Sveučilište u Rijeci Fakultet za menadţment u turizmu i ugostiteljstvu SVEUČILIŠNI PREDDIPLOMSKI STUDIJ »Poslovna ekonomija u turizmu i hotelijerstvu» Zbirka zadataka iz S T A T I S T I K E Šifra predmeta: PST0103 ECTS bodovi: 6 Nositelj predmeta: Prof. dr. sc. SUZANA MARKOVIĆ
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Sveučilište u Rijeci
Fakultet za menadţment u turizmu i ugostiteljstvu
SVEUČILIŠNI PREDDIPLOMSKI STUDIJ
»Poslovna ekonomija u turizmu i hotelijerstvu»
Zbirka zadataka iz
S T A T I S T I K E
Šifra predmeta: PST0103
ECTS bodovi: 6
Nositelj predmeta:
Prof. dr. sc. SUZANA MARKOVIĆ
2
S A D R Ţ A J
# Predgovor 3
Vjeţba 1 Uvod 4
Vjeţba 2 Uređivanje i grafičko prikazivanje podataka 5
Vjeţba 3 Relativni brojevi i njihovo grafičko prikazivanje 8
Vjeţba 4 Srednje vrijednosti (potpune, poloţajne) 12
Vjeţba 5 Mjere disperzije 16
Vjeţba 6 Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti 19
Vjeţba 7 Metoda uzoraka: procjena aritmetičke sredine, totala i
Zbirka zadataka iz «Statistike» je namijenjen studentima sveučilišnog preddiplomskog studija Fakulteta za menadţment u turizmu i ugostiteljstvu u Opatiji koji slušaju predmet «Statistika». Primarni cilj predmeta je ovladavanje teorijskim spoznajama iz cjelina koje se izučavaju na predmetu, osposobljavanje studenata za provođenje istraţivačkih zadaća na terenu, analiziranje prikupljenih podataka, tumačenje i prezentiranje izračunatih statističkih pokazatelja, te uporabu različitih statističkih paketa u obradi prikupljenih podataka. Priručnik slijedi programski sadrţaj predmeta, te je dizajniran tako da podrţava interaktivno učenje i učenje svih studenata, neovisno o tome da li prisustvuju nastavi ili ne. U priručniku se nalazi veliki broj primjera s rješenjima s ciljem da se maksimalno olakša razumijevanje gradiva. Prilikom odabira podataka za zadatke korišteni su aktualni statistički podaci.
4
VJEŢBA 1 Uvod
Primjer 1. Skup se sastoji od 8666 diplomiranih studenata na sveučilišnim studijima u
Republici Hrvatskoj u 1999. godini. Podaci o diplomiranim studentima prikupljaju
se pomoću statističkog lista. Među njima su i ovi: spol, mjesto rođenja,
narodnost, način studiranja, broj članova kućanstva.
(a) Definirajte statistički skup. (b) Kojoj vrsti pripadaju podaci dobiveni pomoću statističkog lista? Navedite moguće modalitete nekih od navedenih obiljeţja.
Primjer 2. (a) Pregledajte publikaciju «Statistički ljetopis» Drţavnog zavoda za statistiku.
Proučite metodološka objašnjenja koja se odnose na podatke o registru poslovnih
subjekata, zaposlenosti, plaćama, investicijama, i drugim područjima djelatnosti
odabranim po volji. Utvrdite druge izvore podataka Drţavnog zavoda za statistiku.
Pronađite internetsku stranicu Zavoda i pregledajte je.
(b) Koje podatke objavljuje Hrvatska narodna banka? Informacije potraţite na
internetskoj stranici.
(c) Identificirajte lokacije stranica drugih ustanova koje objavljuju podatke o
VJEŢBA 2 Uređivanje i grafičko prikazivanje podataka
Primjer 1. Turistička noćenja u RH 1997. godine:
Vrsta objekta Noćenja u 000
Hoteli 11 247
Turistička naselja 3 791
Radnička odmarališta 685
Kampovi 7 857
Kućanstva 5 660
Ostali objekti 5 660
Ukupno 30 314
Izvor: Mjesečno statističko izvješće, broj 10, 1998., str. 59
Podatke iz tabele prikaţite grafički jednostavnim stupcima.. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
Primjer 2. Dolasci turista prema vrstama objekta od siječnja do svibnja 2006. godine:
Vrsta objekta Domaći turisti
(u 000)
Strani turisti
(u 000)
Hoteli 359 770
Turistička naselja 26 47
Kampovi 3 147
Omladinski hoteli 10 14
Kućanstva-sobe, kuće za odmor 13 44
Nekategorizirani objekti 21 12
Izvor: Priopćenje DZS, Zagreb, srpanj 2006., str. 3.
