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Losungen der Aufgaben
1.1: a) z(t)jQ(t)jSO(t)j1/(z). b) 2j2j1j 1. e) Ja. d) z = -~:C - ~ZjQ = ... , sO = ±t<~)t(E +mglcosso)tjy' = -tcr~::v ± F· 1.2: ExpIizites System: Q = I (1), i = -ch:Q - fI (2). Man differenziert (1) und setzt danaeh (2) ein: Q = -eftQ - fI (3). AuflOsen von (1) nach I und das Ergebnis einsetzen
.. 1 R • ... 1 in (3): Q = - CL Q - rQ, d. h. LQ + RQ + oQ = 0 (siehe Beispiel 1.2). Man differenziert (2) und setzt im Ergebnis Q bzw. i aus (1) bzw. (2) ein: i = -ch:I -f(-ch:Q - fI) (4). AuflOsen von (2) nach Q (besser: nach -ch:Q) und das Ergebnis • • •• 1 R' ••• 1
emsetzen m (4): 1= -01:1 - rI, d. h. LI + RI + 01 = O.
>." = -It "": (2v + 1)2 - f,,(V = 4,5, ... ) mit f" > 0 und limf" = 0 fUr v -> 00.
2.11: Nein. >. = 0 ~ w(4) = 0 ~ w = CIZS+C2Z2+CSZ+C4. Die Randbedingungen fiihren zu einem Gleichungssystem fUr Cl, ... , C4, das nur die L5sung C1 = C2 = Cs = C4 = 0 besitzt.
2.12: Mit den Bezeichnungen z" = ~l und w" = jlfi-ltH" sowie H" = z~ ist
a) sin z" = 0, H" = (V1l"? (v = 1,2, ... ),
b) cosz" coshz" = I,H1 = 22,37, H2 = 61,67, H" = ": (2v + 1)2 + (-I)"-l f,, (v = 3,4, ... ) mit f" > 0 und limf" = 0 fUx v -> 00,
c) cosz" coshz" = -1, HI = 3,516, H2 = 22,03, H" = w:: (2v -1)2 + (-I)"-1f" (v = 3,4, ... ) mit f" > 0 und limf" = 0 fUx v -> 00,
d) tanhz" = tanz",H1 = 15, 42,H2 = 49, 96, H" = (v1I"+arctanl)2 -f" (v = 3,4, ... ) mit £" > 0 und limf" = 0 fUr v -> 00.
2.13: Zuniichst wird der jeweilige Eigenwert >. = >." (v = 1,2, ... ) der Eigenwertaufgabe aus dem Beispiel 2.6 in (2.45) bis (2.48) eingesetzt. Die L5sungen dieses Gleichungssystems (die Koeffizientendeterminante ist gleich 0), n1:i.mlich C1 = -A,,(EJ/k)>.~/2cos(y'X;I),C2 = A"y'X; cos ( y'X;1), Cs = 0, C4 = -A" (A" f. 0, beliebig) lief ern mit (2.44) die zu >." gehOrigen Eigenl5sungen w,,(z).
zu 2.9: w,,(z) = A,,«-I)" +sin(fr(2v-l)z». zu 2.10: w,,(z) = A,,(zy'Av cos(y'X;I) - sin(y'X;z». zu 2.12: W,,(z) = C1 cos(~z) + C2sin(~z) + C3exp(~z) +C4exp(-~Z),
3.3: m~ + BQiJ = 0, my - BQi; = 0, mz == O. Mit w == ~ ist x(t) == GI cos(wt) + G2sin(wt) + G4 = Acos(wt - rp) + G4, yet) == GI sin(wt) - G2 cos(wt) + G5 == Asin(wt - rp) + G5, z(t) == Gat + G6.
3.4: 1st in Ay'+By ~ g(x), detA:f. 0 das g(x) gleich (bO+bIX+ .. . +bmxm)e"'" cos(.8x)(bm :f. 0, ex, fJ reell) bzw. (bo+blx+ .. . +bmxm)e"': sin(fJx )(bm :f. 0, ex, fJ reell) und sind die Elemente von A, B, bo, ... , bm reell, so ist y p gleich Re(Y p) bzw. Jm(Y p), wobei Y p eine partikuliire Li:isung von AY' + BY = (bo + ... + bmxm)eq", mit q == ex + ifJ ist.
