3/19/2011 1 Zagadnienie transportowe Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych 2011-03-19 1 Wykład 2 f. dr hab. iż. Joanna Józefowska Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu prof Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów Metody wyznaczania rozwiązań początkowych Metoda północno-zachodniego narożnika Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów 2011-03-19 2 2011-03-19 2 Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda Vogla (VAM) Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania Interpretacja rozwiązania f. dr hab. iż. Joanna Józefowska Przykład Firma produkująca nawozy sztuczne ma trzy zakłady produkcyjne zlokalizowane w Kluczborku, Białymstoku i Pile. Kwartalna produkcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5000 prof produkcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5000 kg, 6000 kg, i 2500 kg. Firma ma cztery centra dystrybucji, zlokalizowane w Lublinie, Elblągu, Łodzi i Opolu. Przewidywany popyt na nawozy w poszczególnych centrach dystrybucji wynosi odpowiednio: 6000 kg, 4000 kg, 2000 kg oraz 1500 kg. Jednostkowe koszty transportu (w zł/kg) z każdego zakładu do poszczególnych centrów dystrybucji podano w tablicy. T ablica 1. Jednostkowe koszty transportu [zł/kg] 2011-03-19 3 2011-03-19 3 Lublin Elbląg Łódź Opole Kluczbork 3 2 7 6 Białystok 7 5 2 3 Piła 2 5 4 5 Tablica 1. Jednostkowe koszty transportu [zł/kg] Znaleźć plan transportu minimalizujący koszty. f. dr hab. iż. Joanna Józefowska Przykład Kluczbork Lublin 5000 6000 3 2 Lublin Elbląg Łódź Opole Kluczbork 3 2 7 6 Białystok 7 5 2 3 Piła 2 5 4 5 prof Białystok Łódź Elbląg 6000 2000 4000 2 7 6 2 5 7 3 2011-03-19 4 2011-03-19 4 Piła Opole 2500 1500 DOSTAWCY DOSTAWCY ODBIORCY ODBIORCY 2 5 4 5 DECYZJA?
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
3/19/2011
1
Zagadnienie transportoweZagadnienie transportowe
Optymalizacja w procesach biznesowych
2011-03-19 1
Wykład 2
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Plan wykładu
Przykład zagadnienia transportowegoSformułowanie problemu
prof Sformułowanie problemu
Własności zagadnienia transportowegoMetoda potencjałówMetody wyznaczania rozwiązań początkowych
Metoda północno-zachodniego narożnikaMetoda minimalnego elementu macierzy kosztów
2011-03-19 22011-03-19 2
Metoda minimalnego elementu macierzy kosztówMetoda Vogla (VAM)
Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązaniaInterpretacja rozwiązania
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a PrzykładFirma produkująca nawozy sztuczne ma trzy zakłady produkcyjnezlokalizowane w Kluczborku, Białymstoku i Pile. Kwartalnaprodukcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5000
prof produkcja poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio: 5000
kg, 6000 kg, i 2500 kg. Firma ma cztery centra dystrybucji,zlokalizowane w Lublinie, Elblągu, Łodzi i Opolu. Przewidywanypopyt na nawozy w poszczególnych centrach dystrybucji wynosiodpowiednio: 6000 kg, 4000 kg, 2000 kg oraz 1500 kg.Jednostkowe koszty transportu (w zł/kg) z każdego zakładu doposzczególnych centrów dystrybucji podano w tablicy.
of xij – ilość towaru przewieziona od dostawcy i, i = 1,…,3, do odbiorcy j, j = 1,…,4.
Funkcja celuMinimalizacja kosztów transportu
2011-03-19 52011-03-19 5
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Koszty transportu
KluczborkLublin
500060003x11
2x
prof
Białystok
Łódź
Elbląg
6000
2000
4000
2x12
7x136x14
2x23
5x227x21
5x323x24
2011-03-19 62011-03-19 6
PiłaOpole
25001500
2x314x33
5x34
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Sformułowanie problemuzminimalizować: z = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14
+ 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24
+ 2x + 5x + 4x + 5x
prof + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34
2011-03-19 72011-03-19 7
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Sformułowanie problemu
Zmienna decyzyjnail ść t i i d d t ipr
of xij – ilość towaru przewieziona od dostawcy i do odbiorcy j, i = 1,…,3; j = 1,…,4.
