Zadání: Rovinná soustava těles znázorněná na obrázku je zatížena silou F v bodě C.

Zadání: Rovinná soustava těles znázorněná na obrázku je zatížena silou F v bodě C.

(a) Rozhodněte o její pohyblivosti (určete počet stupňů volnosti).

(b) Určete analyticky moment M2 na tělese 2 pro statickou rovnováhu celé soustavy v poloze určené úhlem 2=50 st. Stanovte velikosti reakcí ve vazbách.

(c) Proveďte kontrolu analytického řešení grafickým řešením momentu a všech reakcí.

Dáno: |AB| = |BC| = |ED| = b = 500 mm;

2 = 50 st, F = 800 N

Poznámka: Všechny vazby (kinematické dvojice) považujte za ideální.





Řešení(a) Pohyblivost a statickou určitost zadané soustavy těles určíme z vazbové rovnice.





Řešení(a) Pohyblivost a statickou určitost zadané soustavy těles určíme z vazbové rovnice.

Dosazením do vazbové rovnice dostáváme:

n = 3(m - 1) – 2(r + p + v) – 1o = 3(5 - 1) – 2(5 + 0 + 0) – 1 = 1, kde počet všech těles včetně rámu je m=5 (viz. obrázek), počet všech rotačních kinematických dvojic je r=5 (vazba A, B, C, D, E). Těleso 5 je vázáno k rámu rotačně-posuvnou KD, což je ekvivalentní s obecnou KD, máme tedy o=1. Valivá ani posuvná KD se v zadané soustavě těles nevyskytuje.

Závěr: Soustava má tedy jeden stupeň volnosti, je pohyblivá a staticky určitá. Jedná se o mechanismus.





Řešení(b) Analyticky určíme moment M2 a všechny reakce ve vazbách v poloze mechanismu určené úhlem

2=50 st. Využijeme metodu uvolňování. Jednotlivé členy mechanismu uvolníme a podle typu silové soustavy, které na ně působí, sestavíme podmínky statické rovnováhy. Nejprve najdeme nezatížené binární členy.





Řešení(b) Analyticky určíme moment M2 a všechny reakce ve vazbách v poloze mechanismu určené úhlem

2=50 st. Využijeme metodu uvolňování. Jednotlivé členy mechanismu uvolníme a podle typu silové soustavy, které na ně působí, sestavíme podmínky statické rovnováhy. Nejprve najdeme nezatížené binární členy.

Nezatíženými binárními členy jsou tělesa 3 a 4. Uvolníme je a protože každý tento nezatížený binární člen je typu prut, tj. je k okolním tělesům vázán pomocí dvou rotačních vazeb, a je navíc přímý prut, může přenést pouze osové síly. Uvědomme si totiž, že dvě síly na tělese jsou v rovnováze, pokud leží na společné nositelce, jsou stejně veliké a opačně orientované. Tedy

Všimněme si, že při analytickém řešení si můžeme směry reakcí zvolit. Zde proto předpokládáme, že všechny přímé pruty (nezatížené binární členy) jsou namáhány na tah.





Řešení(b) Nyní přistoupíme k uvolnění zbývajících těles. Ve všech případech dostáváme obecnou rovinnou

soustavu sil, pro kterou napíšeme 3 podmínky rovnováhy – dvě složkové silové ve směrech souřadnicových os x a y a jednu momentovou ke zvolenému bodu.

Uvolnění členu 2







Uvolnění členu 2 Na člen 2 působí hledaný moment M2,

který zakreslíme v zadaném směru.







Uvolnění členu 2 Na člen 2 působí hledaný moment M2,

který zakreslíme v zadaném směru.







Uvolnění členu 2 Dále připojíme vnější složky Ax a Ay výsledné reakce A v rotační vazbě A. Tato reakce vyjadřuje účinek rámu 1 na člen 2. Směry složek reakce v tomto případě volíme libovolně.



Uvolnění členu 2 Dále připojíme vnější složky Ax a Ay výsledné reakce A v rotační vazbě A. Tato reakce vyjadřuje účinek rámu 1 na člen 2. Směry složek reakce v tomto případě volíme libovolně.







