I I 7 .fItIJ&. UNIVERZITET U SARAJEVU ..,r MASINSKI FAKULTET U ZENICI m r NERMINA ZAIMOVIC UZUNOVIC ZBIRKA RIJESENIH ZADATAKA IZ MEHANIKE i (STATIKA) Zenica, avgusla, 1988. god.
I I
7
.fItIJ&. UNIVERZITET U SARAJEVU ..,r MASINSKI FAKULTET U ZENICI
m r NERMINA ZAIMOVIC UZUNOVIC
ZBIRKA RIJESENIH ZADATAKA IZ MEHANIKE i
(STATIKA)
Zenica, avgusla, 1988. god.
fLC I\!'ermina Zaimovi6 U?,unov1.c,dipl.tllz.
ZBE1KA RrJESmnr ZADATAKA IZ l'lEHANIKE I
v.prof. Aleksandar Jnva..'1,dipl~inz~
Sk!_'ipta ,je izdata ne. OSllOVll odluke Naucno-nastavnog
'iijeca l1as1nskog fakul tet8. u ZenicJ_
Izda:r:jt',: 1'-'l8.ihnski fakultet 11 Zenici
Stampa [10 Stamnarija "Bakar' Bor
BADRZAJ
1. DSNOVNI POJNOV 1 12 D'l'A'JlIltE •••••••••••••••••••••••••••
1.1. Tijela ., .•••••••••.••••••••••••••..•••.••••.•.• ~
1.2. Sila .••.••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
1.). ~loment 8ile za aSH •••••••••••••••• '" •• - ••••.••.
1.4. Spl'eg sila •..••.••.••.•...•.•..•••.••.••..•..••.
1.5. Veze i l'eakci.;je Vez.3_ ........ " .................. .
1.5.1. Uze ..••.•.•.•.•.•.••.••••.•....••••••... "
1.5.2. Tnnalt stHP -heZ tezine •.••....••.•.••••..•
1.5.7,. GlatkB pOVrSiD8. ••••••••••••••••••••.••••
1.).Lj-. 'l'fJcka - povrsina ........................ .
1.5.5. Pokretni op,lonac ••.•.•••••.•••.. ~ ••••..••
1.5.6. Nepokretni oslonac •..•....••••....•••.... ~
1.5.7. Elizac •••••.•••.•.•.•••••.•••....••....••
1.5.8. Cfer'ni e;lBtlti 7.E:lob , .................... .
1.5.9. lncljestenje " ..•.••..•.•••••••..... " ••....
1.6. H.s.vnoteza proi7.voljnoG; siste::lB U J'Hvni .••.•••••.
1.7. f'ostup.f1k l'je.sav3nja zadBtaka - zadaci ...••••....
2. 'eHENJE •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.••. ~:
2.1. Trenje 1,1izanj!l .•••••.••..•.•..•.•....••.••••••. '~ _I,
2.:::. \Jze-::;no tren~e •••••.•••••••.••.•••••••••••••••.• ,
2.3. 1'1.'cn,5e l.;ntrlj8[Jeid. •.••••••••••••••••••••••••••••• Zadaci
3. TT~~~r[,lrA ••••.• ::::: :~::: ~:::::::::::::::::::::::::::::: :;;.1. Tez,iste homogeno l:L,lije i povrsine •••.•.••••••.•
7,.? t'8pun Gul d_inov~1 pr,wil9.
Zadaci. •••.•••••••••••••••••••••••••.•••••••..••• '>,
1_\. hEt;:E:~'KM:'l'T croSA~;T ••• ,................................ r,'c
4.1. Postup8k rjesllvonja 'Z.H(iatak[J ••••• •••.•••••• ••••• ::./~
ll. 2. :\remonin ill an sila •••••••...•••..•.••••••••.••••
fl.3. :Zulmanov(~ metodo. •••.•• .•.•.••••••.•..••••••.•••• e,i)
4.4. Hiterov8 metodH ......•••......•..•...• ' •••• •••.• 50
Zadaci ..•••••••.•••••••••..•••••••.••••••••••••• 50
2
5. GEHBEROVI, OKvlmU I TOOZGLOBNI NO,sACr •• ~. ~. e'...... 69
5.1. Postuprut rjes8.vanja zadataka •••••••••••• ~...... 69 zadaci •••••• ~ •• " • • ••• ••• ... • • •• • •• • • • • • • • •• • • • • 71
6. RAVFfDrEZA. U .PROSTORU •••• ~"""""""""""""" 113
h, l. Glavni ve~(tQr .•••• ,_ ••••••••••••••••••••••••••• 113 G.2. Glami moment.... ••••••••••• •••••••••••••••.••• ll3
Uslovi re.vnote~e prostornog sistema sile. .••••..
Rjesa:vanje zadatake. •.•.••••••••••••• 0 .......... .
Zadac:i
Lit era t u r s •••••••••••••••••••••••••••••••••••.
IH
114
ll5
Pre d g 0 v 0 r
Zadaci urad,ieni u skripti predstavljaju zadatke koji su
se po;javljivali na ispitima iz predmeta "Statika" koji
se 81u8& 11 prvom semestru na 1'1asinskOID faku!tetu 11 Zenici.
Osnovni motiv za pravljenje ove zbirke z,adataka bio je cia
Be studentim& pomogne U s8vlad8vanju materije bitne i :,;a.
predmete koji 50 slusaju na viSim godinSlUa studija.
Zbirka, i5tO tako, trebn da posluzi i studentim8. l'letnlu.r-
skog faltultetn u Zenici kaji dio materije obrad.;jene u
avo,j zbirci ?adatakn slusnju U okviru predmeta "Iich8nika".
db pocetku zbirkt~ zedat;nke u rwjkru6im crtamtl bice ObjB
snjeni osnovn:i -pojrnovi iz BtDtike ncophodlli ;;8 rjes8vlmje Z8datd(.<j~
LL l'Uelo iii. sistem tijelG_ cijtJ. 8e rF.lv:noto7,r; u str,tici izucav,"
je kruto - nedeforffiHbilno i_pod djclov8.ujem opt8re(~el)jn ne mijen;jn
svo,l oblik i dimenzije.
1.2. illl..?.:. ;je vektorsku vel~cinr.'. lJp bi H~ odredilc! silG T;otl'e;-)T)o
je nt;6i njen pr~'-Vnc sm;jer, intenzitet i m;-pDQ'1U t8Lku. Ove k2rsf':
tflristihe sile - vekt;orcl m:'I[;u Be odrediti i Imali tii:ldr.:t j ,~3rl~fj ckim metodflTIlu. r,.istem silt~ koji djeluje n~ tijelo m07,e so svest:i
nr,; re7.ultFm't;u (SL.4.-r.)
R
81. 1.1.
Lile E'e mogu podijeliti ml illIJ1;rc;,snje i ';polj"snje. iJuut;rasnje
sUe ;JU one ko;je djeluju iZf,ledJu t;i,ielr-' UDutBr sistemc_.
~-:polj"snje 3i18 vred~1bNljr_,iu djelovHnje okoline [lfl ti,jelo iIi
riO;:e se tl8,PI'UlIii;:i. i po,'ljel<~ 5i13 n&. uk[;ivne i reDJccije vez~,. i'J,ti\·
ne :-,;11e mOI?;u b.i.ti kODtil1uir,ne (vriticwk v,jotI'a, Gnijeg8, opte:nJ,,,
nje po ~)ed.inici dU7,ine) ili kOHcentris81lC, d8Jde dcielllju lJ tf;~:ki
tijcle:.
heBkcije ve~c; 3U sile ~;uprotstavlj8ju i:::e d;jelovanju (;.ktivnih dIE-
2
:i:o:nen't sile ZE asn
.;~: umlo'::;d~ sile i nujkI'aceg rastojanjc; ase i pravca sile (S[.1.2)
'- 050 NOlllent sile F za OSU Z je umno7,ak sile i
krtlli:a h
:C' • h
U1toliko pravac sile sijece osu m.oment je
nule ..
;~preg sila iHne dvije medjusobno paralelne
sile~ suprotnih smjerovH nB. rastojF'-llju h.(sL.B.)
!"loment sprega ,ie umnoz0.k sile i nBjkr9i,eg;
rastoj uuj a izmed,ju sila
'\Y"'2: ;;iIF'. Lwstoji de, izazove cistu roteciju tijela. Njegovo djelo
"~ljf" nt' !;ijelo ne mijenjB. ,se ako gA pom,jeramo 11 ravni ti;jela.
-;JTsovi se mogu algeb<-l.r"ki sabirr~ti. Djelovrmje sprega 8ila aR
,j ,,,,:10 De~e S8 pro;nijeniti Dko se !laveca sila, 8 smanji krait iIi
--,,- 1 H" :VJl'lQ n,jihov w:J.,."1oz<'~k mor& o8t~Jti konst8ntan.
~_,}d'--, ili si,s;tem maze bi.ti slobodno iIi vezano , slobodnom tijelu
':;':,' [;~J sprecuva kretcJ!1je.
~L)[[: tijelu veze ne dozvolj';'v[<,ju da se slobod.no krece. K8da Ge
Gt,-~c' Y'tWnotd,8 tijel<J (sistema) potrebno g13. je osloboditi veZ2,
jJ8~_ov8nje ve7.,~ z[slijeniti re2kcijamA veza (pravila ° oslobadjc..nju
,j(~l( ad vezs.). Pod d,jelovB.Iljem Bktivnih sila i reakcija veZB tije
',1',:[';1 biti u polozeju rl'vnote?;e. Veze kojimB je veZBno tijeli (si-
':-':1) z,e; Epoljf"~nju sredinu su: U1.0 , tunek stap bez tezine , f,latka
:-,t'\Tidn8, taskB Dovrjinl'
1.5.1. Uze
d; 1< vezuno Yi tije\o
81. 1.4.
slobodno tijelo
.Ak.o ,ie veza t,mko , neistegljivo idealno
savitljivo uze, reakcija veze S kojom se
zamjenjuje djelovanje vez.e ima pravB.c
uzeta, B smjer suprotan ad aktivne sile
(StH)
1.5.2. Tanak stap bez t;eZine
vezono tijelo
81. 1.5.
~ FA 1 rf lF8
slobodno tijeto
1.5.3. \%latka povrsina
I G I 7/77777/) ,
vezano tijelo _yt fITt ~ G _ N N
slobodrlo t\Jdo
81.1.6.
?ocl tnnkim stapom podrazwnij evr,i se
star ,.\Mernarljivog poprecnog :presjelw U oduosu no. njegovu du7,inu.
~ ~
Eeakcije vaze (}i'll' F B) ima IH'[,vac
ose stape., a 7,8. razliku od U?,[otu
koje maze -biti optereceno samo na
istezanje, star mo?,e biti optare{\en
i ns. In:'iGisok i no. istezpnje. (sL.1.5.\
Ukolilro se tijelo osl.snjF nt'. gL;.tkll
J)ovr:.:iinu nBkon uklanjBnja veze '2;8.
mjenjuje se reakcijom kojn je oko
rni ta no. Z8j ednicku dodirnu pov1.,sinu,
tj. ima pravac normple na 2.8 j edrriGl~u
dod:i.rnu povrSinu. (sL. 4.6.)
4
1.5.4-. Tacku - povrsina
F B
A
vezorto tijelo slobodno tijelo
::;1.1.7.
reakeiju c:iji je pravRc oiwr.1it
OJwliko tijelo Bvojom tac}com do
diruje vezu po povrsini (tui'ika A)
n.akon uklanjanja Vl~ze reakcije
veze ima pravnc normale n& uklo
njenu dodirnu povrsinu 11 toj "tacki.
Ukol.iko tije10 svojom pOYX'sinom
dodil'uje vezu u tacki (tBcka ]3))
nwmn uklanjan,ja veze treba dodsti
De. Ilovr.sinu tijela u toj tRcki.(.~1..1.7,)
Rod svih nahrojl.mih veZFl :poznnt je :PI'fW8,C reakcije vez8, p8 ostoje
da se grofickim iIi [lnalitii~ldm putem odrede intenzitet i mnjer
reakci~ie.
1.5~5 • .PokL'8tni os1onac
"rTrrrrrr v(>zono tljelo
l ul'~
sl.l.n.
A~ FA
1. 5.6. Hepokretni oslonac
vezano tij0lo slobodno il je\o
~¥FA -.J ... r:AX
81.1.9.
Ako je :;i,jelo vezano Zti okolirlll
pomocu pokretno§': oslonca l'eokci,jg
veze iIllo pravFlc normu.lf' nr. uklQ
njenu vezu. (5/..1.8;
Ako je tijelo vezano za pod1ogu(SU.9)
pomoeu nepokretnog osloncE! ~ koji
ne dozvoljtwp tre.nslatorno pomje
ronje u raVlli, reakcij8 VGZe J\l.. je UepOZI18tog praved, Gllljero_ i
intenzitet3, i prolG-zi k.roz tacku
A. Prvo Be trnzEJ komporlente I'e8k
cije u prtwcu OSD x i -y. :;:~eak:!.;iQ
~ jeclrwka je zbi:cu komponenatD t;'t~-x i.
.r A,y) H nj en intrOllzitet j e
}"~-'P<2 ./< .Ax f,y
~
Pravac reakcije ]'A odredju,le se pomocu ugia kOJ~ zf.ldap~ sa nekoID
od os[" npr. sa osorn x 1,ahvat;-a ugaa 00 pEl. JE' tg 06'" r-11.X
H01)okretni 0810:).(.',c ne svrecava rotaciju oka ose okamite na ravan u
kojoj lez,i ~\.
1.5.7. lUiz3C
vezono t i .lela slobodno tiJelo
81.1.10.
vezono bje lo
131.1.11.
slobodno tijelo
Aka je veza kliz,[olc reBkcija veze
i;n" !-,raV2C altomi t ns uk10nj enu
vezu - vodjicu. (S[.1.40.)
Ako je veza tijela Z~l. podlogu sferni
7"glo-b onda on ne dozvoljav<" krete,nje
II l)I.'OGtOJ'u. ?1akon uldalljtm~j8 zg10ba
njegovo d~jelovanje trebh 7.f:mjeniti
reake-i,lom u prostoru ciji ~je yf'avac
sm.;jer i inf.enzitet nevoznt,J:. i:'rvo :'10 ~ d " I"""'" t\ ....... ou..re e ,r,omponeILe FAx' C'Ay' }'Az. rer-;J,-
cije FA' a zatim nBdje njl;ll intenzitet
/2 2 2 F ~F + F + F
la J-.:y Az
i uglovi ko-je zatvHr2- sa pravcima ]wordin,!,tnih 08P,
cos f?>
1.5.9. lJk1jestenje
Ath~F 31IT~FAY F
" ve:zono tijeio 1= ~ _ AX MA G
slobodno tijelo
31.1.12.
cos If =
Aka jH veza ukljestenje nBkol1 ukla
njanju veze njeno djelovanje zamje
njuje se reDkcijom, kojn l'i6 leno kod
nepokr€tnog oslonG& rfJ81ll1S -preko kO!"1-- ~ ponenata }'A.x i I'jiY i momeni:om 11 uJ-:-
Ijest;euju ;"1 koji s-preC8V8. rotaciju
oko tacke A u lJI'8vCU ose okomite ne. r&ve..n djelovfJU;je_ sileo (51..1. 1'2.)
6
1.6. Ravnoteza proizyoljnog sistema sila u ravni
Za ravnote7,u proizvodljnog sistema sila u ravni postavljaju se :3 jednacine. Da bi tijelo mirovalo ne smije da 5e krece u ravni ps
vaze j ednac,ine
LX'" 0 LY o i ne smije da Be obrce aka OBe okomite na tu ravRU, a to je obuhva-
ceno uGlovom
1.7. postupak r,jesFvMjH zadataka
1.'7.1. Prvo je potrebno odrediti tijelo ili sistem 3iju rs.vLwtd,u
treba razmstrati.
1.'7.2. Od vez~lUo tijela treba napraviti slobodno taka sto 6e se
uirlam ti veze a dj elovanje veze z emij eni1;i reakcij ama,
roe smjer, u nekim slucajevima slobodno pretpostavi.
1.7.), fiE tijelo oslobodjeno veze treb0 dodati ak.tivne sileo
3iji
1. 7 .i~. 20d dj eloVtilljem aldi vnih 8ila i reakcija ti,1elo (sistem)
je u ravnotezi, a l)X'ije nego sto se postave Ils10vi L'avnoteze
tl'ebe odal:)r&ti k.oordinatni sistem.. Od iz.bora koordinatnog
sistema ne zavise rezultati, ali pravilall iz.bo:t' koordinatnog sif;tema maze pojednostaviti postavljanje uslova ravnoteze.
1.?5. 2osto.viti arlPliticke uslove ravnoteze.
1. 7 .6. l~ijesiti dobiveni sisteTll jednacina.
Ukoliko se dobiveni negs.tivne vrijednosti reakcija znaci da
su pogresno pl.'etpostavljeni .'3m,jerovi reakcija, tj. da GU
Guprotni ad pretpostavljenih.
1.70'7. Lea1ccije u osloncima dobiti grafickim putem.
z • d a c i
C
5
2/
81.1.13.
u .:?Sill. , 'em
B
x
'I
1 .. Homogena greda AB tezine G, duzine 2 1
oslanj& se krajem u A na vertikalni
glatlci zid. Drugi kraj B pridrzava uze,
koje je ucvrsceno u tacki C. ($£.1./3)
Zs ravnotezni polozaj izracunaj:
silu u uzetu S, - ree.kciju u osloncu A i - ugao oG koji mora zatvarati greda u
odnosu n& zid.
(2)
o
o sin f.>
B.CDS ~ - G ::: 0
G'X - }"j,·Y '" 0
b cosIO
_ G F ",8 sinP.J '" A I cos~
F A"'"5oo iii
y 2 1 cosd.
X 1 sine(,
o
G 1 sincl- (?tg ~. 2 1 coso<:. ",0
sino(.- 2 coso(.", 0/: coso(,
tgoG'" 2
06 '" 63,43°
Healtcije is\. i S odre{lice se taka da se vektor G I'astavi na dva pozn13.ta pravca., pravac F, i 8". Kroz tacku a vektora G povuce se pravG.c paralelan i0~ a krQ; tacku b pravac
para1elan S. f'resjecna tack a ta dve pravca je c i ana odredjuje in
tenzitete vektora F. is. Ds.. bi greda AB bila U ravnotez,i akti-_ A_
vna sila G i reakcije FA i S moraju zatv~ ruti trokut 8ila. l~v. taj
nacin graficldm putem odredjeni Sll smjer i intenzi tet reakcij 8,
a pravc:i. BU t&cno oclredjeni prilikom oslobadjauja tijelB od V8ZD,o
y
81.1.14.
ly ~N
",
"~~ I.. , G FEY
M
2. IIomogeu", pravougao1l8 ploca 6:x8 dm tezine G",,4oo kil zglobno je
veZW18 u ta~ki B i zategnuta je
uzetima koja BU prebacena preko
k,oturovB. !'Is kraju jedllog uzetu
visi teret 1<'1=100 k.l, a na d.r'Ll
gom krBju teI'et r<'. 8rL',ficki i
anali ticki odrediti velioinu
tereta i/ i otpor zgloba 13 II TF<
vnoteznom polo~aju. (1)L,1.14.)
.hje~lje:
100 kL! -]-c;n
I!'u,,,cd,,,'J1c,,,201 kN
tr,: d., ,- ~ ~ '"
sin oc. '" . tg~. V1+te?06
canc.G eo 2. 5
o
d
'+ b F1 "5
I :x 0 F!:JX -- l' cirlo::, + b'l co r'· 0(, '" 0 (1 )
1:1 C - >J + j!' COS00 '1' 11 sin 0::;", 0
LI'lB~ G Fl·E~ + 1<"0 - Go:; '" 0
----0)
(1)
(2)
5 G-6
Grai'icko rjesen;je
200 It!i
(2)
0)
1000 kl1
Ns p10cu dje1uju sila teZine ('{' i pozr18tn sila Fi _ Rezultanta te
dvije sile jo R kOjB ims pocetak u pocetku prve nanesene sile (tac
ka a), a kraj u krtJju. drut"J,;e nanesene Gile (te,cka e). Fravne rezul-
..,. ~
t<tflt£ p: .. olazi kroz presjeenu tacku sila :J.- i G (tacka H). R€:zul-
tBl.1;nu H trebe rastuviti na pravo.c sile Ii' koji je poznat i prEtvac
P: rr.oji troba pr'ethodno od:r:eclitL DB. bi placa bila u ravuotezi ~ ....... -,.. -.....
vravac h, }' :i. I"~ Illoraju se s,je6i 11 jednoj tacki (ta:::ka N). 'l'acka n __
;~ je pl'esjeijn8 tacka l' i :c! R kroz tu 1;BC:ku i ta.Ckll B prolazi p1'&
V0C :l'8ukci;je • ;:'08to su poz!l!:l.t;a aba pravca sila F.i ~ ostoje de.
se jJ 81.1.14. rm~lo7,i ne 2 :pozna,ta prBvca. Smjerovi V i ~ Ell takvi
dB. "'is R zatvarHju trokut sila.
