1 Zelluläre Zelluläre Automaten Automaten Wo,Yaoliang Wo,Yaoliang IMT IMT 9920836 9920836
11
Zelluläre AutomatenZelluläre Automaten
Wo,YaoliangWo,Yaoliang
IMTIMT
99208369920836
2
GliederungGliederung
► EinführungEinführung
► Bausteine eines Zellulären AutomatenBausteine eines Zellulären Automaten
► Eindimensionale Zelluläre AutomatenEindimensionale Zelluläre Automaten
► ZusammenfassungZusammenfassung
3
EinführungEinführung
► Zelluläre Automaten sind mathematische Systeme, die durch einfache Regeln Zelluläre Automaten sind mathematische Systeme, die durch einfache Regeln beschrieben werden und hochkomplexes Verhalten zeigenbeschrieben werden und hochkomplexes Verhalten zeigen..
► Die Die erste Simulationerste Simulation von Zellpopulationen: von Zellpopulationen: -- in den 50er Jahren -- in den 50er Jahren John von NeumannJohn von Neumann► ""GAME OF LIFEGAME OF LIFE":": --1968 John Horton Conway --1968 John Horton Conway -- der berühmteste zelluläre Automat.-- der berühmteste zelluläre Automat.► eindimensionale zelluläre Automaten:eindimensionale zelluläre Automaten: -- Systematisierung in den 80er Jahren durch Wolfram -- Systematisierung in den 80er Jahren durch Wolfram -- mit vollkommen deterministischen Regeln und -- mit vollkommen deterministischen Regeln und Betrachtung der Raum- und Zeitdimension durch Betrachtung der Raum- und Zeitdimension durch
dasdas Aneinanderreihen der räumlichen Zustände in Aneinanderreihen der räumlichen Zustände in
ihremihrem zeitlichen Verlauf.zeitlichen Verlauf.
4
Die Grundcharakteristika eines zellulären AutomatenDie Grundcharakteristika eines zellulären Automaten
nach nach Gerhard und SchusterGerhard und Schuster ( (19951995, S. 18f.):, S. 18f.): ► Seine Entwicklung findet in Raum und Zeit statt. Seine Entwicklung findet in Raum und Zeit statt. ► Sein Raum ist eine diskrete Menge zahlreicher Zellen. Sein Raum ist eine diskrete Menge zahlreicher Zellen. ► Jede dieser Zellen hat nur eine endliche Anzahl möglicher Zustände.Jede dieser Zellen hat nur eine endliche Anzahl möglicher Zustände.► Die Zustände der Zellen verändern sich in diskreten Zeitschritten. Die Zustände der Zellen verändern sich in diskreten Zeitschritten. ► Alle Zellen sind identisch und verhalten sich nach den gleichen Alle Zellen sind identisch und verhalten sich nach den gleichen
Entwicklungsregeln.Entwicklungsregeln.
► Die Entwicklung einer Zelle hängt nur von ihrem Zustand und dem Die Entwicklung einer Zelle hängt nur von ihrem Zustand und dem ihrer lokal umgebenden Nachbarzellen ab.ihrer lokal umgebenden Nachbarzellen ab.
5
Bausteine eines zellulären AutomatenBausteine eines zellulären Automaten ► ZellraumZellraum
1. Diskrete Struktur1. Diskrete Struktur
2. unterschiedliche Dimension (ein-, zwei- oder dreidimensional)2. unterschiedliche Dimension (ein-, zwei- oder dreidimensional)
3. Unterschiedliche Geometrie der Zellen (3. Unterschiedliche Geometrie der Zellen (z. B. rechteckig,z. B. rechteckig,
hexagonal, dreieckighexagonal, dreieckig) )
4. Die Größe (4. Die Größe (z. Bz. B ein zweidimensionaler zellulärer ein zweidimensionaler zellulärer Automat mit Automat mit
10*10 rechteckigen Zellen ) 10*10 rechteckigen Zellen )
6
Bausteine eines zellulären AutomatenBausteine eines zellulären Automaten
►Die NachbarschaftDie Nachbarschaft
1.1. abhängig von der Dimension und Geometrie des zellulären Automatenabhängig von der Dimension und Geometrie des zellulären Automaten
2.2. der Radiusder Radius
3.3. ob „Eck-Zellen“ als Nachbarn gezählt werdenob „Eck-Zellen“ als Nachbarn gezählt werden
7
Bausteine eines zellulären AutomatenBausteine eines zellulären Automaten
► RandbedingungenRandbedingungen1.1. ProblemeProbleme
①① diskreter Zellraumdiskreter Zellraum
②② die andere lokale Umgebung an den Ränderndie andere lokale Umgebung an den Rändern
③③ ein großes Gewicht von einem kleinen Zellraumein großes Gewicht von einem kleinen Zellraum
8
Bausteine eines zellulären AutomatenBausteine eines zellulären Automaten
22.. StrategienStrategien
①① Die periodische RandbedingungDie periodische Randbedingung
─ die Ränder des Zellraums sind miteinander zu verklebendie Ränder des Zellraums sind miteinander zu verkleben
─ Aus einem eindimensionalen Zellulären Automaten wird ein Aus einem eindimensionalen Zellulären Automaten wird ein
„Ring“, in dem die Zelle am rechten Rand zu der am linken „Ring“, in dem die Zelle am rechten Rand zu der am linken
benachbart ist. benachbart ist.
