1 Zadatak 081 (Filip, više nije srednja škola ☺) Tri zatvorenice dobile su poklon tvornice Zvečevo u kojem se nalazilo 109 čokolada. Dogovorile su se da čokolade podijele u skladu s dužinom zatvorske kazne, godinama starosti i težinom. Mica Sjekira osuđena je na 20 godina, ima 42 godine i teška je 105 kilograma. Lolita je osuđena na 15 godina, stara je 20 godina i teška 38 kilograma. Đurđa je osuđena na 8 godina, ima 60 godina i teška je 65 kilograma. Koliko će čokolada dobiti svaka zatvorenica? Rješenje 081 Ponovimo! Složenim računom diobe služimo se kada su dijelovi veličine koju treba podijeliti razmjerni s više veličina. Kada neku veličinu trebamo podijeliti na dijelove x1, x2, x3, …, xn upravo razmjerno s trima veličinama zadanim nizovima brojeva: , , , ... , , , , ... , , , , ... , 1 2 3 1 2 3 , , 1 2 3 a a a a b b b b c c c c n n n tada je 1 1 1 1 2 2 2 2 3 , , .. 3 . 3 3 , x ka b c x ka b c x ka b c x ka b c n n n n = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ gdje je k koeficijent razmjernosti. Označimo broj čokolada prve zatvorenice Mice Sjekire s x1, broj čokolada druge zatvorenice Lolite s x2 i treće zatvorenice Đurđe s x3. Tada je: 109. 1 2 3 x x x + + = Veličine su upravo razmjerne (više godina zatvora – više čokolada, više godina starosti – više čokolada, veća težina – više čokolada). Prva zatvorenica Mica Sjekira dobila je: 20 42 105 88 000 . 1 1 x k x k = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ Druga zatvorenica Lolita dobila je: 15 20 38 11400 . 2 2 x k x k = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ Treća zatvorenica Đurđa dobila je: 8 60 65 31200 . 3 3 x k x k = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ Ukupno je 88000 11400 31200 130 600 . 1 2 3 1 2 3 x x x k k k x x x k + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ + + = ⋅ Računamo k koeficijent razmjernosti. metoda / : 130 600 komparacije 130 600 1 2 3 130 600 109 130 600 109 109 1 2 3 x x x k k k x x x + + = ⋅ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ + + = 109 . 130 600 k ⇒ = Broj čokolada iznosi: • Prva zatvorenica Mica Sjekira
24
Embed
Zadatak 081 (Filip, više nije srednja škola · težinom. Mica Sjekira osu đena je na 20 godina, ima 42 godine i teška je 105 kilograma. Lolita je osu đena na 15 godina, stara
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
Zadatak 081 (Filip, više nije srednja škola ☺☺☺☺)
Tri zatvorenice dobile su poklon tvornice Zvečevo u kojem se nalazilo 109 čokolada.
Dogovorile su se da čokolade podijele u skladu s dužinom zatvorske kazne, godinama starosti i
težinom. Mica Sjekira osuđena je na 20 godina, ima 42 godine i teška je 105 kilograma. Lolita je
osuđena na 15 godina, stara je 20 godina i teška 38 kilograma. Đurđa je osuđena na 8 godina, ima 60
godina i teška je 65 kilograma. Koliko će čokolada dobiti svaka zatvorenica?
Rješenje 081 Ponovimo!
Složenim računom diobe služimo se kada su dijelovi veličine koju treba podijeliti razmjerni s više
veličina. Kada neku veličinu trebamo podijeliti na dijelove x1, x2, x3, …, xn upravo razmjerno s trima
veličinama zadanim nizovima brojeva:
, , , ... , , , , ... , , , , ... ,1 2 3 1 2 3
, ,1 2 3
a a a a b b b b c c c cn n n
tada je
1 1 1 1 2 2 2 2 3, , ..
3.
3 3,x k a b c x k a b c x k a b c x k a b cn n n n= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
gdje je k koeficijent razmjernosti.
Označimo broj čokolada prve zatvorenice Mice Sjekire s x1, broj čokolada druge zatvorenice Lolite s
x2 i treće zatvorenice Đurđe s x3.
Tada je:
109.1 2 3
x x x+ + =
Veličine su upravo razmjerne (više godina zatvora – više čokolada, više godina starosti – više
čokolada, veća težina – više čokolada).