3. Homogena ploca obUka jednakokrakoe;
trougla tezine 3 G, klizi bez trenja
po un.utr[~snjoj strani cilind.ra glatke
povrsine poluprecnik& r. U tjemenu C
plo,~8 nasi teret tebue GJ.1 (Sl.-J.lS.)
2) OdrfJdi ti poloz aj raVIlOte?e (ugao 'f' ) uzimaju6i da j e AB",n,~"'r
b) h01ik.s ,ie minimnlrw to'i:inB ·tore-ta za slucaj da sila dodirA u tr,,_
cki A bude jecinnka nu1i?
I.! ~o
G-1
V3 - G1
tg;1! - 4G tg'f '" 0
G1V3 4G+G
1
(1)
r sin'r" ()
cost' /-2
K'ada se ta:Ska. j\ nadje nB horiz.ontvJ.nom prec,niku rea:rcijs :FA
je jed
naka null. Za taj ftlucsj reo ::')0 0 , sto se vidi iz trokutn O'.;,.'\..
i'linimalna teziIl a . terete u tom 31 uc fl,iu moze se odredi ti iz prethod
nog iZrgz[l. Z.8 tangens ugla r .
A Q
y
~~:-r: 5v~~~ / 50°
/
:;" j1.
8
st.4.Jb.
sine;{, '" 0
10
-f- 46 + ~ G1
1~. ?riz,maticni stap AD teZine G i dU7,ine
1 oslonj~n je ns gle.tki zid (bez t1'e
lijB.). ~raj 3 stBP~" opterecen je sUom
.P. Np.{;i ugeo 00 koji storp mora ZHk18-
p&ti S8. horizontalom uri rsvnotez,norn
volozaju i odrediti velicine reakcije
U osloncima stapa A i C. (rl. 1.16.)
Zadano: 1
a
b'
B Iejo"en;je'
F
1 ;;:1 , 1 }':I
lao em
40 em
e
e
50 N
70 "
25 If 1 CIll
Cd iT "}?
da UF'
90 18 " 150 18 N
(1)
(2) l"+::::;-£'c cos c(, '" 0
1 ~ - \J "2 CO[,lo(.- r 1 cosoG= 0
----------------------~Q,----------
1 co sot., - }' 1 coso(,. '" o/·cos~ 2 b
F
LX
(F+G) &. (50+70 <'j-o 1.1-8 o· 0+ 0"100 ~ 95
G ~"'Il' 1
cos:«.'" o,5c5;
00", 37125°
co 130(;= 0, ?9(,
81.1.17.
,T COGc-,{, - COG «)0 - 4) l~ co>' 0(,- '~: sin '? -= (j
~-Z r,~in ;' ['f --cosoZ"--
o G R cosc{,-
1 - "" ----
'l',!r:_k~-' 1'\ te:f,j"ne G stoji \J rhV(10':;0-
zi nt' UJlutDrnjoj GlfJ tkoj polul:TI1'"
~.noj pov.r~ini vomo~u t~eret8. !. fJh;ic
Benag 'preko ko10tu1'e u tD:2ki ."~.
CJdredi velicinu pritiskcl ,'I kojiw,
teska l;Hslu) 11 t)ritL~(~e IH' g.U-ltl:1l
povrsinu i Deiredi :113"0
te%IlOm .clOlo:;,e-ju. (sL.1.17.)
(:'~HlunD; 'x " 100 ~~ ~"~-
o
co,; _" C
06 \J r,'<V"o-
0)
COS
12
o
c-;>---' 50 +V5o'+Soloo'-
4;100 0,842
6 Zvad:rstwz vloco t;e~ine G ") 1_'.-' b-. _' " " ~ ,_0 ,,-H a J8seuE:
Je POIllOCU uzetc; 1)1:: Z[; 'i:;acku l~ vertik2.1no":
g.l[Jckor;; zidhj
nr. l,oji se ()Slf-_ll:".p b ,~~ u tn::;ki A.
Od.redi rClvllote%ni polo7..a.j uzetu, Odn,)SIlO
ploce Cugao 06 )! uilu U uzetlJ JJI.' i reakci
ju zid[-± u tE(:!k.i L. (Sl,Ue)
I: '1 0
I:;L,=,(J
"'
1"1' COSc.X-- J~ G' COI"-'- --J:.-" . , , " _'--'<.J, ,,_, f\_cflD-:~'-" 0
tg oL"-
3 sine(.'"
C\" arc tg
(2) "
(1) Fp_
cos 06i 3 tg06" 1
l'sin~"'~ :) ) 10 '
G 21,08 kf~ COS;£"
S s-inc/.; 6,6'7 kN
81.1.19.
i:::jesenje~
o
o j{ - G 21> COD f-"'" 0
COB ~ + G
1- GA'::: '" 1.: at],.; '" c:£
~'''900- 206
cos(,>'" cae (900 - 200)
tgb+
oU· arc tg t .. 18,43"
,?;.J ValjElk r8diju88 r i teHne G
privezan je pomoeu u~eta Z"l
nepomicnu horizontBlnu r~lv
ninu prema 81.1.19. Kolik8 jE~
reakcija podloge u t8cki ~ ,lli:o je poznata aila u UZ,E;tl~
S i ako je zad!3.llo AE,"L':i"'u?
B
(1)
(2)
sin 2 ol
sin 20(, '" 2 tBi'/' 1+ l;g<:: 0(,
cos (3
1> c " D () -
U
:J
51,1.20.
2in
"
2....L. D
4 a1'
:.:,'""'+.1"-
+ YlJ
IJ[;,O
11,
cos 60° -COB "~ + }
1:\ sin 600
r COB 1,1"° c " - t', r 0 0
20 ~,
8. 1~1J. polukruZ:ni 1e7,8.,j u njegovo;j
tEcki .iJ. djeluje sila -F '" 20\/2
Ji;, C-ij::. napadn8 linij"' gr8di
F_
ugaa v(. '" 45° prema vertikali.I§'L ~Jlo)
Odr'editi veliUine l'eakcije 1\:u
r;lice TI i C k8.O i osloncH II g:rafi6ki i Msli ticki,
}i'B=3 N
FC'"43 N
FD"'20 N
cos 60 0 0 0
sin 60°-1"])
J
0
0)
.. , U) 1. (2) n~\lwn lill100,enj2. 3D. ("oOS ?10° odnOl:-mo sin JO o
'~'.,b';'n_n;js dobije gC
1 U
3 I"~
COiJ
fOin 45~
sin o )0
L:a 1e 7_lij djeluje PKt;i.vn<' ~',il[· t.:'~ ;;: n:;-,kon uklanjr'nj3 V8'Z,F. njihc;vo
uj€-10Y2'lje z:-)~),-jen~jLl,ie :':e r[-;:,-Jc:ci;jc1;nu ~ j :;;1 i Pn ciji je prrtV2c
~)oznrlt. ::=,iL'( T u~eclno je rezult;~'.I1-t;;·, cktivnih 8i1& :i. treoa je T:.,Z~lo:::iti fH.' :' T)oZilf1t2 rn'~:vcn. FI'vO [)() odredi I):t'esjc,~n& to.':Ska 1.'oz1)l
tL,nte :r:- i priwc,:' ;jc&]('~ nopozu",tc ::;i1e (tb.~ku tj) \ G z2ti);'l prcsjeJ.'
')rl.'V0.CL' llrBoEtDle d_vije DepoznnlJ) oil12 Ii i F: (tvek.c) 1-1) 1-:roz t.<'
"-1;8.6k6 [Jovuee ;08 1':'~lmClIOVEl lirlijfJ. zntilll se si18 1:' rHGtsvi nG i.
~\.:, tRlco UG je t:r:oku::; ,-;11::: Z~'-~;V()l.'en. Obrno !~e srnjer sile I; koj~1
tvoren.
M f
Ii
5
<i'~3
B 1 cos 60°
Fe ~L 1,21. Q,
8i1e, IH,\ se tako uo-biveno
i'C ~ X'j)' ! dJ:uCi t;rokut :!lor, hi ti.
). L,IC;;l;V2 tf.:.iiu8 c·=~)OO r, opter()i:r!nc ;~11
u t:;': '1. \'_ v\OrL:i.J~_:.'lllOlr. r;ilom F~ ~)Oo t:
I)'J:8!Il' ::ol.12i. :0i,1 i ]lad ~,n 82vr::ic·nu
C1d;ki i l;liz"'llJ() IjG::"tvi iJpI'i,jr/'er
.Je .)zct'lW iJ:r:,. Gr,U'i::ki i i-()l:,lit;:;, '::;;
odrecij velibiuc ree.ltci;jG: U [; i)$ ,-J_ ,c-,i:\ 11 L lJ u:letu.
d
"'~ 0
! G F. I , p
"/ R / /
/ F
!
F;. b
()
c
} '-, - r-' sin 30 () - G - F "'" ()
~" C":H' 30°
cae 60°(+ + :;n sin'''f,o 0 -cos'~60 0
loCe',!) }j
(2)
527 II
(};, ;1(;,,11.;:)1"' i'k~;ivnih ,,1] Q Gi 7je Fr, Cl njen pT'1)VG(: (81.1.210) prelgzi
~-"-),' ;-,p(-:",;je -~rn tcv:Jn1. I,H'VOS i t;r,,{:eg 2,r~r..c-"-l-i::ezu~ .. t;:mt-,u H 1:;.reba r"'.'3-
-. 111 to: 1\1\ tri pOZIJ8.t;a pr8Vc.<' reakci,je fl'" PI, i C~ .Prvo se odredi _ JI.-...,.;.
\)'-'PE,jI"'~fl'; t~,-,:~k(, Ii i jecl:rL~' l1epOzIlH\:;e 8ile l"A (tG-ck& n) a zatim pre
;"J"~i,n-<; i:~:<jJ.;i' preostale 2 118po';:,llote sile (tsr:ln.1 H). ;':j'02', te tElcke
";-',W.' >,.8 t-i::ulm~'nov TlrHVf1c. Z,,'J;i'!l se sile h r",zlozi pO!JlOCU j{ulmnno
:rt, < _iLi,ie OJ,. j ,~o~natH preVCI.l., pri cemu cetverougao sila mora biti
lo.T'reI"VOUtjRona placa tez,ine
::":''''',3;~0 l{ poduprtn je sa ;:, stapa
kulw je prika7,nno na 8Ll,22.~ I'lo
CD ,18 iz102en13. dejHtvu sprega
b",?2o Nm~
Odrediti 8ile 11 stapovima gra-
1'i~killl i ,mali tickim putem.
loa ~:: 1 em
1 m
r)')li't-m[: ,sr;.t'{~bCl ii koji djeluje n[, plo::u rastBvicemo li$, spreg sila
,(',;jc~ dJeJ.'-'Ju HI", kraku ci "" 1 ill i staviti 11 polozaj Irao no. 51ici
,'c<;,:;ot'i -.7' i-'t- F'11 .mprotni p2 68 se ponLjtitL' Od. aktivnog optel~e'co ~,::': t;:,d~, opt;uje d,1 d~iQlu;je DE-.mo sil[" C'intenziteta G izmnknuta
Z~' rh~';t;ojDnje 8",,1 m II OdnNnl. n;:~ l:;et;L3l:e ploce.
A
L:Y
0)
(1)
(2)
0 " 1 cosoC. + (~O~,
0 i'-'l sind, - 2.~ .'~in " o
I?
/
s,
/
/ /K
,/
4-00
~od gr!;fi';l(o[ I';jl';~r:'
Q 1J,j;o\ potn,~.-mu dO siJ u
(iJ r[Jst&w.i-t;i ,1[, ,.-.i.-("le ciji n\J ;JI.':~v;i 1)('
zlwti.
V "'---------'h
51
~ J C i)
I' G '" 0
---·,-c,,--------------c_ J )v '" 400 l,T
800
81.1.23.
11.~iomol~el1:i steT) ;.]', Lez:lni!'
:,,"150 iJ i d~l'cine l~,'J() GiT,
oc:'l[,nj? be prpko k()l:L~r:
u g-JuJ;J-toj vod~jicil [~ kr::~l
;'0<1102;U. [1 h)~ki ;:; u~vr:',
;Sene je oTn-nt';, W:PCc;i',o.sti
Odr'edi grnficki i !3ni~,l i t-d> 1
velii'Siflu t;ile :i:1 ko;j& djell!il"
okomi to 11'<:< pJ'c1'V ;'J~ d [;~, :~; f;..l],
o
~, ii
o
,
te reDkciJe U osloncimi.'c j,_
I~jeueJ!j8:
FA=-65.6N li'Jj,-lo6,3 N
FB <~lo16N
revBotele. (!.>U H)
b '" 20 em.
F •
1 kK ~: C:7)
c COE{) -C: -'f?- eOEi0 -:::(1-8)+.",.'-1)",(.
(2) ;, ) F,8 2.10 ,G H
',i' Ie
65,5 LT
CJO d.jelovElujem svih si10 &kt;ivnih i r(;nlccijcJ veZ,8 stap mort; lJiti + .,
\1 ]J(!10z&jll ravnote?;e • .'?oznD.te Aile GiS trel'ICl 13veHti ne njihov0,
",",?"lltMltu l{ (~iji -preV8C prolnzi kroz presjec:nu t;-c.(~k1J rii18 J i S . . Uo~1~.V'eTJ.u {-8zultentu pomoc.u lCulm8tlov€ lillije troba razlo~,iti De :;;
.. ,," ...". ...".
;·;';10 (J.'AI T"J i ]i') ciji :SCI pre.vci pcnm~)ti. I'rvo ['e odr0d.l. pres;jecllf.J. " ~ ~
G9·nW 1'1 pr8ve" H i li'A~ a z!tilll pt'esjehw ta6kH 2; rn'c,:v:"cC'. pJyot~tDle
Ij'Vije IJ8p02Jl&te Bile 1<'J.1 i P. :~roz tucke :,.! it·, POVU:8 i"e Kul;:nnllOVi;'
l:'ll.Lja, a zatim :r8zultRnta )C'il.F<t,8Vi prvo n~, i 7, c) nf-kol1 i;Ot;9 4>
:c;e \--u~~(;-$vi nn. 7;,~ i F:
12. E.ornot~ena gred0 dll~,ine 2 1 i
te7:ine '.';",100 ri- oslunj", Be
jcd.nim kr";jern. no. g-la.tku ho
TtzontaluLl podlog;u, D drugim
fiB g18t-~-;:u rr,v~1Yl nne;nutu pod
O{, =30 0 • r~rr;:-j Ie: ;je vezan
LY 0
o
D)
0)
(21
c
iG
G
~()S '" - l' !;
sind- + ~.' Ll
1 COl:')
C-il.
"
sinoe
(:080C
- 'f' 1\
19
. 0
, 1"
:' 1
uzetom koje je l)rebaceno preka
lcotur8. u ttl(~l[i c, 8. nasi teret
;:l. Dia uzetfl par81el,m je su
kosinorn. Izracun~lj velicinu
teretG Q i reakci,je u AiD,
Z~.1 sluc,aj ravnote'i,e. Kontroli-
8i grG.ficki. (sL UA.)
Li'A""CUOUl" :::I. ')0 1\
In",J:;r" !(;S,T,
x
Q,.,bc. :::: 2~~ N
(1)
e 0
06 " 0 COD ---;?
loo-S,o --~-----
(+)2 _":::-_-t
(~r;)fi6k~ __ ::::.0 es pnj e
',;-:::'edH je u rfw!lote~i nko nl.1101 G i.
veroVut Gila. ~\Q]~'i:-;tcAi ~(u1\nmlOvu -:-c?- •
no ],'8 l. p. "at,im 5e
r:x 0
LX 0
1:1':1) " 0
l:, - F CE cos
si[) 4",)° ~
;", 5 ::-:in 4;}' "'
20
13.[\tBp iw, pok:I'etne diz8.lice I duZine
1",6 llf WSVT'Sc.en je zglobno u poltre
tnom osloncu A, <3 vocljen L~t.:Jpom EG.
Veze u E i su zglobne. Za tacku D privezano je u7.8 lro,ie je prebo
cerro PJ~eko koturH K i zEtegnuto
sHom :E'. () tacki B djeluje teret G te7:ine ~, kIlo (~1.1. \!S',)
GX'8fi6ki i fmsJ,i tiCb o(iredi veli
cinn 8ile ]T I revkciju u osloncu j\
i silu U sb1pu }.C.
bc-Up 3,5 cd'Ur :; 1'+
]i' du" 1,3
KH l".Ji
k:;r
1 kN "TCi!l
]. m -,--.L em
l~5° _ Ji' cos 30° c (1)
}' siD 30° - " - 0 (2)
- 11'Cl'; :; - c: 1 cos 45° 0 (3)
2 1!;," - PCE\12 - J!vi3 "" 0
L"."", V2' + E - G '" 0 CD
5FAv2 - 6 b'GE - 3v'2 '" 0
jednacine (2) dobi,je se l"~f;.-_F "V2 'J~
i;rltirn 58 }' 11VI',';ti u jedni.,cinu (1)
!2-1ton t058_ r,jes8VG ,se i3iutem jednucin& (1) i (2) u kojilTlb 81) nellO-snute 1-'1;. i
Ji:;:L. 0- 3, ::,7 J.:H i 3.4,) kL1
TiE' se i2 jedna,:ine (2) adrecli vrijednost
[i "' 1,25 k'j
c 3
S,
LA J
L:l 0
8
F lL~.Homogen[j plo!:5a teZine G '" 2 ims.
olJlik istostranog trougln i UGvr
scena je na 3 stapa. Odredi grafi
clci i enalitii51d Bile 11 stapovime.
It 2 i 3, F "'- 1000
njesenje:
M.O je veliCi,n!C sile :-{. (sl.u.G)
250 Ii 1 em
::"1 cos 60°+ cos 60°_ l' GOE 60° '" 0 (1)
- El sin 60° - v + .1;' sin Goo + sin 60°", (1 (2)
e 0
- F G'.8. SHl bo" '" - 578 ]'I
Pretpostnvljeno je dB. je step 2 ol)'terecen nn is1;ezanje. Posta ,ie
dobiven£l. negativ:rw vri~iedno8t stvarno nuprez<?nje stupe je HE pri
tis~k.
l:?; jedJlcu:Sin8 (1) i (2) dobijn 8e vrijednosti 81
i 33
C1 1 - 578 - 1 500 -0 I . ..;;; "2" Z- -
'Li_ Li './5 _ (+) - "", 500 + 1000 0
" 2 c; ...- 2 .~
12(38,9 iT 8671 1 if
2tepovi 1 i "3 Sil pri tisnuti.
c
81.1.27.
~{Le S unj ~;
B
22
15.J:~n glDtkim kosim ravnin81UD koje
z.;atvaraju llglove oG i (3 klize 2
tereta ;~l i ~2, ko,ji BU med,lusobno
spoj cui nerasteglj i vim 1lzetom. (s[.u'!)