②② Die symmetrische Randbedingung Die symmetrische Randbedingung entspricht einer entspricht einer
Spiegelung der RandzellenSpiegelung der Randzellen
9
Bausteine eines zellulären AutomatenBausteine eines zellulären Automaten
► ZustandsmengeZustandsmenge
1.1. nur wenige Zustände (oft nur 2 Zustände 0 und 1)nur wenige Zustände (oft nur 2 Zustände 0 und 1)
2.2. die Definition muss genau festgelegt werdendie Definition muss genau festgelegt werden
3.3. Anzahl der Zustände des Automaten beträgt kAnzahl der Zustände des Automaten beträgt kNN (k (k
Zellzustände, N ZellenZellzustände, N Zellen))
► ZustandensentwicklungZustandensentwicklung
1.1. Abhängig nur von dem Selbstzustand und den Zuständen der Abhängig nur von dem Selbstzustand und den Zuständen der
Zellen derZellen der NachbarschaftNachbarschaft
2.2. Die Anzahl der möglichen Spielregeln beträgt Die Anzahl der möglichen Spielregeln beträgt KKkknn . Abhängig . Abhängig
nur von der Anzahl der Zellzustände nur von der Anzahl der Zellzustände kk und der Größe der und der Größe der
Nachbarschaft n.Nachbarschaft n.
10
Eindimensionale zelluläre AutomatenEindimensionale zelluläre Automaten ((WolframWolfram--AutomatenAutomaten))
Eindimensionale zelluläre AutomatenEindimensionale zelluläre Automaten
► In der 80er Jahren untersuchte und systematisierte Wolfram In der 80er Jahren untersuchte und systematisierte Wolfram
die Eigenschaften von zellulären Automaten. Um die Eigenschaften von zellulären Automaten. Um
Systematisierung zu erreichen, beschränkte er sich auf Systematisierung zu erreichen, beschränkte er sich auf
eindimensionale zelluläre Automaten mit vollkommen eindimensionale zelluläre Automaten mit vollkommen
deterministischen Regeln und betrachtete die Raum- und deterministischen Regeln und betrachtete die Raum- und
Zeitdimension durch das Aneinanderreihen der räumlichen Zeitdimension durch das Aneinanderreihen der räumlichen
Zustände in ihrem zeitlichen Verlauf.Zustände in ihrem zeitlichen Verlauf.
► Eine Zelle hat nur 2 Zustände (Wert 0 oder 1).Eine Zelle hat nur 2 Zustände (Wert 0 oder 1).
11
Eindimensionale zelluläre AutomatenEindimensionale zelluläre Automaten ((WolframWolfram--AutomatenAutomaten))
► Wird eine Zelle an der Position i im Zellraum zum Zeitpunkt t mit Wird eine Zelle an der Position i im Zellraum zum Zeitpunkt t mit
ZZii(t) beschrieben, dann ist eine mögliche Formel für eine (t) beschrieben, dann ist eine mögliche Formel für eine
Entwicklungsregel: Entwicklungsregel:
ZZii(t+1)=(Z(t+1)=(Zi-1i-1(t)+ Z(t)+ Zi+1i+1(t)) mod 2.(t)) mod 2.
