Seite 1 Interest Rate Models Dr. Ingo Schneider Zinskurvenmodelle und ihre Anwendung - Interest Rate Models ( Einfaktor Modelle) Grundkenntnisse der Bewertung Aufbau eines Gitters - Anwendungen in der Zinsderivatewelt a) CAP-FLOOR b) SWAPTIONS c) BONDS - Konkrete Realisierung a) Lognormale Zins-Modelle (BDT, BK) b) Normale Zins-Modelle (HL, HW)
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Zinskurvenmodelle und ihre Anwendung
- Interest Rate Models ( Einfaktor Modelle) Grundkenntnisse der Bewertung Aufbau eines Gitters
- Anwendungen in der Zinsderivatewelt a) CAP-FLOOR b) SWAPTIONS c) BONDS
- Konkrete Realisierung
a) Lognormale Zins-Modelle (BDT, BK) b) Normale Zins-Modelle (HL, HW)
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Bewertung von Zinsderivaten
- Es gibt verschiedene Verfahren um stochastische Variablen (i.e. der zukünftige Zinssatz) zu simulieren
a) Binomial- und Trinomialbäumeb) Finite Differenzen (Diskretisieurung der SDE)c) Monte Carlo Simulation (Mehrfaktormodelle z.B. HJM, BGM)
Im folgenden beschränken wir uns auf Binomialbäume und Trinomial-bäume
Ziel: Bewertung von Standard Zinsderivaten Erweiterung um Bermudan Style Optionen
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Bewertung von Zinsderivaten
Für das Verständnis ist es vorteilhaft sich den Aufbau eines Aktien-gitters in Erinnerung zu rufen.
Die Unterschiede sind im wesentlichen folgender Natur:a) Die Gittervariable in einem Zinsbaum ist im wesentlichen die ∆t periodische Rateb) Zinsbäume arbeiten im wesentlichen wie Aktienbäume, ausser dass sich die Diskontierungsfaktoren von Knoten zu Knoten ändern.
Übung 1: Bewerte eine amerikanischen Call und Put Option S = 50, X = 50, r=0,1 σ=0,4 Laufzeit = 5 Monate
n = 10 Benutze EXCEL
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Risikoneutrales PricingInterest rate
r
ur
dr
Asset price
Ist der risikofreie Zinssatz für die Periode [0, ∆t]. Somit isteine ∆t -periodische rate und 1€, der heute investiert wird nach einerPeriode € wert sein.
cuc
dcp
p−1
tre ∆
∆t ∆t
p
1-p
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Die risikoneutraleWahrscheinlichkeit für eine Aufwärtsbewegung ist p. Die fundamentale Gleichung für die riskoneutrale Bewertung ist dann:
(1)[ ] [ ]dutr
ttr cppceceEc )1( −+== ∆−
∆∆−
Mit anderen Worten: Der Wert des Derivates zum Zeitpunkt 0 eines zufälligen Auszahlungsprofils ist der abdiskontierte erwartete Wert.
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Numerierung der Zustände im Gitter
0 t∆ t∆2 t
0 1 2 3 index
0
1
-1
2
0
-2
3
1
-1
-3
Seite 7Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Diskontierungsberechnung
r
uruur
drudr
ddr
0 t∆ t∆2 t
0 1 2 3 index
0 t∆ t∆2
0 1 2 3 index
1
1
1
1
ddB
udB
uuB
uB
dB)0(B
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Sei ein Zinsgitter gegeben, wie bestimmt man die Diskontierungsfunktion?Die Anfangsdiskontierungsfaktoren sind gegeben als
Schritt 1: Nutze 1 Schritt Gitter zur Berechnung von Schritt 2: Nutze 2 Schritt Gitter zur Berechnung vonSchritt 3: Nutze 3 Schritt Gitter zur Berechnung von
D.h. Man läuft vorwärts und rückwärts, d.h. das kostet Zeit.