.Pri kojem ue;lu r je sistem u 1.'3.Vno-·
te7,i. lwlilm je napetost llzeta 8 i kolika je velicinu reakci,je n8 ka
sim re.vninatllH.
jcKO ~le J.10Sm~,tIi-\ r;.;vnot;e~,~J sist;emp. i trRze sarno spol,jasnje reH.kcije
ondu siCltmn ni~lt~ potrelmo T'8.st:cwljHti. lJovoljno je ofllobod.iti gC\
<~!)(JI:l::!sn;:iih V("~7,<" pE'. iste z.'!1nijeniti .spol;j,~.sn.ji.m reBkci;jB.ma.
i~1;o tu~bi; odrRditi i UDlltl'cU3nje rE.'8.kci;je onda ,lif~tem treb8. r~)stl~'"
r)kci.j~"'.m.;; i 7,d 2.vc)ki e1('lfllont; sistema postaviti IJdekv8tne 11810V0
envn()te~,e •
o
o
(1)
[)
!:Y =- 0
(3) H~lvnote;;H teretro. ;,-
\~ /?\o, ;~" -4"-~
~!2 Einp - !J cos If-' '" Q
sin r -~i2C0'2j3~' 0
s cos'f '" Q2 S '" 'b. sin/:'
cos \f' . sinoG - B sin r '" 0 <1,1
~'-1 -50 ..,-
0 , 27765
(])
(2)
)./.L......_ '"1 81.11 r sl.nt+(t2 cos/!> '"' 90'0,277+100 + '" 75 N
co:::;t+q'l coso(,,,, 90·0,961+50 -'9- '" 129.76 N
5/.1.28.
lw.vnote7.n kugle II
~~L -....~'-,.
300
'(; C"-
2Rsm60
y
, ---
16.Dvije homogene kngle, jed.nBkih te
SillU (l i polupI'ecnik8. R, ve<"rme Eli
kOllcimfl za neJ)okretne zglobove A i
B i osle.nju,lu He jedna nB drugu j 11
prVi:1 i 118 g1e. tki pod. Oclredi t:i. 8i16
U koncimn, pritis8.k na pod i m:;f'j2.
lIlui pI'itis2j{ kuC;li &ko je u r~lvn(J
teznom po1ozaju. pOZllo.t U1:;8.0 06 i oko
je :a\..;1~·J302e,1. Z8dsDO
(H.4.18 )
E'jGsen,je:
je: U"'lo kif
06=60°.
_ .. _--
L~= () COG 30° , ['] cos - C1
L-' 0 sin ~"o " n l'i;:l 7'0 0 -(;=-0 -'
1z (1) Slijf::di d:\ je Ii"
"J<::(J be.: tu llVrf~d Ii. (;~» dobi,Se S8
Ruvnoteza ltug1e 1
()
10 kH
10 ki\
iz, ("0) sli;jedi du je bjc
'" N
L.ko se to UVl'hti u ("f) dobice se
- G - 2G sin 70° 0
2G 20 ki!
(1.
r.·, \,,~
C;)
)
)
51- '1.29.
17.1z111edju d " V1Je ravnin uglom oci '" 6 o. . e nagrmte pod
d'lije hOmOg:ne 1.:,,"" 30° n81aze se i r t Y. ugle radijuG& To
2 ,eZlLHl G1
'" 10 kN . ~ 1 1. ')0 • ,T
Odredi..... - KH. ~l uga01sto ga sr .y
z&tv8r8
~u edlfJta ku,"l" .d sa horizontal D ,'"
g18_tkih podl .' om, reakcije . oga 1. UZ8.J·CJ· • lzrnedju ku ') rerun). prl tisoJ<:
g ,c., (SL.1,'l9.)
~e8:::Elj e:
Td:"vnote;z,(,l ~-~ "t _ ;cu.'=' em2 Del b snjih VezH. k'_O od,janog spolja-
Posmatro_ se • rbVnO t..ee:" ... aslobod,lenog C"'" "c. clJelog sifJtet18, . "~GUno spolj" v ,.
1z ualova ravno.L v c;..snJ1.h vez&.. l' ;~ , ' "el\e izraaunaju Ja,~LJt'. reDRcije f se spo-
"1 i 1<2·
(1)
(?)
NY5 2 :' -40",0
r:avnote7,e_ kugle ;;1
Do bi se odI'edi o ravnote7 . unl1tr
u(,uJ' _ . ,Ul 1.188.0 If) '" '" re8keij'. TTl
tezu -iedl1 .". c· J" pOk~mfJ bra r " og e 1 eme t p' ..,e J'GVliO-, • ugle (;,. ..... n E "l.stem2 nDr k
iz (3) slijedi N
iz (il-) sli,jedi i';
tg\j'''' 0
'/" 0
cos1f'"
sintp=
10 {i; 10-20 ~ ",,0
, r.:; gredtl. .AD du'!.~ne 18.Hornog-en'" 21 i teY' ,_J. Slue 2G , i u " terecenll <'il D op-'" am Ii' k" A zglobno' • raJem
, Je Vezana pOKretni osl 2:iR ne-onae a t C 1 sredina ,1.1 e(iki d grede A .. o) slob
no se asIan" 0-tolnu k Ja nD horizon-
oIl,zolu CD .,.. i tez' r' ' dU!:-',lne 1
"lne u ko~" . D Ull:l'j.o;c.t-' .leo Je krajem
< ~'" ,ena u ' ' zid.(sL.1.~O) vertlkHlni , GrafiiSki i 8ll", . . v
di veli~ine re';lV,,'l"
J" e ' d ~ -,,~.J a u osl ZD. one UI'€ _. " OIlCU J-l.
t;a{;ki C; i ukl" ", II b.eki odre-G _ .. ' Jestenju D. D
_ 300 L'. ~ imenzi-
;Cy
;C
A
'" 0
o
0)
(1 )
(2)
• ,lUe\ sJ.lci: 1 , '" 40 Gill) .t.' ~ 400 iiI.
. -A" d h _~ 'j! '",doD", 580,5'>
:F===tl=d'~~'---\ Q \.~ l'v"" C'd Uj! ,,:::>1223 -\.;
I~ s
E Ax' i' coe
:;'-·2 1 -
" \ 2G
C09 45-a 0 c b
1:' sin 45" "" 0
1 + 2G-'1 COB 45" '" 0
(2)
OJ
Iwvnote7,3 grede CD
LX u " COf' 1+50 -
LY 0 sin 4.50 +
() sin 4.:;.0 1
(4) E' D:x cos
(,) I'Dy -G + 1<'
(6) e 4,o l 1-88,6
2(=,
e 0
u - " ,~y
1 ,c ~ c
45°" 862,2
0
- lV~D
iT
0
(4)
(5)
(6)
sin 1+50 e 1162 , 2 "
iT em ~, L~O ,5
1447,18 1'1
kNem
1,).,o1'eko kotur3 .L koji se moze
okretati oko CJ prebu.::eno je
uz,e i no. njernu ol),-je~leIw d.va
jewlC_Ks tcx'Bte }'. ~Cot;ur 11
tdine G priC:vrs{!en je Z610-
buo Do 0 pomocll st8pa Oil. (Ol;;?,
tebne) ciu:"ine 1;10 eill) te
d,leluJ e W:' lijevi la'r,j U%ctt'
i otklanj, gr·; ad vertikG-lne
{)Be premo. El':'ici 1.31.
Od1'8o.i HJwli ticki kut of.., koji
:st2P Z8tVFT,} 88 vertikalom i
silu u ~~t8p,J ~A.
Zo.dallO je: ,B'oloC'N Gd+o iT
1''''7 em, R",4 em, 1",10 ~lll
R~ieilen;je:
Iicnmote:;,,;
J( r+0l 1 (G+l"
(I)
sin 0(,= loo(4·~'5) 1.0(40-+-100)
31.1.32.
FU'-Vnote.~a eil 1. ndrn 1
Z:" 0 F sinlX': " " A - ~B
LY C fA cos d. +
27
l'i:.3vnoteZIl kotura II
sin(o!.-j-j!J) '" R~r '" 0,7
c( + f3 '" L~,43° P'" 14,4-3°
Iz jeru1a-:;iue (2) nauje se l<'z
F z
} z
l! sin f3 sin d.,
4·9,84 d
loo'o,?L~9 0,5
en
20.lTo d,V8 jednalw homogenf} Gilind.1'8 (s{, 1.3'2..)
rc-{dipsa r i t;e~hne C, koji le~:e nL'
horizontolnoj rnvni i ~:oji au vE,z:mi
sino{.
u centrima sa nerc.stec;ljivim u~eto,.,
duhne 2 r, le2i treei h0f;10l;eni ei
liadsr radi1w::,"l Ii. i tezine 0,. Oo.rediti f1ilu b u. u{etu, pritis[.,k
cilindr:rl'. un TE'vnirm i UZ[,j"lIL'li IJri
tisc=k cilindtlr,-,_ Trenjec se ZEIllE:11FI'uJe.
.Rj~~enje:
(j) y
x
e 0
cos p(- ,;;,: -0 (2)
;.Z ,1(~d1',<-;iu; U) .,.lijedi cl~\ ;jE~
'Jb',:i..,: ;':: cOEd, - '= 0
u
"i:I': ~_.£-([','l'r)
';., ,; -'. L! ~ I,.,~ •
(il)
A
u. "
51.1.33.
200 '.1 1 em
15'/:-' 1060
:2LHoIflo2;enu gred& 1~j3) du~ine ::. i te;~'l:,j;C
G, 'kr8jem l\ 7..g1obno je VeZ1JnE,! ,1 krt
jem J'. slahodna se oslanja c c1al,.".J
horizontt\lnu raVHn pod ue:1om c/ .. pre'LI,l.
slid. Nc gredu i vertikiJ1ni z.i.d 0,3::', ."'tJ :Of: v;:;ljak radijus8 H i teHne Q,.
Odredi gr",ficki i 8J1bliti:£ki otPO'CB
osloncimB A) jJ i tncki D. (sl.1.33,)
LZ",:j " u r::."{,--O 1',::.,
( 2)
(1 ) I'D
F 11
v
T' '" 15 ell,
b 60 em
- E sino( -
COGo(, - ~ C
1000 n
1<', ,'olin 0(,
1000
!3(') " "
0
_ 0 (::>0 ,
500 l~,
l ,l . .\
~)O
3) F Bx Fe sin c(,
,,' 1000 V;;
, Rx ;;-p
Bx RG5 !l
1 cos c0
:3:v ;:J',-::-G C cos 06
["1\','''' 15?2,?-?oo-looo' ~
i}v
?
2.r~HENJE
Posto podloge n8 kojimR tijelo miruje ili 86 krect nisu glatke,
izmedju tijela i podloge (veze) dolazi do pojr.ve trenja ko~je djfJ_
limicno iIi potpuno f;precovn kretan,ie. 'L'renje 8e maze .POSffitltr_s-[;j
keo: t.renje klizanjE, trenje kotrl,jFmja, trenje obrtEeXlj8_ i uzer;no
trenje. Footo su ispitni za(iaci ug;lavuoID obuhvat&li oblalO't trbTLj,"
kliZ3l1jD i uzetnug tr'enja to ovdje 6e uk.I'atka biti obuhva6exw 88"'1<')
t8. dYe' oblik.8. trenja.
2.1. 'l'renje klizunjp
Ukoliko tijelo le'~i
::f"'r '~ U(,) hrt\'pfAvoj l(OGini ono iml'. tende:nciju '-1uu:;;t :J_.
n;j8 niz k.oninu. j':ret;"'J1ju ti,jel!" ns' ~11','.\):,"
vim ~)ovl'sina.m<:t 8U:JI'oti~t2vl;i:o SF! ~lil:'
I G ,
s1.2.1.
tv . r' koj[l imR pr;lVHC kret".:nj'D, H c;;;1;'j8I' :-'llnruL;-.n
od smjel'C:: kret'lTI,:j~0l(sl.2_1)
J,ntenzitet sile trenj1', je unlJlo~,cll( koef.i..cijent8 tren,st kliz!"J,j:o.
i norrnHlne reclkeije H. r':,·<o i no' gl~'.tkim 1)0Vr;~iTu'iTllD acim silt"
n,:il< jRvl;jE 2e i clO:nllslnF reL,.kcij::' tL :iku-p:rlb r0Dkeij;:; vezp He hr"",,_
vo;j kosini je zbir 5ile treE;j;:; i nnr')lalnc j'(~nkcije
2.? U-)',etno trenj e
J:;,etno (;rcnj" jlwl;jL':. ue nb kont,-d,tu izrnclijll hrDnr::.ve povrs"inE;
lcotura i llzeta, odnosno remene. i remenice (s1.2.2.).
~::(' f'lue;j de. o'bra.zac
j e iJ1
> ~-f«-'T
v87.i Ojlerov
81,
Gdje je:
S, S2 f- koefici,jent lll,etnog tren,jH
d..;- obu,"lvRtni W£80 koji se uVi,jdt
s1.2.2. uvrsta'l8 u r;;,dijanima F'l i 811e u gr2nRmn u~,et8 (remena). l~od rjes~1V8.nja Za.dF,tf(kr, bi tuo ;je
pr,wilno odrediti kojt-t sih' je ve[;a, te nR osnovu tog" post8viti
reillciju njihovog odnoSE.
au
,"0, t, .sila. j!:i JlU ODom ;{rB.~il.l ll;;.et:~ nB. kojem ,je 000 vuceno, 8, manja
:.'fF'Dl 1':028 se suprotstnvija V'ucen,ju. Ovo va?). Bruno u e;!.'ani'~nom J·.:5~""ju rll.v1J(!te7,e.
,;no tr'Ju,je je isl'oristeno kod tran.'l1nisija da bi Be maSuo podi
','" -;;'"'1'",t i.li j.~vrsjti preno8 snage. Da -oi na,staio kreta.tlje .moment
~.r ,r;.ia mora biti veci ili jeduak momen-t\~ tnreta. Uzetno t:t'enje is-.
"1'-, ~;tCll(i je i kod k00nica sa tr'8J~nm" Na rlobos d;jeluje obrtni mo-
'~iim~, l(();ji narncl,ji dB. En obrne. Obrtnom momentu suprotstavlja. se
""~Inq(t B _-tE) l\O{~entJa. Da bi knCinlca bila u ravnotezl. vG(;a sila je
~, h(~J>J pravi moment 8!Jproi;no5 sru;jer8_ \l od.p.osu nB. obrtni moment.
'rOCf'-,_k na, s1.i(;i 2.2.& rrooz8 do.
se I,otrl ;~ia j)n j)o(nozi imr]a ne
rnn k-U ~~anja.. Ako ne posto,ji ot
pOl' J\o1;eljan,ie., pori DE:;jmI:H:,jDj
1;11 -j F to(:Sl( H S(C kret,8_o. El.~-
~;pC'rirnentah'o .ie l)tvrdjeIlo ria
se (;:)l:ak nece p::JrnJ e:el. d pri :ma-
1 im vI'ijedno,c,tima. sile 1~ Dye
flok ona ne das1;ig:ne gro_niclln
vrijedno8t 1<~Q'T" z,B. g;ranicnl slu(~0,,~ ravnot)~?'e Hila
koefic.i ;jent tren,ja kOl;rljaD,ia i ima dimep7,iju (luzin8,
f !l - nc::imen,-lVtlJ1 bro;i i njeg;ove v:r'ijer:l.nosti su u ve6:ini
,1Jl.l.C8;jeva man;je. 00 koefi~iji,.nta trenja kliz8.nja.
;- clIO' U na,s:iDf'lb}l'( Isd:je goil :ie to mqgU(ie trCrlclP klL,.an;ja zam,jel;l'~;njr~m k·)trl"jan,jn.
"c 0
y 0
81.2. ::C.
~ ,;ino(. 3Jr ~ co~; C>C
)Jf
[;£.2.4.
r i teiHne G d~101uje si l$ .E' p'OlliH s_L-l(;ii'
Poluvalj"k 1"2,i Dei bOr:i,~"ODt'-d.EG,j l:,Ca·
:puvo;j podiozi 5iJi je kneJ:ic:; .j("nt
t;renj0/t-, Odl'cditi US2-0 oG koJi :~rl.tv 1_·
I'll- l.'BVu,n l',~~ ~)~i horizon t"l(;1ll Lur_ r>~;.i'[;'
dO prije nego rs'to nB.::;t;uui k"li:,:"'; .;e
\cDl,Jks.
'1
:', iz· (t) ~ '-,
'f t,U' [
stye Au. loeficijent; trer:jfJ rn' '1",.,:"(:;',
kTlno::1 zidu ;jt' fl' " DB_ J)odn
nc:' 1,jest",v1{ i cov~iek;< ~I'
u tu,,:ki C 1 diJeli du~.i.nl,} 1,je~,t·"
nn:~ll m: n. Ociredi ti;
<\1 wjve{:l ugHorLpod koj.im C:~" ,;8,-;----;;'
biti 1.< H1VilO I;,· b
No
34·
o (1)
o t-1.i'111.-F+NB o (2)
iz (1) slijedi Nil.'" t-2 ~~B pa kada se
uvrsti u (2)
/,1/,2 "'3-F+11B " 0
l! . ii "" /1-2 1,' NB'" 'fA
1+/"1(-2 - 1+ hh
u ~~ll(t:l+n) sino(. - ("t2 HB(m+u) coso<. - }' n sino(..::: 0 (3i
_"(,~B,~i,,,~~~~~ -; -,----1
51.2.5.
x
(m-rn) cos 0/...- ji" n sine>("" 0
3. :;:\omot';eni cilind2.r poluTxcecnikn r te
~:i!le C: ,;)ostavljen je ns dV:2. hornor:;ene.
llolucilind.rv teZirle 0,/2 i istoG polu-
91'ecnika r. lCoefici,ient trenjC'. izme
dju polucilind8.re. i rpvui ua ko,joj
5e u<'lv .. ze je f" a trenje izmedju
ci1.indrii':l1ih povr::.~int; Be zanemDru,j~.l.
Odrediti najvece rastr,itmje X 81'edi
stf. B i ,::; I)olucilind.E-ra, pri kojern 68
si5te:n ostcti u ravnoteH. (sL.2.5~
l~j e3euj c:
H:j"v-:rlOte:~ ~;istemo
LZ: o
LY o
r: o
(1 )
(2)
(3)
y
Di,j elj enj em
\
LX CJ
L1 0
navnote~,a POlllcilindra B
LX 0 'T-N cosoG= D
o o
x iz (4 ) sli,jedi "
" iz (5) slijedi i{
cosd. '" r.)·!' , l
SlIl 0(, co ?
(4 )
(5)
j ednD.cine (5) i CIt) dobije se: tgo( '" _"_ 2f'
G1 sin If - 'f -1
G 1 co.s~ + G 2
!11 '" CGl +G 2 )
-
4. ria strJIlo,j x'twni poe. u[jloJli If leb.
blok teline (;-1 "" ~~oo \~, OJ )lb nj8JIlc;'
drugi te:hnp. l~2 ", 70 I'~ kojec; pri-
dl.'Z,5V8 nze koje je parBlelrlU 3<:.'. ko
Ginom. ':['Y'c:1je iZL'!ed;::u blokovD., 'Le
izmedjll blok.[' C1. i ko£,ine ,je /po,;,
;)rlredi nr ,j!;)c",nji ug800 \P leo sinG "1)ri
l:ojem (;E: doci do kliz[,njE blokn LI1
i silu u uietu 8{sU .. G.)
Ejesenje:
Havnoteza teret8 G2
2-~;~-G2 sin~'" 0
f:>=G2 sin tp + 1'2
(1)
[..1 "" 'l [i"2-G2 coslf =0; N2",(12cosLf ( 2)
'1'2" I' "2"1'''2 cos 'f
'];2
I::. jedlitl(:ina (1) i (2) izrazi se
silD. S semo 1..1 funl(ciji nepoznatog
llg1&
(1) i (2):J '" 1.J 2 sin'f+f-'G2 cos'f
" 0
cos'/' - III " 0
cos'f ; '1'1" rNl - /,e08 'P (Gl +G2 )
Lz ~\edm,(~ine (4-) izr!!ze roe iII i, li\ U funlrciji ue;l& If ' P;E.. se sve
uvrsti U ,iednncinu U). Ilobije se ,lerix18::ina S2mo SD nepo::mntom tp iz koje se i odredi rRvnotei;,ni UgEJO.
st.z:r
[y
5, 'f'ereti G1 i G~? poYez,':ni EU u!':"tom
preko JwtU7.'''' ,,',. 1.zr;,<~uT!.'.'~i 2ilu }'
kojv ,jc p,r!:'r:lelne 58. ko[,:ino'Tlj
lw;j::c
,ie potrebna die .. so ostv8ri }:rctEn,je [;eretf., nb, kNrinu
(;1=101.1,
ct.."" • Al "'-0,1 (sL ·2.7.)