Funkcja celuMinimalizacja kosztów transportu
Ograniczenia
2011-03-19 82011-03-19 8
DostawcyDostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapas
3/19/2011
3
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Koszty transportu
KluczborkLublin
50006000
x11
x
prof
Białystok
Łódź
Elbląg
6000
2000
4000
x12
x13x14
x23
x22x21
x32x24
2011-03-19 92011-03-19 9
PiłaOpole
25001500
x31x33
x34
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Sformułowanie problemuzminimalizować: z = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14
+ 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24
+ 2x + 5x + 4x + 5x
prof + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34
przy ograniczeniach:x11+x12+x13+x14 ≤ 5000
x21+x22+x23+x24 ≤ 6000x31+x32+x33+x34 ≤ 2500
2011-03-19 102011-03-19 10
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Sformułowanie problemu
Zmienna decyzyjnail ść t i i d dbi i dpr
of xij – ilość towaru przewieziona od odbiorcy i do dostawcy j, i = 1,…,3; j = 1,…,4.
Funkcja celuMinimalizacja kosztów transportu
Ograniczenia
2011-03-19 112011-03-19 11
DostawcyDostawcy: nie można wysłać więcej niż wynosi zapasOdbiorcyOdbiorcy: trzeba dostarczyć co najmniej tyle ile wynosi zapotrzebowanie
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Koszty transportu
KluczborkLublin
50006000
x11
x
prof
Białystok
Łódź
Elbląg
6000
2000
4000
x12
x13x14
x23
x22x21
x32x24
2011-03-19 122011-03-19 12
PiłaOpole
25001500
x31x33
x34
3/19/2011
4
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Sformułowanie problemuzminimalizować: z = 3x11 + 2x12 + 7x13 + 6x14
+ 7x21 + 5x22 + 2x23 + 3x24
+ 2x + 5x + 4x + 5x
prof + 2x31 + 5x32 + 4x33 + 5x34
przy ograniczeniach:x11+x12+x13+x14 ≤ 5000
x21+x22+x23+x24 ≤ 6000x31+x32+x33+x34 ≤ 2500
x11 +x21 +x31 = 6000
2011-03-19 132011-03-19 13
11 21 31
x12 +x22 +x32 = 4000x13 +x23 +x33 = 2000
x14 +x24 +x34 = 1500
xij ≥ 0, i=1,2,3; j=1,2,3,4
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Ogólny model zagadnienia transportowego
zminimalizować ∑∑= =
n
i
m
jijij xc
1 1całkowity koszt
prof
przy ograniczeniach
xij ≥ 0, i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n
mjbx j
n
iij ,,, K1
1=≥∑
=
niax i
m
jij ,,, K1
1=≤∑
=
zapotrzebowanie
zapas
nieujemny przesył
2011-03-19 142011-03-19 14
gdzie:i - indeks dostawcy, i = 1, …, nj - indeks odbiorcy, j = 1, …, mxij - liczba jednostek przesłanych od dostawcy i do odbiorcy jcij - koszt jednostkowy transportu od dostawcy i do odbiorcy jai - zapas dostawcy ibj- zapotrzebowanie odbiorcy j
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Warianty zagadnienia transportowego
całkowita podaż nie jest równa Dodajemy t ”pr
of całkowitemu popytowi (zadanie
niezbilansowane)
maksymalizacja funkcji celu
minimalne i maksymalne pojemności
„sztucznego” dostawcę lub
odbiorcę.
Mnożymy przez (-1).
Dodajemy
2011-03-19 152011-03-19 15
dróg
niedopuszczalne połączenia
ograniczenia.
Obciążamy bardzo dużymi kosztami.
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowego
Zadanie transportowe jest sformułowane jako
prof zadanie programowania liniowego zatem można je
rozwiązać stosując np. metodę simplex.Ze względu na szczególne własności zadania transportowego istnieją inne algorytmy, o mniejszej złożoności obliczeniowej, które można zastosować do rozwiązania tego zadania.
2011-03-19 162011-03-19 16
3/19/2011
5
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowego
Każde zbilansowane zadanie transportowe posiada skończone rozwiązanie optymalne.