Aber es geht schneller:
niBi ,...,1, =
1B
2B
3B
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Vorwärts-Induktion
0 t∆ t∆2 t
1 2 3
0 t∆ t∆2 t
1 2 3
r
ur
dr
uur
udr
ddr
1
uq
dq
uuq
udq
ddq
0 0
Seite 10Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Sei der Preis zum Zeitpunkt 0 der 1€ im Zustand auszahlt.Man nennt dies den Zustandspreis oder auch Arrow-Debreu Preis.Der Preis eines Zero Bondes mit Laufzeit 2 ist dann über die Zustände definiert als
Die Wahrscheinlichkeit ist konstant.Somit können die Zustände mit den folgenden Schritten berechnet werden:
Schritt 1: Schritt 2:
Schritt 3:
xq x
dduduu qqqB ++=2
1)1(, Bepqpeq trd
tru −== ∆−∆−
2)1(,
,)1(
Bqepqqpeq
qpeqepq
dtr
ddutr
uu
dtr
utr
ud
dd
du
−==
+−=∆−∆−
∆−∆−
3)1(
)1(
,)1(,
Bqpeqepq
qpeqepq
qepqqpeq
ddtr
udtr
udd
udtr
uutr
uud
ddtr
ddduutr
uuu
ddud
uduu
dduu
+−=
+−=
−==
∆−∆−
∆−∆−
∆−∆−
5,0=p
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Beispiel für Vorwärts-Induktion
0 t∆ t∆2 t
1 2 3
0 t∆ t∆2 t
1 2 3
9 %
10 %
8 %
7 %
9 %
11 %
1,00
0,4570
0,4570
0,2067
0,4177
12 %
10 %
8 %
6 %
0,2109
0,0926
0,2835
0,2892
0,0983
0 0
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Bewertung von Europäischen Derivaten
t∆ t∆2 t∆ t∆2
r
ur
dr
uur
udr
ddr
1
uq
dq
uuq
udq
ddq
uuuc
uudc
dddc
uddc
0 0Tt =∆3 Tt =∆3
Seite 13Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Sei der Preis zum Zeitpunkt 0 der im Zustand zum Zeitpunkt auszahlt. Wie bestimmt man den Wert von ?
Man benutzt das Rückwärtsrechenschema und berechnet Z.B.
u.s.w. D.h. man erhält den Wert zum Zeitpunkt 0 über diese rekursiveBerechnung.
Alternativ und wesentlich eleganter ist es den Wert über die Zustandspreisedirekt zu berechnen,
c xc
[ ],)1( uuduuutr
uu cppcec uu −+= ∆−
x
T c
.=x
xxqcc
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Bewertung von Zinsderivaten
Die liquidesten Instrumente sind Caps/Floors und Swaptions:Der einfachste Baustein ist ein FRA:
FRA mit Tenor τ (=0,25 oder 0,5 Jahre)
FRA = (F-X) τ, Payoff ist zum Zeitpunkt T = t+ τ
F = Index für die Periode ,X = Strike
Die Foward Rate für die Periode von i bis i+1 zum Zeitpunkt 0 ist:
τ
11
−= +i
i
PP
F
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Bewertung von Zinsderivaten
Der Barwert des FRA‘s ist dann:
d.h. FRA ist eine Linearkombination von Diskontierungsfaktoren,und diese Diskontierungsfaktoren werden exakt im Modell abgebildet.(siehe Vorwärtsinduktion). Dieses Argument gilt auch für Swaps, daSwap eine Summe von FRA‘s darstellt.
1
11
1
)1(
1
)()(
+
++
+
+−=
�
����
�
�
−−
=
−=
ii
ii
i
i
PXP
PXPP
PXFFRANPV
τ
ττ
τ
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Bewertung von Zinsderivaten
Wenn man von Optionen auf FRA‘s spricht, dann unterscheidet man
a) zwischen Portfolios von Optionen auf FRA‘s (CAP/FLOOR)
b) Optionen auf Portfolios von FRA‘s (Swaption)
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Äquivalenz zwischen Caps und Puts auf Zero-Bonds
Betrachte ein Caplet für die Periode [i∆t,(i+1) ∆t] mit Strike X. Der Wert des Caplets zum Zeitpunkt i∆t ist dann, wenn der LIBOR L ist:
D.h. Caplet ist äquivalent zu (1+X∆t) puts auf einen einperiodischenZero-Bond mit strike 1/(1+ X∆t), der zum Zeitpunkt i∆t endet.Oder. Caplet ist äquivalent zu einer Option, die in einen 1 periodischen Swap führt.