Prva zatvorenica Mica Sjekira dobila je:
20 42 105 88000 .1 1
x k x k= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
Druga zatvorenica Lolita dobila je:
15 20 38 11400 .2 2
x k x k= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
Treća zatvorenica Đurđa dobila je:
8 60 65 31200 .3 3
x k x k= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅
Ukupno je
88000 11400 31200 130 600 .1 2 3 1 2 3
x x x k k k x x x k+ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ + + = ⋅
Računamo k koeficijent razmjernosti.
metoda/ : 130 600
komparacije
130 6001 2 3
130 600 109 130 600 109109
1 2 3
x x x kk k
x x x
+ + = ⋅⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒
+ + =
109
.130 600
k⇒ =
Broj čokolada iznosi:
• Prva zatvorenica Mica Sjekira
2
880001
10988000 73.109 1 1130 600
130 600
x k
x xk
= ⋅
⇒ = ⋅ ⇒ ==
• Druga zatvorenica Lolita
114002
10911400 10.109 2 2130 600
130 600
x k
x xk
= ⋅
⇒ = ⋅ ⇒ ==
• Treća zatvorenica Đurđa
312003
10931200 26.109 3 3130 600
130 600
x k
x xk
= ⋅
⇒ = ⋅ ⇒ ==
Vježba 081 Tri zatvorenice dobile su poklon tvornice Zvečevo u kojem se nalazilo 218 čokolada.
Dogovorile su se da čokolade podijele u skladu s dužinom zatvorske kazne, godinama starosti i
težinom. Mica Sjekira osuđena je na 20 godina, ima 42 godine i teška je 105 kilograma. Lolita je
osuđena na 15 godina, stara je 20 godina i teška 38 kilograma. Đurđa je osuđena na 8 godina, ima 60
godina i teška je 65 kilograma. Koliko će čokolada dobiti svaka zatvorenica?
Rezultat: 146, 20, 52.
Zadatak 082 (Željko, srednja škola)
Prosječna visina djevojčica u nekom razredu je 164 cm, a dječaka 172 cm. Ako je prosječna
visina u razredu 167 cm, koliki je omjer broja djevojčica i broja dječaka u razredu?
Rješenje 082 Ponovimo!
Neka je dan skup n pozitivnih brojeva { }, , , ... , .1 2 3
a a a an Tada je aritmetička sredina ili prosjek
An brojeva a1, a2, a3, … , an definirana izrazom
...1 2 3 .
a a a anAn
n
+ + + +=
Ako su a1, a2, a3, … , an veličine čiji se prosjek traži i imamo
f1 veličine a1
f2 veličine a2
………….….
fn veličine an,
tada je prosječna vrijednost vagana (ponderirana) aritmetička sredina:
....1 1 2 2 3 3
...1 2 3
f a f a f a f an nAn
f f f fn
⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅=
+ + + +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Neka je x broj djevojčica, a y broj dječaka u razredu. Budući da je prosječna visina djevojčica u
razredu 164 cm, dječaka 172 cm, a prosječna visina svih u razredu 167 cm, slijedi:
( )164 172 164 172
167 7 /16x y x y
x y xx
yy
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= ⇒ = ⋅
++ ⇒
+
( )164 172 167 164 172 167 167x y x y x y x y⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒
3
172 167 167 164 5 3 3 5 3 51
/3
y y x x y x y x yy
x⇒ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅= ⋅⋅
⋅ ⇒
5: 5 : 3.
3
xx y
y⇒ = ⇒ =
Vježba 082
Prosječna visina djevojčica u nekom razredu je 164 cm, a dječaka 172 cm. Ako je prosječna
visina u razredu 167 cm, koliki je omjer broja dječaka i broja djevojčica u razredu?
Rezultat: 3 : 5.
Zadatak 083 (4A, TUPŠ)
Voda čini 3
5 mase odrasloga čovjeka. Koliko je kilograma bjelančevina u tijelu čovjeka mase
60 kg ako je omjer bjelančevina i vode u njegovu tijelu 3 : 10?
Rješenje 083 Ponovimo!
1.
nn =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Ako su a i b brojevi, kažemo da je kvocijent a : b, b ≠ 0 omjer brojeva a i b.
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Kako zapisati od ?a
xb
.a
xb
⋅
Ako voda čini 3
5 mase odrasloga čovjeka, onda u tijelu čovjeka mase 60 kg ima 36 kg vode.