1st yp(x) (p = 1,2) jeweils eine partikuliire L5sung von Ay' + By == gp(x) (p == 1,2), so hat 2 2
Ay' + By = L cpgp(x) die partikuliire Li:isung y(x) == L cpyp(x). p=l p=l
3.5: YI == -6GI (cos X + sin x) + 6G2( cos x - sin x) - ~ sin(2x) + ~ cos(2x) + 3(1 + x)e-':, Y2 = 10GI con + 10G2 sinx + sin(2x) - ~e-':.
3.6: Charakteristische Gleichung: L2>.a + LR>.2 + ~ >. + ~ = O. Da aIle Koeffizienten L2, LR, ~ ,~ positiv sind, die linke Seite dieser Gleichung fiir >. = 0 den Wert ~ > 0 und fUr >. = -~ den Wert -~ < 0 liefert, giht es keine L5sung >. mit>. > 0 und mindestens eine Losung >. = >'1 mit -~ < >'1 < O. Die heiden weiteren L5sungen geniigen der quadratischen Gleichung >.2 + (~ + >'1)>' + >.~ + ~>'1 + A == 0 und hahen wegen ~ + >'1 > 0 negative Realteile. Also streht die allgemeine Losung des zugehOrigen homogenen Systems fUr t -+ 00
[lach null.
Mit Z = IZlei'P = tJ - Lw2 + iRw und N = INlei.p = ~ - LRw2 + iwL(iJ - Lw2) ist
[l(t) = a/Msin(wt + rp - 1jJ) und 12(t) = elkl sin(wt - 1jJ).
rJ klein: Ua = asin(wt) (DurchlaB), w groB: Ua = ~ .;. sin(wt + t) (Sperrung).
3.13: w = FlG(X,O) + F2G(x,a),G(x,x,,) = Wh + Wp,Wh = e)."',EJ>.4 + B = 0,>'l,2,S,4 = ±(B/ EJ)1/4(1 ± i)/...j2. Mit k = (4EJ / B)1/4 ist Wh = e"'/"(C1 cos f + Ca sin f) + e-"'/Io(Cs cos f + C4 sin f). Wp = e"'/"(ul(X) cos f +U2(X) sin f)+e-"'/lo(us(x) cos f +U4(X) sin f). u~ = (kS /8EJ)e-"'/" (sin f + cos f)6(x - x,,), Ul(X) = (kS /8EJ)e-"'''/''(sin!f + cos !f) fUr x > x"' Ul(X) = 0 fUr x < x". Aus "lw(x)1 beschriinkt" folgt Cs = 0,C4 = 0,C1 = -U1(X > x,,),C2 = -U2(X > x,,). G(x,x,,) = exp(_"'-,,"'v). *,,1sin("'-:v +~) fUr x?: x", G(x, x,,) = G(x", x) fUr x $ x". Kurvendiskussionen in den Intervallen -00 < x $ 0, ° $ x $ a, a $ x < +00 fUhren mit den gegebenen Zahlenwerten zum (ab801uten) Maximum von Iw(x)1 an der Stelle Xo = k[S; + arctan iJ mit Z = Fl + F2...j2etl / k sin(i + ~) und N = Fl + F2V2etl /" cos(i + ~), also Xo = 3,001625 ... m. Iw(xo)1 = 0,778 mm. Der Extremwert von IMI wird an der Stelle x = a = 3 m (dort ist M(x) nicht differenzierbar!) angenommen. IM(a)1 = 6844,576 Nm.
4.1: Y = 2cos(Inx) - sin(lnx) +~.
4.2: x = 2(ln t) sin(ln t) + C1 cos (In t) + C2 sin (In t).
5.11: Losung von (5.3): x(z) == C(1- z + z2)-! exp(Ta arctan(Ta(-1 + 2z))), y == z· :c(z). Die y-Achse - dort ist :c == 0 und z == ±oo - wird im Rechengang nicht erfaBt. Man erhiilt deshalb die Parameterdarstellung von LOsungskurveI)., die entweder in der rechten Halbebene (x > 0) oder in der linken Halbebene (x < 0) liegen. Weiterhin ist die Gerade y = x (d. h. z == 1) wegzulassen (siehe (5.3». Dort verlaufen die Tangenten an die LOsungskurven parallel zur y-Achse (Bild 5.2), und damit existjert dort die Ableitung y'(:c) der Losung y == Vex) nicht.