[ ]
���
�
∆+−
∆+⋅∆+=
��
��
�
∆+∆+−
∆+∆+=
−∆+
∆
0,1
11
11
0,11
11
0,1
tLtXMAXtX
tLtX
tLtLMAX
XLMAXtL
t
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Bewertung eines Caplets im Gitter
t∆ t∆2 t∆ t∆2
L
uL
dL
uuL
udL
ddL
1
uq
dq
uuq
udq
ddq
uuuL
uudL
dddL
uddL
0 0Tt =∆3 Tt =∆3
Seite 19Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Falls man kontinuierliche Zinsen vewendet hat ist nun eine kleine Unformung ineinfache Zinsen notwendig, die im Gitter als bezeichnet sind.
Betrachte nun ein Caplet für die Periode mit Strike . Wenn der Zinssatz im Gitter zu diesem Zeitpunkt ist , dann ist die Zahlung die zum späteren Zeitpunkt geleistet wird.
Der Wert zum Zeitpunkt ist
Der Wert des Caplet zum Zeitpunkt 0 ist dann einfach
( )111
1 −∆
=∆+
= ∆∆− trtr et
LtL
e
[ ],3,2 tt ∆∆
L
XL
[ ] tXLMax ∆− 0, t∆2
[ ]0,1
XLMaxtL
t −∆+
∆
[ ] xx
qXxLMaxtxL
t −∆+
∆ 0,)()(1
t∆2
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Äquivalenz zwischen Swaptions und Optionen auf Kupon-Bonds
Betrachte eine 1 jährige Option, die dazu berechtigt in einen n jährigenZahler-Swap (zahle fix und empfange float) mit Strike X (Principal = 1)einzutreten. Zum Zeitpunkt 1 ist der Swap PV(float)-PV(fix) wert. Unter der Annahme, dass der Nominalbetrag am Ende des Swaps ausgetauscht wird, gilt PV(float) = 1;
d.h. PV(fix) ist der Wert eines n-jährigen Bonds mit Kupon X.Somit ist der Auszahlungsbetrag der Option MAX[1-P(1),0] und somitäquivalent einer Put Option mit Strike 1auf einen Bond mit Kupon X.
+
=+ =+=
1
21 )1()1()(
n
ini PPXPfixPV
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Bewertung einer Europäischen Swaption im Gitter
t∆ t∆2 t∆ t∆2
L
uL
dL
uuL
udL
ddL
uP
dP
uuP
udP
ddP
uuuL
uudL
dddL
uddL
0 0Tt =∆3 Tt =∆3
CPuuu +=1
CPuud +=1
CPudd +=1
CPddd +=1
Seite 22Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Was ist der Wert ein einjährigen Option, die es erlaubt nach Ablauf in einen zweijährigen Zahler- mit Strike X Swap einzutreten?
Swap-Preis in einem Jahr:
Somit erhält man für die Zahler Swaption zum Zeitpunkt 0:
Die Kupon Bondpreise sind :
[ ] [ ]0,1,0,1 dduu PMaxSPMaxS −=−=
( ).)1(1
dutr
xatxx SppSeqSS −+== ∆−
))1((
))1((
;)1(
,)1(,)1(
ddudtr
d
uduutr
u
trdd
trud
truu
PppPeP
PppPeP
CCeP
CCePCCeP
d
u
dd
uduu
−+=
−+=
++=
++=++=
∆−
∆−
∆−
∆−∆−
Seite 23Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Bewertung im Gitter
Bisher haben wir nur gezeigt, wie Derivate im Baum (Gitter) berechnet werden. Nun wollen wir uns dem Problem zum Aufbau eines Gitters zuwenden. Die Bäume bzw. Gitter sollen folgende wünschenswerte Eigenschaften besitzen:
a) Kalibrierung von Markt-Instrumenten - Rekonstruiere die Zinskurve - Rekonstruiere die Volatilitätskurve - Rekonstruiere die Preise von Derivaten - Rekonstruiere die Anfangskorrelationb) Nicht Negative Zinsenc) Analytische Berechnungen
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Black-Derman-Toy (BDT)-Modell
- Rekonstruiert die Anfangskurve- Rekonstruiert die Anfangsvolatilitätskurve- Die Zinskurve (short rate) ist Lognormal d.h. die Volatilität wird ausgedrückt als Prozentsatz des Zinssatzes (relatives Mass wie in der Black-Scholes Welt- nicht absolut).- Zinsen sind positiv- Ist ein Einfaktor Markov Modell für dem Zinsprozess
BDT Modell
Die Funktionen θ(t) und σ(t) werden numerisch bestimmt, durch dieBaumkonstruktion. Im folgenden beschränken wir uns aufkonstante Volatilitäten, d.h. σ ist konstant.
