1 1 Sayısal İşaret & Sistemler Giriş 2 İçerik Motivasyon Ders içeriği Temeller Bir sinyalin güç ve enerji içeriği Zaman değişkeninin transformasyonu Çift ve Tek Sinyaller 3 Motivasyon Zamandan bağımsız sistem (LTI) H(z) G(z) + 4 Temeller >> Sinyaller Geniş tanım: Bağımsız değişkenlerin fonksiyonu. Örnekler: müzik, arabanın hızı, para, voltaj veya akım, vücut ısısı, kalp atış hızı.. Sinyaller tek veya daha fazla değişkenin fonksiyonu. Biz tek bağımsız değişkene bağlı olan sinyalleri inceleyeceğiz, özellikle zaman t. ve arkadaşı ...
14
Embed
Zamandan bağımsız sistem Sayısal İşaret & Sistemler (LTI)mimoza.marmara.edu.tr/~ekaplanoglu/SIS.pdf · Çift ve Tek Sinyaller 3 Motivasyon Zamandan bağımsız sistem (LTI)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
1
Sayısal İşaret & Sistemler
Giriş
2
İçerik
Motivasyon Ders içeriği Temeller Bir sinyalin güç ve enerji içeriği Zaman değişkeninin transformasyonu Çift ve Tek Sinyaller
3
Motivasyon
Zamandan bağımsız sistem
(LTI)
H(z)
G(z)
+
4
Temeller >> Sinyaller
Geniş tanım: Bağımsız değişkenlerin fonksiyonu. Örnekler: müzik, arabanın hızı, para, voltaj
veya akım, vücut ısısı, kalp atış hızı.. Sinyaller tek veya daha fazla değişkenin
fonksiyonu. Biz tek bağımsız değişkene bağlı olan
sinyalleri inceleyeceğiz, özellikle zaman t. ve arkadaşı ...
2
5
Temeller >> Sinyaller Sinyaller:
Ayrık x[n], n tam sayı. Sürekli x(t), t gerçel.
Matematik gösterim: x(t) = et, x[n] = n/2
y(t) =
Ayrık sinyaller seri şeklinde gösterilebilir: {y[n]} = {…,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,…}
Örnek: Yukarıdaki sinyali grafik formda gösteriniz.
550
2 ,t,t
t
6
Temeller >> Sinyaller Sistem giriş sinyallerini bir çıkışa dönüştüren bir
kutucuktur. Ayrık-Zamanlı Sistem: Giriş ve çıkış sinyalleri ayrık.
Sürekli-Zamanlı Sistem: Giriş ve çıkış sinyalleri sürekli.
Kombinasyon: A/D D/A dönüştürücüler.
Hx[n] y[n]
Hx(t) y(t)
7
Güç ve Enerji Enerji: sinyalin toplam mutlak değeri
Güç: sinyal mutlak değerinin ortalaması
dttxdttxET
TT
22 )()(lim
22 ][][lim nxnxEN
NnN
TEdttx
TP
T
T
TT 2
lim)(21lim 2
12lim][
121lim 2
NEnx
NP
N
N
NnN
8
Güç ve Enerji Enerji sinyali 0<E<, ve P=0.
Güç sinyali 0<P<, ve E=.
E ve P sonsuz olursa enerji veya güç yok.
Örnek: Yukarıdaki sinyallerin Enerji ve Gücünühesaplayınız.
0,0,0
)(tet
tx t
...}1,1,1,1,1,1...]}[{ nx
tetx )(
3
9
Zaman Transformasyonu
Üç muhtemel transformasyon: Zaman dönüştürücü: x(-t), x[-n]
Sinyali x ekseni boyunca dönüştürür. Zaman öteleme: x(t+a),x[n+a]
Yatay eksende a<0 sağa , a>0 sola kayar. Zaman ölçeği: x(at), x[an] , a>0.