603 3 3
60 12 35 5
6.1
⋅ = ⋅ = ⋅ =
Iz omjera bjelančevina b i vode v u čovjekovu tijelu izračunamo broj kilograma bjelančevina.
: 3 : 10: 36 3 : 10 10 108 10 108 1/ : 1 0.8
60 .
3
b vb b b b
v
=⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
=
U tijelu čovjeka ima 10.8 kg bjelančevina.
4
Vježba 083
Voda čini 3
5 mase odrasloga čovjeka. Koliko je kilograma bjelančevina u tijelu čovjeka mase
50 kg ako je omjer bjelančevina i vode u njegovu tijelu 3 : 10?
Rezultat: 9 kg.
Zadatak 084 (4A, TUPŠ)
Za brojeve c, d vrijedi da je c : d = 2 : 5 i d = 2 · c + 10. Koliko je c?
Rješenje 084
Ponovimo!
Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (količnik) omjera.
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
1.inačica
Iz sustava jednadžbi dobije se c.
( )metoda
supstit
: 2 : 5 5 25 2 2 10
2 uc j2 e1 i0 10
c d c dc c
d c d c
= ⋅ = ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⇒
= ⋅ + = ⋅ +
5 4 20 5 4 20 20.c c c c c⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ =
2.inačica
Izračunamo faktor razmjernosti ili proporcionalnosti k.
( )metoda
faktor razmjernostisup
2 , 5: 2 : 5
5 2stitucije
2 102 10
2 10
c k d kc d
k kd c
d
k
c
= ⋅ = ⋅=
⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⇒= ⋅ +
= ⋅ +
−
5 4 10 5 4 10 10.k k k k k⇒ ⋅ = ⋅ + ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ =
Broj c iznosi:
22 10 20.
10
c kc c
k
= ⋅⇒ = ⋅ ⇒ =
=
Vježba 084
Za brojeve c, d vrijedi da je c : d = 2 : 5 i d = 2 · c + 10. Koliko je d?
Rezultat: 50.
5
Zadatak 085 (4A, 4B, TUPŠ)
Omjer duljina dviju dužina bio je 2 : 5. Svaka dužina skraćena je za 1.6 cm te je omjer
skraćenih dužina 2 : 7. Kolika je bila razlika njihovih duljina prije skraćivanja?
. 3 . 5 . 6 . 10A cm B cm C cm D cm
Rješenje 085
Ponovimo!
Omjer je količnik dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (količnik) omjera.
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Neka su x i y duljine zadanih dužina. Tada vrijedi sustav jednadžbi.
( ) ( ) ( ) ( )
: 2 : 5 5 2 5 2
1.6 : 1.6 2 : 7 7 1.6 2 1.6 7 11.2 2 3.2
x y x y x y
x y x y x y
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⇒ ⇒ ⇒
− − = ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = ⋅ −
5 2 0 5 2 0
7 2 3.2 11.2 7 2
metoda suprotnih
koeficijenat8 a
x y x y
x y x y
⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⋅ − ⋅ = − + ⋅ − ⋅ =
( )/ 15 2 0 5 2 02 8 2 8 4.
7 2 87 2/ : 2
8
x y x yx x x
x yx y
⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅ =⇒ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
⋅ − ⋅ =⋅ − ⋅
⋅ −
=
Računamo y.
( )5 2 0
5 4 2 0 20 2 0 2 20 2 2 / : 20 10.4
x yy y y y y
x
⋅ − ⋅ =⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒
=− =
Razlika duljina dužina prije skraćivanja iznosila je:
410 4 6 .
10
x cmy x cm cm cm
y cm
=⇒ − = − =
=
Odgovor je pod C.
Vježba 085
Omjer duljina dviju dužina bio je 4 : 10. Svaka dužina skraćena je za 1.6 cm te je omjer
skraćenih dužina 2 : 7. Kolika je bila razlika njihovih duljina prije skraćivanja?
. 3 . 5 . 6 . 10A cm B cm C cm D cm
Rezultat: C.
6
Zadatak 086 (Lucija, graditeljska tehnička škola)
Broj 2400 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8.
Rješenje 086
Ponovimo!
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.
.: :a b c d a d b c= ⇒ ⋅ = ⋅
Ako postoji n jednakih omjera
:1 1
a b k=
:2 2
a b k=
:3 3
a b k=
...