[x 0 ()
n oO
sine{,. "'- 0
-/"'1 er 1 co";c<'.- (;1 DinoLee 0
C '" G1 'f} c')s?(+ sinc6)
sinex':. = 0
20 iJ,
(C)
(4) i (6)
Posta je sila S (x) jednaka S (-'t"1:) slijedi da je sila. F
}1'=,G1 ("'1 coso( + sincl.)+G?(sinw - (1'2 cos.,(j)
i'fnkon uvri'itavenja podatDlm vr:i.jednoGt; 5ile :c-. je
i::?j du teret C poenc dEl 58 ~,pll.ctnl ~t1..B).
iz iz
T
(1 '. -;
(4)
D
0
1'0 i
i
'1' -{{ -
-I" u) (G)
l " Q Edn (L1-5° -0&) .. 0
, ". CD:':' (il'SO_tit) 0 0
(;O~: (4)O_iX,,) -/''' .- cos (45° -cl)
G cos (45O+<dJ)+2,-G- ~,in (4_5°+{;(.) ()
Q cos (4)o_06)<;+(~ l"in (45 0 +ciJ) 0
Lto:bir:mjem po<;lje\in~jih jedne_r:in.D. i dijeljenjem l'iD
dobije se
odnosno '3
/teos \.4-5°+o(,)--sin (4-50 .... p{,)+ cos (45°-c,Q-tsin (45°-,ol) '" 0
f-(cos 45° cos.,(,-.<::in 4_50 sincL+cos 45° coso(+sin liSa sinttC)-;-
(1 )
(2)
(4)
(,. ) (6)
38
::2 !tcos 1+5 0 coso(, - 2 cos 1·~5° sino(. '" 0
fcosd_- sino/.." () /: C0800
f'" tgd; OC'" Brc tgj-t
!iL2.9,
7 ~ KoUka mora bi ti tezina tereta A da
bi se tijelo B, tez,ine GB~ 5 kN jednolikom brzinOIll kretalo uz kosinu .iko je koeficijent trenj& kllzanjf). uzeta nS.
nepokretnom koturu i kosini f .. 0,25 i uge.o d..;- 30° (81.2.9). Ejesenje:
nuvnotezD teret[, Gf3
LX-O
2:Y-O
21 -GB sin 300_'1',,0
if-G;>, co,~ 30° " 0
lz (2) slijedi d& je
~f"'G!:lcOS 30°
(3) de' je 8. iz
(1 )
(2)
0)
~'z jedru-'-'::ine (1) kB.dB se uV.I'sti
Ll"" (;::', sin -;;:'00
i)tGGcos 30°
'1' '" jt("B C03 l': i T dobije Be
sin 300+fCOS 7;0°)
),5fl?) leN
,Tedn!o:6intt uzetnoE; trenjn nE ne3)okretnom koturu dGje vezu izmedju
ni Uf,f' 0
hila
81.2.10. G
j8 S~) '7~, jer se ter-..t krece uz k.osillU.Obuhvat-c k~' ?5 ?n
E2"'['1e' '" 7,5825 0,".'-;- '" 6,045 kN
8.?relw d.vi~je nepomi~ne osovine
Sf., centri:na u, 0 i 01 prebp~en
je konopac ° ::ije 3U kre.jeve
objeseni tereti G1 i G pri cerou. je G>, G1 eG ur<wnotezuje 8istem). Odrediti minima.lnu vrije
dno2t kaeficijenta trenja izme
dju osovina i konopcD pri kojoj
39
ce se tereti na12zi ti 11 T8.vuotezi.
t-~ G
G, +J- ftje::ienje:
Jed,na6ina u7.etnog trenjF" n2 lijevoj osovini je:
S- s'
0/...,""- ?!! je otmllV3tni ug~.o
~,-;ll:> r i -C i Sil8 ;7' i ~ .>. "" ""I
1n ':-'1- In C
7., Jr
(1)
~leduacinFJ u7.etnOf, trenj8. no 1e5-
noj osovini je
(2)
vvrstHvBnjem jedn,l"cine (1) U
(2) riobije se
G '" G 0'1/<,""; 1
S. ;:"rek.:;) taSks. r,;dijusa
no je 11;:;,e ciji je jedcn krak usvr{;~en
u tncki i'.., :; riru£ji optere(~en tego:rn G1
=:
200 1\. lI2, i.stoj osi okc bubnjc; radiju
.sci 1 m OiJlotono je u.'te m: Ci,ielJl 810-
oOQnom kNju je obj HS8n teret G?"loo i'l.
Lz:[':o,i~un[,ti koliki je koeficij8!Jt tre
nj8 izmedtiu U·z.:,tci i koturF<. (SL. ~.H.)
G2
- ?;G1
3G1-G2 , ~"I ? '
- v
:0;' 200-100 ,
Posta je ::'1 ;G1> 82 vaH uslav u7.etnog
trenj<1
!Lu{.ln e '" In '1 - In
In L1-lll E/
~, d.,. Soo In ,_oo-ln T
Jr 0,05828
oc "Ji'
lo.L'reko tOi'!k8_ rad~\ls~, H=30 e;n pre-b2ceno
je uze Ciji je jed~,n krak u~vrS6en u
t;8·~ki A, [~ drur;i opteref:en tegom te
~ineGPoo h. i,iu i"toj osovini oko ou
bnjl' rtldij~lsL :t':o-lo c:n omottmo je u\-;e
!CO,18 je o'?terec,eno ,nrem8 f-;l.2..fi'. tere-
to:n G:>"
Jzrn.(~1ll1p.J kolild teret C;: r:lo~0rno ov;ie
siti t aka je koeficijent trenje iz!!.w-
dju u7,eta i to(:k~, !{.OC G,? 1).', de: o;e si
},tem nn1nzi W} grD.Dici ravnote7,e.
E,jdicnjc! -----
sL. 2 f3
i z (1': l (
b {(:~ Jt-li' -1)
l-1'e !-I-Jf
n. '~reko nenomicnih tockOVB A i 13
-P1:'ebacena' je tr&k8 i vezc,nn Z8
krEjeve StUp8 CD, du;;:.ine 2b i
zenemerl,jive tez,ine. [j" stanu
1e7,i teret b teiine G. Odrediti
uajve6u udaljenost x tereta E od sredine ste:pa, pri kome step
ost8je u horizolltalnom poloz:O',ju,
1I:ao i sile u traci. I\oeficijent
trenjE izmedjn trske i tock8. je f' Rjesenje: . KBvnoteza stapa CD
D i'-'" eAo/..
~l
Q:')ft-cJ.., ·1 '"
,\
JT T
J:Y
12.l.lriz!IlBtiCno tijelo teZine ~""lo kN
kre6e se jedno1iko niz kosinu nHgnutu pod uglom (3 ",600 • KoUko puta mo
ra u tom slucaju bi ti omotanQ U~,{:; oka
nepomicnog hrapavog va1jkE b., .aka ,}~
n1)petost u~,etB. :3"'100 :j, koeficijent
t;renjc~ nt:;, kosini i ve.1jku /<1 =h= 0,?5, i ugaoo(.", 30°. (sL.e,J4:)
.8jesenje:
1;8Vllote7,& teretE ,:;::
+ 8 1 coso(- Q Ein (0 '" 0 (1)
T{ - C~ cos (3 - :"1 sin oJ.., " 'J (2)
iz (1 ) slijedi /'" N + i:-\ cos~- (~ sin(3 '" 0
iz (2) slijedi. W , Q cos f-; + f\ sin e.G c 0
,(nds se li UVI'sti u prvu jedu3r:inu dobije se
COS? + ~EI sinoC-+ 21 GU20<-
_£LC sin f3 - /:<C08 (?1) f5,nd..1> cose;{,
J 4 sin 600 _A COf! Goa
,0 it- Fin 70°·, CO", 30°
Qsin(3=D
dv"" 2 n Jr olmhv2.tni ug&O
n
n
n
Vze
<iT!" In 7470 - In 100 '~·Jr· 0,25
2,747 -put;} je ako hrapevoE; vrrJ.,ik:". omotf,no n PUt2.
43
s~usta1jke preTL&
,lodnoliko teret ,""'5 leU ~~i7.
pod uglomtX.'" 60°.
pot:-:-ebnu sliu F n". l~r,-,ju
r '" ?o em s '" 20 em !"- 40 em b "'100 em
e 8 em
'" 5 kJ A ' , 1 0,1 TIc kosini
/h+ , ' 0,3 llF; ko'~nici •
'_Pl"Onje koloture l( zl;lIlemari ti.
Jijesenje:
havnotd.f) terete ~~
f..X=O
I, y ",-0
f:;+ ~'-:;i ~lin Goo", (I
,'j-l,{COS 60° ". ()
'~\" iiI :-1= !(1 ';~ cos ()( 0 C 7')
1.7. (1) i U) C;+ 1'1 ':1eo1'; Soo - Q sin Goo"
2 (sin Goo-/1-1 cue
" 1~,08 k,'J
T-:nViJotez8 kocionog doboSD
lU"V;lotC;Ci!
.. -~---,-F L '. oj
.:r -
l'-'b-~\
Nl 0-':;\ c
b
:ir 1,196.13 kJ
c '" 0
60':) )
"L''. \ ,;
, ,','
1
I::
II! ,Ze spu.stanje teretp. na 5radiliCtu
upotrebljE'li:l ge vitIa sa kocnicofu
~re,J~Q je prik8.zBllO rw 81.2.16. 06re
d:i. m!_-J>:GJ.m21nu v-eli3inu tereta ':~
kO,ji- se mo;ge spui'itati pri pritis
'em n0 kJ6nieu silom F=25o J i lm
ei'i.cijent trenj~!A'" 0,3. ve'j i,>;ine:
U!.,jCiUl8tUT' ko::noG vijenca n"'5o cm
;"J:L,j;:'8etf;:::' bll1mjro. d '" 20 em
eJdcljenoc.ti polugl':"ill 1 m
tel /1,/O,I_!-
m; ;,'L
GE
,lG 0,' -1-' Ij;:~
:0(01)
(). ~" 5000 15Cio j',;
tI'en,ie n:;, knsi,ni
tren;j e kO~l1i ce
10
1,2
60
em In
em
4:)
sl. 2. n
LX "- 0
o
R,j esen,j e:
Ravnoteza poluge OG
[MO'" 0 G(l+a)-'b2
a",O
G(l+!!l 82 '" a
82'" 200(1~rt21
HaVIlate'za koCionog dobe.so
21700 H
HBVIloteza teret8 Q,
T-j-2~T,-(,\ sin l~'J°,,-O
ll-Q. cos ii_50 eo 0
T" 1:'1 Q cos /j,So
fl Qc.os /.j'50+2;;;-Q sin 45°",0
21700 171.00 n
46
I-~ []J----r-ir'-,--,
h
SL. Z 18.
16.Zs diferencijalnu kocnicu prema 81.2.18. odredi:
a)koliki teret Q mozemo pridrzavati nB kosini alto teZiua tega UB kocnici iznosi G=5o kN.
b)kakav odnos krakova b2 :b1
mora bit:!. da kocenje bude automatsko (teZina tega
G~O). Zadane velicine:
G"-5o kN 9."'50 em H=5o em
I'koo" hI ""I em r",20
c{,k",24oo b2
",16 em ('> ~ 45° j't- 0,1
R<ieR~?-je:
fiavnotezH llo1uge
1:1'101 =0 Go a+8}b1-S;?b2
",O
e _C< e#-"'d." L'l -'-'2
iz (1) i (2)
G c 'ltoft b c' 'b O· ~a+'--'2e • 1-'~2 2'"
E '" __ G_a __ _
2 02-b 1 efl."-<,,
52'" 1275.5 kN
21=3.51 8 2"'4477 kN
Ravnote7,a dobase
em
(1)
(2)
So R(E1-S2 )
",800:'5,75 kN r
o(k- 2'4-0 0 °
4Jf -, /t",c{" 0,' 41T
c ° e ~?~ ~1,51
J
~avnoteza tereta Q
L X",Q T+S-Q sin '{-5°'" 0
'::>(",1) N-Q cos 45°", 0
~~'" !,-Nee fQ. cos ll-SY
iz (4) i (6)
/".Q cos 45O+S_Q sin ll-SO", 0
Q- S = 10 ')(_'0, '/F sin l~5° - f..cos 45°
b) za G",O jednacina (1) dol':!.lH'
oblilt
kN
-/
i ,
\
I d '- 0
17. <;J om o6u kocnice prilrazane na 81.2.19
vrsi se jednoliko spustenje terete' :~,~ Koliki teret Q mazemo SPll
stBti aka na krsju kocnice djelu,ie silR. F"'40 ItN. Ostali podaci su~
11,,,,80 em, d"'40 em, J~"'loo em, c{,,,,2'700 I a""b,,,4 em, /<-"'0,3.
Bjesenje:
li.8vno i;e?3_ poluge
o
1000 - i'.i
'',;1 b 0
4o-1.e,o-t\ "4 Lj.
O,?
(1)
(2)
fU3vnutez~ kn: icnog dobo8S.
1:"1 G 0,
195.7e \:
+
1000 - C1
1000
2+': cos ~,oo '" 0
n~:,) GO" ~lO() 0
''';'',--, (fL'; '" (-tJ~~ CO" f·oO
o
D d
1000 4~lo8+1
S-+ f"~.; 008 60° - ,~ cos :;0 0 0
(l-J-)
(5)
3. T E i I b T A
TeZiate tijela pX'f2;dstavl~e_ tncJ:;U u kojoj dje-luje c:ila 'ck;Einf'. t(h~_
tijela. Svi zadaci koji EU UI'odj sui u. slijede6em pogJ G,vl;ju ,)'.1::W-",!;·
se ne, homogene lini;je i pOv:::~s:i.lle. Kod homogene linije tf.'2:,Jr...'), ;J("
ravnomjerno rasporedjene. Jil) duzi!l1. liuije. Ked hOm(~gel1.e 11;)Ti'~d,D<'i
tezina je revnomjeruo rasporedjena po po·vrsinL.
3.1. TeZiste hOIDogene linije :1.. liovrsine
x , L. L, X. ___ '"_L.. LLi
'L '"
Ovi izrazi ko:p1.ste se u slu,'i;;ju dB. ,je sloi;;cf)b hG':l.03CDt ,L;;lj""I'
povrsina djeljiva .DB M-(JD8cnn broj dijeJ.0va t;&ko da su 2;0 ~\
linije odnosno pO'lT~infC P{)Zr!8tB k;oordinate te;;:::} sta. t~. (L) i.e{.
odrediti iz geo;m,tri.jskJ.h l"J-ll:lcija. Uit<;)1.ij~o se }Wlll.0t:0D>;::' .lJ.;,,'l -."
povrsina di.jeli na br{;.j t):\eL1enta}.'n"ih dijelovr-i'i i:'ilti "~c'
teziste homogenfJ linije \1 rrn;ni l.'aCnTI.R po h.:r:B7.-imn
a homogene
5 x" ell, ~-
dL
vrsina i Zc):Vt'em.:inn.
'if 'e
Prvo pravilo moze G6 hop:LSf ... t:l, ,,, oh.U.l!:l1.
dA
50
i\,'v".::sina Ilastale rotacijom krive linije ako oso y ili x jednaka
:;e p:r:'oizV'odu duZine te linije i ,puts. koji predje teziSte (2JTYT -'..J;; 2 JfXl')'
U:n.lg.O pravilo maze se napisati U oblilru:
V 2JfxTA y
;:·I;.r.;;r-"tinH mU3tala rotacijom roname eka osa y ili x jedna1m je
mc::d .. zYodu te pO'Vrsine i puts. koji predje teZiste prilikoru rotacijeo
151.::,.1.
1. Za datu liniju prik6Z811U no!: slic:i.l1.
analitick:1.. i graficki odrediti po~ lo7.,F~j teziStll. Odredi ti velicinu
obrtm1 povrsir10 n(1stale oortanjem lini;je oko ose OJ. R "" 2 em
Rjesenje: -----~
14· em ]. em
i
1
2
"5
4
I.
L. ~
R 0 2
11' JT " 2Jf
EJr "'2J1
hJ20 2ft 17,38
i.J.:X. l ~
L. ~
X. ~
R 0 1 :;
R+ @ "'2+ Jf .
2R",4
R 1 2
" • G
36(' ,73
51
8 :rr
v L.X, LiY i "1 ~ , 3R.6 2 12
B.+ !L!! ·-2+ JL 28,56 2e.5G IT iT
R+ &.li ",2+ 4 25.13 20,56 JT . ,IT R 1 2,83 2,83 2
.
58,52 63/)5
;:2. Odr8ciiti teziti 1;(" z acilme hornogene linij e
Dretnc- 81~C2 :1 2 (grafiski i ~lDali-
R .. /Oem
Y c
i
1
2
4
R.iE- 'I 2 -R
5 2 RJf
2 '" 15,7
I. 32,7
L:L.X. , 1.
LLi
I:.LiYi
LLi
s1.3.).
'" 4.75 em
x. , 0 4
R 4"
r.::k or
32
Yi L.X. L.Y. l. ~ , ,.
R . 7,5 0 37,5 0
2,5 B 4 2,5 17,5 17,5
0 ,
"""1+ R-7;5 0 37,5 ." 6,4 2h
Jr . 6,4 100,48 100,48
155,5 155,5
3. Od.redi zapreminu tijela koje
nastaje rotacijom zadane po
vrsine aka osi x~ (SL.3.?>.)
A, , A', "',
"
lJ '" 40 em . IJ 1 em
A, A, A,
\ J] ~:'
,. , \
i
1
2
3
4
L
o
53
A. xl , 200 0
-4 -10+ -t! -¥ 10- 2f: 112,5 0
234
Xc 0
Y t A
iY
i '" 15,2 em c t Ai
Vx 2JrAi Yo '" 2232,4 em3
4.
1---__ .. _0_
sU·4.
Ie, L..<4I--.f--ll--....,..L-.-'--
Yi AiXi A.Y. , 1
20 0 4000
20 309,2 -785
20 -;09,2 -785
10 0 1125
0 3555
GrafiCki i analiticki odrediti te-
ziste srafirane povrsine. Na~i ZBpreminu kojp De.8taje rotacijom aka
ase x. Zadano je a "" 4 em. (sL.:'.lj.)
Rjesenje:
1 em 1 em
i A. X. , , I :/"'16 a
?'" 2 - ,iff -JT 2.
lb '0r +
3 -g2jr
-JT 20. = l'b' '3
" - -;;;-= - 4 " -zr ~
= 2
a 8 2 2' = 3Jr +
8 ?Jf'
'" I
a 2 2
A,Y. , , 32
20 8 3K ~ 3Jf -8,95 -2,67
a -zr - q. - 4 I
L >,72
2,86 em
5. Oriredi r8cuus.k.i :i. graficki koordinate te7.is1:& ST.'!'J1.'irune povrsine i izracu
naj z8preminu t:i.jela koja nast$.je po
t'punim ol)rtanjem te povrsine oko 0 y
ose~ (5(J.5.) H '" 5 em
o f-----cc'f---------------' __ S[.3,5.
i A. ,. 1 R-2R"'5o
50
SL,3.6.
55
. lj·R 5 20 RT IT '" + "'!Ji
R-. ~; =5- IT
R = 5 125 250
2R- 4R. "'10- ~ 139 8 154,58 "?7f -,Jr'
208,34 ;62,91
'7,258 em
x c
6. I:t, homogene kruzne ploc.e ra.cUjusa Ii treba isjeCi drugu kruz,nu placu dvaput mMjeg
radiju8a~ (st, ;;.G)
Od.redi udaljenost e '" 001 pod nslovom cia
teziste srafiraue povrsiue padne u tacku
~)eiJenje:
X A1X1-A2X2
c A1-A
2
Al £2Jf Xl 0
"2 x/X X2 e
X E?Ji _O_r2 ]f"e c f{,2$ _r2
R -2
H 4 ~"'Te
e "+R
2-4
~ -+
n2J1 "4 e e
H2 JI - T
jy
sL~.7.
a a
A .J dA • J ydx • ..12... .2
0 o ~
J xdA SXYdx X .(AL....- 0
c A A
a
a
7. Izracun,aj koordinate teZista povrsine ogranicene apscisnom Dscm nn duzini a, ordinatom b i parabolom
Y • + x2 • (s1.5.7.) a
Rjeaenje:
x ' c y •
c
SxdA x' IDe S dA
(A)
a
LAiYi
[Ai
Yo' /ir fdA
(A)
J x2dx ""
b x' I ab
a2 3 ~ 0 0
b jx3ctx
a
~ 4-
I b ..1L
0 4- • ..2.... A a2 ab 4-
, 3
a 0
J+dA +J/ J X4dx
a
dx b 2 x5
I fA) • b
2 ..:::::z:::.. ..2.... b y c A
+--n~f-.---'-
S[.3.B.
