8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
1/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 1 -
1-DIFERENCIJALNE JEDNADBE KRETANJA MATERIJALNE TAKE,
1.1. Slobodna materijalna taka1.1.1. Diferencijalna jednadba kretanja materijalne take u vektorskom
obliku
Poloaj mase m materijalne take M koja se kree,odreen je vektorompoloaja r(t)u odnosu na ishodite koordinatnog sistema.Prema drugom Newtonovom zakonu sila koja djeluje na materijalnu taku je:
rmamF
1.1.2. Diferencijalna jednadba kretanja materijalne take u Dekartovimkoordinatama
Koordinate (projekcije) sile
F su
X,
Y i
Z, a
x ,
y i
z projekcije vektoraubrzanja na koordinatne ose.
1.1.3. Diferencijalna jednadba kretanja materijalne take u prirodnimkoordinatama
Ako silu projeciramo na ose prirodnog trijedra (
NiTB, ) dobiemo tri osnovneprojekcije, u pravcu jedininih vektora:
TTFma -tangencijalna,
NN Fma - normalna i
BB Fma - binormalna sila.
1.1.4. Diferenci jalne jednadbe kretanja materijalne take u polarnimkoordinatama
2 rrar i rrap 2
Ako projeciramo silu
Fu radijalnom i poprenom pravcu dobiemo:
rF= rma = )(2
rrm pF pma )2( rrm .
1.2. Zadaci dnamike za slobodnu materijalnu taku
a)Prvi zadatak dinamike take, poznati su zakoni kretanja materijalne take,a treba odrediti uzronika ovog kretanja, silu.Zakoni kretanja su: txx , tyy i tzz Komponente sile koja izaziva to kretanje su: txmX , tymY i tzmZ
Intenzitet rezultirajue sile odreen je sa: 222 ZYXF .
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
2/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 2 -
b) Drugi zadatak dinamike take, svodi se na to, da ako se znaju sile iF
koje djeluju na slobodnu materijalnu taku mase m, odredi zakon kretanja take.
zyxzyxtZzm
zyxzyxtYym
zyxzyxtXxm
,,,,,,
,,,,,,
,,,,,,
Nakon inegriranja imamo: 654321 ,,,,,, CCCCCCtXx
654321 ,,,,,, CCCCCCtYy 654321 ,,,,,, CCCCCCtZz
Poetni uvjeti u Dekartovom koordinatnom sistemu, 0t dati su obino u obliku: 00 , xxxx 00 , yyyy
00 , zzzz Odnosno zakon kretanja materijalne take je:
txx , tyy , tzz
1.3. Pravolinijsko kretanje take
Ako znamo F
koja dejeluje na materijalnu taku, a treba odrediti zakonkretanja materijalne take x=x(t), to odeujemo sa:
00
Zzm Yym
maXxm x
1.3.1. Kretanje materijalne take kad je sila konstantna
Ako na materijalnu taku djeluje sila F
konstantnog intenziteta u pravcuose x, onda je i ubrzanje materijalne take konstantno,
.constax
Odnosno sila je:
XFdtdxm
''
1.3.2. Slobodan pad u zranom prostoru (otpornoj sredini)
Kod vrlo malih brzina (do 1 m/s) otpor sredine se rauna prema izrazu:cLvFw (linearna forma).
Kod brzina koje su manje od brzine zvuka, otpor sredine se izraunavau obliku:
2AvcFw
Gdje su:
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
3/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 3 -
A-povrina projekcije tijela u ravni normalnoj na pravackretanja,
c-konstanta, ovisna od oblika tijela i-gustoa medija
1.3.3. Sila koja djeluje na materijalnu taku zavisi od vremena
tFxm x
1.3.4. Sila koja djeluje na materijalnu taku zavisi od rastojanja
xFxm x
1.3.5. Sila koja djeluje na materijalnu taku zavisi od brzine
xFxm
1.4. Krivolinijsko kretanje materijalne take
Osnovna diferencijalna jednadba za sumu sila glasi:
iFam
Rezultujuu silu moemo raslaniti na komponente:
zyx FFFF
1.4.1. Kosi h itac u prostoru bez zraka
Kretanje u ovakvom prostoru znai da materijalna taka nema otporakretanju, pa su diferencijalne jednadbe kretanja u Dekartovom koordinatnomsistemu:
0xm
0
ym mgGzm .
Maksimalna visina penjanja materijalne take za kut (kut poetnebrzine V0):
g
VhZ
2
sin20max
Domet (D) iznosit e:
g
VtVyD EE
2sincos22 00
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
4/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 4 -
A maksimalni domet je:2
0max g
VD
1.5. Kretanje neslobodne materijalne take
Kretanje materijalne take po nepokretnoj povrini u Dekartovimkoordinatama je oblika:
f(x,y,z)=0
Odnosno ako je veza stacionarna i holonomna onda je osnovna diferencijalnajednadba kretanja materijalne take:
NFFam
Gdje je:
F rezultanta vanjskih aktivnih sila, a
NF
reakcija veze
Ukoliko je povrina hrapava, tada reakcija veze
NF ima dvije osnovnekomponente, tangrncijalnu i normalnu:
NT FFF
Komponenta
TF nastaje kao posljedica trenja, pa diferencijalna jednadbakretanja take ima oblik:
v
vFFFam
dt
rmdnn
2
2
gdje je: -koeficijent trenja
Ili:
Tn FFFam
Taka M se kree i stalno je u dodiru sa povrinom te mora zadovoljiti uvjet:f(x,y,z)=0. Vektor se poklapa sa smjerom spoljanje normale u tatoj taki je:
kz
fj
y
fi
x
ffgrad
.
Iz uvjeta kolinearnosti fgrad i nF
moemo napisati: fgradFn
, gdje je -Lagranov mnoitelj.
Diferencijalna jednadba kretanja neslobodne materijalne take u vektorskomsmislu ima oblik:
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
5/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 5 -
v
vFgradfFam
dt
rdm n
2
2
odnosno njenim projeciranjem na ose Dekartovog sistema dobijamoLagrangeove jednadbe prve vrste:
dt
dxF
x
fFxxm nx
''
dt
dyF
y
fFyym ny
''
dt
dzF
z
fFzzm nz
''
1.5.1. Kretanje take po nepominoj krivoj liniji
J edndba veze se formira presjekom dvije povrine u Dekartovom sistemu:
0),,(1 zyxf i 0),,(2 zyxf
Reakcija veze iznosi: 21 nnn FFF
Diferencijalna jednadba kretanja materijalne take po idealnoj vezi (glatkanepokretna kriva linija):
22112
2
21 gradfgradfFFnFnFdt
rdmam
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
6/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 6 -
1.1. Tijelo teine 15 N ima poetnu brzinu 10 m/s po glatkoj povrini. Ako silaF =(2,5t) N, gdje je tu sekundama, djeluje na tijelo u trajanju od 3 s, izraunatikonanu brzinu tijela i udaljenost koju tijelo pree za to vrijeme.
Zadano: F=(2,5t) N, t=3s, teina tijela=15 N, V=10 m/s.Rjeenje:
mr
Ctr
Ctttr
smtv
smCtv
Cttv
ttmFaamF
9,343103545,030
10545,0
71,24103635,13
100
635,1
635,1
81,9
155,2
32
23
2
1
12
1.2. Sanduk mase 60 kg horizontalno ispadne sa kamiona koji se kree brzinom od80 km/h. Odrediti kinetiki koeficijent trenja izmeu kolovoza i sanduka, ako jesanduk klizio 45 m po podlozi bez prevrtanja podu kolovoza do zaustavljanja.Pretpostaviti da je poetna brzina sanduka u odnosu na kolovoz 80 km/h.
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
7/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 7 -
0
22,222
22,2280
0
00
20
22
10
1
Cr
Cttg
Vdtr
sm
hkmCV
CgtadtV
gm
NamaTF
GNF
k
k
kk
x
y
g
tgtV
mttg
r
kffkt
ffk
t
f
f
22,22022,22
4522,222
2
5592,04522,22
22,2222,22
2
2
k
kk
k
gg
g
1.3. Lift E ima masu 500 kg, a kontra uteg u taki A ima masu od 150 kg. Akomotor preko ueta B daje silu od 5 kN, odrediti brzinu lifta nakon 3 s od kretanja.Masu ueta i koturaa zanemariti.
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
8/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 8 -
BA
AAAA
y
aa
amFG
F
0
BBBBAamGFF
Uvrtavanjem AF iz lijeve jednadbe u desnu, dobijamo ubrzanje odnosno brzinu:
023,741,2
41,2
3
2
CsmCtadtVs
mmm
FGGaamGFamG
st
BA
BBABBBAA
1.4. ovjek gura sanduk teine 60 N silomF. Kut sile je konstantno 300 premahorizontali, dok e se njen intenzitet poveavati dok sanduk ne pone klizati. Odreditipoetno ubrzanje sanduka ako su statiki s=0,6 i kinetiki koeficijent trenja k=0,3.
Stanje ravnotee u mirovanju:
NG
F
FGNTF
s
s
ss
6,6330sin30cos
30sin30cos
00
00
Stanje ravnotee u kretanju:
smamaFGF
maTF
k 78,1430sin30cos
30cos
00
0
T
N
G
F
F
N
G
F
am
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
9/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 9 -
1.5. Sila od F=15 N djeluje na jednom kraju ueta. Odrediti do koje visine e seblok A teine 30 N podii u vremenu od 2 s nakon poetka dizanja. Zanemariti masetokova i ueta.
Rjeenje:
0202
020
..2
21
21
21
CACB
CACB
CAACA
aaLaaL
VVLVVL
constxxxLconstxxL
1
2
2,32
2,32
22
2
CtVs
ma
amGF
amGF
A
A
AAAC
AAAA
mrCr
Ctr
CV
A
tA
A
tA
4,640
1,16
0
2
20
22
10
1.6. Teret A od 10 N kree se udesno brzinom VA=2 m/s kao na slici. Ako jekoeficijent kinetikog trenja izmeu povrine i tereta A k=0,2, odrediti brzinu tereta Anakon pomjeranja od 4 m. Teret B djeluje silom od 20 N.
Uvjet ravnotee je:
AAAk
AkAk
amGF
GNT
T
AN
AG
F
AAam
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
10/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 10 -
Iz kinematike znamo da je:
1.7. Sportski automobil, mase 1700 kg, kree se horizontalno po kolovozu sabonim nagibom od 200 i po krunom zavoju radiusa=100 m. Ako je koeficijentstatikog trenja izmeu kolovoza i pneumatikas=0,2, odrediti maksimalnukonstantnu brzinu automobila bez klizanja prema gore, sa zadanim nagibom.Zanemariti dimenzije automobila.