Yatay eksende a>1 aşağı , a<1 yukarı ölçekler
10
Zaman Transformasyonu
Zaman-dönüştürücü:
Zaman-öteleme:
-2 -1 21t
x(t) x(-t)
t
-2 -1t
1
x(t-1)
-2 -1t
-3
x(t+1)
1
1
1
1
11
Zaman Transformasyonu
Zaman ölçek:
Kombinasyon:
-1/2t
-1
x(2t)
-2 -1t
-3
x(t/2)
-4
-1/2t
-1
x(-2t) x(-t+3)
21t
43 65
1 1
1 1
12
Zaman Transformasyonu
Kombinasyonda dikkat. x(-t+3) = x1(t-3) , x1(t)= x(-t) veya
x(-t+3) = x2(-t) , x2(t)= x(t-3)
Aşağıdaki y(t) için (-3t+6) farklı sırada elde ediniz: dönüştürme/öteleme/ölçek, dönüştürme, ölçek/öteleme, öteleme/dönüştürme/ölçek.
y(t)
21t
2
3-2
4
13
Çift ve Tek Sinyaller x[n]=x[-n] , x[n] çift x[-n]=-x[n], x[n] tek Herhangi bir x[n] sinyali 2 parçaya ayrılabilir:
Birim Basamak Sürekli birim basamak t=0 da süreksiz, türevsiz! Kaymış birim basamak:
u(t) sürekli ve türevli.
diger,t,t
ttu
,2/
2/
21
01
)(
t1
u(t)
22
)(lim)(0
tutu
diger
t,dttdu
,2/2/
0
1)(
19
Birim İmpuls
Ayrık birim impuls
Ötelenmiş birim impuls
00
01
][,n,n
n
[n]
-1-2n
1-3 32
1
[n-k]
…-1n
1 k
1
k,nk,n
kn01
][
20
Birim İmpuls
Ayrık Birim İmpuls özellikleri:
k
n
k
knkxnx
knkxknnxnxnnx
knu
nunun
][][][
][][][][][]0[][][
][][
]1[][][
6
21
Birim İmpuls
Sürekli birim impuls:
dtt
t,t
t
diger
t,dttdut
,22
0
1)(lim)(
0
t1/
(t)
2
2
t
0
(t)
22
Birim İmpuls Sürekli ötelenmiş Birim İmpuls:
Sürekli birim impuls özellikleri:
)()()()()()0()()(
)()(
)()(
)()(
txttxtxttx
tt
dtu
dttdut
t
t
(t-)
dtxtx )()()(
23
Örnekler Aşağıdaki ifadeyi hesaplayınız:
Aşağıdaki sinyali çiziniz:
x(t) nin türevi dx(t)/dt yi çiziniz
dtttut
knnnnun kn
10
10
0
10
))15()((
]2[][
))8()6()4(()()2()(]3[][)1(][
tutututtuttxnnununnx
24
Basamak Sinyaller (Sürekli)
tc
x(t)
a b
1
y(t)
-1 1t
1
w(t)
-1 1t
2z(t)
-11 t
2
-2
7
25
Basamak Sinyaller (Ayrık)
x[n]
…-1n
1 N
1
y[n]
… -1n
1 4
1
-2 32 5-3 …
26
Sayısal İşaret & Sistemler
Ders #03: Eksponansiyel ve Sinüzoidal Sinyaller
27
İçerik
Birim Basamak ve İmpuls Örnekler Euler Denklemi Periyodik Sinyaller Gerçek Eksponansiyel Sinyaller Sinuzoidal Sinyaller Kompleks Exponansiyel Sinyaller
28
Birim Basamak ve İmpuls Örnekler
Aşağıdaki ifadeyi hesaplayınız:
Aşağıdaki sinyallerin türevini hesaplayınız:
1
)(1
dt
1
y(t)
-1 1t
1
z(t)
-1 1t
t
du )()(cos
t
d )()(cos
8
29
Euler’s Equation Euler’s formulas:
Will be very useful for managing sinusoidal and complex exponential signals. Particularly during differentiation or integration of such signal functions.
Exercise: Find even and odd components of x(t) = ejt.
)(21sin
)(21cos
sincos
jj
jj
j
eej
ee
je
30
Periodic Signals Periodicity condition:
x(t) = x(t+T) x[n] = x[n+N]
If T is period of x(t), then x(t) = x(t+mT) where m=0,1,2… If N is period of x[n], then x[n] = x(n+mN) where m=0,1,2… Fundamental period T0 of x(t) is the smallest possible
value of T. Fundamental period N0 of x[n] is the smallest possible
value of N. Exercise: Find T0 for cos(0t+) and sin(0t+). Exercise: Is periodic?)2sin(cos)( tttx
31
Real Exponential Signals x(t) = C eat
x[n] = C ean, where C and a are real. Exercise: Plot the above exponentials.
