhnhnEE nn =−=��
���
� +−��
���
� +=− 121212 21
21
Page 13
13
poniewa� liczby całkowite n1 oraz n2 ró�ni� si� o jeden. Wobec tego, gdy atom
pochłania energi� ciepln�, jego energia wzrasta co najmniej o hν; natomiast
w przej�ciu odwrotnym, atom emituje energi�. Sytuacja jest całkiem podobna do
przej�� zwi�zanych z absorpcj� i emisj� fotonów, a nazwa fonon słu�y do opisu
kwantu energii cieplnej absorbowanej lub emitowanej przez atom.
Absorpcja fononów powoduje przesuni�cia atomów, co prowadzi do wibracji sieci
i dlatego fonony mo�na uwa�a� za niedoskonało�ci kryształu, poniewa� w idealnej
sieci wszystkie atomy powinny si� znajdowa� w stanie spoczynku.
Najprostsz� form� ruchu kolektywnego atomów w ciele stałym s� ich drgania wokół
poło�e� równowagi. Drgania te rozchodz� si� w postaci fal po całym krysztale,
a kwant energii tej fali nosi wła�nie nazw� wy�ej wspomnianego fononu. Fonony
mo�na traktowa� jako do�� niezwykły gaz, który charakteryzuje si� tym, �e wraz ze
wzrostem temperatury wzrasta równie� ilo�� fononów. Energia ruchu drgaj�cych
atomów kryształu jest równa sumie energii fononów. Własno�ci gazu fononów
okre�laj� pojemno�� ciepln� kryształów i ich przewodnictwo cieplne i s�
odpowiedzialne za hamowanie ruchu elektronów w metalach, tzn. s� jednym ze �ródeł
oporu elektrycznego.
Je�li zało�ymy sytuacj� tak� w której b�dziemy mieli zbiornik zawieraj�cy gaz
fononów oraz, �e na jednym z ko�ców ciała stałego podtrzymywana jest temperatura
T1, a na drugim T2, przy czym T2 >T1 wówczas b�dzie to oznaczało, �e na jednym
z tych ko�ców koncentracja fononów jest mniejsza (temperatura T1) ni� na drugim
(T2). Fonony b�d� przepływa� z ko�ca o temperaturze wy�szej do ko�ca
chłodniejszego, d���c do wyrównania koncentracji w całej obj�to�ci. Przemieszczaj�c
si� w ciele stałym fonony przenosz� energi�. Tak wi�c przenoszenie kolektywnych
drga� sieci w krysztale ma wkład do zjawiska przewodnictwa cieplnego. Z reguły,
przewodnictwo cieplne metali jest wi�ksze od przewodnictwa cieplnego dielektryków.
W dielektrykach mechanizm fononowy jest jedynym mechanizmem przenoszenia
ciepła. W tych materiałach współczynnik przewodnictwa cieplnego w niezbyt niskich
temperaturach jest odwrotnie proporcjonalny do pierwszej pot�gi temperatury
bezwzgl�dnej.
Page 14
14
Nale�y podkre�li�, �e w metalach du�y udział w przewodnictwie cieplnym ma gaz
elektronów swobodnych, którego istnienie odró�nia metale od innych ciał stałych.
W metalu elektrony walencyjne nie s� zlokalizowane, �aden z nich nie jest zwi�zany
z okre�lonym j�drem atomowym, lecz porusza si� w całym metalu. Elektrony
swobodne w procesie zderze� przekazuj� energi� wnosz�c wkład do przewodnictwa
cieplnego. Problem ten b�dzie omówiony szerzej w dalszej cz��ci pracy.
PRZEPŁYW CIEPŁA W STANIE NIEUSTALONYM ORAZ PRAWA OPISUJ�CE PRZEWODNICTWO CIEPLNE
2.1. Prawa opisuj�ce przewodnictwo cieplne.
Jak było wspomniane w rozdziale pierwszym, ciepło mo�e przechodzi� od
obszaru gor�cego do obszaru zimnego w wyniku trzech ró�nych procesów –
przewodnictwa, konwekcji i promieniowania. Ostatni proces polega na przenoszeniu
energii cieplnej przez promieniowanie elektromagnetyczne, dwa pozostałe
mechanizmy natomiast wymagaj� obecno�ci o�rodka materialnego. W procesie
konwekcji ciepło jest przenoszone podczas ruchu o�rodka materialnego jako cało�ci,
a wi�c proces ten mo�e wyst�powa� tylko w cieczach i gazach. Z kolei mechanizm
przewodzenia polega na wymianie energii pomi�dzy cz�steczkami lub jonami
w ciałach stałych, cieczach i gazach. W metalach przewodnictwo cieplne zwi�zane jest
głównie z wymian� energii mi�dzy elektronami przewodnictwa.
Je�li w jakiej� substancji wyst�puje gradient temperatury xT
∂∂ wzdłu� osi x,
wówczas przez jednostk� powierzchni prostopadł� do tej osi w jednostce czasu
przepływa ilo�� ciepła:
Wzór 1
xT
dtdQ
∂∂−= λ
gdzie λ jest współczynnikiem przewodzenia ciepła danej substancji; znak minus
w powy�szym wzorze wskazuje, �e przepływ ciepła zachodzi w przeciwnym kierunku
ni� przyrost temperatury, co oznacza, �e pierwsza zasada termodynamiki pozostaje
w tym przypadku w mocy. Wy�ej przedstawiony wzór stanowi prawo Fouriera.
