Prirodno-matematiˇ cki fakultet, Odsjek za matematiku Sarajevo, 11. 11. 2009. Prva provjera znanja izUvoda u matematiˇ cku logikugrupa A Pitanje 1 (5 poena) a) Definiˇ site interpretaciju raˇ cunaR i uX= ∅ i definiˇ site dokazivuR i -formuluΦ. b) ˇ Sta moˇ zet e k azati o g lavn oj int erpreta cij i raˇ cunaR i i o Booleovoj funkcijiR i -formule Φ = Φ( p 1 , p 2 , .... ., p n )? c) F ormir ajte Booleovu funkcijuR i -formule( p ⇒q) ∨ r. Pitanje 2 (5 poena) a) Definiˇ sit e semantiˇ cki ekv iva lentneR i -formule i napiˇ site najmanje 10primjera s emantiˇ cki ek vivalen tnih i skaznih formula. b) Dokaˇ zite (najmanje na dva naˇ cina) da su iskazne formulep ⇔ qi( p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬q) semantiˇ cki ekvi val entn e. Zadatak 1 (5 poena) Odr editi istini tosne vrijednosti iskazap,q,r,s,t ∈ {, ⊥} ako jeτ ( p ⇔r ) ⇒ ¬q ⇒( ¬r ∧ ¬t) ∨ (¬s ⇒ t ) = ⊥. Zadatak 2 (5 poena) Iskazna formulaΦ ≡ (¬r ∨p) ⇒q ⇒F ⇔ F⇒ ¬q ⇒ ( r ∧ ¬ p) je tautolog ija. Sastaviti s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formuleF≡F( p, q, r). 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 27.12.2009.
Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1 (3 poena)
a) Definisite predikat duzine n ∈ N = {1, 2, 3,...} definisan na skupu X =∅.
b) Definisite egzistencijalni kvantor (kvantifikator) ∃.
Pitanje 2 (3 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelo-vanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata.
Pitanje 3 (4 poena) ˇ Sta mozete kazati o direktnom (neposrednom) dokazu u racunu iskaza? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (5 poena) Sataviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je
τ ((P (b) ∨ P (c)) ⇒ P (d)) = .
Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su jednomjesni predikati
P 1(x, y) : “x − y ≤ 5,
P 2(x, y) : “2x + y ≥ −2 i
P 3(x, y) : “y ≤ 2.
Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇒ (P 2 ∧ P 3).
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 14.01.2010.
Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite i-tautologiju Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). For-mulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite da je ( p =⇒ q ) ⇔(¬q ⇒ ¬ p) i- tautologija.
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata.
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o posrednom (indirektnom) dokazu u racunu i? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (6 poena) Iskazne formule
F 1 ≡ [(¬ p ∨ q ) ⇒ r] ⇒ F i F 2 ≡ [(¬ p ∨ q ) ∧ ¬r] ∧ ¬F
su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule F =F ( p, q, r).
Zadatak 2 (6 poena) Sastaviti tabele istinitosti svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je
τ
P (a)∨P (b)∨¬P (c)∧P (a)∨¬P (b)∨P (c)
∧¬P (a)∨¬P (b)∨P (c)
= .
Zadatak 3 (7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : “x− y + 1
≤ 1” i
P 2(x, y) : “x + y − 5
> 1”.
Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 14.01.2010.
Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite semanticki ekvivalentne i-formule i napisite najmanje 10 primjera semanticki ekvivalentnih iskaznih formula. Dokazite da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p) semanticki ekvivalentne.
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja utvrduje medusobni odnos izmedu cetiri jednomjesna predikata iz skupa
koji su pridruzeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2 → {0, 1}definisanom na skupu S = ∅.
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju (u racunu i) tvrdnji oblika implikacije p ⇒ q ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (6 poena) Iskazne formule
F 1 ≡ [( p ∨ ¬q ) ⇒ ¬r] ⇒ ¬F i F 2 ≡ [( p ∨ ¬q ) ∧ r] ∧ F
su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule F =F ( p, q, r).
Zadatak 2 (6 poena) Sastaviti tabele istinitosti svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je
τ
P (a)∧¬P (b)∧P (c)
∨P (a)∧¬P (b)∧¬P (c)
∨
¬P (a)∧¬P (b)∧P (c)
= ⊥.
Zadatak 3 (7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : “x − y + 5
≤ 1” i
P 2(x, y) : “x + y − 1
> 1”.
Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 14.01.2010.
Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa C
Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite i-tautologiju Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). For-mulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite da je ( p =⇒ q ) ⇔(¬q ⇒ ¬ p) i- tautologija.
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata.
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o posrednom (indirektnom) dokazu u racunu i? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (6 poena) Iskazne formule
F 1 ≡ [(q ∨ ¬r) ⇒ p] ⇒ F i F 2 ≡ [(q ∨ ¬r) ∧ ¬ p] ∧ ¬F
su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule F =F ( p, q, r).
Zadatak 2 (6 poena) Sastaviti tabele istinitosti svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je
τ
P (a)∨P (b)∨P (c)∧P (a)∨¬P (b)∨P (c)
∧¬P (a)∨¬P (b)∨P (c)
= .
Zadatak 3 (7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : “x− y − 1
≤ 1” i
P 2(x, y) : “x + y + 5
> 1”.
Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 14.01.2010.
Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa D
Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite semanticki ekvivalentne i-formule i napisite najmanje 10 primjera semanticki ekvivalentnih iskaznih formula. Dokazite da su iskazne formule p ⇔ q i ( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p) semanticki ekvivalentne.
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja utvrduje medusobni odnos izmedu cetiri jednomjesna predikata iz skupa
koji su pridruzeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2 → {0, 1}definisanom na skupu S = ∅.
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju (u racunu i) tvrdnji oblika implikacije p ⇒ q ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (6 poena) Iskazne formule
F 1 ≡ [(¬q ∨ r) ⇒ ¬ p] ⇒ ¬F i F 2 ≡ [(¬q ∨ r) ∧ p] ∧ F
su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti iskazne formule F =F ( p, q, r).
Zadatak 2 (6 poena) Sastaviti tabele istinitosti svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d} takvih da je
τ
P (a)∧P (b)∧¬P (c)
∨
¬P (a)∧P (b)∧¬P (c)
∨
¬P (a)∧¬P (b)∧P (c)
= ⊥.
Zadatak 3 (7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : “x − y − 5
≤ 1” i
P 2(x, y) : “x + y + 1
> 1”.
Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 04.02.2010.
Popravni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1 (6.7 poena) Definisite osnovne logicke operacije u skupu P X (svih) jednomjesnih predikata definisanih na skupu X = ∅. Nakon toga ilustrujte ih na primjeru skupa P X , ako je X = {a, b} .
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenjive dvomjesnog predikata.
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o neposrednom (direktnom) dokazu u racunu i? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (6 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈ R tako da iskaz
Zadatak 2 (7 poena) Navesti primjer dvomjesnog predikata P, definisanog na skupu S =x ∈ Z
1 < |x − 2| ≤ 3
takvog da iskaz
(∀y ∈ S ) (∃x ∈ S )P (x, y) ⇒ (∃x ∈ S ) (∀y ∈ S )P (x, y)
bude netacan.
Zadatak 3 (7 poena) Rijesiti jednacinu
τ
(¬r ∨ ¬q ) ⇒ (s ∧ q )
∨ ( p ∧ q )
∨
(¬r ∧ ¬s) ⇒ p
∧ ¬q
= ,
po nepoznatim p ,q,r, s ∈ {,⊥}.
Napomena: Na ovoj provjeri znanja je moguce osvojiti maksimalno 40
bodova (20 iz teorije i 20 iz zadataka). Bodovi osvojeni na ovoj provjeriznanja se ne sabiraju sa bodovima osvojenim na zavrsnoj provjeri znanja vecovi drugi anuliraju prve.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 04.02.2010.
Popravni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o univerzalnom kvantoru?
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja utvrduje medusobni odnos izmedu cetiri jednomjesna predikata iz skupa
{∀xP (x, y), ∀yP (x, y), ∃xP (x, y), ∃yP (x, y)}
koji su pridruzeni proizvoljnom (dvomjesnom) predikatu P : S 2
→ {0, 1}definisanom na skupu S = ∅.
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju (u racunu i) tvrdnji oblika implikacije p ⇔ q ? Nakon odgovora na ovo pitanje navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (6 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈ R tako da iskaz
Zadatak 2 (7 poena) Navesti primjer dvomjesnog predikata P, definisanog na skupu S =
x ∈ Z
1 < |x + 2| ≤ 3
takvog da iskaz
(∀x ∈ S ) (∃y ∈ S )P (x, y) ⇒ (∃y ∈ S ) (∀x ∈ S )P (x, y)
bude netacan.