Losung von (5.4): Vex) == ZI:C und y == Z2:C mit Z1,2 = H-1 ± v'5). Falls z =I- Z1,2 und z =I- 0 (d. h. y =I- 0), lautet y = Vex) in Paramaterdarstellung (Parameter z) x(z) = Clz - zdAlz - z2lB ,y = z· :c(z) mit A = H-l + 7s') und B = HI + 7s'). 5.12: y' == -1- ± « 1-)2 + I)! mit A == ~(4x + ~y - ~h), Vex) == w(x) + h, w(x) == x . z(x), -00 < z < -2 (also z. B.: (z2)1/2 = -z, Iz - ~I == ~ - z), z' = ~(-2 -1fz ± iV5W) mit W == (5z2 + 32z + 64)1/2.
( ) - C I( 2 13 ± 1 1F5W)-ld - C I -2-fI3f8J$f(168)v'5w d x z - 1 exp - - gZ ilvil Z - 1 exp (-2-138 $)2-5/64)W2 Z
- C (I -16-13z d T· '51 5z2~32ZR64 1 d ) - C (2 )-17/36 - 1 ex.p 18(,,-(2/9»(,,+2) z T V i.I 18( .. - 2f9) z+2) . W Z - 1 9" - z . (-2 - z)-1/4(32 + 10z + 2V5W)'F5/18 . (: 304+m~I:v'5W ):l:17/36(416±3"l,?"W)'F1/4
= C(~ - Z )B( -2- z)b(32+ 10z+2V5W)'F5/ 18(304+ 77 z+ 17V5W):l:17/36(16+3z+V5W)'F1/4, wobei bei vorliegendem oberen bzw. unteren Vorzeichen jeweils a == -ti, b == 0 bzw. a == [), b = -~ gilt. y == z . x(z) + h.
Aus x -> +0 folgt z -> -00. Die gesuchte spezielle Losung geniigt der obigen Differentialgleichung mit dem unteren Vorzeichen. Fiir hinreichend stark negatives z gilt: (-2 - z)-1/2 == (_z)-1/2(1 + ~ )-1/2 = (_z)-1/2(1 _ ~ + ... ), (32 + lOz + 2V5W)5/18 == (32 + 10z + 2V5. V5( -z)(1 + ¥~ + 5~;2)1/2)5/18 .
6.3: Mit der Bezeichnung y' = I(z,y) ist I(z,y) = -1 - «1)2 + 1)1/2. Fiir ",~oY(x) = 5
gilt lim A = -00. Daher ist lim I(x, y(x)) = lim [-1 + 1(1 + (:i)2)1/2] = limo[-1 + ",_+0 ",_+0 ",_+0 "'-+ t(1 + !(:i)2 + ... )] = lim Ll- + ... ] = o. Es ist also bei Verfahrensbeginn 1(0,5) = 0 zu ",_+0 setzen.
Yf(0,5) = 4, 974578348,Yf(1) = 4, 863409455, Yg(l) = 4,862774706, (1/15)(Yf - Yg) = 4,2317.10-5, y(l) = 4, 863451772, z(l) = -5,136548228. Das x = x(z) der speziellen Losung aus Aufgabe 5.12 im Fall h = 10 ist fUr z = z(1) gleich 0,9999951294. Die Ergebnisse beider LOsungswege stimmen also gut iiberein.
7.2: Die Anfangsbedingung liefert Co = 1. Damit ergibt sich Cl(X - 1)2 + ... = 1 + (Cl -1) (x - 1) + ... Der Beginn des Koeffizientenvergleiches fiihrt zum Widerspruch 0 == 1.