Podatke iz tabele prikaţite grafički dvostrukim i razdijeljenim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
Primjer 3. Dani krediti stanovništvu u 2005. godini (u mil. kn):
Banka Stambeni kredit Auto kredit Gotovinski kredit
Erste Bank 3 191 365 135
Slavonka banka 1 417 78 387
Međimurska 117 43 46
Volksbank 250 1 089 320
Izvor: www.hznet.hr, 31.7.2006.
Podatke iz tabele prikaţite grafički višestrukim stupcima i razdijeljenim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
Primjer 4. Zaposleno osoblje u trgovini prema djelatnostima poslovnih subjekata u Republici
Hrvatskoj 1997. godine:
Djelatnost poslovnih subjekata Broj zaposlenih
Trgovina na malo 45 674
Trgovina na veliko 7 719
Ostale djelatnosti 10 224
Ukupno 63 617
Izvor: SLJRH, 1998., str. 347
Podatke iz tabele prikaţite grafički uz pomoć strukturnog kruga. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
Primjer 5. Robna razmjena Republike Hrvatske od siječnja do lipnja 2006. godine:
Zemlja Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn)
Austrija 1 865 3 253
Italija 7 100 9 932
Njemačka 3 066 8 935
Slovenija 2 335 3 915
Izvor: www.dzs.hr, 20.8.2006.
Strukturu izvoza i uvoza usporedite strukturnim krugovima i proporcionalnim strukturnim krugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
Primjer 6. Vanjskotrgovinska robna razmjena RH 1998. godine po regijama:
Zemlje namjene i porijekla Izvoz Uvoz
Zemlje Europske unije (EU) 2161 4980
Europsko udruţenje slobodne trgovine
(EFTA)
80 231
Ostale industrijske zemlje 136 611
Zemlje u razvoju 2165 2561
Izvor: Mjesečno statističko izvješće, broj 1, 1999., str. 74
Strukturu izvoza i uvoza usporedite strukturnim krugovima i proporcionalnim strukturnim krugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
Primjer 7. Vanjskotrgovinska robna razmjena RH 1998. godine po regijama:
Zemlje namjene i porijekla Izvoz Uvoz
Zemlje Europske unije (EU) 2161 4980
Europsko udruţenje slobodne trgovine
(EFTA)
80 231
Ostale industrijske zemlje 136 611
Zemlje u razvoju 2165 2561
Izvor: Mjesečno statističko izvješće, broj 1, 1999., str. 74
Strukturu izvoza i uvoza usporedite strukturnim polukrugovima i proporcionalnim strukturnim polukrugovima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
Primjer 8. Stanovništvo prema završenoj školi (u 000):
Stupanj obrazovanja Muškarci Ţene
Bez škole 220 274
Osnovno obrazovanje 345 463
Srednje obrazovanje 956 778
Više obrazovanje 77 74
Visoko obrazovanje 145 143
Izvor: Popis stanovništva 2001. godine, www.hznet.hr, 16.8.2006.
Usporedite strukturu stanovništva prema stupnju obrazovanja grafički uz pomoć strukturnih krugova i strukturnih polukrugova. Što se zaključuje na temelju grafičkog prilaza?
Primjer 9. Prihodi i rashodi od putovanja u milijunima US$:
Godina Prihodi Rashodi
1997. 2 529.1 521.4
1998. 2 726.3 600.3
Izvor: Hrvatska narodna banka, 1999.
Usporedite prihode i rashode od putovanja u turizmu u RH 1997. i 1998. godine pomoću dvostrukih stupaca, strukturnih krugova i strukturnih polukrugova. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
Primjer 10. Broj registriranih domena pri Carnetu od siječnja do lipnja 2006. godine:
Mjesec Broj domena
Siječanj 717
Veljača 731
Oţujak 1 061
Travanj 777
Svibanj 812
Lipanj 596
Izvor: www.dns.hr, 28.7.2006.
Podatke iz tabele prikaţite grafički linijskim grafikonom. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
VJEŢBA 3 Relativni brojevi i njihovo grafičko prikazivanje
Primjer 1. Fizički obujam telekomunikacijskih usluga od siječnja do lipnja 2006. godine:
Vrsta usluge Broj usluga (u mil.)
2005. godina 2006. godina
Utrošene minute u
nepokretnoj mreţi
5 162 4 463
Utrošene minute u
pokretnoj mreţi
1 215 1 831
SMS poruke 1 153 1 235
Izvor: www.dzs.hr, 8.8.2006.
Izračunajte strukturu broja telekomunikacijskih usluga u 2005. i 2006. godini. Strukturu prikaţite grafički strukturnim stupcima. Što se moţe zaključiti na temelju grafičkog prikaza?
Primjer 2. Izvoz i uvoz po odabranim ţupanijama od siječnja do lipnja 2006. godine:
Ţupanija Izvoz (u mil. kn) Uvoz (u mil. kn)
Varaţdinska 1 834 1 895
Primorsko-goranska 1 280 2 656
Osječko-baranjska 1 653 1 284
Splitsko-dalmatinska 2 366 3 551
Istarska 2 963 3 352
Izvor: www.dzs.hr, 8.8.2006.