0 0
A '" 2ci4 A - ~ ab < -, 0
8. Odrediti koordinate tezista kruznog odsjecka prikazanog no:, slici..3.8,
Rjesenje:
XcI'" + r
10
57
TeziSte trougla
Tez,iSte kruznog odsj€lcka
X ", [AiXi r2d., - + r ~ - ~ r2Sin~% r
c 1:1:i r~ _ ! r2 sin 2ol.!
COBol
4- sin?oL. Xc'" T r 2.x.- sin 2c("
o
I ~ .. ~
58
4. R E ~ E T R A S TIN 0 B A 6 I
Resetka je nos8C sastavljen od pravih atapova koji au medjusobno
povezani zglobovima - cvorovima. Ked rjesavanja resetkastih nosacfl. treba voditi rae una. a slijede6em:
1. Sve sf Ie ltoje dj eluju ne. resetku treba nanosi ti u cvorovima.
2. ':reZine stapova su Zanemarljive U odnosu ne. opterecenje koje stapovi prenOBe.
3. i\:od. proracnna resetl~~ uzima se da 8U stapovi optereceni nn priti.sak Hi i.steza:uje.
4. 'l'.renje u zglobovirua resetki ne uzima 5e u obzi:r.
4~J.. Postupak rjesavanja zadataka
P:dje nego st;:o se zapocne rjesavanje resetki.~ odnosno nalazenje sHu u i'ltapovima treb8 odl'editi dB. 1i je staticki odredjena. Ako
j e I'esetk3 stati6ki odl'edj ena vaZl adnos broj a cvorova i stapova rceetke
S - broj sta.povO-.
n - broj 0v'O.t'ova
Ako je 8..;: 2 n - 3 1:'esetka prelazi u mehaniz8lll, a ako je s> 2 n _ :;. !'eset.ka je steti.cki neodredjena~
l'ietode za odred;]iVBn,ie ailn u stapovima, koje ce ovd,ie biti pomeIlute, vaze samo Zi:, staticki odredjene resetke.
Hesetka je Yez::me ze okolinu POlliOCU Yeza.. Veze treba uloniti. a
njihova d.j elov5..nj e zamij eui ti reak~ij ama. l~eakcij e treba odredi tei
a.nnlitickim i grBfL~kim plltem. Kod. analitickog odredjiv&nja. re
aJcei,ja u osloncima I}Ostavljaju se 2.nalitic.ki uslovi ravnotez€'
[X '" 0 [y '" 0 l)lA .". 0, gdje je tacka A oslonac kroz koji prolazi uajveci broj uepoznatih reakcija.. Rjesavanjem jednacina ravnotezo iZX'1l.cU01-J;ju 80 llepo.znr.~te reakcije.
GI'ufii5kim putem mogu 88 odredi ti prnvci, smj erovi i intenzi teti
realtci,ie U osloncu. J?rvo se $Vo aktivno opterecenje kOje djeluje
un resetku zamijeni rezultantom, odnosno odredi se pravaC,smjer. intenzitet 1. napadna tacks. rezultrmte~ Zatim fle kOristi uslov rev
noteze tri 8i1e u ravni, koji kaze de se pravci ail a sijeku u jednoj tacki tj. rezu.ltanta i pravci reakcija sijeku Se \l ,iednoj tac
ki. Pravac jedne rea~cije je poznat - pokretni oslonac ili stap.
59
hezul tanto. i poznati pr8VBC reakcije sijeku Be u jednoj teckL
Kroz tu tocku i. nepokretni Delouse pavlac! se pravac druge re,,'..k- v.
cije. r'o~,to au odredjena aba ,Dravea reakcija rezu:tan~a se r~~lOZl.
n8. dvs PQznat& pravca .• _::-'od. djelovanjem ektivnih slla 3. r{)IiLi{C1J~
veZ8 1'8setka je u re,vnoteZi f trokut 5i12 koji cine rezultBnte :1..
" tD,j nacin odredjeni su smjerovi reskcije mora biti zatvoren. nB
reakcijn.
r-';tokon odredjivanjo reakcij8 vezB., treba odrediti. ~~.le u stap~vi!lle
f' Vl" i1i an""liticldm metodama. GrD.f1.ci{a ruetod2 Je res etke gre H! ell!! ~ . :8i terova me-!{remonin plell Si18 Ku1manova metoda, 8. z.ne.liticka Je tode.
4.2. i\remonin plan Gil&
i!a bi se odredlle silo u StEtpOVl:2l8 1'888 " • v tke u.oruocu Kro2Iloninog plnn~
le. "enui;i od eVQN. 11 Karele djeluju ll2,jvise 2 n€'poznete si:dl8., trebf-:' _'- _
1e u stvt'JOvim1:1 i xli.ljmanje jerin& pozll3.te sil&. Crtanje t:re!lloninog
.: ~.. d po u"t;e "'-i10 Zatim 5e u s:njeru ks.zr,ljke rH' plane 51.18 po(anJ'"" 0 Z Co. ~ •
"" " " k J'" se "'ijeku u posmatranom 5fJtU rwnor~e pra.VCl 51.1.8 U st:;'pOYlffic! 0 1. . " " .. ,
cvoru. :::u~elne sile u jednom evoI'U zBtvar~jju mnogougBO SllB~ ,.JkO-, '. ,. ~ -\ -·taD je apterecen n2, ~n·lt1.sO-k. liko je Gl1[1 usmJeren<> ~rem,-, cvoru, S.. , " ""-
Ucm, 'e"onB. od evar,; stG:P je optere6en na :u:;teZ8nJe. l.'O:r:'l:.ko je silr _ d ..
'nir"llje Kremoninoo' nlrma 81. 8 lias 8V.J C' ~ • < '" ~ '1 t· 1· ,- '0 511 <>lijedeAirfl tv-oram 11
"V : 1 "W"V"C,,: J'J2J'V'se dvi.ie n090 zHPte sile~ ,;0130 je n<'lcrt?.!l i<;:om gO siJel;:-u ... ' c, . -'- _
- Z8 sv<;ki ,':vor'. ~~Jerenjem linije u pl(1nu 'r';,"tir; je z<.'tvol.'en ~no50ug8o
ciobiju se vrijedno."ti 5i1<:1 U 3tr'povim2.
1+.3. i(ulmMlOv~~ r:J.etod2
;~orh~ti 5e uF;lavnom ZE r'"Jcune ... '1jo sile. u stE'.Dovime -oresjeka J.'~C;,e~ke.
Postupnk 5e scstOJl U '., " rF."!t2vlJ"f'llJ'u rezult:mte ukupnog opterecenJ2
bilo :;;3. lijeve iIi der~ne str['I).e prE'SJe", ~. , "3. n'" poznate p1'3VCe tr'!'!,?'!,e-
t 1 · " s.; la ll8 tri Doznr,t£ nih .d.lL' u stDpovi.rna. PostupDk nen :'w JanJr;", ..L
lH'UVC& POlllOCU :\:U.Lilli.'nove .-'- ~ • 1 'nl' J'e ob,l·ilsnJ'en J"e u poglD.vl,ju 2.
l~ .1+. ~;i terovt·, ITletod~;,
i(FO .i. prct;'1odn& i OV2. ~,~ m.et·ont ... PC kori.'::ti z;o odredjiv;mje F,ila u shJ-
:;0vima Dresjck~,. UkolJ.K.o se rese '""e .. 'c'. " • t;r' ~.'resJ"e::e TIl< 2 (iijpln nil presje-
ku S8 dod:-'ju Gile koje imn;ju pr8vec presje(:enih stiipOV" f;. koje Zf-~·
jed.no ~;P ost2,li::n sihm:s: li,jeV02; ili desTIOE dije18 rdetke odr7,r;vaju tFj dio u ~.,. _, .. ..L ,,:,,:o.vnoteO:,';. L'.2, ~vorove lijevog ili de~nofO dijela resetke
Bile u st8pov:[m&
Vz,"'~ c~n
c''1'''-1,06 k,')
2,15 k;~
9'" - 1 bi
~,7,6 k>;
1,7 lUi
LX,O
I:.y « 0
(3)
(2)
E7 '" 1,05'10'.1
S8 " 2,15 kN
55 '" 2 kN
, 0
o
su ne. . t :LD ;ezcnje
metods
dok. su ostali opt ere-
(1)
(2)
(7)
f-- 3m 1m 2m
I ~q,z,
F,
}'.s"3-TI'2"3-Q·6
En 9 kN
)'L 3 k~'i
LMij",SS"3-Qo3 0
L t'\:;", [i4"he Q"3 0
o o
L S4"h2+E 5"3-E'2"31-GS"1"'O
::;6 2 kN
L4 5,22 kN C' 2,24 kJi" "'5
62
2. Za resetkastu konstrukciju krana ¥L4.Z.
odredi:
(1)
(2)
(1)
(2)
a) graficki i analiticki reakcije
U osloncima A i B
b) pomocu l{ulmanove i Riterove
metoda odredi velicinu i karakter sila u stapovima 4,
5 i 6.
Rjesenje:
1 kl' 2 em
UL " .l...LL 1 em
Kulmanova :netoda S.
"3 kN
g J.;-N
:2.4 " 5,2 kN
S5"" 2,2 kiT
86
" 2 klf
Riterova metoda
3 tgo(,'" 1,15 em
1,2 em
1-' I ' ;;1 r-r+
1
L X ::';'1 - i
L y v , , },
L 311-
(1)
(3) l"1-)
(2) YA
o~ 1m
ji 0
-!;\ i') "
:i<\' 3a,- F2"2Q-
~' 1 " 1 kiT
3i.'l+2,F,2+l<'-,;;
~ ;-
2 + Jiz.
Fl
0
63
3. Za resetkastu konstrllkciju zadanu
prema sl.'t.~. odrediti:
a) graficki i analiticki velicine
reakcija u A i 3
b) odredi pomo6u metode KulmonB i
Ritera sile u stapovima 2, 3 i 4-, te u stapovirna 10, 11 i 12~
Rjesenje:
U" 1m Ul!' " 1 kAT
, ''''' 1 em 10' , 1 ~4 k:1
A
i'; FE 3 kl'J P
, "10 ? kH
Ell 4,'7 kl'f
Sl? 0
l\ul'llI1YlOV8 'llAtod8 ZB st8pove 10,11,1?
F") " a.. - 0
(1)
(2)
0)
3 k~';
1 kH
~l -
o "-'i
\ '~ )
" ()
y
" '7)
;:(UlTllMQVD rnetod~
1
o
\;15'1
2 1 3 kN
"3 kl'l 1+)2 kJ'
(6)
(9)
ninog: -plhim siln
c) kontmlicati sile u
:2 j '3 i l\ pomocu ilul;ntv"lov8 i
h:i.tf~rove metode.
2 i 5 Qpterec;eni
iotezanje. 8 ~I 4 i 1 il:-: rritj ,-;
'I -'j, ~-) k:{ , I~ - 1 . c\~~, kU
: ~~ ; ,1.1. kU ~- ", li,,;' k,{
- ::,4 1 i": j
65
LY " 0 JiB - FA - ,~~ = 0
L)iil 0 li'BOS - Q 0+7 cosj-) 0
----~----~------
t iirl I'~"--"--1\ c
6,75 kN
F - 1\
n " 3,75 kiT
Kulm2.ll0V2 metoda
o
! i hJ ! \ "
\ i
---+\~\\r--'1"'----t_~\ __ 1
"\ fj \!/
RitoT'ova metoda
u ~ 2....!!! L 1 em
= :;·,75 ill
3,355 ill
F
LX -E"l'
sLh.';!.
?aV;lotc7B RoLica
- :2 , G co" 60 00e
Ii 1 +:~JF~)~~~~~
()oo'"
l
" ' -2
C
0
CD ,0
67
5. lin resetkastoj koso:i ravni 0810-
n,lenoj u tacki A, a 11 ta~ki B ve
zana stapom BY ZB zid, n&laze se kolica CD tezine G=4 ~N. Kalica $11 vezana llzetom CF za t;acku :E nEl.
vertikab.om zidu. Uz,e EC pnral.elno
je sa kosom ravni. Grafickim i. ana
litickim 'Putem odrediti velicinu re
akcija 11. .osloncim2. A i TIl<'. Graficki:n
putem odrediti ve~.icinu Ldle 11 stfl~
povimD. 1, 2 i ? Biterovom metodom
kontrolisati 0ile u stapovim2. 1,
2 i : .. (5L.~.5.)
l~jesenje:
(1)
(2) (, )
C D ~ .i&..... (os<-l.
1 m ;! Ct:l
Havnoteza resetke
------------------FB 1, '(3 kN
YA 0 " kN
XiI _':> ,46 kl'J
l= ;:::1 y 0 (J
2') hl - F'2fJ?'" 0
LM "
o ---------
fJ C
"~7) k,,,{
S:::' ;:> ),:1
Kul:YlBrtOVH metoda
Hiterovs meto~t,l
:FA'" il,? kN;
Pn" 1,73 kN
(11 hl~ 7, sin 30°" 1,) m
(2) h2
o. y 0 m
(')) h"j'" .~ .[7;-" COS3{)"
h4 0 1,) m
kN
5. GU{3EIWVI, OZV I:t;.tH I 'lII.CZGLOENI NOEJ..2r
Dvije ili vise zglobuo veZFonih greda cine slozenu Gerberovu gredu.
ZadotBl>:: se rjes8vB slijedeCim redoslijedom.
,5.1. l.Iklone 5e veZe i za.mijene reakcijama VeZ;8~ .?ostave se anali
tiCk:i uslovi l'avnoteze
LX ' 0 LY - 0
Posta je oroj nepozuatih spoljasujih reskcij6 ve·~i od bro,lH jedna
ciua postnvljbju 88 i momeutne jedJwCiiue za Gerberove tHcke sa 1i.
jevEi ili 88 desne strcme~ Broj dodat;nih jridnaGina jeM1lit tie broju
zgloboVF. lijesavan,jem ,jeonpcina odrede 8e Bve uepoznate spol;jRs
nje reakc:i.;)e.
t:ikoliko se traze i nnlltrasnje reakcije (roelwije 11 ze;lobu) sloz,cni
nOS8(; rn[}t~,Yi e,G nn proste nosa6o. f) djeloY,mje jednog; d.i:iela rL0-
BDca nL drugj ztllllijeni X'e2kG-ijDm:,~. :;:"c. bi !-"1107,eni nos~\.G bio u r8Vl)O'
te7,i [:v(~ki njegov dio mO!'D biti u rtlvDotezi, pn se 2',8 svaki dio no
spec. Dostave uslovi rt"-vnoteze !)roste grede. Hjes8vDIljem. jedTJ::,-cina
u.o-biju se five Fl)oljai'inje i unutr:;,2D.je reakcije.
5.2. f~od gra.fickog odredji v l-.mjD. re[<kcija trobo rozul tantu rB.stavl
ti nr" tTi ili vise r08kcij8_o Nakon povle.cenja zrakR veriZuog poli
gonG. odrede se ZB.kljucnice. Zskljll1::nice prolaze kroz tacke u koji
ma je moment savij"n;je asIa (koLljnje tncke nosace oslonjene na oslon
cet gerberovi zglObovi). Pomocm zal'.ljuiinica i rezult1O.!lte odrede Be
reakcije U o['loncim8..
.5.3. Prilikom grafickog i nn01itickog odr~~djivanj& rC1Jkci;ja U oslon
cill" treb& kontinuirano opteref:enjll ",s_'l1i;jeniti koncentrisanom silom
koja djeluje u teZistu. kontinuir8nog opterecenja usmjerena ka nosaH•
eu, [; intenzi tetB j ednakog povrSini kontinuiranog opterecenj a (pra
"lrOlll?::l'.OUi. ki.'·_. trokuta , trP.pe7,f]).
5.4~ Z·e crtc!lljc dijH[!;r~illle. moment..ta S(',vijEnja i transverzalnih Bila
?otrebno je izvrsU;i ane.lizu po polj:im8.. ;'j()I3HC se podijeli ne po-
1;jE. op't;er~)CenjH i ze -presjek tmntar svgkog poljH postDvi morueutna
~jednE:.~;iml~ iiD.crt:;:~l.~'. momentnfo. jednacinn prerlstHvljE mO)!lentnu liniju~
JUt(l UB dijelu nos,;~p djell1ju 5SruO koncentrisBne sile linija mornen
tD je praVf)c.
70
!Lko un dijelu nosnCB djeluje prs.vougaono kontinuirano opterecenje linija momenta je kvadratna funkcija • .Ako djeluje trokutno iIi
trapezno opterecenje Hnija momenta je kU1)!).a.par,,:oola. Ukoliko na
nOflac djeluje moment spregs, horizontalna ili Yertilcalna koncen
trisBna sill" UE tom mjestu javi6e se skck u dijagramu momenato. aa
vijanja odnosno razlika 1.1 vrijednosti "mo;:;)enta sa lijeve ili desne strt1Jle iste t8.~ke.
'.i.'raUJwerzalllfJ CT)oprecne) sile U odgovB_raju6irn poljima dabiju se
kBO prvi izvodi mO'::l.eno.ta 88vijenja u presjecims
dJ1( z) d.x
Aka nv gredu u n01:om 'Dol,in djeluju koncentrinane 8i1e dijagrtun
tTehsvf1rzGlnih si12 je \onsto.:ntc.n. Aka djeluje kontinuirano pravo
uC;~'Dno opterez;enjE dij agl'L1m j e pr0VD-C. 'l'rnnsve:r'zalna sil a u poljl.l
djelovanj~; trokutl1')g ili trEJpeznog opterecenja je TlD.rabola drugog redo.
5.~). Ukoliko j e f;ve mwedeno u :pI'ethodnim tackama ovog poglavl;ja
dobro poznoto (oblib dijGgrrrma mo:nento sD-vijt::nja i transverzaina
si12) dij~igr;;;m momenta savijunja moze 8e n&crtati mol osnovu vri
jedno~-:ti momenattt savijnnja 11 b.1I'uktel'isticnim ta:~:kamB _ granica
rna poljH. Dijl'gram tI'ansverz,,,lnih si18 moze se nacrtnti na osnovu poznatih vrijednoflti ektivnih si18 i reakcija u osloncim~~.
Aksi,i"lne (uzduzne) si1e su pozJ.tivne ako 811 istezuce, a negativne
ukoliko Btl pri tisknjuce. Dijq;rBill aksi,it~lnih 5i18 moze SEl necrtati
ua or'novu pozllatih horizontalnih al\:i.;ivnih sila i reakcija ocious-ca,
71
Zadaci
F o2kN a ~ 1m
Sl. S. 1.
1. Z,a Gc-rberov nosac. prema 81.5.1. odredi ti:
a) graficki i analiticki
reakciju U oslonc:i.ma,
b) nacrtati staticke di
jagrame,
c) naei maksimalnu vri,ie
dnost momenta 58vtjanja
v'= =lkN
.1 ltN UV'" 1""c;m
U ,,)l:.'_ .. i,Scm
" /
Fe'" 1 kN
YA
,," , kt;-
1<'3'" G k~
I"x " I1y ,
l>,d, UG
,~l)
(3)
(4)
(2)
0
0
0
0
JT-X, ",0 A
Y;, + 1<'B + 1<',. - 1-
72
q
F 2e - q 2a B = 0
X. 2 kl'l " FU 1 kN
1"3 6 kill
YA
-::, kN
o
Analiza po poljima
(1)
(2)
0) (4)
;·j(x) Yt. x - linija mOlllent2 je pravnc
Ji''l' U',X"" 0 1"1,,-0 :E
l\ -)kN
za x 0= 1-£ j'~ '" _.?> kNm '" _::', k;~
11'nk '" Xl. ".. 2 kI~ i.stE1~u6a
II polje 1 +£$::{<:2
J1j pol;j e
IV I
FII!I\\UllllTIi1I14_ IV t--- -------'' ,,2' _______ , __ .,' ___ ! fOr.
