Yára Detert - Mathematik für Ahnungslose

V

Vorwort

Mathematik: eine Welt für sich - so wird schon mancher gedacht haben. In der Schule ist es wohl das Fach, über das am meisten gestöhnt wird. Dennoch kann man Spaß haben an der Welt der Zahlen und Symbole. Mir ging es während meiner

Schul- und Studienzeitjedenfalls meistens so. Aber es gab auch immer wieder Phasen, in denen ich mich fragte, ob dieser Lehrer, der mir mathematisches Wissen beibringen wollte, wohl selbst begriffen hatte, was er da erzählte oder ob er es nur nicht vermitteln konnte. Bei manchem Lehrer hatte man auch den Eindruck, dass er den Elfenbeinturm der Wissenschaft nie verlassen hatte und deshalb nicht wusste, wie er Schülerhirne ansprechen sollte. Das ein oder andere Mal mag auch mangelnde Aufmerksamkeit dazu geführt haben, dass mir die Thematik etwas verborgen blieb. Da ich mich zumindest im Fach Mathematik immer bemüht habe, den Anschluss wieder zu finden, versuchte ich mir nicht Verstandene.s aus Büchern zu erarbeiten, wa.s nicht immer ganz einfach war. Noch schwieriger wurde es, als ich zu Beginn meines Ingenieurstudiums Bereiche der Mathematik betreten musste, die in der Schule nicht vermittelt werden. Der Gang in die Bibliothek war oft frustrierend, da die ausgeliehenen Bücher mir den Stoff nicht näher bringen konnten. Das eine unter den vielen Büchern zu finden, das Mathematik anschaulich und an Beispielen erklärte, wurde zur Suche nach der Nadel im Heuhaufen. Diese Suche und die Erfahrungen, die ich in den letzten Jahren als Lehrkraft in Nachhilfe-Instituten und mittlerweile auch in meiner eigenen Nachhilfeschule, der "Quadratwurzel��, gemacht habe, veranlassten mich dazu, dieses Buch zu schreiben. Es soll Oberstufenschülern die Grundlagen der Mathematik vermitteln und ihnen die Möglichkeit geben, Versäumtes und in Vergessenheit Geratenes nachzuarbeiten, indem sie sich mit den Rechenbeispielen beschäftigen und die Rechenwege nachvollziehen. Auch für Studienanfänger findet sich hier der Einstieg in die Mathematik der ersten Semester. Somit deckt "Mathematik für Ahnungslose" die Oberstufenmathematik und die ersten Ansätze für das Studium mit Mathematik als Nebenfach ab. Kein Platz blieb für die Stochastik, hierzu sei auf das Buch "Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung für Ahnungslose", ebenfalls erschienen im Hirzel-Verlag, verwiesen. Ich wünsche allen, die mit diesem Buch arbeiten, dass sie ein wenig Freude mit der Welt der Zahlen, Symbole, Gleichungen und Funktionen haben werden und dass sie die Mathematik nicht nur als lästige pflicht empfinden mögen. Mein Dank geht an den Hirzel-Verlag, Stuttgart, und insbesondere an Herrn Dr. Muth für die freundliche redaktionelle Unterstützung dieses Buches.

Yära Detert Rolfshagen, im Herbst 2009

Inhaltsverzeichnis VII

Inhaltsverzeichnis

Vorwort . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Verzeichnis mathematischer Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Maßeinheiten und ihre Umwandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Bruchzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Dreisatzrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 Rächensätze am rechtwinkligen Dreieck (Pythagoras) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.1 Der Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.2 Der Kathetensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.3 Der Höhensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6.1

1.6.2

1.6.3

1.7

1.7.1

1.7.2

1.7.3

1.7.4

1.7.5

1.7.6

1.7.7

1.7.8

1.8

1.8.1

1.8.2

1.8.3

1.8.4

1.8.5

1.8.6

1.8.7

1.8.8

1.8.9

1.8.10

1.9

1.9.1

1.9.2

1.10

Sinus, Kosinus, Tangens für den Bereich 0"$Q;$360" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Berechnungen an beliebigen Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Flächenberechnung an Vielecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Quadrat (a II c; b II d; a ..L b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Rechteck (a II c; b II d; a ..L b) . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Parallelogramm (a II c; b II d) . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Allgemeines Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Trapez (a II c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Kreis (r- Radius) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Regelmäßiges n-Eck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Berechnungen an Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Würfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Quader. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Kreiszylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Pyramidenstumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kegelstumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Regelmäßige Polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

PotenzenjWurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Potenzen mit rationalen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

VIII Inhaltsverzeichnis

2 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.1 Definition von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.3 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.4 Potenzfunktionen-Funktionen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.5 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.1 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2.3 Differenzierbarkeit und Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.3 Bausteine einer Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.3.1 Definitionsbereich/Wertebereich einer Funktion-Definitionslücken . . . . . . . . . 66

2.3.2 Symmetrieeigenschaften einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.3.3 Asymptoten - Näherungskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3.4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.3.5 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.3.6 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.3.7 Extrempunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.3.8 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.3.9 Koeffizientenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.4 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.4.1 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.4.2 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.4.3 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.4.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.4.5 Bestimmung von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften

(Koeffizientenbestimmung} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.5 Extremwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.5.2 Extremv.-ertprobleme I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . 108

2.5.3 Extrem�\-ertprobleme Il . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.6 Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.6.1 Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.6.2 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 116

2.7 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.7.1 Flächeninhaltsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.7.2 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2. 7.3 Integralfunktion-Rächenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2. 7.4 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2. 7.5 PartieUe Integration - Produktintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2.7.6 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.7.7 UneigentlicheIntegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

2.7.8 Volumen eines Drehkörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Inhaltsverzeichnis IX

2.8 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2.8.1 Die Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

2.8.2 Betrag, Abstand, Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2.8.3 Konjugierte komplexe Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2.8.4 Multiplikation und Division komplexer Zahlen, Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3 Lineare Algebra/Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.1.1 Vektoren im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.1.2 Addition und Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.1.3 Vervielfachen von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.1.4 Mittelpunkt einer Strecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

3.1.5 Lineare Abhängigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.1.6 Betrag eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.2 Skalarprodukt von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.2.1 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.2.2 Rechenregeln fiir das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.2.3 Winkel zwischen zwei Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.2.4 Orthogonale und paraUele Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.3.1 Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.3.2 Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen- Gauß-Algorithmus . . . . . . . . 167

3.3.3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.3.4 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

3.3.5 Lösen von linearen Gleichungssystemen mithilfe von Determinanten-

Cramer'sche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

3.4 Analytische Geometrie mit Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3.4.1 Verschiedene Typen von Geradengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3.4.2 Lagebeziehungen von Punkten und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.4.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

3.4.4 Lagebeziehungen von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . 186

3.4.5 Abstand windschiefer Geraden zueinander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

3.5 Analytische Geometrie mit Ebenen . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 193

3.5.1 Verschiedene Typen von Ebenengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3.5.2 Abstand eines Punktes von einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

3.5.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

3.5.4 Lagebeziehungen von zwei Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

3.6 Analytische Geometrie mit Kreisen und Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

3.6.1 Gleichungen von Kreisen und Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

3.6.2 Lagebeziehungen von Geraden und Kreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

3.6.3 Schnittpunkte z veier Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

3.6.4 Lagebeziehungen von Geraden und Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

3.6.5 Lagebeziehungen von Ebenen und Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

X

Verzeichnis mathematischer Symbole

Intervalle

Geometrie

z 0 R

Menge der natürlichen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen

Menge der positiven reellen Zahlen

[a· b] = {x ER Ia:::; x � b} ]a· b[ = {x ER Ia < x < b} [a· b[ = {x E R Ia :::; x < b} ]a· b] = {x ER Ia < x � b}

P(a b) PQ PQ gllh g.l.h

Punkt mit den Koordinaten a und b Strecke mit den Endpunkten P und Q Länge der Strecke PQ g ist parallel zu h g ist senkrecht zu h

Differenzial-/Integralrechnung

f'(x) 1. Ableitung der Funktion

f"(x), /111 (x), J(n) (x) 2., 3., n-te Ableitungsfunktion

F(x) Stammfunktion der Funktion / b

ff(x)dx Integral der Funktion f über [a· b] 0

Griechisches Alphabet

(Y A ,ß B �� r b. e E ( z Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta

rJ H �9 e L I n, K >. \. /.L M Eta Theta Jota Kappa Lambda My ll - � X 0 0 11' II (! p (1 E Ny Xi Omikron Pi Rho Sigma r T 'I y <p � X X \ll w n Tau Ypsilon Phi Chi Psi Omega

1 Grundlagen

1.1 Maßeinheiten und ihre Umwandlungen Längen

1 k :1000 1

:10 1 d

:10 1

:10 1 m -- m -- m -- cm -- mm

1 km = 1000 m 1m - 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm

Flächeninhalte :100 :100 :100 :100 :100 :100

1 km2 ---4 1 ha -- 1 a -- 1 m2 ---4 1 dm2 ---4 1 cm2 ---4 1 mm2

1 km2 - 100 ha 1m2 1 ha - 100 a 1 dm2 1a - 100m2 1 cm2

Die Umwandlungszahl ist 100.

Rauminhalte (Volumina)

3 :1000

1 d 3 :1000

1 3 :1000

1 3 1 m ---4 m ---4 cm ---4 mm

1m3 - 1000 dm3 1 dm3 - 1000 cm3 1 cm3 - 1000 mm3


Gewichte (Massen)

1 t :1000 1 k :1000

1 :1000

1 -- g ---4 g --+ mg

1 t - 1000 kg 1 kg = 1000 g 1 g - 1000 mg


1 cm3 1 dm3 1l

= 100 dm2 = 100 cm2 = 100 mm2

- 1 ml = 1l - 1000 ml

1

2

Zeitspannen

1 d - 24 h; 1 h - 60 min; (d bedeutet Tag, h bedeutet Stunde)

1.2 Bruchzahlen Gewöhnliche Brüche

G . . h l" h B .. h . d B 1 1 3 1 5

ewo n 1C e ruc e sm z. . : 2; 4; 4; 8; 8 usw.

Grundlagen

1 min - 60s

Die Zahl über dem Bruchstrich heißt Zähler, die Zahl unter dem Bruchstrich ist der Nenner. Der Nenner des Bruches gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wird. Der Zähler gibt an, wie viele solche Teile davon vorhanden sind.

Gemischte Schreibweise

Beispiele:

3 3 2 4 bedeutet 2 + 4

2� -4

13 -5

3 8 3 11 2+-=-+-=-4 4 4 4

10 3 3 3 - + - = 2+ - = 2 -

5 5 5 5

Kürzen und Erweitern

Man kürzt einen Bruch, indem man den Zähler und den Nenner durch dieselbe natürliche Zahl dividiert.

Beispiel: 3 27

3:3 1 -27: 3 9

Man erweitert einen Bruch, indem man den Zähler und den Nenner mit derselben natürlichen Zahl multipliziert.

Beispiel: 1 9

1· 4 4 - -=-9. 4 36

Addieren und Subtrahieren von Brüchen

Man addiert (subtrahiert) gleichnamige (gleiche Nenner) Brüche, indem man die Zähler addiert (subtrahiert). Der Nenner bleibt unverändert. Ungleichnamige Brüche (unterschiedliche Nenner) müssen zuerst gleichnamig gemacht werden.

Dreisatzrechnung 3

Beispiele: 5 3 10 9 1 --- =---=-6 4 12 12 12

Multiplizieren von Brüchen

Man multipliziert Brüche, indem man den Zähler mit dem Zähler und den Nenner

mit dem Nenner multipliziert.

Beispiel:

Dividieren von Brüchen

Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert.

Beispiel: 3 2 3 3 9

8:3 = 8. 2 = 16

1.3 Dreisatzrechnung

Bei der Dreisatzrechung muss zwischen proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen unterschieden werden.

Proportionale Zuordnungen

Für proportionale Zuordnungen gilt: Zum Doppelten (Dreifachen, etc. ) einer Größe

gehört das Doppelte ( Dreifache etc. ) der zugeordneten Größe. Zur Hälfte (zum dritten Teil etc. ) gehört die Hälfte (der dritte Teil, etc. ) der zugeordneten Größe.

Beispiel: Für Spaghetti Bolognese für vier Personen benötigt man 480 g Spa

ghetti. Wie viel g Spaghetti benötigt man für 7 Personen?

Personen Spagh tti

:4 c 4 480g

):4 1ZOg .7 c 7 ) ·7 840g

4 Grundlagen

Ergebnis: Für 7 Personen benötigt man 840 g Spaghetti.

Noch einfacher ist dieser Rechenweg zu praktizieren:

4 Personen <=>

7 Personen <=>

480 g Spaghetti x g Spaghetti

7 Personen · 480 g X = ---,--"--------=:

4Personen

X= 840 g

Antiproportionale Zuordnungen

Für antiproportionale Zuordnungen gilt: Zum Doppelten (Dreifachen, etc.) einer Größe gehört die Hälfte (der dritte Teil, etc.) der zugeordneten Größe Zur Hälfte (zum dritten Teil, etc.) einer Größe gehört das Doppelte (das Dreifache, etc.) der zugeordneten Größe.

Beispiel: Für eine Studienfahrt erhält ein Kurs einen Fahrtkostenzuschuss. Wenn alle 30 Teilnehmer mitfahren, erhältjeder 15 -Euro. Es fahren aber nur 25 Teilnehmer mit. Wie hoch ist nun der Zuschuss für jeden Kursteilnehmer?

Teilnehmer

:6 c 30 ·5( 5

25

Zuschuss

15,-€ ) ·6

90,- ) :5

18,-

Antwort: Jeder Kursteilnehmer erhält einen Zuschuss von 18 - Euro.

Noch einfacher geht es mit diesem Rechenweg:

30 Teilnehmer

25 Teilnehmer

15 -€

x€

30 Teilnehmer · 15,- € x--

25 Teilnehmer

X= 18 -€

Binomische Formeln 5

1.4 Binomische Formeln

Man multipliziert zwei Summen miteinander, indem man jeden Summanden der ersten Summe mitjedem Summanden der zweiten Summe multipliziert.

1. Binomische Formel:

(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 +ab+ ab+ b2 = a2 + 2ab + b2

Beispiele: {1) (2x + 7/ = {2x + 7) · (2x + 7) = 4x2 + 14x + 14x + 49

= 4x2 + 28x + 49

(2) (3xy + 5)2 = {3xy + 5) . (3xy + 5)

= 9x2/ + 15xy + 15xy + 25 = 9x2/ + 30xy + 25


(a-b)2 =(a-b)· (a-b)= a2-ab-ab+ b2 = a2-2ab + b2

Beispiele: {1) (5y-z)2 = (5y-z) · (5y-z) = 25.1-5yz-5yz + z2

(2)

= 25y2-10yz+z2

2 (8x- 8y) = (8x- 8y) · (Bx- 8y)

= 64� -64xy -64xy + 64y2

= 64x2 -128xy + 64y2


�+�-�-�=�-�+�-�=�-�

Beispiele: (1) (y + 3x) · (y- 3x) = y2 -3xy + 3xy-9x2 = l- 9x2

(2) (4x + 12) · {4x-12) = 161-48x + 48x - 144

= 16� -144

6 Grundlagen

1.5 Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck (Pythagoras)

1.5.1 Der Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt der beiden Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates.

a: Länge der einen Kathete b: Länge der anderen Kathete c: Länge der Hypotenuse

Die beiden Katheten schließen den rechten Winkel ein, die Hypotenuse Liegt diesem gegenüber.

Beispiell: Es soll die Luftlinienentfernung zwischen den Gipfeln des Großglockners {3797 m) und des Hahnlberges {2634 m) bestimmt werden. Aus der Landkarte kann eine Entfernung von 7,6 km abgelesen werden.

Kartenentfernung

Flädlensätze am redttwinkllgen Dreieck 7

Rechnung: Der Höhenunterschied der beiden GipfeL beträgt 1163 m. Gemeinsam mit der Entfernung von 7600 m kann nun über den Pythagoras die Luftlinienentfernung bestimmt werden.

(1163 m)2 + (7600 m)2 = x2

1.352.569 m2 + 57.760.000 m2 = x2

59.112.569 m2 = x2 / ..J

7.688,47 m = x

Die Luftlinienentfernung der beiden GipfeL voneinander beträgt somit 7,68847 km.

Beispiel2: In einer Raute mit einer Seitenlänge von 5 cm ist eine Diagonale 6,8 cm Lang. Welchen Flächeninhalt hat die Raute?

d- 6,8Cill

Rechnung: Zuerst muss die länge der anderen Diagonale bestimmt werden.

Gegeben: a = 5 cm d

d = 6,8 cm;2 = 3,4 cm

(3 4 cm)2 + (�) 2

= (5 cm)2

(�) 2

= (5 cm)2- (3,4 cm)2

8

(�) 2

= 13,44 cm2

� = 3 67 cm 2

'

e = 734 cm

Grundlagen

/.J

/·2

Der Flächeninhalt der Raute ergibt sich nun aus dem Produkt der Länge der einen Diagonalen multipliziert mit der Hälfte der Länge der anderen Diagonalen.

A = d .!. 2

A = 6 8 cm · 3,67 cm = 24,96 cm2

Die Raute hat einen Flächeninhalt von 24,96 cm2•

1.5.2 Der Kathetensatz

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der FLächeninhaLt eines Kathetenquadrates genauso groß wie der der Flächeninhalt des Rechteckes aus der Hypotenuse und dem zur Kathete gehörenden Hypotenusenabschnitt.

p, q: Länge der Hypotenusenabschnitte

q·t P·C

Flächensätze am redrtwinkllgen Dreieck

Beispiel: Zu bestimmen ist die Entfernung von dem einen Seeufer zum anderen.

Rechnung: Gegeben: c = p + q = 535 m

p =140m

if=c·p

cl = 535 m · 140 m

cl = 74.900 m2 / .,f

a = 273 68 m

Die Entfernung der beiden Seeufer von einander beträgt 273168 m.

1.5.3 Der Höhensatz

9

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks aus den beiden Hypotenusenabschnitten.

h: Dreieckshöhe

10 Grundlagen

Beispiel: Es soll die Entfernung von einem Seeufer zum anderen bestimmt werden.

Rechnung: Gegeben: p = 419 m

h2 = p. q

h2 = 419 m · 132 m

h2 = 55.308 m2 / .J

h = 235 18 m

q =132m c=p+q = 551 m

Die beiden Seeufersind 235,18 m von einander entfernt.

1. 6 Trigonometrie

1.6.1 Sinus, Kosinus, Tangensfür den Bereich 0°�«�360°

Für spitze Winkel (im rechtwinkligen Dreieck) gilt:

. Länge der Gegenkathete von a a Slna = =

Länge der Hypotenuse c

Länge der Ankathete von a b cosa = =-

Länge der Hypotenuse c

tan a: = Länge der Gegenkathete von n

=!!.

Länge der Ankathete von a: b

Trigonometrie

(

Hypot�nu�e A

Für den Punkt Pa (x; y) auf dem Einheitskreis gilt:

sina =y; cosa =x

Für oo � a � 180° gilt:

sin a = sin (180°- a)

cos a = -cos (180°- a)

tan a = -tan (180° - a)

Für 0° � a � 360° gilt:

sin a = -sin (360°- a)

cosa = cos (3600 - a)

tan rx = -tan (360° - a)

Zusammenhänge zwischen Sinus, Kosinus und Tangens

sin a = cos (90° - a) (sin a)2 + ( cos a/ = 1

cos rx = sin (90°- a) tana = sin rx cos (X

y

1.6.2 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck

11

B

Aus zwei Seiten oder aus einer Seite und einem Winkel lassen sich die übrigen Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen. Weil man jedes beliebige Dreieck mithilfe von Höhen in rechtwinklige Dreiecke zerlegen oder zu solchen ergänzen kann, können damit auch nicht-rechtwinklige Dreiecke berechnet werden und somit auch n-Ecke, die wiederum aus Teildreiecken bestehen.

12

Beispiell:

Lösung:

Berechnung von a:

Berechnung von c:

Berechnung von y:

Ergebnis:

Beispiel2:

Grundlagen

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben: b = 5 cm, Cl!= 35°, ß = 90°

Gesucht sind die Größen a, c und 'i'·

A

a . - = sm Ct b

a = b · sin Cl!

c

/·b

a = 5 cm · sin 35° � 2 87 cm

� = cosa /·b

c = b · cosa

c = 5 cm · cos 35° � 4 10 cm

c

a

8

a = 2 87 cm; c = 4 10 cm; 'i' = 55°

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben: a = 5 cm, c = 13 cm, 'i' = 90°

Gesuchtsind die Größen b, a und 'i'·

c

Trigonometrie

Lösung:

Berechnung von b:

Berechnung von a:

Berechnung von p:

Ergebnis:

Beispiel3:

Lösung:

Berechnung von y:

(s. Kap. 1.5.1}

b = V132 - 52 cm = 12 cm

sin er=!!.= 5 cm � 0 3846154·

c 13 cm

(X� 22 62°

cosß = !!. =

5 cm � 0 3846154·

c 13 cm

ß � 67 38°

b = 12 cm;

13

ß = 67,38°

In einem gleichschenkligen Dreieck ist die länge der Basis (c = 58 m) und der Basiswinkel (a = 53°} gegeben.

Zu berechnen sind der Winkel; an der Spitze, die Höhe h sowie die Länge s eines Schenkels.

2o: +; = 180° mit o: = ,ß

14

Berechnung von s:

Berechnung von h:

Ergebnis:

cosn = � : 5

5 = � · cosn

2'

s = 29 m � 48 19 m

cos 53°

tann = h :�

h =E · tann 2

h = 29 m · tan 53° � 38,48 m

'Y = 74°; 5 = 48 19 m; h = 38 48 m

1.6.3 Berechnungen an beliebigen Dreiecken

Grundlagen

Aufgaben zur Dreiecksberechnung werden oft nach dem gleichen Muster gelöst. Man sucht sich eine geeignete Höhe, berechnet diese mithilfe eines der beiden Teildreiecke und steigt dann um ins andere Teildreieck. Man kann sich Arbeit sparen, wenn man diese Berechnungen allgemein durchführt und nur noch in die erhaltene Lösung einsetzt.

1.6.3.1 Der Sinussatz

In jedem beliebigen Dreieck ist das Verhältnis von der Seitenlänge zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels für alle Seiten dasselbe.

Sinussatz

a _sinn. b- sin ß'

Oder auch:

b _ sinß. - - -.-, C Sln/

a b c

sinn=

sinß =

sin1

� = sin1

a sinn

A

(

8

Trigonometrie 15

Mit dem Sinussatz können aLLe Aufgaben gelöst werden, bei denen eine Seite und zwei Winkel oder zwei Seiten und ein Winkel (nicht der von diesen Seiten eingeschlossene!) gegeben sind.

Beispielt (SWW):

A

Lösung:

Berechnung von y:

Berechnung von b:

Berechnung von c:

Ergebnis:

In einem Dreieck sind gegeben: a = 5 2 m; a = 64°; ß = 49°

Zu berechnen sind die fehlenden Größen.

0! + ,ß + 'Y = 180°

'Y = 180° - 0! - ,ß

'Y = 67°

b sin - • I

a sm a:

b = 0 . sin ß. • I Sln 0!

c

b = 5 2 m · s�n 490 � 4 37 m

sm 64° '

c _ sin'Y.

a • I

Sln a:

sin ')' C = O · -.- ; sma

B

')' = 67°; b = 4 37 m; c = 5 33 m

16

Beispiel2 (SSW):

Lösung:

Berechnung von �:

Berechnung von y:

Berechnung von c:

Ergebnis:

Grundlagen

In einem Dreieck sind gegeben: a = 111 2 m; b = 170 6 m; a = 34°

Die fehlenden Größen werden wie folgt berechnet.

Cz

. ß b . sm =-·sma

a

sin ß = 170 6 m · sin 34° � 0 8578985 111,2 m

Da der Winkelader kleineren Seite gegenüberliegt, gibt es zwei Lösungen!

(X + ß + 'Y = 180°.

'Y = 180° - Q - ,ß

')'1 = 180° - 34 ° - 59 08° 'Y2 = 1800 - 34 ° - 120 92°

1'1 = 86 92° 'Y2 = 25,08°

c sin 'Y -=-.- ; a sm o:

sin "Y c=a·-

sina

= 111 2 . sin 86,9t> cl m sin 34o

c1 � 198 58 m

= 111 2 . sin 25,08° c2 m sin 34o

ßt =59 1°; 'Yl = 86 9°; C1 = 198,58 m

ß2 = 120 9°; ')'2 = 25,1°; c2 = 84 29 m

Trigonometrie 17

1.6.3.2 Der Kosinussatz

In jedem beliebigen Dreieck ist das Quadrat über einer Seite gleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten, vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seiten und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.

Kosinussatz

a2 = b2 + c_2 - 2bc · cos �

b2 = a2 + c_2 - 2ac · cos ß

� = a2 + b2 - 2ab · cos ')'

A

(

B

Mit dem Kosinussatz kann man nicht nur die Winkel bei drei gegebenen Seiten berechnen, sondern auch die dritte Seite, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.

Beispielt (SWS): Von einem Dreieck sind gegeben:

a = 40 m; b = 50 m; "Y = 29°

Die übrigen Größen werden wie folgt berechnet.

(

Lösung:

Berechnung von c: c2 = if + b2- 2ab · COS')'

C = Va2 + b2- 2ab · COS')'

c = ( J 402 + 502 - 2 · 40 · 50 · cos 29°) m

c � 24 53 m

Berechnung von a:

18

Berechnung von �:

Ergebnis:

Beispiel 2 (SSS):

Lösung:

Berechnung von a:

Berechnung von �:

Berechnung von y:

cos a = b2 + C:Z -a2

2bc

cosa = 502 + 24 532-402

= 0 612197676 2 ° 50 ° 24 53

a + ß + ')' = 180°

Grundlagen

ß = 180° - Q: -')' ß = 1800 -52 25° -29° = 98 75°

c = 24 53 m;

Von einem Dreieck sind gegeben: a = 6 cm; b = 5 cm; c = 7 cm

Zu berechnen sind die fehlenden Größen.

c

A

a2 = b2 + c2 -2bc · cos a:

cos a = b2 + c2 -a2

2bc

B

cos a = 52 + 72 -62

= 0 542857142 2·5·7

b2 = a2 + c2 -2ac · cos ß

cos ß = az + c:z -b2

2ac

cosß = 62 + 72-52

= 0 714285714 2·6·7

ß::::::: 44,42°

ß = 98 75°

Flädlenberechnung an Vielecken

"'( = 180° - Cl! - ,ß

"'( = 180°-57,12°-44 42° = 78,46°

Ergebnis: a = 57,12°;

1.7 Flächenberechnung an Vielecken

1.7.1 Quadrat (a II c; b II d; a 1.. b)

o=b=c=d

(}' = ß = i = 8 = 900

e = f; e.l..f; e = o · 12.

d

A

c

U= 4·o

A = o2

c

b

19

Die Diagonalen sind gleich lang, sie stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander.

1.7.2 Rechteck (a II c; b II d; a 1.. b) o = c; b = d; e = f

(}' = ß = i = 8 = 900

e= Va2+b2

0

A

c

3

U=2·a+2·b

A =a·b

c

B

Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.

20

1.7.3 Parallelogramm (a II c; b II d)

a = c; b = d

ß = 8; 0! = 1

A = a · ha = b · hb

A

Die Diagonalen halbieren einander.

1.7.4 Allgemeines Viereck

a + ß + 1 + 8 = 360°

0

A.

1.7.5 Trapez (a II c)

a+ 8= 180°; ß +"'( = 180°

1 m=-·(a+c) 2

1 A =- · (a + c) · h = m · h 2

0

a

c

m

a

Grundlagen

U=2·a+2·b

A = a · b · sin a = a · b · sin ß

B

U=a+b+c+d

8

U=a+b+c+d

c

I I I h I 17 I I I

I

b I h

Flächenberechnung .an Vielecken

1. 7. 6 Dreiecke 1. 7 .6.1 Allgemeines Dreieck Q + ß + '"Y = 180°

A = 1. - g - h9 =.! - a - b - sin I' 2 2

Sinussatz:

a b c sin o

= sin ß =

sin -y

A c-g

1.7.6.2 Rechtwinkliges Dreieck (y = 90°)

A = 1. - c - h, = 1. - a - b· 2 2 ,

Satz des Pythagoras: Kathetensatz: Höhensatz:

sin a = �; cos ö: = �; c c

A

a tano = b

q

c

(

(

U=a+b+c

Kosinussatz:

CZ = a2 + b2 - 2 - a - b - cos -y

B

U=a+b+c

a2 + b2 = c2 a2 = p - c; b2 = q · c h2 = p. q

p B

21

22

1.7.7 Kreis (r- Radius)

a = /!..

2'

Grundlagen

A = -rr . r2 = 1 7r . cJ2 4

U=2·-rr·r=tr·d

o: = Peripheriewinkel; ß =Zentriwinkel über AB;

1.7.7.1 Kreisring (r1 > r2) A = -rr(rf- rf)

1.7. 7.2 Kreisbogen-/ausschnitt (Sektor) b : u = 0! : 360°

b = r · arca.

"' = Sehnen - Tangentenwinkel

Ber�nungen an Körpem

Aa : A = a : 360° = orca : 21r

1.7.8 Regelmäßiges n-Eck

360° A = n ·An; cp = --

h� = 1- - (� · On)2;

A 1 2 • n =-. r . smcp 2

n

2 .

cp On= · r · sm-2

U = n ·On

1.8 Berechnungen an Körpern

1.8.1 Würfel

AG= o2 [cm2]

V= o3 [cm3]

Ao = 6 · o2 [cm2]

e = o · v'3[cm]

23

24 Grundlagen

1.8.2 Quader

AG = a · b [cm2]

V = a · b · c [cm3] Ao = 2 ·ab+ 2 · ac + 2 · bc = 2 ·(ab+ ac + bc) [cm2]

e = J a2 + b2 + c2 [cm]

1.8.3 Prisma

Ao = 2 ·AG + S1 + S2 + S3 + ... +Sn [cm2] V = AG · h [ cm3 J

1.8.4 Kreiszylinder

AG= 1r · r2 [cm2] AM= 2 ·11" • r · h [cm2]

c

Ao =AG+ AM Ao = 1r · r2 + 2 ·11" · r · h = 2 ·11" · r(r + h) [cm2]

V = 11' . ? · h [cm3]

I

,,.----- � ----

....... ," I

; I

I

... '

' \


1.8.5 Pyramide

AG= a2 [cm2] (quadratische Grundfläche)

AM = 4 · a · ha = 2

· a · ha [cm2] 2

AG= a · b [cm2] (rechteckige Grundfläche)

a · ha b · hb 2 AM = 2

· -2-+ 2 · -2- =

2 · a · ha + 2

· b · hb [cm ]

25

A0 =AG+ AM [cm2] =;. Ao =AG+ A1 + A2 + ... +An (n-eckige Grundfläche) [cm2]

V= j ·AG· h1c [cm3] (Grundfläche beachten!}

26

1.8.6 Pyramidenstumpf

Ao = AG + Ao + AM [cm2J

V=� 0 h�:(AG +VAG 0 Ao +Ao) [cm3J

1.8.7 Kegel

AG= 1r 0 r2 [cm2J =>

Ao = AG +AM [cm2J =>

v = 1 0 1r 0 � 0 hk[cm3J 3

AM= 1r 0 r 0 5 [cm2J

Ao = 1r 0 r2 + 1r 0 r 0 5 = 1r 0 r(r + s) [cm2J

l=r2+h�:2 => s=Jrl+h�[cm]

Grundlagen


1.8.8 Kegelstumpf

Ao = 1r · ri + 1r · � + 1r • s(r1 + r2) [cm2]

V= ; · 1r · h�c(rf + r� + r1 · r2) [cm3]

i = (rt- r2i + h1c2 =} s = \/ (rt- r2)2 + .Jh;2 [cm]

1.8.9 Kugel

Ao = 4 · 1r ·? [cm2]

1.8.1 0 Regelmäßige Polyeder

1.8.10.1 Tetraeder {4 gleichseitige Dreiecke)

Ao = J3 · a2 � 1 7321 a2 [cm2]

V= '{I · a3 � 0 1179 a3 [cm3]

27

28

1.8.10.2 Oktaeder (8 gleichseitige Dreiecke)

Ao = 2 · J3 · a2 � 3 4641a2 [cm2]

V= ../2 ·er � 0 4714 a3 [cm3] 3

1.8.10.3 Ikosaeder (20 gleichseitige Dreiecke)

Ao � 8 6603 a2 [cm2] V� 2 1817 a3 [cm3]

1.8.10.4 Dodekaeder (12 regelmäßige Fünfecke)

A0 � 20,6457 a2 [cm2] V� 7 6631 er [cm3]

Grundlagen

PotenzenjV/urzeln

1.9 Potenzen/Wurzeln

1.9.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Für alle a :1= 0 ist festgelegt: a0 = 1 -n 1 a = an

29

Die Rechenregeln für Potenzen gelten nicht nur fLir natürliche, sondern auch für ganzzahlige Exponenten. Sie heißen Potenzgesetze.