Izračunajte relativne frekvencije i prikaţite ih grafički odgovarajućim grafikonom. Što se moţe zaključiti na temelju grafičkog prikaza?
Primjer 3. Studenti sveučilišnih studija u Republici Hrvatskoj školske godine 2000/2001.
Studijsko područje Broj studenata Broj studentica
Prirodne znanosti 2367 1285
Tehničke znanosti 18398 5252
Medicinske znanosti 4693 3079
Biotehničke znanosti 3334 1416
Društvene i humanističke
znanosti
40048 26445
Umjetničke akademije 997 559
Izvor: Statistički ljetopis Republike Hrvatske, 2001., str. 435
(a) Niz studenata prema studijskim područjima prikaţite jednostavnim stupcima. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake.
(b) Izračunajte relativni udjel (postotak) studenata i studentica u ukupnom broju studenata po studijskim područjima. Strukturu studenata po spolu i studijskim područjima prikaţite razdijeljenim stupcima.
(c) Usporedite obujam i strukturu studenata po spolu i studijskim područjima proporcionalnim strukturnim krugovima.
Prosječna plaća za djelatnost kao cjelinu iznosila je 4997 kuna. Izračunajte indekse neto plaća za navedene vrste djelatnosti. Za osnovu indeksa uzmite prosječnu plaću u djelatnosti kao cjelini. Izračunate indekse prikaţite odgovarajućim grafikonom.
Primjer 5. Prosječne isplaćene neto plaće po radniku u travnju 2006.:
Djelatnost Neto plaća u kn
Građevinarstvo 3 779
Trgovina 3 866
Hoteli i restorani 3 770
Prijevoz, skladištenje i veze 5 333
Financijsko posredovanje 6 847
Obrazovanje 4 476
Izvor: Računovodstvo i financije, Zagreb, srpanj 2006., str. 95.
Prosječna plaća u odabranim djelatnostima iznosila je 4678,50 kuna. Izračunajte indekse neto plaća za navedene vrste djelatnosti. Za osnovu indeksa uzmite prosječnu plaću u odabranim djelatnostima. Izračunate indekse prikaţite odgovarajućim grafikonom.
Primjer 6. Odobreni krediti po bankama u Hrvatskoj (stanje 31.12.2005.)
Banka Odobreni krediti (u mil.kn)
Zagrebačka banka 38 126
Privredna banka 29 801
Raiffeisenbank 16 587
Hypo Alpe-Adria Bank 13 739
Erste und Steiermärkische Bank 19 365
Izvor: Privredni vjesnik, lipanj 2006., str.49.
Izračunajte indekse odobrenih kredita u 2005. godini. Za osnovu uzmite iznos odobrenih kredita u Hypo Alpe-Adria banci. Indekse prikaţite grafički. Što se moţe zaključiti na temelju izračunatih indeksa?
Primjer 7. Osobe koje su stekle obrazovanje u Republici Hrvatskoj 1996. godine
Stupanj obrazovanja Broj osoba
Osnovno 55067
Srednje 48498
Više 3831
Visoko 7679
Izvor: Mjesečno statističko izvješće DSZ, 1/1998., str. 97
Izračunajte relativne frekvencije. Prikaţite niz odgovarajućim grafikonom. Uz grafikon navedite sve potrebne oznake. Pri konstrukciji grafa koristite relativne frekvencije.
Primjer 8. Izvoz i uvoz Republike Hrvatske u zemlje Europske unije 1999. godine
Zemlja Izvoz u mil. US$ Uvoz u mil US$
Austrija 265 549
Belgija 31 114
Francuska 104 392
Grčka 34 18
Italija 772 1234
Nizozemska 50 141
Njemačka 673 1439
Španjolska 19 82
Velika Britanija 80 181
Ostale zemlje 60 242
Ukupno 2088 4392
Izvor: Statistički ljetopis Republike Hrvatske, 2000., str. 331 i 332.
Analizirajte strukturu izvoza i uvoza pomoću odgovarajućih relativnih veličina. Usporedite strukturu izvoza i uvoza Republike Hrvatske i zemalja EU strukturnim krugovima.
Primjer 9. Stanovništvo i površina odabranih europskih zemalja:
Zemlja Broj stanovnika u 000 Površina u km 2
Austrija 7987 83858
Hrvatska 4776 56610
Mađarska 10372 93032
Slovenija 2052 20251
Izvor: SLJRH, 1996., str. 620-621.
Pomoću navedenih podataka izračunajte broj stanovnika na km2, tj. izračunajte relativne brojeve koordinacije. Dobivene veličine prikaţite grafički jednostavnim stupcima i Varzarovim znakom. Što se zaključuje na temelju grafičkog prikaza?
11
Primjer 10. Dolasci i noćenja turista u RH od siječnja do lipnja 2006. godine (u 000):
Mjesec Dolasci Noćenja
Siječanj 111 293
Veljača 128 325
Oţujak 189 484
Travanj 530 1 548
Svibanj 804 2 772
Lipanj 1 388 6 807
Izvor: www.dzs.hr, 16.8.2006.