Suma horizontalnih sila:
2
cossin VmTN
Suma vertikalnih sila:
NG
N
GTN
NT
S
S
19140sincos
0sincos
Pa je brzina:
jejekretasmtV
sttttr
Cr
Ctttr
smCV
CttV
sm
mm
GGa
amGamG
amFG
aa
f
ffffA
A
ffA
A
A
AB
AkBA
A
BAkAAB
BBB
BA
01,5
5759,04261,2
00
261,2
20
23,5
23,5
22
2
22
2
2
2
2
2
2
1
1
2
F
2
BG
BBam
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
11/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 11 -
smNN
mV S 43,24cossin
1.8. Koristei podatke predhodnog zadatka odrediti minimalnu brzinu automobilapri kojoj on nee kliznuti bono prema dole.
GTN
VmTN
eV
eVa nt
00
200
2
20sin20cos
20cos20sin
U stanju mirovanja je: NT S , pa je:
smV
NT
NG
NS
24,12
6,3308
16543
2020cos00
1.9. Valjak A, mase 0,75 kg, spojen je sa oprugom ija je krutost k=200 N/m. Kadanosa BC rotira oko vertikalne ose, valjak klizi ka periferiji klizaa DE. Ako je opruganeoptereena s=0, odrediti konstantnu brzinu kojom se kree valjak da bi bilos=100 mm. Kolika je normalna sila izmeu valjka i klizaa? Zanemariti oblik valjka.
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
12/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 12 -
Sila u opruzi je: NmmNlkFS 201,0200
Suma vertikalnih sila: 00 GRF yy
Suma horizontalnih sila:
2
0mV
FF Sx
Transfezalna sila je: 0tRF
Iz sume vertikalnih sila je:
NRy 357,781,975,0 , a brzina:
smV 633,1
1.10. Odrediti najvee mogue ubrzanje za sportski automobil mase 975 kg tako dase prednji tokovi ne podignu sa kolovoza ali i da ne kliu . Koeficijenti statikog ikinematikog trenja su s=0,8 i k=0,6. Zanemariti mase tokova. Automobil je sapogonom na sva etiri toka.
2
n
et
t
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
13/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 13 -
Prednji dio vozila e se odvojiti od podloge pa e biti:
GNmaT
TN
BB
AA
,
0
Iz sume momenata za taku B slijedi:
BB NT 82,120,255,0 , iz ovoga je:
2778,66909,055,0
38,0
smgga
1.11. Sanduk mase m je postavljen kolica zanemarive mase. Odrediti maksimalnusilu P s kojom se moe djelovati na udaljenosti dod dna kolica da ne doe doprevrtanja sanduka s kolica.
U trenutku kretanja kolica, imamo da je, 0 AA NT maTP B ------------------------------------------a
Momentna jednadba za teite je:
0
222
bN
hT
hdP BB ----------------------b
GNB
---------------------------------------------------c
BT
G
AT
BN
am
AN
BN
AN
AT
G
am
P
BT
d
b
h
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
14/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 14 -
Za kolica, koja nemaju masu, odnosno zbog izraza ma,imamo:
0BT -------------------------------------------------------d
BBBAA NNN -------------------------------------------e
Ako uzmemo cijeli sistem, amP
---------------------------------f
Uzimajui u obzir da su: 0BT i GNB , to je sila P iz b:
22
hd
GbP
1.12. Homogeni sanduk mase mnalazi se na hrapavoj povrini palete pri emu jestatiki koeficijent trenjas. Ako se paleta kree ubrzanjem ap, dokazati da e sesanduk prevrnuti i iskliznuti u istom trenutku kada jes=b/h.
Imamo sluaj da se sanduk prevre oko A :
b
am
P
d
h
AAN
BBN
AN
BN
AT
G
am
BT
AA
A
A
BB
Th
Nb
NG
maT
TN
22
0
h
b
N
Nh
b
N
T
A
A
A
AS
NAA NBB
NA NB
TA TB
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
15/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 15 -
U stanju mirovanja je: ASA NT
1.13. Ormari teine 80 N se gura po podu. Ako je statiki koeficijent trenja u A i Bjednaks=0,3, a koeficijent kinetikog trenja k=0,2, odrediti maksimalnu horizontalnusilu Pkoja nee dovesti do prevrtanja ormaria.
Razmotrimo, koje kretanje prvo nastupa:
ABBA
BA
BA
NNTTP
NNGTTP
5,15,15,25,1
Za ovaj sluaj uzevi navedeno i 0 BB TN dobijamo silu:
NGP
GPP
304
5,1
5,15,25,1
U stanju mirovanja je: NT S , pa je sila: NGP S 24 .
Ormari prvo poinje klizati prije prevrtanja, pa moramo razmotriti njegovo kretanjeda vidimo ta se deava.
ABBA
BkB
AkA
NNTTP
NT
NT
5,15,15,25,1
Za sluaj da je: 0 BB TN , dobija se:
NGP
NNP AAk
33,535,1
5,22,05,1
5,15,25,1
AN
BN
AT
G
BT
P
AN
BN
AT
G
BT
P
am
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
16/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 16 -
1.14. Odrediti konstantnu silu Fodgovarajueg ubrzanja za automobil mase1000 kg koji se kree po ravnom kolovozu do brzine od 20 m/s u vremenu od 10 s.
Zadano:Masa vozila je m=1000kg, a sila F=const!
Prikaz djelovanja sila na vozilo:
CyyCy
xxx
GNamaGNF
maTFmaTFF
000
0
Utjecaj trenja emo zanemariti,
010
1
CV
Ctm
FV
m
Fa
x
x
x
Nss
mF
sms
m
FV
tm
FV
Stx
tx
200010
100020
201010
1.15. Sila P=250 N djeluje na tijelo od 900 N. Ako je kinetiki koeficijent trenjaizmeu tijela i horizontalne podloge k=0,2, odrediti ubrzanje tijela i reakcije tijela utakama A i B.
t=0
V
=0
C CF
F
t=10sV=20m/s
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
17/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 17 -
Zadano:
2,0
900
250
k
NG
NP
Odrediti: BA RiRa ,
Sile trenja su:
kBB
AA
NT
NTk
Suma sila po osama x, y imoment oko take C su:
066330
00
0
BABAC
BAy
BAx
TTNNM
GNNF
maTTPF
Iz prve jednadbe je ubrzanje: BA TTPm
a 1
Iz druge je: BA NGN ,Iz tree je:
06633 BkBkBB NNGNNG
Odakle je : NGG
Nkk
kB 630
6633
63
CP
6
3 3
AN
BN
AT
G
BT
P
am
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
18/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 18 -
Oslonac: NNGN BA 270630900 , sile: NTA 54 i NTB 126 , pa su
rezultante BA RiR
, jednake: NTNR aAA 3,275 , a NTNR BBB 5,642 .
Kutevi koje one zatvaraju sa silama trenja su: 069,78A i069,78B .
Ubrzanje a iznosi: 2504,2
s
ma
.
1.16. Ormar mase 75 kg kree se po horizontalnoj podlozi. Odrediti maksimalnu siluP
tako da se ormar ne prevrne.
Zadano: kgm 75 Odrediti: Pmaks bez prevrtanjaRjeenje: Pretpostavka da je trenje na tokovima zanemarivo.
Pri prevrtanju, 0AN
281,9
8,735
045,045,045,00
00
0
sm
m
Pa
NGNP
GN
PNNM
GNNF
maPF
B
B
BAT
BAy
x
1.17. Teite 2300 N tekog dragstera nalazi se na 2,4 m od zadnjeg toka i 2 miznad podloge. Odrediti maksimalno ubrzanje dragstera (bez prevrtanja unazad) teminimalni koeficijent trenja izmeu tokova i piste kojim e se postii to ubrzanje.
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
19/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 19 -
Zadano: G=2300 NOdrediti: amax bez prevrtanja i koeficijent trenja da bi se postiglo amaxRjeenje:
atranslacijITNNM
maGNNF
maTF
teAABte
yBAy
xax
00,24,20,7
)prevrtanjabezkretanje
ljenopretpostav(00
0
U stanju mirovanja: AsNT ,Pri prevrtanju NB je jednaka 0.
Prema tome je,
gm
NG
m
Na s
BsAsx
0
2772,112,1
2,10,2
4,2
0)0,24,2(
00,24,2)0(0,7
smga
N
NNN
x
s
As
AsAB
1.18. Sila P=750 N djeluje na tijelo mase 350 kg. Ako je kinetiki koeficijent trenjaizmeu tijela i podloge k=0,15, odrediti ubrzanje tijela i reakcije podloge u takama
A i B.
Zadano: P=750N, m=350kg i kNai: a, RA i RB.
0cos3,0sin7,04,04,05,05,00
sin0
cos0
PPTTNNM
PGNNF
maTTPF
BABAte
BAy
BAx
Pri klizanju je NT k . Time dobijamo 5 nepoznatih.
AN
BN
G
am
T
am
AN
BN
AT
G
BT
P
te
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
20/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 20 -
23714,0
2111,1659
2,313,1,246
1641
20884,04,05,05,0
cos3,0sin4,04,0sin5,05,0cos3,0sin7,0
4,0sin4,05,0sin5,00
sin
cos1
sma
NRNR
NTNT
NN
NPPGPG
N
PP
NNPGNNPG
NPGN
NNPm
a
BA
BA
A
kk
kkB
BkBkBB
BA
BAk
1.19. 2 m duga greda mase 20 kg oslanja se na zadnju stranu kamiona kao na slici.Ako je dno grede uvreno protiv klizanja, odrediti maksimalno ubrzanje kamiona, ada pri tome ne doe do prevrtanja grede.
Zadano: L=2m, m=20kgNai: aIzrada: Analiziramo trenutak kada je: NB=>0
00
0
GNF
maNF
Ayy
xAxx
20
0
0
001
01
21
02
01
571,3364,070sin
70cos
70sin
70cos70sin
70cos
:
070cos70sin0
smgg
m
G
m
l
Nl
m
Na
jepa
ll
NlNlM
Ay
Axx
AyAxte
a
A
l B
070 V
yNA
BN
G
1l am
xNA
2l
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
21/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 21 -
1.20. Ploa mase 40 kg, kao na slici, oslonjena je na dva mala toka A i B i icu uC. Odrediti ubrzanje ploe i normalnu silu na oba toka neposredno nakonpresijecanja ueta.
Zadano: m=40kg
Nai: a, NA, NB, kada je ue presijeeno
Rjeenje: Pretpostavka je da tokovi ne pruaju otpor kotrljanju. Ploa e setranslatorno kretati niz kosinu.
030sin3,0
30sin3,030cos75,030cos75,00
030cos0
30sin0
0
000
0
0
B
ABAte
BAy
x
N
NNNM
GNNF
maGF
Iz prve jednadbe je ubrzanje:
0000
0020
0
0
30sin3,030sin30cos3,030sin3,030cos75,030cos75,030cos75,00
30cos
905,430sin
BB
BB
BA
NGN
NGN
GNN
smga
Odavde su NB i NA :
NGNN
NG
N
BA
B
8,56530cos
7,90530sin6,0
30sin30cos3,030cos75,0
0
0
0002
1.21. Homogeni valjak promjera 4 m teine 2000 N poloen je na platformukamiona. Grede spreavaju kotrljanje valjka pri ubrzanju kamiona. Izraunati
ubrzanje kamiona u trenutku kada dolazi do prevrtanja valjka preko grede.