7.3: a) Y = E~=o CI/xl/, yeO) = 1, y'(0) = 0 => Co = 1, Cl = o. :1- x2)y" - xy' = 2 => E~=o CI/+2(1I + 2)(11 + l)xl/ - E::o CI/(II(II- 1) + II)X" = 2 =* C2 = 1, C,,+2 = (I/+l)(I/+2)C" (11== 1,2,3, ... ) ~ Ca == Cs == 0, C4 == 1/3, C6 == 8/45. ) y' == p => (l-x2)p' -xp = 2,p(0) == O. Behandlung nach 5.3.21iefert p = CdJt~."",~n'" (fiir
xl < 1) u~d Cl = 0 wegen p(O) = O. Damit Y = (arcsinx)2 + C2 mit C2 = 1 wegen yeO) = 1. ~olglich Y = 1 + (x - ixa + fox 5 + ... )2 == 1 + x2 + ~Z4 + fs-x6 + ... :) Co = yeO) = 1, C1 = y'(0) == 0, C2 = ~y"(O) = 1. Jiiferentiation: (1- x2)y''' - 2xy" - xy" - y' = 0 => y'''(0) - y'(0) = 0, also y'''(0) = 0, Ca == ~y'''(0) = ° usw.
r.4: Wegen tj; = -f sin tp und wegen der Anfangsbedingungen ist jetzt f(t, tp, if) = -f sin tp ;u untersuchen auf Entwickelbarkeit nach Potenzen von t, nach Potenzen von tp und nach ~otenzen von if - !If. Da I nichtexplizit von t und if abhiingt, sind die entsprechenden !:ntwicklungen trivialj z. B. fUr die Entwicklung nach Potenzen von t gilt I(t, tp, tj;) = -t sintp· to + E~=1 O· t". Die Entwicklung nach Potenzenvon tp ist auch gesichert (7.16).
'.5: a) Aus lim Vex) = 5 folgt lim A = -00. Also lim (-1 ± (1" + 1)1/2) = +00 bzw. ",-+0 ",_+0 ",-+0 I, je nachdem, ob das obere bzw. untere Vorzeichen genommen wird. Die Existenz von lim y'(x) bedeutet, daB das obere Vorzeichen entfallt. _+0 ,) Fiir hinreichend kleine rir kann (A; + 1)1/2 = 141(1 + 1.)1/2 in eine binomische Reihe ntwickelt werden. ) Einsetzen einer Potenzreihe in eine andere. I) Co = lim Vex) = 5, C1 = lim y'(x) = 0 (beachte die LOsung von a». ",_+0 ",_+0 ) -25· 2C2 = 4j -75ca = 32c2; 5(11 + 2)CI/+2 = 16(11 + l)cI/+l + E~=2(5 + 41')(11 + 2 - p)C"CI/+2-,,(1I = 2,3,4, ... ). ) y(O,5) = 4, 974593632jy(l) = 4,863285357.
180 Losungen der Aufgaben
7.6: 1 + z2 =F 0 fUr Z = O. Nullstellen der Nenner: 2, i, -i. Konvergenzradius ;::: 1.
7.8: 1/2 (z) = z J ",2fl~~2) = 02Z( OS - ~ + t In ~) (Partialbruchzedegung!). Weitere Information: 02 = 1 und Os = 0 liefert nam Definition die Legendresche Funktion 2. Art QI(Z) = -1 + ~ In ~ = -1 + zartanhz fUr Izl < 1.
7.9: a) a2(z) = 1 =F 0, Konvergenzradius unendlich. b) 2(n-v) ( 0 1 2 ) Cv+2 = (v+l)(v+2jCV v = , , , .... c) Ho(z) = Co = 1,HI(Z) =CIZ= 2z,H2(Z) =co-2coz2 = -2+4z2,Hs(z) = clz-iclZ3 = -12z+8zs.
7.10: Nur z = -2 ist keine Stelle der Bestimmtheit.
7.11: Ja.
7.12: a) KIar. b) Determinierende Gleichung: a 2 + 2a + 1 = 0 mit Doppelwurzel -1, also al = -1. Rekursionsformel: Cv = -~(v = 1,2,3, ... ). Damit cv = (i;'~?: und y(z) = 1 ~oo en?: 't K adi dlich ... '£"'1'=0 v. 1Dl onvergenzr us unen .