Zadatak 3 (7 poena) Rijesiti jednacinu
τ
(¬q ∨ ¬ p) ⇒ (r ∧ p)
∨ (s ∧ p)
∨
(¬q ∧ ¬r) ⇒ s
∧ ¬ p
= ,
po nepoznatim p ,q,r, s ∈ {,⊥}.
Napomena: Na ovoj provjeri znanja je moguce osvojiti maksimalno 40
bodova (20 iz teorije i 20 iz zadataka). Bodovi osvojeni na ovoj provjeriznanja se ne sabiraju sa bodovima osvojenim na zavrsnoj provjeri znanja vecovi drugi anuliraju prve.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 14.09.2010.
Dodatni ispit iz Uvoda u matematicku logiku
Pitanje 1 (6.7 poena) Formulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite (bar na dva naina) da je zakon otkidanja iskazna tautologija.
Pitanje 2 (6.7 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora (na promjenjive dvomjesnog predikata).
Pitanje 3 (6.7 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju po logickom kvadratu?
Zadatak 1 (6.7 poena) Odrediti vrijednosti promjenljive x ∈ R\{4} za koje je tacan iskaz
x2 − 6x + 2
4− x ≥ −1 ⇒ 2x ≤
1
4.
Zadatak 2 (6.7 poena) Iskazna formula
Φ ≡ [( p ∧ ¬q ) ⇒ r] ⇔ ¬F
je tautologija. Rijesiti jednacinu F ( p, q, r) = ⊥, po nepoznatim p , q, r ∈{,⊥}.
Zadatak 3 (6.7 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : “ max{|x|, |y|} ≤ a” i
P 2(x, y) : “x − y
≤ a”
( a > 0). Predstaviti graficki oblast istinitosti predikata P 1 ⇔ P 2.
Napomena: Na ovoj provjeri znanja je moguce osvojiti maksimalno 40
bodova (20 iz teorije i 20 iz zadataka). Bodovi osvojeni na ovoj provjeriznanja se ne sabiraju sa bodovima osvojenim na prethodne dvije provjereznanja (zavrsni i popravni ispit). Bodovi osvojeni na ovoj provjeri anulirajubodove osvojene na prethodne dvije provjere.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 11. 11. 2010.
Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1 (3.33 poena) Formulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite
da je iskazna formula ¬ p⇒ (q ∧ ¬q )
⇒ p iskazna tautologija.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o interpretacijama logike iskaza?
Pitanje 3 (3.33 poena) Definisite normalnu konjuktivnu formu (n.k.f.) i
savrsenu normalnu konjuktivnu formu (s.n.k.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). Nakon toga, napisite svaku od njih za formulu Φ =Φ( p, q, r) ako je Φ( p, q, r) kraca oznaka za formulu ( p ∧ q ) ∨ ¬r.
Zadatak 1 (5 poena) Iskazna formula
Φ ≡
(q ⇔ ¬r) ∨ ¬F
∧ (¬ p ∨ ¬F )
∧
(¬F ⇒ p) ∨ (¬q ⇔ ¬r)
je tautologija. Sastaviti:
a) istinitosnu tabelu iskazne formule F ( p, q, r);
b) s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ( p, q, r).
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 11. 11. 2010.
Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1 (3.33 poena) Definisite semanticki ekvivalentne iskazne formule i navedite bar deset primjera takvih formula. Nakon toga dokazite da su iskazne formule p⇒ q i ¬ p⇒ ¬q semanticki ekvivalentne.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o glavnoj interpretaciji logike iskaza i o Booleovoj funkciji iskazne formule Φ = Φ ( p1, p2, . . . , pn)? Nakon toga
formirajte Booleovu funkciju iskazne formule ( p∨
q )∧ ¬
r.
Pitanje 3 (3.33 poena) Definisite normalnu disjunktivnu formu (n.d.f.) i savrsenu normalnu disjunktivnu formu (s.n.d.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). Nakon toga, napisite svaku od njih za formulu Ψ =Ψ( p, q, r) ako je Ψ( p, q, r) kraca oznaka za formulu ( p ∨ q ) ∧ ¬r.