32
Sinusoidal Signals x(t) = A cos(0t+) x[n] = A cos(0n+), where A is amplitude, 0 is radian
frequency (rad/sec), and is the phase angle (rad). Exercise: Plot A cos(0t+). Exercise: Plot cos(0t), cos(1t), cos(2t), where
0<1<2. Realize that cos(0t+) is scaled and shifted version of
cos t. This should be enough for plotting any cosine function, similarly any sine function..
Notice that although A cos(0t+) is not equal to A cos(1t+), it may be the case that A cos(0n+) = A cos(1n+). Do you know when?
9
33
Complex Exponential Signals x(t) = x[n] = , where A, and 0 are real. Exercise: Is periodic? Exercise: How about the discrete case? Is
periodic?
)( 0 tjAe)( 0 njAe
tjAetz 0)( njAenz 0][
34
General Exponential Signals x(t) = x[n] = , where A, and are real. Exercise: Plot x(t) and x[n].
tjAe )(
njAe )(
35
Sayısal İşaret & Sistemler
Ders #04: Sistemlerin Özellikleri: Lineerlik, Zamandan bağımsızlık
36
İçerik
Sistem nedir? Sistemlerin Birleştirilmesi Kayıtlı ve Kayıtsız Sistemler Kararlılık ve Tersininrlik Lineerlik Zamandan Bağımsızlık (LTI) LTI Sistemlerin Süperpozisyonu
10
37
Sistem Nedir? Sistem: Giriş sinyallerini çıkış sinyallerine dönüştüren
Hız kontrol (cruise control) Pek çok bağlantı kombinasyonu..
H1x(t) y(t)
H2
+
40
Kayıtlı ve Kayıtsız Sistemler
Kayıtsız (veya statik) Sistemler: Sistem çıkışı y(t) sadece t anındaki girişe bağlı (y(t), x(t) nin bir fonksiyonu).
Kayıtlı (veya dinamik) Sistemler: Sistem çıkışı y(t) t anaından önce veya sonraki girişe bağlıdır (y(t), x() ninbir fonksiyonudur - < <)
Örnek: resistör: y(t) = R x(t)
kapasitör:
birim geciktirici: y[n] = x[n-1]
akümülatör:
t
dxC
ty )(1)(
n
kkxny ][][
11
41
Stabilite ve Tersinirlik Stabilite: Bir sistem çıkışı veya girişi sınırlı ise bu sistem stabildir.
Eğer |x(t)| < k1, buradan |y(t)| < k2. Örnek:
Tersinirlik: Bir sistemin farklı girişlerine karşı farklı çıkışlar elde ediliyorsa bu sistem tersinirdir. Bir sistem tersinir ise bu sistemnçıkışını girişe çeviren bir ters sistem mevcuttur.
Örnekler:
)(41)(
)(4)(
tytw
txty
]1[][][
][][
nynynw
kxnyn
k
Sistemx(t) Ters
Sistemw(t)=x(t)y(t)
dttdytw
dttxtyt
)()(
)()(
t
dttxty0
)()( ][100][ nxny
42
Lineerlik
Bir sistem aşağıdaki şartları taşıyorsa lineerdir: toplama: x(t) = x1(t) + x2(t) y(t) = y1(t) + y2(t) homojenlik: x(t) = a x1(t) y(t) = a y1(t), a herhangibir kompleks
sabit. İki özellik tek bir işlem altında toplanabilir:
Süperpozisyon:x(t) = a x1(t) + b x2(t) y(t) = a y1(t) + b y2(t)x[n] = a x1[n] + b x2[n] y[n] = a y1[n] + b y2[n]
Bir sistemin lineerliği nasıl kontrol edilir? Örnek: Aşağıdaki sistemler lineer midir?