Page 15
15
Posta� równania, która okre�la przewodnictwo cieplne wykazuje, �e proces
przenoszenia energii cieplnej jest procesem podlegaj�cym prawom
prawdopodobie�stwa. Proces przewodnictwa nie zachodzi w ten sposób, �e energia
wprowadzona z jednego ko�ca próbki przesuwa si� wprost po linii prostej do drugiego
ko�ca, lecz no�niki energii dyfunduj� przez próbk� bez odchyle�, wówczas wyra�enie
na strumie� cieplny nie zale�ałoby od gradientu temperatury, natomiast zale�ałoby
tylko od ró�nicy temperatury ∆T mi�dzy ko�cami próbki bez wzgl�du na jej długo��.
Proces przewodnictwa cieplnego podlega prawom prawdopodobie�stwa i dlatego
w wyra�eniu na strumie� ciepła wyst�puje gradient temperatury.
Rozpi�to�� w warto�ci współczynnika przewodzenia ciepła mi�dzy dobrymi
przewodnikami, a dobrymi izolatorami wida� w poni�szej tabeli.
Współczynnik λλλλ przewodnictwa cieplnego w temperaturze 293 K
Tabela 1 Materiał λ [W/mK]
Mied� 384
�elazo 88
Woda 0,609
Bawełna 0,182
Powietrze 00 C 0,024
W dalszej cz��ci tego rozdziału zostan� opisane kolejno: prawo Wiedemana –
Franza, które ł�czy w sobie przewodno�� elektryczn� z przewodno�ci� ciepln� oraz
prawo Fouriera – Kierchhoffa.
2.1.1. Prawo Wiedemann – Franza.
Spo�ród substancji stałych metale maj� najwi�kszy współczynnik przewodzenia
ciepła λ. Przekazywanie ilo�ci ciepła w metalach jest wynikiem ruchu swobodnych
elektronów, a w znacznie mniejszym stopniu drganiami atomów wokół w�złów sieci
krystalicznej w kwantach energii, zwanych fononami. Mo�na przyj��, �e
współczynnik przewodzenia ciepła metali jest równy sumie współczynników
przewodzenia ciepła elektronów λe i fononów λf :
Page 16
16
λ=λe+λf
Swobodne elektrony w metalach zachowuj� si� podobnie jak molekuły gazu
w przestrzeni, dlatego nie bez powodu wprowadzono poj�cie gazu elektronowego.
Przewodzenie ciepła przez elektrony jest spowodowane ruchem tych samych
no�ników co i przewodzenie pr�du elektrycznego. Istnieje wi�c pewna zale�no��
pomi�dzy elektronowym współczynnikiem przewodzenia ciepła a przewodno�ci�
elektryczn� σ oraz temperatur� bezwzgl�dn� T.
Metale s� dobrymi przewodnikami zarówno ciepła jak i pr�du. Istnieje do��
szeroki zakres temperatur, w którym elektrony s� odpowiedzialne nie tylko za
przewodnictwo elektryczne, ale równie� za transport energii wewn�trznej. Prawo
transportu ładunku, czyli prawo Ohma mo�na zapisa� w postaci:
gradVj σ−=
gdzie j jest wektorem g�sto�ci strumienia ładunków, V – potencjałem elektrycznym,
za� współczynnik σ nosi nazw� przewodno�ci elektrycznej wła�ciwej.
Dla jednorodnego pr�ta przewodz�cego pr�d elektryczny prawo Ohma mo�na
zapisa� w postaci:
Sl
IIRUσ
==
gdzie:
Sl
Rσ
=
W powy�szych wzorach : U oznacza ró�nic� potencjałów mi�dzy ko�cami pr�ta, I –
nat��enie pr�du, R – opór elektryczny, l, S – długo�� i powierzchni� przekroju
poprzecznego pr�ta, σ – przewodno�� wła�ciw�.
Przyczyn� przepływu ładunków elektrycznych jest ró�nica potencjałów U,
natomiast wielko�� skutku, tj. nat��enie pr�du, zale�y od parametrów geometrycznych
(S, l) oraz stałej materiałowej σ.
Istnieje prosty zwi�zek pomi�dzy współczynnikiem przewodzenia ciepła λ
a przewodno�ci� wła�ciw� σ, który jako pierwsi wyznaczyli do�wiadczalnie
E. Wiedemann i W. Franz.
Page 17
17
LT=σλ
gdzie T oznacza temperatur� bezwzgl�dn�, L za� jest współczynnikiem
proporcjonalno�ci, nazwanym liczb� Lorentza.
Prawo Wiedemanna – Franza stwierdza, �e dla metali w niezbyt niskich
temperaturach stosunek przewodnictwa cieplnego do przewodnictwa elektrycznego
jest wprost proporcjonalny do temperatury, przy czym warto�� stałej
proporcjonalno�ci jest niezale�na od rodzaju metalu. Wynik ten odegrał bardzo wa�n�
rol� w rozwoju teorii metali, poniewa� potwierdził model gazu elektronowego.
Stosuj�c kwantow� statystyk� Fermiego – Diraca obliczono liczb� Lorentza, co
było potwierdzeniem słuszno�ci teorii budowy metali i mechanizmów zachodz�cych
w nich zjawisk:
22
)(3 e
kL Bπ=
gdzie : e – ładunek elektronu, kB – stała Boltzmana.
Prawo Wiedemanna – Franza jest spełnione przez wi�kszo�� metali
w temperaturach pokojowych. W niskich temperaturach odst�pstwa od niego s�
bardzo du�e, ale w tych temperaturach w przewodnictwie cieplnym dominuj�c� rol�
zaczyna odgrywa� mechanizm fononowy.
2.2. Przewodzenie ciepła w stanie nieustalonym.
Przez stan nieustalony pr�ta rozumiemy taki jego stan termodynamiczny,
w którym temperatura dowolnego punktu pr�ta jest funkcj� czasu.