dztdttrrd )()( σ+Θ=
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Black-Derman-Toy Grundlagen
r
ru
0 ∆t 2∆t 3∆t
rd
2ru
rud
2rd
3ru
ru
rd
3rd
0.5
0.5
r
11ur
0 ∆t 2∆t 3∆t
11dr
222ur
333ur
0.5
0.5
2r
222dr
33ur
33dr
333dr
11 α+= rr
22 α+= rr33 α+= rr
Seite 26Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
BDT-Modell
Schritte für die Berechnung:
a) Starte mit multiplikativen (lognormalen) Gitterb) Adjustiere zu jedem Zeitpunkt i∆t mit das Gitter so, dass die Anfangskurve reproduziert wird. Die Median rate ist dann zum Zeitpunkt i∆t :c) Setze die Volatilitätsparameter zum Zeitpunkt i∆t um die Anfangsvolatilitätskurve zu reproduzieren.
Somit ist der BDT Baum vollständig spezifiziert.
ii rr α+=
iα
)1(, =iiii dudu
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Black-Derman-Toy Grundlagen
r
11ur
0 ∆t 2∆t 3∆t
11dr
222ur
333ur
0.5
0.5
2r
222dr
33ur
33dr
333dr
11 α+= rr
22 α+= rr33 α+= rr
A
B
0.5
0.5
)(21][ BAXE +=
2)(41][ BAXVar −=
)(21][ BAX −=σ
Seite 28Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
BDT-Modell
Wie spezifiziert man die Volatilitätsparameter ?
Setze , aber wie ist dann zu wählen?
Wir wollen das gilt:
Somit
ud /1= u
trVar t ∆=∆2))(ln( σ
( ) 2211 )ln()ln()ln(
41))(ln( udrurrVar t =−=∆
teu ∆= σ
Seite 29Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Black-Derman-Toy Vorwärtsinduktion
r
11ur
0 ∆t 2∆t 3∆t
11dr
222ur
333ur
0.5
0.5
2r
222dr
33ur
33dr
333dr
11 α+= rr
22 α+= rr33 α+= rr
trdu
trd
tru
eqq
eqeq
∆−
∆−∆−
=+
==21,
21
dtdr
utur
dduduu
dtdr
dd
dtdr
utur
ud
utur
uu
qeqeqqq
qeq
qeqeq
qeq
∆−∆−
∆−
∆−∆−
∆−
+=++
=
+=
=
11
1
11
1
21
21
2121
Seite 30Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
BDT-Modell
Nun wähle und fitte die Anfangsbondpreise
Schritt 1: Somit und sind spezifiziert.
Schritt 2: Numerische Lösung ergibt den Wert für und
sind spezifiziert (1 Dim Newton-Raphson)
Schritt 3: etc.