Der Wert der Zelle ZDer Wert der Zelle Zii(t+1) ergibt sich aus der Summe der Werte (t+1) ergibt sich aus der Summe der Werte
ihrer beiden Nachbarzellen im vorherigen Zeitschritt modulo 2.ihrer beiden Nachbarzellen im vorherigen Zeitschritt modulo 2.
ZZii(t+1)= 0, wenn (t+1)= 0, wenn (Z(Zi-1i-1(t)+ Z(t)+ Zi+1i+1(t)) gerade(t)) gerade
1, wenn 1, wenn (Z(Zi-1i-1(t)+ Z(t)+ Zi+1i+1(t)) ungerade(t)) ungerade
► Anzahl möglicher Spielregeln: KAnzahl möglicher Spielregeln: Kkknn
12
Eindimensionale zelluläre Eindimensionale zelluläre AutomatenAutomaten
((WolframWolfram--Automaten)Automaten)Das Verhalten der grünen Zelle wird durch die benachbarten blauen Das Verhalten der grünen Zelle wird durch die benachbarten blauen
Zellen bestimmt.Zellen bestimmt. Das Pascalsche DreieckDas Pascalsche Dreieck
NB: Anzahl der NachbarnNB: Anzahl der NachbarnK: Anzahl der möglichen Zustände jeder ZelleK: Anzahl der möglichen Zustände jeder Zelle
Das Pascalsche DreieckDas Pascalsche Dreieck
NR.NR. 11 22 33 44 55 66 77 88
NachbarschaftNachbarschaft 000000 000011 001100 001111 110000 110011 111100 111111
FolgezustandFolgezustand 00 11 00 00 11 00 00 00
13
Eindimensionale zelluläre Eindimensionale zelluläre AutomatenAutomaten
((WolframWolfram--Automaten)Automaten)Z.B für k = 2 heißt dies, jede Zelle hat 2 Zustände (entweder 0 oder 1).Z.B für k = 2 heißt dies, jede Zelle hat 2 Zustände (entweder 0 oder 1).
1 ist durch schwarzen Gitterplatz gekennzeichnet.1 ist durch schwarzen Gitterplatz gekennzeichnet.
0 ist durch weißen Gitterplatz gekennzeichnet0 ist durch weißen Gitterplatz gekennzeichnet
RuleHex:12 (Wolfram's Hexadezimal-Code)RuleHex:12 (Wolfram's Hexadezimal-Code)
RuleBinary: 00010010 = (RuleBinary: 00010010 = (000100010010)0010)2 2 = (= (112)2)1616
Mögliche Spielregeln: KMögliche Spielregeln: Kkknn = 2^2^3=256. Das heißt, dass es außer dieser Spielregel = 2^2^3=256. Das heißt, dass es außer dieser Spielregel
noch 255 mögliche Spielregeln gibt.noch 255 mögliche Spielregeln gibt.
14
Eindimensionale zelluläre Eindimensionale zelluläre AutomatenAutomaten
((WolframWolfram--Automaten)Automaten)Bermuda Triangle RuleBermuda Triangle Rule
NB=5 (R=2) NB=5 (R=2) K=2K=2
Bermuda Triangle RuleBermuda Triangle Rule
RuleBinary = 00111000111001000100000100111101, RuleHex = BC82271CRuleBinary = 00111000111001000100000100111101, RuleHex = BC82271C
NR.NR. 11 22 33 44 55 66 77 88
NachbarschaftNachbarschaft 0000000000 0000000101 0000001010 0000001111 0000110000 0000110101 0000111010 0000111111
FolgezustandFolgezustand 00 00 11 11 11 00 00 00
NR.NR. 99 1010 1111 1212 1313 1414 1515 1616
NachbarschaftNachbarschaft 0101000000 0101000101 0101001010 0101001111 0101110000 0101110101 0101111010 0101111111
FolgezustandFolgezustand 11 11 11 00 00 11 00 00
15
Eindimensionale zelluläre Eindimensionale zelluläre AutomatenAutomaten
((WolframWolfram--Automaten)Automaten)
mögliche Spielregeln sind 2mögliche Spielregeln sind 22255 = 4,294,967,296 = 4,294,967,296
NR.NR. 1717 1818 1919 2020 2121 2222 2323 2424
NachbarschaftNachbarschaft 1010000000 1010000101 1010001010 1010001111 1010110000 1010110101 1010111010 1010111111
FolgezustandFolgezustand 00 11 00 00 00 00 00 11
NR.NR. 2525 2626 2727 2828 2929 3030 3131 3232
NachbarschaftNachbarschaft 1111000000 1111000101 1111001010 1111001111 1111110000 1111110101 1111111010 1111111111
FolgezustandFolgezustand 00 00 11 11 11 11 00 11
16
Eindimensionale zelluläre Eindimensionale zelluläre AutomatenAutomaten
((WolframWolfram--Automaten)Automaten)4 Klassen4 Klassen► Nach einer großen Anzahl von Computersimulationen fanden Wolfram und Nach einer großen Anzahl von Computersimulationen fanden Wolfram und
seine Mitarbeiter heraus, dass man die eindimensionalen Automaten in 4 seine Mitarbeiter heraus, dass man die eindimensionalen Automaten in 4 Klassen unterteilen kann.Klassen unterteilen kann.