Uvolnění členu 2





Následně připojíme vnější složky Ex a Ey výsledné reakce E v rotační vazbě E. Tato reakce vyjadřuje účinek členu 5 na člen 2. Směry složek reakce v tomto případě volíme libovolně.



Uvolnění členu 2





Následně připojíme vnější složky Ex a Ey výsledné reakce E v rotační vazbě E. Tato reakce vyjadřuje účinek členu 5 na člen 2. Směry složek reakce v tomto případě volíme libovolně.



Uvolnění členu 2





Dále připojíme vnitřní reakci RD v rotační vazbě D. Velikost této reakce RD = S3 vyjadřuje velikost účinku tělesa 3 na těleso 2. Účinek tělesa 2 na těleso 3 musí být podle principu akce a reakce opačný a vyjadřuje předpokládané namáhání prutu 3 na tah.



Uvolnění členu 2 Dále připojíme vnitřní reakci RD v rotační vazbě D. Velikost této reakce RD = S3 vyjadřuje velikost účinku tělesa 3 na těleso 2. Účinek tělesa 2 na těleso 3 musí být podle principu akce a reakce opačný a vyjadřuje předpokládané namáhání prutu 3 na tah.







Uvolnění členu 2





Podmínky rovnováhy pro člen 2 pak mají tvar:



Uvolnění členu 2








Uvolnění členu 5







Uvolnění členu 5





Na člen 5 působí reakce přenášené v bodech F, E a B.



Uvolnění členu 5





Na člen 5 působí reakce přenášené v bodech F, E a B.V bodě F se přenese normálová vnější

reakce RF, jejíž směr volíme libovolně. Vyjadřuje účinek rámu – členu 1 na člen 5.



Uvolnění členu 5





Na člen 5 působí reakce přenášené v bodech F, E a B.V bodě F se přenese normálová vnější reakce RF, jejíž směr volíme libovolně. Vyjadřuje účinek rámu – členu 1 na člen 5.V bodě E se rotační vazbou přenese vnější reakce E, jejíž složky Ex a Ey připojíme do bodu E. Protože tato reakce vyjadřuje účinek členu 2 na člen 5, proto je směr těchto dvou sil opačný než u členu 2.



Uvolnění členu 5





Dále připojíme vnitřní reakci RB v rotační vazbě B. Velikost této reakce RB = S4 vyjadřuje velikost účinku tělesa 4 na těleso 5. Účinek tělesa 5 na těleso 4 musí být podle principu akce a reakce opačný a vyjadřuje předpokládané namáhání prutu 4 na tah.



Uvolnění členu 5








Uvolnění členu 5








Rovnováha bodu C





V tomto případě bodem C procházejí zatěžující síla F



Rovnováha bodu C





V tomto případě bodem C procházejí zatěžující síla F a reakce obou nezatížených binárních členů S3 a S4.



Rovnováha bodu C





Dostáváme rovinnou soustavu sil procházející jedním bodem (rotační vazba C), pro kterou napíšeme 2 složkové silové podmínky rovnováhy ve směrech souřadných os x a y:

kde pro velikosti osových sil v prutech 3 a 4 platí S3 = RD, S4 = RB.

Řešení(b) Shrnutí – výsledná soustava 8 algebraických rovnic pro nalezení zátěžného momentu M2:









Řešení(b) Podmínky (1) – (8) představují soustavu 8 lineárních algebraických rovnic pro 8 neznámých (M2, Ax,

Ay, Ex, Ey, RB = S4, RD = S3, RE). Nyní je vyřešíme. Soustavu lineárních algebraických rovnic můžeme zapsat v maticovém tvaru pomocí matice soustavy A, vektoru neznámých x a vektoru pravých stran f. Využitím systému MATLAB, můžeme soustavu rovnic pro zadané parametry mechanismu snadno vyřešit:





Řešení(b) Podmínky (1) – (8) představují soustavu 8 lineárních algebraických rovnic pro 8 neznámých (M2, Ax,

Ay, Ex, Ey, RB = S4, RD = S3, RE). Nyní je vyřešíme. Soustavu lineárních algebraických rovnic můžeme zapsat v maticovém tvaru pomocí matice soustavy A, vektoru neznámých x a vektoru pravých stran f. Využitím systému MATLAB, můžeme soustavu rovnic pro zadané parametry mechanismu snadno vyřešit:

Velikosti reakcí jsou pak následující:





Řešení(c) Grafické řešení:

Graficky zkontrolujeme moment M2 na tělese 2 pro statickou rovnováhu celé soustavy ve zvolené poloze určené úhlem = 50 st. A rovněž zkontrolujeme velikosti reakcí ve všech vazbách. Rovinnou soustavu těles nakreslíme v poloze určené úhlem v měřítku délek a zvolíme měřítko sil.