BN
am
AN
G
te
030V
x
y
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
22/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 22 -
ml 33,05,06,0 22
Zadano: G=2000N.
Odrediti: a kada dolazi do prevrtanjanja valjka.
U trenutku kada valjak poinje da se prevre, N, RBX, RBy0.
)(66,05,0
33,0
5,05,05,0
033,05,00
00
0
agravitacijggg
m
mgl
m
Gl
m
lR
m
Ra
m
lRR
RRM
GRGRF
maRF
AYAX
YA
AX
AYAXte
AYAYY
AXX
1.22. Tanka ploa mase m=10 kg vezana je za vertikalni zid sa dvije poluge A i B, auetom u taki C. Odrediti ubrzanje centra mase ploe i sile u vezama nakon topresjeemo ue. Masu tapova i ueta zanemarujemo.
a
A B
V
m1,0
AYR
am
G
te
BYR
N
AYR
N
l
m1,0
m5,0 m6,0
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
23/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 23 -
Zadano: masa tanke ploe m=10kg, zanemarena masatapova i uetaOdrediti: ate, RA, RB, kada je ue presjeeno.S obzirom da je ABCD paralelogram, ploa e vriti
translaciju po krivulji. Nee rotirati, ali e tapovi rotirati.
0sin4,0cos2,0sin4,0cos2,00
0sin0
cos0
BBAAte
BAn
t
BAte
RRRRM
GRRF
mrGF
raaa
Iz sume tangencijalnih sila dobija se:
cosr
g
Iz sume momenata proizilazi:
2496,8cos
794,3
84,52sin4,0cos2,0sin4,0cos2,0
sinsin4,0cos2,0
0sin4,0cos2,0sinsin4,0cos2,0
smgra
pritisakNR
istezanjeNG
R
RRG
te
A
B
BB
Ubrzanje djeluje u pravcu tangente, a ugao pod kojim djeluje je 600!
1.23. 14 m duga greda teine 400 N ovjeena je na tri ueta. Treba odreditiubrzanje centra mase grede i sile u uadima AB i CD neposredno nakon topresjeemo ue E.
Zadano: G=400 NOdrediti: ate, NAB, Ncd nakon presjecanja ueta.Poto je ABCD paralelogram, kretanje mu jetranslatorno po krivulji. Nema ugaonu brzinu nitiubrzanje, ali uad AB i CD imaju i ugaonu brzinui ugaono ubrzanje. U stvari na njih se moguprimjeniti izrazi za rotaciju oko take ovjeenja.
2 rraaa CBte ,
AR
n
G
te
t
BR
,
,
, BAN
CDN
G
,
t
n
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
24/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 24 -
gdje , vrijede za konopce.
Ubrzanja teita i taaka B i C su translatorna!
cos
:
0cos5,0
sin1cos5,0sin5,00sin0
cos0
2
r
g
jeprveiz
N
NNNMmrNNGF
mrGF
CD
CDABABte
CDABn
t
=0 vrijedi kada je ue presjeeno, (ostaje da je):
CDAB NGN sin
sin49,8cossin)0(
98,3330cos25,0
81,9cos
22,6
78,13cos5,0sin1cos5,0sin5,0
sincos5,0sin5,0
0cos5,0sin1cos5,0sin5,0
2
2
2
02
s
mjirnrtra
s
rad
ms
m
r
g
kgN
kgG
N
NN
te
AB
CD
CDAB
2- OPI ZAKONI DINAMIKE MATERIJALNE TAKE
2.1. Impuls sile
Djelovanje sile u toku nekog vremenskog intervala na neku taku (tijelo)
nazivamo impulsom sile
I:
tFI
Gdje su:
I impuls sile
F=silat=vrijeme
Dejstvo impulsa u vremenskom intervalu dtje:
dtFId
Ili u konanom vremenskom intervalu t1 t2 , pomou integrala:
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
25/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 25 -
2
1
t
t
dtFI
Odnosno u smijeru ose x:
2
1
t
t
dtFxIx
Koeficijent pravca prema osi x je:
I
IxiI
,cos
2.2. Koliina kretanja materijalne sile
Koliina kretanja
Kje vektorska veliina koja ima pravac i smijer brzine
v , ajednaka je po intenzitetu proizvodu mase materijalne take i njene brzine:
vmK .
Poto je koliina kretanja,
vmK , to njen diferencijalni oblik dtFKd
,integracijom u intervalu t1-t 2 daje jednadbu:
2
1
2
1
t
t
t
t
dtFKd ,
koja predstavlja impuls,
IKK 12 .
2.3. Moment koliine kretanjaMoment koliine kretanja, je moment vektora koliine kretanja za neku taku ili
osu.
Ako se taka mase mkree pod dejstvom sile
Fi ima brzinu
v , a njen poloaj u
odnosu na pol oje definiran radius vektorom
r, tada e prema definiciji, momentkoliine kretanja za taku o iznositi:
KxrvxmrL
2.4. Rad sileRad sile karakterie se kao dejstvo sile na tijelo pri njegovom pomjeranju.
Elementarni rad na beskonano malom pomjeranju definira se kao skalarna veliina:
sdFdA
Odnosno:
sdFdA T ,
gdje je:
TF -projekcija sile na pravac tangente.
2.4.1. Snaga
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
26/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 26 -
Pod snagom podrazumjevamo rad sile u jedinici vremena. To znai da izvodradaA po vremenu t daje snagu P :
vFdt
rdF
dt
dAP .
2.4.2. Rad si le Zemlj ine tee
Ako se taka M, sopstvene teine
G , pomjeri po nekoj putanji iz poloaja M1u poloaj M2izvren je odreeni rad sile tee.
Projekcije sile
G na koordinatne ose iznose: X=0, Y=0 i Z=-G.Visinska razlika taaka M1 i M2 , je z2 z1 , koja moe biti pozitivna ili negativna;z2 z1=hpa e rad iznositi:
GhzzGA 122,1
2.4.3. Rad elastine sile
Rad elastine sile tumaimo kao djelovanje sile
Fna elastinu oprugu priemu se ona rastee za duinu h.Elementarni rad je:
dA=c.z.dzodnosno:
2
1
2
01
2
222|
z
z
h
z
FhchzcczdzA
2.4.4. Rad sile trenja klizanja
Smijer sile trenja je uvijek suprotan od pomjeranja take M, pa e rad siletrenja iznositi:
dsFdsFAM
M
N
M
M
2
1
2
1
2,1 , jer je:FN=F
2.5. Kinetika energija materijalne take
Kinetika energija je skalarna veliina, a u diferencijalnom obliku iznosi:
n
iiK AdE
mVd
1
2
2
to predstavlja prirataj kinetike energije i njenu vezu sa utroenim radom. Ako
promatramo kretanje materijalne take izmeu dva intervala t1t2, odnosno 21
viv imatemo:
n
iKK AiEE
121
2.6. Potencijalna energija
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
27/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 27 -
Ako se sistem materijalnih taaka M1, M2,.... Mn, nalazi u konzervativnom poljupod dejstvom sila F1...... Fn, promatrat emo poetni poloaj taaka sistema(M1)0,(M2)0...(Mn)0 . Potencilalnu energiju moemo definirati na slijedei nain:
Ep =f(x1, y1, z1, .... xn, yn, zn).Rad sile u konzervativnom polju jednak je razlici potencijalnih energija u dva polja:
2,121 AEE pp
2.1. Raketa na vrsto gorivo moe se izraditi u jednom od dva prikazana oblikapoprenog presjeka. Na osnovu eksperimentalnih podataka dobijene su krivezavisnosti sile potiska i vremena (F, t ) za prikazane oblike, a za istu vrstu pogona.Odrediti ukupni impuls u oba sluaja.
2
1
t
t
Fdt povrina ispod krive
Takoe se moe odrediti jednadba za bilo koji linijski segment i integrirati posegmentima, ali izraunavanje podruja je mnogo bre.elimo odrediti jednadbu kojom moemo brzo izraunati svaku liniju intervala,
a) NsFdtt
t
46842
143
2
14343
2
1
b) NsFdtt
t
54622
186
2
1
2.2. Sanduk teine 20 N vue sila F=(3+2t) N, gdje je t u sekundama. Ako se upoetku sanduk kree prema dole po kosini sa brzinom od 6 m/s, odrediti kojevrijeme je potrebno da sila zaustavi kretanje sanduka. Sila F je uvijek paralelna sakosinom.
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
28/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 28 -
st
tttGmV
FGR
mVRdtmVt
t
643,4
0330sin
30sin
0
201
0
0
21
2
1
2.3. Ako se 0,4 N teka loptica ispali iz cijevi pod nagibom od 400 premahorizontali, pada na tlo pod istim nagibom ali na udaljenosti od 130 m. Izraunatiimpuls sile kojim e se to ostvariti.
Ne poznajemo niti jednu brzinu, pa polazimo od ubrzanja i raunamo brzine.
ijtVgt
itVtr
ujCiCr
jCtVgt
CtVr
jiViCiCV
jCgtiCV
gja
13040sin240cos
aizbacivanjtrenutku0
40sin2
40cos
140sin40cos
0
1
20
1
430
40
1
2
30
1
001210
21
N
F
G
V
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
29/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 29 -
Po osi x:0
1
01
40cos
13013040cos
VttV
Po osi y: 040sin2
01
2
tVgt
2
1
2
1
46,1
)(3681,94,00
81,94,0
14,235,270
14,235,27
36
129540sin40cos2
130
40sin130
40cos
40cos
130
2
040cos
13040sin40cos
1302
1
2
2
000
0
02
22
1
01
01
2
01
t
t
t
t
NsFdt
ostajeemupriFdt
smjiV
smjitV
smV
smggV
VV
Vg
2.4. Bejzbol loptica se kree horizontalno brzinom 35 m/s u trenutku kada je udaribejzbol palica B. Ako loptica nastavi kretanje pod nagibom od 600 prema horizontali idostigne maksimalni domet od 50 m, raunato od visine mjesta udarca palice.Izraunati veliinu impulsa palice na lopticu. Loptica ima masu 400 g. Zanemariti
masu loptice za vrijeme udara palicom.