:'l(x) YJ-.x
F'l'
- linijr: momeIlt~) tie '-PX'BVhr.
Z& x '" 1 ... £ ;'1 - - 1 ldJm -3 kN Ztl X '" 2 n " - 4 klJIl;, -7; k!~
" " I)
2 d(x) , F x - q x 1inij2. momentH je 2
- " , q X pa.rabola , Z2 x 0 "1 0 Y,): - 1 ki:'i
Z<:I x 2 d 0 1 k>1 \)
'" - B>
2 x x-o.2"
+ q x
- linijH momenta je parabola
ZH x '" 2 i"l '" U :;';'1' '" 1 za x '" 4 ~: -4 kl'Im F-I' ~, 3 kl~
momenttl savijanjB
dJ] 1 0 "'- elx "'- + x ~
x '" 1 m ad ta<-:ke (; ulijevo Dijogrom oksijoinih SIlo
I I
11mux''"o,) 1d·; je mntematiski ekstrem funkci J' P q x- u iii -- ::. -
p"lJ\) to nije stV8X'n8 mGksimal·~
na vrij edno,st mO;;l8ntB ssvi
,janja. EtvarnB maksim'l.lna
VJ'ijednost momenta ~i8 u 0510-
nell B, ne mjestu gcl;je t-l'ans
verze.lna sila mi jen;je znak
(prelazi iz negl3tivilog :1 po
zitivno podrucje).
2. ZB. nosaC/(:i.2..zg1obno vezan
u tacki G potrebno je QrJ
redi ti:
a) anaUtiCki reakcije 11 A,B,CiG,
h) grafi~lti reBkd;j" 0810-
nca A, B i C, te nt" 05-
DOVU tih podatalc8 nG
crtati Ei;aticke clija
grHme Z[J cijeli nosBc o
Zudano je: F'l"'{? k~[,
Ji'2=;) kN, 0",,1 HUm.
o 1 kN :p,'" T"CTIi'
u = 1. m T~ lcm
FA'" 0,5 kN
FE'" 11,25 kIf yee 2,25 k'
I dio nosaca
LX 0
LY 0
Ll''iA '''' U
(1)
0) (2)
1I dio
L" ~J L- y 0
LI\~' G
(4) (6)
(5 )
XG 1 leN
YG '" 0,5 k.N "" 0,5 kN
- XG '" 0
+ Ie; - .F2 -Y G (,-1,'1 4 +
1 ki'i
1"" 4,.25 kir a y 2,25 k3
YG - 1" a 0
4 + , " 1 0 "
VI'ijednoEti mO::!iE'n.etu u pO,jedinim tackama nOSBGD
)\ 0
Vi:) " 1< 1 i, 0,5 kl-rrn
"iD c "
sin 45°·3 - 1 -3 k~Jm
:;
F 2 kN 1
]' 2 kN 2
q '" 1 .Js1:L. ill
(1)
(2) (3)
(4)
(5 )
(6)
iJij8Gl'8ln momenr:t2 DBVij EmjD. ispod kontinuiranog apter"ec enj a (Gi,)
ima oblik P2!'8.bole, Zi ostale dijelove nosnCD dijag!'6Ill momenta im;;. oblik Prc'.VCE,.
i,jij,;grtIID tranrwerzBlnih 2·i1a ispod kontinuiranog opterecenja ime
oblik praVC:7., llf} svim oDt8.1im dijelovima nosaca je konstanta.
,A
~~~~mt SL. 5.3
odrediti:
a) e;rafi3ki .i. (3w,li t:i ;:ki
renkcij e os lcnDcb,
b) .nacrtHti Gbti:;:~e dij,
g,-rr)~e ,
c,) m:h :n<;\>:"sinn'ln'l V2:':1 ;!0(-;.
nost :nor:!ent:
l,:,
, 7,/, ~~,~
1 , (,'} ).: l~
v 1 7" "-,,j
J
1<'13 • 1 i', '4 - 1'2"2 - , l
lo'B'4 1', '7 73'8 '2'
0 " J
5 -c f' q ~
o
1 0
(1)
(2)
(3)
(4)
,-;vi;: bS 11 jedn~16ine (1) do (4) llvr[",-te vri,iednosti poznBtih silH
~,,(;t}i~!e 5e sistem oli 4· jeduacine E:n 1+ nenoznl'te
" 1"5 + ~,
6 -0 (1) '-)J 6i-
;j - 31 0 (2) I' '( -4ii ' - 9 -0 0) 1+/.;.;+ 7:f' - ;?o - (j
(4)
":10fiI;Vi:l,W SEo prvo (:'i) i (4) jedn['cine taka sta Be jednaciur~ (3)
;10mn0zi. tJr'ojem 4, I'; z~'tilIl ad nje oduzme ';etvrt;; jsiliH;c.in8. ilE. tb,j ¥l"',;in (lobije fl{-! vrijednost reelteije
11', - )G - 41 b o
1(, 1 7" k I " lj- ,,", , '-.) ,,',
1.Cr.(Jn +'-(lr~'/ S8 iz ()) i (4-) jednoi5ine odredi .i!'.J
1,89 b[
"'!,,':'J'.llrl,j.: lilomenc,'tB Gavij;;Ilj~' u pojedini::n trckomD
-1 - --I A - (;-1
- !1
'+.Za Gerberov nosac n2. sliciS.4
A I G, '" B
I 0 I ' I Co -1J-2-"-_+--".sL 51.5.'+.
HA F;
A
Ie 0 r, G fi
F,
jJ 1,5 I f;
I 1,In -rrk.-" 111-[
a) Anali ti~ki i graficki Nlre
diti reakcije oslonac8, b) Uacrtut;i stlitEke dijagra:n.0
Data je :F1 ", 2 ki~ 0",1 kli!m
n",) .\.CJ,j"ru, qo"" 2 kN/m
MB 1 ki'i r
U '" 1 em B' F Fq. 1 m
u~'" lcm ~ L
/ ]i, ~
7,7 kN
FB 2,3 'k~'if
d. \'J'~ u ,
,,(,;,,~ 0
F + "~'B -
8'7 + rib
78
'1 - ;, '!
- " '.5 co
- 1'" "1 qo
- ii'qo
+ /j
o
0
0
(1 )
(2)
0)
I' (;f,H;, ,) 't!'l0 l':;'vnotei;,e u koje 5e uvrste v.rij ednosti akti vnih sila
,; - IJ '" ()
- 12 '" 0
-, " '1 J
,1
1\1 -
()
:H ~i-\:';ll - ":) '=- I.)
I;}} u + dB -
t? - ::;·J.'e - 1';£
0
_L . 2, ')5 k~T q
;I(dl' ':ine (1) oClredj 5e b
(-)
- 39,5 '" 0
+ :I . (I
q 2,25 4
"
(2) - 0)
ki:1
," ,-jpctrl~',:i.nB (4) odredj c;,e monHmt u uk1jestenju j'li~
',:r~,i ',.,ju ", t: . ] 1l0merWtCl sf)vijDnjr, u ostBlim tecka:n8 nOSECEI
;)1'75 - H·',.?5 '" - 10,5 lcim
- I J "1 5,75'2-1G,?5-?"1 idlrn
~.? + ., - F],"5 - ]:0"),5
5,7~'7 - 1G,25 - 2"6-- 3-3,5 1,5 jrUm
1,5 - ~ ~ - 1 1 5 kllm
F
c IG'
f---,2~m,,---+~ __ ?m
81. 5.5.
M
o IG2
"'ml~-,," 8) gran;;,"d i "":.''< iti'~ ;rl
ot!lOre U or, ,V)!':} :r" I "b) nacrtr>ti ,;t.<, t;-l"">'", ,!i,l
e;rFyoe rnO:-:I<')n~"t" ., 'ri.~nl:
" '" 1
:Jr.",)l,,:';-
? -T :> kN
c
o o
u
i..' l1;. Fn"g + f"ql" f3-tc-.·C"" 2-: ~."115-rl.A
----o
(1)
(2)
0)
(4)
;',ec'.:F se U ;;8'111('\6ine (1) do \1+) uVr;;t;e Vl':i.,jeG.Ilosti poznatih sj.ls.
,:).':"!b:i;je se 8i~;tem od ij, jedn~)Gil"le Sf'! 4 ne:-.'ozn~'te.
J, 1,
, l' [-l -3,1"11 + Ill)
+ lVJB
10 -
- 6 -- '20
0
C
0 (-)
(1)
(2)
(,)
(4)
·:<i~J,-::i.'IlGn;jem j ednlJ~ina (2) i (~,) odredi f.'8 vrij ednost .r€8kcij e
+ rin - 6. - 6B'D - 1L13 + 20 '" () C:-) - 0)
+ 14 "'" () P'13'" ~L, '" 4',E'7 k':~
,;, ;ji-Cow~cine ~l) izrucuu8- 5e reakcij,] Tll.
'" 10 - .-" 5,5.? kN
,Z :j f: 'in8lSine (2) moment u ukl.;je(;tenju rIB
.. 6 - ''J:;;.l::i '" 6 -', t!.~ "" - 8 kI',m
1.;7, ;iedna::J_ue (4·) izracuna Be moment
- l~l, 5 7,::"' kiJm
;'I'i\jednosti momenatB savijanja u osta1im te_'~kamu nOS8CiJ..
i'A'2 -I \1";2"1 5,33-2 - 7,5 - :: '" 1,16 In!!lI
F1:5 ~. l"A - ~'."'5 - -':),5""" 5,33"5 - 7.5-12-3')15
- 7,::6 lni"m
.':1-:- ~! '" 3,35 + 5 1,651dlm
~~2'PF' 6. Ze:. poluokvirni n05Hc- odredit;i
[l) graficki i t:'n"liticki YeliCine
turcije u osloncimB it i 13
F,
[/);:,0
L:.Y",O
(1)
(2)
"" b) malcsimelni moment
tl.5.6.
c) staticke dijagrame
Zadano je II'" 2 led;
4£ " 4 ki
.v'l-Xi , '" 0
6i.j ·D-8J'·[2F2
'{il" 'S-r'2- f 2 " {J
C:
(1)
un ( 3)
q
r10menti i trausverzalne sile
J nolje U~y5;2
I'H~') eo- I.), • Y ,Linij" moment,.
di"(Y) d~:'
X,D . , . (j (J -0; 2 kt;
zr~ -:T 2 l'i -4kUmj li:;:1'" 2 k;T
:F 2,k '" l,:z. k,i pri tiskujuc 2
I (H .:;.(;.)
z:
~~~1 Y 4
>: (x)
z" xl
Z2 xl
j"c;k ,..-
ze 1
Z'! X'\
x + i,J _ 1,[
l~ i{[lm;
4- k.:hi
o o
1,3 l:N Dr:iti~~kuju~;;
4 I,
"
'IJ _ J'I-?
- (j • x
" k:' m; 1 2 kilm;
ex;,' ~
1 , " ,,'
:s ?
linija momentB je p,;:t'tJ'boLS
1,L':
hi
linij2 ifjo:n(,'!ltfl je p1'13.V8(;
" - ')
'" 2 kiJ
'" C',7 kY
83
2 ii " - ~ + 1, c x + 4 - momentns. jednacina. u III -polju
d!'1 0 -ax x + 1, 7, () x e 1,7 m
l-rilikom crt!;Injf). d.ij0grt.1ma mOfficnt(1 ,: lTIjl-<_Oj" t,:r'POf' n<.)~t;O!J'-I;L pr',;vi-
10 dB pozitivne vrijeQ.'1.oo:ti mor:len1,l;~J nnnoO'1.!!JO unut;:-l" ('Jkvirr. ",08-
tj2\;ivne vrij~dno8ti sa f;polje:~nje F,tr~-i!le okvlra. t:o?,i tivne vrijcu
nosti trenroverz81nih i Dk.'.'.ij~,lnih "i1:1 Oi"o()ce :;:"-' :c'~- .:'pol,isi'irJ,jc, D.
negt,tivne 58. unutrf.\{:nje f,tnme okv-:rh.
ijP[.rGlll :nompnc;t:o, sl-'vij",njo
j;i.j::>grE--:11 ck03i,jnlnih Gila
F 1
Uij ·"FTf.m tr~m f'vprzr,lni h "il;'
~:"n.jer !7l0'l1en"t!" 7," DOt~edinz-,: nre?,j~-ize okviI'i;
Predznaci mornenata. savijan;ja. odrecljuju se -posmatran;jem
djelovBntla sile aka V:)';(T1B.t;'('2.nw 'J_l1UV,)(' ,')kvl :'2..
Vri' Jedllosti
" 0
,momenatn
'" Xi,"2,5 := 2
Sfrrlj :mj8.
",X".C; _ , __ ·.5 kUru
t-l '" ;"- ~ , ,'", t'.,5 "" ? t: 10 l<Ho2,5 "" "i F] -,) kJ"m
Vrij edn .- , I 5 karn , osti ak ..
Flu'! '" Y slJ8.1nih s'l F' A" -0,5 kl! .' . l •
AD ,., Y '" prJ. tlsak Ji' A -0·5 kN AB '" FBcos 6 0 pr,itisak o ",1 c -
i t - ,-, .,.,. F =p oS eza..'l.i'" e. ""0,75 kN
_1'tE B cos Gory" F -F cos 6 :)
AC
""HI 0=0'752' -AE=o.25kN '"--2"''' pri tisak 0,25 kN 1):('1 t'
_ . lSa.;c
ss
A
':;ij ,Ot',;r2JJl momeoa.to i;',uvij p_nj 8.
+
~rL<nc;verz'" . sllc' - ulh
i! cor,~ )<)0.
A - 0,5
B
Lijagram a .. nih 8ila kS1Jal-
86
"14''-[lJII]]]]]]'rIC~'08'5kN/m .>3. ?,f: nOSi.lC U ohliku o.kvira A~'"3;:;D o;:.terecen .:: 0 "JrE'IIIr1 sl.5.8. odrediti:
LY
em
Sl. s. e.
;;) g:r~'fit,ki i rn[{liticki otpore o.sloUiJca il i ~.
b) n~.c:rtati staticke dijagrame z.s cio nosG\~.
F fTrn"Tr~TnlTnnlTn c
u
(1)
,0 )
o
: 'v - :), ') kN
F ["1':;;' ':, l\iJ
E
iZ \\ \
o
(1 )
(2)
(3)
V:rij ednosti mo:nenata f:' 8 vijtmja
Zj~'5+Y_<j,'3-q'3'1,5 '" 3.75 ki~m o
c
3,75
A
:Jij agr,mi mOlUennta
s8vijRnj9
l1ij &.grami nksij alnih
8ila
B
87
o
+
-:'.JA 0,5
A
;;ijegrami tr&.nsver
zalnih sila
6
F
1'" F
0 "
" A
nrm
r~1.5.9.
'i l:X 0
l:Y 0
IJi:o"" 0
(ll (3)
(2)
-~1 0
0'
1
YB
, + , FA - F
J!'f, -2 -
XB 4
E' A 6
YB 2
g. Za Z8o.c,ni okvirni nosac odrediti
a) g.l'&fi(:ki i DnslitiCki velicine reakcije
u osloncima L i .3 b) '~t.atic;w <iijagrfdJ.e ze. cije:li okvir.
(5L. 5".9.)
F", 2 leN
a = 1 m q kN 2-m
IT._", 1 kc~
" 1 em
U[/" 1 ill
! em
.if.'" 6 kN
_ FE'" 4,5 kS F,
- XJ3 " 0 (1)
- YB = 0 (2) q
1'" 3 - 1<"1 - .li'o·l 0 (3)
10\'
kN
kN
c - [xz - 2 11,1·j.7 kN - 13- 13
I'"
i'Jomenti savijanja u pojedinim tackama
Iertikclni step AG norizontalni stap CD
o
o - .F·l + F ·1 - 0'1.1 A - 2 3 kNm
- 1<"1 - 2 kNm
-2
lJij agrami momenata savijanja
Transverza.lne 15i1e U "pojedinim tai'ka.."i18.
Stap AC
-2 kN
B
B Va
FTA .. 0
FTF" - F .. FTC EO -F ..
Stap CD -2 kN C"1'1l1itrnEitmm'tJ f:::J i'I
FTC"" FA m 6 kN
FTD = FA-2q~ 2kl~
Stap ED
FTE .. Xn "" 4 kt'1
FTD '" XB .. 4 leN
2 fi±t±±±±:l::j±j:t:J1
-~.-------
A ~
F a
D~;j agrsmi ak.sij alnih Sl.la
~l+ 1<'.} '" ;. kNm
B
1----- -6 --~--
~-~ f---t
A I ,
+ 2
II IT ill c E D E ~ 8 F F 2 F,
A
Dijugrami transverzalnih sileo
Akaijalne aile u pojedinim ta.ckame. Stap AC
FAA '" FA '" 6kN
FAF "" FA '" 6 kN FAC .. FA .. 6 kN
Stap CD
FAC~ -F = -2 kN -pritisak FAE .. -F-F= -4 kN-pritisalc
FAD= -F-F .. -4kN-pritisak
Stap BD
FB .. -YB .. -2 kN-pritisak
Fn'" -YB .. -2 kN -pritisak
AA---~
s1. 5.10.
o
\> \0
'LX XA 'LY y. ,
- I 2
+ ]' n
0
- ~ - F --1 a
F'b ~3 - F'4~LI -}';"2 .?
(1 ) XA ;' 2 = 10 kN
( 2) 20 kN
(3) Y A 30 kN
FI\.~jXA2 +-y~;·2 , ,-
90
F3- Flj..
- F "1 q
31)63
lo.Za okvir prema sl. 5. 10. odredi:
a) graficki i analiticki reak-
,
H
cije U osloncima b) nacrtati i izracunati staticke
velicine (dijagrame momenata, u~duznih i poprecnih sila).
F1"'F2=F3",P4" 10 kN, Ii' .. 20 '" 20 kIf
q
u '" L
32 kN
20 kN rn
1 ill 2 em
0
(1)
(2)
(3) 1\'1 + F'2"1 0
kN
Vrijednosti momenata savijanja
it E
o
o
c
o
- 10 kNru
10 kNm
- 10 him
"r Q
Vrijednosti transverzalnih sila.
Stap AE FTA'" - Xl!. '" 10 k.N
'FTC" -Xll.+F2 .. 0
B'TE" 0
Sta:p DL
F'l.'D .. -FI .. -10 kN
]'~E'" -1"1 "" -10 kN
F~E; -PI +YA .. 20 kN
F~K'" -F1+Yll.-b'q .., 0
F~Km -F1+YA-Fq-F3 ~ - 10 kN
F~H" -F1+Yll.-Fq-.P3 '" -10 leN
F~H'" -F1+YA-Fq-F3+FB ,., 10 kN
.. 10 kN
Vrijednosti aksijalnih sila
:3tflP AE
FA}. Of -YA = - ;0 b~ FAE '" ".YA "" - 30 leN
Stap BH
FAB .. -]j'B '" _ 20 kN
J.<~AH .. - FB'" - 20 kN
Stap DL
FAD" FAE ~ FAR = FAL = 0
-20
"
;t-o
L_ A
""" C
Dijngrami rnornenata savijauja
20
B
4
H Y BOO .ii' +
93
zadani okvir preme sl,S,H o(!redi:
grafEki i analitEki renkcije 11
osloncim.s AiD. f:~tatiGke dijagrame
f
8
n
:':r
1 ",I 1 m
~ 1+" 'J. (1 q
(1)
(2)
0)
1,12 k~\
1 .Jill .;s-m
? \eli
1,5 kJ
Vri,iednosti. momenata savi,ianja
o 1 o
Pl '" - 1 kHm
"- .i"'"1 '" 1 k.1'lm
r; z· 1:1··1 '" 1 kl{m
1,5 '--~~ FA A
Vrijednosti
StilI! AC
FTA=O FTD"F=l kN
FTC"'F"'l kN
Vri,lednosti Stap AC
Y·u "'.l!'A "'1,?