Zadatak 1 (5 poena) Iskazna formula
Φ ≡
( p⇔ r) ∨ ¬F
∧ (q ∨ ¬F )
∧
(¬F ⇒ ¬q ) ∨ ( p⇔ ¬r)
je tautologija. Sastaviti:
a) istinitosnu tabelu iskazne formule F ( p, q, r);
b) s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ( p, q, r).
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 11. 11. 2010.
Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa C
Pitanje 1 (3.33 poena) Formulisite teoremu o iskaznim tautologijama i dokazite
da je iskazna formula ¬ p⇒ (q ∧ ¬q )
⇒ p iskazna tautologija.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o interpretacijama logike iskaza?
Pitanje 3 (3.33 poena) Definisite normalnu konjuktivnu formu (n.k.f.) i
savrsenu normalnu konjuktivnu formu (s.n.k.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). Nakon toga, napisite svaku od njih za formulu Φ =Φ( p, q, r) ako je Φ( p, q, r) kraca oznaka za formulu ( p ∧ q ) ∨ ¬r.
Zadatak 1 (5 poena) Iskazna formula
Φ ≡
(¬q ⇔ ¬r) ∨ ¬F
∧ ( p ∨ ¬F )
∧
(¬F ⇒ ¬ p) ∨ (q ⇔ ¬r)
je identicki lazna. Sastaviti:
a) istinitosnu tabelu iskazne formule F ( p, q, r);
b) s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ( p, q, r).
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 11. 11. 2010.
Prva provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa D
Pitanje 1 (3.33 poena) Definisite semanticki ekvivalentne iskazne formule i navedite bar deset primjera takvih formula. Nakon toga dokazite da su iskazne formule p⇒ q i ¬ p⇒ ¬q semanticki ekvivalentne.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o glavnoj interpretaciji logike iskaza i o Booleovoj funkciji iskazne formule Φ = Φ ( p1, p2, . . . , pn)? Nakon toga
formirajte Booleovu funkciju iskazne formule ( p∨
q )∧ ¬
r.
Pitanje 3 (3.33 poena) Definisite normalnu disjunktivnu formu (n.d.f.) i savrsenu normalnu disjunktivnu formu (s.n.d.f.) iskazne formule Φ = Φ( p1, p2, . . . , pn). Nakon toga, napisite svaku od njih za formulu Ψ =Ψ( p, q, r) ako je Ψ( p, q, r) kraca oznaka za formulu ( p ∨ q ) ∧ ¬r.
Zadatak 1 (5 poena) Iskazna formula
Φ ≡
(¬ p⇔ ¬r) ∨ ¬F
∧ (¬q ∨ ¬F )
∧
(¬F ⇒ q ) ∨ (¬ p⇔ r)
je identicki lazna. Sastaviti:
a) istinitosnu tabelu iskazne formule F ( p, q, r);
b) s.d.n.f. i s.k.n.f. iskazne formule F ( p, q, r).
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 24.12.2010.
Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1 (3.33 poena)
a) Definisite univerzalni kvantor ∀.
b) Formulisite i dokazite teoremu koja se odnosi na jednomjesne predikate ∀xP (x, y),∀yP (x, y),∃xP (x, y), ∃yP (x, y) pridruzene proizvoljnom dvo-mjesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = θ.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju pomocu logickog kvadrata?
Pitanje 3 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o direktnom dokazu u racunu iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (5 poena) Sastaviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d,e} takvih da je
¬P (c) ⇒
P (a) ∧ ¬P (e)
∧
¬P (c) ∨P (a) ∧ ¬P (e)
∨
P (d) ∨ ¬P (b)
⇒P (d) ∧ P (b)
= .
Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : y ≥ (x − 1)2 −x − 1
i
P 2(x, y) : y ≤ −x2 + 2x.
Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i ¬P 1 ∧ P 2.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 24.12.2010.
Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1 (3.33 poena)
a) Definisite egzistencijalni kvantor ∃.
b) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o silogizmu (kao formi zakljucivanja)i njegovim vrsta-ma (uz navodenje najmanje po jednog primjera za svaku vrstu)?
Pitanje 3 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o indirektnom dokazu u racunu iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (5 poena) Sastaviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d,e} takvih da je
¬P (b) ⇒
¬P (e) ∧ ¬P (d)
∧¬P (b) ∨
¬P (e) ∧ ¬P (d)
∨¬P (c) ∨ P (a)
⇒
¬P (c) ∧ ¬P (a)
= .
Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : y ≥x− 1
− (x− 1)2 i
P 2(x, y) : y ≤ x2 − 2x.
Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i P 1 ∧ ¬P 2.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 24.12.2010.
Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa C
Pitanje 1 (3.33 poena)
a) Definisite univerzalni kvantor ∀.
b) Formulisite i dokazite teoremu koja se odnosi na jednomjesne predikate ∀xP (x, y),∀yP (x, y),∃xP (x, y), ∃yP (x, y) pridruzene proizvoljnom dvom- jesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = θ.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o zakljucivanju pomocu logickog kvadrata?
Pitanje 3 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o direktnom dokazu u racunu iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (5 poena) Sastaviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d,e} takvih da je
¬P (e) ⇒
P (c) ∧ ¬P (b)
∧
¬P (e) ∨P (c) ∧ ¬P (b)
∨
¬P (a) ∨ P (d)
⇒
¬P (a) ∧ ¬P (d)
= .
Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : y ≥ (x + 1)2 −x + 1
i
P 2(x, y) : y ≤ −x2 − 2x.
Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i P 1 ∧ ¬P 2.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 24.12.2010.
Druga provjera znanja iz Uvoda u matematicku logiku grupa D
Pitanje 1 (3.33 poena)
a) Definisite egzistencijalni kvantor ∃.
b) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata.
Pitanje 2 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o silogizmu (kao formi zakljucivanja)i njegovim vrsta-ma (uz navodenje najmanje po jednog primjera za svaku vrstu)?
Pitanje 3 (3.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o indirektnom dokazu u racunu iskaza? Navedite bar jedan primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (5 poena) Sastaviti tabele svih jednomjesnih predikata definisanih na skupu S = {a,b,c,d,e} takvih da je
¬P (a) ⇒
P (d) ∧ ¬P (c)
∧¬P (a) ∨
P (d) ∧ ¬P (c)
∨¬P (b) ∨ P (e)
⇒
¬P (b) ∧ ¬P (e)
= .
Zadatak 2 (5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati
P 1(x, y) : y ≥x + 1
− (x + 1)2 i
P 2(x, y) : y ≤ x2 + 2x.
Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i ¬P 1 ∧ P 2.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 13.01.2011.
Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1
a) (2 poena) Definisite konjunktivnu normalnu formu (k.n.f.) i savrsenu konjunktivnu normalnu formu (s.k.n.f.) iskazne formule Φ.
b) (2 poena) Definisite egzistencijalni kvantor ∃.
c) (4.33 poena) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelo-vanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata.
Pitanje 2 (8.33 poena) Kazite (sto detaljnije mozete) o vrsti zakljucivanja pomocu logickog kvadrata, koju nazivamo zakljucivanje po suprotnosti . Nakon toga navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takve vrste zakljucivanja.
Pitanje 3 (8.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju tvrdnji (u racunu iskaza) koje su oblika ekvivalencije p ⇔ q ? Navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (12.5 poena) Iskazne formule
Φ1 ≡
(¬ p ∧ r) ∨ q
⇒
(¬ p ∨ r) ∧ q
∨ ¬F
i Φ2 ≡
( p ∨ ¬r) ∧ ¬q ∧ ¬F
∨
(¬ p ∨ r) ∧ q ∧ ¬F
su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti, s.k.n.f. i s.d.n.f.iskazne formule F(p,q,r).
Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R definisani su jednomjesni predikati
P 1(x) : x2 − 2x +x − 1
≥ 5,
P 2(x) : 4 −x − 1
≥ −1,
P 3(x) : max {x − 1, 3 − x} ≥ 3.
Odrediti oblast istinitosti predikata P 1, P 2, P 3 i (P 1 ⇔ P 2) ∧ ¬P 3.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 13.01.2011.
Zavrsni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1
a) (2 poena) Definisite disjunktivnu normalnu formu (d.n.f.) i savrsenu disjunktivnu normalnu formu (s.d.n.f.) iskazne formule Φ.
b) (2 poena) Definisite univerzalni kvantor ∀.
c) (4.33 poena) Formulisite i dokazite teoremu koja se odnosi na jedno-mjesne predikate ∀xP (x, y), ∀yP (x, y),∃xP (x, y), ∃yP (x, y) pridruzene proizvoljnom dvomjesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = ∅.