2
1
2
1
2
1
65,24
53,1223,21
60sin60cos
17,3660sin
2
2
1
60sin
100
212
21
022
22
022
t
t
t
t
t
t
B
By
y
NsFdt
ji
iVjiVmVVmdtF
VmdtFVm
smgyV
GymV
VV
2.5. Automobil teine 2700 N kree se brzinom od 4 m/s pri emu udara u zid. Akoudar traje 0,06 s, odrediti srednji impuls sile koja djeluje na automobil. Djelovanja
konica nije bilo. Ako je koeficijent kinetikog trenja izmeu tokova i kolovoza
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
30/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 30 -
k=0,3, odredi impuls sile na zid za sluaj da su konice upotrijebljene za vrijemeudara. Konice su stavljene na sva etiri toka pri emu oni svi kliu.
GNT
tTFmV
VmdtRVm
kk
t
t
0
0
21
0
21
2
1
Ako je: NFT ,0 Ako je: NFGT k ,
2.6. Odrediti brzine tereta A i B, 2 s nakon kretanja sistema. Zanemariti masutokova i ueta.
2
1
2
0
2
2
t
t
AAA
BA
BB
AA
dtRVm
VVV
GFR
GFR
G
F
T
N
V
AV
AG
F
2
BV
BG
BV
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
31/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 31 -
VmtGF
VmdtR
VmtGF
BB
t
t
BBB
AA
2
0
2
2
2
2
1
Kombinaciom:
NFs
mVsmV
smGG
mm
tV
t
VmGG
t
VmF
BA
ABBA
BBA
A
47,21,47,21
47,212 2
22
2.7. Potpuno natovaren Boeing 747 polijee sa teretom od 660000 N, a njegovimotori razvijaju potisak od 200000 N. Ako je poletna staza ravna i nivelirana, odreditirad :
Koji vre motori pri prelazu puta od 1000 m du poletne staze,
Koji vri gravitaciona sila G pri prelazu puta od 1000 m du poletne staze .
Zadano: G=660000 N, F=200000 NOdrediti:AF,AG, L=1000 mRjeenje:
Rad sila:
001000660000cos
:
10211000200000cos
21
821
mNGLA
silenegravitacioRad
NmxmNFLA
G
F
2.8. Na predmet mase 20 kg koji se nalazi na kosoj ravni djeluje horizontalna sila F.
Ako je F=200 N i kinetiki koeficijent trenja izmau predmeta i podloge k=0,1,odrediti rad koji nad predmetom vri:
a. Sila trenja na dnu predmeta prinjegovom pomjeranju od 15 m uz kosinu,b. Gravitaciona sila G pri pomjeranju od 15 m uz kosinu ic. Horizontalna sila od F=200 N ako se predmet kree uz kosinu 15 m.
G
F
x
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
32/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 32 -
Zadano: m=20kg, F=200NNai:AT,AG,AF
Izrada:030cos30sin0
30sin30cos0
00
00
NGFF
maTGFF
y
xx
Pri emu je, NGFNT kk 99,2630cos30sin00
NmlFA
NmlGA
NmxlTA
F
G
T
1,25981530cos200
5,14711530sin2,196
85,4041599,26
0
0
2.9. Lopta teka 3 N je osloboena iz stanja mirovanja kao na slici. Ako je duinaneoptereene opruge 2,0 m i konstanta opruge k= 10 N/m, odrediti rad koji pri
kretanju lopte na duini od 1,6 m unutar cijevi izvri:a. Sila opruge ib. Gravitaciona sila.
Zadano: poetna brzina, V1=0, G=2 N, L0=2 m i k=10 N/m.
Odrediti:A1-2 za loptu
N
G
T
x y
F
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
33/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 33 -
Rjeenje: zanemariti trenje izmeu lopte i stijenke cijevi!
NmAAAA
NlA
NmmGlA
Nmmm
Nm
m
NkA
GNF
maGFF
NGF
N
G
F
y
xsx
s
s
1803250
0
321630sin2
5015010102
1
2
1
030cos0
30sin0
21
0
2221
22
0
0
2.10. Sanduk mase 50 kg ogranien je gredom s protiv kretanja sanduka prema
dole. Ako su koeficijenti statikog i kinematikog trenja izmeu podloge i sanduka2,03,0 ks i naizmjenino, odrediti vrijeme neophodno da sila Fpone
pomjerati sanduk brzinom od 2 m/s prema gore.Sila je uvijek paralelna sa podlogom, a intezitet NtF 300 , gde je t u sekundama.
Napomena: Prvo odrediti vrijeme potrebno za savlaivanje statikog trenja ipoetak kretanja sanduka.
Prije pokretanja sanduk je u ravnotei (a=0):
st
tGF
mir
mirs
242,1
30030cos30sin 00
st
t
tt
mG
Gtt
mGtt
mdtGGt
mVIdtmV
k
k
t
k
t
k
t
t
929,1
klizanjaprije-rjeenjejivoneupotrebl2721,0
073,782,330150
2242,130cos30sin
242,115030cos30sin150
230cos30sin150
230sin30cos3000
2
00
2002
242,1
002
242,1
00
21
2
1
2.11. Tijelo mase 50 kg podie se navie po kosoj ravni pomou ueta i motora,kako je prikazano na slici. Koeficijent kinetikog trenja izmeu tijela i povrine ravni je
x
sF
G
te
030
N
y
N
F
G
T
030
NT
GN
GTF
s
0
0
30cos
30sin
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
34/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 34 -
k=0,4. Ako tijelo dobije poetnu brzinu od V0=2 m/s, u tom trenutku (t=0) motorzatee ue silom NtT 120300 , gdje je t u sekundama, odrediti brzinu tijelanakon 2 s.
s
mggtt
m
GGdttmm
V
mVdtGTFmV
GT
k
k
t
t
k
919,10230sin0230cos120
3
2300
12
0230sin0230cos12030021
30sin
30cos
00
2
0
2
3
2
0
002
1
2
20
1
0
2
1
2.12. Balistiko klatno sastoji se od 4 kg tekog drvenog bloka u stanju mirovanja,=0. Ako puano zrno mase 2 g udari u balistiko klatno ono e se zaljuljati domaksimalno =60. Izraunati brzinu puanog zrna.
N
F
G
T
030
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
35/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 35 -
Openito vrijedi: 22112
1
0 ppbb
t
t
ppbb VmVmIdtVmVm
Zrno se zabija u klatno sa brzinom: 222 VVV pb
21 1 VmmV bp
b
Poslije sudara: 32
22
1GymV , gdje je: pbpb GGGmmm ,
s
m
mm
llGG
m
mV
pb
pb
b
pb 4,733
2
1
cos11
2.13. Plovei dok teine 45000 t prevozi dva automobila A i B, koji su teki 4000 kg i3000 kg, a nalaze se na krmi i pramcu. Ako automobili startaju iz stanja mirovanja
jedan prema drugom ubrzanjemaA=4 m/s2 i aB=8 m/s
2 dok ne dostignu konstantnubrzinu od 6 m/s relativno u odnosu na dok, odrediti brzinu doka tik prije njihovogsudara. Koliko je vrijeme trajanja tog sudara? Smatrati da dok miruje. Zanemaritiotpor vode.
Brzine prije sudara!
CBCBC
B
CACAC
A
ViViVVV
ViViVVV
66
66
smis
mVVmVimVim
VmVmVm
CCCCBCA
CCBBAA
1154,01154,066
0222
Silaskom s broda guramo ga nazad u vodu, zar ne? Moramo objasniti zato je totako.Razjasnimo prvo ta je ta!
l
3cos yll
l
iV
iV
CB
CA
6
6
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
36/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 36 -
mttr
CCttr
sstttV
CCttV
sma
AAA
AA
AAAA
A
A
5,42
02
5,1
4
664
04
4
2
332
11
2
mttr
CCttr
stttV
CCttVs
ma
BBB
B
BBBB
B
B
25,24
04
8
668
08
8
2
442
22
U prvih 1,5s,Avozilo pree 4,5m, a B 2,25m plus (6m/s)(0,75s)=4,5m. To iznosi30-4,5-2,25-4,5=18,75 m izmeu automobila, naravno svaki treba prei pola tog putaprije sudara, to jest:
sts
sm
m
sudara 063,35625,15,15625,1
6
2
75,18
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
37/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 37 -
2.14. 5 kg napregnuta opruga topa miruje po glatkoj povrini. Ako se ispali loptamase od 1 kg sa brzinom od V '=6 m/s u odnosu na top u pravcu prikazanom na slici.Ako je top bio u stanju mirovanja, odrediti horizontalnu udaljenost d lopte od topa priemu je ona dosegla taku D na podlozi. Zanemariti veliinu topa.
Osnovna jednadba (kada je ispaljena): 222
1
11 ggbb
t
t
ggbb VmVmdtIVmVm
U horizontalnom pravcu: 0,00 22 yxxggxbb RRVmVm
Pretpostavljamo da je: jiVV gb 30sin30cos62/2
Ogranienje u horizontalnom pravcu:
smV
smV
V
m
mV
VVVV
xg
xb
xb
g
bxb
xgxbxgxbx
866,0
33,4
30cos6
2
2
220
222/2
Vertikalna komponenta brzine je:
smV yb 330sin6
02
md
dmtr
jCiCtr
jCiCtCtr
jijCiCtV
a
g
gsudarag
g
g
g
g
5296,0
5296,06116,0866,0
0
0866,0
0
43
431
21
mddd gb 178,3
md
st
idjtitCtr
jCiCr
jCtCtiCtCtr
jijCiCViCjCttV
ja
b
sudara
bsudarasudarasudarab
b
b
b
b
b
648,2
6116,0
2
81,9
00
2
81,9
333,4081,9
81,9
21
43
422
31
21
12
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
38/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 38 -
2.15. Tijelo B teine 75 N miruje na kraju kolica teine 50 N. Ako se kolica moguslobodno kretati, i ako se ue povue brzinom 4 m/s u odnosu na kolica, odreditiudaljenost d na koju su se kolica pomjerila kada se teret pomakao za 8 m nakolicima. Koeficijent kinetikog trenja izmeu kolica i bloka jek=0,4.
)()0()0(
44
2211
/
platformipokretatiseekolicaVmVmVmVm
iVViVVV
PPBBppBB
PBPBPB
smV
smV
VmVm
B
P
PPPB
6,1
4,204 22
Sa brzinom od 4 m/s, i u vremenu od 2 s predmet e se pomjeriti za 8 m.
mr
Cr
Ctr
P
P
P
8,42
00
4,2
1
1
2.16. Tijelo mase 6 kg kree se iz stanja mirovanja od A prema dole po glatkojparabolinoj krivulji. Odrediti za koliko e se komprimirati opruga.