Izračunajte prosječnu duljinu boravka turista u Hrvatskoj po mjesecima. Relativne brojeve koordinacije prikaţite grafički jednostavnim stupcima i Varzarovim znakom.
Primjer 1. Ispituje se prosječno trajanje pozitivnih telefonskih razgovora preko telefonske
centrale Market. Trajanje u minutama 10 slučajno odabranih razgovora bilo je
sljedeće:
Xi: 2 1 1 2 3 4 2 1 1 3
Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=2; Mo=1; Me=2)
Primjer 2. Ispitu iz predmeta «Statistika» pristupilo je 35 studenata, a rezultati ispita su
prikazani u sljedećoj tablici:
Ocjena 1 2 3 4 5
Broj
studenata
7 3 11 5 9
Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=3.17; Mo=3; Me=3)
Primjer 3. Na kolokviju iz kolegija «Statistika» 50 studenata ostvarilo je sljedeće rezultate:
Ocjena 1 2 3 4 5
Broj
studenata
23 14 6 5 2
Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=1,98; Mo=1; Me=2)
Primjer 4. Starost zaposlenih u trgovačkom društvu X:
Starost u godinama Broj zaposlenih
18 – 26 8
27 – 30 19
31 – 41 32
42 – 50 14
51 – 59 9
Ukupno 82
Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=37.19; Mo=29.71; Me=35.81)
Primjer 5. Zaposleni prema godinama u poduzeću X:
Starost u godinama Broj zaposlenih
21 – 30 32
31 – 40 162
41 – 50 404
51 – (65) 142
Ukupno 740
Izračunajte: aritmetičku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=45,25; Mo=45,44; Me=45,36)
13
Primjer 6. Zaposleni u trgovini u RH, stanje potkraj studenog 1997. godine i prosječna
mjesečna neto plaća po zaposlenome:
Vrsta trgovine Broj zaposlenih u 000 Prosječna plaća u kunama
Trgovina na malo 63.8 1988
Trgovina na veliko 44.0 2739
Robna razmjena s
inozemstvom
5.9 2754
(a) Kolika je bila prosječna mjesečna plaća u trgovini kao cjelini u studenome 1997. godine? (b) Izračunajte indekse prosječnih plaća za svaku od navedenih vrsta trgovine. Za osnovu indeksa uzmite veličinu izračunatu pod (a). Dobivene bazne indekse prikaţite grafički odgovarajućim grafikonom.
(Rj. A.S.A.S. = 2318,37 kn)
Primjer 7. Za numerički niz: 7, 3, 8, 6, 2, 5, izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku
Osobe prijavljene u Hrvatskom zavodu za zapošljavanje, stanje potkraj 1999. :
Navršene godine ţivota Broj osoba
15 – 19 67 170
20 – 24 48 482
25 – 29 119 819
30 – 39 82 263
40 – 49 10 604
50 – (65) 13 392
Izvor: SLJRH, 2000., str. 139
Odredite najčešću dob osoba koje su bile prijavljene u Zavodu za zapošljavanje. Izračunajte medijalnu dob osoba prijavljenih u Zavodu za zapošljavanje u RH. Izračunajte aritmetičku sredinu distribucije frekvencija. Distribuciju prikaţite histogramom i poligonom frekvencija.
(Rj. Mo=26.67; Me=27.30; A.S.=28.35 )
Primjer 15. Korisnici Interneta prema dobi (istraţivanje 2005. godina)
Starost u godinama Broj ispitanika
15 – 25 34
25 – 35 27
35 – 45 23
45 – 65 15
Izračunajte: aritmetičku sredinu, harmonijsku sredinu, mod i medijan. (Rj. A.S.=32,68; H.S.=28,70; Mo=23,29; Me=30,74)
Primjer 17. Količina vremena provedena tjedno na Internetu (istraţivanje 2005. godina):
Količina vremena (u satima) Broj ispitanika
0 – 2,5 37
2,5 – 5 25
5 – 7,5 12
7,5 – 10 13
Odredite najčešću količinu vremena koju ispitanici provedu na Internetu. Izračunajte medijalnu količinu vremena.. Izračunajte prosječnu količinu vremena provedenu na Internetu. Distribuciju prikaţite histogramom i poligonom frekvencija.
(Rj. Mo=1,89; Me=3,15; A.S.=3,78)
15
Primjer 18. Zadane su ove vrijednosti numeričke varijable: 15, 25, 10, 8, 20, 5, 30, 15.
Izračunajte vrijednost drugog, trećeg i četvrtog momenta oko sredine i to na temelju pomoćnih momenata oko nule.