Pitanje 2 (8.33 poena) Kazite (sto detaljnije mozete) o vrsti zakljucivanja pomocu logickog kvadrata, koju nazivamo zakljucivanje po suprotnosti . Nakon toga navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takve vrste zakljucivanja.
Pitanje 3 (8.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju tvrdnji (u racunu iskaza) koje su oblika jednakosti L = D? Navedite bar jedan (pogodno-
ilustrativni) primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (12.5 poena) Iskazne formule
Φ1 ≡
(¬q ∧ r) ∨ ¬ p
⇒
(¬q ∨ r) ∧ ¬ p
∨ ¬F
i Φ2 ≡
(q ∨ ¬r) ∧ p ∧ ¬F
∨
(¬q ∨ r) ∧ ¬ p ∧ ¬F
su semanticki ekvivalentne. Sastaviti tabelu istinitosti, s.k.n.f. i s.d.n.f.iskazne formule F(p,q,r).
Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R definisani su jednomjesni predikati
P 1(x) : x2 + 2x +x + 1
≥ 5,
P 2(x) : 4 −x + 1
≥ −1,
P 3(x) : max {x + 1, 1 − x} ≥ 3.
Odrediti oblast istinitosti predikata P 1, P 2, P 3 i (P 1 ⇔ P 2) ∧ ¬P 3.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 03.02.2011.
Popravni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa A
Pitanje 1 (8.33 poena)
a) Definisite kanonske forme Ri− formula.
b) Formulisite i dokazite teoremu o promjeni poretka djelovanja kvantora na promjenljive dvomjesnog predikata.
Pitanje 2 (8.33 poena) Kazite (sto detaljnije mozete) o zakljucivanju popotsuprotnosti i zakljucivanju po protivrjecnosti .
Pitanje 3 (8.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju tvrdnji (u racunu iskaza) koje su oblika ekvivalencije p ⇔ q ? Navedite bar jedan (pogodno-ilustrativni) primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (12.5 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈ R tako da iskazi:
I 1 ≡ “ (∃x ∈ R) x2 + 3x + 3 ≤ m(x + 1);
I 2 ≡ “ (∀x ∈ R)x + 1
> m− 1;
I 1 ⇔ I 2.
budu tacni.
Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati:
P 1(x, y) ≡ “x2− 2x ≤ y2 + 2y;
P 2(x, y) ≡ “x2− 2x ≤ −y2
− 2y.
Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i P 1 ⇒ P 2.
Prirodno-matematicki fakultet, Odsjek za matematiku
Sarajevo, 03.02.2011.
Popravni ispit iz Uvoda u matematicku logiku grupa B
Pitanje 1 (8.33 poena)
a) Definisite Ri-tautologiju. Nakon toga formulisite Teoremu o iskaznim tautologijama i ispitajte da li je iskazna formula
¬( p ∧ q ) ⇔ ¬ p ∨ ¬q
iskazna tautologija.
b) Formulisite i dokazite teoremu koja se odnosi na jednomjesne predikate ∀xP (x, y), ∀yP (x, y), ∃xP (x, y), ∃yP (x, y) pridruzene proizvoljnom dvo-mjesnom predikatu P : S 2 → {0, 1} , definisanom na skupu S = ∅.
Pitanje 2 (8.33 poena) Kazite (sto detaljnije mozete) o zakljucivanju po
podredenosti i zakljucivanju po suprotnosti .
Pitanje 3 (8.33 poena) ˇ Sta mozete kazati o dokazivanju tvrdnji (u racunu iskaza) koje su oblika implikacije p ⇒ q ? Navedite bar jedan (pogodno-
ilustrativni) primjer takvog dokaza.
Zadatak 1 (12.5 poena) Odrediti vrijednosti parametra m ∈ R tako da iskazi:
I 1 ≡ “ (∃x ∈ R) x2 − 3x + 3 ≤ m(x − 1);
I 2 ≡ “ (∀x ∈ R)x − 1
> m + 1;
I 1 ⇔ I 2.
budu tacni.
Zadatak 2 (12.5 poena) Na skupu R2 definisani su dvomjesni predikati:
P 1(x, y) ≡ “x2 + 2x ≤ y2 − 2y;
P 2(x, y) ≡ “x2 + 2x ≤ −y2 + 2y.
Graficki predstaviti oblast istinitosti predikata P 1, P 2 i P 1 ⇒ P 2.