Cyan Magenta Yellow Black Cyan Magenta Yellow Black PROBLEMY WSPÓ£CZESNEJ NAUKI TEORIA I ZASTOSOWANIA AUTOMATYKA PROBLEMY WSPÓ£CZESNEJ NAUKI TEORIA I ZASTOSOWANIA AUTOMATYKA Zygmunt Hasiewicz, Przemys³aw Œliwiñski Zygmunt Hasiewicz, Przemys³aw Œliwiñski Falki ortogonalne o zwartym noœniku *** ISBN 83-87674-95-8 Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT Warszawa 2005 FALKI ORTOGONALNE O ZWARTYM NOŒNIKU Zastosowanie do nieparametrycznej identyfikacji systemów Przedstawiamy Pañstwu seriê wydawnicz¹ "Problemy Wspó³czesnej Nauki. Teoria i Zastosowania", w której ukazuj¹ siê publikacje pre- zentuj¹ce aktualny stan wiedzy w wybranych dziedzinach nauki: INFORMATYKA, STATYSTYKA, ZARZ¥DZANIE, ROBOTYKA, AUTOMATYKA, IN¯YNIERIA LINGWISTYCZNA oraz MEDYCYNA I INFORMATYKA. Monografie naukowe publikowane w naszej serii wydawniczej czêsto s¹ podstaw¹ do uzyskania przez ich autorów stopnia naukowego doktora, doktora habilitowanego czy tytu³u naukowego profesora w okreœlonym zakresie nauki. Tytu³y prezentowane jako podrêczniki akademickie wielokrotnie wyró¿niane s¹ nagrod¹ Ministra Edukacji Narodowej. Wszystkie pozycje wydane w tej serii zosta³y wysoko ocenione przez Komitet Badañ Naukowych przy ocenie efektywnoœci polskich placówek naukowych. Nasze publikacje adresowane s¹ do polskiego œrodowiska naukowego oraz do wszystkich, którzy pragn¹ pog³êbiæ swoj¹ wiedzê i rozwin¹æ w³asne zainteresowania. W gronie autorów mo¿na znaleŸæ wybitne autorytety naukowe i znane nazwiska twórców wspó³czesnej nauki – polskiej i œwiatowej. Zapraszamy do wspó³pracy – prof. dr hab. Leonard Bolc, Instytut Podstaw Informatyki Polskiej Akademii Nauk, ul. Ordona 21, 01-237 Warszawa, tel. (0-prefiks-22) 836-28-41, e-mail: [email protected]Informacje o ksi¹¿kach wydanych w naszej serii dostêpne s¹ pod adresem: http://www.ipipan.waw.pl/~bolc/aow.html Na stronie www.exit.pl znajduj¹ siê ksi¹¿ki dostêpne w sprzeda¿y internetowej. Mo¿na równie¿ korzystaæ z adresu e-mail: [email protected]
22
Embed
Zastosowanie do nieparametrycznej identyfikacji …diuna.ict.pwr.wroc.pl/hasiewicz/falkiortogonalneozwartymnosniku... · Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT Warszawa 2005 Zygmunt Hasiewicz,
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Cya
n Ma
ge
nta Ye
llow
Blac
k
Cya
n Ma
ge
nta Ye
llow
Blac
k
PROBLEMY WSPÓ£CZESNEJ NAUKITEORIA I ZASTOSOWANIA
AUTOMATYKA
PROBLEMY WSPÓ£CZESNEJ NAUKITEORIA I ZASTOSOWANIA
AUTOMATYKA
Zygmunt Hasiewicz, Przemys³aw Œliwiñski
Zyg
mu
nt H
asiewicz, Przem
ys³aw Œliw
iñski Falki o
rtog
on
alne o
zwartym
no
œniku
***
ISBN 83-87674-95-8
Akademicka Oficyna Wydawnicza EXITWarszawa 2005
FALKI ORTOGONALNEO ZWARTYM NOŒNIKU
Zastosowanie do nieparametrycznejidentyfikacji systemów
Przedstawiamy Pañstwu seriê wydawnicz¹ "Problemy Wspó³czesnej Nauki. Teoria i Zastosowania", w której ukazuj¹ siê publikacje pre-zentuj¹ce aktualny stan wiedzy w wybranych dziedzinach nauki: INFORMATYKA, STATYSTYKA, ZARZ¥DZANIE, ROBOTYKA,AUTOMATYKA, IN¯YNIERIA LINGWISTYCZNA oraz MEDYCYNA I INFORMATYKA.