1−ir
du qq ,
niBi ,,2,1, �=
trdu eqqB ∆−=+=1 )ln(1
1Bt
r∆
=
dtdr
utur
dduduu qeqeqqqB ∆−∆− +=++= 112
1rddúduu qqq ,,
ddtdr
udtr
uutur
dddudduuduuu
qeqeqe
qqqqB∆−∆−∆− ++=
+++=2
222
2
3
Seite 31Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Ho-Lee (HL)-Modell
- Rekonstruiert die Anfangskurve- Rekonstruiert die Anfangsvolatilitätskurve- Die Zinskurve (short rate) ist Normal (Gauss) d.h. die Volatilität wird ausgedrückt als absolutes Mass- Zinsen können negativ werden- Ist ein Einfaktor Markov Modell für dem Zinsprozess
Ho-Lee Modell
Die Funktionen θ(t) und σ(t) werden numerisch bestimmt, durch dieBaumkonstruktion. Im folgenden beschränken wir uns ebenfalls aufkonstante Volatilitäten, d.h. σ ist konstant.
dztdttdr )()( σ+Θ=
Seite 32Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Ho-Lee Grundlagen
r
ur +1
0 ∆t 2∆t 3∆t
dr +1
ur 22 + ur 33 +
0.5
0.5
2r
dr 22 +
ur +3
dr +3
dr 33 +11 α+= rr
22 α+= rr33 α+= rr
A
B
0.5
0.5
)(21][ BAXE +=
2)(41][ BAXVar −=
)(21][ BAX −=σ
Seite 33Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
HL-Modell
Wie spezifiziert man die Volatilitätsparameter
Setze , aber wie ist dann zu wählen?
Wir wollen das gilt:
Somit
ud −= u
trVar t ∆=∆2))(ln( σ
( ) 2211 )()(
41)( udrurrVar t =+−+=∆
udtu −=∆= ,σ
Seite 34Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Ho-Lee Vorwärtsinduktion
r
ur +1
0 ∆t 2∆t 3∆t
dr +1
ur 22 + ur 33 +
0.5
0.5
2r
dr 22 +
ur +3
dr +3
dr 33 +11 α+= rr
22 α+= rr33 α+= rr
trdu
trd
tru
eqq
eqeq
∆−
∆−∆−
=+
==21,
21
dtdr
utur
dduduu
dtdr
dd
dtdr
utur
ud
utur
uu
qeqeqqq
qeq
qeqeq
qeq
∆+−∆+−
∆+−
∆+−∆+−
∆+−
+=++
=
+=
=
)()(
)(
)()(
)(
11
1
11
1
21
21
2121
Seite 35Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
HL-Modell
Nun wähle und fitte die Anfangsbondpreise
Schritt 1: Somit und sind spezifiziert.
Schritt 2: Analytische Lösung ergibt den Wert für
etc.
1−ir
du qq ,
niBi ,,2,1, �=
trdu eqqB ∆−=+=1 )ln(1
1Bt
r∆
=
dtdr
utur
dduduu qeqeqqqB ∆+−∆+− +=++= )()(2
11
tBqeqer d
tdu
tu
∆−+=
∆−∆−2
1ln)ln(
Seite 36Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Black-Derman-Toy mit zeitabhängiger Volatilität
r
11ur
0 ∆t 2∆t 3∆t
11dr
222ur
333ur
0.5
0.5
2r
222dr
33ur
33dr
333dr
11 α+= rr
22 α+= rr33 α+= rr
)(dBi
0.5
0.5
)(uBi
)0(iB
tidyi
tiuyi
tiyi
i
i
i
edB
euB
eB
∆−−
∆−−
∆−
=
=
=
)1)((
)1)((
)0(
)(
)(
)0(∆t0
Seite 37Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Black-Derman-Toy mit zeitabhängiger Volatilität
( )[ ] ����
�=∆
)()(ln
21)(ln
dyuyty
i
iiσ
)(dyi
0.5
0.5
)(uyi
)0(iy
∆t0
Eingabe: a) Zinskurve . Ist gleichbedeutend mit der Spezifizierung der Diskontierungsfunktion
b) Volatilitätskurve , wobei gilt: und im Gitter wie folgt definiert:
)0(,),0(),0( 21 nyyy �
tiyi
ieB ∆−= )0()0(
)0(,),0(),0( 32 nσσσ �
( ) tty ii ∆=∆ )0()(ln( σσ
( ) ����
�=∆
)()(ln
21)(ln(
dyuyty
i
iiσ
Seite 38Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters
r
11ur
0 ∆t 2∆t
11dr
222ur
0.5
0.5
2r
222dr
Zinsgitter
1)( =uqu
0 ∆t 2∆t
)(uquu
0.5
0.5
)(uqud