F AC"'F·A "'1,5
- 1 k.ilm
iiijagrBm al(sij8lnih BilD
transverzalnih sila ~CB FTC = -FA'" -1,4 kN Fe • TB -FA+q-4 ..,. 0.5 kN Fd
TB = -FA+q·4+YB"" 1 k"
Fe TF
. -FA+q·4+Yn ... 1 kN
FTF .. -FA q-4+YB-F ... 0
aksija1nih aila
Stao OF
lill" istezanje F AC"'F" 1 ld1
kN istezanje F:B
= F "" 1 kN
d FAB ," F-XB '" 0
F
FAF .. 0
.4
Dijagrecmi tro,usverzalnih SUE
2 Mmax~-FA'x+F'l+q ~
- FA + q.x '" 0
x=..2=~ q 0,:/ • 3 ill
1'1,1 est·") kri ticnog presj elta nalazi 810 udal,leno :3 m od ta5ke C stEt"]) OF. U toj tacki FT '" O.
f"Imax '" 1,25 kNm
12. :~a n-:rsaE opterecen prema Ie1.S,I2.,
auali tic'iki i gr5fi6ki odrediti
sile u oslond.m;::" A, 6.
Z8. cijeli n08tl:; uGcrtati dijll.G;:c-urue
momenat1?..
0'- 1 k.ii/m
61.5.12. u."'~ }' 1 em
F,~ K~~UL~DL4UL~LU_LkUkLLl~j-4[
~1 ~ ... F1 ~s·
LX 0
LY 0
·Fq3
4aq =. 4 kl~
XA-i"l ein 45° '" 0
y .+F'. -Y~.-11· -J..' 4-5° '" 0 h 3 c: q 1
.ii·B·C' :["0·J. - 1:"2" ~ - 1;'1sin
? + Vi 2 4,2 kN
o
1 m Tcm
(1)
(2)
0)
- 0,5 kUru
- 0,5 lc,-i"rn
. ,~-,
trnn$ver7,elnill
kl~ID
1 ':?: 2 ,61 ld~m
B
A
s1.5.n.
_XA A
'fA
(1)
(2)
'-F
'-'
13.
I~
E Fq
97
2B olfvi T' •
h 2n2liti~ki' ~ ~ .5.10. oQredih-)
~nl nOSi30 n" "'1
00
1 .' ~ grafFk' .. '" QJ1CJ.me I\. ~ B 'v J.. renyc' J'" b) - .<. ' ,,,L ,; U
s1;8ticlte d' . . J.Jagrc..m8
nJ8 aksijelnih i
0",,1 !2i 111 t-l=1 m
F~
H
iJ '" 1 k!1 }' 1 em
fAE
A ()
YA"l (1,1- ~ '" 2,25 kLTm
C{ 1_ )' • ') r 1-;';"" II}, - A L-!q' -r'/ kNm
"'0._ '" l' -2 kNru -J:;; --1'1·
;, ,5 ]{lJm
1. '" 5,5 kNm
~,
'~' ~~;;'~TrrM~E~~S01!~i!~.~ H
Li;lc'!:~r:_'JT ·~J)mprl_",tf' n:,vi;j"n,jr'
o
lA 3 k~ iote7~nje
~ Xd ~ 3 kij iste~anje
• 0
PAC -Fu'" -l.?S kef f'T'-itisak
tAB" -1,2':: :,1\1 pri i:i. -;::,,1.;
StaR BO
FTB '" Fn '" 1,25 kN
FTC c FB = 1,25 kN
Stap AH
FTA · 'A . 2,'15 kN
l',e TE .. YA-Fq '" 0,75 leN
d FTE · YA-Fq+FB .. 2 kN
F~H · YA-Fq+JrB . 2 kN
Fpn · 0
q
81. 5.14-.
h_ sila
Za llOsac na 81.5.14·. odredil:;i:
8) g;rnficki i ".ellBli tiGki :te:lk ...
cije oslonBc.e i .. i B
b) nacrt;:;ti staticke dija.gramr,
momenata savijou;ja" tl"Etnsver-zalnih SJLQ
Zadano je: 1<'1'" 1 kH,
B
li'B"" 3,7 kX
1,04 Jdl
L X " -LY jib +
)1"] 00 ~ A l<'B' 5
(3) l i'n
(2) Yll
(1) XA
E. "
JlA o
YiI. Fq - 11'2 - li'3 = 0
- £2*4- - J?3' 6 - 1"0'2,5 - ]'1.2 '" 0
41>'-:,+6:B'7+2,5F +2,F] '-.. ) q . . 3, ? kN 5 , + 1'~ + l' - .l~ B c 0,3 kN " " 3
"\ , ki~-j-;~
'" .I"A + Y A -1,04 kN
(1)
( 2)
/-~
Vrijednosti momen8t<" l~i~vijsnjH n karakteristicIlim tack.s.m2.
o Yjl.~l .,.. X
A"? c',3 kUm
1'11 2 1 6l'.Nm
'" '£11"2,5"1" XA.t~ - .F1 "2 - (l,~. k'" 2 1 625 kNm
2,4 kHm
1 klfm
[~t8p til"
0
i'ln 0
1 1;2 °1 2 lc~m
,dl<' - 1<'2 "1 2 k,-~m
lo~
, \'ri,1 ednosti "tr·ansverzG.lnih .'Oil B
XAsin«. + Y ACOSO<-"" 1,028 kX
lr'lsino>G"" 0,133 k.::-r
A
G
101.
1.5: Za nOSRC nn 81.5,15. odrediti:
$[,5,jt;'
':;r;-;;fi:-ko r;je{'c:nje je iznc:-Lo
~.:~n,j e~';)loljR:1n,iih r8nkci,i p,
i !~D' ,; z'_iti;I! urtutT'8?injih
i f~.
;:,-polj2SD.,j0 I'e,l]<.c.iJe odred.e se
kE.O i kod ;lrOGtor; okvir:', t2.ko
da !,8zultccnth t\ i r'e!l;u~i~e
0.) gNH(~ki i Bnp.liti,:;ki 1'8s..kd je
U oc-loncim2_ A i H silu S i 1'e
akclju w:"zglobu G
b) nacrtati dijagrwn .'llom(;Il;:,ta :::;a
vijanjo Zb cijeli nQ[-la(i
ijadano je: Fl"" 2_ k~:;,
_F?'" 5 kN I
Q""o,5 M. m
50"" 2,5 kIT
5,3 kn, ,8 kl'l
1<' ?;!'tV[lri-'jU tI'O;w-L ,;ilG i di'- i'!l sc pr<'Jvci si.jeku u jednoj
t! .Yi<:i. ~-:c';{Qn tOf~a. :'"~' nWl, u z;>:Jobn G r,:~"t;~;vi no. lijevi i de.sni
dio. ;)vd,-je t;ll 2,8 oc!_I'cdile i ;..:' i%. N'vnote7,e lijevop;
S~ lj.~cve strane Gnu 1;: ;:ku. 'ile
tl'oj(ut 3i1o.
-, t;j. z'o_lr '-.\ i i prolazi JrI'OZ D,iihovu presjc-
ci;jek'J m, -"l J edno,l t2:;),i 1.1:) i zB'tv~,r~)ju
LX x - " A "2
"1- f Y A
, Ff;
L:l'lA'" 6}'U- 5,7
(1)
(2)
Gtap ill ..
o
C
II - F 0 c
::;;"n-1 \5 1<'1-+ ;F sin 60 0
?
5 k:i
5,5li'o+l.5i 1- 1 ,5 t.',
6, 32 kl~
= 0
(5) YG" Y11 - El "
(6 ) s - 5,02 kN
(4) XG - - " - Xl,
0
1,87 k;{
0,02 k!J
1"Il) YA~3'cOB 60° - AA',"sin 6oo_B'1"sin 60 '"
l'lG "" 0
Gtap G:i!
3,335 kNm
(1)
(2)
U)
(4 )
(5 )
105
o
o
-E: t l- s in600 4·,35ki'iw
sl.S.jG.
F
A B
+L~,-I') '" 0 (1) 1,,+1: -B'2-q • 1 o (2)
0)
(4)
fA'" 1 kNj 1 kN
? kN;
16.Zo trozglobni n083.6 ne 81,5.16. odredi ti:
8) graficki i analitickj
real{cije U osloncimn b) nacrtati staticl\::e di
jagrame momenata. S8.
vijanja, transverzal_ nih i &.ksijalnih Sil2~
~adano je: HI ""1"i,,1 ki'l
0"'1 l8i
Xa
R-
F;;
p." A
Ii' A
ii' B
. m
1"3 '" 4.,) );::N
1I_1ki~ F-rcm: UL ", ~ ~ru
ii' /i1,. Fq
F;
3,6 ki~
2,2 k;'1
NA '" 0
~ ~ YA~l ~ 1 fu~m 1'1c YA"f-"l'3-F2 '2-JI'q 'o,5
I1L .. Xn"2 '" 2 ldJm
f1k "" Xnoll.-FSol "" -1,5 kNm
Vrijednosti alwijalnih eila u karakteristicnim tackmna
FAA"'-XA.""~3,5 kN FAK"'-XA"'~3,5 kN
Di;jagram zatvaraju t,ransverzalne sil0 stupe. EK 8. to su XB-F
S
~t§:2... BK
FAB""-YB"'- 2 kN ]!'.AK""-YB""- 2 kN
Di,jagram u tacl.d K Z8.t
varajn t.1'aDsverza.lne Bile stapll AK YA-}"1-F2-Pq
Vri.;jEdno.sti G-ransverzalOi:1 Gila :J kF.tl'aKteri~;·tii;
ni:u ta6LamB.
Stan AE.
PTA'" 'fA '" 1 k:i.'l
P~t'{YA."'lkN
FT.B .d .l'TL . F~ "L
FTK
;fA-PI"" 0
YA-Fl-:F2 "" -·1 ldl
Y A -PI -1'""'2 '" -1 kFi
Yfl.-l!'1-F2~Fq -2 kN
XB . 1 kN
Xu 1 ltN
XB-F
3 -5,5 kN
X.B-.F 3 -3,5 kN
106
A
- ],S
-2 ,,:~
.,---
~l ~ -=-1 XA
F" 4 kN ! EI NI
-1 17,l"z3-rJ;'L"ii, Lr0zg1ob ana1.itickio
lTT,f-rrrrfT'TqT'~1k~N~I~m,_~~~ B:1
i grafiCkill '!11.ltem odrediti otpore oslonacu i nacrtati stati(;ke
ui.jHgrH!lle l!10111enate GBvijauj;<:. i
transverz<11nih sila, (SL.5.-I7)
C
~,+~~I~.~ sL. 5, 17
A
II 7
.c. • 0 (1)
YA+T13-1'-J;o '" 0 (2)
YA'2+XA0 4-j'o''S-E,04 '" 0 (3)
d _y~,,~'_6_-_'~,~(~"_. _0_0_______ l4)
1" (i." ) y -.= " 0 2 kil
" -r-(2) Y,'"
" J:;'+:;; q-YB
0 7 kN·
71·' q +4.F-2Y P-O) 1.",
" '+ 5 kH
(1 ) KB 0
" k;T
ll.",,~ !!' 1 em.
U 1 ill L'" 1 em
8,6 k.L1
5,8 kN
v;:-2 Ii '" X + v k A .L j .. '" 8,[, leN
Vl.'i.jednosti JUomenata u kc)rakteristi(;nim tl:JckrilljU
o
o
o
i·' ill,?" 4,5 k'.im
1.08
'l'1;u,:.:verr.,·slne sile u karakteristicnim tt\ckama
X1i "C08 45° - lA"COS 45° ",.[2 '" l~lH ld~
- l<' cos 45° '" - f2 '" - 1. ,41 k1'f
-1' ",-7)kU 3
("J - lB '" ::' ki1
A
·JJ.;:l~[;;I.·,:r: mOlJleIl;:~t;D c;;:,vj,.i:~lljb
uijCigrwn tram;verz81nih sile
B
Y,
- 3kN
log
c --T IB.L::e dati trozglobni nosac
,-- tre bno j e odredi ti
"~"'--"~-~........,~-+---l- a) analiticki i graficki reakcije ,i _ ~
F1 U os1oncima,
I b) nBcrtati dijagram rnomeneta SB-vi-1-'---I~~3_~------:-_~ E janja i trtmsverzalnih Bila.
Zod8no je: 2 kN, ]".J""" kl~'
q 1 kN/m .... CSL.5.1e) A 8
81. 5.18.
c
2\'S
Fq )i'B"" " " '- I )
LX Xp.-X.3+.T:'2-l!'.l '" 0 (1)
:[y Y.A+I"B-Fq '" 0
I:.ri)J.'" Y0"!.H.i\ '2-1<'q "1-1'2"' o
Li'Ld
", YB"1-XB"4-Fl -2 '" 0 --~~--~----------
(2)
(" )
(4)
(0) v IFn +~J:'2-2F"1
" 2,25 kN" '"3 4
(2) .F - Yj) -- 1,75 kif h C
(4) XB 11 B-21'J.
" - 0,4575 kH 4 (1) :Z:, F"l - 1'2 + Y., - 1,4375 kN
" " 1< 2,2] "
k.N 2,292 kif
kn
k(l
Stap AE
FTA "" xA -= 1,43"15 kH Fe
TD '" XA '" 1 j4375 ~~
'" ;:':'175 kJm d FTD XA-P2 1,5625 kN
FTE XA~F2 . - 1,5625 kN
i3tap KF
o
,.~.4-F, -? -g-l '" - 1 kIT
-q.l+YA . 0.75 kN
-q-l+YA-q<'i . -2,25 kN -q-l+'YA-q"::S . -2,25 kN
]'TB L 0,'-1-375 kN n
I'd -''l'll XB 0,4375 Idl
PTH XB-F1 . -1,5625 kN
-i,j·-j-'2° ].0-,)' [, -4_ "'-2 ,2::-·::lhl-provjera FTIl,XB-F1
',,2S -, 1,5625 kN
trClrlfiVerz:,}n-Lil
ihjagr2mi alwijr,lnih ?ilr"
G
LX ;{'ATX3-112 eo 0
I'I YA"t'lB-PL)'" 0
L'ic Yo" ~ '3 sin
d", Y
(3)
(II-)
(2)
(1)
- 0 14 luI
0,898 kiT
-5,4 k:f
kd
111
3,57 hl
1(;.:;,[" z3.d:mi GTOZI!_LObIli 1l0L't<o,SU,-,f{'
oTJterec-e!~ sil,-lmt> Ie "';.; )ci,j
I."?'" ? K", i veli ~i;lZl:l ~),.;, iU
odredi ti:
por~) u 6.s1oI1c:i.m:,~ A i .0,
t: tt. ti ::ke <lLj:. c::.='cme \_l!l~)'l':en-·
te uZC.u(-_'-le i P01)1."2'':rH-' !'i.le).
y n
(-j" ,~, J
(2) (3)
(L~ )
U/.
-Xl, ~ sin 60° + 1i,>- ~ cos 60° '" 1,118 kifm
.,. All ~ i'l sin 60° + YB ~ a co£; 60° '" 0,577 kNm
",in 60° + Yll.
cos 60°
sin 600 + Y cos 60°
>~ XJ sin 60° ~ YB cos 60° XE stn 60° + cos 600
cos 61.',0 - Y't sin 600
Gr][; Goa - J."L ein Goo
cos 60° "T, sin 60° D
co.':; 600 - Y ~ sin 60° H J'1
G
'" 0,7"+5 kN _ 11'1 cos 600
0)577 kN 1;'2 sin 60° '" - 1 ,1.53 kN
),5 ld:· pritisak
II'1 sin Goo", -0\9 priti6ak
". o,79~A kN istezonje - .8'2 G08 Goa'" -0,t!o5 pritisak
G
113
.Aka na tijelo u prostoru djeluje sistem aila onda se
silB maze avesti no. glavni rektor i gl&vui moment • dje10yanje
6.1. Glavni vektor -10 --;. _
F "" i!'l + }'2 + 1;'3 ....... + j~'i
Njegove projekcije ml. ase jecineke Gll zbiru projekcijll
us. te ose:
.L }'lx + + + £'" A U
" '8'1;v + }' ji', -" 2;y +
" 1.;1' j' -li'lz " + + ,/
z 2z lZ
Ul<:U-PBU iutenzitet r8zultcnte svih silD
? + :B'y
svih 8i1"
5 -pr8vac vektora J'8/~lln,c" 8e De. QsnOVU uglov8 kOje rektoI' z8k18p,~
HR osama koordillatnog sistemA.
cos oL '"
6.2. Glavni moment
GIRvni moment iIi moment rez,ultcillte prostornog sistema suceJjr;ih
silo ZP 08U ,iecino.k je zbiru momenr;tto'. komponentnih fiila Z8 tu :]1'U Z
'fA P ZA S z
.-!r ;i z F 'Xl;. ,.
Y A x Z
A
d x. F SA F z ~~ y x ,)'''--.------y .I[,6,~,
l'1oment l1eke BilE', ZD QBU je umnoznk sile i nH,jkraceg rgstojEtl1jD te
sile Z8 OEli. J\'!oment sile nr->stoji do. zarotira tijela ako te 08e.
Uzim2,ce 5e da je moment pozitivall liko je Sl1protnog smjeI's od smje
ra kaz01.jke no. setu,
:-'.1:~H koje' je paralelna osi ne pr8.vi moment 1.8 tu asu, jer ne mo?oe
. '3'iZH.ti rotaciju tijela aka ase nego sarno translatorno pomjer0-
D~ic. f~:i.l1 (::i.ji pravac sijece osu nema rastojenja u odnosu na aBU,
pn ni takva si1a ne pravi moment za OSU koju sijece.
F,.3. uslovi ravnoteze prostornog si.stema sil€V
~~,a bi ti~ielo j)od djelovanjem prostornog sistema sila bilo u r8vno
f.:;e:>.::l. mora biti ispunjeno 6 llslova rflVTIoi;eze
[y " 0 t,j. de. tijelo
pOd c.jelov:o.njem sila nemB. pomjeranjB. nl u jecinoJil od " prc.veD U
::>::COS"GOl'U
LOt: 0 r:;. () tj. dOl. ti,jelo pou
" ~l;,ieloY6.njem 3i1a nemEl. rotacija nl 0\\0 ;jedne 0.,:8 .k:oordirH:t!)O[!; :::i::,,-
:,d. v·?,~l'nol; Lijell' U !!l'01.;toJ.'U i;rebr;,. n·.·'ol'~:viti ':lo[Jodno, CHko db
:',' veze uklone, ,I njihova d.jelov~'n,le zf,mi,jBlli l'eiJkcij8ITlI' VCZt',.
c,:()ordinatni slstern trebb tJo,c,'t:,vi t;i tnko dr. j"'; o030dM zo· "9l.'ojek
t,oV"snje ro:ila. !..Jod djelovrm;jem t'ktiv;::lih sili~ i rf'8kcija veLIe:: ti;j(>
10 jf' U rfl.Vnote::Si i V<17.8 u[~lovi. r~ vnote~;,e p·iMtemC\ silf. 1J Ul'OFtOY'U
n'lVedeni u tr.(iki 6.7. l:'ost8vljen1 1.1o;1ovi r8vtlote0.e pre<ist8.vljr,jl1
.si;·~tem jeQ..'1u5ine sa nepozn"t;:i.Jll 1'8!.X:ci;j!'m;;'. iz kojih 28 odreij1Jju
ne::>0Zf]ate sileo
Zadaci
1. Na koeku, strane 8'='10 em, djeluju
sile prikazane na sL6,2., VeliGine
y
svih SilB fill jednake i izn088 F".·lo kLIj.
i:)v€sti ovaj cistern sila ns prostiji
o x SU;.t,
Projekcije gl2.vnog
obUk.
h~jesenje:
vektoru H[;i ose
t,
10
Fs C
1012 B
" ~ ' ,c
~' "" "
[)
10 (.[2 ... -{f) 19,87 ld~
it' z 10 (.c+ Jf.l Intenzitet glavnog vektora
Ue;lovi koje glHvni veltto:!:, zaklDllc. UD nl'~)vcima o~e.. X, ~/ , Z
F -----L§1. cos oL '" z 0,0657 -y- 25,43
cos f-> '" ~ 0 ~~'2~ 0,781 , , .' F
~ cos ~ '= -:f- 5. (? 0,62.0
rrojekcije gJ.3vnog momenta na ase
ri x
M Y
a - .F'2 8. COB ./j·So
"'-10"10+10"10-10'10 4- '" :i."" a sin L~5° + ii'')
a +
-50 J2 '" 45° - Ji 4 a a sin
j .f2 <-
10,10 2 -I- 10-10 lo~lo '" lao
oC " 86 ,:2. 0
0" 58 ~6 0
Jt" 51,67 0
~~9,29 ldfcm
(.]2-1) 41~42 kNcm
Llf
.lntenzitet glavnog moments
87,01 kdcm
Uglovi koj e glavni moment zaklapa sa pravcima osa
CaE d1
cor; [31 i'iy -,-\-i'l
Z -,"l-
_ 29.29 _ n~r - 87,01 - 0,)..100
70 7 - ~ = - 0,81;:5
lj·l,42 87,01 0,4760
f.l "301~
0& 70,33° 1
f\ 144,34°
,)<1 61,57°
2. 'l'ri si1e dje1uju nB. pravou
gaoni paralele-piped prema
SLb.3. Svesti zr,dani sistem
sHe na glavni vektor i gla
vni moment u ta':ki O.
hjesenje;
0[J-r~. b.Y
i:'rojekcije e;'lavnog vektora na 08e ~6~~tgo(",.Q a
X t 'cL sinoL", ~_
13.1..6.3.