Potenzgesetze

{1) an. am = an+m

(3) an. bn = (abt

{5) (ant = an·m

{2)

(4) an n-m -=a am

�: = (E)n

für: a :1= 0 und b :1= 0

Beispiele:

Zu {1):

Zu {2):

Zu {3):

Zu (4):

Zu {5):

x5 . x-7 . x3 = x5+{-7)+3 = xl ifi7T1 . c}-2n = a2�( -2n)+1+3 = cf

. s -8 5+(-8) -3 Y · Y =y

=L =y-3-7 =y-to =.....!.. y6 . yl y6+1 y7 ylO 5x•l . 0 5x+l

= (5. 0 5y+t = 2 5x+1

35 ·x5 (3x)5 45 .y5- 4y (2ab) 3 23 · a3 · b3 8a3 b3 3xy = 33 · x3 · y3 = 27x3y3

( -x3y5 r)7 = -x2115 z14

1.9.2 Potenzen mit rationalen Exponenten

Für positive Zahlen a, natürliche Zahlen n und ganze Zahlen m gilt:

{1)

{2)

a� = efä1 m an= :jäifi

30 Grundlagen

1.10 Logarithmen Es seien zwei positive Zahlen a und b (mit a #- 1) gegeben. Unter dem Logarithmus von b zur Basis a (loga b) versteht man die Zahl, mit der man die Zahl a potenzieren muss, um die Zahl b zu erhalten.

tf = b

Beispiele:

(1) {2) {3) {4) {5) (6)

x = loga b

Logs 125 = 3, denn 53= 125 Logs -1- = -3, denn s-3 = .....!.... 125 125 Log7 49 = 2, denn 7

2 = 49 Log9 1 = 0, denn 9° = 1 Log2 128 = 7, denn 27 = 128

3r.;;; 4 4 3 r.;;: Log2 v 10 = 3, denn 21 = v16

Logarithmengesetze

(1) Loga (u · v) = Loga u + Loga v

Ein Produkt wird logarithmiert, indem die einzelnen Faktoren logarithmiert werden und dann die einzelnen Ergebnisse addiert werden.

(2) loga (�) = loga u- loga v (für u ER+; v E lf4)

Ein Bruch wird Logarithmiert, in dem der Zähler und der Nenner logarithmiert werden und die Ergebnisse dann voneinander subtrahiert werden.

(3) Loga ut = t · Loga1 u (für u E R+; t E R)

Eine Potenz wird Logarithmiert, indem die Basis Logarithmiert wird und dann das Ergebnis mit dem Exponenten multipliziert wird.

logarithm!!n

Beispiele: Zu (1) Logaxyz = logax+ Logay+ Logaz

Logax(y + z) = Logax + Loga (y + z)

Zu (2) Loga .!... yz = logax- logayz = logax- (Logay + logaz) = logax-Logay -logaz

Zu (3) logafi = 3 logax + 5 logay

loga <rx2 = loga.J = �logax

Allgemeine Rechenbeispiele:

(1) 3loga x + 2loga y- 3loga z

= loga � + loga/ -loga?! = loga (�/) -loga?!

_x3y2 = Loga

-3 z

(2) sx = 14

x · log1oS = log1o 14

x = Log14to � 1 64 Log510

(3) 3 · 52x = 7x+4

Log10 3 2x · Log10 5 = (x 4) · log10 7

log1o 3 + 2x · log1o 5 = x · log1o 7 + 4 · log1o 7,

2x · log1o 5 -x · log1o 7 = 4 · log1o 7 -log1o 3 x · (2 log1o 5 -log1o 7) = 4 log1o 7 -log1o 3

x = 4 lo91o 7 - log1o 3 � 5 25 2 log1o 5 -log1o 7

31

32

2 Analysis

2.1 Funktionen

2.1.1 Definition von Funktionen Eine Zuordnung f, die jedem a E D mit � IR genau einen Wert f(a) E IR zuweist, heißt reelle Funktion. Wir nennen f(a) den Funktionswert vonfander Stelle a. Istf(a) = 0, so ist a eine Nullstelle vonf. In der Regel wirdf durch den Funktionstermf(x) gegeben. Das Schaubild K von f hat die Gleichung: y = f(x). ID heißt Definitionsbereich, die Menge PN aller Funktionswerte Wertebereich der Funktionf. Die größtmögliche Teilmenge von R, für die der Funktionsterm definiert ist, heißt maximaler Definitionsbereich.

y

f(d)

f(O)

f(b)

� � �(b -J(d)J NuUsteUen: a; c

2.1.2 Lineare Funktionen

d X

Eine Funktion vom Typ f mitj(x) = mx + b, x E IR (m, b E IR) ist eine lineare Funktion. Ihr Schaubild mit der Gleichung y = mx + b heißt Gerade. Hierbei ist m die Steigung der Geraden und b der Schnittpunkt mit demy-Achse (y-Achsenabschnitt).

Beispiele zum Zeichnen von Geraden:

{1) !J1 : y = �X + 1

(2)

Funktionen 33

(3) 93 :y = -3

92 y

6

9!

/ / PI

I

I

21

3 I

I

-5 -4 -3 /z - 1 0 3 4 5 X

1

/ -2

/

sl 9]

-4

Zu (1) Da b = 1 ist, liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse 51 (0/1) auf der

Geraden !/1· Mit der Steigung m = � geht man von 51 aus 3 Einheiten

nach rechts (positive x-Richtung) und 2 Einheiten nach oben (positive y-Richtung), um einen weiteren Punkt der Geraden zu erhalten. Kurz: Nenner der Steigung in x-Richtung, Zähler in y-Richtung. So erhält man den 2. Punkt P1 (3/3) zum Zeichnen der Geraden.

Zu (2) Aus b = 3 folgt 52 (0/3) E 92• Da die Steigung

m = -� ein negatives Vorzeichen hat, geht man dieses Mal 2 Ein

heiten in positive x-Richtung und 5 Einheiten in negative y-Richtung, also nach unten und erhält so P2 (2/-2).

Zu (3) Aus b = -3 folgt 53 (0/-3} E 93• Da hier die Steigung m = 0 ist, verläuft 93 parallel zur x-Achse.

Zu beachten:

Für lineare Funktionen gilt:f(x + 1) = m(x + 1} + b = mx + m + b = f(x) + m. Das bedeutet, bei Vergrößerung (Verkleinerung) eines beliebigen x-Wertes um 1 wird der zugehörige y-Wert um die Steigung m größer (kleiner). Mit dieser Eigenschaft kann man von einem beliebigen Punkt der Geraden ausgehend weitere Punkte erhalten.

34

Geradengleichungen

P (xfy) ist ein beliebiger Punkt einer Geraden

Hauptfonn: g: y = mx + b

Analysis

mist die Steigung und b der y-Achsenabschnitt der Geraden.

Punktsteigungsfonn:

Zweipunktefonn:

Allgemeine Geradengleichung:

g:y-Yt = m X -Xt

mist die Steigung und P1 (x1fy1) ein gegebener Punkt der Geraden.

Pt(Xt/Yt) und P2(x2/y2) sind zwei gegebene Punkte der Geraden mit x1 # x2.

g: ax + by + c = 0; a b E R, wobei a # 0 V b =f:. 0

X

Zwischen dem Steigungswinkel der Weite a( -90° < 0! < 90°) und der Stei

gung m besteht die Beziehung: tan a = m = Y2 - Yt

. X2 -Xt

Beispiele zum Bestimmen von Geradengleichungen:

(1) gegeben: P(4/3); m = �

Punktsteigungsform Y -3

= 1 <=} y -3 = 1 . (x -4) <=} y -3 = 1 x - 2 x-4 2 2 2

g :y= �x+1

Funktionen

(2) gegeben:

Zweipunkteform

P1( -4/-2)· P2(4/4 5) y- ( -2) - 4 5 - ( -2) X - ( -4) - 4 - ( -4) y+2=13 {::>y+2=13·( x+4) X +4 16 16

13 5 g·y=-x--. 16 4

Schnittwinkel von Geraden, Orthogonalität, Parallelität

Zwei Geraden g1 und 92 mit den Steigungen m1 und m2 bilden einen Schnittwinkel der Weite ß (0° � ß � 90°).

Dabei gilt: tan ß = I m2 - m1 I 1 +m1 · m2 Die Geraden sind orthogonal (ß = 90°) Die Geraden sind parallel (ß = 0°)

wenn m1 · m2 # -1

wenn m1 · m2 = -1 wenn m1 = m2

X

35

Beispiel: Welche der nachfolgenden Geraden sind zueinander orthogonal (paraUel)?

gl:y=-5x+1 => m1 = -5 !/2:y = 0,2x + 3 1

=> m2 = 0 2 = 5 !J3:y = 4x- 2 => m3 =4 g4:y=-5x-7 => m4 = -5

1 g1..l.g2 m1-m2=-5·-=-1 => 5 m1 · m3 = -5 · 4 = -20 => g1 weder ..l noch II g3 m1 =m4 => glllg4

36

1 4 m2 · m3 = - · 4 = -5 1 5

m2 ·m4=-5 ·-=-1 5

:::::}

:::::}

g2 weder ..l noch II g3

g2..lg4

m3 · m4 = 4 · -5 = -20 g3 weder ..l noch II g4

Länge und Mittelpunkt einer Strecke

Gegeben sind die Punkte P1 (x1jy1) und P2 (x2/Y2)·

Für die Länge der Strecke P1P2 gilt IP1P2I = J (x2 -Xt)2 + (y2 -Yt)

2

Der Mittelpunkt der Strecke P1 P2 ist M ( Xt 1 x2 I

Yt ; Y2)

Beispiele:

(1) Wie lang ist die Strecke AB?

Gegeben: A( 4/ -7)· 8( -4/8)

lAB I= ,/( -4- 4/ + (8 - ( -7))2 = J64 + 225

= J289 = 17LE (Längeneinheiten)

(2) Wo liegt der Mittelpunkt der Strecke R5?

Gegeben: R(3/ -2) 5(5/6)

X m=3 +5=4 Ym=(-2)+6=2 => M(4/2) 2 2

2.1.2.1 Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen

(1) 5x- 4 = 2(x- 3) + 1 {:::> 5x - 4 = 2x - 6 + 1

5x- 4 = 2x- 5 / +4· -2x

3x= -1 /:3 1 X=--3 IL= { -�}

(2) 3(2x + 1) = 6x {:::> 6x + 3 = 6x /-6x

3=0 IL= {}

(3) 2(x+ 1) -x =x 2 {:::> 2x+2-x=x+2

x+2=x+2 j-x· -2

0=0 IL=IR

Analysis

Funktionen 37

2.1.3 Quadratische Funktionen

Eine Funktion des Typsf mitf(x) = ax2 + bx + c, x ER (a b c ER, a # 0) heißt quadratische Funktion. Ihr Schaubild mit der Gleichung y = � + bx + c ist eine quadratische Parabel 2. Ordnung. ( b b2) Sie besitzt den ScheitelpunktS -

2ajc- 4a und ist für a > 0 (a < 0) nach

oben (unten) geöffnet. Für Iai = 1 kann man die Parabel mithilfe einer Parabelschablone zeichnen.

2.1.3.1 Eigenschaften der quadratischen Funktion y • xl; x E IR (Norrnalparabel)

(a) Der Punkt 5(0/0) ist der Scheitel der Parabel; er fällt mit dem Koordinatenursprung zusammen.

(b) Die Normalparabel ist symmetrisch zur y-Achse.

( c) Für aUe x mit x � 0 ist die Funktion streng monoton fallend. Für aUe x mit x � 0 ist die Funktion streng monoton steigend. Der Scheitel ist der tiefste Punkt der NormalparabeL

( d) Der Wertebereich der Funktion ist die Menge aller reellen Zahlen y mity 2:: 0.

(e) x0 = 0 ist die einzige Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse) der Funktion.

-s -4 -3 -z -1 o S(o o) z 3 4 s x

-1

-2

38 Analysis

2.1.3.2 Eigenschaften der quadratischen Funktion mity • axl; x E IR

(a) Der Graph der Funktion y = �entsteht aus der Normalparabel - durch Stauchung mit dem Faktor a in Richtung der y-Achse

mitO < a < 1

- durch Streckung mit dem Faktor a in Richtung der y-Achse mita > 1

- durch Spiegelung an der x-Achse und Stauchung (Streckung) an der y-Achse mit a < 0.

(b) Der Punkt 5{0/0) ist der Scheitel der Parabel.

(c) Die Parabel istsymmetrisch zur y-Achse.

(d) Die Parabel ist nach unten geöffnet, wenn a < 0.

(e) Die Parabel ist nach oben geöffnet, wenn a > 0.

(f) Die Wertemenge der Funktion ist die Menge aller y mity 2:: 0, wenn a > 0 oder y � 0, wenn a < 0.

(g) x0 = 0 ist einzige Nullstelle der Funktion.

4 s 6 )(

Funktionen 39

2.1.3.3 Eigenschaften der quadratischen Funktion mit y • x2 + c; x E IR

(a) Der Graph der Funktion mity = x2 + centsteht aus der Normalpara-bel und durch Verschiebung um c Einheiten in Richtung der y-Achse.

(b) Der Punkt 5(0/c) ist der Scheitel der ParabeL

( c) Die Parabel ist symmetrisch zur y-Achse.

(d) Die Wertemenge der Funktion ist die Menge aUer reellen Zahlen mit y� 0.

(e) Die Funktion besitzt - zwei Nullstellen, wenn c < 0 - eine Nullstelle wenn c = 0 - keine Nullstelle, wenn c > 0.

-5 -4 -3

-6

y=xl- S (c<O)

3 4 5 X

40 Analysis

2.1.3.4 Eigenschaften der quadratischen Funktion mity • x2 + bx + c; x E IR

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung lautet y = (x- d)2 + e Das heißt: Der Graph der quadratischen Funktion entsteht aus der Normalparabel durch Verschieben von d Einheiten in Richtung der

x-Achse und um e Einheiten in Richtung der y-Achse.

Der ScheitelS hat dann die Koordinaten (dfe) mit d = - � und

b2 e=c·4.

Die Parabel ist symmetrisch zu der Parallelen der y-Achse durch den Scheitel (dfe).

Für alle x ::;; d ist die Parabel streng monoton fallend, für alle x � d ist sie streng monoton steigend.

Der Wertebereich ist die Menge der reellen Zahlen y mity � e.

Die quadratische Funktion hat - zwei NullsteUen, wenn e < 0 - eine Nullstelle, wenn e = 0 - keine NuUstelle, wenn e > 0.

y � xz - 10x • 26 oder

y=(x- S)l+ 1

2 3 4 5 6 X

y- t, x2 • lo x oder y- (x + 2)2 - t,

-4 S{-2-4)

-5

-6

Funktionen

2.1.3.5 Lösen von gemischtquadratischen Gleichungen der Form x2+ bx+ c= 0

Um quadratische Gleichungen der Form XZ + bx + c = 0 (oder auch: XZ + qx + p = 0) zu Lösen, stehen zwei Verfahren zur Auswahl.:

Rechnerische Lösung durch quadratische Ergiinzung:

Zuerst formt man die Gleichung so um, dass man den Term auf der Linken Seite mithilfe einer binomischen Formel in ein Quadrat verwandeln kann.

xz -8x-9

XZ-8x

=0

=9

J-8x+ (-�) 2

=9+(-�)2

xz-8x + 42

xz-8x+ 16

(x-4)2

x-4

Xt

= 9 +42

= 9 +16

= 25

=±5

= +5+4

= -5+4

(Quadrat des halben Faktors von x)

/(2. binomische Formel)

/J / +4

=9

= -1

IL = {9· -1} (Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse)

Lösungsformel fOr quadratische Gleichungen

Falls die Gleichung � + px + q = 0 Lösungen besitzt, erhält man:

Xt = -� + V ( � )' -q x, = -� - V ( � )'

-q

Beispiel!:

41

2XZ - 22x + 36 = 0 /:2 {Oie Gleichung muss zuerst in die Form x2 + px + q = 0 gebracht werden.)

x2- 11x+18=0 p = -11 q= 18

xlf, = -�±v (�)' -q

42

( -11) /(( -11)) 2: x1t2 = - -2- ± \ -2- - 18

x1t2 = 55± -J(30 25- 18)

X1 =55+ 3 5 = 9

x1/2 =55± Jc-5 5)2 - 18

x1/2 = 5 5 ± y'i2"Ts X2 = 5 5- 3)5 = 2

Analysis

IL = {2; 9} {Zwei Nullstellen, bzw. zwei Schnittpunkte mit der x-Achse)

Beispiel2:

>t - 20x + 100 = 0 p= - 20 q = 100

C -20) /(C -20)) 2: X1f2 = - -2- ± \ -2- - 100 X1f2 = 10 ± V100 - 100

X= 10 X1f2 = 10 ± Vo IL = {10} (Eine Nullstelle, bzw. ein Schnittpunkt mit der x-Achse)

Beispiel3:

>t - 18x + 90 = 0 p= -18 q = 90

xv2 �-( -;8) ± J (( -;8)) 2-90 x1t2 � 9 ± J81-90

x1t2 = 9 ± v'=9 {Aus einer negativen Zahl kann die Quadratwurzel nicht gezogen werden!)

IL = { } {Keine Nullstelle, bzw. kein Schnittpunkt mit der x-Achse)

2.1.4 Potenzfunktionen-Funktionen höherer Ordnung Eine Funktion des Typsf mitf(x) = a�; x E IR (n E �' o E IR\{0}) oder

f(x) = ax-n, x ER \{0} (n EIN, o ER \{0}) heißt Potenzfunktion. Das Schaubild einer Funktion f mit der Gleichung y = ox" heißt Parabel n-ter Ordnung. Oas Schaubild einer Funktion f mit der Gleichung y = ox-" heißt Hyperbel n-ter Ordnung. Für gerades n ist das Schaubild symmetrisch zur y-Achse, für ungerades n ist es symmetrisch zum Koordinatenursprung (Sym metrieeigenschaften).

Beispiele zum Zeichnen von Potenzfunktionen

{1) f(x) = �x3 5 {2)

Funktionen

f(x) = 3x-1 = 1 X

(3)

(4) f(x) = -4x-2 = _j_ x2

Werteta bellen:

{1) X -3 -2

y -5,4 -1,6

{2) X -3 -2

y -27 -5,3

{3) X -3 -2

y -1 -1,5

{4) X -3 -2

y -0,4 -1

Graphische Darstellung:

-1

-0,2

-1

-0,3

-1

-3

-1

-4

y 6

5

4

3

2

-3

-4

-5

-6

0 1 2

0 0,2 1,6

0 1 2

0 -0,3 -5,3

0 1 2

� 3 1,5

0 1 2

� -4 -1

1 (1) y=�xl

3 4 5 6

1 (2) y = - - p•

43

3

5,4

3

-27

3

1

3

-0,4

X

44

y

6

5

3

2

Analysis

6 X

Funktionen 45

2.1.4.1 Eigenschaften der Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten

1. Potenzfunktion mit geraden n

(a) Die Graphen der Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x" (x E IR} mit geraden n sind symmetrisch zur y-Achse. Sie haben die gemeinsamen Punkte R (0; 0}, S (1; 1}, T ( -1; 1}.

(b) Die Funktionen sindfür x $ 0 streng monoton fallend und für x � 0 streng monoton steigend.

(c} Der Wertebereich ist die Menge aUer reellen Zahleny mity � 0.

(d) x0 = 0 ist einzige Nullstelle.

-6 - s - 4 -3 -2 -1 0

-1

-2

-3

-4

- 5

-6

R(O 0) 2 3 4 5 6 X

46 Analysis

2. Potenzfunktionen mit ungeraden n

(a) Die Graphen der Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x" (x E IR}

mit ungeraden n sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die gemeinsamen Punkte sind R (0; 0}, S (1; 1), T ( -1· -1} .

(b) Die Funktionen sind überall streng monoton steigend.

(c) Der Wertebereich ist die Menge aller reellen Zahlen.

(d) x0 = 0 ist einzige Nullstelle.

-6 -s -4

y 8

7

5

4

-s

-6

- 7

-8

2 3 4 s 6

Funktionen

2.1.4.2 Eigenschaften der Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten

1. Potenzfunktionen mit geraden n

47

(a) Die Graphen der Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x-n (x E IR) mit geraden n sind symmetrisch zur y-Achse. Sie haben die gemeinsamen Punkte R (1; 1) und S (-1; 1).

(b) Die Funktionen sind für x < 0 streng monoton steigend und für x > 0 streng monoton fallend.

(c) Beide Koordinatenachsen sind Asymptoten des Graphen.

( d) Der Wertebereich ist die Menge aller Zahlen y mity > 0.

(e) Die Funktionen haben keine Nullstellen.

I y" 1,. x-z

3

-6 -5 -4 -3 - 2 -1 0 2 3 4 5 6 -I

-2

48

2. Potenzfunktionen mit ungeraden n

(a) Die Graphen der Potenzfunktionen mit der Gleichung y = x-n

Analysis

(x E R) mit ungeraden n sind punktsymmetrisch zum Koordjnatenursprung. Sie haben die gemeinsamen Punkte R (1; 1) und S (-1;-1).

(b) Die Funktionen sind für x < 0 und für x > 0 streng monoton fallend.

(c) Beide Koordinatenachsen sind Asymptoten des Graphen.

( d) Der Wertebereich ist die Menge aller Zahlen y mit y '! 0.

(e) Die Funktionen haben keine Nullstellen.

-6 -5 - 4 -3

y

6

5

4

3

-5

-6

2 3 4 5 6 X

Funktionen

2.1.4.3

(a)

(b)

(c)

(d)

49

1

Eigenschaften der Wurzelfunktionen mity ... xn = e/X (x E IR+) 1

Die Graphen der Wurzelfunktionen mity = xn = � (x E IR+) haben die gemeinsamen Punkte R (0; 0) und 5 (1; 1).

Die Funktionen sind streng monoton steigend.

Der Wertebereich ist die Menge aller reellen Zahlen y mity � 0.

x0 = 0 ist einzige Nullstelle.

y 6

5

3

2

I

R(OIO}

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1

-2

-3

-s

-6

y =!.IX

y=!fi

2 3 4 5 6 X

50 Analysis

2.1.4.4 Lösen von Gleichungen höherer Ordnung

Gleichungen, bei denen die Lösungvariable mindestens in dritter Potenz auftritt, nennt man Gleichungen höherer Ordnung. Eine Gleichung höherer Ordnung kann nur so viele Nullstellen haben, wie der Wert ihrer höchsten Potenz.

Rechnerische Lösung mithilfe der n-ten Wurzel

(1)

(2 )

1x3 -12 = 0 4 x3 = 48

x=� l= {2V6} 2x4 -64 = 0 {:}

x4 = 32 {:}

X1f2 = ± �16 · 2 {:}

l ={+2 \o/2; -2 e/2}

.!x3 = 12 4 X= q'48

X= 2(/6

2x4 = 64 X1f2= ±� X1f2 = ±2 Y2

Rechnerische Lösung mithilfe Substitution

x'+x-2 = 12 man setztx2 = v

v2 + v -12 = 0

v1/2 = -� ± J� + 12

V1 = _.! +.z = 3 2 2

2 man setzt nun v112 = x x2 = 3

l = {+v'3; -J3}

x4+x2-12=0

p = 1 q = -12 (Lösungsformel)

1 !49 v1/2 = -2± V4 1 7 V2 = ----= -4 2 2

x1 = +J3 x2 = -J3 ist nicht erfüllbar

Funktionen 51

Rechnerische Lösung durch Faktorisieren

(1) 20- 8x2 = 0 {::} x2(2x2-8) = 0

x2 = 0 {:::} X1f2 = 0

2x2-8=0 {:} x2 = 4

x= J4 {::} X3 = +2 X4 = -2

L = {-2; 0; 2}

(2) 4x4 + 28x3 + 49x2 = 0 {:::} x2(4x2 + 28x + 49) = 0

x2 = 0 {:::} xl/2 = 0

4x2 + 28x + 49 = 0 {:} x2 + 7x+ 49 = 0 4

{Lösungsformel)

7 !4949 X3f4 = -2_ ± \14 - -;; {:::} 7 X3 = --2

L={-�;0}

Rechnerische Lösung mittels Polynomdivision

x3 - � - 5x + 6 = 0

Zuerst muss eine Zahl x1 gesucht werden, durch welche die Gleichung erfüllt wird.

Tipp: Diese Zahl x1 muss ein Teiler vom letzten Glied des Polynoms (der Gleichung), in diesem Fall von 6, sein.

Durch Probieren erhält man: x1 = -2. Teiler der Gleichung ist somit (x + 2).

(x3 - 2x2 - 5x + 6) : (x + 2) = x2 - 4x + 3 (x3 + U)

(-4x2- 5x) (-4x2- 8x)

(3x + 6) (3x + 6)

0

Durch die Polynomdivision erhält man: (x + 2)(� - 4x + 3) = 0 X1 = -2

52

Mithilfe der Lösungsformel werden nun x2 und x3 bestimmt.

x2- 4x+ 3 = 0

X2f3=2±V4-3

X2 = 2 + 1 = 3

L= {-2·1· 3}

X3 = 2-1 = 1

2 . 1 . 5 Exponenöal- und Logarithmusfunktionen

2.1.5.1 Exponentialfunktionen

Analysis

Eine Funktion des Typsf mitf(x) = b · cl,x E IR+\{1}, b E IR\{0}) heißt Exponentialfunktion. Für b > 0 und a > 1 spricht man von einer Wachstumsfunktion, für b > 0 und

0 < a < 1 von einer Zerfallsfunktion. Ihr Schaubild mit der Gleichung y = b · cf heißt Exponentialkurve.

Beispiel zum Zeichnen einer Potenzfunktion

{1) y = 2. G) X

Wertetabelle:

(1)

6 5 -4 3 2 1 0 2 3 4 5 6

-2

-3

- 4 -5

-6

X

Funktionen 53

2.1.5.1.1 Eigenschaften der Exponentialfunktionen

Für jede Exponentialfunktion mity = rr mit beliebiger Basis a '# 1 undx E IR gilt:

(a) Oie Funktion ist

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

- für a > 1 streng monoton steigend, - für 0 < a < 1 streng monoton faflend. Der Graph liegt oberhalb der x-Achse.

Der Wertebereich ist die Menge der positiven reeUen Zahlen.

Der Graph schmiegt sich - für a > 1 dem negativen Teil der x-Achse an, - für 0 < a < 1 dem positiven Teil der x-Achse an.

Oie x-Achse ist Asymptote des Graphen.

Alle Graphen haben als einzigen gemeinsamen Punkt R (0; 1). Oie Graphen der Exponentialfunktionen mity = cl undy = (1)x gehen durch Spiegelung an der y-Achse auseinander hervor. 0

2.1.5.2 Logarithmusfunktionen

Eine Funktion des Typs f mit f (x) = loga x, x E IR, a > 0, a # 1 heißt Logarithmusfunktion. Oie Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Sie ist nur fLir x > 0 definiert.

2.1.5.2.1 Eigenschaften der Logarithmusfunktion

Für jede Logarithmusfunktion mity = logax, x E IR, a > 0, a '# 1 gilt:

(a) Oie Funktion ist - für a > 1streng monoton steigend, - für 0 < a < 1streng monoton fallend.

(b) Der Graph Liegt rechts von der y-Achse. Jede reelle Zahl kommt als Funktionswert vor. Der Wertebereich ist R.

Es gilt: - für a > 1:

loga,X < 0, falls 0 < x < 1 loga,X = 0, fallsx = 1 loga,X > 0, fallsx > 1

- Für 0 < a < 1: loga,X > 0, falls 0 < x < 1 logax = 0, fallsx = 1 logax < 0, fallsx > 1

54

(c)

(d)

(e)

Der Graph schmiegt sich - dem negativen Teil der y-Achse an für a > 0, - dem positiven Teil der y-Achse an für 0 < a < 1. Die y-Achse ist Asymptote des Graphen.

Analysis

ALLe Graphen haben als einzigen gemeinsamen Punkt R (1; 0}.

Die Graphen der Logarithmusfunktion mity = Loga x undy = Log1 x gehen durch Spiegelung an der x-Achse hervor. ä

y

6

s

4

3

2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 t

-2

- 3

-4

-s

-6

y= log1 5x

2.2 Differenzialrechnung

2.2.1 Grenzwerte

2.2.1.1 Grenzwerte einer Funktion für lxl -+

Eine Funktion f mit rechtsseitig (Linksseitig) uneingeschränktem Definitionsbereich hat für x-+ + (x-+ - ) den Grenzwertg, wenn der Abstand der Funktionswerte von der reellen Zahl g beliebig klein wird, faLLs x genügend groß (klein) gewählt wird. Man schreibt:

Lim f(x) = g x-+oo

oder Lim f(x) = g x�-oo

Differenzialrecllnung 55

Wachsen, bzw. fallen die Funktionswerte von f jedoch unbegrenzt, so schreibt man:

f(x) � +oo für x � +oo

oder

f(x) = � - für x � +

f(x) � + für x �- f(x) =�- fürx�-

Wichtige Grenzwerte:

lim l. = 0 für n E N x-+ocxn

lim � = 0 für n E N x--ocxn

tim er = 0 für 0 < a < 1 tim cf = 0 für a > 1 x--oc

n

lim � = 0 für a > 1 x-+ocax lim (x" · oX) = 0 für a > 1

Beispiele:

(1)

(2)

(3}

(4)

(5}

x--oc

Oie Grenzwerte der Funktionen! sollen mithilfe bekannter Grenzwerte bestimmt werden.

3x f(x) = -; x E IR

x- 2

l. 3x t· 3 3 1m -- = 1m -- =-- =3 x-+ X - 2 x-+oo 1 -2 1 + 0

X

2x3 + 3x. f(x) = 2 3 '

X -X x E IR\{0}

lim 2x3 + 3X = lim 2 +

� = 2 + 0 = -2 x-+ x2 -x3 x-+ .! - 1 0 - 1

X

f(x) = Jx · (�) x;

li m 1 + 2x = 1 + 0 = 1 x-- 1- 3x 1-0

f(x) = 3 + 5 ; x-1

XE IR

x E IR\{1} 5

lim 3+-5- = lim 3+� = 3 + -0- = 3 x-- x -1 x--oo 1 - - 1 - 0 X

56

(6) f(x) = 1 ; )1-x X EIR+

l . 1 l" 1 lffi = lffi = 0

x-+-oc )1-x x--oc (1-x) 112

2.2.1.2 Grenzwerte einer Funktion für x -4 a

Analysis

Eine Funktion!, die in U0 oder in U0 \{a} definiert ist, hat für x -4 a den Grenzwert g, wenn der Abstand der Funktionswerte von der reellen Zahl g beliebig klein wird, falls x genügend nahe bei a gewählt wird. Entsprechend definiert man bei nur einseitiger Annäherung an die Stelle a den rechtsseitigen oder linksseitigen Grenzwert g, bzw. g1 an der Stelle a. Man schreibt:

Allgemein

limf(x) = g X--+0

oder

lim f(x) = g, lim f(x) = 91 x-+a x_.-.0

Ist g, = g,, dann existiert an der Stelleader Grenzwert g mit g = g, = g1. Es gibt mehrere Möglichkeiten zur Grenzwertbestimmung. Oft angewandt werden die Methode der Termumformung sowie die Grenzwertbestimmung mit der h-Methode.