Zustandspreise von u
Seite 39Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters
r
11ur
0 ∆t 2∆t
11dr
222ur
0.5
0.5
2r
222dr
Zinsgitter
1)( =dqd
0 ∆t 2∆t
)(dqdd
0.5
0.5
)(dqud
Zustandspreise von d
Seite 40Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters Spezifizieren von und vonentspricht der Bestimmung von und
bestimmt mit
und bestimmen
Somit: Wähle so, daß übereinstimmen:
)0(,),0(),0( 21 nBBB � )0(,),0(),0( 32 nσσσ �
r nidBuB ii ,,1),(),( �=
)0(1B r treB ∆−=)0(1
)0(1B )0(iσ )(),( dBuB ii
( )
����
�
∆=
+= ∆−
)()(ln
21)0(
)()(21)0(
dyuy
t
dBuBeB
i
ii
iitr
i
σ
ii ur , 1,,1),(),( 11 −=++ nidBuB ii �
Seite 41Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters Algorithmus:1. Schritt: Finde , so daß mit den Marktwerten über- einstimmen
Speziell: sind über über die u und d-Zustandspreise wie folgt gegegben:
11,ur )0(),0( 22 σB
)(),( 22 dBuB
)()()(),()()(21)(,
21)(
21)(,
21)(
22
1111
1111
dqdqdBuququB
edqedq
euqeuq
ddududuu
tdrdd
tdrud
turud
turuu
+=+=
==
==
∆−∆−
∆−∆−
11,ur
Seite 42Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters Dann bestimmen die Preise zum Zeitpunkt 2 die erforderlichen Schritte
D.h. : Bestimmung von bedeutet ein nicht-lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten zu lösen. 2 Dim Newton-Raphson.
( )
����
�
∆=
+= ∆−
)()(ln
21)0(
)()(21)0(
2
22
222
dyuy
t
dBuBeB tr
σ
11,ur
Seite 43Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Aufbau des Black-Derman-Toy Gitters
2. Schritt: Finde , so daß mit den Marktwerten über- einstimmen
Speziell: sind über über die u und d-Zustandspreise wie folgt gegegben:
Die Zustandspreise werden wieder durch die Vorwärtsinduktion bestimmt.Dann bestimmen die Preise zum Zeitpunkt 3 den Schritt:
Löse wiederrum durch 2 Dim Newton-Raphson und bestimme
22,ur )0(),0( 23 σB
)(),( 33 dBuB
)()()()()()()()(
3
3
dqdqdqdBuquququB
dddudduud
udduuduuu
++=++=
22,ur
( ) ����
�
∆=+= ∆−
)()(ln
21)0(,)()(
21)0(
3
33333 dy
uyt
dBuBeB tr σ
22,ur
Seite 44Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Bemerkungen:
1) Optionen im Fixed Income Bereich bestehen mehrheitlich aus Caps/Floors und Swaptions.
2) Händler sind es gewohnt implizierte Volatilitäten zu quotieren, welche auf dem Black Modell basieren (lognormale Zinsen).
3) Die Bewertungen für amerikanische - oder Bermuda Optionen wird meistens in einem Binomialmodell vorgenommen.
4) Das Black Derman Toy Modell basiert auf lognormalen Zinsen und ist in diesem Sinne ähnlich zu den Anwendungen im Black Modell
Seite 45Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Bemerkungen:
5) Das BDT Modell kommt in 3 Ausprägungen vor a) konstante Volatiltät für alle Laufzeiten und Kalibrierung der Zinsen b) Volakurve (stückweise linear im Zeitintervall) und Kalibrierung der Zinsen c) Volakurve und Kalibrierung sowohl der Zinsen als auch der Volatilitäten (führt in der Regel zu nicht-stationären Verhalten der Volatilitäten in der Zukunft), (siehe Jamshidian Artikel).
In der Praxis werden hauptsächlich Typ b) bzw. Typ a) verwendet
Seite 46Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Analytische Bewertungfür Caps
Gängige Marktpraxis ist es Caps/Floors und Swaptions mittels analytischer Funktionen zu berechnen. Bezeichne mit P(t,T) den Wert zum Zeitpunkt t für eine Nullkupon-anleihe mit Laufzeit T. Ferner sei F(t,T,τ) der Wert zum Zeitpunkt t fürden τ periodischen LIBOR forward vom Zeitpunkt T bis zum ZeitpunktT+ τ. Ein Caplet ist eine Option auf diesen LIBOR Forward. Zum Zeit-punkt 0 (=heute) ist der Wert des Caplets mit Laufzeit T,Auszahlungszeitpunkt T+ τ und Strike X:
[ ]ττττ )()(),,0(),0(),,0( 21 dXNdNTFTPTTc −+=+
τ
Seite 47Interest Rate ModelsDr. Ingo Schneider
Analytische Bewertungfür Caps
Wobei der Fowardzins
und
mit σ als Volatilität der logarithmischen Änderungen der Fowards.
τττ
����
� −+
=1
),0(),0(
),,0(TP
TP
TF τ
TddT
TX
TTF
d
σσ
στ
−=
���
� ++
=
12
2
1
5,0),,0(ln
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Analytische Bewertungfür Swaptions
Als Underlying fungieren in der Regel sogenannte Foward Starting SwapsIst eine Vereinbarung in einen Swap in n Perioden in der Zukunft einzutreten.
Der Wert des Forwardswapsatzes (als Kupon) ist derjenige, der die fixe- und variable Seite des Swaps äquivalent macht.Sei Ts der Startzeitpunkt des Swaps und Te der Endzeitpunkt; dann ist derForwardsatz zum Zeitpunkt 0 F(0, Ts,Te) mit τ als Tenor (viertel, halb-jährlich etc) des Swaps.
�
�����
�
�
+
−= ⋅
=
Te
jjTsP
TePTsPTeTsF τ
ττ /1
1),0(
),0(),0(1),,0(
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Analytische Bewertungfür Swaptions
Den Nenner bezeichnet man auch als Annuität A(0,Ts,Te).
Man unterscheidet zwei Arten von Swaptions:a) Payer: Das Recht in einen Swap einzutreten bei dem der Swapsatz X gezahlt wird. Entspricht einer Call Option auf einen fixen Zinssatz (Oder: Einer Put Option auf einer Kupon Anleihe)b) Receiver: Das Recht in einen Swap einzutreten, bei dem der fixe Swapsatz X empfangen wird. Entspricht einer Put Option auf einen fixen Zinssatz (Oder: Einer Call Option auf eine Kupon Anleihe)
Der fixierte Swapsatz ist der Strike der Option
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Analytische Bewertungfür Swaptions
Der Wert einer Payeroption zum Zeitpunkt t =0 mit Laufzeit Ts, Strike Xund Swaplaufzeit Te ( Die fixen Zahlungen im Swap sind .Jeder Cashflow entspricht dem Auszahlungsprofil einer Calloption).
Bewertung von Bermuda SwaptionsBermuda Swaptionen sind Optionen bei denen zum jeweiligen Kuponzeitpunktein Ausübungsrecht hinzukommt.Gegenüber Standard-Optionen sind Bermuda Optionen nicht alseinzelne Produkte handelbar, sondern nur im Packet mit dem Basis-instrument Swap (bzw. Anleihe).Die entscheidende Beziehung ist nun das z.B. eine jährlich kündbareAnleihe aus folgender Beziehung hergeleitet werden kann(enspricht einer intrinsischen Call Option auf die Anleihe).
Wert der Option = Wert der Kupon-Anleihe - Wert der kündbaren Anleihe
Der Wert der Kupon-Anleihe ist einfach zu berechnen. Man startet amEnde des Gitters und fügt zum Nominalbetrag den Kupon hinzu.Beim rekursiven Rückwärtsrechnen wird mit dem periodischen Zinssatzabdiskontiert und wenn in dieser Periode ein Kupon fällig wird, dieserentsprechend dazu addiert.