Rozpatrzmy pr�t metalowy o przekroju S, długo�ci l, którego ko�ce maj� ró�ne
temperatury T1 i T2 tak jak to przedstawia poni�szy rysunek.
Page 18
18
Rysunek 2. Przepływ ciepła w pr�cie metalowym.
Wybierzmy element pr�ta, poło�ony wokół punktu x i maj�cy długo�� ∆x.
Załó�my, �e do tego elementu przez powierzchni� S2 wpływa moc dt
dQP 2
2 = , a
przez powierzchni� S1 wypływa dt
dQP 1
1 = . Zgodnie z równaniem (równanie
okre�laj�ce prawo Fouriera i strumie� cieplny) mo�emy zapisa� :
Wzór 2
2
)(2
2xxdx
xdTSP
dtdQ
=== λ oraz 1
)(1
1xxdx
xdTSP
dtdQ
=== λ
gdzie 2xxdx
dT= jest gradientem temperatury w punkcie x2 , a
1xxdxdT
= jest gradientem
temperatury w punkcie x1, przy czym ∆x=x1-x2. Energia, któr� zgromadzi si�
wewn�trz elementu o grubo�ci ∆x w czasie dt wyniesie :
Wzór 3
Page 19
19
dtdx
xdTdx
xdTSdQdQdQ xxxx �
�
�
� −=−= == 12
)()(12 λ
Energia ta powoduje przyrost temperatury dT rozpatrywanej warstwy :
Wzór 4 dTmcdQ w=
gdzie m=Sρ∆x , ρ oznacza g�sto�� materiału a cw jego ciepło wła�ciwe.
Podstawiaj�c t� warto�� do równania (wzór 9) oraz dziel�c obustronnie przez czas dt
otrzymamy :
Wzór 5
dtdQ
xScdtdT
w ∆=
ρ1
Je�li długo�� ∆x rozpatrywanego elementu pr�ta b�dzie d��y� do wielko�ci
niesko�czenie małej dx ( dxx →∆ ) to wzór 8 mo�na zapisa� w postaci :
Wzór 6
dxdtxT
SdQ 2
2
∂∂= λ
Porównuj�c równania (wzór 10) i (wzór 11) mo�emy w łatwy sposób otrzyma�
nast�puj�ce równanie :
Wzór 7
( ) ( )0
,1,2
2
=∂
∂−∂
∂t
txTDx
txT
gdzie współczynnik D, nazwany współczynnikiem przewodnictwa temperaturowego,
jest równy :
ρλwc
D =
Równanie (wzór 12) jest równaniem cz�stkowym drugiego rz�du o stałych
współczynnikach. W ogólnym przypadku zale�y ono od wszystkich współrz�dnych
przestrzennych i czasu, równie� współczynnik przewodnictwa cieplnego λ mo�e by�
funkcj� temperatury i współrz�dnych. Jego rozwi�zanie, tj. zale�no�� temperatury
T od współrz�dnej przestrzennej x i czasu t jest do�� zło�on� funkcj� tych
współrz�dnych i zale�y od warunków pocz�tkowych i brzegowych.
Page 20
20
2.3. Wnikanie płaskiej fali termicznej.
Przewodzenie ciepła jest jednym ze zjawisk nieodwracalnych i jako takie jest
przejawem reakcji układu termodynamicznego na zakłócenia stanu równowagi.
Reakcja ta zmierza do zlikwidowania zakłócenia. Zakłócenie, które działa w sposób
trwały, inicjuje pojawienie si� procesu nieustalonego. Proces ten nie doprowadza
jednak do stanu równowagi. Je�eli zakłócenie nie jest stałe, to po dostatecznie długim
czasie dochodzimy do tzw. stanu ustalonego, w którym temperatury w ró�nych
punktach układu s� ró�ne, ale niezmienne w czasie. Stan ustalony mo�e tak�e ulec
zakłóceniu. Równie� i w tym przypadku zakłócenie inicjuje proces nieustalony, który
mo�e doprowadzi� do nowego stanu ustalonego czy te� do stanu równowagi,
w zale�no�ci od charakteru zakłócenia. Specjalny charakter maj� zakłócenia
periodyczne. Pojawiaj�c si� w stanie równowagi lub w stanie ustalonym, jako w stanie
pocz�tkowym, inicjuj� równie� proces nieustalony. Po dostatecznie długim czasie
proces ten doprowadza do periodycznego przewodzenia ciepła, przy którym
temperatura w dowolnym punkcie układu jest periodyczn� funkcj� czasu, o tym
samym okresie co zakłócenie.
Spo�ród wielu mo�liwych nieustalonych warunków brzegowych najwi�ksze znaczenie
praktyczne ma przypadek okresowej zmienno�ci temperatury powierzchni, zwi�zany
z okresowo zmienn� wymian� ciepła na granicy ciała. Przypadki takie zachodz� przy
wymianie ciepła mi�dzy cylindrem silnika tłokowego lub spr��arki a czynnikiem
w regeneratorach o okresowym działaniu i w wielu innych urz�dzeniach.
W dalszej cz��ci b�dzie omówiony jeden z prostszych i bardziej typowych
przykładów, mianowicie zostanie rozpatrzone zagadnienie nieustalonego
przewodzenia ciepła w ciele półniesko�czonym, gdy temperatura jego powierzchni
ulega okresowym zmianom.
Niech temperatura powierzchni (x=0) półprzestrzeni zmienia si� sinusoidalnie:
Wzór 8
θ=θ0sin(ω t)
gdzie:
θ0-amplituda zmian temperatury powierzchni,
ω-cz�sto�� kołowa zmian temperatury.