(a) Beispiele z.ur Bestimmung von Grenzwerten mit Termumformung

(1) f(x)=Xl+x- 2; xEIR\{ 1} =} a=1 x-1

( 2)

limf(x) = limx2 +x- 2 = Lim (x + 2). (x -1) = lim(x + 2) = 3

x--+1 x--+1 X -1 x-1 X -1 x-1

f(x) = 9x2- 4. x ER\{-�} =} a = -�

6x+ 4' 3 3

lim f(x) = lim 9x2 - 4

x--% x--% 6x + 4

= lim (3x + 2) · (3x- 2)

x--213 2 · (3x + 2)

l. 3x- 2 = 1m --x-- % 2

_-4 -2

= -2

Differenzialrecllnung

(3) f(x) = x3 -5x2 + S:- 4 x E R\{2} (x-2)

l. f ( ) l" x3 -5x2 + 8x - 4 1m x = lm ---�:---x->2 x-2 (x-2)2

= Li m (� - 4x + 4) · (x - 1) => Polynomdivision x-2 (x-2)2

(x -2)2 · (x -1) = lim = lim(x-1) = 2 -1 = 1 x-2 (x -2)2 x-2

a=2

(b) Beispiele zur Bestimmung von Grenzwerten mit der h-Methode

57

Bei Anwendung der h-Methode wird die nahe bei a gelegene Stelle x durch a + h ausgedrückt (h =f 0) und dann das Verhalten von f(a + h) für h- a untersucht. Falls ein Grenzwert existiert, schreibt man:

limf(x) = limf(a + h) = g x-a h->0

{1) f(x) =� +x-2; x-1 lim f(x) = lim j(1 + h) X-+1 h->0

x E IR\{1} => a = 1

= lim (1 + h)2 + (1 + h)-2

h->0 (1+h)-1

= lim 1 + 2h + h2 + 1 + h-2 h-o 1 +h -1 = lim 3h + h2

h->0 h

(2)

= lim h(3+h) h->0 h

f(x) = 9x2 - 4. 6x + 4'

lim f(x) x->-213

l. 4-12h + 9h2 - 4

= 1m ----:--:--::,......-:----:--h-o -4+ 6h + 4 -t· h(-12+9h) -

h� 6h

= lim (3 + h) = 3 h->0

l. -12h+9h2 = 1m -----=-o,..----

h-o 6h

= lim (-12 + 9h) = -2 h->0 6

58

(3) f(x) = x3 - Sx2 + �- 4 x E IR\{2} =? (x- 2)

Limf(x) = lim(2 + h) x-2 h-{)

= lim (2 + h)3 - 5 · (2 + h)2 + 8 · (2 + h) - 4

h-{) ((2 + h) - 2l

a = 2

= Lim 8 + 12h + 6h2 + h3 - 20 - 20h - 5h2 + 16 + 8h - 4

h-{) h2

l. h2+h3 l"

h2(1+h) l" ( h) = lm

h2 = lm h

= lm 1 + = 1 h-{) h-{) 2 h-{)

2.2.2 Stetigkeit

Analysis

Eine Funktion wird dann als stetig bezeichnet, wenn diese weder Sprünge noch Lücken besitzt. Die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle a wird untersucht, indem festgestellt wird, ob die Funktionswerte sich bei Annäherung an diese Stelle einer Zahl immer mehr annähern (diese wird dann als Grenzwert der Funktion an der Stelle a bezeichnet) und diese dann mit dem Funktionswert an der Stelle a verglichen. Existiert ein solcher Grenzwert, und stimmt dieser mit dem Funktionswert an der Stelle a überein, so wird die Funktion dort als stetig bezeichnet.

limf(x) = f(a) x-o

oder auch Lim f(a + h) = f(a) h-{)

Eine Funktion wird dann als stetig bezeichnet (im ganzen Definitionsbereich), wenn sie an jeder Stelle des Definitionsbereiches stetig ist.

Gilt nur:

lim f(x) = f(a) oder lim f(x) = f(a), x-+o x.--o

dann istf an der Stelle a rechtsseitig, bzw. Linksseitig stetig .

Differenzlairechnung 59

y

2

X

Die Kurve K1 ist das Schaubild einer stetigen Funktion, da die Funktion weder Lücken noch Sprünge besitzt.

X

Die Kurve K2 ist das Schaubild einer Funktion, die überall stetig ist, bis auf die Stelle x = 3. Bei Annäherung an die Stellex::::: 3 nähern sich zwar die Funktionswerte einem Zahlenwert an, es existiert also ein Grenzwert der Funktion an der Stellex = 3, dieser stimmt aber nicht mit dem Funktionswert an derStellex = 3 überein.

2 X

Die Kurve K3 ist das Schaubild einer Funktion, die überall stetig ist, bis auf die Stelle x = 7. An der Stelle x = 7 stimmt zwar der linksseitige Grenzwert der Funktionswerte mit dem Funktionswert an der Stelle x ::::: 7 überein, allerdings nicht mit dem rechtsseitigen Grenzwert des Funktionswertes an der Stelle x = 7.

60

y

3 )(

Die Kurve K, ist das Schaubild einer Funktion, die überall stetig ist, bis auf die Stelle x = 3. An dieser Stelle existiert weder ein Grenzwert der Funktionswerte noch ein Funktionswert

Analysis

Alle in der Analysis behandelten Funktionstypen von ganzrationalen, gebrochenrationalen und trigonometrischen Funktionen sowie auch Wurzel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen sind in ihrem gesamten Definitionsbereich stetige Funktionen. Man untersucht die Stetigkeit deshalb üblicherweise nur bei zusammengesetzten Funktionen und zwar an den Stellen, an denen diese zusammengesetzt sind. Da bei zusammengesetzten Funktionen links und rechts von der Stelle (Nahtstelle), an der sie zusammengesetzt wurden, verschiedene Funktionsvorschriften existieren, muss man auch den Grenzwert der Funktionswerte von links und rechts her untersuchen.

Es gilt:

limf(x) = limf(x) = f(a) oder limf(a + h) = limf(a- h) = f(a) x-a x-a h->0 h->0 x>o x<o

wobei h eine beliebige Nullfolge von h > 0 ist.

Beispiel: Die abschnittsweise definierte Funktion f soU an ihrer Nahtstelle auf Stetigkeit untersucht sowie ihr Schaubild gezeichnet werden.

1x2 -1 f(x) = -=2...".3 __

--x+4 2 Nahtstelle ist 2.

Ist h > 0, so ist

für x�2 x>2

lim f(x) = lim/{2 + h) = lim [--2

3 (2 + h) + 4] = 1

x-2+ h->0 h->0

lim f(x) = lim/{2-h) = lim [� {2-h)2 - 1] = 1 x-2- h->0 h->0 2

Differenzlairechnung

/(2) = 1 . 22 - 1 = 1 2

Da g, = 91 = f(2) = 1, istfan der Stelle 2 stetig.

y

6

5

4

3

I f(x} -2x2-1 2

-2

-3

2.2.3 Differenzierbarkeit und Ableitung

4 5 6

61

X

Bei der Differenzierbarkeit soll dem Schaubild einer Funktion f an der SteUe x0 eine Steigung zugeordnet werden. Diese Steigung entspricht der Steigung der Tangente im zugehörigen Kurvenpunkt. Die Steigung m einer Geraden kann mithilfe zweier Punkte P(x1jy1) und Q(x2fy2), auch als Zwei-Punkte-Form bezeichnet, bestimmt werden.

Es gilt:

Zwei-Punkte-Form zur Bestimmung der Steigung m

Bei der Bestimmung der Steigung der Tangente an der Kurve besteht das Problem, dass von der Kurventangente nur der Berührpunkt B(xo/f(xo)) bekannt ist. Somit wird zunächst eine Näherung bestimmt, indem zur Berechnung der Steigung der Kurvenpunkt P(xff(x)) hinzugenommen wird. Somit erhält man die Steigung einer Sekante durch 8 mit:

f x -f xo) ms = ; X-Xo

Sekantensteigung

62

Der Termf(x) - f(xo) wird als auch als Differenzenquotienten bezeichnet. X-Xo

Je näher der Kurvenpunkt P bei 8 liegt, desto besser ist diese Näherung.

'

/ '

Analysis

I I I I I I I I I I I I .. X X

Wird nun der Grenzwert des Differenzenquotienten (Differenzialquotienten!) gebildet, indem man x � x0 gehen lässt, so erhält man, falls dieser Grenzwert existiert, die Tangentensteigung. Diese wird auch als 1. Ableitung der Funktion an der Stelle xo bezeichnet.

ll.mf(x)-f(xo) --f(xo) i Tangenteoste gung x;:a X -Xo x o 1. Ableitung der Funktion

Man sagt, die Funktion fist differenzierbar an der Stelle x0• Eine Funktion heißt differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle differenzierbar ist.

Wichtig: Die 1. Ableitung einer Funktion an der Stelle xo gibt die Steigung der Kurve im Kurvenpunkt B(x0jf(x0)) an.

Es wäre sehr aufwändig, die Kurvensteigung mit dieser Grenzwertberechnung in allen möglichen Kurvenpunkten zu berechnen. Somit ist es sinnvoll, den Grenzwert des Differenzialquotienten zu berechnen, ohne für Xo eine bestimmte Zahl einzusetzen. Lässt sich der Grenzwert berechnen, so erhält man einen Term, der für jedes x0 die Steigung im zugehörigen Kurvenpunkt liefert. Diese Zuordnung ist eine Funktion, die als die Ableitungsfunktion I zur Funktion/ bezeichnet wird.

Differenzialrecllnung 63

Wichtige Ableitungsjunktionen:

f(x) = x"; X EDj � f(x) = n · x"-1; XE Vj; n ER

f(x) = Jx; X ER+ 0 � /(x) = -1-; 2 · Jx

xER+

f(x) = 1; X XE R\{0} � f'(x) =-12;

X x E R\{0}

f(x) = sinx; xER � f'(x) = cosx · xER

f(x) = cos x; XER � f'(x) = -sinx; xER

f(x) = eX; x E R � f'(x) = eX; x ER

f(x) = lnx; xER � f'(x) = 1; x E R\{0} X

2.2.3.1 Ableitungsregeln Sind u und v differenzierbare Funktionen und c E IR, dann gelten folgende Ableitungsregeln:

f(x) = c · u(x)

f(x) = u(x) ± v(x)

Produktregel:

f(x) = u(x) · v(x)

Quotientenregel:

f(x) = u(x) v(x)

Ketten reget:

f(x) = u(v(x))

� f(x) = c · u'(x)

� /(x) = u'(x) ± v'(x)

� f(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)

/(x) = u'(x) · v(x)- u(x) · v'(x) (v(x))2

� f(x) = u'(v(x)) · v'(x)

In Worten: Oie äußere AbLeitung multipliziert mit der inneren Ableitung der Funktion.

64

Beispiele:

(1)

(2)

(3)

f(x) = x2 + x; x E IR

f(x) = _!_x4 + �x3· x E IR 12 3 ,

f(x) = _± � +§� 12 3 f (x) = 3 · Vx + 2

3; x E IR+ X

f(x) = 3 .1x-� + 2. ( -3)x-4 2

I 3 6 (x) =

2. Jx- x'

Analysis

=} f(x) = 2x + 1

=} f(x) = 4 · _!_ � + 3 · �x2 12 3

= f(x) = 1x3 + 2 x2 3 1

= f (x) = 3 · Xl + 2 · x-3; x E IR+

f() 3 _1 6 -4 = X =-X 2- X 2

Produktregel:

(4) f(x) = l. sinx; X

XE IR\{0} = f(x) = x-1 · sinx

{5)

mit u(x) = x-1 und u'(x) = -1 · x-2 =- x\

v(x) = sinx und v'(x) = cosx erhält man: f(x) = t.i(x) · v(x) + u(x) · v'(x)

f'(x) =-

1 · sinx+ 1. cosx x2 x

f(x) = (x3- x) · cosx; x E IR

mit: u(x) = � -x und v(x) = cosx und

erhält man: f(x) = t.i(x) · v(x) + u(x) · v'(x) f(x) = (3x2 -1) · cosx+ (x3 -x) · (-sinx) /(x) = (3x2 -1) · cosx -(x3 -x) · sinx

u'(x) = 3� -1 v'(x) = -sinx

Quotienten reget: 2x-1 (6) f(x ) = x + 1; x E IR\{1}

mit:

erhält man:

u(x) = 2x -1 und v(x) = x + 1 und

u'(x) = 2

v'(x) = 1

Differenzialrecllnung

f(x) = u'(x) · v(x)-u�x) · v'(x) (v(x))

f(x) = 2 · (x + 1)- (2x- 1} · 1 (x + 1)2

f(x)= 2x+ 2-2x+1 (x + 1}2

f(x) -3 · x E IR\{1}

- (x+lf

Quotienten- und Kettenregel:

(7) f(x)- 4x · x E R - (x2 + 2)3'

mit: u(x) = 4x und u'(x) = 4

65

v(x) = (x2 + 2)3 und v'(x) = 3 · (x2 + 2)2 · 2x = 6x · (� + 2)2

Kettenregel: u'(v(x)) · v'(x) erhält man:

f'(x) = u'(x) · v(x)-u(x) · v'(x) (v(x))2

f(x) = 4. (x2 + 2)3 -4x. 6x(x2 + 2)2 (kürzen!)

(x2 + 2)6

f(x) = 4 · (x2 + 2)- 24x2 (x2 + 2)4

f(x) = 4x2 + 8- 24x2 (x2 + 2)4

f(x) = -20x2 + 8; x E IR (x2 + 2)4

{8) f(x) = (x; � ;)2; x E IR\{- 2}

mit: u(x) = 1- x und u'(x) = -1 v(x) = (x3 + 8)2 und

erhält man:

v'(x) = 2 · (x3 + 8) · 3x2 = 6x2 · (xl + 8) Kettenregel: u'(v(x)) · v'(x)

f(x) = u'(x) · v(x)-u(x) · v'(x)

(v(x))2

66

f( ) _ {-1). (.0 + 8)2-(1-x) · 6x2(� + 8) (k..

') x - 4 urzen. (x3 + 8)

J'(x) = {-1). (.0 + 8)- ( 1-x) · 6x2 (x3 + 8)3

f'(x) = -x3- 8- 6x2 + 6.0 (x3 + 8)3

f(x) = 5.0- 6x2-8; x E IR\{- 2}

(x3 + 8)3

2.3 Bausteine einer Kurvendiskussion

2.3.1 DefiniöonsbereichjWertebereich einer Funktion-Definiöonslücken

2.3.1.1 Definitionsbereich/Wertebereich

Analysis

Eine Zuordnung, die jeder Zahl x aus einer Menge [) genau eine reelle Zahl y eindeutig zuordnet, heißt Funktion. Die Menge ID heißt Definitionsbereich der Funktion, die Menge W aller zugeordneten Zahleny nennt man den Wertebereich der Funktion. Eine Funktion liegt vor, wenn der Funktionstermf(x) und die Definitionsmenge [)

gegeben sind. Bei einigen Funktionen, wie z. B. gebrochen rationalen Funktionen, Wurzel- und Logarithmusfunktionen etc., müssen aufgrund der Rechengesetze Einschränkungen des Definitionsbereiches gemacht werden. Zum Beispiel muss der Nenner ungleich 0 sein (gebrochen rationale Funktionen) oder der Radikant darf nicht negativ sein (Quadratwurzelfunktionen, 4. Wurzel, 6. Wurzel, usw.), bei der Logarithmusfunktion dürfen im Argument des Logarithmus keine 0 oder negativen Zahlen stehen.

Beispiele: x2 f(x) =

x2-4 = IR\{2, -2}, da bei {2, -2} der Nenner= 0 würde.

f(x) = Jx2 -1

2.3.1.2 Definitionslücken

ID = ] - · -1 U [ 1· +

Eine Stelle a, an der die Funktionf(x) nicht definiert ist, heißt Definitionslücke. Man unterscheidet zwei Arten von Definitionslücken:

{1} Stetig hebbare Definitionslücken

Existiert limf(x), dann ist a stetig hebbare DefinitionsWcke. x-a

Baustel ne einer Kurvendiskussion

(2) Polstellen

(a) Gilt f (x)---+ +oo für x---+ a oderf(x) ---4 - für x---+ a,

dann ist a eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

67

(b) Giltf(x)---+ + für x ---4 a+ oderf(x) ---+ - für x---+ a-

oder f(x) ---+ - für x ---4 a+ oder f(x) ---+ + für x ---4 a-, dann ist a eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Beispiele für Definitionslücken:

x2 4 (1) f(x) = x2; 2x; x E IR\{0;-2}

Daf(x) = x2- 4 = (x + 2)(x- 2)

= x- 2, ist -2 stetig hebbare x:2 + 2x x(x + 2) x

Definitionslücke

mit lim f(x) = 2 und 0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, wobei x-o-2

f(x) ---+ +oo für x---+ 0- undf(x)---+- für x ---4 0+.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-1

-2

3

-5

y

xl- 4 f(x) = x1• 2x

4 5 6 X

68

(2) f(x) = -1 2, x E IR\{2} (x- 2)

Analysis

Die Stelle 2 ist PolsteUe ohne Vorzeichenwechsel, wobei f(x) �

fürx � 2.

y 2

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 - 1

-z

-3

-4

-5

-6

5 6 X

-1 f(x) = (x- z)l

2.3.2 Symmetrieeigenschaften einer Funktion

Bei der Untersuchung der Symmetrieeigenschaften einer Funktion unterscheidet man zwischen Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung. Haben zwei Punkte, die gleich weit von der y-Achse in positiver und negativer x-Richtung entfernt sind, denselben Funktionswert (y-Wert), so ist das Schaubild der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

(1) Ist also f (x) • f ( -x) für alle x E D,, so heißt die Funktion gerade und das Schaubild der Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Sind zwei Punkte, gleich weit von der y-Achse in positiver oder negativer x-Richtung entfernt, unterscheiden sich aber im Vorzeichen des Funktionswertes (y-Wertes), so ist das Schaubild der Funktion punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

(2) Ist also/ (-x) • -! (x) für aUex E v,, so heißt die Funktion ungerade und das Schaubild der Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Bausteine einer Kurvendiskussion

Beispiele:

Zu (1) f(x) = -x4 - x2 + 3 x E IR

f(-x) = -(-x)4- (-xY + 3 {::> f(-x) = -x4 -xl + 3

69

f(x) = f( -x) => Achsensymmetrie zur y-Achse => die Funktion 1st gerade

Zu {2) f(x) = �x5- 7x3 + 9x x E IR 5

f( -x) = 1 ( -x)5 - 7( -x)3 + 9(-x) 5

f(-x) = -�? + 7x3- 9x 5

f(x) #f(-x)

-f(x) = - Gx5- 7J + 9x) -f(x) = - .'!x5 + 7x3 - 9x

5

f( -x) = -f(x)

2.3.3 Asymptoten- Näherungskurven

=> Keine Achsensymmetrie

=> Punktsymmetrie zum Ursprung => die Funktion 1st ungerade

Eine Asymptote 1st eine Gerade, die sich dem Schaubild der Funktion f(x) immer mehr annähert. Eine NäherungskuNe ist das Schaubild einer ganzrationalen Funktion, die sich der gegebenen Funktionf(x) immer mehr annähert. Es gibt drei Arten von Asymptoten: • vertikale Asymptoten • horizontale Asymptoten • schiefe Asymptoten

2.3.3.1 Vertikale Asymptoten

Besitzt eine Funktion eine Polstelle, so gehen die Funktionswerte bei Annäherung an diese Stelle x0 gegen + . oder gegen - . Somit nähert sich das Schaubild der Funktion immer mehr der Geraden mit der Gleichung x = x0 an Diese steht senkrecht zur x-Achse bzw. verl.äuft parallel zur y-Achse und wird deshalb als vertikale (senkrechte) Asymptote bezeichnet.

70 Analysis

Wichtig: Funktionen, die keine Definitionslücken haben (z. B. ganzrationale Funktionen) können keine vertikalen Asymptoten besitzen.

Beispiele für vertikale Asymptoten:

y y

K

X

x•

2.3.3.2 Horizontale und schiefe Asymptoten, Näherungskurven

X

Nähert sich das Schaubild einer Funktion für x ----+ + oder x ----+ - dem Schaubild einer ganzrationalen Funktion f(x), so heißt diese Näherungsfunktion. Handelt es sich bei dieser Näherungsfunktion um eine Gerade, so bezeichnet man ihr Schaubild als Asymptote, anderenfalls als Näherungskurve. Ist die Steigung der Asymptoten gleich 0, handelt es sich um eine horizontale (waagerechte) Asymptote, ist die Steigung ungleich 0, ist es eine schiefe Asymptote.

Beispiel für die Bestimmung von Asymptoten:

f(x) = x3

+ 3x2; x E IR\{- 1} (x + 1)2

Daf(x) ----+ -oo für x----+ -1, besitzt! an der Stelle -1 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel und somit das Schaubild von f eine vertikale Asymptote G1: X= -1.


Durch Polynomdivision (s. a. Kap. 2.1.4.4, S. 51) erhält man:

(x3 + 3x2) : (.x2 + 2x + 1) = x + 1 + -3x-1 x2+2x+1

(� + 2x2 +x)

-3x-1

Das Schaubild von f besitzt somit eine schiefe Asymptote a2 : y = x + 1,

d l. -3x -1 0 alxl�:xlx2 +2x+1 =

·

- 6 -5

y

9

2 3 4 5 6

2.3.4 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

71

X

Eine Funktion f(x) kann Schnittpunkte mit der x-Achse und einen Schnittpunkt mit der y-Achse haben.

2.3.4.1 Schnittpunkt mit der y-Achse

Da bei Funktionen jedem x-Wert genau ein Funktionswert (y-Wert) zugeordnet wird, gibt es nur einen Schnittpunkt mit der y-Achse. Er hat die Koordinaten 5(0/f(O)) .

72

Beispiel: f(x) = �; x EIR\{-1, 1} 1-x

f(O) = -

3- = 3 1-()2

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist somit bei 5(0/ 3).

Analysis

2.3.4.2 Schnittpunkte mit der x-Achse

Bei allen Punkten, die auf der x-Achse liegen, ist der Funktionswertf(x) gleich 0. Man berechnet die x-Werte der Schnittpunkte (Nullstellen), in dem man die Funktion gleich 0 setzt (f(x) = 0) und die sich daraus ergebende Gleichung löst. Dazu gibt es unterschiedliche Lösungsverfahren (s. Kap. 2.1.3.5).

Wichtig: Eine Funktion kann maximal so viele Nullstellen haben, wie die Wertigkeit ihres höchsten Exponenten.

Beispiele zur Bestimmung der Schnittpunkte mit der x-Achse:

( 1) f (x) = x4 + 5x3 + 6x2; x E IR {::} � + 5� + 6x2 = 0 x2 (.l + 5x + 6) = 0 {::} x2 = 0, somit X1j2 = 0 � + 5x + 6 = 0 <:> pjq-Formel (Lösungsformel)

Oie Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind N1;2(0/0), N 3( -2/0), N4( -3/0).

{2) x6 � �32

-8; x E IR\{-2}

Bei gebrochen rationalen Funktionen wird zur Bestimmung der Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) nur das Zählerpolynom gleich 0 gesetzt

� -7x3 -8 = 0 {::} Lösen mithilfe von Substitution

man setzt x3 = v

v2 -7v-8 = 0

v1fz= � +JW'

+8

man setzt nun vl/2 = x3 � = V8 X1 = 2

<=> p / q-Formel (Lösungsformel)

v2 = -1

{::} � = V<=1) Xz = -1 Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) der Funktion sind N1(2/0) undN2(-1/0).

Bausteine einer Kurvendiskussion 73

2.3.5 Ableitungen

Bei einer vollständigen Kurvendiskussion werden die 1. und 2. Ableitung der Funktion f(x), unter Umständen auch die 3. Ableitung benötigt (Differenzierbarkeit und Techniken des Ableitens (s. Kap. 2.2.3.1). Mithilfe der 1. Ableitung einer Funktion kann man die Steigung des Schaubildes (Tangentensteigung) in einem beliebigen Kurvenpunkt bestimmen oder auch Aussagen über das Wachstumsverhalten der Funktion an einer beliebigen Stelle machen. Nimmt die Ableitungsfunktion an einer Stelle x0 einen positiven Wert an, so wächst das Schaubild an dieser Stelle (die Funktionswerte nehmen zu), nimmt die Ableitungsfunktion dort einen negativen Wert an, so fällt das Schaubild der Funktion an dieser Stelle (die Funktionswerte nehmen ab). Das Ergebnis gibt gleichzeitig die Steigung der Kurve im Punkt P(x0Jf(x0)) an und damit auch die Steigung der Tangente in P. Oie 2. Ableitung gibt das Krümmungsverhalten der Kurve an. Ist die 2. Ableitung der Funktion an einer Stelle x0 positiv, so nimmt die Steigung in die.ser Umgebung zu und die Kurve weist somit an der Stelle x0 eine Linkskrümmung (bei Betrachtung in positiver x-Richtung) auf. Ist die 2. Ableitung der Funktion an der Stelle x0 negativ, so nimmt die Steigung in der Umgebung von xo ab und die Kurve besitzt dort eine Rechtskriimmung.

74

Beispiel: f (x) = � x3 - � � - x; x E IR

f(x) = 1x2 _Zx- 1 2 4

I I 7 l'f

f(x)-r; '-sx'-x. xcdR �

-6 -5 -4 -3

-6 -5 -4 -3

I

� I

� I I

g I I 2

I a

I -&

I

-�

-7

Analysis


f'(x)=x-Z 4

- 6 -5 -4 -3 -2

f"'(x) = 1

-6 -s -4 - 3 -2

-3

-5

- t

y 5

0 -I

-2

_,

-s

75

F'"(x)- 1

2 .( 5 6

76 Analysis

2.3.6 Monotonie

Um festzustellen, ob eine Funktion f(x) streng monoton steigend oder fallend ist, wird gezeigt, dass die 1. Ableitung der Funktion im Definitionsbereich streng monoton steigend oder fallend ist. Wenn I ein Teilinterwall des Definitionsbereiches einer Funktion f ist, dann heißt • f streng monoton wachsend auf I, wenn für allex1, x2 EI gilt:f(x1) <f(x2). • f streng monoton wachsend auf I, wenn für alle x1, x2 EI gilt:f(x1) > f(x2).

Mit der Ableitung/ lässt sich das Monotonieverhalten von f untersuchen.

Es gilt: • f'(x) > Ofür allex EI • f'(x) < Ofür allex EI

:::} fist auf I streng monoton wachsend. :::} fist auf I streng monoton fallend.

-2

Beispiel:

f(x) = -� -x; x EIR

]-1; 0(

y

2

-1

-2

/(x) = -5x4 -1 = -(5x4 + 1) < 0 für allex ER

Somit istf auf R streng monoton fallend.

X

Baustel ne einer Kurvendiskussion 77

2.3.7 Extrempunkte

Als relative Extrempunkte werden sowohl Hochpunkte als auch Tiefpunkte einer Funktion f bezeichnet. Ein Hochpunkt ist ein Punkt, der von alten Punkten in seiner Umgebung den größten Funktionswert besitzt. Ein Tiefpunkt ist somit ein Punkt, der von alten Punkten in seiner Umgebung den kleinsten Funktionswert besitzt.

2.3.7 .1 Notwendige Bedingung für Extrempunkte

Bei der Berechnung der relativen Extrempunkte wird die Eigenschaft verwendet, dass das Schaubild in einem relativen Extrempunkt eine waagerechte Tangente

(Steigung= 0) besitzen muss. Das bedeutet, dass die 1. Ableitung der Funktion an einem relativen Extrempunkt den Wert 0 annehmen muss(/ (xE} • 0)

y

X

notwendige Bedingungfiir relative Extrempunkte

Es muss jedoch nicht jeder Punkt einer Funktion f mit waagerechter Tangente ein relativer Extrempunkt sein. PunktS in der Grafik aufS. 78 (Links) ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, auch als Sattel- oder Terrassenpunkt bezeichnet. In der rechten Grafik ist die Steigung der zur x-Achse parallel vertaufenden Geraden gleich 0, es Liegt dort aber kein relativer Extrempunkt vor. Aufgrund dieser Möglichkeiten wird die Bedingung, dass die 1. Ableitung an einer Extremstelle gleich 0 sein muss als notwendige, jedoch nicht als hinreichende Bedingung bezeichnet.

78 Analysis

y y

X X

Für den Nachweis (hinreichende Bedingung), dass es sich bei einem Punkt mit waagerechter Tangente um einen relativen Extrempunkt handelt, gibt es zwei Möglichkeiten.

2.3. 7.2 Nachweis der hinreichenden Bedingung für einen Hochpunkt

Möglichkeit 1:

Man weist nach, dass die 1. Ableitung an der Stelle xH einen Vorzeichenwechsel von + nach - besitzt. Dies bedeutet, dass die Steigung links von H positiv und rechts von H negativ ist.

/(x) > 0 falls x < XH aus der Umgebung von XH

f'(x) < 0 falls x > xH aus der Umgebung von xH

Möglichkeit 2:

Man zeigt, dass die Steigung an der Stelle XH abnimmt. Dies bedeutet, dass die Kurve im Hochpunkt nach rechts gekrümmt ist.

Üblicherweise wird in fast allen Fällen der Nachweis nach Möglichkeit 2 geführt.


2.3. 7.3 Nachweis der hinreichenden Bedingung für einen Tiefpunkt

Möglichkeit 1:

Man weist nach, dass die 1. Ableitung an der Stelle xr einen Vorzeichenwechsel von - nach + besitzt. Dies bedeutet, dass die Steigung links von T negativ und rechts von T positiv ist.

f(x) < 0, falls x < xr aus der Umgebung von xr

J'(x) > 0, falls x > xr aus der Umgebung von xr

Möglichkeit 2:

Man zeigt, dass die Steigung an der Stelle xr zunimmt. Dies bedeutet, dass die Kurve im Tiefpunkt nach links gekrümmt ist.

Üblicherweise wird in fast allen Fällen der Nachweis nach Möglichkeit 2 geführt.

2.3.7.4 Beispielzur Bestimmung von relativen Extrempunkten

f(x) = 2�;- �x4, x E [-1· 5]

f(x) =1x4 -� 4

1x4-�=0 4

f"(x) = x3 -3x2

f(xE) = 0 notwendige Bedingung

V

Untersuchung von XE1 • 0 nach Möglichkeit 1 (hinreichende Bedingung):

f"(O) = 0, aber f' wechselt an der Stelle 0 das Vorzeichen von+ nach-.

Somit ist 0 ExtremsteUe.f(O) = 0 ist ein relatives Maximum.

Das Schaubild der Funktion besitzt einen Hochpunkt bei H1(0JO).

Untersuchung von xE2 • 4 nach Möglichkeit 2 (hinreichende Bedingung):

f"(4) = 43-3.42 = 16 {::} f"(4) > 0 und somitrelatives Minimum.

Das Schaubild der Funktion besitzt einen Tiefpunkt bei T1(4/-12 6).

80 Analysis

Weiterhin sollten nun noch die relativen Extremstellen am Rand des Definitionsbereiches untersucht werden:

f(-1) = _!_ (-1)5 _l(-1)4 = -0 3 20 4 relatives Minimum

Somit besitzt das Schaubild der Funktion einen weiteren Tiefpunkt bei

T2(-l(-O 3).

f(5) =..!.. (5)5 -l(s)4 = o 20 4 relatives Maximum.

Das Schaubild der Funktion hat einen weiteren Hochpunkt bei H2(5/0).

-6 -s -4 -3 - 2

2.3.8 Wendepunkte

y

3

2

S 6 X

Als Wendepunkte einer Funktion f bezeichnet man Punkte, in denen sich das Krümmungsverhalten der Kurve ändert. Die Kurve geht von einer Links- in eine Rechtskrümmung oder von einer Rechts- in eine Linkskrümmung über.


2.3.8.1 Notwendige Bedingung für Wendepunkte

An einer Stelle, an der das Schaubild einerFunktionf eine Linkskrümmung besitzt, nimmt die 2. Ableitung der Funktion einen positiven Wert an, an einer SteLLe, an der das Schaubild einer Funktion eine Rechtskrümmung besitzt, nimmt die 2. AbLeitung der Funktion einen negativen Wert an. Somit muss die 2. Ableitung an einer WendesteLLe gleich 0 sein (/' (xw) • 0).

Wichtig:

f"(xw) = 0 notwendige Bedingung für Wendepunkte

....

2.3.8.2 Hinreichende Bedingung für Wendepunkte

, .. )

ALLerdings sind nicht aLLe SteLLen, an denen die 2. Ableitung der Funktion f gleich 0 ist, auch WendesteLLen. Es muss somit noch gezeigt werden, dass sich das Krümmungsverhalten an diesen SteLLen ändert (hinreichende Bedingung). Auch hier gibt es für die Durchführung des Nachweises zwei Möglichkeiten.