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Bewertung von Bermuda Swaptions
Bezeichne mit P(i,j); i= 0,...n, j = -i bis i den Wert der Anleihe amjeweiligen Knoten und C(i) den Kupon, dann kann man die rekursiveGleichung wie folgt schreiben:
Im folgenden betrachten wir eine jährlich kündbare Anleihe. ( Es handelt sich um eine Receiver Bermuda Swaption).
Die Laufzeit ist 4 Jahre, die Kurve ist flach und beträgt 6 %, dieVolakurve ist ebenfalls flach und sei 15 %, die Zeischritte seienmit ∆ t = 1; der Kupon ist 6,25 % .
( ) iCjiPjiPjir
jiP +−+++++
= )1,1()1,1(5,0)),(1(
1),(
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103,58
Die Anleihe mit 6,25 % Kupon, Nominal = 100106,25
106,25
106,25
106,25
106,25
105,74
107,41
108,68
103,20
106,90
109,78
104,52
109,32100,87
0 1 2 3 4
∆t=1
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Bewertung von Bermuda Swaptions
Für die Berechnung der kündbaren Anleihe gilt nun am jeweils möglichen Kündigungszeitpunkt die Bedingung:
D.h: Ist der abdiskontierte Wert grösser als 100, dann kündigt derVerkäufer der Anleihe und zahlt nur den Betrag von 100 aus. Dann kommt der Kupon hinzu und man wendet das rekursive Verfahren bis zum Zeitpunkt 0 an.
Der Wert der kündbaren Anleihe ist 99,28 und somit ist derWert der Bermuda Receiver Swaption 100,87-99,28 =1,59Die entsprechende Bermuda Payer Swaption ist 0,871
( ) iCjiPjiPjir
MINjiP +�
��
�−++++
+= 100;)1,1()1,1(5,0
)),(1(1),(
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103,58
Wert der kündbaren Anleihe106,25
106,25
106,25
106,25
106,25
105,74
106,25
106,25
103,20
106,25
106,25
104,21
106,2599,28
0 1 2 3 4
∆t=1
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ÜBUNG 2:
Aufgaben: Benutze EXCEL sheet BDTueb1a.xls
Gegeben sei folgende Zinskurve: τ = 0,5 mit 10 % für alle Laufzeiten und ebenfalls 10 % für alle Laufzeiten:(siehe Jamshidian paper)
a) Kalibriere das Gitter mit EXCEL Solver (Siehe Median des Papers)b) Berechne eine europäische Put Option, Optionslaufzeit 2 Jahre und Anleihelaufzeit 4 Jahre, Kupon 8,5 %. Wie nennt man diese Option? c) Berechne diese Option mittels der analytischen Formel d) Bewerte eine Bermuda Payer Swaption mit Laufzeit 4 Jahre τ = 0,5 6 % curve und 20,12 % Vola ( siehe Andersen Paper)
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ÜBUNG 3:
Aufgaben: Benutze EXEL sheet BDTueb1b.xls
Gegeben sei folgende Zinskurve: τ = 0,5 mit folgenden Perioden Periode (j) Zinskurve Volkurve 1 0,04989 0,125 2 0,05129 0,150 3 0,05209 0,165 4 0,05294 0,170 5 0,05362 0,175 6 0,05420
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1) Kalibriere das Gitter mit dem EXEL Solver
2) Berechne einen 2 jährigen CAP (X=5,5 %) a) mittels der analytischen Funktion b) mittels des Gitters Hinweis: Es handelt sich hier um kontinuierliche Raten
3) Berechne eine 1 X 2 jährige ATM Payer Swaption a) mittels der analytischen Funktion (vola = 15,55 %) b) mittels des Gitters
4) Berechne einen 5 jährigen jährlich kündbaren Bond Kupon 5,5 % = BERMUDA OPTION
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Literatur:
- Hull, J.,: Options, Futures, and other Derivatives, 4th edition, Prentice Hall, 2000
- Jamshidian, F.,:“Forward induction and construction of yield curve diffusion models,“, Journal of Fixed Income, June, 1991, 62-74
- Jarrow, R.,:“Modelling Fixed Income Securities and Interest Rate Options“,McGraw-Hill, 1996