Page 21
21
)(
0),( δω
δθθx
tix
eetx−−
=
Dla przypomnienia, jednowymiarowe równanie przewodnictwa cieplnego dla
warunków nieustalonych ma posta�:
Wzór 9
2
2
xCt ∂∂=
∂∂ θλθ
gdzie:
λ- współczynnik przewodnictwa cieplnego,
C - pojemno�� cieplna jednostki obj�to�ci (C=ρ cw, ρ– g�sto�� materiału, cw – ciepło
wła�ciwe). Stosunek λ/C=D jak pokazano w poprzednim punkcie nazywamy
współczynnikiem przewodzenia temperatury.
Rozwi�zuj�c równanie przewodnictwa, mo�na przyj��, �e funkcja b�d�ca
rozwi�zaniem tego równania jest iloczynem dwu wyra�e�, z których jedno jest tylko
funkcj� współrz�dnej x, drugie za� funkcj� czasu. Wi�c rozwi�zaniem równania
(wzór 14) jest funkcja periodyczna:
Wzór 10
Człon δθθx
etx−
= 0),( oznacza amplitud� fali termicznej,
amplituda ta zale�y od współrz�dnej x i maleje expotencjalnie ze wzrostem x (fala
termiczna jest silnie tłumiona).
W celu wyznaczenia stałej δ obliczamy:
),()(
0 txi
xti
e
x
eit
ωθδω
δωθθ =−−
=∂∂
)1(),(
),(),(1 +−=−−=
∂∂
itx
txi
txx δ
θθδ
θδ
θ
oraz
2222
22
2 ),(2
),()12()1(
),(δ
θδ
θδ
θθ txi
txiii
txx
=++=+=∂∂
Page 22
22
Podstawiaj�c pierwsz� pochodn� temperatury po czasie i drug� pochodn� po
współrz�dnej x do równania (wzór 14) otrzymujemy:
2
),(2),(
δθλωθ tx
iC
txi =
Z równania powy�szego otrzymujemy:
Wzór 11
πνωρλδ D
c== 2
Wielko�� δ nosi nazw� gł�boko�ci wnikania fali termicznej i oznacza gł�boko�� na
której amplituda fali termicznej maleje e (gdzie e jest podstaw� logarytmów
naturalnych) razy.
Analizuj�c przesuni�cie fazowe pomi�dzy zmianami temperatury na
powierzchni i na pewnej gł�boko�ci mo�emy okre�li� połówkow� długo�� fali. Człon
w nawiasie po prawej stronie równania (wzór 15) oznacza faz� fali w punkcie
o współrz�dnej x w chwili t.
Obliczaj�c x’ dla którego opó�nienie fazowe wynosi π otrzymujemy nast�puj�c�
zale�no�� na połówkow� długo�� fali:
gdzie Λ oznacza długo�� fali termicznej.
Warto zauwa�y�, �e w odległo�ci Λ/2 od powierzchni, amplituda fali termicznej
maleje e� , czyli 22,6 razy.
πδ==Λ'
2x
Page 23
23
IDEE POMIAROWE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO
3.1. Metoda ustalonego przepływu ciepła.
Najprostsze metody pomiaru współczynnika przewodzenia ciepła polegaj� na
wytworzeniu ustalonego przepływu ciepła, tak aby rozkład temperatury wewn�trz
próbki substancji u�ytej do pomiaru nie zmieniał si� w czasie. Wtedy wewn�trz całej
próbki spełniony jest warunek stacjonarno�ci 0=∂∂
tT i je�li przepływ zachodzi tylko
w jednym kierunku, po scałkowaniu równania opisuj�cego przewodno�� ciepln�
otrzymujemy .constxT =
∂∂ Obieraj�c na osi x dwa punkty w odległo�ci L i mierz�c
temperatury T1 i T2 w tych punktach mo�emy wówczas na podstawie równania
(wzór 1) obliczy� warto�� λ za pomoc� bezpo�redniego pomiaru przepływu ciepła
przez jednostk� powierzchni, poniewa� wtedy:
Wzór 12
LTT
xT 12 −
=∂∂ oraz
LTT
tQ 12 −
=∂∂ λ
Dobre przewodniki ciepła.
Post�powanie przy wyznaczaniu współczynnika przewodzenia ciepła dobrego
przewodnika upraszcza si� dzi�ki stosunkowo małej roli strat ciepła. Niemniej jednak
nale�y i tu podj�� pewne �rodki ostro�no�ci, aby poprawki niezb�dne dla
uwzgl�dnienia tych strat były jak najmniejsze. Typowe urz�dzenie stosowane do
pomiaru współczynnika przewodzenia ciepła pokazano na poni�szym rysunku.
Page 24
24
doprowadzenia grzejnika
upływ ciepła
Rysunek 3 Urz�dzenie stosowane do wyznaczania współczynnika przewodzenia ciepła.
Energia elektryczna dostarczana do grzejnika w temperaturze T wytwarza stały
gradient temperatury wzdłu� próbki w kształcie pr�ta. Wytwarzany gradient
temperatury jest kontrolowany za pomoc� termopar T1, T2, T3, mo�na go zatem łatwo
okre�li�. Przekrój pr�ta jest znany, mo�na wi�c za pomoc� wzoru (wzór 17) obliczy�
λ, pod warunkiem, �e energia dostarczana do pr�ta z grzejnika jest znana i �e nie ma
�adnych istotnych strat ciepła z pr�ta. Straty ciepła mo�na zmniejszy� do minimum
przez izolowanie pr�ta i umieszczenie wokół izolowanego pr�ta rury osłonowej
z regulowanymi grzejnikami odtwarzaj�cymi rozkład temperatury wzdłu� pr�ta,
zapobiegaj�c w ten sposób odpływowi ciepła z pr�ta. Ciepło płyn�ce wzdłu� pr�ta
okre�la si� usuwaj�c pr�t z przyrz�du i wyznaczaj�c energi� potrzebn� wówczas do
utrzymania grzejnika w tej samej temperaturze T. Poniewa� energia ta, równa
z grubsza podwojonej energii traconej ze swobodnej powierzchni grzejnika gdy pr�t
znajduje si� w przyrz�dzie, jest obecnie tracona przez powierzchni� grzejnika
całkowicie odsłoni�t�, mo�na obliczy� ciepło płyn�ce wzdłu� próbki.