Graficky zkontrolujeme moment M2 na tělese 2 pro statickou rovnováhu celé soustavy ve zvolené poloze určené úhlem = 50 st. A rovněž zkontrolujeme velikosti reakcí ve všech vazbách. Rovinnou soustavu těles nakreslíme v poloze určené úhlem v měřítku délek a zvolíme měřítko sil.

Měřítko délek: 1cm ≈ 50 mmMěřítko sil: 1cm ≈ 200 N






Graficky zkontrolujeme moment M2 na tělese 2 pro statickou rovnováhu celé soustavy ve zvolené poloze určené úhlem = 50 st. A rovněž zkontrolujeme velikosti reakcí ve všech vazbách. Rovinnou soustavu těles nakreslíme v poloze určené úhlem v měřítku délek a zvolíme měřítko sil. Aplikujeme opět metodu uvolňování. Pro jednotlivá uvolněná tělesa napíšeme symbolické podmínky rovnováhy a ty budeme postupně graficky řešit. Tedy






Graficky zkontrolujeme moment M2 na tělese 2 pro statickou rovnováhu celé soustavy ve zvolené poloze určené úhlem = 50 st. A rovněž zkontrolujeme velikosti reakcí ve všech vazbách. Rovinnou soustavu těles nakreslíme v poloze určené úhlem v měřítku délek a zvolíme měřítko sil. Aplikujeme opět metodu uvolňování. Pro jednotlivá uvolněná tělesa napíšeme symbolické podmínky rovnováhy a ty budeme postupně graficky řešit. Tedy

V prvních třech uvedených podmínkách rovnováhy představují síly , , , vnitřní reakce přenášené členy (pruty) 3 a 4.






Z podmínek rovnováhy členů 3 a 4 vyplývá, že se jedná o nezatížené binární členy typu prut. Aby byla splněna podmínka rovnováhy na členu 3, musí vnitřní reakce a ležet na společné nositelce n3 a musí dále platit, že .






Z podmínek rovnováhy členů 3 a 4 vyplývá, že se jedná o nezatížené binární členy typu prut. Aby byla splněna podmínka rovnováhy na členu 3, musí vnitřní reakce a ležet na společné nositelce n3 a musí dále platit, že .






Má-li být splněna podmínka rovnováhy na členu 4, musí vnitřní reakce a ležet na společné nositelce n4 a musí platit, že .






Má-li být splněna podmínka rovnováhy na členu 4, musí vnitřní reakce a ležet na společné nositelce n4 a musí platit, že .






Přistoupíme ke grafickému řešení rovnováhy bodu C. Velikost i směr zátěžné síly F jsou zadány. Nositelky n3 a n4 osových sil v prutech 3 a 4 a nositelka síly F procházejí společným bodem C. Trojice sil , apak splňuje podmínku rovnováhy, pokud tvoří silový trojúhelník uzavřený v jednom smyslu, který sestrojíme.






Přistoupíme ke grafickému řešení rovnováhy bodu C. Velikost i směr zátěžné síly F jsou zadány. Nositelky n3 a n4 osových sil v prutech 3 a 4 n6 a nositelka síly F procházejí společným bodem C. Trojice sil , apak splňuje podmínku rovnováhy, pokud tvoří silový trojúhelník uzavřený v jednom smyslu, který sestrojíme.


















Dále proveďme řešení rovnováhy sil na členu 5. Je tedy nutné splnit podmínku rovnováhy: .Z předchozího grafického řešení rovnováhy víme: . Známe tedy velikost i směr silové reakce členu 4 na člen 5.

