Monografie naukowe publikowane w naszej serii wydawniczej czêsto s¹ podstaw¹ do uzyskania przez ich autorów stopnia naukowego doktora, doktora habilitowanego czy tytu³u naukowego profesora w okreœlonym zakresie nauki. Tytu³y prezentowane jako podrêczniki akademickie wielokrotnie wyró¿niane s¹ nagrod¹ Ministra Edukacji Narodowej. Wszystkie pozycje wydane w tej serii zosta³y wysoko ocenione przez Komitet Badañ Naukowych przy ocenie efektywnoœci polskich placówek naukowych.
Nasze publikacje adresowane s¹ do polskiego œrodowiska naukowego oraz do wszystkich, którzy pragn¹ pog³êbiæ swoj¹ wiedzê i rozwin¹æ w³asne zainteresowania.
W gronie autorów mo¿na znaleŸæ wybitne autorytety naukowe i znane nazwiska twórców wspó³czesnej nauki – polskiej i œwiatowej.
Zapraszamy do wspó³pracy – prof. dr hab. Leonard Bolc,Instytut Podstaw Informatyki Polskiej Akademii Nauk, ul. Ordona 21,01-237 Warszawa, tel. (0-prefiks-22) 836-28-41, e-mail: [email protected]
Informacje o ksi¹¿kach wydanych w naszej serii dostêpne s¹ pod adresem: http://www.ipipan.waw.pl/~bolc/aow.html
Na stronie www.exit.pl znajduj¹ siê ksi¹¿ki dostêpne w sprzeda¿y internetowej. Mo¿na równie¿ korzystaæ z adresu e-mail: [email protected]
FALKI ORTOGONALNEO ZWARTYM NOŒNIKU
Zastosowanie do nieparametrycznejidentyfikacji systemów
PROBLEMY WSPÓ£CZESNEJ NAUKITEORIA I ZASTOSOWANIA
AUTOMATYKA
Edytor serii: Leonard Bolc
Akademicka Oficyna Wydawnicza EXITWarszawa 2005
Zygmunt Hasiewicz, Przemys³aw Œliwiñski
FALKI ORTOGONALNEO ZWARTYM NOŒNIKU
Zastosowanie do nieparametrycznejidentyfikacji systemów
29.1 Parametry wskaznika jakosci modeli empirycznych . . . . . . . . . 22929.2 Porównanie czasów wyznaczenia modeli zagregowanych . . . . . . 23629.3 Porównanie czasów wyznaczenia modeli zdekomponowanych . . . 23729.4 Błedy modeli dla nieliniowosci wielomianowej . . . . . . . . . . . 238
11
Przedmowa
Niniejsza monografia omawia zastosowanie ortogonalnych funkcji falkowych zezwartym nosnikiem do nieparametrycznej identyfikacji nieliniowych charaktery-styk systemów dynamicznych o złozonej strukturze z losowym wejsciem. Zamiaremautorów było całosciowe przedstawienie problematyki. Stad rozwazania rozpoczy-namy od przedstawienia w czesci I podstaw teorii falek oraz koncepcji wieloroz-dzielczej analizy falkowej. Po sformułowaniu podstawowych zasad analizy falkowejw postaci czytelnego zbioru postulatów wyprowadza sie z nich nastepnie równaniadefiniujace funkcje falkowe oraz warunki jakie powinny spełniac współczynniki tychrównan dla otrzymania ortogonalnych baz falkowych. Starano sie tu przedstawicpodstawowe fakty w sposób mozliwie prosty i przejrzysty, rezygnujac na przykładkonsekwentnie z prowadzenia rozwazan w dziedzinie zmiennej zespolonej i ograni-czajac sie wyłacznie do stosowania elementarnych operacji w przestrzeni Hilbertafunkcji zmiennej rzeczywistej całkowalnych z kwadratem. w ten sposób otrzymujesie kolejno równanie skalujace, równanie falkowe oraz kompletny zbiór wymagandotyczacy ich współczynników, gwarantujacy otrzymanie falkowej analizy wielo-rozdzielczej. Rózni to zastosowane podejscie od podejsc stosowanych w literaturze,gdzie korzysta sie w tym celu z metod analizy harmonicznej, i ułatwia naszym zda-niem zrozumienie istoty analizy falkowej.Ze wzgledu na centralne znaczenie i szczególne własnosci, główna uwage sku-