T T1 T2 próbka T3
Page 25
25
Główna trudno�� wyst�puj�ca w tej metodzie polega na zapewnieniu dobrego kontaktu
termicznego mi�dzy grzejnikami a pr�tem. Trudno�� t� pokonuje si� zwykle w ten
sposób, �e rozkład temperatury wzdłu� pr�ta przyrównuje si� do rozkładu temperatury
wzdłu� innego pr�ta z substancji o znanym przewodnictwie cieplnym. Kontakt
termiczny jest jednakowy dla obu pr�tów. Inny sposób unikni�cia wpływu złego
kontaktu termicznego polega na dostarczaniu ciepła przez pr�d płyn�cy w samym
pr�cie.
Złe przewodniki ciepła.
Najprostszy sposób przeprowadzenia dokładnego pomiaru współczynnika
przewodzenia ciepła ciał stałych o małej przewodno�ci cieplnej polega na
sporz�dzeniu dwóch, mo�liwie jednakowych próbek badanej substancji, które
umieszcza si� w przyrz�dzie pokazanym na poni�szym rysunku pomi�dzy
miedzianymi walcami.
próbki
woda
pier�cie� grzejnik
ochronny
woda
Rysunek 4 Urz�dzenie stosowane do wyznaczania współczynnika przewodzenia ciepła złych przewodników.
Je�li rozkład temperatury pier�cienia ochronnego jest regulowany tak, aby
odpowiadał rozkładowi w grzejniku i próbkach, to nie ma �adnych strat ciepła do
otoczenia i połowa ciepła powstałego w grzejniku popłynie przez ka�d� z warstw
substancji. Poniewa� grubo�� i przekrój próbek s� znane, a temperatur� grzejnika
i walców chłodzonych wod� mo�na łatwo zmierzy�, bez trudu oblicza si�
współczynnik przewodzenia ciepła.
Page 26
26
Metoda ogrzewania elektrycznego.
Ogólne równanie przewodnictwa cieplnego dla pr�ta przez który przepływa
pr�d ma nast�puj�c� posta�:
AcTph
AcI
xT
ctT
www ρσρρλ )(
2
2
2
2
−+∂∂=
∂∂
gdzie:
h(T) – funkcja okre�laj�ca ilo�� ciepła traconego w jednostce czasu z jednostki
powierzchni o temperaturze T,
p- obwód pr�ta,
cw- ciepło wła�ciwe,
ρ−g�sto�� materiału,
σ-przewodnictwo elektryczne wła�ciwe,
Α−przekrój poprzeczny pr�ta,
λ-współczynnik przewodno�ci cieplnej,
2
2
AI
σ- ilo�� ciepła wnoszona do układu przez przepływ pr�du,
Dla pr�ta dobrze izolowanego dla unikni�cia strat ciepła równanie dla stanu
ustalonego przy przepływie pr�du przyjmie posta�:
Wzór 13
02
2
2
2
=+∂∂
AI
xT
σλ
Je�li oba ko�ce pr�ta b�d� si� znajdowa� w stałej temperaturze jak pokazano to na
rysunku poni�ej, wówczas rozkład temperatury wzdłu� pr�ta mo�na wyznaczy� przez
scałkowanie równania (wzór 18). W przypadku gdy zakres zmian temperatury jest
niewielki, tak �e λ i σ mo�na przyj�� za stałe, wówczas:
)(2 012
22
TTALI
−=
σλ
Page 27
27
2L
T0 T1 T0
I
-x x=0 +x
Rysunek 5 Rozkład temperatury wzdłu� pr�ta przewodz�cego pr�d.
Je�li zakres temperatur nie jest mały, wtedy przy całkowaniu trzeba uwzgl�dni�
zale�no�� λ i σ od temperatury, a tym samym, tak�e zale�no�� od poło�enia wzdłu�
pr�ta.
STANOWISKO LABORATORYJNE DO POMIARU PRZEWODNO�CI CIEPLNEJ METOD� DYNAMICZN�
4.1. Metoda dynamiczna z okresowym przepływem ciepła.
Celem pracy było zbudowanie zestawu do pomiaru przewodno�ci cieplnej
metod� dynamiczn�. Układ przeznaczony jest do laboratorium Podstaw Fizyki
Politechniki Wrocławskiej.
Pomiar współczynnika przewodno�ci cieplnej polega na wygenerowaniu periodycznej
fali termicznej (zbli�onej do sinusoidy) w walcu miedzianym i rejestracji zale�no�ci
rozkładu temperatury od czasu. Fala termiczna wzbudzona jest za pomoc� modułu
Peltiera podł�czonego do generatora pr�du o niskiej cz�sto�ci.
Walec miedziany ma wymiary:
- długo�� h=200 [mm]
- �rednica φ=20 [mm]
W walcu s� umieszczone termopary które słu�� do pomiaru rozkładu temperatury
wzdłu� walca. Spoina wspólna dla termopar znajduje si� na ko�cu rozpatrywanego
walca, a wi�c siła termoelektryczna termopar jest proporcjonalna do ró�nicy
I I
Page 28
28
walec wykonany z miedzi
temperatur pr�ta na jego ko�cu i temperatury pr�ta w punkcie w którym umieszczona
jest dana termopara.