: ,a b kn n =
produženi razmjer je
: : : ... : .: : : ... :1 2 3 1 2 3
a a a a b b b bn n=
Produženi razmjer ima sljedeća svojstva:
( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 1 1
a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =
( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 2 2
a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =
( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3 3 3
a a a a b b b b a bn n± ± ± ± ± ± ± ± =
...
( ) ( )... : ... :1 2 3 1 2 3
.a a a a b b b b a bn n n n± ± ± ± ± ± ± ± =
1.inačica
Broj 2400 podijelit ćemo na tri broja a, b i c u zadanom omjeru. Zato pišemo:
metoda
supstitucijekoeficijent propo
3
5: : 3 : 5 : 8
82 40
rcionalnos0
2 40
ti
0
a k
b ka b c
c ka b c
a b c
k
= ⋅
= ⋅=
⇒ = ⋅ ⇒ ⇒+ + =
+
−
+ =
3 5 8 2 400 16 2 400 16 / : 12 400 150.6k k k k k k⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =
Tada je:
[ ]
3 3 150 450
5 5 150 750 .
8 8 150 0
150
12 0
k
a k a a
b k b b
c k c c
=
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⇒ ⇒ = ⋅ ⇒ =
= ⋅ = ⋅ =
2.inačica
Broj 2400 podijelit ćemo na tri broja a, b i c u zadanom omjeru. Uporabit ćemo svojstvo produženog
razmjera.
Broj a
• 2 400 , : : 3 : 5 : 8.a b c a b c+ + = =
7
( ) ( ): 3 5 8 : 3 2 400 : 16 : 3 16 7 200a b c a a a+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒
/ :1 16 7 200 450.6a a⇒ ⋅ = ⇒ =
Broj b
• 2 400 , : : 3 : 5 : 8.a b c a b c+ + = =
( ) ( ): 3 5 8 : 5 2 400 : 16 : 5 16 12 000a b c b b b+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒
/16 12 00 :0 750.16b b⇒ ⋅ = ⇒ =
Broj c
• 2 400 , : : 3 : 5 : 8.a b c a b c+ + = =
( ) ( ): 3 5 8 : 8 2 400 : 16 : 8 16 19 200a b c c c c+ + + + = ⇒ = ⇒ ⋅ = ⇒
/ :1 16 19 200 120 .6 0c c⇒ ⋅ = ⇒ =
Ili
( ) ( ) ( )2 400 450 750 2 400 1200 1200.c a b c a b= + + − + = − + = − =
3.inačica
Traženi brojevi su:
• 3 3
2 400 2 400 4503 5 8 16
⋅ = ⋅ =+ +
• 5 5
2 400 2 400 7503 5 8 16
⋅ = ⋅ =+ +
• 8 8
2 400 2 400 1200.3 5 8 16
⋅ = ⋅ =+ +
Vježba 086
Broj 4800 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 3 : 5 : 8.
Rezultat: 900, 1500, 2400.
Zadatak 087 (Matea, hotelijerska škola)
U miješanome je voćnom soku omjer količina soka jabuke i soka naranče 1 : 4, a omjer
količina soka limuna i soka naranče 2 : 5. Koji je omjer količina soka jabuke i soka limuna?
. 1 : 2 . 3 : 9 . 4 : 5 . 5 : 8A B C D
Rješenje 087
Ponovimo!
Omjer je kvocijent dviju istovrsnih veličina
: ili ,a
a b k kb
= =
gdje je:
a – prvi član omjera,
b – drugi član omjera,
k – vrijednost (kvocijent) omjera.
Vrijednost omjera ne mijenja se ako se prvi i drugi broj pomnože ili podijele istim brojem.
( ) ( ): :a b a n b n= ⋅ ⋅
( ) ( ): : : .:a b a n b n=
Ako postoji n jednostavnih omjera, takvih da je
8
:1 2 1
:2 3 2
:3 4 3
....................
:1 1
a a k
a a k
a a k
a a knn n
=
=
=
=− −
produženi omjer je
: : : : ... : :1 3 4
.2 1
a a a a a ann−
Razmjer ili proporcija je jednakost dvaju jednakih omjera. Ako je
a : b = k i c : d = k,
tada je razmjer ili proporcija
a : b = c : d.
Umnožak vanjskih članova razmjera a i d jednak je umnošku unutarnjih članova razmjera b i c.