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
39/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 39 -
ml
klyGVmlkGyVm
86,6
2
1)0()0(
2
1)0(
2
1)0(
2
1
2
222
22
211
21
2.17. Potpuno optereen Boeing 747 tezak je 660000 N, a njegovi motori ostvarujupotisak (silu) od 200000 N. Ako je otpor zraka i trenje izmeu tokova i poletne pistezanemarivo, odrediti zahtjevanu duinu piste koju avion pree do brzine od 140km/h
Zadano: G=660000 N, F=200000 N, zanemariti otpor zraka i trenjeOdrediti:l
Rjeenje:
m
F
mVl
mVFl
EAE kk
25,254200000
88,3881.9
660000
2
1
2
1
2
1
)0(
222
22
2211
2.18. Mlazni avion teine 25000 N katapultira se na palubi nosaa aviona pomouhidraulikog mehanizma. Odrediti srednju silu potiska na avion ako je dostigao brzinuod 160 km/h na udaljenosti od 300 m.
t=0V=0
C C
V=140km/h
1 2l
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
40/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 40 -
Zadano: G=25000 N, dostignuti parametri; mxihkmV 300,160 22
Odrediti: srednju silu potiskaRjeenje: 2211 kk EAE
N
x
sm
x
mVFavg 8388
3002
44,4481,9
25000
2
2
2
22
2.19. U brodskom skladitu, paketi se kreu po stazi klizajui prema dole kako je
prikazano na slici. Koeficijent trenja izmeu paketa i staze je 2,0k , a nagib nadnu staze je strm ali glatak i iznosi, =300. Ako se paket od 10 kg klie u duini odl=3 m sa poetnom brzinom od 5 m/s nanie, odrediti:
a. Brzinu paketa kada on pree duinu od l=3 m, doe u podnoje.b. Udaljenost ddo koje e paket klizati po horizontalnoj podlozi prije nego to
se zaustavi.
0,0,0, xtaV
G G
mxhkmV 300,160 22
1 2x
F
F
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
41/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 41 -
Zadano:
150
,3,10,2,0
VsmV
mlkgmk
Izraunati: brzinu na kraju kosine=V230 VtVd f
Izrada:
0
0
0
30cos
030cos0
30sin0
GN
GNF
maGTF
y
xx
Sila trenja, tnakonsNGNT kk tan99,1630cos0
Rad trenja i zemljine gravitacije:Rad trenja: JNmmNTlxxTAT 97,5097,50399,161221
Rad gravitacije: JmmgxxGA xg 15,1473.30sin0
1221
sm
AmVAmVmV
mVAmV
EAE kk
651,6
2
2
12
2
1
2
1
21
2
121
2
12
2221
21
2211
2.20. Ako paket teine G=15 N, dostigne brzinu V0 te udari u branik, njegovazadaa je da ublai taj udarac. Opruga je krutosti k=6 N/m, a masa branika B semoe zanemariti. Ako je statiki i kinematiki koeficijent trenja izmeu 15 N tekogpaketa i podloge 4,06,0 ks i , odrediti maksimalnu poetnu brzinu V0 paketa
takvu da branik udaljen l =5 m ne udari u odbojnik.
l
d
030
3 2
1
x
N
G
T
V
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
42/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 42 -
Zadano: 4,0;6,0,15,6 ksNGmNk
Odrediti: maxoV tako da odbojnik ne udari u zid-ako je l=5 m
Rjeenje:
Ako elimo da paket ne udari u zid treba da jeuspostavljena statika ravnotea izmeu energije teretai sabijanja opruge.
To znaci da ce kutija biti u statickoj ravnotezi primaksimalnoj kompresiji.
00 xsx maTFF , (ravntea, nema odbijanja)
Za slobodno kretanje, 00 yy maGNF
max
max
5,1 smk
Gs
TksFGNT
s
sss
Kada kutija pritise oprugu:
00
0
yy
xsx
maGNF
maTFF
Radi klizanja, NGNT kk 68,26 Pa je rad:
smV
AVm
TAE
Nmxk
kxdxA
NmslTA
k
s
T
3,4
02
0
5,132
2,79
max0
31max0
2311
5,1
0
5,1
0
221
max31
G
T
)( ksF
N
x
l 3
k B
m
2 1 s
0V
G
T
F
N
x
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
43/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 43 -
2.21. Mali automobil igracka kree se nadole po zavojnoj rampi kako je prikazanona slici. Masa automobila je m=50 g, pri emu je promjer krunog dijela ramped=300 mm. Ako automobil obavi vertikalni pad za h, odrediti:
a. Minimalnu visinu h tako da auto moe savladati zavojnicu na rampi.b. Silu koju e ostvariti auto pritiskom na stjenku u taki B (na jednoj
etvrtini puta kroz zavojnicu)
Zadano: m=50g, d=300mm, V1=0Odrediti: hmin za prolaz petlje, NBRjeenje:
Trenje zanemariti.Uraditi stazu tako da auto ne padne sa stazeu taki 3. Izraunati minimalno h tako da jesila izmeu auta i staze bude jednaka 0 utaki 3. Napraviti cijeli krug okolo, automobilne smije pasti sa tacke 3. (ovo ne)Minimalno h da bi se ostvarilo to ce biti
dovoljno za normalnu silu izmedju kolosjeka od nula do 3.
J ednadba za energiju i rad na rampi:
ghGhm
V
mVGh
EAE kk
22
2
10
2
22
2211
Analiza poloaja auta u taki 3:
hd
1
2
B
3
N
G
x
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
44/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 44 -
Energija i rad u taki B:
2.22. Pomak tijela, prikazanih na slici iz stanja mirovanja je za x= - 800 mm.Opruga ima koeficijent k =500 N/m i nerastezljive duine od l0=400 mm. Trenjeizmeu povrina zanemariti. Za prikazano kretanje odrediti:
a. Brzinu tijela mase 2 kg kada je x=0 mm.b. Maksimalno pomjeranje tijela x.
en
et
N=0 G
nn
kk
maGF
mVGdGh
mVGhmV
EAE
23
23
22
3322
2
1
2
1
2
1
gdgV
Vmmg
23
23
mmdd
dh
dgGdgh
3754
5
4
4
d
Vm
VmmaN
F
mVd
GGh
mVd
GmV
EAE
BBnB
n
B
B
kBBk
22
2
222
22
2
0
2
1
2
2
1
22
1
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
45/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 45 -
Zadano:
trenjezanemariti
mmlmNk
mmxV
,400,500
,8000
0
2
Odrediti:
max
2 )2(,0
x
kgmasetijelozaxV
Rjeenje:
32
33
22
2
sup
VV
Vs
vrijednostpozitivnarotnoVs
Ako se tijelo mase 2 kg kree na rastojanju od a udesno, tijelo mase 3 kg se kreedo udaljenosti od a/2 nanie.Na horizontalnoj povrini, gravitacijaokomita, sila od m=2 kg ne stvara rad.Napetost je unutarnja sila u sistemu (iji je rad =0). Sila tee koju ini tijelo m=3 kguzrokuje rad od:
2
800
2333
xgm
aGA
Za oprugu je: 4,06,0 220 xkllkkFs Rad opruge je:
02
022
32
32
32
ssL
ssLconstssL
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
46/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 46 -
4,06,04,02
64,0500
6,04,06,0500cos
222
8,022
22
xx
s
sdssds
l
skdsFA
x
ss
2.23. Prsten (uplja kugla) teak 1,5 N klie po vertikalnoj ipci bez trenja. Poetnaduina opruge je l0 =0,8 m, konstanta opruge k=80 N/m, a udaljenost ipke od zglobad=1,2 m. Ako prsten pomjerimo iz stanja mirovanja tako da je b =0,9 m odreditibrzinu prstena u poloaju kada je b=0.
Zdano: G=1,5 N, vertikalna ipka , l0=0,8 m, k=80 N/m, d=1,2 m, ostvaruje se prib=0,9 mOdrediti: V2 ako je b=0Rjeenje:
Kako nema trenja, energija je ouvana.
s
mGyllkm
V
mldl
mlbdl
lll
GylkmVGylkmV
EEEE pkpk
5,122
12
4,0
7,0
2
1
2
1)0(
2
1)0
2
1(
222
212
02
022
1
0
222
221
21
21
2211
2.24. Djevojka skaka, mase 57 kg skae sa visokog mosta. Ue je elastino sakonstantom krutosti od 171 N/m, slobodne duine (neoptereen) L=40 m. Odrediti:
a. Brzinu djevojke kad ue postaje zategnuto te poinje djelovati silomna njeno tijelo.
b. Istezanje d ueta kada djevojka prestane ponirati.
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
47/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 47 -
Zadano: m=57 kg, k=171 N/m, l0=40 mOdrediti: Vwhen l=0, lmaxGdje su poloaji: 1 hvatite, y=0, V=0 2 mjesto gdje je y= - L0 (neoptereenoue) i 3 y= L0 dmax, V=0.Rjeenje:
onereammld
mVGdkd
dLGLGmV
EEEE
smglGl
mV
LGmV
EEEE
pkpk
pkpk
ln23,13,77,19
0
2
1
2
1
2
1
01,2822
02
1000
maxmax
22max
2max
max002
2
3322
002
02
2
2221
2.25. Zamajac mase 10 kg i promjera 400 mm je spojen sa el. motoromkonstantnog broja obrtaja, pomou elastinog remena. Ako startamo iz stanjamirovanja, odrediti torziju potrebnu da rotira zamajca pri 4200 o/min nakon 5 s.
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
48/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 48 -
Zadano: obrtajaommdkgm 5min4200,00,400,10 21
Odrediti: M=const. (A1-2=M)Rjeenje:
Nm
obrtobrt
sobrtom
dmI
M
ImVMImV
EAE
Gz
GzGGzG
kk
8,6152
.5
60
min2min
42001000
200104
1
22
1
2
1
2
1
2
10
2
10
2
10
2
1
2222
22
2
22
22
22
21
21
2211
2.26. 100 N teka kolica su u stanju mirovanja kada na njih pocne djelovati sila P .Promjena sile P prikazana je na dijagramu. Odrediti brzinu kolica kada je t=6 s:
a. Masa tokova je mala, a ne pruaju ni otpor pri kotljanju.b. Ako su tokovi zakoeni te klize (statiki i dinamiki koeficijenti su
2,03,0 ks i naizmjenino )
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
49/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 49 -
Zadano: 0,15,0,2,0,10 1 VNG ks Odrediti: V2 i t2=6 s pri slobodnoj rotaciji (T=0)
-- - kotrljanje blokiranoRjeenje:
00
0
GNFmaTFF
y
x x
U stanju mirovanja: 0 NT ss
Pri klizanju, GNT kkk
stsjekadNF
stjekadts
NF
dtTFV
mVTFmV
t
t
x
t
t
xx
64:40
40:4
40
2
1
0
2
1
2
1
2
21
Ako je trenje, T=0:
smNsNs
mdijagramaunutarprostor
mFdt
mV 52,51402404
2
1111 6
0
2
Ako je trnje, T0:Kolica e poeti klizanje kada sila Fpostane vea nego maksimalna slobodna
sila trenja za ravnoteu. (Ts).
G
TN
F x
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
50/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 50 -
stGTtsNF mirovssmirovmirov 210
Za t>2s, ako se kolica kliu onda je sila trenja Tk.