Schemat układu pomiarowego przedstawiony jest na rysunku 9.
T1 T2 T3 T4
moduł Peltiera
tu znajduje si� spoina odniesienia
„przej�ciówka”
Rysunek 6 Schemat układu do pomiaru przewodno�ci cieplnej.
Podczas wykonywania pomiarów komputer rejestruje zale�no�� temperatury
od czasu T(t) dla dwóch wybranych termopar. Pomiar współczynnika przewodno�ci
cieplnej sprowadza si� do okre�lenia ró�nicy czasu po którym fazy dwóch sygnałów
pochodz�cych z ró�nych termopar s� zgodne. Na podstawie równania (wzór 15)
opisuj�cego rozchodzenie si� fali termicznej w pr�cie, mo�emy zapisa�:
)()( 12
11 δ
ωδ
ω xt
xt −=−
gdzie:
ω− jest cz�sto�ci� z jak� generowana jest fala termiczna
δ - gł�boko�� wnikania fali termicznej
x1, x2 - odległo�ci do rozpatrywanych punktów pomiarowych mierzone od pocz�tku
walca
t1, t2 - czasy w których fala jest w tej samej fazie
Jedyn� niewiadom� w tym równaniu jest δ. Po elementarnych przekształceniach
otrzymujemy:
wzór 14
)( 21
21
ttxx
−−
=ω
δ
Page 29
29
Znaj�c gł�boko�� wnikania fali termicznej, ciepło wła�ciwe miedzi oraz jej g�sto��
mo�emy obliczy� współczynnik przewodno�ci cieplnej. Korzystaj�c z zale�no�ci na
gł�boko�� wnikania fali termicznej (wzór 16) otrzymujemy:
Wzór 15
2
2 ρωδλ wc
=
gdzie:
ω− jest cz�sto�ci� z jak� generowana jest fala termiczna
cw - ciepło wła�ciwe miedzi
ρ - g�sto�� miedzi
Podstawiaj�c wzór 19 do wzoru 20 uzyskujemy ko�cow� posta� wzoru na
współczynnik przewodno�ci cieplnej:
Współczynnik przewodno�ci cieplnej mo�na wyznaczy� analizuj�c amplitud� sygnału
mierzonego przez wybrane termopary w odpowiednich punktach. Pierwszy człon
w rozwi�zaniu równania przewodnictwa cieplnego(nr równania) okre�la nam zmian�
amplitudy sygnału, która maleje expotencjalnie wraz z odległo�ci�. Znaj�c wi�c
warto�ci temperatur mierzone w dwóch ró�nych miejscach w tym samym czasie
mo�emy wyliczy� gł�boko�� wnikania fali termicznej:
gdzie: T0 jest temperatur� zmierzon� przez termopar� umieszczon� bli�ej modułu
Peltiera, T jest temperatur� zmierzon� przez dalsz� termopar� za� x jest odległo�ci�
pomi�dzy tymi termoparami.
Wstawiaj�c t� warto�� do wzoru 20 otrzymujemy wyra�enie na współczynnik
przewodno�ci cieplnej:
( )( )2
21
221
2 ttxxcw
−−=
ωρλ
���
����
�=
0
lnTT
xδ
Page 30
30
Odległo�� mi�dzy kolejnymi spoinami termopar wynosi:
- T1 – T2 58,52 [mm]
- T1 – T3 116,0 [mm]
4.2. Podzespoły tworz�ce stanowisko.
4.2.1. Zjawisko Peltiera.
Zjawisko Peltiera z fizycznego punktu widzenia nale�y sklasyfikowa� do
zjawisk termoelektrycznych, obok zjawiska Seebecka - efekt powstawania ró�nicy
potencjałów elektrycznych na styku metali lub półprzewodników (termopary),
zjawiska Thomsona – w którym efekty cieplne towarzysz� przepływowi pr�du przez
przewodnik, w którym wyst�puje gradient temperatury.
Zjawisko Peltiera polega na pochłanianiu lub wydzielaniu ciepła podczas
przepływu pr�du przez zł�cze metali lub półprzewodników. Cz��ciej jednak realizuje
si� moduły Peltiera z materiałów półprzewodnikowych, poniewa� charakteryzuj� si�
one silniejsz� zale�no�ci� koncentracji no�ników pr�du od temperatury ni� ma to
miejsce w przypadku metali.
Moduł Peltiera składa si� z poł�czonych na przemian segmentów wykonanych
z półprzewodnika typu n oraz z półprzewodnika typu p. Elektrycznie segmenty te
poł�czone s� szeregowo, natomiast cieplnie - równolegle.
Rysunek 7 Budowa półprzewodnikowego modułu Peltiera.
Chłodzenie termoelektryczne oparte jest o prac� elementu półprzewodnikowego
zwanego modułem Peltiera i wyst�puje, gdy przez element płynie, w odpowiednim
2
0
2
ln2 ��
�
�
��
�
����
����
�=
TT
xcwρωλ
Page 31
31
kierunku, stały pr�d elektryczny. Elementy te wykonuje si� w kształcie płaskich
prostok�tnych płytek z dwoma elektrycznymi przył�czami.
Rysunek 8 Moduł Peltiera.
Moduł Peltiera stanowi bateria pojedynczych ogniw Peltiera umieszczona
mi�dzy przeciwległymi okładkami, ceramicznymi płytkami. W ogniwie tym podczas
przepływu pr�du zachodz� procesy fizyczne, których efektem jest pobieranie energii
cieplnej od otoczenia na spoinie zimnej i jej "przepompowywanie" na spoin� gor�c�.