82

Möglichkeit 1:

Die Funktion f' (xw) wechselt an der Stelle xw das Vorzeichen:

f"(x) < 0 für x < xw und x aus der Umgebung von xw und gleichzeitig

J"(x) > 0 für x > xw und x aus der Umgebung von xw

oder

f"(x) > 0 für x < xw und x aus der Umgebung von xw und gleichzeitig

f"(x) < 0 für x > xw und x aus der Umgebung von xw

Möglichkeit 2:

Analysis

Eine weitere Möglichkeit zu zeigen, dass es sich an der Stelle, an der die 2. Ableitung der Funktion f gleich 0 ist, um eine Wendestelle handelt, ist es nachzuweisen, dass eine 3. Ableitung der Funktion f existiert.

!111 (xw) =/:- 0

Üblicherweise wird bei Funktionen, deren 3. Ableitung recht einfach berechnet

werden kann den Nachweis/" (xw) =1- 0 angewendet. Bei Funktionen, bei denen die Berechnung der 3. Ableitung sehr aufwändig ist, zeigt man zum Nachweis lieber, dass die 2. Ableitung in der Umgebung der Wende

stelle einen Vorzeichenwechsel besitzt. Ein Wendepunkt ist nicht nur ein Punkt, in dem sich das Krümmungsverhalten der Kurve ändert, er ist auch gleichzeitig ein Punkt, in dem die Steigung der Kurve in der Umgebung des Punktes den größten oder den kleinsten Wert besitzt. Nimmt die Steigung links des Wendepunktes zu und rechts des Punktes wieder ab, so hat

die Steigung des Wendepunktes im Bezug auf seine Umgebung ihren größten Wert angenommen. Analog dazu hat die Steigung des Wendepunktes im Bezug auf seine Umgebung den kleinsten Wert angenommen, wenn die Steigung links des Wendepunktes abnimmt und rechts davon wieder zu.

2.3.8.3 Beispiel zur Bestimmung von Wendepunkten

f(x) = -x4 + 3�; x E IR

f(x) = -4� + 6x {:} f'(x) = -1� + 6

J"'(x) = - 24x

f"(xw) = 0 2 -12x +6=0

xwl = + fi = +1 V2 V2 2 V xm = -J{ = -� V2


f" ( + � J2) = 12 J2 :/= 0 =? + � J2 ist Wendepunkt

!"' (- � J2) = -12 J2 :/= 0 =? - � J2 ist Wendepunkt

Das Schaubild der Funktion besitzt einen Wendepunkt bei W1 ( +� J2 I�) sowie

einen Wendepunkt bei W2 (- � J2j �).

-6 - s -4 -3 -

y

6

s

4

3

-1

-2

-3

-4

- s

-6

2.3. 9 Koeffizientenbestimmung

y • -4x4 + Jx2

2 3 4 5 6 )(

Oft tritt das Problem auf, dass Eigenschaften einer Funktion bzw. ihres Schaubildes vorgegeben sind, jedoch von der Funktion nur der Funktionstyp bekannt ist. Die Funktionsgleichung enthält in diesem Fall Parameter {Unbekannte), die mithilfe der vorgegebenen Eigenschaften berechnet werden sollen. Eine Funktionsgleichung kann nur dann vollständig bestimmt werden, wenn mindestens so viele Eigenschaften der Funktion bekannt sind, wie deren Gleichung an Unbekannten besitzt. ALLe Eigenschaften ergeben GLeichungen, die dann zusammen ein Gleichungssystem ergeben. Löst man dieses, so erhält man die Unbekannten der Funktionsgleichung und somit auch die Funktion selbst.

84 Analysis

Nachfolgend sind die wichtigsten Eigenschaften einer Funktion und ihre Umsetzung als Gleichung aufgeführt:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(k)

Gerade Funktionsgleichung: g(x) = mx + b

Ganzrationale Funktion 2ten Grades Funktionsgleichung: f(x) = ax2

+ bx + c

Ganzrationale Funktion 3ten Grades Funktionsgleichung: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

Ganzrationale Funktion 4ten Grades Funktionsgleichung: f(x) = ax4 + bx3 + cx2

+ dx + e

Eine ganzrationale Funktion 3ten Grades, deren Schaubild punktsymmetrisch zum Ursprung ist Funktionsgleichung: f(x) = ax3 + bx

Eine ganzrationale Funktion 4ten Grades, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist Funktionsgleichung: f(x) = ax4 + bx2 + c

Eine gebrochenrationale Funktion

Funktionsgleichung: f(x) = �� wobei z und n ganzrationale

Funktionen sind mit n(x) # 0

Das Schaubild der Funktion läuft durch den Punkt P (2/3)

f(2) = 3 (verläuft das Schaubild einer Funktion durch einen Punkt P, so müssen die Koordinaten von P die Funktionsgleichung erflillen)

Das Schaubild der Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle 1,5

!(1 5) = 0

Das Schaubild der Funktion besitzt im Punkt P (2/-3) die Steigung 4 1. !(2) = -3

2. f(2)=4 (die 1. Ableitung an der Stelle 2 gibt die Steigung der Kurve im Punkt Pan)

Das Schaubild der Funktion berührt die x-Achse an der Stelle- 5

1. f( -5) = 0 (der Kurvenpunkt mit dem x-Wert -Stiegt auf

2. f(-5) = 0

der x-Achse, somit muss der y-Wert {Funk

tionswert) 0 sein) (berührt eine Kurve die x-Achse, so ist die x-Achse im Berührpunkt Tangente. Da die Stei-


gung der x-Achse 0 ist, muss auch die Steigung der der Kurve im Berührpunkt 0 sein)

(l) Das Schaubild der Funktion besitzt einen Hochpunkt bei H (- 3/4} 1. f(-3) = 4 2. f( -3) = 0 (die Kurve besitzt im Hochpunkt eine waa

gerechte Tangente, bzw. eine Tangente mit der Steigung 0)

(m) Das Schaubild der Funktion besitzt einen Tiefpunkt bei T (2/- 3} 1. /(2) = -3 2. /(2) = 0 (die Kurve besitzt im Tiefpunkt eine waagerechte

Tangente, bzw. eine Tangente mit der Steigung 0)

(n) Das Schaubild der Funktion besitzt einen Wendepunkt in W (4/3} 1. /(4) = 3 2. /'(4) = 0 (da die Stelle 2 eine Wendestelle ist, muss

dort die 2. Ableitung gleich 0 sein)

(o) Das Schaubild einer gebrochenrationalen Funktion f besitzt eine Asymptote mit der Gleichung x = 4

!(X) -- z(x)

( d · d · l F k · ) nun z sm ganzratlona e un tionen n(x)

n( 4) = 0 (da die Funktion an der Stelle 4 eine Polstelle besitzt, muss 4 eine Nullstelle des Nenners sein .

(p) Das Schaubild einer gebrochenrationalen Funktion f besitzt eine Asymptote mit der Gleichung y = 4

lim f(x) = 4 (das Schaubild der Funktion nähert sich für lxl-oo kleine bzw. große x-Werte der Geraden y = 4

an)

(q) Das Schaubild einer gebrochenrationalen Funktion f besitzt eine Asymptote mit der Gleichung y .. 3x + 2 Durch Polynomdivision erhält man eine RestglieddarsteUung der Funktion in der Form f(x) = g(x) + R(x) (g(x) ist eine ganzrationale Funktion und lim R = 0) somit ist g(x) = 3x + 2

lxl-oo

86 Analysis

Beispielaufgabe:

Aufgabenstellung: Zu bestimmen sei eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Schaubild die x-Achse im Punkt P( 4/0) berührt und im Ursprung diie Tangente mit der Gleichung y = 4x besitzt.

Lösung: 1. Ableitungen

f (x) = ax3 + bx2 + cx + d

f'(x) = 3ax2 + 2bx + c

f''(x) =6ax+2b

fm(x) = 6a

2. Aufstellen des GLeichungssystems

(1} f(4) =0 <=> ao43+bo42+co4+d=O

<=> 64a + 16b + 4c + d = 0

(2} /(4) =0 <=> 3ao42+2b·4+c=O

{::} 48a + 8b + c = 0

( 3} f(O) = 0 <=> a 0 03 + b 0 02 + c 0 0 + d = 0

<:>d=O

(4) f(O) =4 <=> 3ao02+2boO+c=4

<=> c=4

3. Lösen des Gleichungssystems

( 3) und (4) in (1) eingesetzt:

64a + 16b + 4 ° 4 + 0 = 0 <=> (I)

(4) in (2} eingesetzt:

64a + 16b + 16 = 0

48a +8b+4 = 0 <=> (II) 48a + 8b + 4 = 0

Nun existieren 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die nach dem Additionsverfahren gelöst werden können.

(I) 64a + 16b = -16 ] e (li} 48a +8b =-4 I· { -2)

-32a =-8 1: (-32)

a 1 -

4

Kurvendiskussion 87

a in {I) eingesetzt ergibt:

64· (�) +16b=-16{:} 16+16b =-16 /-16

b = -2

4 . Erstellen der gesuchten Funktion Mit a = l b = -2; c = 4 und d = 0 erhält man nun die gesuchte

Funktionf(x) = !�- 2x2 + 4x; x E IR

2.4 Kurvendiskussion

2.4.1 Ganzrationale Funktionen

(1) Aufgabenstellung

Eine Funktionfist gegeben durch f(x) = - �x3 + 3x; x E IR

Die Funktion soll auf Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Hoch-, Tief und Wendepunkte untersucht werden. Der Graph der Funktion soll im Bereich -3 5 � x � 3 5 gezeichnet werden.

Lösung:

(a) Symmetrie

Da die Funktion nur ungerade Exponenten besitzt, ist davon auszugehen, dass sie punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Trotzdem ist der Nachweis zu führen.

f(x) = f(-x)

f(x) = _1x3 + 3x 3

Untersuchung auf Achsensymmetrie

f(-x) = _,! (-x)3 + 3 (-x) {:} f(-x) = + .!x3 -3x 3 3 f(x) =1-f( -x) Keine Achsensymmetrie

f( -x) = -f(x)

f( -x) = +1x3-3x 3

Untersuchung auf Punktsymmetrie

88 Analysis

-f(x)=- (- �,i3+3x) <=> -f(x)=+ �x3- 3x

f( -x) = -f(x) Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

(b) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Schnittpunkt mit der y-Achse (x = 0)

{::> /(0) = 0

Einziger Schnittpunkt mit der y-Achse ist P(O /0).

Schnittpunkte mit der x-Achse (y = 0)

f(x) = 0

x(- �J + 3) = 0

_ .1x2 + 3 = 0 3

_

.!,i3 + 3x = 0 3 Xt = 0

J = 9/ .J

Somit hat die Funktion drei Schnittpunkte mit der x-Achse, N1 (0/0), N2(3 /0), N3( -3/0).

(c) Ableitungen

f(x)

f'(x)

= _ .1,i3 + 3x 3 = -x2 + 3

f'(x) = -2x

f"'(x) = -2

(d) Extrempunkte

Notwendige Bedingung für ExtrempunktexE ist:f'(xE) = 0.

J'(xE) = 0 <=> -x2 + 3 = 0

XE2 = -J3

Kurvendiskussion

Hinreichende Bedingung, daf' (xE) = 0 erfüllt ist:

f"(+Ji) = -2 · (+Ji) = -2V3 < 0 => relatives Maximum (HP)

f"(-Ji) = -2 · (-Ji) = +2V3 > 0 => relatives Minimum (TP)

J(+Ji) = -j(V3)3 + 3(V3) {:} J(+Ji) = 2V3

f(-Ji) = _.! (-V3)3 + 3(-Ji) {:} f(-Ji) = -2V3 3

89

Die Funktion hat somit einen relativen Hochpunkt bei H( .J3 /2 .Ji) und einen relativen Tiefpunkt bei T(-Jij-2Ji).

(e) Wendepunkte

Notwendige Bedingung für Wendepunkte X1v ist: f' (xw) = 0

f"(x�v) = 0 {:} -2x = 0

Hinreichende Bedingung, daf' (xw) = 0 erfüllt ist:

f'"(x�v) =I 0 {:} f"(x) = -2

Die Funktion hat somit einen Wendepunkt im Koordinatenursprung bei W(0/0).

(f) Grafische Darstellung der Funktion im Bereich- 3,5 � x � 3,5

Zum Zeichnen der Funktion werden alle ermittelten Punkte der Kurvendiskussion in den vorgegebenen Bereich des Koordinatensystems eingetragen und dann miteinander verbunden.

Ermittelte Punkte: Nt(0/0); N2(3/0); N3( -3/0); P(0/0)

H( Jij2Ji); T( -Jij-2Ji); W(0/0)

90

< -3,!;

-6 -s -4 -


y

6

s

4

3

TP -4

-s

-6

> 3,

s 6

Analysis

EineFunktionfist gegeben durchft(x) = 6!2� -�1 +6x, xER; tEIR+

Die Funktion soll auf Schnittpunkte mit der x-Achse, relative Extrempunkte und Wendepunkte untersucht werden.

Der Graph der Funktion soUfür t = 1 im Bereich -1 S x s 8 gezeichnet werden.

Lösung:

(a) Schnittpunkte mit der x-Achse

!t(x) = 0 {:} ....!..x3 -�x2 + 6x = 0 6t2 t 1. 6t2

� - 12tx2 + 36t2x = 0 {:} x(� - 12tx + 36t2) = 0 Xt = 0

(� - 12tx + 36f) = 0 {:} (x- 6t)2 = 0 2. binomische Formel!

(x- 6t)2 = 0 / ..[ {:} x- 6t = 0 x2 = 6t

Die Funktion hat somit zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, N1 (0/0), N2(6tj0).

Kurvendiskussion

(b) Ableitungen

ft(x) = ....!...�- �x2 + 6x 6t2 t

f,'(x) = ....!...x2-�x + 6 t 2t2 t

ft"(x) = � t (c) Extrempunkte

Notwendige Bedingung für Extrempunkte XE ist:ff(xE) = 0

ff(xE) = 0 .....!...x2-�x + 6 = 0 /· 2t2 2t2 t

91

x2 - 8tx + 12t2 = 0 x112 = 4t ± V16t2 - 12t2 Lösungsformel

Xtf2 = 4t ± M XE1 = 4t + 2t = 6t XE2 = 4t - 2t = 2t

Hinreichende Bedingung, daJ;(xE) = 0:

J,"(6t) = 1. (6t) -� = E -� = � t t2 t t t t

flt'(2t) = 1. (2t)- � = � -� = -� t2 t t t t

ft(6t) = 6�2 (6t)3 -� (6t)2 + 6(6t)

!t(2t) = 6�2 (2t)3 -� (2t/ + 6(2t)

> 0,

< 0,

{:}

{:}

da t > 0 =} relatives Minimum (TP)

da t > 0 =} relatives Maximum (HP)

ft(6t) = 0

16 ft(2t) =- t 3

Somit hat die Funktion einen relativen Hochpunkt bei H ( 2tf �6 t) und einen relativen Tiefpunkt bei (6t/0).

(d) Wendepunkte

Notwendige Bedingung für Wendepunktexll' ist:ft'(xll') = 0

ff'(xw) = 0

X-4t = 0

.lx-�=O ;.e t2 t

92

Hinreichende Bedingung, dafl.' (x1t.) = 0 erfüllt ist:

f:" (x1v) =J 0 {::} ft" (x) = �

Analysis

_!_ 0 64t3 - � 0 16t2 + 24t 6t2 t 32 8 ft(4t) = 3t- 32t + 24t = 3t

Die Funktion hat somit einen Wendepunkt bei W (4tf � t). (e) Grafische Darstellung der Funktion mit t = 1 im Bereich- 1 � x � 8

Ermittelte Punkte: N1(0/0); N2(6/0)

<-1

-3 -2

H(21�6} T(6/0); w(4f�)

y 6

5

4

3

4

5

6

-7

-8

H

2 3 4

I y=6xl-2xz+6x

>8

9 )(

Kurvendiskussion

2.4.2 Gebrochenrationale Funktionen

Aufgabenstellung:

Gegeben ist eine Funktion mit J(x) = x3 - 3x + 2 (x+ 1l

93

ID = R\{-1}

Das Graph der Funktion läuft durch den Punkt N1 (1/0) . Die Funktion soll auf Asymptoten, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie auf relative Extrempunkte und Wendepunkte untersucht werden. Der Graph der Funktion soll im Bereich -4 ::; x � 5 gezeichnet werden.

Lösung:

(a) Vertikale Asymptoten

Zuerst werden die Definitionslücken der Funktion durch Bestimmung der Nullstellen des Nenners bestimmt. Sind diese nicht gleichzeitig Nullstellen des Zählers, so besitzt die Funktion an diesen Stellen Polstellen. An dieser Stelle besitzt das Schaubild der Funktion eine vertikale Asymptote.

Die Funktion wird in der Form f(x) = z((x)) dargestellt, wobei z und n ganzrationale

F k . . d n x un tionen sm .

n(x) = 0 x= -1

z(-1) = (-1) 3- 3 (-1) + 2 = 4

Dies ergibt, dass die Stelle ( -1) eine Polstelle der Funktion ist. Da der Zähler an der Stelle ( -1) positiv ist und der Nenner in der Umgebung von ( -1) ebenfalls positiv ist, geht somitf(x) -4 + für x -4 -1. Die Stelle ( -1) ist somit Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, das Schaubild der Funktion besitzt die Gerade mit der Gleichung x = -1 als vertikale Asymptote.

(b) Horizontale oder schiefe Asymptoten

Da der Grad des Zählers der Funktion um 1 größer ist als der des Nenners, bestimmt man zuerst mithilfe der Polynomdivision (siehe Kapitel 2.1.4.4) die Restglieddarstellung der Funktion.

f(x) = � - 3x + 2 (x+ 1/ {:} f(x) = � - 3x + 2

x2 +2x+1

94

(�- 3x + 2): (x2 + 2x + 1) = x- 2 + x2 + � + 1

- (x3 + 2x2 +x)

(-� -4x+ 2) (-� -4x-2 )

4

f(x) =� - 3x+ 2

(x+1/ 4

= x- 2+ ---,.

(x + 1)2

Analysis

Der Wert des Restgliedes 4 2

geht für immer größer oder immer kleiner wer-(x+ 1)

dende x-Werte (für x --+ + oder x - - ) gegen 0. Somit weichen die Funktionswerte der Funktion f(x) für sehr große, bzw. sehr kleine x-Werte immer weniger von den Funktionswerten der Funktion g(x) = x- 2 ab.

Oie Funktion g(x) wird als Näherungsfunktion zur Funktionf(x) bezeichnet. Die Gerade mit der Gleichung y = x- 2 ist schiefe Asymptote.

(c) Symmetrie

f(x) = f(-x)

f(x) = x3 - 3x + 2

(x+1/

_ (-x)3- 3(-x) + 2

!( -x)- (( -x) + 1)2

f(x) =I f(-x)

/( -x) = -f(x)

f(-x) = -x3 + 3x+ 2

(-x + 1)2

-f (x) = _

(x3 - 3x + 2) (x+ 1/

f( -x) =I -f(x)


f(-x) = -x3 + 3x+ 2

(-x+ 1)2

Keine Achsensymmetrie zur y-Achse

Untersuchung auf Punktsymmetrie

-f(x) = -xl + 3x- 2

(x + 1)2

Keine Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung

Oie Funktion ist weder achsens,ymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Kurvendiskussion

(d) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen


f(O) = 03 -3. 0 + 2 = 2 {::} /(0) = 2 (0 + 1)2

Einziger Schnittpunkt mit der y-Achse ist P(0/ 2).


95

Zur Bestimmung der Schnittpunkte mit der x-Achse wird nur der Zähler der Funktionf(x) = 0 gesetzt, da ein Bruch nur 0 wird, wenn der Zähler= 0 ist.

�+x- 2=0

In der Aufgabenstellung ist bereits ein Schnittpunkt mit der x-Achse durch N1(1jO) gegeben. Somit ist x1 = 1 und der Term x3 -3x + 2 muss den Linearfaktor (x-1) enthalten. Durch Polynomdivision erhält man:

(x3-3x + 2) : (x-1) = x2 + x- 2

- (x3 -x2)

Somit:

(x2 -3x)

(J -x)

(-2x + 2)

( -2x + 2)

0

�- 3x + 2 = (x2 + x- 2) · (x-1) = 0 X1 = 1

x2 +x- 2 = 0 Lösungsformel

X2 = _ 1 + � = 1 X3 = _ 1 -� = -2 2 2 2 2

Die Funktion hat zwei Schnittpunkte mit der x-Achse N112(1/0) und N3( -2/0).

(e) Ableitungen

f(x) = x3-3x + 2

(x + 1)2

96

1. Ableitung

mit u(x) = x3 - 3x + 2

Analysis

u'(x) = 3x2 - 3

und v(x) =

(x + 1)2 v' (x) = 2 · (x + 1) · 1 (Kettenregel)

erhält man unter Anwendung der Quotientenregel (s. Kap. 2.2.3.1, S. 63):

x _ (3x2 - 3) · (x + 1)2- (x3 - 3x + 2). 2. (x + 1} f ( ) -

[(x + 1)2]2

Wichtig: Bevor man den Zähler ausmultipliziert, sollte man überprüfen, ob man durch Ausklammern eines Terms im Zähler und anschließendem Kürzen, den Funktionsterm nicht vereinfachen kann!!!

In diesem Fall kann der Term (x + 1) gekürzt werden.

f'(x) =

{3x2- 3) · (x+ 1)- (x3- 3x+ 2). 2 (x + 1)3

f (x) =

3� + 3x2 - 3x - 3 - 2x3 + 6x - 4 (x + 1)3

2. Ableitung

f(x) =

x3 + 3x2 + 3x- 7 (x + 1)3

mit u(x) = x3 + 3x2 + 3x- 7 =} und v(x) = (x + 1)3 =} erhält man mit Anwendung der Quotientenregel:

u' (x) = 3x2 + 6x + 3

v'(x) = 3 · (x + 1)2. 1

f"(x) =

3x2 + 6x + 3) · (x + 1)3 - (x3 + 3x2 + 3x- 7). (x + 1)2 . 3

[(x + 1)3]2 durch kürzen mit (x + 1)2 erhält man:

f'(x) =

(3x2 + 6x + 3) · (x + 1)- (x3 + 3x2 + 3x- 7). 3 (x + 1)4

f" (x) =

3� + 3x2 + 6x2 + 6x + 3x + 3 - 3x3 - 9x2 - 9x + 21 (x + 1)4

f"(x) =

24 (x + 1)4

3. Ableitung

Da die 2. Ableitung für aUe x E 10 ungleich 0 ist, ist in diesem Fall eine Bestimmung der 3. Ableitung nicht nötig.

Kurvendiskussion

(f) Extrempunkte

Notwendige Bedingung für das Vorhandensein von Extrempunkten XE ist

f(xE) = 0

f(xE) = 0

Durch Probieren:

Polynomdivision:

x3 + 3x2 + 3x -7 = 0

XEt = 1

(x3 + 3x2 + 3x-7) : (x -1) = x2 + 4x + 7

- (xl- x2)

Somjt ist

(4x2 + 3x)

(4x2- 4x)

(7x-7)

(7x -7)

0

(x3 + 3x2 + 3x-7) = (x2 + 4x + 7) · (x-1) = 0

XEt = 1

�+4x+7=0

XEz{3 = -2 ± J=3

V x2+4x+ 7 = 0

� XEZ/3 = -2 ± V{-2)2 -7

==> Keine Lösung, somit keine weiteren Extrem punkte.

Hinreichende Bedingung, daf(xE) = 0 erfüllt ist:

/'(1) - 24 - 24 > 0 ==> relatives Minimum (TP) -

(1 + 1)4-

16

/(1) = 13 -3 ·1 + 2 (1 + 1)2

* /(1) = 0

Oie Funktion hat einen relativen Tiefpunkt bei T(1/0).

97

98

(g) Wendepunkte

Notwendige Bedingung für Wendepunkte x,v ist: f' (x,v) = 0

f"(xw) = 0 <::::> 24 = 0 Widerspruch!

Oie Funktion besitzt keine Wendepunkte.

(h) Grafische Darstellung der Funktion im Bereich- 4� x � 5.

Ermittelte Punkte: N1(1/0); N2(-2/0); P(0/2)

T(1/0)

Asymptoten: x = -1 undy = x- 2

<-4

2.4.3 Exponentialfunktionen

Aufgabenstellung:

y

6

s

4

3

3 4 5 6

Gegeben ist eine Funktion mitf(x) = (1 + 2x)e-o,SK; x ER

Analysis

X

Die Funktion soll auf Asymptoten, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie auf relative Hoch-, Tief- und Wendepunkte untersucht werden.

Die Funktion soll im Bereich -2 � x � 7 graphisch dargestellt werden.

Kurvendiskussion 99

Lösung:

(a) Asymptoten

Durch Umformen kann die Funktion auf die Form f(x) = 1 ;.� gebracht werden.

lim 11 ;;x = 0, da die Exponentialfunktion stärker zunimmt als jede ganzratio-x ..... o t"" '

nale Funktion.

Somit ist die x-Achse für x > 0 vertikale Asymptote.

(b) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen


f(O) = (1 + 2 · O)e-o,s.o = 1 # /(0) = 1

Einziger Schnittpunkt mit der y-Achse ist P(0/1).


f(x) = 0

da e-o,Sx > 0 für alle x E R

(1 + 2x)e-o,Sx = 0

1 + 2x = 0; X1 = -0 5

Einziger Schnittpunkt mit der x-Achse ist N1 ( -0 5/0).

( c) Ableitungen

f(x) = (1 + 2x)e-o,Sx

1. Ableitung

mit

und

u(x) = 1 + 2x

v(x) = e-o,Sx

u'(x) = 2

v'(x) = -o,se-o,Sx

erhält man unter Anwendung der Produktregel:

I (x) = 2 · e-o,Sx + (1 + 2x) . ( -0 5e-0·Sx)

f'(x) = 2 · e-O,Sx-0 5e-O,Sx-2x · 0 5e-O,Sx

f(x) = (15 -x)e-o,Sx

100

2. Ableitung

mit u(x) = 1,5- x

und v(x) = e-o,!U' u'(x) = -1

v'(x) = -0,5e-o,!U'

erhält man unter Anwendung der Produktregel:

f'(x) = (-1)e-O,Sx + {1 5 - x)(-0 5e-O,Sx)

f'(x) = -e-o,!U' - 0,75e-o,!U' + 0,5xe-o,Sx

f'(x) = ( -1 75 + 0,5x)e-o,Sx

3. Ableitung

mit u(x) = -1 75 + 0 ,5x

und v(x) = e-O,!U'

erhält man nun:

u'(x)=05

V (x) = -0 5e-O,!U'

f"(x) = o 5 e-o,!U' + (-1 75 + 0 5x)(-O 5e-0·Sx)

f"'(x) = 0 5 e-o,!U' + 0,875e-o,Sx- 0 25xe-o,!U'

/"(x) = (1 375- 0 25x)e-o,!U'

(d) Extrempunkte

Notwendige Bedingung für Extrempunkte XE ist: f'(xE) = 0

J'(xE) = 0 <=> (1 5- x)e-o,!U' = 0

da e-o,Sx > 0 für alle x E R :::} 1 5 - X = 0; XE1 = 1 5

Hinreichende Bedingung, da f (xE) = 0 erfüllt ist:

Analysis

!''(15) = (-1 75 + 0 5 ·1 5)e-0•5·1•5 = -1· e-0•75 < 0 :::} relatives Maximum (HP)

f(1 5) = (1 + 2 · 1 5)e-0•5·1•5 {=}

Somit hat die Funktion einen Hochpunkt bei H(1 5/1 89).

(e) Wendepunkte

Notwendige Bedingung fürWendepunktexw istf"(x1v) = 0

f"(x\V) = 0 <=> (-1 75 +0,5x)e-o,!U' = 0 da e-o,Sx > 0 für alle x E R -1 75 + 0 5x = 0; xw1 = 3 5

Kurvendiskussion 101

Hinreichende Bedingung, daf" (x1v) = 0 erfüllt ist:

f"'(x,v) =I 0 {:::} /"(3,5) = (1 375- 0 25 · 3 5)e-0•5·3•5

1"'(3 5) = o 5e-1•75 =1 o

j(3 5) = (1 + 2 · 3 5)e-0•5·3•5 {:::} j(3 5) = 8 · e-1•75 � 1 39

Die Funktion hat somit einen Wendepunkt bei W(3 5/1 39).

(f) Grafische Darstellung der Funktion im Bereich - 2 � x � 7

Ermittelte Punkte: N1(-0 5/0); P(0/1)

H(1 5/1 89); W(3 5/1 39)

Vertikale Asymptote für x > 0 ist die x-Achse.

<-2

-3

�· 6

5

4

3

-7

-8

H

>7

8 9 X

102 Analysis

2.4.4 Trigonometrische Funktionen

Aufgabenstellung:

Eine Funktion! ist gegeben durch f(x) = �x + 3sinx; 1r 3 3 - -1r<x<-1r 2 - -2

Die Funktion soll auf Symmetrie, Extrempunkte und Wendepunkte untersucht werden.

3 3 Der Graph der Funktion soll im Bereich -2 1r � x � 21r gezeichnet werden.

Lösung:

(a) Symmetrie

f(x) = f(-x)

f(x) = �x + 3sinx 1r

f( -x) = � ( -x) + 3sin ( -x) 1r f(x) # f( -x) f( -x) = -f(x)

f( -x) = -�x- 3sinx 1r

-f(x) = - (!x+3sinx) f( -x) = -f(x)

(b) Ableitungen

f(x) = �x + 3sinx 1r

f"(x) = -3sinx

(c) Extrempunkte


{:} f(-x)= -�x- 3sinx 1r Keine Achsensymmetrie Untersuchung auf Punktsymmetrie

-f(x) = -2 x- 3sinx 1r

Oie Funktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

f(x) = � + 3cosx 1r f" (x) = -3cosx

Notwendige Bedingung für Extrempunkte XE istf'(xE) = 0

/(xE) = 0 {:} 2 + 3cosx = 0 1r

2 3cosx=-1r 2 cosx=-3 ·1r

Kurvendiskussion

Wegen der Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung:

Lösungen aus [ 0; � 1r] : xE1 � 1 79 V xE?. = 21r - xE1 = 4 5

Hinreichende Bedingung, daf (xE) = 0 f'(1 79) = -3sin 1 79 � -2,9 < 0 =? relatives Maximum {HP) !"(4,5) = -3sin4 5 � 2 9 > 0

f(1 79) = 2 · 1 79 + 3sin 1 79 {::}

1!'

/(4.5) =�·45 + 3sin 45 {::} ' 1!'

=? relatives Minimum (TP)

/(1 79) � 4 07

/(4 5) � -0 07

103

Die Funktion hat somit einen relativen Hochpunkt bei H1 (1 79/4 07) und einen relativen Tiefpunkt bei T1(4 5/-0 07). Wegen der Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung existieren außerdem ein weiterer Hochpunkt bei H2(-4 5/0 07) und ein weiterer Tiefpunkt bei T2(-1 79/-4 07).

(d) Wendepunkte Notwendige Bedingung für Wendepunkte X1v istf"(x1v) = 0

f"(xw)=O {::} -3sin x=O =? sinx=O Lösungen aus [ O· � 1r] : X1v1 = 0 V Xw2 = 1r

Hinreichende Bedingung, daf" (xw) = 0 erfüllt ist:

f"'(X1v) =J 0

f"'(O) = -3cos0 = 3 =J 0 f"'(rr) = -3COS1l' = 3

f(O) = � · 0 + 3sin 0 1!'

j(1r) = � · 1r + 3sin1r 1!'

<=> f(O) = 0

j(1r) = 2

Die Funktion hat somit Wendepunkte bei W1(0/0) und W2(1rj2) und außerdem wegen der Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung einen weiteren Wendepunkt bei W3(-1rj-2).

(e) Grafische Darstellung der Funktion im Bereich -�Jr � x � �Jr. Ermittelte Punkte: H1(1 79/4 07); H2(-4 5/0 07); T1(4 50/-0 07);

T2( -1 79/-4 07) W1 (O/O); W2(1rj2); W3 ( -1r 1 -2)

104

f(x)- *x + Jsinx

-2rt

y

6

5

4

3

-5

-6

Analysis

2Jt X

2.4.5 Bestimmung von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften (Ko�zientenbestimmung)


Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse im Punkt P(6/0) und besitzt einen Wendepunkt in W{0/4). Aus den gegebenen Eigenschaften soll die Funktionsgleichung bestimmt werden.