(Rj. 2= 64.5; 3=184.5; 4=8158.5)
Primjer 19. Za numerički niz:
xi 0 5 10 15 20 25 30 35 40
fi 1 8 28 56 70 56 28 8 1
izračunajte vrijednost drugog, trećeg i četvrtog momenta oko sredine i to na temelju pomoćnih momenata oko nule.
(Rj. 2= 50; 3=0; 4=6875)
Primjer 20. Za numerički niz:
xi 0 5 10 15 20 25 30
fi 1 8 28 56 70 56 28
Izračunajte vrijednosti momenata oko nule i momenata oko sredine.
VJEŢBA 7 Metoda uzoraka: procjena aritmetičke sredine, totala i
proporcije osnovnog skupa
► Procjena aritmetičke sredine osnovnog skupa
Primjer 1. Odredite vrijednosti standardne pogreške procjene aritmetičke sredine osnovnog
skupa za ove slučajeve:
(a) procjenjuje se sredina konačnog skupa od 125 768 članova pomoću
slučajnog uzorka veličine 1 250 članova. Standardna devijacija osnovnog
skupa iznosi 64,
(b) uzorak veličine 36 je izabran iz beskonačne populacije N ( = 5),
(c) N = 35679, n = 2500, = 10,
(d) Veličina uzorka je n = 256, N = 12 800, a standardna devijacija uzorka je
32.
(Rj. (a) 1.81; (b) 5.07; (c) 0.19; (d) 2)
Primjer 2. Ispituje se prosječno trajanje pozitivnih telefonskih razgovora preko telefonske
centrale poduzeća Market. Trajanje u minutama 10 slučajno odabranih razgovora
iz evidencije 8967 razgovora bilo je sljedeće:
Xi: 2 1 1 2 3 4 2 1 1 3
Pretpostavlja se da je trajanje pozitivnih razgovora na centrali normalno
distribuirano s nepoznatom aritmetičkom sredinom i nepoznatom standardnom
devijacijom.
Odredite granice u kojima se moţe očekivati da obuhvaćaju prosječno trajanje razgovora za osnovni skup. Pouzdanost procjene: 95% i 99%.
(Rj. 95%: 1.206; 2.794; 99%: 0.86; 3.14)
Primjer 3. Na otoku koji ima 1620 domaćinstava slučajno smo izabrali 100 domaćinstava i
zabiljeţili za svako od njih koliko hektara obradive zemlje posjeduje. Izračunali
smo aritmetičku sredinu tog uzorka koja je iznosila 1,83 ha. Pomoću standardne
devijacije tog uzorka procijenili smo standardnu devijaciju osnovnog skupa i dobili
s = 1,36 ha.
Izračunajte s 99% pouzdanosti kolika je prosječna površina obradive zemlje svih domaćinstava na tom otoku. (Rj. 1.49; 2.17)
Primjer 4. Od 186 elemenata jednog osnovnog skupa slučajno smo izabrali 20 jedinica.
Aritmetička sredina tog uzorka iznosi 2.5, a standardna devijacija je 1.204.
Uz 95% vjerojatnosti procijenite aritmetičku sredinu promatranog osnovnog skupa. Izračunajte standardnu grešku. Pomoću te greške izračunajte interval procjene s 95% pouzdanosti. (Rj. 1.94; 3.07)
Primjer 5. Metodom slučajnog uzorka ispitano je 100 studenata o količini vremena koju oni
utroše na put do fakulteta. Rezultati ispitivanja pokazali su da prosječno troše 60
minuta pri prosječnom odstupanju od 15 minuta.
Na osnovu navedenih rezultata odredite: s vjerojatnošću od 95% interval u kojem će se nalaziti aritmetička sredina
osnovnog skupa ako je poznato da je na fakultetu upisano 5000 studenata; da li će se promijeniti rezultat rješenja ako pretpostavimo da je na fakultetu
Primjer 1. U svrhu ispitivanja vremena potrebnog za dolazak na rad, od 915 djelatnika jedne
tvrtke anketirano je 150 osoba. Pomoću tog uzorka dobiveni su ovi rezultati:
prosječno vrijeme u uzorku = 47 minuta, standardna greška aritmetičke sredine
uzorka = 0,0747.
Izračunajte 99% pouzdan interval procjene totala osnovnog skupa, tj. ukupno vrijeme potrebno za dolazak na rad svih djelatnika te tvrtke. Zaključak?
(Rj. 42828; 43181)
Primjer 2. Iz populacije od 160 000 stanovnika anketirano je 400 osoba. Prema odgovorima
anketiranih prosječna dnevna potrošnja kruha po stanovniku jest 22 dkg.
Izračunata je i standardna greška aritmetičke sredine tog uzorka (sx = 0,45 dkg).
Koliko kilograma kruha troši ta populacija za ukupnu dnevnu prehranu? Interval totala procijenite uz 95% pouzdanosti.
(Rj. 3378888; 3661120)
Primjer 3. Poduzeće X dobilo je narudţbu za izradu 3000 proizvoda za jednog poslovnog
partnera. Uzorkom od 28 mjerenja utvrđeno je da je prosječno vrijeme za izradu
proizvoda (u tom uzorku) 26,5 minuta sa standardnom devijacijom 5,3 minute.