!
4
2
6
2
62
16
76,2550301
401
101
6
trenjabez
kk
VV
smNsNs
mdtGN
mdtGts
Nm
V
2.27. Potisak od 500 N rakete koja stoji na saonicama, mijenja se sa vremenom,prikazano na dijagramu. Ako saonice startaju iz stanja mirovanja i kreu se pootvorenom horizontalnom kolosjeku, odrediti brzinu kod koje e raketa potroiti svogorivo.(Zanemariti trenje)
Zadano: 00,500 1 tVNG otvorena, horizontalna prugaOdrediti: V(10)Rjeenje:
hkm
smNs
mV
mVdtRmV
NsNsNsNsTdt
krivuljeispodpovrinadtR
t
t
xxx
t
t
x
5938,16484001
0
8400120052
11200412001
2
1
10
21
10
0
2
1
2
1
G
N
F x
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
51/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 51 -
2.28. Padobran i 400 N teka korpa padaju sa konstantnom brzinom V. Kada korpapadne na zemlju, padobranski konopci e se rasteretiti (nee biti sile na korpu), a pripadanju ka zemlji e se sila mijenjati po dijagramu. Odrediti maksimalnu konstantnusilaznu brzinu za koju e maksimalna sila djelovati na korpu Fmakspri emu onanetreba prelaziti 2000 N.
Zadano: G=400 N, Fmax=2000 NOdrediti: VmaxRjeenje:
2
2
1
1
0
x
t
t
xx
x
mVdtRmV
maFGF
Padanje korpe u intervalu od 0,3 s odvija se silom koja jejednaka teini korpe.
smsG
m
NsNFsFsm
sGmkrivuljeispodpovrinaFdtmdtGFmV
VmdtFGmVx
3,01
4001,04001,02
12,0
2
11
3,0111
)0(
maxmax
3,0
0
3,0
0
max
3,0
0
3,0
2.30. Paket teine 5 N stoji na horizontalnoj povrini pri emu se sila F mijenja pokrivulji sa dijagrama. Intenzitet sile mijenja se sa vremenom. Ako su statiki idinamiki koeficijenti trenja 30,040,0 ks i naizmjenino, odrediti:
a. Vrijeme t1u kojem paket poinje klizati.
F
GV
x
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
52/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 52 -
b. Maksimalnu brzinu paketa Vmaks i vrijeme tm potrebno za nju.c. Vrijeme tf za koje e se paket prestati klizati.
Zadano:,30sin30cos,5 00 jFiFFNG
i 3,0,4,0 ks
Odrediti: t, (poetak klizanja), Vmax, tm, tf-(prestanakklizanja)Rjeenje:
2
1
20
1
2
1
21
2
1
21
0
0
0
0
0
30cos
kretanjastanje30sin
mirovanjastanje30sin
30sin
030sin0
30cos0
t
t
xx
t
t
xxx
t
t
kk
ss
y
xx
mVdtTPmV
mVdtRmV
VmdtRVm
FGT
FGT
NT
FGN
FGNF
maTFF
Paket e se poeti klizati kada primjenjena sila (Fcos30
0
) dostignemaksimalnu frikcionu silu koja je u sluaju ravnotee (Ts).
NG
F
FGTFT
s
s
ss
330sin30cos
30sin30cos
00
00
Pomou dijagrama,
stszaNtNts
N
stzatNts
NbntF
20100,15,01010
5
1005,20010
5
G
TN
Fx30
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
53/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 53 -
Ili: stszaNFN
st
stzaFNst
2010102
1002
Gdje je: sNNst 0,6321
b.)Kada paket poinje kretanje, T=Tk. U pravilu veliina Fcos300 je velika kao i Tk ,
paket e se ubrzavati (linearni impuls e se poveavati-brzina e se poveavati). Toe se nastaviti sve do: Fcos300=Tk .
NG
F
FGF
k
k
k
32,930sin30cos
30sin30cos
00
00
Interval u kojem dolazi do smanjenja sile F je 10 s
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
54/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 54 -
a. Odbojnu brzinu topa.b. Udaljenost koju e top dostii prije nego to se zaustavi.
Zadano: Gc=800 N, Gb=5 N, smVbk 650,25,0 2
Odrediti: Vc2, dc3
Rjeenje:Za top: Za topovsku kuglu:
2
1
22221 00)(t
t
bbbcccbc iVVmiVVmdtRVmm
Ako uzmemo u obzir utjecaj topatopovska kugla je isto u sistemu, pa je Feksplozijeunutarnja sila (to dejstvo je uzrono). elimo zanemariti impuls uzrokovan trenjem Tckoja je jako mala poredei sa Feksplozijete imajui na umu da se ta eksplozija dogodilau veoma kratkom vremenskom intervalu.
Po osi x: smV
m
mV b
c
bc 063,422
Gledajui samo top poslije eksplozije,
ckckcyccy
GNTmaGNF
0
Koristei rad i energiju imamo,
mT
Vmd
VmdTVm
c
cc
c
cccccc
36,32
1
)0(2
1
2
1
22
3
233
22
2.32. Dva premazana diska kliu se po horizontalnoj podlozi sa trenjem. Disk Ateine 1 N i brzine VA=15 m/s; disk B teine 2 N i brzine VB=10i+24j m/s. Poslije
sudara kreu se kao zasebne jedinice sa brzinom V pod uglomu odnosu na osu x.Odrediti intenzitet brzine V, i ugao .
Feksplozije
Gb Vb2Gc
TcNc
FeksplozijeVc2
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
55/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 55 -
Zadano: otporna horizontalna povrina gdje vrijedi,
jiVVs
mjiVNG
smVNG
BB
AA
sincos
2410,2
15,1
2
1
1
Odrediti: V,
Rjeenje:
smV
smGs
mG
smG
tg
GGsmGsmGGG
VGGsmGypo
GGs
mGsmG
V
VGGsmGs
mGxpo
jiVg
GGs
mjig
Gs
mig
G
VmmdtRVmVm
BA
B
BA
BA
BA
BAB
BA
BA
BABA
BABA
BA
t
t
BBAA
8,19
90,53)10()15(
)24(
sincos
)10()15(
sin24:
cos
1015
cos1015:
sincos241015
0
01
2
2
1
11
2.33. Sanduk teine 4 N poinje kretanje iz poloaja A po glatkoj povrini,
zakrivljene rampe, radiusa 20 m. Ako se sanduk spusti niz rampu do B, te udari nakolica teine 40 N, koja su u stanju mirovanja, ona e nastaviti kotrljanje na desno
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
56/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 56 -
kao zasebna jedinica. Odrediti (opu) brzinu kolica i sanduka kada se oni kreusjedinjeni.
Zadano: Gb=4N, Gc=40 N, Sandukkolica u poetku miruju ravnotea, rampa
(nema trenja),=20 mOdrediti: poetnu brzinu kolica i sanduka, V3Rjeenje:
Rad energija sanduka,
s
mgm
GV
yGVmmyGVm
EEAEE
b
bb
bbbbbbbb
pkpk
80,19202202
02
10200
2
1
2
2
2221
21
22)0(2111
Zakon impulsatrenutna sila sandukakretanje kolica,
sm
mm
VmV
iVVmmsistemaunutardtR
VmiVVm
cb
bb
t
t
cb
ccbbb
8,1
)0(
0
23
2
1
33
222
2.34. Tijelo od drveta, teine 0,30 kg prikaceno je na oprugu krutosti k=7500 N/m.
Tijelo je u stanju mirovanja ( 4,0k ) na hrapavoj horizontalnoj povrini kada u njegaudara puano zrno teine 0,030 kg sa poetnom brzinom Vi =150 m/s. Poslijesudara puano zrno je ugraeno u tijelo od drveta. Treba odrediti:
a. Brzinu tijela i puanog zrna odmah nakon sudara.b. Udaljenost ddo koje e tijelo doi nakon sudara sa puanim zrnom.
Zadano: mtijela=0,30 kg, k=7500 N/m, V1tijela=0, k=0,4, mzrna=0,03 kg, V1tijela=150 m/s
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
57/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 57 -
Odrediti: V2(tijela+zrna), udaljenost dRjeenje:* Rjeavamo pomou impulsasile
smkgsmkgkgV
mVRdtmVmVt
ttijelozrnotijelozrno
64,1303,015003,033,0
1
)0(
2
2
1
211
* Kretanje tijela-koristimo radEnergiju
md
NmdNdmN
kdGdmV
EEAEE
ktijelozrno
pkpk
09035,0
0698,30)(97119,0)(3750
2
1
2
1
00
2
222
222111
2.35. Topovska kugla mase 5 kg ispaljena je sa poetnom brzinom V0=125 m/s i0=75
0 u odnosu na osu y. U vrhu trajektorije, kugla eksplodira i rasprskava se u dvadijela. Dio mase od 2 kg pada na zemlju sa x=50 m i y=350 m, nakon vremena t=25s.Odrediti:
a. Kada i gdje e pasti dio mase od 3 kg na zemlju?b. Impuls dijela kugle od 3 kg poslije eksplozije.c. Srednji utjecaj sile eksplozije F2 kg na dio kugle od 2 kg poslije eksplozije
ako je trajanje eksplozije iznosilo t =0,003 s.
Zadano: mkugle=5 kg, max0
002 ,75,125,25,35050 ZsmVstmjir kgk
Odrediti: ?3 tr kgk
Impuls za dio od 2 kg pri eksploziji
2
1
2
t
t
kg dtF
, pri t=0,003s.
Rjeenje:
k
d
V1zrno
G
T=kNN
kd
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
58/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 58 -
ks
mta 281,9
za cijelu topovsku kuglu prije eksplozije
00
)(74,120)(2
81,9)(35,32
74,120,35,32,0
75sin12575cos12500
81,9
654
62
254
321
00321
3221
kCjCiCr
kCtsmt
smjCts
miCtr
smCsmCC
ksmjs
mikCjCiCV
kCts
mjCiCtV
Prije eksplozije
Eksplozija e se desiti kada je Vz =0 (taka na trajektoriji), pa je
st
smt
sm
eksplozija
eksplozija
31,12
074,120)(81,9 2
Za cijelu kuglu prije eksplozije
Dio od 2 kg nakon eksplozije,
nepoznata brzina trenutak poslijeeksplozije. Polazimo da je to poetno vreme0, radi jednostavnosti.