)()( 2 txty ][][ nnxny )cos()()( ttxty
43
Zamandan Bağımsızlık (LTI)
Bir sistem zamandan bağımsız ise girişteki bir kayma çıkışsinyalinde de aynı kaymaya sebep olmaktadır:x(t) = x1(t-t0) y(t) = y1(t-t0) x[n] = x1[n-n0] y[n] = y1[n-n0]
Aşağıdaki sinyallerin zaman bağımsız olup olmadığınıbelirleyiniz:
][][ nnxny )2()( txty )(sin)( txty
44
LTI Sistemlerin Süperpozisyonu
Bir LTI sistem için: x(t) girişine karşın y(t) çıkışı verilmiş olsun Sistemin herhangi bir x1(t) girişine cevabı x(t) sinyalini ölçekleyerek
veya zaman kaydırarak elde edilebilir:x1(t) = a0 x(t-t0) + a1 x(t-t1) + a2 x(t-t2) + …
y1(t) = a0 y(t-t0) + a1 y(t-t1) + a2 y(t-t2) + … Pek çok problemin çözümüne olanak sağlamaktadır. Bundan sonra anlatılacak pek çok özelliğin temelini
oluşturan bir kuraldır.
12
45
LTI Sistemlerin Süperpozisyonu Örnek: Bir LTI sistemin x(t) sinyaline cevabı y(t) olduğuna göreö bu
sistemin x1(t) ve x2(t) sinyallerine cevabını bulunuz.
2x(t)
1t
1
y(t)
-1 1t
2x1(t)
1 t2
x2(t)
1
t-1
3
4
1/2-1/2
46
Sayısal İşaret & Sistemler
Ders #05: Ayrık-Konvolüsyon
47
İçerik
Sinyalleri İmpuls Cinsinden Gösterim İmpuls Cevabı Konvolüsyon Toplamı Konvolüsyonun Amacı İki Sinyali Konvol Etme Yöntemi
48
Sinyalleri İmpuls Cinsinden Gösterim Herhangibir sinyal kaydırılmış impulslar şeklinde
gösterilebilir:
Buna sinyallerin ötelenmesi adı verilir:
...]2[]2[]1[]1[][]0[
]1[]1[]2[]2[...][
nxnxnx
nxnxnx
k
knkxnx ][][][
13
49
Impuls Cevabı
Bir sistemin birim impulsa (t) karşı çıkışına impuls cevabı adı verilir ve h(t) olarak gösterilir. Sürekli sistemler için: h(t) = H((t))
Ayrık sistemler için: h[n] = H[[t]]
SistemH
(t) h(t)
SistemH
[n] h[n]
50
Konvolüsyon Toplamı Ayrık bir LTI sistem H için, h[n] impuls cevabı olsun. Sisteme herhangi bir x[n] sinyali giriş olarak verildiğinde Önce x[n] sinyalini birim impulslar şeklinde göster:
Yeni çıkış sinyali y[n] aşağıdaki gibi olacaktır:
k
knkxnx ][][][
kknkxHnxHny ][][]][[][
51
Konvolüsyon Toplamı LTI sistemlerin toplama özelliğinden:
LTI sistemlerin homojenliğinden:
LTI sitemlerin zaman bağımsızlığından:
k
knkxHny ][][][
k
knHkxny ][][][
k
knhkxny ][][][
52
Konvolüsyonun Tanımı
toplamı konvolüsyon veya süperpozisyon toplamı olarak adlandırılır ve aşağıdaki gibi gösterilir:
Bunun x[n] ve h[n] çarpımı olmadığına dikkat ediniz.
Konvolüsyon: h[k] yı ters çevir n’ nin her bir değeri için h[k] yı öteleyerek x[n]
sinyalinden geçir.
k
knhkxny ][][][
][*][][ nhnxny
14
53
İki Sinyalin Konvolüsyonu
Dört farklı yöntem: Türetme: Konvolüsyon toplamı cebirsel olarak
türetilebilir.
Süperpozisyon: x[n] sinyalini ölçeklendirilmiş ve ötelenmiş birim impulslar [n]. olarak gösterilir.Sistem LTI olduğu için, y[n] ölçeklendirilmiş h[n]sinyalleri şeklinde yazılabilir.
i j
ijAny ][
54
İki Sinyalin Konvolüsyonu
Dizi: x[n] ve h[n] sinyallerini yazılır. İki boyutlu bir A dizisi oluşturulur, Aij=x[i]h[j]. y[n] için formül
i+j=n Grafik: h[k] zaman ekseninde ters çevirilir ve
h[-k] elde edilir. Daha sonra zaman ekseninde –n kaydırılarak h[n-k] elde edilir. (-,) aralığında bir n değeri için h[n-k] , x[n]üzerinde kaydırılarak o n değeri için konvolüsyon toplamı hesaplanır.