Lösung:

(a) Ableitungen

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

f(x) = 3ax2 + 2bx + c

f"(x) = 6ax + 2b

/111(x) = 6a

Kurvendiskussion 105

(b) Aufstellen des Gleichungssystems

(1) /(6) = 0 <=} a · 63 + b · 62 + c · 6 + d = 0 {:} 216a + 36b + 6c + d = 0

(2)/'(6) =0 {:} 3a-62+2b·6+c=O <=} 108a+12b+c=O

(3} /(0) = 4 {:} a · 03 + b · 02 + c · 0 + d = 0 {:} d = 4

(4)f'(O) =0 <=} 6a ·0+2b=O {:} b=O

(c) Lösen des Gleichungssystems

(3) und (4} in (1) eingesetzt:

216a + 36 · 0 + 6c + 4 = 0 {:} 216a + 6c + 4 = 0

(4) in a (II) eingesetzt: 108a + 12 · 0 + c = 0

Lösung durch das Additionsverfahren:

{:} 1 08a + c = 0

(I) 216a + 6c = -4

(II) 108a + 1c = 0 I· ( -6)

1: (-432)

1

] � -432a

a

=-4

4 = 432

= 108

a in (II) eingesetzt ergibt:

108· (1�8)+c =0

c = -1

(d) Erstellen der Funktionsgleichung

Mit a = -1- · b = o· c = -1 und d = 4 erhält man: 108' I

f(x) = -1-x3 -xZ + 4· x E IR

108


Gesucht ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse verläuft die eine Nullstelle bei N(1IO) und einen Hochpunkt bei H(212) hat.

Lösung: Wegen der Achsensymmetrie zur y-Achse hat die Funktion nur gerade Exponenten, die allgemeine Funktionsgleichung lautet somit: f(x) = a:l-+ bx2 + c

106

(a) Ableitungen

f(x) = ax4 + bJl + c f(x) = 4a� + 2bx J"(x) = 12ax2 + 2b j111(x) = 24ax

(b) Aufstellen des Gleichungssystems

(1} f(1) = 0 {::} a + b + c = 0 (2}

(3}

!(2) = 2 f (2) = 0

(c) Lösen des Gleichungssystems

16a+4b +c = 2 32a 4b = 0

Analysis

Das Gleichungssystem besteht aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten und kann nach dem Gauß-Algorithmus (s. Kap. 3 .3.2, S. 167) gelöst werden.

(I}

(II)

(III}

(IV)

(V}

a+ b+ c = 0 I· ( -16) 16a+ 4b+ c = 2 32a+ 4b =0

- 12b -15c =2 I· (28) - 28b-32c =0 1· (-12)

- 36c =56 1:(-36)

c =_56= _ 14 36 9

c in (V) eingesetzt:

-28b-32· (-194) = 0

b = 16 9

b und c in (I) eingesetzt:

16 14 a --- = 0 9 9 2 a=--9

] @ I· ( -32)

]$ ] @

Extremwertprobleme

(d) Erstellen der Funktionsgleichung

M•t 2 b 16 d 14 h••lt 1 a = - 9; = 9 un c = -9 er a man:

2 _4 16 2 14 f(x) = --x + -x- - -9 9 9

2.5 Extremwertprobleme

2.5.1 Grundlagen

107

Extremwertprobleme tauchen an den Stellen auf, an denen einer Kurve irgendeine geometrische Figur (oft ein Dreieck, Rechteck, Parallelogramm, etc.) einbeschrieben werden soll, sodass der Rächeninhalt oder der Umfang einen größtmöglichen oder kleinstmöglichen Wert annehmen. Da ein oder auch mehrere Eckpunkte der Figur auf dem Schaubild der Funktion liegen sollen, sind der Flächeninhalt oder der Umfang von der Lage dieser Punkte auf dem Schaubild abhängig. Der Flächeninhalt oder der Umfang Lassen sich deshalb als eine Funktion von der X-Koordinate der betreffenden Punkte darstellen. Der Kurvenpunkt wird gewöhnlicher Weise mit P(uff(u)) bezeichnet. Die sich ergebende "Inhalts-" oder "Umfangsfunktion" wird als Zielfunktion bezeichnet.

Schema zum Lösen von Extremwertproblemen:

(a) Feststellen, welche Größe extremal werden soll.

(b) Einführen der Variablen x. (Warum kann die in (a) bestimmte Größe verschiedene Werte annehmen und wovon hängt diese Größe ab).

( c) Bestimmen der Zielfunktion. (Die Größe, welche extremal werden soll, wird in x unter Beachtung der Definitionsmenge ausgedrückt).

(d) Untersuchung der Funktion auf Extremstellen.

(e) Formulierung des Ergebnisses.

108 Analysis

2.5.2 Extremwertprobleme I

In den vorangegangenen Kapiteln sind wiederholt Extremwerte bestimmt worden. Die Funktion, um deren Extremwerte es sich handelte, war dabei jedoch immer vorgegeben. Dies muss allerdings nicht immer der Fall sein, wenn nach den größten oder kleinsten Werten gefragt wird. Oft muss die Funktion, deren Extremwerte gesucht sind- die Zielfunkäon- erst ermittelt werden.

y

s

4

3

2

y= - x2 • 4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 P(uiO) 3 4 5 x -1

-2

Beispiel: Die Grafik zeigt für x E [0; 2] den Parabelbogen mit der Gleichung y = -x2 + 4. Zu jedem Punkt P(u /0) mit 0 < u < 2 gibt es ein Rechteck, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen und eine Ecke auf dem Parabelbogen liegen.

(a) Welches dieser Rechtecke hat den größten Flächeninhalt?

Die Zielfunktion z weist jeder Zahl u E O· 2[ den entsprechenden Rechtecksinhalt zu.

Somit istz(u) = u · ( -u2 + 4) (Flächeninhalt Rechteck: A = a · b [cm2]) .

Funktionsuntersuchung:

z(u) = -u3 + 4u i (u) = -3u2 + 4

z"(u) = -6u

z' (u) = 0

-3J + 4 = 0

notwendige Bedingung für Extrempunkte

{} J= � /..[

Extn!mwertprobleme

z11(u) =/= 0 hinreichende Bedingung

i' ( + 1 v'3) = -4 v'3 ::::} relatives Maximum

i' ( - � v'3) = +4v'3 ::::} relatives Minimum

z(+� J3) =- (+� !3) 3+4· (+ � !3) = 196j3

Der Rechtecksinhalt nimmt also für u1 = +� v'3

16 3 den maximalen Wert9 v'3 � 3 08 FE an.

(b) Welches der Rechtecke hat den größten Umfang?

109

Bei der Zielfunktion handelt es sich jetzt um die Funktion z, die jeder Zahl u E ]0· 2[ den entsprechenden Rechtecksumfang zurordnet.

Somit ist z(u) = 2u + 2 ( -u2 + 4) {Rechtecksumfang: U = 2a + 2b[cm]).

Funktionsuntersuchung:

z(u) = -2u2 + 2u + 8 z '(u) = -4u + 2

i'(u) i(u)

= -4 =0

1 -4u + 2 = 0 {:::} u = 2

notwendige Bedingung für Extrempunkte

z(�) = -2 (�)2 + 2. (�) + 8 = 8 5

Der Rechtecksumfang nimmt also für u = � den maximalen Wert von 8,5 an.

2.5.3 Extremwertprobleme 11

Oft treten Extremwertprobleme im Alltag auf. Wieder besteht der entscheidende Schritt zur Lösung im Auffinden der Zielfunktion x � z(x).

Wichtig: Meistens geht aus der Aufgabenstellung hervor, welche Größe extremal werden solL Allerdings sagt die Aufgabenstellung meistens nicht aus, was die Funktionsvariable x der Zielfunktion anschaulich bedeutet. Um die Zielfunktion festzulegen, muss daher auch die Funktionsvariable x zweckmäßig eingeführt werden.

110 Analysis

Beispiell: Von einem quadratischen Stück Pappe mit der Seitenlänge 10 cm werden an den Ecken Quadrate abgeschnitten. Wie muss die SeitenLänge der Quadrate gewählt werden, damit eine (oben offene) Schachtel mit möglichst großem Rauminhalt entsteht?

X

X

lOcm

(a) Aufstellen der Zielfunktion

Da der Rauminhalt der Schachtel maximal werden soll, sind die Rauminhalte der möglichen Schachteln als Zielfunktion anzusehen. Diese Rauminhalte hängen von der Seitenlänge der abgeschnitten Quadrate ab. Somit ist diese Seitenlänge die Funktionsvariable x der Zielfunktion. Jetzt kann der Funktionsterm erstellt werden.

Mit der Quadratseite x ergibt sich eine Schachtel mit der Länge: 10 - 2x; Breite 10 - 2x und Höhe x

Der Rauminhalt der Schachtel wird somit beschrieben durch:

(10- 2x) · (10- 2x) · X

Die Zielfunktion ist somit:

(Volumen Quader. a · b · c (hier: if . h) [cm3]

z(x) = (10- 2x)2 · x mit Dz = )0· 5[

(b) Untersuchung der Zielfunktion auf Extremstellen

z(x) = (10- 2x)2 . x

J (x) = 2 · (10- 2x) · ( -2) · x + (10- 2x)2 · 1 {Produktregel)

= -40x + 8x2 + 100 - 40x + 4x2

z'(x) = 1�- BOx+ 100

t'(x) = 24x- 80

z'(x) =0 notwendige Bedingung für Extrempunkte

Extremwertprobleme

12x2 -80x + 100 = 0 / : 12

x2 _ 20 X + 25 = O

3 3

X1f2 �

1

3

0 ±

J

,-(-1

3

0_

)

_2_2_

;

10 5 X1 = - + - = 5

3 3

Lösungsformel

Da 5 rf. Dz, kommt nur x2 = � als mögliche Lösung infrage.

i' (xE) i: 0 hinreichende Bedingung

z'' (�) = 24(�) -80 = -40 ::} relatives Maximum

z(�) = (10- 2(�)) 2

·� 2000 = --

27

(c) Ergebnis

Der Rauminhalt der Schachtel wird somit maximal bei einer Höhe von

h = � cm � 1 67 cm und einer Länge der Seiten von �O cm � 6 67 cm.

Er beträgt dann 2000 cm3 � 74 07 cm3 27

.

111

Beispiel2: Ein Tunnel hat den Querschnitt einer Parabel 2. Ordnung. Die Scheitelhöhe und die Fahrbahnbreite betragen jeweils 4 m. Ein Schwertransporter muss 10 m Lange Betondecken durch den Tunnel transportieren. Wie breit dürfen die Betonteile höchstens sein, wenn man ihre Dicke vernachlässigen kann?

A

y s

4m

B

112

( a) Aufstellen der Zielfunktion

Die Parabel mit dem Scheitel 5(0 /4) besitzt die Gleichung x = ax2 + 4.

Eine Punktprobe mit 8(2/0) liefert:

a·i+4=0 a = -1

Somit lautet die Parabelgleichung: y = -x2 + 4

Die gesuchte Breite ist der Abstand der Punkte A( -2/0) und C(xf -x2 + 4).

Die länge einer Strecke ist ihr Betrag (s. Kap. 3.1. 6}.

jA Ci = \/ (x2 - x1)2 + (y2 -Y1)2

= Jcx + 2)2 + (-x2 + 4)2

= i x' - 7x2 + 4x + 20

IACI wird maximal, wenn IACI2 maximal ist.

Die Zielfunktion ist somit

z(x) = :f - 7x2 + 4x + 20 mit Dz= !-2· 2]

(b) Untersuchung der Zielfunktion auf Extremstellen

z(x) = x4- 7x2 + 4x + 20

z'(x) = 4� -14x + 4

t'(x) = 12x2 -14

!(x) = 0 notwendige Bedingung

Analysis

4� -14x+4 =0 aus der Aufgabenstellung ist bekannt: x1 = -2

bzw.

Mit Polynomdivision erhält man:

(4x3 -14x+4): (x+2) =4x2 -8x+2

- (4x3 + 8x2)

( -ax2 -14x)

(-82 -16x)

(2x + 4)

(2x + 4)

0

Differenzialgleichungen

4 x 2- 8x 2 = 0 /:4 x2- 2x+1 = 0 2

X3f4 = 1+/12 -�

Lösungsformel

!'(xE)-=/= 0 hinreichende Bedingung

t' ( 1 + � J2) = 12 ( 1 + � J2) 2 - 14 = 12 J2 + 4 > 0 relatives

t' (1- �J2) =12 (1- �J2) 2- 14=-12J2+4 <0

(c) Ergebnis

Minimum

relatives Maximum

Daz(1- � V2) = 2J2 + 741

� 20 85 > z( 2) = 16 und> z{-2) = 0 ist,

ist z ( 1 -� J2) absolutes Maximum.

Die maximale Breite ist somit ·v,....�-. _J2

_2_+

_74- 1

m:::::: 4 53 m.

2.6 Differenzialgleichungen

2.6.1 Lineare Differenzialgleichungen 1. Ordnung

Eine lineare Differenzialgleichung (DGL) 1. Ordnung hat das Aussehen:

y' + f(x) · y = r(x) Lineare DGL 1. Ordnung

Häufig erhält man erst durch Umformungen diesen Gleichungstyp.

Beispiel:

�� -�y+� = 0

y'-xy+x=O

y -xy =-X

I: x2

j-x

Lineare DGL 1. Ordnung

113

114

Die hierzu gehörige homogene DGL ist die Differenzialgleichung:

y' + f(x) · y = 0 zugehörige homogene DGL der DGL 1. Ordnung

Analysis

Die Lösungsgesamtheit dieser DGL ist ein eindimensionaler Vektorraum. Somit gibt es eine Basislösungy, und die Lösung beschrieben wird durch:

Yh = c · y(x); c ER

Die Lösungsgesamtheit der linearen DGL mity' + f(x) · y = r(x) lässt sich durch

Y = Ys + Yh, mity5 =spezielle Lösung vony' + f(x) · y = r(x)

undyh =beliebige Lösung der zugehörigen homogenen DGL

beschreiben. Hat man eine DGL zum Typ y' + f(x) · y = r(x) umgeformt, so löst man zuerst die zugehörige homogene DGL durch Trennung der Veränderlichen (TdV). Dann sucht man eine spezielle Lösung vony' + f(x) · y = r(x).

Beispiele:

(1) Man löse die Differenzialgleichung y' -xy = -x

(a) Homogene Lösung der DGL:

somit:

(b)

mit:

y-xy = 0 y = 0 ist Lösung

Für y ::/: 0 erhält man mit Trennung der Veränderlichen:

j �dy= j xd x

[ln IYIJ = [�x2 + c]; c ER

1 2 = K,.. er;

Entfernt man nun die Betragsstriche bei IYI und setzty = 0, wie bereits ermittelt, so erhält man die Lösungsgesamtheit der zugehörigen homogenen DGL mit:

1 2 Yh = K · er ; K E R

Spezielle Lösung der DGL (durch Variation der Konstanten): 12 I 12 12

Ys = K(x) · e? => fs = K (x) · e? + K(x) · e?

und einsetzen in die DGLy' - xy = -x

Differenzialgleichungen 115

erhält man: 12 12 12

K' (x) · e'r + K (x) · e? - x · K(x) · e? = -x

I --h-2 K (x) = -x · e �·

(Kontrolle: K (x) muss herausfallen!}

Oie Integration Liefert: K(x) = -xe -zx dx = e-zx J 1 2 1 2

Somit lautet die spezielle Lösung der OGL: 1 2 1 2

X5 = e -T · er = 1

( c) Lösungsgesamtheit: Oie Lösung der OGLy'- xy = -x Lautet somit:

1 2 y = ys + yh = 1 + K . er .

(2) Man löse die Differenzialgleichung y' + Jx = Jx · sinx; x > 0 (a) Homogene Lösung der OGL:

y = 0 ist Lösung der DGL, ftlr y -:j:. 0 erhält man mit Trennung der Veränderlichen:

��dy= j -�dx [Ln IYIJ = [ -� lnx + K] ; K ER (Ln lxl = lnx, dax > 0!)

1 1 1 1 IYI = ezlnx+K = eK. elnx-2 = eK · XZ = K*.

Ji K* ER+

Lässt man nun wiederum die Betragsstriche bei IYI weg und nimmt y = 0 hinzu, so Lautet die Gesamtheit der zugehörigen OGL:

1 Yh = K ·

Ji KER

(b) Spezielle Lösung der DGL (durch Variation der Konstanten): mit: Ys = K(x) · .1_ => y' = K'(x) · .1_- K(x) · .!x�

.jX s .jX 2 und einsetzen in die OGL y + Jx = Jx · sinx

116

erhält man:

K (x) _ _!__- .!K(x) -[� +1 K(x) · -1- = Jx · sinx /X 2 2 x/X K'(x) = x · sinx

Die Integration ergibt: K(x) = j xsinxdx = sinx -x · cosx

( c) lösungsgesamtheit:

Die Lösung der line,aren DGL

lautet somit: y = sin x Jxcosx

+ K · Ji y' + ; = Jx · sinx

K E IR

2.6.2 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y(n) + Gn-l.Y(n-1) + ... + ad + GQY = r(x) lineare DGL

Analysis

mit konstanten Koeffizienten

Die unbekannte Funktion y und ihre Ableitungen y', . . . , y<n) treten nur in der 1. Potenz auf.

Die Koeffizienten an-v . .. , a0 sind reelle Konstanten.

Die Differenzialgleichung y(n) + Gn-dn-1) + ... + ad + GQY = 0 heißt die zu der gegebenen DGL gehörige homogene Differenzialgleichung.

r(x) wird Störfunktion der DGL genannt. Da die lineare Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten ein Spezialfall der allgemeinen linearen Differenzialgleichung ist, gilt:

Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen DGL ist die Summe aus der allgemeinen Lösung Yh der zugehörigen homogenen DGL und einer speziellen Lösungy5 der inhomogenen DGL y = Yh + Ys

Die Lösungsgesamtheit einer homogenen DGL n-ter Ordnung ist ein n-dimensionaler Vektorraum. Es gibt somit die die Basislösungen y1, ... , Yn und es ist

c; E IR

Die Basislösung Yi gewinnt man durch den Ansatz: y = e>.x

Eine Lösung Y s lässt sich durch Variation der Konstanten ermitteln. Für spezielle Störfunktionen (die Funktion auf der rechten Seite der DGL) ist es einfacher, einen speziellen Lösungsansatz zu machen.

Differenzialgleichungen

Vorgehen zum Lösen einer DGL n-ter Ordnung:

gegeben: y'"- 3y + 2y = 5 + 6�

(1) Bestimmung der zugehörigen homogenen DGL:

y'" - 3y + 2y = 0 � .X3 - 3-X + 2 = 0

117

durch Polynomdivision (s. Kap. 2.1.4.4) und Lösungsformel (s. Kap. 2.1.3.5) erhält man:

A1f2 = 1 und >.3 = -2

Oie Basislösung wird nun durch den Ansatzy = e>.x bestimmt:

mit >.112 = 1 und >.3 = -2

erhält man: Y 1 = �; Y2 = x · e"";y3 = e-2x

Die Lösungsgesamtheit der zugehörigen homogenen DGL erhält mit:

Y1 = �;Y2 = x · ff; y3 = e-2x '* Yh = c1 · � + c2 · x · � + c3 · e-2x; ci E IR

(2) Bestimmung der spezieUen Lösung der inhomogenen OGL:

a)

b)

c)

d)

e)

Zuerst ist zu pri.ifen, ob die Störfunktion von der Form

P(x)eox · cos bx oder (P(x) Polynome)

oder Summe derartiger Funktionen ist und dann das Aufschreiben der komplexen Zahl (s. Kap. 2.8, S. 141) a + bi.

Unter diese spezielle Form fallen z. B.:

cos3x

xlsin 2x

5xe-x

x + ffsinx

x · coshx

x · coshx

X ff X -x . +-·e 2 2

mitP(x) = 1;

mit P(x) = x2;

mitP(x) = 5x

mitP1(x) = x;

und P2(x) = 1;

durch Umformen:

= X· eX + e-x

2

mitP1(x) = �;

0 + bi= 3i

a + bi= 2i

a+bi= -1

a1 + b1i = 0

a2 + b2i= 1+i

= �. €! + �. e-x 2 2

a1 + b1i = 1

undP2(x) =�a2+b2i= -1 2

118

f)

Analysis

wieder durch Umformen: e2x ·.! (1 + cos 2x) = .!e2x +.! e2xcos 2x

2 2 2

mit Pt(x) = �; a1 + b ti = 2

und P2(x) = 1; a2 + b2i = 2 + 2i 2

Nun ist zu prüfen, ob Resonanz vorliegt (ggf. für jeden Summanden gesondert). Hierbei wird festgestellt, ob die bestimmte Zahl a + bi Lösung der charakteristischen Gleichung oder keine Lösung ist. Dies kann man der nachfolgenden Tabelle entnehmen:

Störfunktion r(x)

t?P(x)

Ef-Xcos bxP(x� oder

Ists Lösung der charakt. Gleichung?

s ist nicht Lösung der charakteristischen Gleichung s ist k-fache Lösung der charakteristischen Gleichung s = a ib ist nicht Lösung der charakteristischen Gleichung s = a + ib ist k-fache Lösung der charakteristischen Gleichung

Ansatz einer speziellen Lösung der inhomogenen DGL Grad P =Grad Q = Grad R y511 = t? · Q(x)

y511 = >I . esx . Q(x)

y511 = eox · (Q(x)cos bx + R(x)sin bx)

y511 = x.k · eox · (Q(x)cos bx + R(x)sin bx)

Zum Schluss erfolgt dann der Ansatz für eine spezielle Lösung und die Be.stimmung der Koeffizienten durch Einsetzen in die Differenzialgleichung. Somit: Die Störfunktion der DGL y'" - 3y' + 2y = 5 + 6� ist 5 + 6� und wird in die Faktoren 5 und 6� zerlegt.

Differenzialgleichungen 119

Durch Nutzung der nachfolgenden Tabelle erhält man:

s K � Ansatz einer spezieUen Lösung Lösung Stör-

c: 0 >

d. charakt. funktion "'0

I r(x) �

Glg. .....

Q(x) � Ysp

1,-1 2x+ 1 0 0 1 Go-r G1 ·X Go-r G1 ·X

0, 1 2ft 1 1 0 G x · ff · G 0, 1, 1, 1 2x. ff 1 3 1 Go- G1 ·X x3 . ex. (ao + G1 . x) 0,1,1,-1 cosx i 0 0 G G · cos x + b · si n x

1, -1, V2 X· ff · COSX 1+i 0 1 G0 + G1 ·X lf · [(Go+ G1 · x)cos x +(bo + b1 · x)sinxJ

2 + 3i; 2x 2 + 3i 1 0 G I x · e2x(a · cos 3x 2- 3i e · sin 3x +b · sin 3x) i, -i, 3,-3 x · sin x i 1 1 Go-r G1 ·X x · [(Go+ G1 · x)cos x

+(bo .J... b1 · x)sinxJ 0, 1, i, -i lnx Variation der Konstanten

Störfunktion 5 a + bi= 0 keine Resonanz;

Ansatz: Y1 = ao

Störfunktion 6lf a + bi= 1 Resonanz (2fach)

Ansatz: Y2 = a1x2f!

Gesamtansatz: y = a0 + a1x2fl

Mit Nutzung des nachfolgenden Rechenschemas erhält man durch Einsetzen in die Differenzialgleichung die Lösungsgesamtheit:

2. -3.

0.

1.

ao = � · 2'

1

y ao y' 0

y" 0

y"' 0

linke Seite 2ao rechte Seite 5

Ys = � +x2Ef 2

x2 · ff X. f! a1 0

a1 2a1 a1 4a1 a1 6a1

0 0

0 0

y = c1ff + c2xf! + c3e-2x +� +x2ff;

ff 0

0

1a1 6a1 6G1 6

XER

120 Analysis

2. 7 Integralrechnung

In der Elementargeometrie können Flächeninhalte von geraden begrenzten Flächen berechnet werden. Die Integralrechnung bietet die Möglichkeit, Flächeninhalte von krummen begrenzten Flächen zu bestimmen.

2. 7.1 Flächeninhaltsfunktion

In der unten stehenden Grafik ist K das Schaubild der auf [a b] stetigen Funktion f. Zunächst gilt dortf(x) � 0. Eine Funktion, welche jedem x E [a, b] den Inhalt einer Fläche zuordnet, die auf dem Intervall [a· x] durch K und die x-Achse begrenzt wird, wird als Flächeninhaltsfunktion Fa bezeichnet.

y

a X b

Beispiel 1: Gegeben ist die Funktion f (x) = -� x + 3; x E [ 1; 6]

Zu der Funktion f(x) ist die Flächeninhaltsfunktion Fa sowie die AbLeitung von Fa zu bestimmen. Das Schaubild vonf soll im angegebenen Intervall gezeichnet werden.

f(x) = -% x+3

� -1x+ 3 Ft(x) = 2 2 ·(x-1)

2

F ' (x) = -� x+3; XE [1;6)

Integralrechnung

y

6

5

4

....... 3

2

1

0

121

X

Beispiel 2: Die Flächeninhaltsfunktion Fa zur Funktion f(x) = xZ; x E [0; 3] soU näherungsweise bestimmt werden, indem die Fläche durch n gleich breite Rechtecke angenähert wird. Als Höhe sollen diejeweiligen

Funktionswerte in der Mitte der Teilintervalle gewählt werden. Weiterhin soll die Ableitung der Näherung von Fa angegeben werden.

f(x) = x2; x E [0; 3] n = 2; n = 4

Für n = 2:

F�(x) � i� x2; x E (0; 3]

Für n = 4:

= 2 ; 16

122 Analysis

A B

0 1 2 x 3 4 5 X 0 1 2 x 3 4 5 X

2.7.2 Stammfunkäon

Unter einer Stammfunktion zu einer Funktion f versteht man eine Funktion F, deren Ableitung die Funktion! ergibt.

F'(x) - f(x) für aUe x E IDJ

Somit ist die Funktion f die Stammfunktion zu ihrer 1. Ableitung und die 1. Ableitung wiederum eine Stammfunktion zur 2. Ableitung der Funktion.

Mithilfe der Stammfunktion kann man den Flächeninhalt unter einer Kurve bestimmen. D. h. für die Flächenberechnung muss eine Stammfunktion zur vorgegebenen Funktion bestimmt werden. Ebenso wie bei den Ableitungen, will man den Bezug zu der vorgegebenen Funktion durch die Bezeichnungsweise anzeigen. Man verwendet deshalb die entsprechenden Großbuchstaben. Also wird die Stammfunktion von f üblicherweise mit F bezeichnet. In Gegensatz zu den Ableitungen gibt es zu einer Funktion mehrere Stammfunktionen. Sie unterscheiden sich allerdings nur durch eine Konstante.

Integralredlnung

Stammfunktionen zu den wichtigsten Funktionstypen:

f(x)

f(x)

f(x)

f(x) f(x)

f(x)

= x"; mit n # 1

- siinx

= cosx 1 X

= lnx

F(x)

F(x) F(x) F(x) F(x) F(x)

- _1_ . .xn+ 1 + c n+1 - �+c

- -cosx+c

- sinx + c

- Ln 1x1 + c - x·lnx-x+c

Beispiele: Zu bestimmen sind jeweils die Stammfunktionen von f: (1) f(x) - 2x2: x E IR

F(x) - 2·.!x2+1+c = f x3 +c: xER 3 3 .

(2) f(x) = � (x-7)(x-2) - � (x2- 9x + 14); x ER

F(x)

(3) ft(x)

(4) f(x)

f(x)

F(x)

_ 1 (1x2+1 - 9 · .!x1+1 + 14x) + c 2 3 2

- .l_Ji _1._x4· 4t2 3t , XE IR

3 . 1 ;+1 _ 2 . 1 x4+1 + c =

3 x6 _ 2 xs + c -4t2 6 3t 5 24t2 15t

...1.�- .1....x5 + c: x ER - Bfl 1St '

3x2 + 4 6x2 ; x E IR\{0}

XE IR\{0}

123

124 Analysis

(5) f(x) - �X- e-x. 3 X EIR

f(x) = � . .!x1+1 - ( -e-x) + c = .!xz + e-x + c XER 3 2 3

(6) f(x) 2 1 . X EIR - - - sm x· 2

f(x) = 2x + � COS X ± 1· x E IR

Weiterhin gelten bei der Bestimmung von Stammfunktionen folgende Rechenregeln:

Sind G und H Stammfunktionen zu den Funktioneng und h, so gilt:

f(x)

f(x)

= r · g(x)

= g(x) + h(x)

f{x) = r · G(x)

f(x) = G(x) + H(x) Auch die Umkehrung der Kettenregel kann sehr nützlich sein:

f(x) = g(x) · h(g(x))

Istg eine lineare Funktion, dann gilt:

f(x) = h(px + q)

F(x) = H(g(x))

F(x) 1 = - · H(px + q) p

Tipp: Hat man eine Stammfunktion F zu einer Funktion/ bestimmt, soUte man zur Kontrolle die Ableitung der Stammfunktion F berechnen und überprüfen, ob diese mit der vorgegebenen Funktion f übereinstimmt.

Beispiel: f(x)

f(x)

P(x)

P(x)

- x2- 4x- XE IR

=

=

��- 2x2 + C" 3 '

.! · 3x2 - 2 · 2x= 3

= f(x)

XE IR

XZ- 4x· xER

Integralrechnung 125

2.7.3 Integralfunktion-Flächenberechnung

Soll der Flächeninhalt A einer Fläche bestimmt werden, die von der Geraden x = a und x = b, der x-Achse und dem Schaubild der Funktion begrenzt wird, so gilt:

A = F(b) - F(a) Integralfunktion

Fist dabei eine beliebige Stammfunktion zur Funktion f undf(x) � 0 für alle x E

[a, b]. y

X

Istf(x) � 0 für alle x E [a, b ], so ergibt F(b) - F(a) einen negativen Zahlenwert. Dieses Ergebnis wird so interpretiert, dass es sich um eine positiv orientierte Fläche handelt. Bewegt man sich auf der x-Achse von a nach b und dann entlang der Geraden x = b, dem Schaubild der Funktion f und der Geraden x = a zurück zum Ausgangspunkt, so beschreibt dies eine Linksdrehung, eine Drehung im mathematisch positiven Sinn. Die nachfolgende Grafik zeigt eine negativ orientierte Fläche. Bewegt man sich in der oben beschriebenen Weise, so beschreibt man in diesem Fall eine Rechtsdrehung, eine Drehung im mathematisch negativen Sinn. F(b)- F(a) gibt also nicht den absoluten Flächeninhalt, sondern den orientierten Inhalt der Fläche an.

y

"a x=b

126 Analysis

Um den Flächeninhalt einer negativ orientierten Fläche zu bestimmen, wird somit der Betrag von F(b)- F(a) berechnet.

A = IF(b)- f(a)l

In der unten stehenden Grafik verläuft das Schaubild der Funktion f teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x-Achse. Der Flächeninhalt ist somit aus einer positiv und einer negativ orientierten Fläche zusammengesetzt. Mit F(b)- F(a) =At - A2 erhält man also nicht den absoluten Flächeninhalt, sondern die Differenz der Flächeninhalte der beiden Teilflächen At und A2• Soll in diesem FaU der absolute Flächeninhalt bestimmt werden, so berechnet man die orientierten Inhalte der beiden Teilflächen, also F(x5)- F(a) und F(b)- F(xs) und addiert ihre Beträge.

A = IF(xs)- f(a)l + IF(b)- F(xs)l

y

)C

x=a x=b

b

Für Fa(b) schreibt man vereinfacht: j f(x)dx a

Gelesen: Integral von a bis b vonf(x)dx. Die Zahlen a und b heißen Integrationskonstanten und besagen, dass die Geraden x = a (a als Untergrenze) und x = b (b als Obergrenze), das Schaubild der Funktionfund die x-Achse eine Fläche begrenzen, deren orientierter Flächeninhalt berechnet werden soll. Da in einem Funktionsterm mehrer Unbekannte vorkommen können, wird durch dx

(Differenzial) angezeigt, dassfeine Funktion von x und damitx die Integrationsvariable ist.

Integralredlnung 127

Da bei der Berechnung des orientierten Flächeninhalts zuerst eine Stammfunktion zur Funktion f bestimmt werden muss, gibt man diese in eckigen Klammern an. Hinter die Klammern schreibt man die noch einzusetzenden Integrationskonstan

ten.

b 1 f(x)dx - IF(x)J� a

Hat man die Stammfunktion F zu f bestimmt_ so berechnet man durch Einsetzen der Integrationsgrenzen das Ergebnis von F(b) - F(a) (obere Grenze abzüglich unterer Grenze).

b 1 f(x)dx = IF(x)]� = F(b)- F(a) a

Diese Berechnung bezeichnet man als integrieren. Die Zahlen a und b sind die Integrationsgrenzen, die Funktion f die Integralfunktion und das Intervall a· b] das Integrationsintervall.