8.1: Allgemeine LOsung: Y = Oie'" + 02e2", + 1. Randbedingungen liefern 01 = 0,02 = 1, also Y = e2'" + 1 einzige LOsung.
8.2: a) Inhomogen. b) Inhomogen. c) Homogen.
8.3: a)u=-2z, b)u=2-z+z2.
8.4: -( e"'-1/)' + e"" y = _e"'o cos z.
8.5: Yl(Z) = COSZ,1/2(z) = sinz,Ul(Z) = COSZ,U2(Z) = sin(l - z),p(O) = 1, W(O) = - cos 1, G(z, z) = (cos 1)-1 cos z sin(l- z) fUr 0 :5 z :5 z :5 1, G(z, z) = (cos 1)-1 cosz x sin(l- z) fUr 0 :5 z :5 z :5 1.
8.6: Wenn (8.25), (8.26) eindeutig 100bar ist, hat nam Satz 8.1 die Aufgabe L(y) = fez), yea) = 'Yby(b) = YI(b) die einzige LOsung Yt. also folgt Y2(b) =F Yl(b).
8.7: a) WI = COS1l"Z, W2 = COS1l"Z + ;. sin 1I"Z, 01 = 1-11",02 = 11".
b) WI = COS1l"Z,W2 = COS1l"Z + ;'sinn,w2(1) - wl(l) = O. Gleichungssystem 0 1 + O2 = 1,01 + 02 = 0 besitzt keine LOsung. c) WI = 0, W2 = ;. sin 1I"Z, w2(1) - wl(l) = O. Gleichungssystem 0 1 + O2 = 1,0 = 0 besitzt unendlich viele LOsungen.
8.8: Fur A :5 0 existieren keine Eigenwerte. Fiir A > 0 : Eigenwertgleichung sin .../Xl = 0, Eigenwerte A = An = n;:" (n = 1,2,3, ... ), Eigenfunktionen o sin ni" z (0 =F 0), Vielfachheiten gleich 1.
8.9: Partielle Integration ergibt < L(u), v >= J~(ul(z»*v(z)dz =< u, L(v) > .
8.10: Zweimalige partielle Integration ergibt < L(u),v >= J~ EJ(z)(ul(Z»*v"(z)dz =< u,L(v) >, da EJ(z) reell ist.
8.11: Nein, denn die Randbedingungen sind nicht getrennt.
8.13: Fiir Eigenfunktionen Yn und zn zum. Eigenwert ~n gilt zn = dnYn mit ciner Konstanten dn i- 0, da ~n einfach ist. Wegen
dnYn dn Yn ../< dnYn, dnYn >p = Idnl../< Yn, Yn >p
foIgt die Behauptung mit 'Yn = Jb. 1 2 812 ~ao 1 . (2n,1)'" 8.14: z - z =;rr L.m=1 (2n_1)88ID z.
8.15: a) -(z1/)' = ~~,y(l) = y(e) = O. b) Es liegt cine Euler8che Differentialgieichung vor. ~::; 0 : keine Eigenwerte. ~ > 0 : Eigenwertgleichung sin..;x = 0, Eigenwerte ~n = n211"2 (n = 1,2,3, ... ), Eigenfunktionen Csin(n1l"Inz). c) u(z) = E:"=1 bn sin(n1l"Inz) mit bn = 2.h z-1u(z) sin(n1l" In z)dz wegen It z-1 sin2(n1l" Inz)dz = i. 8.16: < L(u), u >= I!<Vlu'12 + qlul2)dz 2: I; qlul2dz > 0 fUr u(z) ~ o. 8.17: Zweimalige partielle Integration ergibt < L(u), u >= I~ EJ(z)lul/(z)l2dz 2: 0 fUr Vergleichsfunktionen u, da EJ(z) > O. Angenommen, es gilt < L(u),u >= 0 fUr u(z) ~ O. Wegen EJ(z) > 0 folgt ul/(z) == 0, d. h. u = C1 + C2Z. Die Randbedingungen liefem C1 = C2 = OJ Widerspruch. b) u = 12z2 - 21z3 + z4, R( u) = 5041-4 , ~1 = 1-4 Hl = 1-4(22,37)2 = 500,41-4•
9.1: :l:l = Z2,:l:2 = -28z2 - W~Z1 + b cosw1t. Das System ist nicht autonom.