Na člen 5 působí tedy soustava tří sil a musí pro ně být v rovnovážné poloze splněna podmínka statické rovnováhy: nositelky se musí protínat v jednom bodě a vektory sil tvoří uzavřený silový trojúhelník.







Na člen 5 působí tedy soustava tří sil a musí pro ně být v rovnovážné poloze splněna podmínka statické rovnováhy: nositelky se musí protínat v jednom bodě a vektory sil tvoří uzavřený silový trojúhelník.Nositelka reakce v bodě F nF leží ve směru normály k vazbě.







Na člen 5 působí tedy soustava tří sil a musí pro ně být v rovnovážné poloze splněna podmínka statické rovnováhy: nositelky se musí protínat v jednom bodě a vektory sil tvoří uzavřený silový trojúhelník.Nositelka reakce v bodě F nF leží ve směru normály k vazbě. Aby se nositelky všech sil protínaly v jednom bodě, musí nositelka reakce procházet průsečíkem nositelek n4 a nF.







Na člen 5 působí tedy soustava tří sil a musí pro ně být v rovnovážné poloze splněna podmínka statické rovnováhy: nositelky se musí protínat v jednom bodě a vektory sil tvoří uzavřený silový trojúhelník.Nositelka reakce v bodě F nF leží ve směru normály k vazbě. Aby se nositelky všech sil protínaly v jednom bodě, musí nositelka reakce procházet průsečíkem nositelek n4 a nF.







Na člen 5 působí tedy soustava tří sil a musí pro ně být v rovnovážné poloze splněna podmínka statické rovnováhy: nositelky se musí protínat v jednom bodě a vektory sil tvoří uzavřený silový trojúhelník.Nositelka reakce v bodě F nF leží ve směru normály k vazbě. Aby se nositelky všech sil protínaly v jednom bodě, musí nositelka reakce procházet průsečíkem nositelek n4 a nF. Nyní můžeme uzavřít silový trojúhelník.



























Naposledy provedeme řešení rovnováhy sil na členu 2. Je tedy nutné splnit podmínku rovnováhy pro silovou soustavu: .






Naposledy provedeme řešení rovnováhy sil na členu 2. Je tedy nutné splnit podmínku rovnováhy pro silovou soustavu: .Z předchozího řešení známe velikost a směr reakce v bodě D . Podle zákona akce a reakce v bodě E dostáváme:Velikost a směr reakce jsme vyřešili při grafickém řešení rovnováhy členu 5. Účinky členů 3 a 5 na člen 2 tedy známe a musí být v rovnováze s reakcí v bodě A a vnějším zátěžným momentem .






Naposledy provedeme řešení rovnováhy sil na členu 2. Je tedy nutné splnit podmínku rovnováhy pro silovou soustavu: .Z předchozího řešení známe velikost a směr reakce v bodě D . Podle zákona akce a reakce v bodě E dostáváme:Velikost a směr reakce jsme vyřešili při grafickém řešení rovnováhy členu 5. Účinky členů 3 a 5 na člen 2 tedy známe a musí být v rovnováze s reakcí v bodě A a vnějším zátěžným momentem .






Naposledy provedeme řešení rovnováhy sil na členu 2. Je tedy nutné splnit podmínku rovnováhy pro silovou soustavu: .Z předchozího řešení známe velikost a směr reakce v bodě D . Podle zákona akce a reakce v bodě E dostáváme:Velikost a směr reakce jsme vyřešili při grafickém řešení rovnováhy členu 5. Účinky členů 3 a 5 na člen 2 tedy známe a musí být v rovnováze s reakcí v bodě A a vnějším zátěžným momentem . Reakce a můžeme nahradit jejich výslednicí.






Naposledy provedeme řešení rovnováhy sil na členu 2. Je tedy nutné splnit podmínku rovnováhy pro silovou soustavu: .Z předchozího řešení známe velikost a směr reakce v bodě D . Podle zákona akce a reakce v bodě E dostáváme:Velikost a směr reakce jsme vyřešili při grafickém řešení rovnováhy členu 5. Účinky členů 3 a 5 na člen 2 tedy známe a musí být v rovnováze s reakcí v bodě A a vnějším zátěžným momentem . Reakce a můžeme nahradit jejich výslednicí.