17
Eindimensionale zelluläre Eindimensionale zelluläre AutomatenAutomaten
((WolframWolfram--Automaten)Automaten)1. 1. In der ersten Klasse befinden sich alle Automaten, die sich aus In der ersten Klasse befinden sich alle Automaten, die sich aus
fast allen möglichen Anfangszuständen nach kurzer Zeit zu einem fast allen möglichen Anfangszuständen nach kurzer Zeit zu einem unveränderlichen Endzustand entwickeln werden.unveränderlichen Endzustand entwickeln werden.
18
Eindimensionale zelluläre Eindimensionale zelluläre AutomatenAutomaten
((WolframWolfram--Automaten)Automaten)2.2. Klasse 2 enthält alle Automaten, welche periodische Muster Klasse 2 enthält alle Automaten, welche periodische Muster
ausbilden. Anders als in der ersten Klasse überleben nur ausbilden. Anders als in der ersten Klasse überleben nur einzelne mehr oder weniger breite Stränge von Zellen. Diese einzelne mehr oder weniger breite Stränge von Zellen. Diese sehen am Schluss wie ein Strichcode aus. sehen am Schluss wie ein Strichcode aus.
19
Eindimensionale zelluläre Eindimensionale zelluläre AutomatenAutomaten
((WolframWolfram--Automaten)Automaten)3. 3. Klasse 3: Automaten mit diesen Regeln zeigen ständige Klasse 3: Automaten mit diesen Regeln zeigen ständige
Veränderungen ohne eindeutigen Endzustand, Eigenschaften Veränderungen ohne eindeutigen Endzustand, Eigenschaften chaotischen Verhaltens.chaotischen Verhaltens.
20
Eindimensionale zelluläre Eindimensionale zelluläre AutomatenAutomaten
((WolframWolfram--Automaten)Automaten)4.4. Klasse 4: Automaten entwickeln komplizierte, räumlich Klasse 4: Automaten entwickeln komplizierte, räumlich
voneinander getrennte Muster, die sich im Laufe der Zeit voneinander getrennte Muster, die sich im Laufe der Zeit durch den Zellraum bewegen.durch den Zellraum bewegen.
21
Eindimensionale zelluläre Eindimensionale zelluläre AutomatenAutomaten
((WolframWolfram--Automaten)Automaten)► Unterschiede zwischen den vier Klassen durchUnterschiede zwischen den vier Klassen durch
1.1. Aussehen und Gestalt der letztlich entstehenden Musterbildungen Aussehen und Gestalt der letztlich entstehenden Musterbildungen undund
2.2. jeweils einen eigenen Grad der Vorhersagbarkeitjeweils einen eigenen Grad der Vorhersagbarkeit
Klasse 1 : das gesamte Verhalten ist ohne genaue Kenntnis Klasse 1 : das gesamte Verhalten ist ohne genaue Kenntnis eines Anfangszustands vorhersagbareines Anfangszustands vorhersagbar
Klasse 2 : im Anfangszustand sind nur kleine, begrenzte Klasse 2 : im Anfangszustand sind nur kleine, begrenzte Bereiche relevant, um den Zustand einer bestimmten Zelle im Bereiche relevant, um den Zustand einer bestimmten Zelle im Endzustand vorherzusagenEndzustand vorherzusagen
Klasse 3 und Klasse 4 : die gesamte Musterbildung kann durch Klasse 3 und Klasse 4 : die gesamte Musterbildung kann durch die Änderung eines einzelnen Zellenzustands beeinflusst die Änderung eines einzelnen Zellenzustands beeinflusst werden. werden.