W module objawia si� to schładzaniem jednej "zimnej" strony i ogrzewaniem drugiej
"gor�cej" strony (rys.11). Na obie strony przekazywana jest tak�e energia cieplna
powstała na skutek przepływu pr�du elektrycznego - ciepło Joule’a.
Rysunek 9 Zasada działania modułu Peltiera.
Zjawisko Peltiera, jak zostało wspomniane wcze�niej polega na wydzielaniu lub
pochłanianiu ciepła Qp podczas przepływu pr�du przez zł�cze dwóch ró�nych metali
lub półprzewodników. Aby przenie�� ładunek elektryczny q przez zł�cze, na którym
wyst�puje ró�nica potencjałów Uab, nale�y wykona� prac�:
Page 32
32
W celu utrzymania stałej temperatury zł�cza nale�y doprowadzi� lub pobra� ciepło:
gdzie:
- Qp ciepło Peltiera
- πp stała Peltiera
Warto�� tej stałej zale�y od rodzaju stykaj�cych si� metali (półprzewodników) oraz
temperatury zł�cza. Stała Peltiera jest niezale�na od nat��enia pr�du płyn�cego przez
zł�cze oraz jego powierzchni. Zmiana kierunku przepływu pr�du powoduje zmian�
kierunku przekazywania ciepła - podczas przepływu pr�du przez zł�cze w jednym
kierunku ciepło jest wydzielane, gdy pr�d płynie w kierunku przeciwnym ciepło jest
pobierane.
Je�eli przez zł�cze płynie pr�d o nat��eniu I, to energia cieplna wydzielana lub
pobierana w jednostce czasu okre�lona jest równaniem:
Wzór 16
gdzie:
- α współczynnik Seebecka
- T temperatura w skali bezwzgl�dnej
Je�eli pr�d płynie przez przewodnik, w którym wyst�puje gradient temperatury, to
w zale�no�ci od kierunku przepływu pr�du nast�puje wydzielanie lub pochłanianie
ciepła Thomsona w jednostce czasu:
Wzór 17
gdzie:
- τ współczynnik Thomsona
- PT ilo�� ciepła wydzielonego lub pochłoni�tego w jednostce czasu
W obwodzie, oprócz ciepła Peltiera oraz ciepła Thomsona, wydzielane jest
ciepło Joule’a o mocy 2RIP = gdzie R oznacza opór elektryczny przewodnika.
abqUW =
PP qQ π=
TIIdt
dQP P
PP απ ===
dxdT
Idt
dQP T
T τ==
Page 33
33
Całkowita moc wydzielona w układzie jest sum� ciepła Joule’a, ciepła Thomsona oraz
ciepła Peltiera. Nale�y pami�ta�, �e ciepło Peltiera mo�e by� dodatnie lub ujemne,
w zale�no�ci od kierunku przepływu pr�du przez zł�cze.
Je�eli w przewodniku wyst�puje gradient temperatury, to wówczas mamy do
czynienia z przepływem ciepła z cz��ci przewodnika o wy�szej temperaturze (Tg),
które b�dziemy nazywa� gor�cym ko�cem, do miejsca o ni�szej temperaturze (Tz),
które nazwiemy ko�cem zimnym. Ciepło to przekazywane jest dzi�ki przewodnictwu
cieplnemu, a moc przekazywanego ciepła jest równa :
gdzie:
- λ współczynnik przewodnictwa cieplnego,
- S pole przekroju poprzecznego przewodnika,
- h odległo�� pomi�dzy zimnym i gor�cym ko�cem przewodnika.
W warunkach ustalonych, zimny koniec w jednostce czasu pobiera z zewn�trz
ciepło:
gdzie: ZG TTT −=∆
Gor�cy koniec w jednostce czasu oddaje na zewn�trz ciepło:
Czynnik 1/2 wyst�puj�cy po prawej stronie powy�szych równa� wynika z zało�enia,
�e ciepło Joule’a oraz ciepło Thomsona „dzielone jest równo” pomi�dzy zimny
i gor�cy koniec.
Moc pobierana ze �ródła pr�du Pel jest równa ró�nicy mocy wydzielanej przez gor�cy
koniec oraz mocy pochłanianej przez koniec zimny:
h
TTS
dt
dQP zgprz
prz
)( −== λ
hT
KSRIh
TIIT
dtdQ
P zchl
chl
∆−−∆±==− 2
21
21 τα
hT
KSRIh
TIIT
dt
dQP g
grzgrz
∆−−∆== 2
21
21 τα �
Page 34
34
Bilans mocy pobieranej i oddawanej przez moduł Peltiera przedstawia poni�szy
rysunek:
Rysunek 10 Bilans mocy w module Peltiera (przyj�to, �e ciepło Thomsona jest wydzielane).
Termodynamicznie moduł Peltiera stanowi pomp� ciepln�, która pod wpływem
wło�onej energii elektrycznej przepompowuje energi� ciepln� z jednej strony na
drug�. Najwa�niejszym jego parametrem jest maksymalna moc cieplna QZmax, która
jest mo�liwa do przepompowania ze strony zimnej na gor�c�.
Wska�nikiem, który okre�la przydatno�� modułu pod wzgl�dem chłodniczym
jest współczynnik wydajno�ci chłodniczej:
gdzie: QZ - moc cieplna modułu (energia cieplna pobrana przez stron� zimn� )
QE - wło�ona moc elektryczna potrzebna na przepompowanie energii cieplnej ze
strony zimnej na gor�c�.
Na rysunku 14 przedstawiono orientacyjn� zale�no�� współczynnika
wydajno�ci chłodniczej od ró�nicy temperatury mi�dzy okładkami modułu T=TG - TZ
przy stałej temperaturze strony gor�cej TG = const. Wynika st�d wniosek, �e praca
modułu jest najefektywniejsza dla małych warto�ci QZ, w zakresie od 0 do 20°C.