Procijenite sa 95% pouzdanost totala, tj. ukupno vrijeme potrebno za izradu te serije od 3000 komada. Zaključak?
(Rj. 73105,89; 85894,14)
Primjer 4. Da bismo procijenili koliki je ukupan broj djece u nekoj regiji X koja broji 5000
domaćinstava izabrali smo na slučajan način uzorak od 1000 domaćinstava. Uzorak
je dao slijedeću distribuciju prema broju djece:
Broj djece Broj domaćinstava
0 - 2 500
3 - 4 240
5 - 6 150
7 - 8 70
9 - 10 40
Ukupno 1000
Izračunajte prosječan broj djece izabranog uzorka. Na osnovu rezultata uzorka izračunajte 95% pouzdan interval procjene totala osnovnog skupa.
Primjer 5. Na području X djeluje 785 sportskih klubova. Sponzore zanima koliki je ukupni
prihod tih klubova. Slučajno je izabrano 35 klubova koji imaju prosječan prihod
35 340 kuna, uz standardnu devijaciju od 3 240 kuna.
S 99% pouzdanosti utvrdite ukupan prihod svih klubova na promatranom području. Napišite zaključak.
(Rj. 26616531,69; 28867268,32)
23
► Procjena proporcije osnovnog skupa
Primjer 1. Ispituje se raspoloţenje birača prema kandidatu X. U biračkom popisu navedeno
je 6000 građana. Iz popisa je slučajnim izborom izabrano 196 birača, od kojih je
138 izjavilo da će glasovati za kandidata X na predstojećim izborima.
Izračunajte granice u kojima se moţe očekivati proporcija svih birača kandidata X na predstojećim izborima. Razina signifikantnosti 95%.
(Rj. 0,64; 0.77)
Primjer 2. Iz osnovnog skupa od 6000 posjetilaca jedne nogometne utakmice, anketirano je
160 gledalaca. Na pitanje “da li su zadovoljni igrom svoje momčadi”, 10 anketiranih
odgovorilo je negativno.
Odredite proporciju gledalaca zadovoljnih igrom svoje momčadi s pouzdanosti 95%.
(Rj. 0.90; 0.98)
Primjer 3. Analizira se proporcija osiguranika poslovnice osiguravajućeg društva X koji su
sudjelovali u prometnim nezgodama u tijeku 2000. godine. Poslovnica ima 6432
osiguranika. U uzorku od 400 slučajno odabranih osiguranika njih 320 nije
sudjelovalo u prometnim nezgodama.
(a) Procijenite proporciju osiguranika poslovnice sudionika u prometnim nezgodama u 2000. godini jednim brojem.
(b) Odredite granice 95% intervala procjene proporcije navedene kategorije osiguranika.
(Rj. 0,16; 0.24)
Primjer 4. Od 10 000 gostiju jednog područja anketirano je 200 slučajno izabranih osoba.
4% anketiranih gostiju dalo je negativan odgovor na pitanje: "Da li ste zadovoljni
uslugom smještaja u hotelu?".
(a) Procijenite s 99% vjerojatnosti proporciju nezadovoljnih gostiju u tom osnovnom skupu. (b) Zaključak?
(Rj. 0.004; 0.076)
Primjer 5. Metodom slučajnog uzorka ispitano je 200 studenata na završnom ispitu. Od tih je
70 dobilo negativnu ocjenu. Na završnom ispitu bilo je ukupno 1000 studenata.
Odredite s vjerojatnošću od 95% nepoznatu generalnu proporciju studenata koji nisu uspjeli na završnom ispitu.
(Rj. 0.29; 0.41)
24
VJEŢBA 8 Korelacijska i regresijska analiza
Primjer 1. Pomoću podataka u zadanoj tabeli ispitajte da li postoji linearna veza između
varijable X i varijable Y.
X 13,8 3,1 38,5 15,1 28,2 53,6
Y 6,0 2,7 13,6 3,4 10,1 19,7
U tu svrhu: nacrtajte dijagram rasipanja; izračunajte jednadţbu pravca regresije (Yc) i ucrtajte Yc u grafikon; analizirajte varijancu i ocijenite preciznost procjene jednadţbe Yc; izračunajte Pearsonov koeficijent korelacije; napišite zaključak.
(Rj. Yc=0,39+0,35x; r=0,98)
Primjer 2. Pomoću podataka iz tabele u prilogu:
X 798 121 1370 409 779 1421 168 548
Y 40,7 6,1 87,6 18,8 55,1 83,6 6,4 35,2
Izračunajte oba pravca regresije (Yc i Xc). Pomoću koeficijenta regresije (b i b') izračunajte koeficijent korelacije. Nacrtajte dijagram rasipanja i ucrtajte oba pravca regresije u taj
grafikon. Provjerite da li je sjecište tih pravaca u točki (X, Y). Zaključak?