22
Eindimensionale zelluläre Eindimensionale zelluläre AutomatenAutomaten
((WolframWolfram--Automaten)Automaten)► "Magische Parameter""Magische Parameter"
Ein wichtiger Parameter Ein wichtiger Parameter λ λ wurde von Christopher Langton gefunden, wurde von Christopher Langton gefunden, damit man einen Automaten nur nach seiner Produktionsregel in damit man einen Automaten nur nach seiner Produktionsregel in eine der Klassen einteilen kann. Dieser Parameter drückt die eine der Klassen einteilen kann. Dieser Parameter drückt die Wahrscheinlichkeit aus, mit welcher eine Zelle mit Zustand 1 Wahrscheinlichkeit aus, mit welcher eine Zelle mit Zustand 1 ("lebend") in der nächsten Runde überlebt oder nicht. ("lebend") in der nächsten Runde überlebt oder nicht.
Klasse 1: Klasse 1: λλ=0, alles Leben wird sofort aussterben; mit =0, alles Leben wird sofort aussterben; mit λλ=1 sind alle =1 sind alle Zellen auf Dauer am Leben.Zellen auf Dauer am Leben.
Klasse 3: z.B. bei Klasse 3: z.B. bei λλ=0,5; das ergibt ein großes Wirrwarr von toten =0,5; das ergibt ein großes Wirrwarr von toten und lebendigen Zellen.und lebendigen Zellen.
23
Eindimensionale zelluläre Eindimensionale zelluläre AutomatenAutomaten
((WolframWolfram--Automaten)Automaten) Klasse 2Klasse 2: Teil der Bereiche 0<: Teil der Bereiche 0<λλ<0,5 bzw. 0,5<<0,5 bzw. 0,5<λλ<1. (Die Werte <1. (Die Werte
von toten und lebendigen Zellen können einfach vertauscht von toten und lebendigen Zellen können einfach vertauscht werden.) Das Gebiet der Automaten zweiter Klasse entspricht werden.) Das Gebiet der Automaten zweiter Klasse entspricht Werten von Werten von λλ zwischen den Grenzen 0 und 0,3 zwischen den Grenzen 0 und 0,3
Klasse 4Klasse 4: die magische Schwelle, wo die viertklassigen : die magische Schwelle, wo die viertklassigen Automaten angesiedelt sind, findet sich etwa bei Automaten angesiedelt sind, findet sich etwa bei λλ=0,273 =0,273
Begrenzung der 4 Klassen durch Begrenzung der 4 Klassen durch λλ..
24
AusblickAusblick
Man kann trotz der einfachen Regeln der Zellulären Man kann trotz der einfachen Regeln der Zellulären Automaten vieles mit ihnen simulieren.Automaten vieles mit ihnen simulieren. Zelluläre Automaten Zelluläre Automaten eignen sich besonders gut für Modelle, bei denen die eignen sich besonders gut für Modelle, bei denen die räumliche Komponente wichtig ist. Viele Forscher nennen räumliche Komponente wichtig ist. Viele Forscher nennen Zelluläre Automaten “Software der Natur“, und man geht Zelluläre Automaten “Software der Natur“, und man geht davon aus, dass diese Modellierungsmethode insbesondere davon aus, dass diese Modellierungsmethode insbesondere in den Geowissenschaften und in der Ökologie immer mehr in den Geowissenschaften und in der Ökologie immer mehr angewendet wird.angewendet wird.
25
Literatur Literatur
► Martin Gerhardt, Heike Schuster: Das digitale Universum. Martin Gerhardt, Heike Schuster: Das digitale Universum. Zelluläre Automaten als Modelle der Natur. Vieweg, Zelluläre Automaten als Modelle der Natur. Vieweg, Braunschweig 1995. Braunschweig 1995.
► Stephen Wolfram: Celluar Automata and Complexity. Stephen Wolfram: Celluar Automata and Complexity. Collected Papers. Addison-Wesley, Reading 1994.Collected Papers. Addison-Wesley, Reading 1994.