Naposledy provedeme řešení rovnováhy sil na členu 2. Je tedy nutné splnit podmínku rovnováhy pro silovou soustavu: .Z předchozího řešení známe velikost a směr reakce v bodě D . Podle zákona akce a reakce v bodě E dostáváme:Velikost a směr reakce jsme vyřešili při grafickém řešení rovnováhy členu 5. Účinky členů 3 a 5 na člen 2 tedy známe a musí být v rovnováze s reakcí v bodě A a vnějším zátěžným momentem . Reakce a můžeme nahradit jejich výslednicí .






Účinky členů 3 a 5 na člen 2 tedy známe a musí být v rovnováze s reakcí v bodě A a vnějším zátěžným momentem . Reakce a můžeme nahradit jejich výslednicí . Máme tedy dvě síly , a moment , které musí na členu 2 splňovat podmínku statické rovnováhy.






Účinky členů 3 a 5 na člen 2 tedy známe a musí být v rovnováze s reakcí v bodě A a vnějším zátěžným momentem . Reakce a můžeme nahradit jejich výslednicí . Máme tedy dvě síly , a moment , které musí na členu 2 splňovat podmínku statické rovnováhy.Aby byly dvě síly a moment v rovnováze, musí tyto dvě síly tvořit silovou dvojici, jejíž moment je v rovnováze s hledaným momentem.






Účinky členů 3 a 5 na člen 2 tedy známe a musí být v rovnováze s reakcí v bodě A a vnějším zátěžným momentem . Reakce a můžeme nahradit jejich výslednicí . Máme tedy dvě síly , a moment , které musí na členu 2 splňovat podmínku statické rovnováhy.Aby byly dvě síly a moment v rovnováze, musí tyto dvě síly tvořit silovou dvojici, jejíž moment je v rovnováze s hledaným momentem.Reakce v bodě A bude tedy ležet na nositelce rovnoběžné s nositelkou síly .






Účinky členů 3 a 5 na člen 2 tedy známe a musí být v rovnováze s reakcí v bodě A a vnějším zátěžným momentem . Reakce a můžeme nahradit jejich výslednicí . Máme tedy dvě síly , a moment , které musí na členu 2 splňovat podmínku statické rovnováhy.Aby byly dvě síly a moment v rovnováze, musí tyto dvě síly tvořit silovou dvojici, jejíž moment je v rovnováze s hledaným momentem.Reakce v bodě A bude tedy ležet na nositelce rovnoběžné s nositelkou síly .






Účinky členů 3 a 5 na člen 2 tedy známe a musí být v rovnováze s reakcí v bodě A a vnějším zátěžným momentem . Reakce a můžeme nahradit jejich výslednicí . Máme tedy dvě síly , a moment , které musí na členu 2 splňovat podmínku statické rovnováhy.Aby byly dvě síly a moment v rovnováze, musí tyto dvě síly tvořit silovou dvojici, jejíž moment je v rovnováze s hledaným momentem.Reakce v bodě A bude tedy ležet na nositelce rovnoběžné s nositelkou síly .Musí být stejně velká a opačně orientovaná.






Účinky členů 3 a 5 na člen 2 tedy známe a musí být v rovnováze s reakcí v bodě A a vnějším zátěžným momentem . Reakce a můžeme nahradit jejich výslednicí . Máme tedy dvě síly , a moment , které musí na členu 2 splňovat podmínku statické rovnováhy.Aby byly dvě síly a moment v rovnováze, musí tyto dvě síly tvořit silovou dvojici, jejíž moment je v rovnováze s hledaným momentem.Reakce v bodě A bude tedy ležet na nositelce rovnoběžné s nositelkou síly .Musí být stejně velká a opačně orientovaná.






Velikost hledaného momentu určíme podle vztahu:

kde je kolmá vzdálenost mezi nositelkami silové dvojice.















Orientace momentu bude taková, jak je zakreslena v obrázku. Musí být totiž opačná, než je orientace momentu silové dvojice a .





Zadání: Rovinná soustava těles znázorněná na obrázku je zatížena silou F v bodě C.

Documents