Wichtig: Für die Berechnung absoluter Flächeninhalte muss das Integrationsintervall mittels Nullstellen vonf in entsprechende Teilintervalle zerlegt werden.

Beispiele: Zu berechnen sind jeweils das Integral und der absolute Flächeninhalt Ader Fläche, die das Schaubild der Integralfunktion mit der x-Achse im Integrationsintervall begrenzt.

3 {1) 1 (x + 1)dx

-2 Nullstellen der Funktion: x + 1 = 0

somit: -1 3

A= l 1 (x+1)1 + 1 1 (x+1)dx l -2 -1 [1 ]-1 [1 ] 3

= 2x2 +x_2

+ 2�+x_1

A = I� ( -1? + ( -1) - [ � (-2) 2 + (-2)] I +I� (3)2 + (3)- [� (-1)2 + (-1)] I

128

-6 -5 -4

4

-2

- 3

Analysis

(Flächeneinheiten)

6 X

{2) j V -x2-6x)dx

somit:

0

NullsteLLen der Funktion:

�-x2 -6x=O x(x2 -X-6) = 0:::} X1 = 0 x,,, ��± Jm, +6

x3 = -2

Da der Flächeninhalt für den IntervaLL [0; 4] berechnet werden soll, sind nur die Nullstellen zu beachten, die innerhalb dieses Intervalls Liegen, also x1 = 0 und x2 = 3.

3 4 A = IJ (� - � - 6x)dx I + IJ (� - � - 6x)dx I

0 3 A = (.!x4-..!x3-3x2]3 + (..!x4-..!x-3x2]4 4 3 0 4 3 3 A = I%. 34-�. 33 -3. 32- [% 0 04-�. 03 -3. 02] I

+Ii 0 44 _ �. 43 _ 3

° 42 _ [% 0 34 _ �. 33 _

3. 32] 1

Integralrechnung

A = 1-189 1 + 1125 1 = 189 + 125 = 314 = 157 FE 12 12 12 12 12 6

-6 - 5 -4 -3 -2

1

y. 6-

5-

4-

3-

- 5 -

-6 -

-7-

-81 -9

-10

lP

I I I I

125 I

!21

4 5 6 I I I

{3) j (,r- e�)dx

somit:

-1 Einziger Schnittpunkt mit der x-Achse bei x1 = 0

0 1 A =I j (�- e�)dxl + IJ (,r- �)dxl -1 0

=I [,r -�e�J�J +I [,r -�e�J:I

A = e;-e + 1-� + 2� � 2119FE

129

X

130

2.7.4 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven

Für den Flächeninhalt A zwischen den Schaubildern von zwei Funktionen gilt

b

A = j (f(x) - g(x))dx fallsf(x) � g(x) für aUex E [a; b]

a

Analysis

Das bedeutet, dass das Schaubild K der Funktion f im Bereich zwischen a und b oberhalb des Schaubildes C der Funktion g verläuft.

c

X

Schneiden sich die beiden Schaubilder, so berechnet man jeweils den Inhalt der einzelnen Teilflächen und erhält den gesamten Flächeninhalt als Summe der einzelnen Teilflächen.

Wichtig: Bei der Berechnung des absoluten Flächeninhalts darf nicht über die Schnittstellen hinwegintegriert werden.

(

X


Beispiele: Zu berechnen sindjeweils die Flächeninhalte zwischen der Schaubildern der Funktionenfund g auf dem Intervall [ a; b].

(1) f(x) =X3 g(x) = 2 -Jt; XE (1; -2)

g(x) - f(x) = 0 -x3 - Jt + 2 = 0 durch Einsetzen: x1 = 1

Polynomdivision (s. Kap. 2.1.4.4, S. 50)

( -�- x2 + 2) : (x- 1) = -x2- 2x- 2 (-� +x2)

(-Ü + 2) (-2x2 + 2x)

(-2x+ 2) (-2x+ 2)

0

x2 + 2x + 2 = 0 Lösungsformel

X2f3 = -1 ± Jl2=2 keine weitere Lösung

Die Funktion hat somit nur eine Schnittstelle bei x1 = 1 1

A = I (g(x)- f(x))dx -2

A = [-1.0 _l � + 2x] 1 4 3 -2

1 A = I (-x3 -Jt + 2)dx

-2

A =- 1 · 14- 1

· 1 3 + 2 · 1- [- 1 ( -2)4- 1 ( -2)3 + 2 · ( -2)] 4 3 4 3

A = 17 _ [- 64] = 81 = 27 FE 12 12 12 4

132

Abbildung zu (1)

(2)

-6 -5 - 4 -3

1 f(x) = 4--x2

f(x) - g(x) = 0

y

8

7 f(x)=x3

6

5

4

3

3 I, 5 6

g(x) = 2- x2

5 5 g(x)=-x--· 2 4

_ _!_�x+21=0 /-x'l x2 2 4

durch Einsetzen: x1 = 2

Analysis

X

Integralrechnung

(ix2 -1)

(�x2 -�x)

0

-�x2+�x+�=O f· (-�)

133

1 9 8 2 X3 = 20

-20 = -20 = -S

Da der Flächeninhalt der Funktionen nur im Bereich IR+ bestimmt

werden soll, müssen nur x1 = 2 und x2 = � als Integrationskonstan

ten berücksichtigt werden.

mit 1 -2

x2 =X

134 Analysis

Abbildung zu (2)

6

s

-6 -s -4 -3 -2 -1 o -1

I ? A

-3 I

-4

I -s

I -6

I -7

I -8

I

f(x) • 1_ I 4 •'

" s 6

(3) k E IR soU so bestimmt werden, dass die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossene Fläche den Inhalt A hat.

f(x) = � g(x) = 2f<Xl - f<2x A = 33� 4

x3- 2kx2 + k2x = 0 x(� - 2kx + f<2) = 0 => x1 = 0

x2- 2kx + k2 = 0 Lösungsformel

x213 = k ± Vk2- k2 => x2 = k

Somit erhält man eine Schnittstelle bei x = 0 und einen Berührpunkt beix = k.

Es gibt also eine eingeschlossene Fläche für 0 < x < k(k > 0) bzw. für k < x < O(k < 0). Für k = 0 gibt es keine Fläche.

Ansatz: Für k > 0 gilt: f(x) > g(x) für 0 < x < k k

A = j (�- 2kx2 + k2x)dx 0

A = [� x' - � kx3 + .! f<2 x2 ] k

= .! k' - � k · � + .! f<2 · k2 = _!_ k4 4 3 2 0 4 3 2 12

Integralredlnung

mit A = 33 � <=} 33 � = _!_ k4 4 4 12

lf = 405 <=} k = � = �5 . 81 = 3 . � k � 4 486

135

Für k < 0 wird die Parabel g(x) punktsymmetrisch zum Ursprung abgebildet. Da f(x) ohnehin punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist die eingeschlossene Fläche kongruent zum berechneten Falt k > 0. Auch in diesem Fall ist k = 3 · ij5.

2.7.5 Partielle Integration- Produktintegration

Das Integral über eine Summe von Funktionen kann berechnet werden, indem über die einzelnen Summanden integriert wird.

3 3 3

1 (2x + 2eX)dx = 1 (2x)dx + 1 (2eX)dx -1 -1 -1

Für ein Produkt von zwei Funktionen ist diese Vorgehensweise nicht möglich. Aufgrund des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung können Integrale mithilfe von Stammfunktionen des Integranden berechnet werden.

Das Verfahren der partiellen oder auch Produktintegration lässt sich aus der Produktreget der Differenzialrechnung entwickeln. Sind u und v differenzierbare Funktionen mit stetigen Ableitungen, wobei f(x) = u'(x) · v(x) so gilt:

b b b

I f(x)dx = I u(x) · v'(x)dx = [u(x) · v(x)J: - I u'(x) · v(x)dx a a a

In diesem Fall wird die Berechnung eines Integrals durch die eines anderen Integrals ersetzt. Allerdings ist diese Umformung nur sinnvoll, wenn das zweite Integral durch ge

eignete Wahl von u' und v' berechnet werden kann.

Beispiele: Zu berechnen sind diejeweHlgen Integrale: lf

(1) I (x · cosx)dx

0

Man setzt: u(x) = x => u' (x) = 1

v'(x) = cosx => v(x) = sinx

136 Analysis

rr rr

somit: J (x-cosx)dx= [x-sinxr- J (1 -sinx)dx= [x -sinxr- [-cosxr 0 0 0 0 0

= {1r · sin1r- 0 · sin 0)- (-cos1r + cosO) = (0- 0)- (1 + 1) = -2

2 {2) j (x + 3)-2e'2xdx

0

Man setzt: u(x) = x + 3 =? u'(x) = 1 =? v(x) = e'2x v'(x) = 2e'2x

2 2 2 somit: j (x + 3)·2e2xdx = [cx + 3) · e2x] -j 1-e2xdx

0 ° 0

= [cx + 3) · e2x J:- [�e2x J:

= (5e4 - 3e0)- (�e4 -� e0) = 4 5e4- 2 5:::::::243,2

4

(3) j (lnx · x)dx 1

Man setzt: u(x) = lnx =} u'(x) = 1 X

v'(x) =x =?v(x)=1x2 2

4 4 4

somit: 1 (lnx-x)dx= [lnx-�x2L _ 1 o-�x2)dx 1 1

= (mx �x'J:-j Gx)dx 1

= [tn x ·

1 x2] 4 - [1 x2] 4 = 8 · Ln 4 - 4 + 1 2 1 4 1 4

15 15 = 8 · Ln 4 --= 16 · ln 2 - - � 7 34 4 4 '

Integralredlnung 137

2.7.6 Integration durch Substitution

Ähnlich wie aus der Produktregel kann auch aus der Kettenregel der Differenzialrechnung ein Integrationsverfahren hergeleitet werden, das Substitutionsverfahren.

Von einer Funktion f mit f(x) = v'(x) · u'(v(x)) ist F mit F(x) = u · (v(x)) eine Stammfunktion. Es gilt:

b

j v'(x) · u'(v(x))dx = [u · (v(x))]� 0

Die innere Funktion v mit dem Funktionsterm v(x) kann durch die Variable z substituiert werden. Man erhält:

v(b)

[u · (v(x))]� = [u(z) ��!� = j u'(z)dz v(a)

oder auch b v(b)

j v'(x) · u'(v(x))dx = j u'(z)dz o v(a)

Dieses Verfahren wird Integration durch Substitution genannt.

In der Praxis wird die Substitution wie folgt angewandt:

b

j f(mx + c)dx = � · [F(v)J:� 0

Beispiele: Zu berechnen sind die jeweiligen Integrale durch Substitution. 1

(1) j (1- 5x)3dx 0 b

Substitution: j f(mx + c)dx = � · [F(v)J:� a

138 Analysis

man setzt: v(x) = 1 - 5x

aus

somit;

(2 )

man setzt:

mit

somit:

Nun muss das Differenzial dx in v ausgedrückt werden.

v'(x) = dv dx

erhält man. 1 dx = --dv 5 mit a = ma + c und b = mb + cerhält man weiterhin:

a = ( -5) · 1 + 1 = -4 und b = (-5) . 0 + 1 = 1 1 -4 j (1- 5x)3dx = -� · j v2 = [- 2

10 vo]�4 = -12,75

0 1

rr j sin (�x+�)dx 0 b

Substitution: j f(mx + c)dx =! · [F(v) J:: a

v(x) = .!x + !!" und dv =.! => dx = 2 · dv 2 2 dx 2

a = ma + c und b = mb + cerhält man weiterhin:

1 11" a =-· tr+-=tr 2 2 und

rr rr j sin ( �x + �) dx = j 2 · sin vdv 0 rr

"2 rr

= [-2 · COS v] = -2 · COS1r + 2 · COS :!! = 2 rr 2 z

2.7.7 UneigentlicheIntegrale Integrale, bei denen die Integralfunktion oder das Integrationsintervall beschränkt sind, werdenuneigentliche Integrale genannt. Man kann sie mithilfe von Grenzwerten berechnen.

Beispiele:

(1) J 1 1 x3dx = 2, denn

1

und


(2)

und

(3)

3

J �-5dx =..! e4 denn 3

I

-oo

3 3 J e3x-sdx = f..!�-s] = ..!e4 _ _! �u-s

l3 u 3 3 u

lim (1 e4 - .! e3u-5) = 1 e'

U-->-oo 3 3 3 16 J _..!_d

x = 32 denn

!:/X 3 I

0

/16 J-.-d

x =

/16

x�dx = [�xi]16

= � · 8- �ui und fix 3 u 3 3

u u

. (32 4 3) 32 hm --- u4 = -u-->0+ 3 3 3

2.7.8 Volumen eines Drehkörpers Rotiert eine von der Geraden x = a und x = b1 der x-Achse und dem Schaubild der Funktion f (j(x) � 0 für alle x E [a· b]) begrenzte Fläche um die x-Achse, so entsteht ein Drehkörper. Für sein Volumen gilt:

b

V = 1r • j [f(x)]2dx Volumen eines Rotationskörpers-x-Achse als Drehachse

0

Wichtig:

x=a

Zuerst bestimmt man das Quadrat des Funktionsterms. Ist der Funktionsterm eine Summe oder Differenz, so müssen die binomischen Formeln beachtet werden.

y

X

x=b

X

140 Analysis

Rotiert eine von den Geraden y = a und y = b, der y-Achse und dem Schaubild der Funktion f begrenzte Fläche um die y-Achse, so entsteht ebenfalls ein Drehkörper.

y y

X X

Soll das Volumen dieses Drehkörpers berechnet werden, muss zunächst die Umkehrfunktion J zur Funktion f bestimmt werden. Diese erhält man durch Spiegelung der Funktionfan der 1. Winkelhalbierenden. Auf diese Weise kann die Volumenberechnung eines Drehkörpers mit der y-Achse als Drehachse auf die Volumenberechnung eines Drehkörpers mit der x-Achse zurückgeführt werden.

Es gilt:

b

V= 1r • j [f(x))2dx Volumen eines Rotationskörpers- y-Achse als Drehachse

0

Beispiele: Das Schaubild von f rotiert auf dem angegebenen IntervaU um die x-Achse. Man berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.

(1) f(x) = x2- 4x; x E [-1· 2) 2

V= 1r · j (x2 - 4x)2dx

-1

2

<=> V = 1r · j (x4 - axJ + 16x2)dx

-1

Komplex!! Zahll!n

(2) f(x)=e2x-1-1; XE [-1·�] 1/2 1/2

141

V= 1r · j (e2x-1-1)2dx <* V= 1r · j (e4K-2 -2e2x-1 + l)dx

(3)

-1 -1

V= 1T. [% e4K-2- e2x-1 + x ]�12

V = 1r · ( e-3 -� e-6 + ! ) � 0 79911"

Die Schaubilder von/ und g begrenzen eine Fläche, die um die x-Achse rotiert. Man berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.

g(x) = ../X; xER

Zuerst müssen die Integrationskonstanten durch Bestimmung der Schnittstellen der beiden Funktionen bestimmt werden.

f(x) = g(x)

x4 =x

x1 = 0; x2 = 1

1 1

V = 1r · j [g(x)]2dx -1r · j [f(x)]2dx

0 0 1 1 1 1

v - 1r. J ( Jxrdx -1r. J (x2)2dx - 1r · j xdx -1r · j x"dx 0 0 0 0

1 1 3 - 1T -- 1T =-1T 2 5 10

2.8 Komplexe Zahlen

2.8.1 Die Zahlenebene

Unter dem Zahlenkörper der komplexen Zahlen C versteht man die Menge der Elemente von IR2 • Gemeint ist also die Menge der Zahlenpaare (a b), wobei a und b reelle Zahlen sind, mit folgenden Rechenoperationen:

(a; b) + (c- d) = (a + c; b + d) Vektoraddition

(a; b) · (c- d)

(s. Kap. 3.1.2)

= (a · c- b · d; a · d + b · c) komplexe Multiplikation

1 4 2

Beispiel:

gegeben: z = (1,2) und w = (3 -1)

dann ist: z +w - (1+3· 2+(-1)) - (4; 1)

und z ·w = (1 ·3 - 2·(-1)· 1 ·(-1)+2·3)- (5; 5)

Das Element i • (0, 1) heißt imaginäre Einheit.

;2 = (0·1)2 = (0·1). (0;1) = (-1·0)

Jedes Element (x,y) kann aus� zerlegt werden.

Analysis

(x·y)=(x;O)+(O·y) = (x;0)+(0·1)·(y·O) = (x·O)+i·(y·O)

Identifiziert man nun das Paar (x; 0) mit der reeUen Zahlx, so kann man schreiben:

(x·y) = (x· 0) + i · (y· 0) = x + iy

2.8.1.1 Darstellung in kartesischen Koordinaten

z = x + iy mitx, y reelle Zahlen

x = (z) => heißt Realteil von z

y = .. s (z) => heißt Imaginärteil von z

x y heißen kartesische Koordinaten von z.

y

z • (x; y) • x • iy iy

X

Für komplexe Zahlen gelten die gleichen Rechengesetze wie für reelle Zahlen (Klammern lösen, Potenzen, etc.). Es muss nur i2 = -1 beachtet werden.

Komplexe Zahlen

Beispiel:

gegeben: z = 1 + 2i ; w = 3- i

z + w = (1 + 2i) + (3- i) = 1 + 2i + 3- i

z. w = (1 + 2i). (3- i) = 3- i- 6 i- 2i2

= 3 -f + 6f + 2 = 5 + Si

=4+i

(da i2 = -1)

Aufgabenstellung:

Berechnet werden soUen:

(a)z = (1 + i )(1- i) und (b)w = i (2- 3i)2 . (1 + i)

( a) z = ( 1 + i) ( 1 - i) = 1 - i 2 = 1 - ( -1) = 2

(b) w = f. (2- 37)2 . (1 + i )

= (I + f)(2- 31)2 = (I- 1)(4- 12i + 912)

= (i - 1)(4 - 12i- 9) = (i - 1)(- 121- 5)

= -121.2 + 7i + 5 = 17 + 7i

2.8.1.2 Darstellung in Polarkoordinaten

143

Die komplexe Zahl x = x + iy ist der Punkt (x y) in der x y-Ebene. Er ist durch seine kartesischen Koordinaten x undy eindeutig bestimmt. Der Punkt (x y) lässt sich allerdings auch eindeutig durch seine Polarkoordinaten r und r.p bestimmen. Dabei ist r der Abstand des Punktes z vom Nullpunkt 0 und r.p der Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Strecke Oz. Der komplexen Zahl 0 ordnet man r = 0, aber keinen Winkel zu.

Polare Darstellung:

z = r · ( cos r.p + i · sin r.p)

r =: lzl r.p =: arg(z)

rr.p

r � 0 und 0 � r.p < 21r

heißt Betrag von z

heißt Argument von z

heißen Polarkoordinaten von z

y

z = r(cos + i sm(jl) iy - - - - - - - - - - - - - (x; y)

lC X

144

Umformung:

Kartesische Koordinaten Polarkoordinaten

X= f · COS<p

y = r · sin <p

r

tan <p =l X

Achtung: Quadranten beachten!

X

z = x + fy = r · ( cos <p + i · sin<p)

Beispiel:

Die Polarkoordinaten von z sind gegeben mit r = 2 und cp = 2;.

Die kartesische Darstellung von z soll berechnet werden.

Möglichkeit 1:

somit ist

21T x = r · cos <p = 2 · cos 3 = -1

. 2 . 21r {:;3 y = r · sm <p = · sm 3 = v .:s

z=-1+-/31

Möglichkeit 2:

x = r · (cos cp + i · sin cp) = 2 · (- � + ��) = -1 + v'3i

Anmerkung:

Analysis

Die Berechnung der kartesischen Koordinaten x und y aus den Polarkoordinaten r und <P.. bereitet keine Schwierigkeiten, auch nicht die Berechnung von r = Jx2 + y2 aus den kartesischen Koordinaten. Allerdings ist es schwieriger, den Winkel cp aus den Koordinaten x und y zu bestimmten: Da der Tangens die Periode 1r, der Winkel cp aber zwischen 0 und 2 1r liegt, ergibt

tan <p =�zwei mögliche Winkel, die sich um 1r unterscheiden. X

Durch "Quadranten beachten" entscheidet man sich für den richtigen Winkel.

Komplex!! Zahll!n 145

Berechnung des Arguments:

Für z = x + iy =F 0 gibt es folgende drei Möglichkeiten, cp zwischen 0 und 2 1r eindeutig zu bestimmen:

(1) x::j;O '* tancp =� X

(Quadranten beachten)

x=O '* 1r für y > 0 cp=-2

cp = 31!' 2

für y < 0

(2) x::j;O '* cp= arctan� für x > 0 und y > 0 X

'* cp = 211'+ arctan � für x > 0 und y < 0 X

'* cp = 1r+ arctan � X

für x < 0

x=O '* 1r für y > 0 cp=-2

'* cp = 31!' 2

für y < 0

(3) für aUe x '* X und sin cp =� COS<p =-r r

Beispiel:

Zu berechnen ist <p = arg( -1 + v'3i) nach allen drei Möglichkeiten:

(1) tan cp = v'3 '* cp = 21r oder S1r

-1 3 3

(2) x = -1 < 0 '* cp = (1r+ arctan ( -v'3) = 11' -} (3) r= J(-1)2·+(-/3)2=2 '* coscp=- �; sin cp=�

2.8.1.3 Die Euler'sche Formel

'* <p

= 21r 3

21r =*<p=--r

21r '* cp=3

Mit der Euler'schen Formel eirp = cos <p + isin cp erhält man drei Darstellungen der komplexen Zahl z:

z = x + iy kartesische Darstellung x y ---+ kartesische Koordinaten

z = r( cos <p + isin cp) polare Darstellung r <p ---+ Polarkoordinaten

z = reirp Euler'sche Darstellung r <p ---+ Polarkoordinaten

146 Analysis

Beispiele: Man schreibe z in allen drei Darstellungen:

(a) z=2-2i r = 2h; somit:

7-;r cp=-4

z = 2- i = 2J2(cos 7; + isin 7;) = 2J2ei7�/4

(b) z = h(cos 3: + isin 3:) X = J2 · COS 3: = J2 (- � = -1

y = J2 · sin 31r = J2 · .,f2 = 1 4 2 somit:

z = h(cos 3: + isin 3:) = .f2ei3�/4 = -1 + i

(c) z = 1 5 · ei·l,Ssr

X = 1 5 · COS 1 51r = 0

y = 1 5 · sin 1 51r = 1 5 · ( -1) = -1 5 somit: z = 1 5. i1•5sr = 1 5(cos 1 51r + isin 1 51r) = -1,5i

2.8.2 Betrag, Abstand, Einheitskreis

lzl = r = Jx2 + y2 ist derAbstandder komplexenZahlzvom Nullpunkt{Ursprung). Für komplexe Zahlen z und w gilt: lz

· wl = lzl·lwi·II-1 = J:l und lz + wl S lzl + lwl Dreiecksungleichung w Iw!

Genauso wie für die reellen Zahlen auf der Zahlengeraden gilt auch für komplexe Zahlen in der Zahlenebene:

lz-wl ist der Abstand der Punkte z und w in der Zahlenebene.

Beispiel: Man skizziere in der Zahlenebene alle Punkte z, mit lzl = 1. Es gibt wiederum drei Lösungsmöglichkeiten für diese Aufgabe:

KomplexeZahlen 147

(1) Geometrisch:

Die komplexen Zahlen z mit lzl = lz - 01 = 1 sind genau die Punkte in der Ebene, die den Abstand 1 vom Nullpunkt haben. Sie Liegen also auf dem Kreis mit dem Radius 1 um den Ursprung. Dieser Kreis heißt Einheitskreis.

y

X

(2) Rechnerisch - kartesische Koordinaten:

z =x+ iy

.1+1=1

Somit Liegt z = (x y) auf dem Einheitskreis.

(3) Polarkoordinaten:

z = r · (cos<p + isin cp)

lzl = r = 1 und <p beliebig

Somit Liegt z auf dem Einheitskreis.

Z = COS<p + fsin <p

z auf dem Einheitskreis bedeutet: lzl = 1 # z = eirp # z = cos <p + isin <p

2.8.3 Konjugierte komplexe Zahl

Ist z = x + iy, so heißt z := x- iy die zu z konjugierte komplexe Zahl.

Geometrisch gesehen gehtz aus z durch Spiegelung an der x-Achse hervor.

lzJ=�;

z. w = z. w;

z + z = 2 Re(z) z- z = 2i Im(z)

148 Analysis

Beispiel: Man berechne für z = 3- i und w = 4ei�f6 z und w.

{::} z=3 +i z=3-i w = 4ei�/6 4 ( 51r • . 51r) {::} W = · COS 6 + JSlß 6

w = -2J3 + 2i {::} w = -2J3- 2i

Konjugierte komplexe Zahl.:

z = rei'-P

z=x+iy z =x- iy z · z = rei'-P · re-ir.p = r2 = x2 + y2 = lzl2

�=r= Jx2 +y2 = lzl

y

iy

-iy

(-13 ;) {::} w = 4 . -2-

+ 2

z = x + iy" r·e11'

X

z = x - iy = r·e-11l'

2.8.4 Multiplikation und Division komplexer Zahlen, Potenzen Die Multiplikation komplexer Zahlen ist in Kapitel2.8.1.1 beschrieben.

X

Um einen Quotienten z = � zu berechnen, benutzt man, dass v · v = lvl2 eine V

reelle Zahl ist, durch die man leicht dividieren kann.

Man erweitert also!:!. mit v und erhält: V

u v 1 -z=- ·-=- ·UV v v lvl2 Die Division komplexer Zahlen!:!. wird somit auf die Multiplikation komplexer Zahv len uv und die Division durch eine reelle Zahllvl2 zurückgeführt.

Eine komplexe Zahl wird dividiert, indem der Bruch mit der konjugierten komplexen Zahl des Nenners erweitert wird.

Beispiel: Berechnet werden sollenz = � und w = 13+ 2f in kartesischer Dar-

, -1 stellung:

z = 2 = 2 . - = -21 = -2i = -2i • '

('

) ·2 1 1 1. -1 -1

Komplexe Zahlen

mit: 1 =-i i

- 1 + 2i- (1 + 21)(3 + ;') - 3 + 7i + 2i2 w -3 - j

-(3 - i)(3 + i) -

9 - i2

= 3 + 7i + 2. (-1) = 1 + u = .1. (1 + 7f) 9 -(-1) 10 10

149

Ebenso wie in der kartesischen Darstellung ist die Multiplikation und Division in der polaren, bzw. Euter' sehen Darstellung recht anschaulich:

Multiplikation komplexer Zahlen in polarer und Euler'schen Darstellung

z · w = re;'P · sd1P = rsei(q;+�v} = rs(cos (<p + ·tP) + isin (cp + 1/;)) Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert ( Potenzgesetze! ) .

Division komplexer Zahlen in polarer und Euler'scher Darstellung

.!.. = re�'P =!. ei(�P-tiJ} = � (cos (cp- w) + isin (cp -1/;)) w se'"' s s

Bei der Division komplexer Zahlen werden die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert.

Beispiel:

Man berechne z = "' 31 "' v2+ fv2

( 1) Kartesische Darstellung:

Erweitern mit \/2 + ih = h- ih

3i -- 3i(h- ih) - 3i../2- 3i2../2 z - --=....:...,_---=

J2 + i../2 ( J2 + i../2)( J2- i../2) 2-21.2

(2) Euler'sche Darstellung

Beträge dividie�ren, Winkel subtrahieren.

z _ 3f = 3ei�/2 = � ei(�/2-"'/4) = � eiC�/4) J2 + i../2 2ei�/4 2 2

150 Analysis

3 ( 1T • • 1r) 3 (../2 . ../2) 3 ( /;;2 • /;;2) z = - cos-+1sm- = - -+1- = - v c::: +1v c::: 2 4 4 2 2 2 4

Hohe Potenzen sollten der Einfachheit halber in der Euler'schen Darstellung be

rechnet werden:

I = (rei10)�: = I ( ei10)�: = I . e'kl{>

Beim Potenzieren einer komplexen Zahl mit k wird der Betrag mit k potenziert und der Winkel mit k multipliziert.

3 Lineare Algebra/ Analytische Geometrie

3.1 Vektoren

3.1.1 Vektoren im Raum

Ein Vektor mit drei Komponenten o1, o2 und o3 ist ein in Spalten geschriebenes

Zahlentripel:

Der Vektor OA = 11 = G: ) ist Ortsvektor des Punkte A( o1 · o2 • o3 ) . Der Vektor o- = G)

z

(3. Achse) 3

2

0

wird als Nullvektor bezeichnet.

,.x ,.

2

, ,.

3

y (2. Achse)

, , ,.

, ,. ,.

4

A(2; 3; 1)

X

(1. Achse)

151

Unter einem Gegenvektor eines Vektors(/ versteht man einen Vektor mit der gleichen Länge, aber mit entgegengesetzter Richtung. Man bezeichnet ihn mit-d.

ist der Gegenvektor des Vektors 11 = ( :: )

15 2 Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Beispiel: Man bestimmejeweils die Gegenvektoren zu d und b.

gegeben: _. = ( -!) Lösung: ... (-!) -o<=- ( -n (

-2a ) -b =- -�+a

3.1.2 Addition und Subtraktion von Vektoren

--+

-0 =

=}

--+

-b =

cn er-·)

Zwei Vektoren werden komponentenweise miteinander addiert oder subtrahiert.

und

Beispiele: Man berechnejewe,ils:

Lösung:

Vektoren 153

(2) (-D-[(D-(=DJ Lösung:

( -D-[ 0) -( =D J = ( -D - G) = ( =D 3.1.3 Vervielfachen von Vektoren

Vektoren werden mit einer Zahl k vervielfacht, indem jede Komponente des Vektors mit der Zahl multipliziert wird.

Beispiele:

(1)

Lösung:

(2)

Vervielfachen eines Vektors

Gegeben ist der Vektor a' = ( -� } man berechne 5 · a''

Gegeben sind zwei Vektoren c! und b. Man bestimme die Zahl k so, dass gilt:

b=k·c!

gegeben: a' = ( -!} b = ( -:2) Lösung: 2. k = 6 ::::} k=3

-3. k = -9 ::::} k=3 4·k = 12 ::::} k=3

Kein Widerspruch ::::} k=3

154 Lineare Algebra/Analytische Geometrie

3.1.4 Mittelpunkt einer Strecke -4

Gehören zu den Endpunkten A und 8 einer Strecke die Ortsvektoren 71 und b , so -t 1--t -4

hat der Mittelpunkt der StreckeMden Ortsvektor: m = 2 ( a + b)

0

Bei Zerlegung in eine beliebige Anzahl n gleich Langer Teilstücke gilt für die Orts

vektoren der Teilpunkte X1, Xv ... Xn-1:

Beispiele:

(1)

gegeben:

Lösung:

(2)

k = 1, . . . , n -1

Die Endpunkte A und 8 einer Strecke haben die Ortsvektoren 71 und -t -t . b. Man berechne den Ortsvektor m des Streckenm1ttelpunktes M .

.. = ( -o ; b = cn

nf= � [ (-D + CDJ = � · (D - (H) Von einer Strecke AB sind der Anfangspunkt A und der Mittelpunkt M

und somit ihre Ortsvektoren 71 und m gegeben. Bestimmt werden soll der Ortsvektor zum Punkt 8.

gegeben: A = ( -2; 3·1) nf= CD

Vektoren 155

Lösung:

3.1.5 Lineare Abhängigkeit von Vektoren

Man nennt zwei Vektoren (/ und b voneinander linear abhängig, falls wenigstens einer der Vektoren eine Linearkombination (Vielfaches) der übrigen Vektoren ist. Zwei Vektoren 71 und b sind genau dann linear unabhängig, wenn es keine Gerade gibt, zu der die Pfeile beider Vektoren parallel sind.

9

Voneinander linear unabhängige Vektoren

Beispiel:

(1)

Lösung:

---+

Man untersuche jeweils, ob die drei Vektoren 71, b und '"t von-einander linear abhängig sind.

Zu lösen ist ein lineares Gleichungssystem, bestehend aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten (s. a. Kap. 3.3.2, S. 167)

156

somit:

I.

II.

Lineare Algebra/Analytische Geometrie

r1 + 3rz + 2r3 = 0 l(-2) -(1 +

III. 2rt + rz - r3 = 0

IV.

V.

(2)

Lösung:

somit:

I.

I I.

III.

IV.

V.

