ICE Zeta regularization: from zero to infinity ... and back E MILIO E LIZALDE ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC, Bellaterra, Nov 29, 2013 E Elizalde, Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC, Bellaterra, Nov 29, 2013 – p. 1/13
ICE
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Zeta regularization:from zero to infinity
... and back
EMILIO ELIZALDE
ICE/CSIC & IEEC, UAB, Barcelona
Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC, Bellaterra, Nov 29, 2013
E Elizalde, Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC, Bellaterra, Nov 29, 2013 – p. 1/13
Outline
The concept of (natural) number. Marks on old bones.
The concept of infinity. Old problems and paradoxes.
Infinite sets: N,Z,Q,R,C. Cantor.
On the axiom of infinity. Gödel.
Divergent series.
The zeta function.
Spectrum only known implicitly.
Operator zeta functions: ζA for A a ΨDO, Det’s.
Dixmier trace, Wodzicki Residue.
Multiplicative anomaly or defect.
E Elizalde, Seminari Pizza-lunch ICE-IEEC, Bellaterra, Nov 29, 2013 – p. 2/13
Found in Lebombo Mountains between South Africa and Swaziland, the bone has been dated to approx. 37,000 years old
Wolf bone
approx. 30,000 years old
Front and rear of Ishango Bone in the Museum of Natural Sciences, Brussels,
approx. 20,000 old, portrays a series of prime numbers
In 976 AD the Persian encyclopedist Muhammad ibn Ahmad al-Khwarizmi, in his "Keys of the Sciences", remarked that if, in a calculation, no number appears in the place of tens, then a little circle should be used "to keep the rows". This circle was called رفص (ṣifr, "empty") in Arabic
Trying to Understand • Number: Lebombo b 29;37m, Wolf 11x5+2;30m, Ishango 22m • Pre-Socratic philosophers: substance, number, power, infinity,
movement, being, atom, space, time, ... Mathesis • Plato: Ta mathemata (pillars of knowledge)
”Maβ, Zahl und Gewicht” M Folkerts, E Knobloch, K Reich • Pythagoras school: ”all things are numbers” • Galileo Galilei: ”the book of nature is written in mathematical
language” • Emmanuel Kant: ”the problem is to make inteligible the idea
itself that our Universe is inteligible” • Albert Einstein: ”the eternal mystery of the world is its
comprehensibility; the fact that the Universe is comprehensible is a miracle”
• Eugene Wigner: ”the irrational effectivness of mathematics in all natural sciences”
Zeno's paradoxes [Zeno of Elea (ca. 490–430 BC)] : Achilles and the Tortoise
1/2 +1/4 + 1/8 + 1/16 + …
1 – 1 +1 – 1 + 1 – 1 + …
1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + …
Infinite cardinals (aleph)Natural numbers: N א 0
Integer numbers: Z א 0
Rational numbers: Q א 0
Real numbers: R 1א CantorDoes it Exist? X: Q < X < R
1+1/2+1/3+1/4 +…+1/N ~ ln N
1- 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - … = ln 2
Harmonic series:
ζ (s) = 1 + 1/2s + 1/3
s + 1/4
s +…
As for quantum vacuum fluctuations!
(Heisenberg’s uncertainty principle)
Alternated:
Riemann ζ function:
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
���� �� ��−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −4
s
a.c.
(s) = −−1
nsζ Σ
(s)ζ
pole
Existence ofζA for A a ΨDO1. A a positive-definite elliptic ΨDO of positive order m ∈ R+
2. A acts on the space of smooth sections of
3. E, n-dim vector bundle over
4. M closed n-dim manifold
(a) The zeta function is defined as:ζA(s) = tr A−s =
∑j λ
−sj , Re s > n
m := s0
{λj} ordered spect of A, s0 = dimM/ordA abscissa of converg of ζA(s)
(b) ζA(s) has a meromorphic continuation to the whole complex plane C
(regular at s = 0), provided the principal symbol of A, am(x, ξ), admits aspectral cut: Lθ = {λ ∈ C; Argλ = θ, θ1 < θ < θ2}, SpecA ∩ Lθ = ∅(the Agmon-Nirenberg condition)
(c) The definition of ζA(s) depends on the position of the cut Lθ
(d) The only possible singularities of ζA(s) are poles atsj = (n− j)/m, j = 0, 1, 2, . . . , n− 1, n+ 1, . . .
E Elizalde, MSQSA Benasque, July 11, 2012 – p. 15/22
Definition of DeterminantH ΨDO operator {ϕi, λi} spectral decomposition
∏i∈I λi ?! ln
∏i∈I λi =
∑i∈I lnλi
Riemann zeta func: ζ(s) =∑∞
n=1 n−s, Re s > 1 (& analytic cont)
Definition: zeta function of H ζH(s) =∑
i∈I λ−si = tr H−s
As Mellin transform: ζH(s) = 1Γ(s)
∫ ∞0 dt ts−1 tr e−tH , Res > s0
Derivative: ζ ′H(0) = −∑i∈I lnλi
Determinant: Ray & Singer, ’67detζ H = exp [−ζ ′H(0)]
Weierstrass def: subtract leading behavior of λi in i, as i→ ∞,
until series∑
i∈I lnλi converges =⇒ non-local counterterms !!
C. Soulé et al, Lectures on Arakelov Geometry, CUP 1992; A. Voros,...
E Elizalde, MSQSA Benasque, July 11, 2012 – p. 16/22
Multipl or N-Comm Anomaly, or DefectGiven A, B, and AB ψDOs, even if ζA, ζB, and ζAB exist,it turns out that, in general,
detζ(AB) 6= detζA detζB
The multiplicative (or noncommutative) anomaly (defect)is defined as
δ(A,B) = ln
[detζ(AB)
detζ A detζ B
]= −ζ ′AB(0) + ζ ′A(0) + ζ ′B(0)
Wodzicki formula
δ(A,B) =res
{[ln σ(A,B)]2
}
2 ordA ordB (ordA+ ordB)
where σ(A,B) = Aord BB−ord A
E Elizalde, MSQSA Benasque, July 11, 2012 – p. 21/22
Consequences of the Multipl AnomalyIn the path integral formulation
∫[dΦ] exp
{−
∫dDx
[Φ†(x)
( )Φ(x) + · · ·
]}
Gaussian integration: −→ det( )±
A1 A2
A3 A4
−→
A
B
det(AB) or detA · detB ?
In a situation where a superselection rule exists, AB has no
sense (much less its determinant): =⇒ detA · detB
But if diagonal form obtained after change of basis (diag.
process), the preserved quantity is: =⇒ det(AB)
E Elizalde, MSQSA Benasque, July 11, 2012 – p. 22/22
EL ALEPH JORGE LUIS BORGES O God, I could be bounded in a nutshell and count myself a King of infinite space. Hamlet, II, 2.
… En la parte inferior del escalón, hacia la derecha, vi una pequeña esfera tornasolada, de casi intolerable fulgor. Al principio la creí giratoria; luego comprendí que ese movimiento era una ilusión producida por los vertiginosos espectáculos que encerraba. El diámetro del Aleph sería de dos o tres centímetros, pero el espacio cósmico estaba ahí, sin disminución de tamaño. Cada cosa (la luna del espejo, digamos) era infinitas cosas, porque yo claramente la veía desde todos los puntos del universo ...
Some of my Books