- F'l sind.- }'3 sin(:>
4 .., _4_'_
B' Y
-40 -.:±:.... -30 ,f4i * "" -48,9) 1'1
FI cosd, e
40 --L... {iii
. 31,23 H
L' COG (3 + .P2 3
30 ;, ,. 50 ~)2 11 5
Intenzitet glnvnog vektora
j~':tg~
.F "IF 2+ } 2+ } 2- '" V(-48 ,99)2:- ,1 232 + 3;2 x -;; z '. ,
i" '" 66,3) ;~
[4i
117
Uglovi koje glavni vektor zuklapa sa
pravcima osa Xl y, Z
1<'
~~'~~ cos 0('" x - = - 0,7366 -V- , " F
''H3 cos ~,'" -jl b , 0,4718
, :;;?
cost'" " . 0,4824 ---v- 66;53
Frojekcije glevnog momenta na ose
- 1<'1 e eoseL _. j< 3 a COG (6
"
ct, =; 137,6°
(3~ '" 61,8° ~ '" 61,2°
-4o --L6-3o {<u
-5- 10 ~ - 367,41 Nelli
- H c 1
- 40"6
sino(. - It'2 b
-2.. - 50"S -549,95 i'km I4l
F3 f'i sinp
·)0" 10 .....L . 5 489,88 Hem
Intenzi tet glavnog momenta
tg f~ % ., * sin(l. + , cosfb '" 5
Ug10vi koje glavni moment z8.klapa sa pravcima Dse. X, y, z
Ii ~~;Z,41 eli 116,5° x - 0,4464- " cos eL
z fr L?,oll-
J"i 51;9,93 131, gO COB 1', .....JL - - 0,6682. 1',' ei 8.<::'3,04
t-1 53 150 cos I,
__ z 0,5952 I'\' " {'1 , '
~Tcro
z
z
z I(
3. HOIllogena kVDQl'fltnfJ plo.\fl, tWl,i
ne ::.; i ,; l;r,micR Q, veu,nf~ ,1 e
sfernim zglobom L i cilincirE~nim
B ZI:' post;olje, A \1 QF-tom polo7..li
;:iu pre~H\ sL6A. ocil':7;<Jve je U7,8 CL ",
6£\ plo:~u je, u tEen .11 ok!'den
toret -:,,2 G, r) u t:~dti i:. dj81u;j~
I:lila j,<'",G. Od.r0.diti l"e<1kc:i.jf' 11 1e
?iGti':l~; i silu 'l1 111,e[;11 i(I,:,.
(4)
0)
(1 ) i" '" A
CO:3 600
" 0 0.)
!'",in
(I.:, )
f) COB
(1)
())
(2)
z
Ll'\ 1o~E a G , ;S
'} .['1 ,- "y - Zn a -- 11'E
I.HZ L 8. - "' ,
,'j "E ;:;
1F
cos
8. ;S
cos
3o() ,
sin
4, Homog~ma kvtVl.ratnn ploca ne,
u]. f;.5 stranieB a i teZine
[)
G vezana je sfernim i cilin
dricI"'.im zglobom u tackama A
i B~ U tacki E nn sredini
strane CD ploca je za podlogu
vezana llomo6u stapa koji je
ok omit na plocH. Pl.olia sa ho
rizonta1 nom ravEi x;v 7,atvarn
ugao r:/..", 30°. U ravni I>:Lo,~e
(ljel'lje moment SP).'{"CCi. 11. Or1-
rediti l'oakci,je '.lslon8ca.
ZaclrnlO je G
r1 = 10 K:llm.
0)
(4)
6o o+G "-2' sl.n ?I./" () (5)
6oQ+H cos '/ (J jO 0 «(, ;.
'" L:-,33 Jdi
- l,B?5 kN
'" '), ',ILl kN
FB ' II 7 2-r'7'; I J', '-'j:'. ~) ,8 idJ
y
1'./.0
5. Pravougaona vratu ABeD tezine G"'150 N dimenzija 2x3 m mogu se okretati ako esavine AB. U tacki A vrata su vezana sfernim zglobom a u tacki B pOmicnim osloncern. Vjetar jacins 100 N/m2 djeluje na vrata paralelno ravnini x A y pod uglom odcl=6ooe U tacki D vrata eu vezana uzetom za taeku E, gdje je AF .. ",l m. Odredi
ti velicine reakcija u osloncima i sHu u uzetu DE. (sl.!;.s,)
Rjesenje:
LX '" XA+XB+S sint{-W sin 600 " 0 (1)
IJ Y A+YB-S C06~+W cos 600
"" 0 (2)
LZ ZA - G " 0 (3)
[Mx'" -G·I-W-l,5 cos 6oo-YB"3",-O (4)
I::My'" XB'3-Wol,5 sin 600
'" 0
I.Mz'" -8·2 131no(+ W sin 600 .1
W p.A '" 100·6 = 600 N
(6)
(5)
(2 )
(1 )
s W·l sin 60° 2 sino(,
W·l,5 sin 600
3
580,96 .N
'" 259.8 N
YA,=Scoso(-Weos 6oo-YB",,419,63 N
XA",Wsin6oo-Ssino( -XB '" a
JJ'A=VX/+ y A2
+ Z/'" 445,63 N
FB",~2+ YB2 ~ 327,23 N
IF H
A " y
y D
31.6.7.
z V, B
X,
Q c
~l F
ZA Y, Y x;, A 30"
X D
12'
6. Vertikalno postavljena homogena vrata ABeD tezine G i strana a i
2a nalaze se u ravnoteznom polozaju. U tacki C vezano je uze CE prebaceno preko kotul'a E. na cijam je kraju vezan teret Q. Dio CE uzeta paraielan je osi y. Vrata 9U u ravnotezi pod uglom~"'30o U odnosu nB vertikalnu ravan Axz. Odrediti velicinu sile F koja djeluje upravno na vrata u tacld H (DH~CH"'AD~BC=a) kao i Bve reakcije veza. Uzeti Q,,,,2 G. (SL.G.7)
RjeSenje:
LX XA+XB-F sin 60° " 0 (1)
LY YA+YB+F cos 6oo_Q, 0 (2)
LZ ZA - G " 0 0)
r:i'~'" -G i::. cos 2
3oo_F a cos 600
-
+Q' 2a - Yi 2 a 0 (4)
EM '" Ga. 30o-F sin 600 y 2" nll a +
+ XE 2 a " 0 (5)
r I'1z '" F . - Q s sin 30 0
" 0 (6)
F '" Q sin 300 ~ G (6)
(3)
( ,)
ZA '" GoG Q2a-Fa cos 60 - ~ cos 30°
YB'" {! a
(2)
(5)
(1)
i," -%- (14 -0)
7. Vrata teiine G",lOQ N vi8ine 2 i Sirine
51.6.8.
A ...... ::::.-- - -" ,
Xt / '....... _ I ./ ~ (I
ig ~d-~2-. - ~'- it( XB ~
Y 0
1 ill u::v:rscena SD U t3.ckruna A i B. U ta
<'Ski c..: privezano ,jR uze koje je prebaceno
:preko koloture B Koji odgova:ra polozaju
zatvorenih vrata. Na drugom kraju uzeta
objesen je teret ~;do N. Trenje se zane
maruje. Odredi:
a) silu F koja d;)eluje okomito na vrata
koja je potrehna da vrata ostl.''JlU otvo
:rena pod uglom oG~'~oo (Cr;"ED),
b) real;:cije u lEzUjtimE vratn A i B. (,5L.6.8.:
Rjesenje:
LX XA
+ XI3 + ii' cos 3oo-'~i cOP 15°- 0 (J)
{:,D - G e- (J
-Q.2 sin 1.5°.<; I . . '2 -Y
A . 2 0
(2)
(3)
60° .1-(LJ-)
-q·2 cos 1::;;°+]'-1 cos 30o +G
- X, • 2 0 A
~sin?;o' +
(5)
(6)
(6) Ii' "'" Q cos 15° '" 9,66 N
ZB '" G "" 100 N -* sin 300-Fcos)oo+2Q,cosJ.5° Xrl" 2
X.D,"" -7,o?? N
8,317 N
l'cQP 60°_ ¥cos :'00-20,81n 15°
? - 21,.>325 N
(2) YB
", i" sin 30°_ Q sin 15°_ 'fA
Y.8 '" 211-,055 1'1
li'A "'VlAf-+--~:'2 '" 22,93 N
/2---'~',"i -- :-22 '" 10 A ,2 IT jiR~VXf3-+1B ;-J B --'
R
E x
81.6.9.
1')-::-
8. Homogena placn oblika i dimenzija kna nB sl.G.9, vezana je Z8 vertikalnu asovinu u tacki A pomo6u sfernog, a u tacki B pomo6u cilindricnog zgloba. U tacki D vezano je uze ciji je drugi krja vezan ze. podlogu u tacki E~ Te-· Zina ploce je G"'5o kN, ann ploeu dje·,
luje vjetar w=lo ~ • Od.red.iti sve rpakcije vezn. Zadano je: AC""Alk-2R, AB=JR, EA",R, R=1 m.
Rjeseutie:
ABCl)
(21i- ~H) .. !--
YT" 0,797 ill
(6D2. n2JT) W '" A W" H - -r 10-00 ll-4,:, kN
LX"", XA+Xn+,S sinc;(-W sin 600 0
L:Y", YA+Yp,-S coso/, +t,.r cos 60°," 0
LZ- Z1, - G_ 0
(1)
(2) (3)
L:l'lx"G y'!.\+\t} ZT cos 60°;-YB" 3 R 0
,[ t'1y"-Xn 3R -W Zl\ sin 60°", 0
:Ll'1z"'- S 2R sincL-W Yil\sin 60°", 0
(4)
(5)
(6)
(2)
(1)
12i-
sJ..6.1o.
Stativ iron osnovu ravnostranog trougia sa stranicnma a~40 em. TeZina stuba stativn koji je ucvrscen u tezistu osnove je G=120 N. Duzina pokretnog dije
In Eli",l"So em u ravnoteznom polozaju je paralelna sa stranicem AB osnove. (~!. 6AO)
Odredi: a) najve6u vrijednest
tereta Q, u tacki H, a da ne do
dje do preturanja; b) 2a zadaui Q= 30 If izracunati
~elicinu reakcije u tackama A, BiD. 0810nci 1l.B i D os1 Rnjaju ; L-- H se nn glatku povrihnu.
I 16 RJesenje'
I- 1'. ~ e
o 2:X,O (12
(,~~8 , t Q, 120
o
o
LMX'
rfiy'"
'[)\'"
o l"A~· !i'E".F n-Q-G '" 0
:!i'B ~ - Ji'A ; - Q L '" 0
,,' S -(F +1f )-+- "' 0 -n 3 .A B J
o
0)
( 5)
(2)
(3)
(4)
(5)
(",)d5)
('),(5)
3fl} '" G
~:FB IiA
F", ~ 1j )
o -"k.. Q a '
b)
I J<'B + FA " 1 l'B"'T
FA "'+ ~ 2 3
(G+Q) + + Q
(G+Q) _ --L Q a
mo7.e biti negativna pa pOBtoji Hslov
(G+Q) - -"- Q 0 a Q<34.3N
S N
125
'I u~---
10. }lomoeu cekrka prikazanog ne
81.6.11. podize 5e ravnomj erne
teret Q=loo kill. l'oluprecnik
dobose R"'5 em, duiiml rllcice
KD=40 em, duzina DA"'5o cm~
AC=40 em, CB~60 em. Uze se odvija sa dobosa u pravc,u tangente nagnute pod uglom ad So()
prema hori.zontali. Qdrediti
pritisak P na ruCi.cu DK kao i
otpore oslonacB A i B 33 polozaj cekrka kad tie l'uC1 C8 D[{ horizontalna.
K D
81.6.11.
o
(6)
(5)
(4)
Rjesenje:
LX = XA*XB+Q cos 6oo~ 0
L Y (l
rz 'lJ\+ZB,.Q sin 6oo_P", 0
.L:11 eo ZBXB+Q XC sin 6oo+F XD""-O x
Ll1 ' y Q R - P KD 0 (l
1: M ' Q kC cos 6oo+XB AB '" 0
z
x _ Q lie cos 600
B- hE - 20 kN
P '" -ibf- "" 12,5 kN
P AD+Q AC sin 60° ZB= - AB
ZA P - Q sin 60° - ZB "" - 35, 7 kl~
X A - Q. cos 60° - XB => - 30 kN
.F·A
", ~2~ 46~63 kN
FB'" V;B 2+ ZB 2 43,29 kN
(5)
(G)
;--r ,
o Q
114 Na vratilu AR duzine L=l) ') ill ::i.
tef.ine G~loo N nalaze se'dvije
remenice po1uprecnika 1'1"'20 rum
i r2"'15 mm i tezina Ql=3oo N,
~=25o N. Remenice su rasIJore
djene nB, d.uzinama AC=o,) m
B Y
AD:l m od lijevog lezista Ae
Remen nn p.t'Voj remenici C gradi
5L.6.12. .sa pravceffi horizonte.1e ugao ,;(,:< 30°, a aile 5U F~=2 Fl " 011,1'2
grane remana ne. drur;o j reml3nici
J7 BU llOrizontalne, a .9il~".U D,lima
r .[' 8 -B _, 131.1 1"2' '" 21"...,,,,2lj·oo N. Odrl0di ti ve-
lrt=oAl I. J ~ C . \' '-F~-' · ..... Ueine sila 11 g.rana.tna remeua na
/. /X8 P~V()j. ~el~(miC~: >; kao, i. otpOI'E) ci-/11 hnd.rlcnJ..h lezu,ta J~ 1. B (sL6.12),
sin ),)0 _i<'{ (J
(1)
(2) (3)
"'B ,.~t-? 1 sin 30 Girl o (4.)
:;;.~, Y'1-1\ 1'1-112
" Xn Xn+E';? AD+F;,
r 2 +
li.1)+ F-j
HI r 2 2 o
21<\ r1-'E\ r 1 -F2 r2-t 2 F2 r2 '"' 0
F'l r 1 r;::
1200 N i pi ~ 2 ~ . 1 ~J'LlZ
-3958,8
·-13'/9,ll
Ii
Ii
(5)
(6)
127
s1.6.13.
12. Placa 8.xb, tezine G~6 kN Qslanj,g S8 ne stapove premB.
sl.G.'!:. Duz, stranice AB dje
luje sila F~9 kN. Odrediti
8ile u stapovima ako je
a~b~5 m, c~4 m, d~2 m+
Rjesenje:
c 'I tgoZ= -a '" 5
sin 0(. '" -i- , cosoL= '5 [,;1 V4i tgf3 ",.~-
4 S sin A '" - cO~ f'
1- \f41 "'IJ
"" ~
d J2 tg'f 0 -;Cr=·· ~.~ , -5
1/ a2 +b2
sin\p '" J2 127
if' 45° KC-sta-p I LC-stap 2 B:c-stap '3 HB-stap 4 GB-stap 5 DE-stap 6
cos'f '"
1. FlOB '" /j :i-BDE'" P 'I:ADB .. );'--'
;, DCK .. r:t
LX 81 LY -83
coso\. + 85
cosd..-S6 cos'f sin~ -,F' '" 0
cos (3 - 8 6 cos If cos r.r- '" 0 - 8
1 sinc{.- 8
5 sinoC- 8
3 sinj3-G+s6 siny> -84 '"
(1) (2.)
0 (3) LZ -82 b
r::.nx':O S2b+Sl Sind..b+s3sinr-"b+G '2 - S6sinrp·b " 0 (/+ )
[My'" .? 1- - 86 sin'f·a "" 0 (5)
(6) LM· Slcosd..ob , 0
" (6 ) 81 0 0) 8" - 16,2 leN
(4) 8 2 6 kN (ll 8 5 21,1 kN
(2) 83 - 9,62 kll (5) 86 11!03 leU
(1 )
(6)
(2)
0)
S,:,_'" _ 0, ,c' t-
12&
13~Kvadratna. ploce. prikazana nn 81.6.1//.
ciju tezinu zaneroarujemo opterecena
je sHom J:l'~
Odredi velicinu i kSl.'Elkter sila u
stapovima kojirna je ploca poduprt;a~ Zadano: F~2.104 N, a ~ 1 m
R~ieRenj6-:
Latezan,je
pritisak
(1)
(2)
(5) (6)
83
" - 84 cos 45° '" - 2-104 N
81 '" -f,,-Slj cos 450-S2cOS 45°
2"104- N
pri ti.sak: "
85
'" - 82. '" 2~'1oll' N
86
", -
86 " -
z~tezanje
• J.",O <, • 'co s~n "j'.' -""5sln !'/
pritisak
Q
(2)
129
Ilj·.Homogena kvadl'utna ploes sa
stranicams a i tezine G~2oo N, ucvrscena je sfernim zglobom u tacki A i poduprta sa 3 stapa
u tackama B, C i D. U tackL D djeluje sUa F",2 G. (sU;.fS)
Odredi reakcije zgloba A i sUe
u stapovima 11 '2 i 3 (h~a\/2).
Rjesenje:
[X",XA
-·ll'-fJ2
coso(cos 45°", 0 (1) '-y- 0 S i ,,,0 0 (-I) L ",y A+ol cos'" - 2coso(.s n +':-1 '" <.:.
LZ",-ZA-G-S2siu,x-81 sinp.-S3"'O C:'i) [f1x""G ~ +Slcos[haJ2+s,a +YAa[2",O (l~)
Li'1,"}' =+28 XJ~1J2+S1sin~a-F a", 0 (5) :) . l ,
(6)
r'
150-12 -4-00
187,87 H
300 v'2 - 1600
52" - 1175 j 71+ 11
Y A "82
cos<'(sin lj·50-51 cos,r:,"-'15ov2-1200
y A"'" -98'7,87 N
83
" + -81 J2 cos f;) -y AJ2",soo.;i;-4oo 83= 731,37 N
ZA" G+S28inc{ +SlsiDj3+S3'" 100+400\12
ZA'" 565~69 N
I, I 'r ERA TUn A
1. D.Baskovic: l'lehanika I, Stat;ika, Naucna knjiga,
Beograd, 1978.
2. L. Rusov: T1ehanika, Statika, Hauena knjiga 1
Beograd, 1978.
3. I'1.Kojic: Statika, Naucna lm,iiga, Beograd, 1979.
4. lIJa8i,~: Stat:il<;a, Svjetlont, Sarajevo, 1985.
t::: J.\!.I"IeGr~e('ski: Zbirka zadataka 1.z teori;jske mehanike,
gradjevinska knjiga, Beograd, 1975.
Go ~'.LJjuric; Zbirka zndatakn iz grafostatike, Naucna knjiga,
Beograd, 1979.
,