(Rj. Yc=-0,41+0,06x; Xc=63,89+15,30y; r=0,96)
Primjer 3. Pomoću podataka u zadanoj tabeli ispitajte da li postoji linearna veza između
varijabli X i Y.
X 1180 1322 1366 1010 1602 1226
Y 29,0 31,0 32,4 25,5 38,7 29,0
U tu svrhu izračunajte: jednadţbe pravaca regresije (Yc i Xc) i koeficijent korelacije (geometrijskom sredinom iz koeficijenata regresije
b i b'). ukupnu, protumačenu i rezidualnu varijancu (za Yc) i stupanj rezidualne varijance; koeficijent determinacije i Pearsonov koeficijent korelacije; koeficijent korelacije pomoću rezidualne varijance i koeficijent korelacije pomoću kovarijance.
(Rj. Yc=5,2+0,02x; Xc=75,96+44,02y; r=0,94)
Primjer 4. Zadana je tablica slučajnih varijabli:
X 1 3 4 6 8 9 11 14
Y 1 2 4 4 5 7 8 9
Odredite koeficijent korelacije i oba pravca regresije. Nacrtajte dijagram rasipanja i napišite zaključak.
(Rj. r=0,98; Yc=0,55+0,64x; Xc=0,50+1,50y)
25
Primjer 5. Zadane su slučajne varijable X i Y:
X 12 18 13 15 10
Y 14 8 16 20 15
Odredite oba pravca regresije i koeficijent korelacije. Nacrtajte dijagram rasipanja i napišite zaključak.
(Rj. Yc=22,90-0,61x; Xc=17,98-0,30y; r=0,43)
Primjer 6.
Na razradbenom ispitu slučajno je odabrano 5 kandidata, te je izvršena
usporedba broja bodova postignutih na razradbenom ispitu i bodova dobivenih na
temelju ocjena postignutih u srednjoj školi. Dobivena je sljedeća tablica s
bodovima:
X 68 72 45 70 80
Y 95 80 63 100 90
Odredite oba pravca regresije i koeficijent korelacije. Nacrtajte dijagram rasipanja i napišite zaključak.
(Rj. Yc=29,32+0,84x; Xc=8,79+0,68y; r=0,76)
Primjer 7. Na prvom i drugom kolokviju iz predmeta «Statistika» šest studenata dobilo je
bodove prikazane u tablici:
I.
kolokvij
80 78 91 45 47 77
II.
kolokvij
100 65 100 22 53 80
Odredite: oba pravca regresije, koeficijent korelacije, nacrtajte dijagram rasipanja, te napišite zaključak.
(Rj. Yc=-28,23+1,41x; Xc=45,64+0,34y; r=0,69)
Primjer 8. Dolasci i noćenja turista (u mil.)
Dolasci 7,1 7,9 8,3 8,8 9,4 10,0
Noćenja 39,1 43,4 44,7 46,6 47,8 51,4
Izvor: www.dzs.hr
Ispitajte da li postoji linearna veza između broja dolazaka i broja noćenja turista. U tu svrhu izračunajte: pravac regresije Yc, koeficijent korelacije, te komentirajte dobivene rezultate.
(Rj. Yc=12,55+3,84x; r=0,98)
Primjer 9. Temeljni kapital i aktiva hrvatskih banaka u 2005. godini ( u mil. kn)
Temeljni
kapital 1 098 1 666 1 333 1 434 1 324
Aktiva 63 408 47 370 28 651 19 307 30 335
Ispitajte jačinu i smjer veze između temeljnog kapitala i aktive odabranih banaka u Hrvatskoj u 2005. godini. Komentirajte dobiveni rezultat.
Primjer 1. Dva stručnjaka banke neovisno ocjenjuju rizičnost naplativosti računa
potencijalnih korisnika kreditnih kartica banke Z&S. Ocjene su od 1 (najmanja
rizičnost) do 10. Ocjene su stručnjaka za 9 podnositelja zahtjeva:
Rang
stručnjaka
A
2 3 6 5 4 8 9 1 7
Rang
stručnjaka
B
3 2 5 4 6 8 7 1 9
Nacrtajte pripadajući dijagram rasipanja. Izračunajte Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini signifikantnosti 0.05. Napišite zaključak.
(Rj. rs=0.87)
Primjer 2. Proizvodnja proizvoda A u tisućama komada (varijabla X) i ukupni troškovi po
jedinici proizvoda u kunama (varijabla Y) iznose:
Xi 550 580 620 700 750 815 895 997 1195 1541
Yi 60 54 50 45 36 32 25 23 18 10
Nacrtajte pripadajući dijagram rasipanja. Izračunajte Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini signifikantnosti 5% i 1%. Napišite zaključak.