1n =[1 … 1]pr
of
1n 0 0 ... 00 1n 0 ... 0
A = ... ... ... ... ...0 0 0 1n
En En En ... En
En =⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
100
010001
L
LLLL
L
L
2011-03-19 172011-03-19 17
Rozwiązanie bazowe zadania transportowego składa się dokładnie z (m + n – 1) zmiennych bazowych.Jeżeli wszystkie ai i bj są liczbami całkowitymi, to każde rozwiązanie bazowe (a więc również optymalne) jest utworzone z liczb całkowitych.
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowego
Każdemu rozwiązaniu zadania transportowego można przyporządkować pewien graf rozwiązania b do an sposób następ jącpr
of zbudowany w sposób następujący:wierzchołkami są węzły (i, j), dla których xij > 0każda para wierzchołków sąsiednich jest połączona krawędzią, przy czym parą wierzchołków sąsiednich są takie dwa wierzchołki (i1, j1) (i2, j2), że albo i1 = i2 albo j1 = j2 oraz pomiędzy nimi nie ma innych wierzchołków
2011-03-19 182011-03-19 18
i \ j 1 2 3 4 51 2 0 1 0 02 0 2 0 0 43 2 5 0 4 0
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowego
Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpo iadając m graf jest grafem spójn m i bepr
of odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli.Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków.
2011-03-19 192011-03-19 19
i \ j 1 2 3 4 51 2 0 1 3 02 0 2 0 0 43 2 5 0 4 0
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowego
Niech xB będzie dowolnym dopuszczalnymrozwiązaniem bazowym. Jeżeli przez B oznaczymybiór par (i j) takich że jest mienną ba o ą topr
of zbiór par (i,j), takich że xij jest zmienną bazową, tospełniony jest następujący układ równań:
nazywamy równoważną macierzą zerowąrozwiązania bazowego xB.Na to, aby rozwiązanie bazowe xB zadaniatransportowego było optymalne potrzeba i wystarcza,aby jego równoważna macierz zerowa byłanieujemna.
3/19/2011
6
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowego
Układ równań:cij + ui +vj = 0 dla (i, j) ∈ B
prof
ma nieskończenie wiele rozwiązań, ale wszystkie onewyznaczają tę samą równoważną macierz zerową.
Jeżeli macierz C0 zawiera elementy ujemne, toodpowiadające jej rozwiązanie nie jest rozwiązaniemoptymalnym.
2011-03-19 212011-03-19 21
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Własności zagadnienia transportowegoPrzez cykl γ(k,l) oznaczamy cykl w grafierozwiązania, który powstaje po dołączeniu zmiennej(k l) do rozwiązania bazowego
prof (k,l) do rozwiązania bazowego.
i \ j 1 2 3 4 51 2 0 1 3 02 0 2 0 0 43 2 5 0 4 0
Niech (k l) = (3 5)
123 4
γn((3,5) = {(3,5), (2,2)}
2011-03-19 222011-03-19 22
Wierzchołki grafu numerujemy kolejno, zaczynającod wierzchołka (k,l).Przez γp(k,l) oznaczamy zbiór wierzchołków onumerach parzystych, a przez γn(k,l) o numerachnieparzytych.
(k,l) (3,5)γp((3,5) = {(3,2), (2,5)}
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda potencjałów1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:
c + u + v = 0 dla i j ∈ B
prof cij + ui + vj = 0 dla i,j ∈ B
3. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. 4. Zbadać, czy C0≥0. 5. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że .7. Wyznaczyć cykl γn(k,l) oraz γp(k,l).8 Usunąć z bazy zmienną x taką że
{ }0000 <= ijijkl ccc :min
( ){ } θ=∈= Bjixx :min
2011-03-19 232011-03-19 23
8. Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe:
10. Wrócić do kroku 2.
( ){ } θγ
=∈=∈
Bjixx ijjirslkp
,:min),(),(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈∈∉
−+=
),(),( dla),(),( dla),(),( dla
lkjilkjilkji
xx
xx
p
n
ij
ij
ij
ij
γγγ
θθ
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Wyznaczanie rozwiązań bazowych
• Metoda kąta północno-zachodniego
prof
• Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów
• Metoda VAM (Vogel’s Approximation Method)• ri, i = 1, 2, ..., m - różnica między dwoma najmniejszymi
elementami wiersza i w zredukowanej macierzy C,• dj, j = 1, 2, ..., n - różnica między dwoma najmniejszymi
elementami kol mn j red ko anej macier C
2011-03-19 242011-03-19 24
elementami kolumny j w zredukowanej macierzy C,• max(ri, dj)• ckl = min {ckj} albo ckl = min {cil}
Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli.
Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków.
Zbadać, czy C0≥0. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda potencjałów1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:
c + u + v = 0 dla i j ∈ B
prof cij + ui + vj = 0 dla i,j ∈ B
3. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. 4. Zbadać, czy C0≥0. 5. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że .7. Wyznaczyć cykl γn(k,l) oraz γp(k,l).8 Usunąć z bazy zmienną x taką że
{ }0000 <= ijijkl ccc :min
( ){ } θ=∈= Bjixx :min
2011-03-19 482011-03-19 48
8. Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe:
Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że { }0000 <= ijijkl ccc :min
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Metoda potencjałów1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:
c + u + v = 0 dla i j ∈ B
prof cij + ui + vj = 0 dla i,j ∈ B
3. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. 4. Zbadać, czy C0≥0. 5. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że .7. Wyznaczyć cykl γn(k,l) oraz γp(k,l).8 Usunąć z bazy zmienną x taką że
{ }0000 <= ijijkl ccc :min
( ){ } θ=∈= Bjixx :min
2011-03-19 502011-03-19 50
8. Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe:
1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:
c + u + v = 0 dla i j ∈ B
prof cij + ui + vj = 0 dla i,j ∈ B
3. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. 4. Zbadać, czy C0≥0. 5. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że .7. Wyznaczyć cykl γn(k,l) oraz γp(k,l).8 Usunąć z bazy zmienną x taką że
{ }0000 <= ijijkl ccc :min
( ){ } θ=∈= Bjixx :min
2011-03-19 522011-03-19 52
8. Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe:
a Metoda potencjałów1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:
c + u + v = 0 dla i j ∈ B
prof cij + ui + vj = 0 dla i,j ∈ B
3. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. 4. Zbadać, czy C0≥0. 5. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że .7. Wyznaczyć cykl γn(k,l) oraz γp(k,l).8 Usunąć z bazy zmienną x taką że
{ }0000 <= ijijkl ccc :min
( ){ } θ=∈= Bjixx :min
2011-03-19 542011-03-19 54
8. Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe:
Rozwiązanie dopuszczalne zadania transportowego jest rozwiązaniem bazowym wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający mu graf jest grafem spójnym i bez cykli.
Na to, aby graf rozwiązania zadania transportowego był grafem spójnym i bez cykli potrzeba i wystarcza, aby zawierał dokładnie (m + n – 1) wierzchołków.
3/19/2011
15
f. dr
hab.
iż. J
oann
a Jó
zefo
wsk
a Postępowanie w przypadku degeneracji rozwiązania
Jeżeli graf rozwiązania zawiera mniej niż (n + m – 1) wierzchołków, to mamy do czynienia z rozwiązaniem
prof wierzchołków, to mamy do czynienia z rozwiązaniem
zdegenerowanym, w którym co najmniej jedna zmienna bazowa jest równa zero.Postępowanie w takim przypadku polega na dołączeniu brakującej liczby zmiennych bazowych z wartościami zerowymi.Wybór zmiennych powinien gwarantować uzyskanie
2011-03-19 572011-03-19 57
Wybór zmiennych powinien gwarantować uzyskanie grafu spójnego i bez cykli.
a Metoda potencjałów1. Znaleźć wstępne rozwiązanie bazowe zadania zbilansowanego.2. Rozwiązać układ równań:
c + u + v = 0 dla i j ∈ B
prof cij + ui + vj = 0 dla i,j ∈ B
3. Wyznaczyć równoważną macierz zerową C0. 4. Zbadać, czy C0≥0. 5. Jeśli tak, to aktualne rozwiązanie jest optymalne - zakończ. 6. Wprowadzić do bazy zmienną xkl taką, że .7. Wyznaczyć cykl γn(k,l) oraz γp(k,l).8 Usunąć z bazy zmienną x taką że
{ }0000 <= ijijkl ccc :min
( ){ } θ=∈= Bjixx :min
2011-03-19 592011-03-19 59
8. Usunąć z bazy zmienną xrs taką, że 9. Wyznaczyć nowe rozwiązanie bazowe: