Top Banner
ICE Zeta regularization: from zero to infinity ... and back E MILIO E LIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC, Bellaterra, Nov 29, 2013 E Elizalde, Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC, Bellaterra, Nov 29, 2013 – p. 1/13
22

Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

Jan 04, 2020

Download

Documents

dariahiddleston
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

ICE

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Zeta regularization:from zero to infinity

... and back

EMILIO ELIZALDE

ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona

Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC, Bellaterra, Nov 29, 2013

E Elizalde, Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC, Bellaterra, Nov 29, 2013 – p. 1/13

Page 2: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

Outline

The concept of (natural) number. Marks on old bones.

The concept of infinity. Old problems and paradoxes.

Infinite sets: N,Z,Q,R,C. Cantor.

On the axiom of infinity. Gödel.

Divergent series.

The zeta function.

Spectrum only known implicitly.

Operator zeta functions: ζA for A a ΨDO, Det’s.

Dixmier trace, Wodzicki Residue.

Multiplicative anomaly or defect.

E Elizalde, Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC, Bellaterra, Nov 29, 2013 – p. 2/13

Page 3: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

Found in Lebombo Mountains between South Africa and Swaziland, the bone has been dated to approx. 37,000 years old

Wolf bone

approx. 30,000 years old

Page 4: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

Front and rear of Ishango Bone in the Museum of Natural Sciences, Brussels,

approx. 20,000 old, portrays a series of prime numbers

In 976 AD the Persian encyclopedist Muhammad ibn Ahmad al-Khwarizmi, in his "Keys of the Sciences", remarked that if, in a calculation, no number appears in the place of tens, then a little circle should be used "to keep the rows". This circle was called رفص (ṣifr, "empty") in Arabic

Page 5: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

Trying to Understand • Number: Lebombo b 29;37m, Wolf 11x5+2;30m, Ishango 22m • Pre-Socratic philosophers: substance, number, power, infinity,

movement, being, atom, space, time, ... Mathesis • Plato: Ta mathemata (pillars of knowledge)

”Maβ, Zahl und Gewicht” M Folkerts, E Knobloch, K Reich • Pythagoras school: ”all things are numbers” • Galileo Galilei: ”the book of nature is written in mathematical

language” • Emmanuel Kant: ”the problem is to make inteligible the idea

itself that our Universe is inteligible” • Albert Einstein: ”the eternal mystery of the world is its

comprehensibility; the fact that the Universe is comprehensible is a miracle”

• Eugene Wigner: ”the irrational effectivness of mathematics in all natural sciences”

Page 6: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

Zeno's paradoxes [Zeno of Elea (ca. 490–430 BC)] : Achilles and the Tortoise

1/2 +1/4 + 1/8 + 1/16 + …

1 – 1 +1 – 1 + 1 – 1 + …

1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + …

eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
Quantum Zeno
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
eli
Texto escrito a máquina
Paradox
eli
Texto escrito a máquina
Page 7: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

Set Theory• Georg Cantor• Paradoxes: Bertrand Russell• Bourbaki School• Axiomatics

Page 8: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

Infinite cardinals (aleph)Natural numbers: N א 0

Integer numbers: Z א 0

Rational numbers: Q א 0

Real numbers: R 1א CantorDoes it Exist? X: Q < X < R

Page 9: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

1+1/2+1/3+1/4 +…+1/N ~ ln N

1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - … = ln 2

Harmonic series:

ζ (s) = 1 + 1/2s + 1/3

s + 1/4

s +…

As for quantum vacuum fluctuations!

(Heisenberg’s uncertainty principle)

Alternated:

Riemann ζ function:

Page 10: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���� �� ��−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −4

s

a.c.