W tym zakresie ró�nicy temperatury praca modułu jest najbardziej ekonomiczna.
hTI
RITIUIPel
∆++∆== τα 2
E
Z
QQ=ε
Page 35
35
Oznacza to, �e zu�ywaj�c porcj� energii elektrycznej, moduł przepompowuje
przynajmniej dwukrotnie wi�cej energii cieplnej.
Rysunek 11 Zale�no�� współczynnika wydajno�ci chłodniczej od ró�nicy temperatury ∆∆∆∆T mi�dzy
okładkami modułu Peltiera, przy stałej temperaturze strony gor�cej TG=const.
Na prac� modułu ma wpływ wiele parametrów. Najwa�niejsze z nich to
parametry elektryczne: nat��enie I i napi�cie U pr�du stałego przepływaj�cego przez
moduł, oraz parametry cieplne: temperatura strony gor�cej TG oraz temperatura strony
zimnej TZ. Rysunek 15 obrazuje przebieg warto�ci mocy cieplnej QZ uzale�niony od
ró�nicy temperatury mi�dzy okładkami modułu, przy stałej warto�ci nat��enia pr�du I.
Z kolei na rysunku 16 przedstawiono zale�no�� mocy cieplnej QZ od warto�ci
nat��enia pr�du elektrycznego I, przy stałej ró�nicy temperatur ∆T.
Page 36
36
Rysunek 12 Zale�no�� mocy cieplnej QZ od ró�nicy temperatur ∆∆∆∆T przy stałym nat��eniu pr�du I.
Rysunek 13 Zale�no�� mocy cieplnej QZ od pr�du I przy stałej warto�ci ró�nicy temperatur ∆∆∆∆T.
Z charakterystyk tych wida�, �e moc cieplna modułu QZ maleje wraz ze
wzrostem ró�nicy temperatur ∆T mi�dzy jego okładkami, a maksimum osi�ga przy
równej temperaturze strony zimnej i strony gor�cej (∆T =0). Zmniejszenie nat��enia
pr�du I powoduje tak�e pogorszenie parametrów cieplnych modułu. Dla okre�lonej
ró�nicy temperatur ∆T istnieje zawsze taka warto�� pr�du, zwana pr�dem
maksymalnym Imax , daj�ca maksymaln� warto�� mocy chłodniczej QZmax. Zwi�kszenie
nat��enia pr�du ponad Imax obni�a parametry cieplne modułu. Nale�y zauwa�y�, co nie
Page 37
37
jest pokazane na rysunkach, �e wraz ze wzrostem temperatury strony gor�cej, maleje
opór wewn�trzny modułu, przez co niewiele, ale wzrastaj� jego wła�ciwo�ci cieplne.
Mo�liwe jest wówczas uzyskanie wi�kszej ró�nicy temperatur mi�dzy stronami
modułu.
Ze wzgl�du na małe rozmiary, szybko�� uzyskiwania odpowiedniej warto�ci
temperatury oraz jej do�� szerokiego zakresu jak i równie� łatwo�� w zasilaniu tych
elementów, moduły Peltiera znalazły obecnie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki
i techniki.
Nale�y tutaj wymieni� takie zastosowania jak chłodzenie procesorów w komputerach
(pewnym niebezpiecze�stwem jest tutaj mo�liwo�� skraplania si� pary co mo�e
doprowadzi� do zwarcia, dlatego procesor powinien by� zabezpieczony przed par�
wodn� oraz dla bezpiecze�stwa powinno instalowa� si� wiatraczek w celu lepszego
odprowadzenia ciepła). Kolejnym zastosowaniem tych modułów s� tzw. lodówki
półprzewodnikowe, lodówki samochodowe. Na podstawie wy�ej opisanych
elementów realizuje si� klimatyzacj� w samochodach, chłodzi si� skafandry dla
kosmonautów, stoły laboratoryjne itp.
W przedstawionym tutaj zagadnieniu, moduł Peltiera został wykorzystany do
oscylacyjnej zmiany temperatury, który jest sterowany za pomoc� generatora małej
cz�stotliwo�ci.
W tabeli poni�ej s� przedstawione parametry techniczne wykorzystanego modułu.
Parametry techniczne modułu Peltiera
Tabela 2 Wymiary 30x30x3,6 [mm]
Uzas 14,5 [V]
Imax 3,30 [A]
Qmax 25,7 [W]
∆T 65,0 [C]
Page 38
38
W poni�szej tabeli podane s� wyliczone na podstawie wykresów warto�ci
współczynnika przewodno�ci cieplnej:
Tabela 3
Termopary T1 i T2 Termopary T1 i T3 Okres T [s]
λf λa λf λα 60 389,7 982,6 120 388,1 467,3 381,5 352,3 180 381,6 451,7 441,8 240 389,7 376,4 382,8 479,3
gdzie: λf współczynnik wyliczony z przesuni�cia fazowego, λa współczynnik
wyliczony metod� amplitudow�.
Dla T=60 [s] i punktów pomiarowych T1 i T3 współczynnik przewodno�ci cieplnej
nie został wyliczony, poniewa� sygnał docieraj�cy do termopary T3 miał tak mał�
amplitud� i był tak „rozmyty”, �e nie mo�na było okre�li� przesuni�cia fazowego. Za�
dla T=180 [s] i dla tych samych punktów pomiarowych nie mo�na było dokładnie
wyznaczy� przesuni�cia fazowego.
Na poni�szych wykresach przedstawione s� wyniki pomiarów dla temperatur
odczytywanych z termopar: T1 - T2 i T1-T3 z ró�nymi okresami zmian.