3r2 + 4r3 = 0 -5rz- 5r3 = 0

5r3 = 0

/·5

!· (3)

Es ergibt sich also die Lösung r1 = r2 = r3 = 0. Dies bedeutet, dass die drei Vektoren voneinander linear unabhängig sind.

Wiederum muss ein Lineares Gleichungssystem gelöst werden.

,. CD +s 0) +I (-D = 0) r+4s+ 2t = 0 2r- 4t = 0 -3r+s+ 7t = 0

-8s- 8t = 0 13s + 13t = 0

0=0

I · (-2) l Eil

I ·13

l $ 1. (8)

I 3 1 Eil

Setzt man t = 1, erhält man durch Einsetzen in Gleichung V: s = -1 und durch Einsetzen in Gleichung I: r = 2. (2· -1· 1) ist eine von (0· 0; 0) verschiedene Lösung, somit sind die

Vektoren voneinander Linear abhängig.

Skalarprodukt von Vektoren 157

3.1.6 Betrageines Vektors Der Betrag lcil eines Vektors d mit 7l =PO ist der Abstand der Punkte P und Q voneinander.

Für P = (p1· P2· P3) und Q = (qt· q2· Q 3) gilt:

IPCil = i(Qt- Pt)2 + (q2- P2)2 + (q3 - P3)2

Beispiel: Man bestimme die Länge der Strecke AB.

gegeben: A = (2· 4· 7); 8 = (3; -1·1)

Lösung: lAll = ic3- 2)2 + CC-1)-4)2 + (1- 7)2

= i12 + (-5/ + (-6)2 = J62 � 7 87

3.2 Skalarprodukt von Vektoren

3.2.1 Das Skalarprodukt

Für zwei Vektoren -t = ( :: ) und b = ( :: ) mrd die Zahl

a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 als das Skalarprodukt der beiden Vektoren d und b bezeichnet .

Man schreibt:

Beispiele: Zu berechnen sei das Skalarprodukt der beiden Vektorend und b.

(1)

Lösung:

gegeben:

-t: CD und b: (-D =2 ·1+4 ·(-2) (-2) ·2=2-8-4=-12


(2) gegeben: d = ( _!•) und

Lösung: d.

b= C!·) · CD

= 3 · ( -a) + 2a · 4 + ( -a) · (- 3) = -3a + 8a + 3a = 8a

(3) Man bestimme im v��or d = G) das X so, dass gilt: d • b = 0

gegeben: b = ( ! ) Lösung: =0

2·(-3 )+1· 1+x·4=0 � 4x = 5 5 x= 4

Somit lautet der gesuchte Vektor: 7! = ( 21! )

3.2.2 Rechenregeln für das Skalarprodukt �

Für alle Vektoren 7! b 7 und alle reellen Zahlen rund s gilt:

(a)

(b)

(c)

� � � � a*b=b*a � ---+ � � � ---+ � a*(b+c)=a*b+ a*c --+ ---+ --+ � � � --+ O*(b-c)=a*b- a*C

7"1 � � � (r · u J * (s · b ) = r · s · ( a * b)

Beispiele: Jeweils zu berechnen sei:

Kommutativgesetz

Distributivgesetz

wichtig: *-Rechnung vor

Strichrechnung

Skalarprodukt von Vektoren 159

Lösung:

= [4. ( -2) + ( -2). ( -1 ) + 3. 5 +

(4. 2 + ( -2) ·1 + 3. ( -1)]

= 9 + 3 = 12

(2) ( -o · [ ( -D + ( -� D l Lösung: ( -n · [ ( -D + ( -�·D l = ( -n · ( -H)

= ( -5). 2,2 +

3. ( -4 4) + 6. 55= 8,8

3.2.3 Winkel zwischen zwei Vektoren

Für je zwei Vektoren d und b (verschieden vom Nullvektor) und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel a gilt:

Winkel a zwischen 71 und b :

Beispiele:

(1)

Lösung:

Man berechnejeweils den Winkel a zwischen den beiden Vektoren �

�

a und b.

160

(2}

Lösung:


14.3 + 2 · (-1) + (-3) ·51 I-51 -J42 + 22 + c-3)2. J32 + c-1)2 +52

-/29. J35:::::::

0,157

-IO . 0 + 1 . 0 + 0 . 11 IOI = 0

J()2 +12+02. J02+02+12 v'f. v'1

a = 90° Die Geraden stehen senkrecht aufeinander.

3.2.4 Orthogonale und parallele Vektoren

Für zwei Vektoren d =I b und b =I 0 gilt:

� d und b sind genau dann orthogonal (senkrecht) zueinander, wenn gilt: � � a * b = 0

71 und b sind genau dann parallel zueinander, wenn gilt: � � a = r · b (r =I 0)

Beispiele:

(1} �

Es sei zu überprüfen, ob die Vektoren d und b orthogonal oder pa-rallel zueinander sind. ( 10 5 )

b = -� 5

lineare Gleichungssysteme

Lösung: --+

--+

a = r · b ( -F) = 3 5 (-!) --+

Somit sind 71 und b parallel zueinander.

161

(2) --+

Man bestimme x so, dass die Vektoren 71 und b orthogonal zueinan-der sind.

-t= (_!)

--+

b = (=D Lösung:

--+ --+

a * b = 0 => CD. (=D =0 2x- 2 + 12 = 0 => 2x = -10 ::} X = -5

Für x = -5 sind die Vektoren 71 und b orthogonal zueinander.

3.3 Lineare Gleichungssysteme Eine Gleichung der Form 2x1 + 7x2 - 3x3 = 12 heißt linear, wenn die Variablen x1 x2 x3 nur in der ersten Potenz auftreten. Die Zahlen 2, 7 und -3 heißen Koeffizienten der Gleichung. Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren solchen Gleichungen.

3.3.1 Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit 2 Variablen gibt es drei Lösungsverfahren: das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren. Die häufigste Anwendung findet das Additionsverfahren, da dieses auch bei der Lösung linearer Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen seine Anwendung findet (Gauß-Algorithmus).

3.3.1.1 Das Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine der beiden Gleichungen nach der Variablen x oder der Variablen y umgeformt. Der Term für die umgeformte Variable wird dann in die andere Gleichung eingesetzt und diese Gleichung gelöst. So erhält man den Wert der ersten Variablen. Dieser Wert wird nun anstelle dieser Variablen in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen eingesetzt und man erhält nach Lösen dieser Gleichung den Wert der zweiten Variablen. Die Anwendung des Einsetzungsverfahrens ist günstig, wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen umgeformt ist.

162

Beispiele:

(1)

(2)

I.

I I.

15x+4y = 90

x+4y= 6

I. 15x + 4y = 90

II'. X= 6- 4y

III. 15 · (6- 4y) + 4y = 90

90 - 60y + 4y = 90


/-4y

jii'. in I. eingesetzt

90 - 54y = 90 /-90

-54y = 0

y=O

y in I.

15x +4 · 0 = 90

x=6

l= {6;0}

I. 4x+ 5y = 1

li. -x+y=11

I. 4x+ 5y = 1

li'. y = 11 +x

III. 4x + 5 · ( 11 + x) = 1

4x+ 55+ 5x = 1

9x +55= l

9x =-54

x= -6

x in II.

-(-6) +y = 11

y=5

ll={-6;5}

j: 15

f+x

/II'. in I. eingesetzt

/-55

/:9

/-6

Uneare Gleichungssysteme

(3) I. 2x+4y = 2

I I. X+ 2y = 3

I. 2x+4y = 2

II'. X= 3- 2y

III. 2 . (3 - 2y) + 4y = 2

6-4y+4y=2

6=2

Oieses Gleichungssystem besitzt keine Lösung.

3.3.1.2 Das Gleichsetzungsverfahren

/-2y

/II.' in I. eingesetzt

Widerspruch, da 6 =f 2!

ll= {}

163

Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen so umgeformt, dass auf einer Seite gleiche Terme bezüglich einer Variablen x oder y stehen. Diese werden nun miteinander gleichgesetzt und diese Gleichung gelöst. Man erhält den Wert der ersten Variablen. Durch Einsetzen dieses Wertes in eine der ursprünglichen Gleichungen erhält man den Wert der zweiten Variablen. Es ist günstig, das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, wenn zwei Seiten der gegebenen Gleichungen schon (fast) übereinstimmen.

Beispiele:

(1) I. y= -x+ 8

II. y= x- 2

I.= II.

III. -X + 8 = X - 2

x in II.

- 2x = -10

x=5

y=5- 2

y=3

L={5;3}

f- x; -8

I: ( -2)


(2) I. 2x+4y = 2 1 :2

I I. X- 2y = 3

I'. x+ 2y = 1 l-2y

II. X- 2y = 3 l+2y

I". X= 1- 2y

II'. X= 3 + 2y

I".= II'.

III. 1- 2y = 3 + 2y l-2y· -1

- 4y= 2 : (-4)

1 y=--

2

y in I.

2x + 4 . (- �) = 2

2x- 2= 2 1+2

2x = 4 1 :2

x= 2

L= { 2;-�}

(3) I. 6x -1,5y = 30 + y l-y;-6x

li. 5x- y= 3x+ 2y+36 l-2y; -5x

I'. - 2,5y = 30- 6x 1 : ( -2 s)

li'. - 3y = 36- 2x I: ( -3)

I". y=-12+ 2,4x

li". 2 y=-12+-x 3


I". = li".

TI I.

x in TI.

2 -12 + 2,4x = -12 +3x

26x = 0 1 5

6 . 0 - 1 ,5y = 30 + y

-2 5y = 30

y= -12

L= {0 -12}

3.3.1.3 Das Additionsverfahren

2 1--x· +12

3

x=O

1-y

1: (-2,5)

165

Beim Additionsverfahren werden beide Gleichungen so umgeformt, dass sie die gleiche Form haben und eine der beiden Variablen x oder y den entgegengesetzten Koeffizientenwert hat. Oie beiden Gleichungen werden dann addiert und das Gleichungssystem gelöst. Oie

Lösung wird nun wiederum in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt, um den Wert der zweiten Variiablen zu erhalten. Oie Anwendung des Additionsverfahrens ist dann günstig, wenn beide Gleichungen dieselbe Form haben.

Beispiele:

(1) I. x+7y= 4 I· ( -1)

I I. x+2y= -6

I'. -x-7y = -4

] 9 I I. x+ 2y= -6

I'.+II.

III: - 5y = -10 I : ( -5)

y=2

yin ii .

X+ 2 · 2 = -6 l-4

X= -10

L={-10;2}


(2) I. 3x+4y= 40

I I. x- 3y=-17 I· ( -3)

I. 3x+4y = 40

] 9 II'. -3x+ 9y = 51

I.+ II'.

III. 13y = 91 1 : 13

y= 7

yinii.

X- 3 · 7 = -17 1 +21

x=4

lL = { 4; 7}

(3) I. 7x- 2,5 = -4y 1 + 2,s· +4y

li. -Sx + 8y = -61 5

I'. 7x +4y = 2 5 I· (-2)

li. -5x+8y = -61 5

I". -14x- 8y=- 5

] $ li. -Sx + 8y = -61 5

I".+ II.

III. -19x = -66 5 1 : (-19)

X= 3 5

x in I.

7 . 3 5 - 2,5 = -4y

22 = -4y I : ( -4)

y= -5 5

lL = {3 5;-5 5}

lineare Gleichungssysteme

3.3.2 Glekhungssysteme mit drei und mehr Variablen-

Gauß-Algorithmus

167

Lineare Gleichungssysteme mit drei oder mehr Variablen können durch mehrfaches Wiederholen des Additionsverfahrens gelöst werden. Dieses Verfahren heißt GaußAlgorithmus.

Man löst ein lineares Gleichungssystem, indem man es mithilfe von Äquivalenzumformungen auf ,,Stufenform" bringt und es dann schrittweise nach den Variablen .. . , x3, x2, Xt auflöst. Ein lineares Gleichungssystem ist in "Stufenforrn", wenn alle Koeffizienten unterhalb der "Diagonalen" gleich 0 sind, bzw. es folgende Form hat:

Stufenform eines linearen Gleichungssyrtems:

GtXt + G2X2 + G3X3 + . . . + GnXn = 0

b2X2 + b3X3 + ... + bnXn = b

Nicht immer sind alle linearen Gleichungssysteme lösbar. Man unterscheidet zwischen linearen Gleichungssystemen mit genau einer Lösung und linearen Gleichungssystemen ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen.

3.3.2.1 Lineare Gleichungssysteme mit genau einer Lösung

Aufgabe (1):

Zu bestimmen ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems:

I. x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4= 276

II. 3x2 + 3x3 + 2x,= 219

III. 2xt + 2x2 + 4x3 + 4x,= 326

IV. 8x1 + 4x2 + 4x3 = 372

Gleichung I wird als "Entwicklungsgleichung" beibehalten. x1 durch Multiplikation mit einem Faktor und Addition mit Gleichung I aus Gleichung ll, III und IV eliminiert.

168

I.

I I.

III.

IV.

x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 = 276

3x2 + 3x3 + 2x4 = 219

2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 = 326

= 372


I· (-8)

Da in diesem Fall in Gleichung II kein x1 vorhanden ist, kann diese so übernommen werden.

I. x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 - 276

II. 3x2 + 3x3 + 2x4 - 219

V.

VI.

- 2x2 - 4x3 - 2x4 = -226 durch Addition von I. und III.

- 12x2 - 28x3 - 24x4 = -1836 durch Addition von I. und IV.

Nun wird Gleichung II als "Entwicklungsgleichung" beibehalten. x2 wird durch Multiplikation mit einem Faktor und Addition mit Gleichung II aus Gleichung V und VI eliminiert.

I. X1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 - 276

I I. 3x2 + 3x3 + 2x4 - 219

V. - 2x2 - 4x3 - 2x4 = -226

VI. - 12x2 - 28x3 - 24x4 = -1836

Man erhält durch Addition nun:

I. x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 = 276

Il.

VII.

VIII.

3x2 + 3x3 + 2x4 = 219

- 26x3 - 2x4 = -240

- 16x3- l6x4 = -960

/·2 ]m /·4 ] m /·3

durch Addition von II. und V.

durch Addition von li. und VI.

Nun muss nur noch x3 oder x4 eliminiert werden. In diesem Fall ist es günstig, x4 zu

eliminieren, indem man Gleichung VII mit -8 multipliziert und dann mit Gleichung VIII addiert.

I. X1 + 2x2 + 4x3 +3x4= 276

II. 3x2 + 3x3 +2x4 = 219

VII. - 6x3 - 2x4 = -240 !· ( -8) ] �

VIII. - 16x3 - l6x4 = -960


Man erhält:

I. x1 + 2x2 + 4x3 + 3x4 = 276

II. 3x2 + 3x3 + 2x4 = 219

- 6X3 - 2x4 = -240 durch Addition VII.

IX. = 960 von VII u. VIII I : 32

Somit erhält man den Wert der ersten Variablen mit X3 = 30

Durch Einsetzen von x3 in Gleichung VII erhält man x4•

VII. 1 + 180 -6.30- 2x4 = -240

2x4 = 60 => x4 = 30

Nun werden x3 und x4 in Gleichung II eingesetzt, um x2 zu ermitteln.

II. l-150 3x2 + 3 · 30 + 2 · 30 = 219

3x2 = 69 x2 = 23

Durch Einsetzen von J<4, x3 und x2 in Gleichung I erhält man Letztendlich x1•

I. Xl + 2 . 23 + 4 . 30 + 3 . 30 = 276 I -256

X1 = 20

Das lineare Gleichungssystem besitzt somit genau eine Lösung mit L = {20· 23· 30· 30}

Aufgabe 2:

Berechnet werden sollen die Lösungen des linearen Gleichungssystem:

I.

II.

III

I.

IV.

V.

I. IV.

V.

2x1 - 3x2- 4x3 = 8

3x1 + 5x2 + X3 = 10

-4x1 + x2- 3x3 = 7

2x1 - 3x2- 4x3 = 8

19x2 + 14x3 =- 4

- 5x2 -llx3 = 23

2x1 - 3x2- 4x3 = 8

19x2 + 14x3 = - 4

- 5x2 -llx3 = 23

I (-3) l Eil 1·2

I 2 ] Eil

durch Addition von I. und II.


1·5 l@ 1 ·19

169

VI. - 139x3 = 417 durch Addition von IV. und V. I : ( -139) X3 =- 3

170

x3 eingesetzt in V.:

-5x2 -11· (-3) = 23

-5x2 = -10

x3 undx2 eingesetzt in I.:

I. 2xl - 3. 2 - 4. ( -3) = 8

2xl = 2


x2 =2

Das lineare Gleichungssystem be·sitzt somit genau eine Lösung mitiL = { 1 2 - 3 }.

3.3.2.2 Lineare Gleichungssysteme ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen

Aufgabe (1): Zu berechnen sind die Lösungen des Linearen Gleichungssystems:

I. x1 + x2 - Sx3 = 6 I· ( -2) l EB II. 2x1 + 2x2 + 7x3 = - 1

III. 6x1 + 6x2 -17x3 = 13

I.

IV.

V.

X1 + X2 - SX3 = 6

17x3 = -13 durch Addition von I. und II. I: 17

13x3 = -23 durch Addition von I. und III. I : 23

Aus Gleichung IV ergibt sich x 3 = - �� -0,765, die Lösung von Gleichung V

hingegen ergibt für x3 = - �� -1 769. Dies ist eine widersprüchliche Aussage,

somit hat dieses lineare Gleichungssystem keine Lösung IL = {}.

Aufgabe (2): Welche Lösungen hat das lineare· Gleichungssystem:

I.

II.

III.

I.

IV.

V.

2x1 + 6x2- 3x3 =- 6

4xl + 3x2 + 3x3 = 16

4x1- 3x2 + 9x3 = 18

2x1 + 6x2- 3x3 =- 6

- 9x2 + 9x3 = 18

-1Sx2 + 15x3 = 30

I ( -2) l a.


durch Addition von I. und III.


I. 2xt + 6x2- 3�3 = -6

IV. -9x2 + 9x3 = 18 V. -15x2 + 15x3 = 30 I. 2xt + 6x2 -3x3 = -6

IV.' X2- x,; -2] V.' -x2+ X3 = 2 I. 2xt + 6x2 -3x3 = -6

IV.' X2- X3 = -2

VI. 0= 0

Umformen von Gleichung IV' ergibt:

I. ( -�) I· ({s)

durch Addition von IV.' und V.'

Setzt man dieses Ergebnis in Gleichung I ein, erhält man:

I. 2x1 + 6 · (-2 +x3) - 3x3 = -6:::} x1 = 3 - �x3

171

Setzt man nun aUgemein für x3 = s, so erhält man die Lösung des Gleichungssystems mit unendlich vielen Lösungen, da ft..ir s jede beliebige Zahl eingesetzt werden kann.

L = 3 -� 5 -2 + 5 5} mit E IR

3.3.3 Matrizen

Eine rechteckige Anordnung von Zahlen in m Zeilen und n Spalten wird als Matrix mit m Zeilen und n Spalten bezeichnet oder auch als m x n-Matrix. Ist m = n, dann handelt es sich um eine quadratische Matrix. Matrizen werden mit großen Buchstaben gekennzeichnet, die Elemente einer Matrix A bezeichnet man mit Oik (i-te Zeile und k-te Spalte). Besteht eine Matrix nur aus einer Zeile, bzw. einer Spalte, wird sie als n-dimensionaler Zeilenvektor, bzw. m-di mensionaler Spaltenvektor bezeichnet.

Matrizenschreibweise:

A -- ( 3721 8653 4922 ) 4 X 3-Matrix mit a12 = 5 · 041 = 1; usw.


3.3.3.1 Addition von Matrizen

Zwei Matrizen werden miteinander addiert, bzw. subtrahiert, indem man die entsprechenden Elemente addiert (subtrahiert). Zwei Matrizen können nur miteinander addiert (subtrahiert) werden, wenn sie vom gleichen Typ sind (d . h. die Zeilenund Spaltenanzahl übereinstimmen).

Addition von Matrizen:

Beispiele:

(1)

A ("" = 021 031

012 022 03,2 " " ) C" 023 B = b21

033 b31

012 + b12

AB= 021 + b21 ( 011 + b11

022 + b22 023 + b23 on+bn ) 031 + b31 032 + b32 033 + b33

Gegeben sind folgende Matrizen:

G 5 -� ) B= ( � A= 1 und

7 -3 -3

Zu berechnen sind a) A + Bund b) A -B

A + B = 1 + 1 1 + 5 0 + ( -8) ( 4 + 2 5 + 4 ( -1) + ( -7))

A-B

3 + ( -3) 7 + 6 ( -3) + ( -9)

= 0 9 6 1 3

= 1-1

-8 ) -8 -12

5-4 1-5

( 4-2

3- (-3) 7 - 6

( -1)-( -7)) 0- ( -8) ( -3)- ( -9)

b12 bn ) b22 b23 b32 b33

4 -7 ) 5 -8 6 - 9


(2) Gegeben sind die Matrizen A und 8.

Man berechne (8-A) + 8:

A = (! � -�)

173

8 = ( 4 -3 8) 1 0 2

8-A= ( 4 -2 (-3 )- 3 8-(-1))= ( 2 -6 9 ) 1 -4 0- 8 2 - 5 -3 -8 -3

(8 -A) + 8 = ( 2 + 4 -6 + ( -3 ) -3 + 1 -8 +0

= ( -� -9 17 ) -8 -1

3.3.3.2 Vervielfachen von Matrizen

9+ 8) -3+2

Eine Matrix wird mit einer reellen Zahl k multipliziert, indem jedes Element der Matrix mit k multipliziert wird.

Vervielfachen von Matrizen:

Beispiel:

Gegeben sind die Matrix A und k = -3 . Zu berechnen ist k · A.

A = (� =� � ) k·A=(-3)·A 3 1 -4

3.3.3.3 Multiplikation von Matrizen

= ( -_132 1: -�)

-9 -3 12

Bildet man das Skalarprodukt der i-ten Zeile der Matrix A mit der k-ten Spalte der Matrix 8, so erhält man die Elemente crk eines Produkts. C = A · 8. Man kann von zwei Matrizen A und 8 nur dann das Produkt C = A · 8 bilden, wenn die Anzahl der Spalten von A mit der Anzahl der Zeilen von 8 übereinstimmen.


Multiplikation von Matrizen:

A= ( Gtt Ot2 Ot3 ) 021 022 023

B = (�� :) b31 b32

Beispiele:

(1}

011 · b12 + Gt2 · b22 + G13 · b32 ) a21 · b12 + a22 · b22 + a23 · b32

Gegeben seien die Matrizen A und B; man berechne C = A · 8.

A B = (� �) 1 -1

(4 1 0 ) - 3 2 -1

C=A·B= ( 4-3+1·2+0·1 4·5+1-0+0·(-1) ) 3·3+2·2+(-1)-1 3-5+2·0+(-1)·(-1)

C = A . B = ( 12 + 2 + 0 20 + 0 + 0 ) 9+4+(-1) 15+0+1

C = A . B = ( 14 20 ) 12 16

(2} Zu berechnen ist das Produkt der Matrizen C und D.

c ( 3 2 -4) - 0 1 5

-2 -3 -1 D = G -D ( 3·7+2-3+(-4)-1 3-8+2·(-5)+(-4)·0 ) E = C · D = 0 · 7 + 1 · 3 + 5 · 1 0 ·

8 + 1 · ( -5) + 5 · 0 (-2). 7 + (-3) .. 3 + {-1) ·1 {-2). 8+ {-3). (-5) + (-1). 0

( 21 + 6 - 4 24 - 10 + 0 ) E=C·D= 0+3+5 0- 5+0 -14-9 - 1 -16 + 15 + 0

( 23 14 ) = 8 -5

-24 -1

Uneare Gleichungssysteme 175

3.3.4 Determinanten

Jeder quadratischen Matrix ist eine Zahl - ihre Determinante - zugeordnet. Man unterscheidet zwischen zweireihigen und dreireihigen Determinanten.

3.3.4.1 Determinante einer 2x2-Matrix

Determinante einer 2x2-Matrix

A = ( � !) => detA = lAI = I � � I =a·d-b·c

Beispiele: Man berechnejeweils die Determinante folgender Matrizen:

A = ( -2 2

detA

detB

-n B = G = ,-� -�I

1 3 4 "2

2 1 5 8

C = (a+1 b-1 ) b+1 a-1

= ( - 2) · (- 1) - 0 · 2 = 2

1 3 3 2 =- · --- · -

4 8 2 5

3 6 81 = - - - =--32 10 160

_ ,a+1 b-1 , det C - b + 1 0 _ 1 = ( a + 1) · ( a -1) -( b -1) · ( b + 1)

= i -b2

3.3.4.2 Determinante einer 3x3-Matrix

3.3.4.2.1 Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix über zweireihige Unterdeterminanten

Jedes Element einer Spalte (Zeile) wird mit einer ihm zugeordneten Unterdeterminante multipliziert. Dazu wird die zum betrachteten Element gehörende Zeile und Spalte gestrichen.

Oie Produkte werden dann addiert. Oie Bestimmung des Vorzeichens erhält man durch die SchachbrettregeL


Schachbrettregel zur Bestimmung des Vorzeichens

+ +

+ +

+ +

Entwicklung einer drefreihigen Determinanten nach der ersten Zeile:

C' b1 c,

) A= 02 b2 C2 03 b3 C3

01 01 01

A11 = D2 b2 C2 ( b2 �) -

b3 I

0) b3 C3

01 b1 C1

A12 = 02 b2 C2 ( 02 C2 )

-

03 C'3

03 b3 C3

01 b1 C1

I b2 ) A13 =

02 b2 c2 ( 02

-

b3 I

03

03 b3 C3

detA =

o1 · (b2 · c3 - c2 · b3) - b1 · (o2 · c3 - c2 · a3) + c1 · (o2 · b3- b2 · a3)

Ebenso wäre die Berechnung mach der zweiten Zeile/ ersten Spalte/ etc. mögLich.


Beispiele:

(1) Berechnet werden soll die Determinante durch Entwicklung nach der ersten Zeile.

=0

0

D A -1 -4

detA 1-1 � 1- O·l� �I+ 1· 1� -1

1 = 6· -4 -4

detA = 6. ((-1). 2-7. (-4))- 0. (2. 2-7. 8) +1·· (2. (-4)- (-1). 8)

detA = 156

(2) Zu berechnen ist die Determinante durch Entwicklung nach der ersten Spalte.

A =G H)

detA = 4 ·I� � 1- 5·1! �I+ 8 ·I� �I detA = 4 · (0 · 6- 2 · 1)- 5 · (1 · 6- 3 · 1) + 8 · (1 · 2 - 3 · 0)

detA = -7

3.3.4.2.2 Berechnung der Determinanten einer 3x3-Matrix nach der Regel von Sarrus

Regel von Sarrus bt

- 01 · b2 · C3 + 02 · b3 · Ct Ot Ct A= 02 b2 C2 + 03 ·

b1 · C2 - Ct · b2 · 03

03 b3 c3 c2 . b3 . Ot - c3 . bt . o2

Regel: Man schreibt die beiden ersten Zeilen unter die Determinante und oddjert die drei Dreierprodukte längs der gestrichelten Linien und subtrohjert die drei Dreierprodukte Längs der durchgezogenen Linien.


Beispiele: Man berechne die Determinante nach der Regel von Sarrus.

(1) A - ( i -� �) -1 2 -1

detA =

detA =

- 1·(-2)·(-1)+1·2·3+(-1)·2·0

-3 . (-2). (-1)- 0. 2 ·1- (-1). 2.-1

d�A=2+6+0- 6- 0+2=4

= 2·0·3+3·0·0+1·1·1

-0 . 0 . 1 - 1 . 0 . 2 - 3 . 1 . 3

detA = 0 + 0 + 1- 0- 0- 9 = -8

3.3.5 Lösen von linearen Gleichungssystemen

mithilfe von Determinanten - Cramer'sche Regel

Eine weitere Möglichkeit Lineare Gleichungssysteme zu Lösen ist die Lösung mithilfe von Determinanten. Die Cramelsche Regel findet hier Anwendung.

Cramer'sche Regel:

IstA eine quadratischen x n-Matrix mit lAI # 0, so ist das Lineare Gleichungs--+

system A · 7- b eindeutig Lösbar. Für die Lösung gilt:


�

A; ist dien x n-Matrix, die aus A entsteht, indem man die i-te Spalte durch b ersetzt.

Gleichungssystem:

I. ax+ by+cz = k

I I. dx+ey+fz=l

III. gx+hy+iz = m

a b c k b c

lAI = d e f fAxl = l e f g h i m h 1

a k c a b k

IAyl = d l f IAzl = d e l

g m g h m

X _IAxl. - lAI'

y =

IAyl. lAI'

z _IAzl. - lAI'

Beispiele: Die linearen Gleichungssysteme sollen mithilfe des Determinantenverfahrens {Cramer'sche Regel) gelöst werden.

(1) I. 3x+ y+ z = 10

TI. x + 2y + 3z = 15

III. -2x + y + 4z = 15

3 1

lAI = 1 2 -2 1

10 1

lAx!= 15 2 15 1

3 10

IAyl = 1 15 -2 15

3 1

IAzl= 1 2 -2 1

1 3 4

1 3 4

1 3 4

10 15 15

Berechnung nach Sarrus ::} !Al = 10

Berechnung nach Sarrus ::} lAx! = 20

Berechnung nach Sarrus ::} IAyl = -10

Berechnung nach Sarrus ::} IAzl = 50


Man erhält nun x = IAxl = 20 = 2· lAI 10 I Y = IAyl = -10 = _1.

Z = IAzl =50= 5 lAI 10 lAI 10

Das Lineare Gleichungssystem hat somit die Lösung IL = { 2· -1· 5}. {2) I. -x + 8y + 3z = 2

II: 2x + 4y - z = 1 I! I. -2x + y + 2z = -1

-1 8 3 lAI = 2 4 -1 Berechnung nach Sarrus => lAI = 5

-2 1 2

2 8 3 IAxl= 1 4 -1

-1 1 2

-1 2 3 yl = 2 1 -1

-2 -1 2

-1 8 2

IAzl= 2 4 1 -2 1 -1

Man erhält nun X= IAxl = 25 = 5·

lAI 5 I

Berechnung nach Sarrus => IAxl = 25

Berechnung nach Sarrus =} IAyl = -5

Berechnung nach Sarrus =} IAzl= 25

IAyl -5 IAzl 25 y=-=-=-1 z=-=-=5 lAI 5 lAI 5

Das Lineare Gleichungssystem hat somit die Lösung IL = { 5· -1· 5}.

3.4 Analytische Geometrie mit Geraden

3.4.1 Verschiedene Typen von Geradengleichungen

Es gibt insgesamt sechs verschiedene Typen von Geradengleichungen: die Parameterform (teilweise auch als Punkt-Richtungs-Form bezeichnet), die Zwei-PunkteForm, die Koordinatengleichung, die Achsenabschnittsform, die Normalenform und die Hesse-Normalenform. Wichtig sind jedoch nur die Parameterform und die Zwei-Punkte-Form, da diese als Einzige im zwei- und dreidimensionalen Raum Geradengleichungen darstellen.

Analytische Geometrie mit Geraden 181

3.4.1.1 Parameterform einer Geraden

Eine Gerade ist eindeutig durch einen Punkt der Geraden und ihre Richtung festgelegt. Vektoriell bedeutet dies, dass man einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor der Geraden kennt. Ist also A ein Punkt der Geraden mit dem dazugehörigen Ortsvektor 71 und ist 71 ein Richtungsvektor der Geraden, so lässt sich jeder Ortsvektor x+ eines beliebigen Punktes X der Geraden als Summe des Ortsvektors 71 und einem speziellen Vielfachen r des Richtungsvektors Tl darstellen. Durchläuft r alle reellen Zahlen, so erhält man für 7 alle Ortsvektoren von sämtlichen Punkten der Geraden.

Parameterform einer Geraden

--+ --+ ...,.-7 x =a+r·u rEIR

0

Beispiele:

(1) Gegeben: A(3· O· 5) und 11 - ( -D Zu bestimmen sei die Parametergleichung der Geraden g.

Lösung: g:

(2) Darzustellen sei die Parametergleichung für die Achsen des kartesischen Koordinatensystems ausgehend vom Koordinatenursprung.

Lösung:


3. Achs•= K- (n +r 0) 3.4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Eine Gerade ist ebenso durch zwei Punkte eindeutig festgelegt. Sind A und 8 zwei

Punkte der Geraden g und 71 und b ihre zugehörigen Ortsvektoren, so kann man damit auch einen Richtungsvektor der Geraden angeben. Mit der Differenz der Ortsvektoren 71 und b erhält man einen Richtungsvektor 11 = b- 71. So erhält man aus der Zwei-Punkte-Form die Parameterform.