Vrijeme trajanja je t=25s, ali poetno vrijeme je nula (pri eksploziji), pa je:
ssstf 69,1231,1225
Po osi x: smVmtV xfx 94,350
Po osi y: smVmmtV yfy 795,335016,398
tsmt
s
mtjsmtr
ksmt
smjs
mtV
CCC
74,120905,435,32
74,12081,9)(35,32
0
22
2
654
smV
mkjr
eksplosije
eksplozije
35,32
)(02,74316,398
zyx
zyx
VCVCVC
kVjViVkCjCiCtV
ks
mta
321
321
2
,,
)(81,9
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
59/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 59 -
Po osi z: smVmtVt
sm
zfzf 693,3002,743905,42
2
smkjiV kgeksplozije 693,3795,394,32
Eksplozija je za sistem dio unutarnje energije, primjenjujemo impulstrenutni udarpri odvijanju eksplozije:
smkjiVVmVmVm
kgeksplozije
kgeksplozijekgeksplozijeeksplozije
462,245,56625,2
0
3
33225
Analiza dijela kugle od 3 kg:
smkjikCjCiCV
kCts
mjCiCtV
ks
mta
462,245,56625,20
81,9
81,9
321
3221
2
sa poetnim uvjetima
Resetovanje vremena na nulu pri eksploziji, ponovo:
mCmCC
mkjkCjCiCr
kCtsmt
sm
jCtsmiCts
mtr
smCs
mCsmC
02,743,16,398,0
02,74316,3980
462,2905,4
45,56625,2
462,2,45,56,625,2
654
654
62
2
54
321
kmtsmtsmjmts
mitsmr
ff
ffsudara
02,743462,2905,4
16,39845,56625,2
22
Koji se deava kada je rz =0, to jest:
Po osi z: stmtsmt
sm
fff 059,1202,743462,2905,402
2
Po osi x: stttmtsm feksplozijef 369,2465,31625,2 Po osi y: mmts
mf 9,107816,39845,56
Proizilazi da je: stmjir kgsudara 369,24107865,313
Pri eksploziji, sa iskljuivo aktivnom silom koja djeluje na dio od 2 kg je sila F2 kg.Impuls za taj dio mase je:
2
1
2
2
1
2
2
1
222
39,729,7288,7
2
t
t
kg
t
t
prijeposlijekg
t
teksplozijeposlijekgkgeksplosijeprijekg
NskjidtF
VVkgdtF
VmdtFVm
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
60/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 60 -
2.36. Topovska granata teine 25N ispaljuje se iz topa teine 3000 N. Topovskagranata se ispaljuje sa brzinom 1500m/s i pod kutem 300 prema horizontali.Pretpostavljamo da je topovska cijev kruto tijelo i da je privrena za tijelo topa te da
je top u cjelini slobodan pri kretanju horizontalno. Ako granata boravi u cijevi nakonispaljenja 0,005 s, odrediti:a. Rezultantnu vertikalnu silu poslije eksplozije.b. Odskonu brzinu topa.
Zadano: stsmVNGNG izltopagranate 005,0,1500,3000,25
Odrediti: Rvertikal,Vodbijanja
Rjeenje:
2
1
00
2
1
221
30sin30cos
0
t
t
izlazagranateodbijanjatopgranatatop
t
t
granatagranatatoptopgranatatopgranatatop
jiVmiVmjdtGGN
VmVmdtRVm
2
1
00 30sin30cost
t
izlazagranateodbijanjatopgranatetop jiVmiVmjtGGN
Po osi x:
smV
VmVm
odbijanja
izlaznagranateodbijanjatopa
83,10
30cos0 0
Po osi y:
NNR
VmtGGN
vertik
izlazagranategranatetopa
980000
30sin 0
2.37. Sanduk teine 20 N ima brzinu od VA=12 m/s u taki A. Odrediti brzinu poslijepreenog puta od s =6 m prema dole. Koeficijent kinetikog trenja izmeu sanduka ipodloge je 20,0k .
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
61/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 61 -
NGNT
GymVTsGymV
kk 2,3cos
2
1
2
12
221
21
Ako je: msyy 6,3sin,0 12
smV
tg
2
01 87,364
3
2.38. Odrediti brzinu tereta A teine 60 N ako su tereti izbaeni iz stanja mirovanja stim to se tijelo B od 40 N, kree 2 m uz kosinu. Koeficijent kinetikog trenja izmeublokova i kosina iznosi 10,0k .
Tijela ine jedan sistem (sa uetom kaointernom vezom). V1=0 za obadvatereta!
Za stanje y1=0, vrijedi: VB=2VA
002222 60sin130sin2
2
1
2
121 ABBBAABA GGVmVmTT
GA TA
2F
NA
60
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
62/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 62 -
smV
smV
mm
TTGGV
GT
GT
GN
GN
B
A
BA
BAABA
BkB
AkA
BB
AA
22
1
260sin30sin2
30cos
60cos
30cos
60cos
002
0
0
0
0
2.39. Odrediti brzinu tijela A od 20 kg mase, koja se ostvari pri kretanju od 2 m, izstanja mirovanja niz kosinu. Tijelo B ima masu 10 kg, a koeficijent kinetikog trenja
izmeu klizne povrine i tijela A je 20,0k . Nai silu koja vlada u uetu.
BABA
BBBA
GyGymVmV
TdGyGymVmV
222
22
2
112
12
1
2
1
2
1
0002
10
2
1
smV
GNT
mdy
y
VV
AkAk
B
A
BA
638,2
60cos
2
2
60sin2
2
0
2
02
22
A: NFGymVdFTGymV 5,1152
100
2
12
221
21
B: NFGymVFdGymV 5,115
2
100
2
12
222
21
GA
TB
F
NB
30
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
63/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 63 -
2.40. Tijelo teine 100 N klie se niz kosinu iji je koeficijent kinetikog trenja25,0k . Ako se tijelo kree sa 10 m/s u taki A, odrediti maksimalno sabijanje
opruge u trenutku kada se tijelo zaustavi.
ml
kllGlGmV
GNT
k
kk
20021
0
2
11087,36cos87,36sin10
2
1
87,36cos
2.41. Tijelo teine 5 N kree iz stanja mirovanja (poloaj A) kliui se prema dole pokrunoj putanji AB. Zatim kontinuirano se kree po horizontalnoj podlozi do udara uoprugu. Odrediti za koliko se komprimira opruga do zaustavljanja tijela.
ml
TGlTlk
GNT
lklTG
kk
023)(2
1
)(
2
123
2
2
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
64/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 64 -
2.42. Osoba teine 120 N izbacuje se kao ljudska topovska kugla (iva osoba)pomou opruge nategnute u topovskoj cijevi. Ako najvee dozvoljeno ubrzanje zaovjeka iznosi 10g=98,1 m/s2, odrediti potrebnu krutost opruge koja je bilakomprimirana za 2 m u trenutku aktiviranja. Sa kojom brzinom e se tijelo odlijepiti odopruge? Zadano je sabijanje opruge s=2 m i d=8 m. Zanemariti trenje i pretpostaviti
da se ovjek dri u istoj poziciji tijekom kretanja.
2.43. Opruga krutosti k=50 N/m u neoptereenom stanju je duga 2 m. Kao to jeprikazano na slici, opruga je stisnuta sa odbojnim limom na duinu od 1,5 m. Sandukteine 4 N se kree brzinom VAto je brzina u taki A, i to klie niz kosinu pri emu jekoeficijent kinetikog trenja 2,0k . Ako se lim isturi naprijed za 0,25 m prijezaustavljanja, odrediti njegovu brzinu u A. Zanemariti teine limene ploe i opruge.
smV
GdmVk
mNk
zakonHookovkkxF
GF
mgmaGF
x
s
s
)49,5(
45sin
2
12
2
1
600
2
45cos10
1045cos
2
022
2
0
0
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
65/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 65 -
087,36cosGNT kk
Koordinate sanduka (taka A)
smV
GykTGykmV
1
2
2
1
221 75,0
2
125,35,0
2
1
2
1
2.44. Klatno mase 0,75 kg izbacuje se iz ravnotenog poloaja A oprugom ija jekrutost k=6 kN/m. Ako je opruga bila sabijena za 125 mm, odrediti brzinu klatna i silu
u uetu u pozicijama B i C. Taka B je u poloaju gdje je na radiusu zakrivljenosti0,6 m pregib, gdje ue postaje samo pola horizontalno.
GT
N
36,87 02
01
87,36sin25,1
87,36sin5,4
y
y
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
66/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 66 -
Poloaj B:
NV
mFF
eV
eVerera
s
mV
mVGylk
ntnt
5,1410
64,10
2
1
2
1
2
22
2
222
21
Poloaj C:
NF
VmGFF
smV
mVGylk
7,48
0
47,92
1)(
2
1
2
2
222
21
2.45. Sanduk mase 100 kg je izloen silama F1=800 N i F2=1,5 kN. Ako je poetnostanje, stanje mirovanja, odrediti udaljenost klizanja d pri postignutoj brzini odV=6 m/s. Koeficijent kinetikog trenja izmeu sanduka i podloge je k =0,2.
md
FFGNT
smVjegdje
mVdTFFmV
kk
9332,0
20sin30sin
)6(:
2
120cos30cos)0
2
1(
02
01
2
22
02
01
21
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
67/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 67 -
2.46. Tijelo mase 2 kg izloeno je konstantnom djelovanju sile po zakonu
Ns
F
1
300, gdje je s u metrima. Kad je s=4 m tijelo e se kretati lijevo brzinom
8 m/s. Odrediti brzinu kada je s=12 m. Koeficijent kinetikog trenja izmeu tijela ipodloge je k=0,25.
Rad sile od take 1 do 2 iznosi:
J ednadba za energiju i traena brzina iznose:
s
mVmVAmV 40,15
2
1
2
12
2221
21
2.47. Tarzan mase 100 kg ljulja se skaui sa grebena stijene pomou ueta
(napravljeno od loze) duine 10 m, mjereno od oslonca A do centra njegove mase.Odrediti njegovu brzinu trenutak poslije to ue dodirne granu drveta u B. Koja silatreba biti u tom uetu prije i u trenutku kada ue dodirne granu u B?
NmsGS
dsGF
dsFGF
dsTFA
SSkk
SS
kk
S
S
k
S
S
S
S
2,17330sin30cos1ln300
30sin30cos
30sin30cos
30cos
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
00
00
00
021
G
S
F
1
300
NT k
300
030sinFGN
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
68/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 68 -
Let:
smV
GymVGy
Aatreferenceyy
581,7
2
1
)(10,45cos10
2
22
21
20
1
Prije nego to ue udari u granu, je=10 m, a poslije je=3 m.
NF
NF
poslije
prije
2897
1556
To su sile kojima treba Tarzan da se dri za ue!
2
0
VmmaGF
Vmma
n
t
B
G
F
man
mat
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
69/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 69 -
3- DALAMBERTOV PRINCIP ZA MATERIJALNU TAKU
Ako na materijalnu taku M, mase m djeluje sistem sila nFF
,.....1 i ona se
kree ubrzanjem
a , osnovna dinamika jednadba e izgledati:
n
i
in FFFFam1
21 .....