9.2: a) Gleichgewichtspunkte: aIle Punkte der z1-Achse. Nichtentartete Trajektorien: Halhparabeln Z2 = ";2z1 + C und z2 = -../2Z1 + C (C beliebige Konstante). b) Einziger Gieichgewicht8punkt: (0, O)T. Nichtentartete Trajektorien: Bild 5.2. und Aufgabe 5.11.
9.3: Klar.
Literatur
[BHW] Burg, K.; HaJ, H.; Wille, F.: Hohere Ma.thematik fUr Ingenieure, Band III. 3. Aufl. Stuttgart: Teubner-Verlag 1993.
Spannung 57 Spektrum, diskretes 158 spezielle Losung 22 stationare Losung 168 Stelle der Bestimmtheit 123 Storglied 20 Streckenlast 14 Sturm-Liouvillesche Eigenwertaufgabe 156 Sturmsche Randwertaufgabe 143 System von Differentialgleichungen 15
Taylor-Abgleich 98 Thermodynamik, erster Hauptsatz der 87 -, zweiter Hauptsatz der 88 Trajektorie 166 Trennung der Veriinderlichen 75 triviale Losung 26, 148
Unitat der Losung von Anfangswertaufgaben 72, 110, 113
Variation der Konstanten 58 verallgemeinerter Potenzreihenansatz 125, 128, 129 Verfahren von Picard-LindelOf 72 - - Runge-Kutta 95 Vergleichsfunktion 152 Vielfachheit bei charakteristischer Gleichung 30 - eines Eigenwertes 148
Wronskische Determinante 21
Zustand eines dynamischen Systems 166 Zustandsgleichung 87 zweiter Hauptsatz der Thermodynamik 88 Zylinderfunktion 126
TEUBNER-TASCHENBUCH der Mathematik
Bronstein/ Semendjajew Taschenbuch der Mathematik 1m Vorwort zur ersten deutschen Auflage, die 1958 im Verlag B.G. Teubner Leipzig erschien, heiBt es zur Zielsetzung des Werkes: Mit der Herausgabe der deutschen Obersetzung des Taschenbuches der Mathematik von Bronstein und Semendjajew hofft der Verlag, den angehenden und in der Praxis stehenden Ingenieuren und darOber hinaus auch Physikern und Mathematikern ein wirklich brauchbares Nachschlagewerk in die Hand zu geben und dam it eine empfindliche LOcke in der deutschen mathematischen Literatur zu schlieBen. Auch als Repetitorium der Mathematik dOrfte das Buch gute Dienste leisten. Die vorliegende 25. Auflage basiert auf der 1979 vollig Oberarbeiteten 19. Auflage. Seine VorzOge hat das Werk wohl am besten dadurch unter Beweis gestellt, daB seither 25 Auflagen mit Ober 800.000 Exemplaren erschienen sind .
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ManteuffeVSeiffartlVetters: Uneare Algebra 7. Autl. 208 Seiten. OM 13,50
MeinholdIWagner: Partialle Differentialgleichungen 6. Autl. 116 Seiten. OM 12,-
OelschlAgel/MatthAus: Numerische Methoden 4. AutI. 95 Selten. OM 10,-
Pforr/OelschIAger/Seltmann: Obungsaufgaben zur linearen Algebra und linearen Optimierung 4., Autl. 92 Seiten. OM 8,-
Pforr/Schirotzek: Differential- und Integralrechnung fOr Funktionen mit einer Variablen 9., neubearb. Autl. 302 Selten. OM 26,80
PiehlerlZachlesche: Simulationsmethoden 4. AutI. 60 Seiten. OM 5,-
Stopp: Operatorenrechnung 5. Autl. 156 Selten. OM 19,80
WenzeVMeinhold: Gewohnliche Differentialgleichungen' 7., neubearb. Autl. 108 Seiten. OM 19,80
WenzeVHeinrlch: Obungsaufgaben zur Analysis 1 4. Autl. 75 Selten. OM 6,50
WenzeVHeinrlch: Ubungsaufgaben zur Analysis 2 4. Autl. 84 Seiten. OM 7,-
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