piamy na falkach ortogonalnych o zwartym nosniku. Przedstawiamy kolejno postacrównan definiujacych takie falki, zalezna od przyjetego nosnika, oraz omawiamywłasnosci i zasady otrzymywania tego rodzaju falek. Poniewaz funkcje falkowenie sa ogólnie okreslone w sposób jawny i zachodzi koniecznosc ich konstrukcjimetodami numerycznymi, podaje sie w szczególnosci algorytmy do szybkiego wy-znaczania wartosci funkcji falkowych w punktach binarnych ich nosnika. Jak sie todalej pokazuje, ich znajomosc wystarcza do efektywnego rozwiazania rozpatrywa-nych zadan identyfikacji. Zwraca sie uwage na szeroki zakres swobody przy kon-struowaniu falek oraz mozliwosc dowolnego kształtowania podstawowych własnoscifunkcji falkowych na etapie ich syntezy i łatwosc tworzenia konstrukcji własnych.Obok konkretnych schematów obliczeniowych oraz gotowych procedur numerycz-nych do wyznaczania funkcji falkowych podajemy w ksiazce takze szereg adresówinternetowych, gdzie mozna znalezc oprogramowanie do obliczen falkowych w róz-nych srodowiskach programistycznych. Po omówieniu konstrukcji funkcji falkowychprzedstawia sie rózne klasy modeli falkowych funkcji całkowalnych z kwadratem,odpowiadajace róznym (ale równowaznym) bazom falkowych przestrzeni aproksy-macji. Omawia sie modele lokalne (punktowe) oraz globalne (przedziałowe) w po-
13
14 Przedmowa
staci zdekomponowanej oraz zagregowanej. Dla tych modeli dokonuje sie ocenywystepujacych w nich współczynników oraz przeprowadza analize błedu aprok-symacji powstajacego w przypadku typowych klas gładkosci aproksymowanychfunkcji nieliniowych. Bada sie współzaleznosc jaka zachodzi pomiedzy regularno-scia aproksymowanych funkcji oraz własnosciami falek zastosowanych w modelachi wpływ tej relacji na zachowanie błedu aproksymacji. Jako przypadek szczególnyrozpatruje sie czesto wystepujaca, badz zakładana w zadaniach identyfikacji sys-temów, charakterystyke wielomianowa i przedstawia jej zwiazek z modelami fal-kowymi. Pokazuje sie, ze odpowiednio dobrane modele falkowe moga bezbłednieodtwarzac funkcje wielomianowe. Rozwazania czesci i uzupełnia krótka dyskusjana temat gładkosci funkcji falkowych, przedstawienie zaleznosci rekurencyjnychzachodzacych pomiedzy funkcjami falkowymi w róznych skalach oraz prezentacjaalgorytmu do szybkiego wyznaczania współczynników w modelach zdekompono-wanych.W czesci II charakteryzuje sie rozpatrywane zadanie identyfikacji. Przedsta-
wiona jest klasa rozwazanych systemów o złozonej strukturze blokowej, przykładykonkretnych struktur, scharakteryzowane sa mozliwosci pomiarowe oraz okreslonajest nieliniowosc bedaca obiektem identyfikacji i podane ogólne załozenia o sys-temie oraz losowych sygnałach. Tytułowy termin identyfikacja nieparametrycznaodnosi sie do charakteru zadania i oznacza, ze w warunkach wstepnych nie wymagasie znajomosci identyfikowanej charakterystyki z dokładnoscia do parametrów leczdopuszcza wyłacznie jakosciowa, nieparametryczna, wiedze wstepna, zas jako celzadania stawia wyznaczenie całej nieznanej charakterystyki nieliniowej, a nie tylkoskonczonego zbioru współczynników jej parametrycznego modelu.Czesc III dotyczy falkowych algorytmów identyfikacji nieliniowych charakte-