Ako primjenimo Dalamberov princip na svaku taku materijalnog sistema i akouzmemo u obzir i reakciju veza, dobiemo:
0 in
i
r
i
a
i FFF
3.1. Dinamika relativnog kretanja materijalne take3.1.1. Diferencijalna jednadba kretanja
Pri sloenom kretanju take apsolutno ubrzanje take
a iznosi:
crp aaaa
,Gdje su:
-
MppMpp aa 0 - prenosno ubrzanje,
-
ra relativno ubrzanje i
-
rpc va 2 - Koriolisovo ubrzanje.
Pa je osnovna diferencijalna jednadba pri relativnom kretanju:
n
i
s
icrp Famamam1
.
3.1.2. Posebni sluajevi kretanja materijalne take vezani za razliiteoblike prenosnog kretanja
Posebno kretanje sistema referencije Oxyz je obrtanje oko nepomine ose priemu je prenosno ubrzanje:
ptpnp aaa
,Gdje su:
2ppn ra - prenosno ubrzanje, normalno
ppt ra - prenosno ubrzanje, tangencijalno.
Osnovna diferencijalna jednadba relativnog kretanja imae oblik:
n
i
in
c
in
pn
in
pt
s
ir FFFFam1
.
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
70/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 70 -
3.1.3. Zakon o promjeni kinetike energije pri relativnom kretanju
Zakon o promjeni kinetike energije materijalne take pri relativnom kretanjuje:
1
0
1
0
2
0
2
1 ,cos,cos2
1
2
1 M
M
M
Mr
in
psr
in
pr
s
isr
s
irKrr vFdFvFdFEmvmv .
3.1. U cijevi koja se okree konstantnom kutnom brzinom
oko vertikalne ose, zacijelo vrijeme obrtanja nalazi se loptica mase m, kojaje privrena pomou oprugec.U poetnom trenutku loptica se nalazi na rastojanju a, opruga je nedeformirana, apoetna brzina loptice je jednaka nuli. Odrediti kretanje loptice, ako je koordinatnipoetak u poetnom poloaju loptice. Trenje zanemariti.
Poi emo od osnovne diferencijalne
jednadbe za relativno kretanje:inc
inpWr FFFFam
Komponente u primjeru iznose:"xar
- relativno ubrzanje,
kmgicxkmgFF
- aktivna sila,
kFjFFFF NNNNW
2121 - reakcijaidealne veze,
ixamamF Nin
p
2)( - prenosna
inerciona silajVmVxmF rr
inc
090sin2)(2 -Koriolisova inerciona sila.
Ako komponente iz osnovne dif. jednadbe projeciramo na osu Ox, dobijamo:2)( xamcxmar .
Zbog toga to je veza idealna 0WF
, dok projekcija incF
na koordinatnu osu Ox jetakoe jednaka nuli.Sreivanjem predhodne jednadbe, dobijamo:
.)( 22 am
cxx
Uvoenjem smjene: 22 mck , gdje je k kutna brzina, uz pretpostavku da je
mc
predhodna jednadba ima rjeenje:
2
2
)sin()cos(k
aktBktAx
.
Iz poetnih uvjeta za 0i0,0 00 xxt dobijamo integracione konstante A i B, pae predhodna jednadba dobiti oblik:
)cos1(2
2
ktk
ax
.
Za sluaj da je:mc
mck jestto,221 , rjeenje jednadbe dobija oblik:
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
71/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 71 -
2
1
2
111k
atkBshtkchAx
.
Za poetne uvjete: 0i2
1
2
1 Bk
aA
, dobijamo:
1121
2
tkchk
ax .
Ako jem
c , imamo da je:
0C:sugdje,2
2121
22
CCtCta
x
.
4- DINAMIKA SISTEMA MATERIJALNIH TAAKA I KRUTOG TIJELA
4.1. Podjela sila
Na materijalni sistem djeluju: spoljanje )( sF
i unutarnje sile )( uF
.Poto izmeu dvije materijalne take prema Treem (Njutnovom) zakonu akcije ireakcije, djeluju sile istog intenziteta, a suprotnih smijerova du zajednikog pravca,to emo za materijalni sistem koji se kree imati ravnoteu sistema unutarnjih sila isume momenata za bilo koju taku, to znai da je cjelokupni sistem u ravnotei:
0u
rF ,
00
u
RF
M
4.2. Geometrija masa
Masa materijalnog sistema (M) jednaka je algebarskoj sumi masa svih taaka
sistema:
n
iimM
1
.
Centar mase ili centar inercije, za sistem materijalnih taaka iznosi:
G
rG
M
rmr
i
n
ii
n
i
ii
c
11
4.3. Momenti inercije
Moment inercije materijalnog sistema u odnosu na pol ''O'' naziva se polarnimoment inercije i iznosi:
n
i
n
iiiiiii zyxmrmJ
1 1
22220 )( .
Moment inercije materijalnog sistema u odnosu na proizvoljnu osu sistema oxyznaziva se aksijalni moment inercije. Momenti inercije za ose x, y i z iznose:
.)(1
22
n
i iiix zymJ
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
72/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 72 -
.)(1
22
n
iiiix zxmJ
.)(1
22
n
iiiix yxmJ
4.4. tajnerov teorem
Ovom teoremom se rjeava problem momenta inercije za dvije paralelne oseod kojih jedna od njih prolazi kroz sredite sistema.Aksijalni moment inercije za osu Cz je:
n
i
n
iiiiiicz yxmrmJ
1 1
222 )(
a moment inercije za osu z1 koja je raralelna sa osomz iznosi:2
1 MdJJ czz .
4.1. Odrediti moment inercije za sloeno tijelo prikazano na slici, po osi x. Gustoamaterijala je 7,87 Mg/m3.
Zadano: 37870 mkg
Odrediti: xI Rjeenje:
1. Pravougaonik
2222
22
33
53,24175,01,085,012
1
12
1
0,175,0
58,267
034,0400100850
kgmmm
mzyII
zmmyx
kgVm
mmmV
Gxx
2. Rupa
z
x
y
100400
850
z
y
x
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
73/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 73 -
2222
32
45,44,01,01,0312
1
0,400,0
724,24
003142,0100100
kgmmmI
zmmyx
kgm
mV
x
3. Valjak
2222
32
369,2175,025,01,03
12
1
175,0,0
811,61
007854,0250100
kgmmmI
mmzyx
kgm
mV
x
Ukupno:
2
321
321
332211
321
321
86,22
"
xzaikao
kgmIIII
z
istoy
mmm
mxmxmxx
mmmm
VVVV
xxxx
4.2. Zadana su dva elina cilindra ( 37849 mkg ) i mesingana kugla
38746 mkg homogeno sastavljeni. Odrediti moment inercije ovakvog tijela
uvaavajui da je osa x postavljena kao na slici.
Zadano: elini cilindri sa 37849 mkg i mesingna kugla sa 38746 m
kg
Odrediti: Ix
z
y
x
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
74/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 74 -
Rjeenje:
(1) Kugla (mesing):
g
V
g
Gm
mV
305,03
4
222
25
5
2
5165,1
0
kgmzymII
mI
y
zx
Gxx
Gx
(2) Horizontalni cilindar (elini):
2
22
2
-kgm--
165,1312
1
5,985,1
0
165,1
x
Gx
I
mI
cmy
zx
g
Vm
V
(3) Vertikalni cilindar (elini)
2
22
2
---
85,1312
1
0
85,1
kgmI
mI
yzx g
Vm
V
x
Gx
Ukupni momenat inercije:, 3mV
)(
,86,18,0
321 kgmmmm
cmyzx
2kgmIx
4.3. Odrediti moment inercije sloenog tijela prikazanog na slici, uvaavajui y osu.
Specifina teina materijala tijela je 3175 mkg .
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
75/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 75 -
Zadano: 3175 mkg
Odrediti: yI
Rjeenje:
1. Stranica
22222
3
171890111212
1
7064
5,2,5,1,0
39612113
kgmmyxmI
kgg
Vm
mzmyx
mV
y
2. Stranica
2
2222
3
385942
512
12
1
7706
5,1,6,0
4326
kgm
myxmI
kgm
mzmyx
mV
y
3. Stranica
22222
3
14235351212
1
3211
5,5,5,10,0
180
kgmmyxmI
kgm
mzmyx
mV
y
4. Valjak
z
x
y
12m
11m
3m
3m
8m
yx
z
12m
12m
3m
x
y
z
12m
3m
5m
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
76/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 76 -
2
2222
2222
3
40228
6035,2312
1
312
1
1050
5,1,6,0
9,58
kgm
mm
myxLrmI
kgm
mzmyx
mV
y
Ukupni moment inercije za y osu:
2
34321
659957
16931
5902,0,725,3,0
1,4843
kgmI
kgm
mzmyx
mVVVVV
y
4.4. Odrediti moment inercije homogene piramide mase m za z osu. Gustinamaterijala je. Napomena: koristiti pravougaoni limeni elemenat koji ima volumendV=(2x)(2y)dz.
dzxydzxdmVm
dzyxdV
2422
22
Zbog simetrije je: x=y
Zbog slinosti trouglova: zhh
ax
x
zhah
2
2
z
dz
a/2 a/2
hx
z
a/2
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
77/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 77 -
305122
6
4646
1
6
1
12
3222
12
1
455555
4
4
0
432234
4
4
4
4
4422
hahhhhhh
adII
dzzhzzhzhhh
a
dzzhh
adzxdmyxdI
h
zzzz
zz
103
1 22 maIm
haV zzpiramide
4.5. Toak je sastavljen od tankog prstena ija je masa 10 kg i etiri prekenapravljene od tankih ipki mase od po 2 kg. Odrediti moment inercije toka oko oseokomite na sliku i trenutnu taku dodira A.
2
2
22
667,7
5,02
12
12
kgmteorematajnerova
mmII
mlmrI
paokaprstenaBA
paoka
prstenB
4.6. Klatno se sastoji od tanke poluge (R) mase 3 kg i limene ploe (P) mase 5 kg.Odrediti udaljenost y od centra mase G klatna y ; takoe izraunati moment inercijeklatna ako je aksijalna osa okomita na ravninu slike i prolazi kroz G.
B
A
8/22/2019 Zbirka Zadataka Iz Mehanike Baricek
78/155
ZBIRKA ZADATAKA IZ DINAMIKE Bariak Viktor
- 78 -
Otazakgm
mmlmIII
mkg
kgmkgm
mm
mymyy
PPRRPRukupniO
PR
PPRR
.83,29
25,215,012
1
3
1
781,18
525,231
2
2222
Gtazakgm
mmmlmI PPRRRukupniG
.451,4
781,115,215,012
11781,1
12
1
2
22222
5- OPI ZAKON KRETANJA MATERIJALNOG SISTEMA
5.1. Diferencijalne jednadbe kretanja sistema
Za svaku taku sistema moemo postaviti osnovnu jednadbu dinamike take,to bi za i-tu materijalnu taku iznosilo:
u
i
s
ii
iii FFdt
rdmam
2
2
.
5.2. Zakon o kretanj