(s) = −−1

nsζ Σ

(s)ζ

pole

Page 11: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,
Page 12: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

Existence ofζA for A a ΨDO1. A a positive-definite elliptic ΨDO of positive order m ∈ R+

2. A acts on the space of smooth sections of

3. E, n-dim vector bundle over

4. M closed n-dim manifold

(a) The zeta function is defined as:ζA(s) = tr A−s =

∑j λ

−sj , Re s > n

m := s0

{λj} ordered spect of A, s0 = dimM/ordA abscissa of converg of ζA(s)

(b) ζA(s) has a meromorphic continuation to the whole complex plane C

(regular at s = 0), provided the principal symbol of A, am(x, ξ), admits aspectral cut: Lθ = {λ ∈ C; Argλ = θ, θ1 < θ < θ2}, SpecA ∩ Lθ = ∅(the Agmon-Nirenberg condition)

(c) The definition of ζA(s) depends on the position of the cut Lθ

(d) The only possible singularities of ζA(s) are poles atsj = (n− j)/m, j = 0, 1, 2, . . . , n− 1, n+ 1, . . .

E Elizalde, MSQSA Benasque, July 11, 2012 – p. 15/22

Page 13: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

Definition of DeterminantH ΨDO operator {ϕi, λi} spectral decomposition

∏i∈I λi ?! ln

∏i∈I λi =

∑i∈I lnλi

Riemann zeta func: ζ(s) =∑∞

n=1 n−s, Re s > 1 (& analytic cont)

Definition: zeta function of H ζH(s) =∑

i∈I λ−si = tr H−s

As Mellin transform: ζH(s) = 1Γ(s)

∫ ∞0 dt ts−1 tr e−tH , Res > s0

Derivative: ζ ′H(0) = −∑i∈I lnλi

Determinant: Ray & Singer, ’67detζ H = exp [−ζ ′H(0)]

Weierstrass def: subtract leading behavior of λi in i, as i→ ∞,

until series∑

i∈I lnλi converges =⇒ non-local counterterms !!

C. Soulé et al, Lectures on Arakelov Geometry, CUP 1992; A. Voros,...

E Elizalde, MSQSA Benasque, July 11, 2012 – p. 16/22

Page 14: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

Multipl or N-Comm Anomaly, or DefectGiven A, B, and AB ψDOs, even if ζA, ζB, and ζAB exist,it turns out that, in general,

detζ(AB) 6= detζA detζB

The multiplicative (or noncommutative) anomaly (defect)is defined as

δ(A,B) = ln

[detζ(AB)

detζ A detζ B

]= −ζ ′AB(0) + ζ ′A(0) + ζ ′B(0)

Wodzicki formula

δ(A,B) =res

{[ln σ(A,B)]2

}

2 ordA ordB (ordA+ ordB)

where σ(A,B) = Aord BB−ord A

E Elizalde, MSQSA Benasque, July 11, 2012 – p. 21/22

Page 15: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

Consequences of the Multipl AnomalyIn the path integral formulation

∫[dΦ] exp

{−

∫dDx

[Φ†(x)

( )Φ(x) + · · ·

]}

Gaussian integration: −→ det( )±

A1 A2

A3 A4

−→

A

B

det(AB) or detA · detB ?

In a situation where a superselection rule exists, AB has no

sense (much less its determinant): =⇒ detA · detB

But if diagonal form obtained after change of basis (diag.

process), the preserved quantity is: =⇒ det(AB)

E Elizalde, MSQSA Benasque, July 11, 2012 – p. 22/22

Page 16: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,
Page 17: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,
Page 18: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,
Page 19: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

EL ALEPH JORGE LUIS BORGES O God, I could be bounded in a nutshell and count myself a King of infinite space. Hamlet, II, 2.

… En la parte inferior del escalón, hacia la derecha, vi una pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor. Al principio la creí giratoria; luego comprendí que ese movimiento era una ilusión producida por los vertiginosos espectáculos que encerraba. El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo ...

Page 21: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,
Page 22: Zeta regularization: from zero to infinity and backZeta regularization: from zero to infinity... and back EMILIO ELIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC,

Thank You

Gracias

Mercès