rystyk systemów. Omawiamy w niej empiryczne modele falkowe otrzymywane napodstawie losowych pomiarów, odpowiadajace rozpatrywanym w czesci i falko-wym modelom funkcji nieliniowych. Przedstawiamy przykłady empirycznych mo-deli otrzymywanych dla typowych klas funkcji falkowych. Badane sa w tej czescistatystyczne własnosci empirycznych modeli falkowych, zarówno asymptotycznejak i dla skonczonej długosci ciagu uczacego, najpierw przy załozeniu, ze skalazastosowana w modelach falkowych jest ustalona. Odpowiada to wersji zadaniaidentyfikacji z parametrycznym modelem falkowym o skonczonym rozmiarze. Na-stepnie rozpatruje sie własnosci modeli przy wzroscie skali. Bada sie tu zachowaniedwóch typowych składników błedu modelu, deterministycznego oraz stochastycz-nego i przedstawia warunki probabilistycznej zbieznosci modeli do identyfikowa-nych charakterystyk przy wzroscie liczby pomiarów. Rozpatrywany jest asympto-tyczny bład modeli oraz omawia sie problem własciwej kalibracji modeli falkowychpoprzez odpowiedni wybór skali, gwarantujacej osiagniecie optymalnej asympto-tycznej szybkosci zbieznosci. Wskazuje sie na zalety jakie wynikaja dla zadaniaidentyfikacji z zastosowania modeli z funkcjami falkowymi o zwartym nosniku orazmozliwosci swobodnego kształtowania własnosci falek.Czesc IV omawia praktyczne aspekty identyfikacji falkowej. Przedstawiamy tu
algorytmy uwzgledniajace mozliwosc łatwego wyznaczenia wartosci funkcji falko-wych w punktach binarnych. Odpowiednie uproszczone procedury obliczenioweidentyfikacji wykorzystuja prosty schemat aproksymacji funkcji falkowych. Prze-
Przedmowa 15
prowadzamy ich analize teoretyczna oraz podajemy wyniki badan eksperymen-talnych. Pokazuje sie, ze dokonanie uproszczen w sferze numerycznej nie pogarszawłasnosci asymptotycznych algorytmów falkowych, to znaczy nie wpływa na zbiez-nosc ani tez szybkosc zbieznosci, pod warunkiem własciwego dostrojenia algoryt-mów, to jest w tym wypadku wyboru odpowiedniej relacji pomiedzy zastosowanaskala modeli oraz dokładnoscia aproksymacji funkcji falkowych. Omawia sie takzezłozonosc obliczeniowa algorytmów.W ten sposób dajemy, naszym zdaniem, pełny - w przyjetym zakresie - ob-
raz problematyki zwiazanej z zastosowaniem funkcji falkowych o zwartym nosnikudo identyfikacji charakterystyk nieliniowych systemów - poczawszy od konstrukcjifunkcji falkowych, poprzez zagadnienie syntezy oraz analizy falkowych algorytmówidentyfikacji, do problematyki zwiazanej z numeryczna realizacja tych algorytmów.Rozwazania uzupełniaja liczne przykłady obliczeniowe. Nasza intencja było napisa-nie ksiazki w mozliwie duzym stopniu ’algorytmicznej’, to znaczy by przedstawionymateriał nadawał sie do bezposredniej i łatwej implementacji komputerowej. Ce-lowi temu ma słuzyc wyznaczenie dokładnych zakresów zmiennosci parametrówwystepujacych w poszczególnych wzorach, podanie schematów obliczeniowych dowyznaczania wartosci funkcji falkowych oraz gotowych procedur numerycznychdo realizacji obliczen. w naszym przekonaniu ułatwi to Czytelnikowi korzystaniez przedstawionych w ksiazce algorytmów.
Udział poszczególnych autorów w powyzszym opracowaniu jest nastepujacy.Czesc I, II oraz III napisał Zygmunt Hasiewicz, a czesc IV - Przemysław Sliwinski.On tez jest autorem rysunków, wykresów, procedur numerycznych oraz przykła-dów obliczeniowych zamieszczonych w ksiazce. Zawarty w ksiazce materiał jestpodsumowaniem i rozszerzeniem rezultatów uzyskanych przez autorów w ostat-nich latach.
Autorzy pragna podziekowac Panu Profesorowi Włodzimierzowi Greblickiemu,twórcy szkoły nieparametrycznych metod identyfikacji systemów oraz kierownikowiZakładu Sterowania i Optymalizacji w Instytucie Informatyki, Automatyki i Ro-botyki Politechniki Wrocławskiej, za wieloletni wkład w rozwój Szkoły i stworzenietwórczego klimatu naukowego w Zakładzie, bez których ksiazka ta nie mogłabypowstac. Panu Profesorowi Ewarystowi Rafajłowiczowi, dyrektorowi Instytutu,dziekujemy za zachete do napisania tej ksiazki oraz stale okazywana zyczliwosc,a Panu Profesorowi Czesławowi Smutnickiemu za podzielenie sie z nami doswiad-czeniami dotyczacymi opracowania edytorskiego. Osobne podziekowania składamyPanu Profesorowi Leszkowi Rutkowskiemu z Politechniki Czestochowskiej za trudprzeczytania naszej ksiazki i przygotowanie recenzji.Na koniec dziekujemy wszystkim niewymienionym, których wsparcie i wyrozu-
miałosc dopomogły w realizacji podjetego zadania. Szczególne słowa podziekowa-nia naleza sie tutaj naszym zonom, Marii oraz Antoninie, którym dedykujemy teksiazke.
Zygmunt HasiewiczPrzemysław Sliwinski
Wrocław, lipiec 2005
Wazniejsze oznaczenia
Funkcje i aproksymacje falkowe
ϕ (x) falka-ojciec (funkcja skalujaca)ψ (x) falka-matka[s1, s2] nosnik funkcji skalujacej ϕ (x)[t1, t2] nosnik falki-matki ψ (x)[0, s] nosnik funkcji skalujacej ϕ (x) po standardyzacjis długosc (rozmiar) nosnika funkcji falkowych ϕ (x) i ψ (x)Mϕ stała ograniczajaca falke ϕ (x)Mψ stała ograniczajaca falke ψ (x)I[a,b] (x) funkcja charakterystyczna przedziału [a, b]{hn} współczynniki równania skalujacego{gn} współczynniki równania falkowegoS liczba współczynników hn i gn dla falek o długosci
nosnika s (S = s+ 1)rψ liczba znikajacych momentów falki-matki ψ (x)η wykładnik Lipschitza funkcji ϕ (x) i ψ (x)ϕpD (x)ψpD (x)
¾falki Daubechies (o numerze falkowym p = 1, 2, . . .)
H rozdzielczosc siatki binarnej punktówaH/2
H
bH/2H
¾punkty siatki binarnej o rozdzielczosci H (ziarnie 1/2H)
m parametr skalin parametr przesunieciaZ zbiór liczb całkowitych (m,n ∈ Z)ϕmn (x) skalowane i przesuniete wersje falki ϕ (x)ψmn (x) skalowane i przesuniete wersje falki ψ (x)2m/2 amplituda falek ϕmn (x) oraz ψmn (x)Vm przestrzen aproksymacjiWm przestrzen detali (szczegółów){ϕmn (x)} ortonormalna baza falkowa przestrzeni
aproksymacji Vm (n ∈ Z){ψmn (x)} ortonormalna baza falkowa przestrzeni
detali Wm (n ∈ Z)qm (x, v) jadro układu funkcji falkowych {ϕmn (x)}n∈Z
17
18 Wazniejsze oznaczenia
{Vm} analiza wielorozdzielczaF (x) ogólna funkcja całkowalna z kwadratem, F (x) ∈ L2 (R)νF indeks gładkosci funkcji F (x)λFψ indeks gładkosci pary funkcji (F,ψ)
(= min {νF , rψ + 1})r stopien funkcji (charakterystyki) wielomianowejF (x;K) model (aproksymator) falkowy funkcji F (x)
o) współczynniki modeli falkowych f (x;K), g (x;K)
f (x;K) empiryczny model (estymator) falkowy gestosci f (x)g (x;K) empiryczny model (estymator) falkowy funkcji g (x)R (x;K) empiryczny model (estymator) falkowy
nieliniowosci R (x)nαf,gmn
onβf,g
mn
o empiryczne współczynniki modeli f (x;K), g (x;K)
IV(F ;[a, b];K) scałkowana wariancja modelu F (x;K)na przedziale identyfikacji [a, b]
K (N) skala w modelach zalezna od liczby pomiarów Nλgψ indeks gładkosci pary funkcji (g, ψ)
(= min {νR, νf , rψ + 1})Kopt (N) optymalna (asymptotycznie) skala modeli falkowychR (x;Kopt (N)) optymalny (asymptotycznie) empiryczny model
falkowy charakterystyki R (x)
Algorytmy obliczeniowe
H rozdzielczosc interpolacji funkcji falkowychϕH (x) , ψ
H(x) interpolacje funkcji skalujacej ϕ i falki ψ
ϕHmn (x) , ψHmn (x) interpolacje ϕmn i ψmn
η wykładnik Lipschitza funkcji falkowychF (x;K,H) uproszczony model uogólnionyR (x;K;H) uproszczony model falkowy nieliniowosci Rg (x;K;H) licznik modelu uproszczonegof (x;K;H) mianownik modelu uproszczonego
20 Wazniejsze oznaczenia
αHmn, βHmn współczynniki empiryczne modelu uproszczonego
obliczanego z pomoca interpolacji ϕHmn, ψHmn
qHm (x, v) jadro sumacyjne oparte o interpolacje ϕHmn
Z złozonosc (koszt) algorytmuP obciazenie pamieciIE (F ;x;K;H) bład interpolacji modelu zagregowanego F
w skali K i rozdzielczosci HIE (F ;x;M ;K;H) bład interpolacji modelu zdekomponowanego F
o skalach M i K i rozdzielczosci HK (N) praktyczna reguła doboru skali modeliP (x) , C (x) , Q (x) nieliniowosci testowe dla algorytmów identyfikacjiNSR stosunek amplitud szumu i sygnału
w eksperymentach
Oznaczenia ogólne
b · c funkcja „podłoga”d · e funkcja „sufit”E symbol wartosci oczekiwanej zmiennej losowejvar symbol wariancji zmiennej losowejO ( · ) symbol „o-duze” (okresla rzad szybkosci zbieznosci