(Rj. rs=-0.39)
Primjer 3. Zadane su slučajne varijable X i Y:
X 12 18 13 15 10
Y 14 8 16 20 15
Izračunajte koeficijent korelacije ranga i testirajte njegovu značajnost na razini 5% i 1%. Nacrtajte dijagram rasipanja i napišite zaključak.
(Rj. rs=-0.10)
Primjer 4. Povjerenstvo turističke zajednice «Kvarner» ocjenjuje (rangira) 10 hotela prema
unutarnjem uređenju i kvaliteti usluga. Rangovi su sljedeći:
Rang unutarnjeg
uređenja (rx)
5 1 4 10 2 7 8 3 6 9
Rang usluga (ry)) 7 1 3 9 4 8 6 2 5 10
Nacrtajte dijagram rasipanja. Izračunajte vrijednost Spearmanovog koeficijenta korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini 5% signifikantnosti.
(Rj. rs=0.89)
27
Primjer 5. Sluţba za marketing ispituje reakcije potrošača na prodajnu cijenu novog
proizvoda. Područje drţave segmentirano je na 10 područja. Za svako je područje
određena posebna cijena proizvoda. Šest mjeseci poslije uvođenja proizvoda na
trţište dobiveni su ovi podaci po područjima:
Prodaja
u 000
komada
11.5 10.0 9.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.5 2.5 1.0
Cijena
po kom.
u kn
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Nacrtajte pripadajući dijagram rasipanja. Izračunajte Spearmanov koeficijent korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini signifikantnosti 0.05. Napišite zaključak.
(Rj. rs=-0.99)
Primjer 6. Dani su ovi parovi vrijednosti numeričkih varijabli:
Primjer 7. Na prvom i drugom kolokviju iz predmeta «Statistika» šest studenata dobilo je
bodove prikazane u tablici:
I.
kolokvij
80 78 91 45 47 77
II.
kolokvij
100 65 100 22 53 80
Nacrtajte dijagram rasipanja. Izračunajte vrijednost Spearmanovog koeficijenta korelacije ranga. Testirajte njegovu značajnost na razini 5% signifikantnosti.
Izvor: Mjesečno statističko izvješće, broj 11, 1998., str. 57
Izračunajte veriţne indekse i prikaţite ih grafički odgovarajućim grafikonom. Napišite zaključak.
30
VJEŢBA 11 Trend modeli (linearni trend)
Primjer 1. Stanovništvo SAD-a (u milijunima, stanje sredinom godine):
Godina 1989. 1990. 1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996 1997.
Stanovništvo 247 250 253 255 258 261 263 266 268
Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda: (a) s ishodištem na početku vremenskog razdoblja, (b) s ishodištem u sredini vremenskog razdoblja. Napišite zaključak.
(Rj. (a) Yc=247,37+2,63x; (b) Yc=257,89+2,63x)
Primjer 2. Godišnji prihod tvrtke TREND u milijunima kuna stalne cijene bio je:
Godina 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999.
Prihod 22 19 20 23 25 26 30 39
Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda: (a) s ishodištem na početku vremenskog razdoblja, (b) s ishodištem u sredini vremenskog razdoblja. Napišite zaključak.
(Rj: (a) Yc=18,82+3,34x; (b) Yc=27,17+1,67x)
Primjer 3. Broj posjeta odabranoj web-stranici po mjesecima u 2006. godini (u 000)
Mjesec I. II. III. IV. V.
Broj posjeta 15,5 17,2 21,0 21,9 24,9
Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku vremenskog niza. Napišite zaključak.
(Rj. Yc=15,4+2,35x)
Primjer 4. Zaposlene osobe u RH (u 000)
Godina 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005.
Broj
zaposlenih
osoba
1 014
1 024
1 034
1 046
1 074
1 095
Izvor: www.dzs.hr, 16.8.2006.
Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku vremenskog niza. Napišite zaključak.
(Rj. Yc=9035,86+114,25x)
Primjer 5. Proizvodnja artikala (u tisućama komada) bila je:
Godina 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002.
Komada 30 36 48 62 78 94 107 118 127
Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku i u sredini vremenskog razdoblja. Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom.
Prikaţite navedeni niz linijskim grafikonom. Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem u sredini vremenskog niza. Napišite zaključak.
(Rj. Yc=45,50+1,10x)
Primjer 7. Prosječne mjesečne neto plaće zaposlenih
Godina 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005.
Neto plaća 3 326 3 541 3 720 3 940 4 173 4 376
Izvor: www.dzs.hr
Izračunajte: jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku jednadţbu linearnog trenda s ishodištem u sredini veriţne indekse neto plaća sve prikaţite grafički napišite zaključak.
(Rj.Yc=3319,85+210,46x; Yc=3846+105,23x)
Primjer 9. Registrirana osobna vozila u tisućama (stanje potkraj godine):
Godina 1994. 1995. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001.
Broj
vozila
8 11 15 22 36 63 125 288 776
Izračunajte jednadţbu linearnog trenda s ishodištem na početku i u sredini vremenskog razdoblja.