I

I • I X

I

Zwei-Punkte Form einer Geraden

--+ --+ --+

--+ x=a+r·(b-a) rER

Beispiele: Gesucht istjeweils die Geradengleichung für g durch die Punkte A und 8.

(1)

Lösung:

(2)

Lösung:

A=(4;1) 8=(3;2)

--+ (4) (3-4) g: x =

1 + ' · 2 - 1

A=(-7·4,5·3) B=(-6·25·45)

g: 7 = (-� 5) +r· (-� 5:::: (-� )

5) 3 4 5- 3


3.4.2 Lagebeziehungen von Punkten und Geraden

Ein Punkt P(p1 p2; p3) Liegt genau dann auf einer Geraden g: x+ = d + r · 11, wenn ein r ER existiert, das das Gleichungssystem p = (/ + r · tJ Löst.

Beispiel: Es ist nachzuweisen, dass die Punkte P1, P2 und P3 auf der Geraden g Lie�n. ( 2 ) (1)

gegeben: g: x = -4 + r · 2 ;

Lösung:

6 1 p1 = (3· -2· 7); p2 = (0; -8· 4);

(1) Punktprobe für P1 = (3; -2· 7):

Lineares Gleichungssystem:

I. 3= 2+r /-2

li. -2 = -4 + 2r /+4

I !I. 7= 6 +r /-6

somit: I. r= 1 li. r = 1 I !I. r = 1

p3 = ( -2· -6· 0)

Das Lineare Gleichungssystem enthält keinen Widerspruch, somit liegt P1 = (3· -2· 7) auf der Geraden

(2) Punktprobe für P2 = (0 · -8 · 4):



somit:

I. 0= 2+r /-2

II. -8 = -4+ 2r /+4

III. 4= 6+r /-6

I. r = -2

I I. r = -2

III. r = -2

Das Lineare Gleichungssystem enthält keinen Widerspruch, somit

Liegt auch P2 = {0; -8· 4} auf der Geraden

(3) Punktprobe ft.ir P3 = ( -2· -6· 0):


somit:

I. -2= 2 +r /-2

li. -6 = -4 + 2r /+4

III. 0= 6+r /-6

I. r= -4

li. r= -2

III. r=6

Es ergeben sich dre�i verschiedene Lösungen für r, somit enthält das Lineare Gleichungssystem einen Widerspruch. P3 = ( -2· -6· 0) Liegt nicht auf der Geraden g.

Analytische Geometrie mit Geraden

3.4.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden

185

Der Abstand d(P· g) eines Punktes P von einer Geraden g = 7 = (/ + r · tJ ist die kürzeste Entfernung des Punktes P zu allen Punkten der Geraden, also die Länge der zugorthogonalen (senkrechten} Strecke PQ, wobei Q auf g Liegt (Q E g).

Abstand Punkt - Gerade: Q E g 9 C/-71+r·71

PQ l_g 9 pQ * tJ = 0 (Skalarprodukt)

d(P· g) = IPiil - V(PtGt)2 + (P2Q2)2 + (P3Q3)2

Beispiel: Es ist zu überprüfen, ob der Punkt P auf der Geraden g Liegt, und gegebenenfalls ist der Abstand des Punktes P von der Geraden g zu bestimmen.

gegeben: g:

x' = ( 20 + r

· 0} P = (3; -4-8)

��·:·;- p' = [ ( 2D +, 0) J - ( -D = ( 2D +, ( D

Aus PQ l_ gerhält man: (3 +3r )

(3 ) 9 �9++0 4r * � = 0 (Skalarprodukt!)

9 3 · 3 + 29 · 4 + 0 · 0 + 3r · 3 + 4r · 4 + 0 · 0 = 0 9 125 + 25r = 0 9 f= -5


Für r = -5 gilt nun:

=> somit Q = ( -9· 5; 8) Man erhält nun:

PQ= ( -n- ( -D - ( -r) Der Abstand d des Punktes P von der Geradengerrechnet sich mit:

d(P· g) = 1Pl11 = V( -12)2 + 92 + Q2 = -/144 + 81 = V225 = 15

3.4.4 Lagebeziehungen von Geraden

F.. . G d . R --+ --+ --+ d h --+ --+b --+ "bt . ur zwe1 era en 1m aum g: x = a + r · u un : x = + s · v g1 es VJer verschiedene Lagemöglichkeiten:

A

g und h schneiden sich in einem Punkt S:gnh= {s}

8

g und h sind identisch

g=h

h

g und h sind paraUel zueinander (aber verschieden!)

gllh und g ::f h

h

h

g und h sind windschief zueinander:

g lt'h und gnh= {}

g und h haben einen g und h haben g und h haben keine gemeinsamen Punkte gemeinsamen Punkt unendlich viele ge-

meinsame Punkte --+

Die Gleichung 71 r · Tl = b s · v besitzt;

genau eine Lösung

Zu 5 gehören die Parameterrunds

unendlich viele Lösungen

u und v sind linear abhängig

keine Lösung


Sind g: Y = 7/ + r · Tl und h: 7 = b s · V zwei Geraden im Raum, so erhält man die gemeinsamen Punkte von g und h durch Gleichsetzen der beiden Gleichun-gen:

__. __. __.

__.

a+r-u = b+s-v

Um gemeinsame Punkte von zwei Geraden im Raum zu ermitteln, muss ein Li

neares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen rund s geLöst werden: I. a1 + r · u1 = � + s · v1

TI. a2 + r · u2 = � + s · v2

III. a3 + r · u3 = b3 + s · v3

Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden berechnet sich wie in Kapitel 3.2.3 (5. 159) beschrieben mit:

__. __.

U * V cosa = 1!11 . I vl

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Beispiele:

(1) Zu berechnen sind der Schnittpunkt 5 und der Schnittwinkel der beiden Geraden

g:x= (-2

) ( 1.5

) � + r. =�

und h:x= ( -D +s c��) Lösung:

a) Schnittpunkt 5 der beiden Geraden g und h:

Zu Lösen ist das Lineare Gleichungssystem mit:

I. -2 + t 5r = 1 /+2

I I. 7- 2r = -4 +3 55 j-7·

III. 6- 2r = 5-1 55 /-6;

I. 1 Sr - 3

II. -2r-3 5s = -11

III. -2r+ 1 5s = -1

-3:55

+1,55

1: 1 s


Aus I. ergibt sich:

r=2

rin 1I eingesetzt:

II. -2 · 2 - 3 5s = -11 s=2

Zur Probe r und s in III. eingesetzt:

III. -2·2+1 5·2=-1

I +4; : ( -3 5)

-1 = -1 wahre Aussage!

Bestimmung des Schnittpunktes durch Einsetzen von ring oder s in h:

Somit erhält man den Schnittpunkt der beiden Geraden bei 5 = (1; 3; 2)

b) Schnittwinkelader beiden Geraden g und h:

-

cosa = u * v

IL11·171

cosa -

(-� 5) *

( �,5)

-2 -1 5 (-�'s) . ( � 5)

-2 -1 5

-4 - -::==---== /10 25 . JI4,5

cos a � -0,328105913

Der Schnittwinkel der beiden Geraden g und h beträgt somit a � 10915°.


(2) Die Gerade g läuft durch die Punkte A und 8, die Gerade h durch die Punkte C und D.

Lösung:

Es soll überprüft werden, ob die beiden Geraden einen gemeinsamen SchnittpunktS haben oder parallel bzw. windschief sind .

A = (2· -2· 2) 8 = (8· -6; 0) c = ( -5· 5· 5) D= (-1·10·7)

a) Erstellen der Geradengleichungen:

--4

g: X= (-D

b) Überprüfen auf Parallelität

Zwei Vektoren sind genau dann zueinander parallel, wenn sie Vielfache voneinander sind (s. Kap. 3.2.4).

.. --4 --4

Zur Uberprüfung setzt man u = s · v

Zu lösen ist nun ein Gleichungssystem mit einer Variablen, bei dem jede Lösung des Systems alle drei Gleichungen erfüllen muss.

3 r. 6 = 4s 1 : 4 =* s = 2

II. -4 = 5s

III. -2s = 2s

/:5

/:2

4 S= --5

S= - 1

Es gibt keine Zahl s, die alle drei Gleichungen erfüllt, somit ist T! =I s · V und g ist nicht parallel zu h.


c) Eventueller Schnittpunkt 5 der beiden Geraden g und h: Zu lösen ist das lineare Gleichungssystem mit:

I.

II.

III.

Somit ergibt sich:

2 + 6 r = -5 +4s

-2 -4r = 5 + Ss

2- 2r = 5 + 2s

I: 6r- 4s = -7

n: -4r - Ss = 7

III: -2r- 2s = 3

l-2; -4s

1+2; -55

l-2; -2s

rundswerden durch Anwendung des Additionsverfahrens aus den Gleichungen I' und I!' ermittelt.

n:

IV.

seingesetzt in 1::

6r- 4s = -7

-4r- Ss = 7

-23s s

- 7

7 = - 23

7 6r- 4 · (- ) = 7 23

I. 2 ] @ l-3

1: (-23)

r=-6 3 46

Überprüfen der Lösung durch Einsetzen in Gleichung III':

63 7 -2- (--)- 2- (--) = 3 46 23

126 + 28 = 3 46 46

154 # 138 46 46

Das lineare Gleichungssystem besitzt keine Lösung.

Die Geraden g und h haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt, sie sind somit windschief zueinander.

3.4.5 Abstand windschiefer Geraden zueinander Der Abstand zweier zueinander windschiefer Geraden g und h ist die kleinste Entfernung der Punkte auf g von d�Punkten auf h. Dieser Abstand d(g· h) ist bei den Punkten P und Q auf h, für die PQ orthogonal (senkrecht) zugund h ist:

Analytische Geometrie mit Geraden

Abstand zwischen zwei zueinander windschiefen Geraden:

d(g· h) = IPäl mit:

(a) P liegt auf g und Q liegt auf h ---+ ---+

(b) PQ j_g und PQ j_ h

Beispiel: Gegeben sind die Geraden g und h mit:

h

g

Zu berechnen sei der Abstand der beiden Geraden zueinander.

Lösung:

a) ---+

Berechnen von PQ (P liegt auf g und Q auf h):

191

19 2

b)

Somit: (1)


�

PQ ist orthogonal (senkrecht) zu den Richtungsvektoren von g und h.

( -1). ( -2) + 0. ( -2) + 0. 4 + 5. ((2. ( -2) + 2. ( -2) +( -3) · 4))-r · (( -2) · ( -2) + ( -2) · ( -2) + 4 · 4)) = 0 I. 2 - 205 - 24r = 0

(2) Pli. CD =0

=} [ (-D +s CD_, (=DJ ·CD =O

( -1) · 2 + 0 · 2 + 0 · ( -3) +5 · ((2 · 2 + 2 · 2 +( -3) · ( -3))-r · (( -2) · 2 + ( -2) · 2 + 4 · ( -3)) = 0 Il. -2 + 175 + 20r = 0

c) lösen des Linearen Gleichungssystems zur Bestimmung der Variablen rund 5: I. 2- 205- 24r = 0 l-2 II. -2 + 17 5 + 20r = 0 1+2

I: - 205- 24r = -2 1 ·17 ]ffi n: 175 + 20r = 2 1. 20

III. 8r = 6 => 3 - r= --4 rin I::

I: -205- 24 · ( -�) = -2 => 5=1

Analytische Geometrie mit Ebenen 193

d) Bestimmung der Koordinaten der Punkte P und Q durch Einsetzen der Werte der Variablen in die Geradengleichungeng und h. --j. ( 2) 3 ( -2) (3 5) p = � + ( -4). -� = �;

q. 0) +l CD- CD Somit erhält man die Punkte P = (3 5·1,5· -3) und Q = (3; 2· -3)

e) Berechnen des Abstandes d(g· h): d(g· h) = IPäl IPäl = IO-P'I =

(-3�) - (_3�,55) = ,/( -0,5)2

+ ( -0 5)2

+ 02 = ,R. = �. h � 0,71

Somit d(g; h) � 0 71. 3.5 Analytische Geometrie mit Ebenen 3.5.1 Verschiedene Typen von Ebenengleichungen

Ebenso wie bei den Geradeng1leichungen gibt es sechs verschiedene Typen von Ebenengleichungen: die Parameterform, die Drei-Punkte-Form, die Koordinatengleichung, die Achsenabschnittsform, die Punkt-Normalenfarm und die Hesse-Normalenform.

3.5.1.1 Parameterform einer Ebene Eine Ebene ist durch einen Punkt und zwei Richtungen, in die sich die Ebene erstreckt, eindeutig festgelegt. Vektoriell bedeutet dies, dass man einen Ortsvektor 71 eines Punktes A der Ebene und zwei (weder gleich- noch entgegengesetzt gerichtete; somit also linear unabhängige) Richtungsvektoren c1 und v der Ebene kennt. Dann lässt sich jeder Ortsvektor x eines Punktes X in der Ebene als Summe

des Ortsvektors 71 und den speziell zu X gehörigen Vielfachen der Richtungsvektoren c1 und V darsteUen. Durchlaufen die Parameters und t alte reelten Zahlen, so erhält man damit für -t die Ortsvektoren alter Punkte in der Ebene.

194

\

""

l;' 0

/

/ / . " X

/ /

/

/ /

/ /

/ /

/


Parameterform einer Ebene:

Beispiele:

(1)

gegeben:

Lösung:

(2)

gegeben:

Lösung:

s t E IR

Man bestimme eine Parametergleichung einer Ebene E aus dem Punkt A und den beiden Richtungsvektoren Tl und v.

A-(4;-2;3) �- C�} V'- CD E 7- (-D +S· CD +t

· (j) Gegeben ist die EbeneEin Parameterform. Zu bestimmen seien die Koordinaten der Punkte P und Q.

P mits = -1 und t = 2; Q mits = _ _!und t = -3 2

P- (-D +(-l) CD +2 (=D- ( +) p = (7· -24· 6)

Q=(-7·23;105)


3.5.1.2 Drei-Punkteform einer Ebene Eine Ebene ist durch drei Punkte eindeutig festgelegt. Um eine Ebenengleichung zu erhalten, verwendet man die Punkt-Richtungsform. Ebenso wie bei der ZweiPunkte-Form erhält man einen Richtungsvektor der Ebene, indem man die Differenz zweier Ortsvektoren �n Punkten der Ebene bildet. Sind A, 8 und C drei Punkte der Ebene und sind 71 , b und c die zugehörigen Ortsvektoren, so setzt man in die Punkt-Richtungsform den Richtungsvektor t! durch den Verbindungsvektor --4 --+ --+ -4 AB = b -a und den Richtungsvektor v durch den Verbindungsvektor --4 --+ --+ AC = c-a.

Wichtig: Die drei Punkte dürfen nicht auf einer Geraden liegen!

c i J

/ / /

/ / / /

f------''---�8 // I

\

Drei-Punkteform einer Ebene:

, / •I • / / ,, b./ ""

--+ -4 (-4b -4) (-4 -4) E:x =a+s· -a +t· c-a

Beispiele:

s t E IR

X �

Zu bestimmen istjeweils die Parametergleichung einer Ebene E aus den Punkten A, 8 und C, die nicht auf einer Geraden liegen.

(1} gegeben: A = (2· -3· 0); 8 = (0; 1·4); C=(3·-1;2)

��:::�: 7 = ( -n + s [ ( o - ( -n J + t · [ ( -D - ( -n J

E(ABC), 7= ( -D +s· CD +t· 0)


(2) gegeben: A = (1· 0; 1);

3.5.1.3 Die Koordinatengleichung

8 = (1·4·6); c = (6· -1· -9)

Die Koordinatengleichung einer Ebene ist eine Ebenengleichung, die graphisch schlecht dargestellt werden kann. Dies ist nur über die Punkt-Normalenfarm mögLich, da man die Koordinatengleichung als eine andere Darstellungsweise der Punkt-Normalenfarm auffassen kann. Allerdings spielt die Koordinatenform eine große Rolle bei Schnittproblemen und bei der Winkelberechnung, da mit ihr die

nötigen Berechnungen auf einfache Weise mit wenigen Rechenschritten ausgeführt werden können.

Koordinatenglefchung:

f: a · X1 + b · X2 + C · X3 = d mit a b c E IR und a· b c nicht alle gleichzeitig 0.

Beispiele:

(1) Zu bestimmen sei die Koordinatengleichung einer Ebene aus ihrer Parametergleichung.

gegeben:

E 7 � (D +s ( -D +t 0) Lösung: Zu lösen ist das Lineare Gleichungssystem mit:

I. x1 = 2 +s+ 2t /·2

l I

( -

3

) ] Eil (!)

II. X2 = 2- 2s + 5t

III. x3 = 1 + 3s + 7t

IV. 2x1 +x2 = 6 + 9t

l @ V: -3x1 +x3 = -5+ t I· ( -9)

29x1 +x2- 9x3 =51


Die Koordinatengleichung der Ebene Lautet somit:

E: 29xt +x2- 9x3 = 51

(2) Zu bestimmen seijeweils eine Parameterform einer Ebene E aus ihrer

Koordinatengteichung.

a) gegeben: E: 4xt - 7x2- X3 = 11

Lösung: Man löst die Koordinatengleichung nach x3 auf und erhält:

b)

X3 = -11 + 4Xt- 7X2

Nun setzt man x1 = s und x2 = t und erhält eine Parameterform der Ebene E mit:

f �= (;:) = (_t) +s G) +

I (_!)

gegeben: E: 10x1 + 5x2- x3 = 15

Lösung: Auflösen nach x2:

Sx2 = 15 - 10xt +x3

1 X2 = 3 - 2xt + - X2 5

/:5

Mitx1 = s und x3 = t ist eine Parameterform der Ebene E:

f �= GD - 0) +s ( -D +

I (0 3.5.1.4 Achsenabschnittsf:orm einer Ebene Die Achsenabschnittsform ist eine umgeformte Koordinatengleichung aus der es

möglich ist, sofort die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen abzulesen. Es sind die Punkte 51 = (a; O· 0); 52 = (0; b· 0) und 53 = (0; O· c).

Achsenabschnittsform einer Ebene:

E : Xt + x2 + x3 = 1 a b c

a· b· c E R\{0}

Beispiel: Die Koordinatengleichung soll in Achsenabschnittsform dargesteUt

werden.

gegeben: E: Xt- 2x2 + lx3 = 6

198

Lösung:


Soll eine Koordinatengleichung auf Achsenabschnittsform gebracht werden, muss die Zahl 1 zunächst aLLeine auf einer Seite der Gleichung stehen. Um die Zahl 1 als allein stehende Zahl zu erhalten,

teilt man die Gleichung durch die Zahl selbst:

E: X1 - 2x2 + 2x3 = 6 I : 6

Die gesuchte Achsenabschnittsform Lautet somit:

f:� _x; +x; = 1

Setzt man nun jeweils zwei der Koordinaten gleich 0, so erhält man die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen:

51 = (6· O· 0); 52 = (0· -3; 0); 53=(0·0·3)

3.5.1.5 Punkt-Normalenform einer Ebene

Eine Ebene ist auch durch eine Senkrechte (Normale) zur Ebene und einen Punkt in der Ebene eindeutig festgelegt. VektorieLL heißt dies, dass man einen Normalenvektor zur Ebene und einen Ortsvektor eines Punktes der Ebene kennt. Die PunktNormalenfarm hat die Eigenschaft, dass das Skalarprodukt (s. Kap. 3.2.1) zweier Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, gleich NuLL ist. Da der Normalenvektor ft senkrecht auf aqen möglichen Richtungsvektoren der Ebene steht und der Verbindungsvektor AX = -t - (/ einen Richtungsvektor der Ebene darstellt (für alle Punkte X, die in der Ebene Liegen), so ergibt sich als Skalarprodukt dieser Vektoren der Wert NuLL Durch teilweise Berechnung des Skalarprodukts kann man somit eine weitere Dar

stellungsweise dieser Ebenengleichung erhalten, die nur noch Normalenform genannt wird, da man den Punkt A der Ebene daraus nicht mehr ablesen kann.

A

'

-, I \ I

\ I ' I

0

I

I I

I I

I X

I I

X

Analytische Geometrie mit Ebenen

Punkt-Normalenfarm einer Ebene:

Normalenform einer Ebene:

Beispiele:

c E IR

199

mit: c= rt * d

(1} Bestimmt werden soll eine Punkt-Normalenfarm und Normalenform der Ebenengleichung aus dem PunktA und dem Normalenvektor rt.

gegeben:

Lösung:

a)

A=(-3·2·-1);

Punkt-Normalenfarm:

b) Normalenform:

(2}

gegeben:

Lösung:

Lx'• (-D �(-3)·1+2·{-2)+{-1)·3

E x'. ( -D = -10

Zu bestimmen ist die Normalenform der Ebene E aus der Koordinaten

gleichung.

E: 4Xt + 2x2 -X3 = -18

Die Normalenform ergibt sich zu:

E=x'· CD =-18

200

(3)

gegeben:

Lösung:

aus

mit

und


Aus der Parametergleichung der Ebene E soll ihre Punkt-Normalenform und ihre Normalenform bestimmt werden.

Alternativ zu dem hier beschriebenen Lösungsweg wäre es auch möglich, die Parameterform erst in die Koordinatengleichung und dann

in die Normalenform umzuformen.

Da man einen Punkt, bzw. seinen Ortsvektor aus der Parameterform der Ebenengleichung ablesen kann, benötigt man nun noch den Normalenvektor der Ebene. Um diesen zu berechnen, verwendet man die Eigenschaft, dass cler Normalenvektor senkrecht auf den beiden Rich

tungsvektoren der Ebene steht und somit das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und einen Richtungsvektor gleich Null sein muss.

ergibt sich ein Punkt der Ebene mit: A = {2· - 1 ; 1)

Zu lösen ist nun das lineare Gleichungssystem:

I. -2n1 + 2n2 + 3n3 = 0 / · (2) II. 4n1 + n2 - n3 = 0

III. /:5

(I.)

(II.)


Somit:

Da es sich hierbei um ein Gleichungssystem mit nur zwei Gleichungen, aber drei Variablen handelt, kann man die Variablen nur in Abhängigkeit voneinander ausdrücken:

n2 = -n3 Setzt man nun n2 = -n3 in I ein, erhält man:

1 I. -2n1 + 2 · (-n3) + 3n3 = 0 ::::} nt =2n3 Der Normalenvektor ergibt sich somit mit n3 = 1 zu:

Es gibt also beliebig viele gleich, bzw. entgegengesetzt gerichtete Vektoren, die Normalenvektor zur Ebene E sind. Um einen Normalenvektor der Ebene zu erhalten, kann man n3 frei wählen, beispielsweise hier mit n3 = 1.

Somit lautet die Punkt-Normalenfarm der Ebenengleichung f:

Die Normalenform der Gleichung erhält man durch teilweises Berechnen des Skalarprodukts.

E ( � 0 . X' _ [� 2 + ( -1) ( -1) + 1 . 1] � 0

3.5.1.6 Hesse-Normalenfarm einer Ebene

Bei der Hesse-Normalenfarm einer Ebene handelt es sich um einen Spezialfall der Punkt-Normalenform. Ihr Normalenvektor besitzt die Länge 1 und zeigt, angetragen im Ursprung, vom Ursprung in Richtung Ebene. Die Besonderheit der Hesse

Normalenfarm besteht darin, dass der Ortsvektor 7 eines Punktes X, der nicht in

der Ebene liegt, eingesetzt in das Skalarprodukt 7 * (X - 71) nicht mehr den

Wert Null ergibt, sondern eine Zahl, deren Betrag den Abstand des Punktes X zur Ebene angibt.


Um die Hesse-Normalenfarm einer Ebene zu verstehen, muss die geometrische Deutung des Skalarpro�kts bekannt sein. Das Skalarprodukt (s. a. Kap. 3.2.1) zweier Vektoren 7! und b ist wie folgt definiert:

�

Skalarprodukt zwefer Vektoren a und b :

d * b = 17/l·lbl· COSO! �

�

a ist der von a und b eingeschlossene Winkel.

Geometrisch kann man das Skalarprodukt als Produkt zweier gerichteter Längen deuten, als ein Produkt aus der Länge von 7! und der Länge der senkrechten Projektion von b auf 7!.

�r Au�uck llfl· cos a entspricht in diesem FaLL der senkrechten Projektion von b auf a.

b ·c.osa

Für 0 < a < 90° und 270° < a < 360° hat die Länge der senkrechten Projektion ein positives Vorzeichen, für 90° < a < 270° ein negatives Vorzeichen.

Bildet man das Skalarprodukt von Tt mit 7- 7!, wobei der zum Ortsvektor 7 gehörige Punkt X nicht auf der Ebene liegt, so multipliziert man die Länge der senkrechten Projektion des AX = 7 - 7! auf Tt mit der Länge de.s Normalenvektors. Ist die Länge des Normalenvektors 1, so ist das Ergebnis des Skalarprodukts der Abstand des Punktes X zur Ebene. Hat dieser Abstand ein positives Vorzeichen, so Liegen X und der Ursprung 0 auf verschiedenen Seiten der Ebene, ist das Vorzeichen negativ, so liegt X auf derselben Seite der Ebene wie der Ursprung 0. Der Abstand des Punktes X zur Ebene ist gleich dem Betrag des Abstandes!


I

�I -------------- X --x-a

A

\

I

\

\

I

\ I -\ I a '

I I 1 \ I

\

0

Hesse-Normalenform einer Ebene:

:0 (---+ -) n * x -a =O

oder

:0 -n *X -c=O

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I X

mit jJ j = 1

mitc > 0

203

Beispiel: Oie Normalenform der Ebenengleichung Eist in der Hesse-Normalen

form darzustellen.

gegeben: E: ( -D * X' -6 � 0

Lösung: Teilt man einen Normalenvektor durch seine Länge, so erhält man ei

nen Normaleneinheitsvektor. Für die Länge des Normalenvektors gilt:

Pi'l

� ( -D � ..; I' + ( -2)' + 2' � ../9 � J

Teilt man nun die Normalenform der Ebenengleichung durch 3, so erhält man die Hesse-Normalenfarm mit:

f+ ( -D . X'_ 2 � o


Wichtig: Steht vor der Zahl (hier: 2) kein negatives Vorzeichen, muss die Gleichung noch durch ( -1) dividiert werden, um die Hesse-Normalenform zu erhalten.

3.5.2 Abstand eines Punktes von einer Ebene

Den Abstand eines Punktes zu einer Ebene bezeichnet man mit d(P· E). IPOI ist � der Abstand des Punktes P von der Ebene E. Dabei liegt Q in der Ebene E und PQ ist orthogonal zur Ebene E.

Abstand Punkt- Ebene:

oder

E: x - a * n = 0 (� �) �

' a '

I I

0

I I

I I

I I

l�,_ lrt*-p - dl PQ - lftl �

IPOI= (� �) n

p - a * lltl

p

I I

d (E; P) .. d (0; P)

Beispiel: Bestimmt werden soll der Abstand des Punktes P = (2· 3; 8)

zu der Ebene f: X'* ( ::D + 3 � 0


Lösung:

d(P·E) =

- 1(1. 2 + ( -1). 3 + ( -2). 8) + 31 -V12 + (-1Y + (-2)2

_ l - 141 _ 14 - ../6 - ../6

d(P· E) � 5 72

3.5.3 Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

205

F.. . G d --+ --+ --+ d . Eb E --+ --+b --+ t --+ ur eme era e 9: x = a + r · u un eme ene : x = + s · v + · w

gibt es folgende Lagemöglichkeiten:

91 liegt in der Ebene E 92 durchstößt die Ebene E im Punkt D

93 verläuft parallel zu Ebene E

--+ Dann besitzt die Gleichung d + r · 11 = b + s · V + t · W mit den Variablen r, s und t unendlich viele Lösungen genau eine Lösung {r, s, t) keine Lösung

(r, s, t)


Berechnung des Schnittwinkels a zwischen Gerade g und Ebene E:

Der Schnittwinkel (}:zwischen der Geraden g: K = 71 + r ·Ti und der Ebene --+ --+ --+ --+ --+ --+ E: x = b + s · v + t · w = b * n = d wird berechnet durch:

. 111 * ftl sm(}; =

I "ffl · lrtl

Beispiele:

(1) Gesucht ist der Durchstoßpunkt D der Geraden g durch die Ebene E.

gegeben: g Y � ( -!) +r ( -o

und E 7 � 0) + s

- n) + t ( -n Lösung: Zu Lösen ist ein Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei

Gleichungen: I. 4 - 2r = 5 + 2s -t II. -1+ r = 5 + 3s+ 2t III. 2+ r = 3 + s + 2t durch Umformen erhält man: I: rr:

rrr:

IV.

V.

teingesetzt in V, V.

-2r- 2s + t = 1 r-3s- 2t = 6 r- s- 2t = 1

-8s-3t=-11 - 4s- 5t = 3

7t = 7

-4s- 5 · 1 = 3 t undseingesetzt in l':

r: -2r - 2 · ( -2) + 1 = 1

l ] $

El1 I· (2) I· (2)

I < -2) l El1

t'"' 1

t= -2

Zur Ermittlung des Durchstoßpunktes 0 setzt man entweder r in die Geradengleichung g oder s undtin die Ebenengleichung E ein.


reingesetzt in g ergibt:

Oie Koordinaten des Durchstoßpunktes 0 ergeben sich somit zu 0 = (0·1;4).

207

(2) Zu bestimmen sei der Schnittwinkel, unter dem sich die Gerade g und die Ebene E schneiden.

gegeben' g 7 = ( 1�) + r CD

und E 7= 0) +s 0) +t· (0 Lösung: Zuerst muss ein Normalenvektor ri der Ebene E bestimmt werden:

und

Durch lösen des linearen Gleichungssystems erhält man:

I. 2n1 + Sn2 + n3 = 0

li. 3n1 +

2n2 + 4n3 = 0

III. -11n2 +

5n3 = 0

11 . I n3 = sn21n :

I. 2n1 +

Sn2 + 11 n2 = 0 5 2nt

+ 36 n2 = 0 5

setzt man nun n2 = 1 erhält man:

/·(-3) ] al /·2

=} 11 n3 = 5

n2


zur Vereinfachung multipliziert man den Normalenvektor mit 5 und erhält schLießlieh:

"= c:n

Der Schnittwinkel zwischen der Geraden g und der EbenenEergibt sich nun mit:

5incr. =

5ina = 11· {-18) + 2 · 5 + {-2) ·111 = l-301 � 0 46

.J12 + 22 + c-2/ . .Jc-18)2 +52+ 112 ../9 · .,ß7ö Somit erhält man cx � 27 5°.

3.5.4 Lagebeziehungen von zwei Ebenen Für zwei verschiedene Ebenen E1: 7 = (/ + q · ü"; + r

· V{ und

E2: 7 = b + 5 · "ü1 + t · Vi gibt es folgende Lagemöglichkeiten:

0

Die Ebenen E1 und E2 schneiden sich in der Die Ebenen E1 und E2 liegen parallel zuei-Geraden g nander

Dann besitzt die Gleichung: 71 + q · !h + r · V.: = b + 5 · u; + t · V2 unendlich viele Lösungen (q, r 5 t) keine Lösung wobei q von rund 5 von t abhängt.

Für zwei identische Ebenen E1 und E2 besitzt die Gleichung: 71 + q · U: + r. "V;= b + 5 · ü; + t. "V; unendlich viele Lösungen (q, r 5 t)


Abstand zwei er zueinander paralleler Geraden:

Der Abstandzweier zueinander paralleler Geraden

E1 = (7 - lt) * f1; = 0 und f2 = (7 - b) * ii"; = 0

berechnet man mit:

�- --+ I Iet * n; _

d21 b * n1 - dt d(Et· f2) = d(A- f2) = d(B· ft) =

--+ = -

Winkeln zwischen zwei Ebenen

Den Winkel zwischen zwei Ebenen

ft = (7 - lt) * ni = 0

errechnet sich mit:

lni * n;l cos a

= 1--+1 1--+1 nt . n2

Beispiele:

und

ln2l lntl

209

(1) Berechnet werden soUdie Schnittgerade zwischen den beiden Ebenen f1 und f2.

gegeben:

Lösung: Zu lösen ist ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Unbekannten. Es muss somit eine Unbekannte in Abhängigkeit einer anderen Unbekannten dargestellt werden.

I. 2+ q+ r=-1+7s+3t

1!. -3- 2q + 2r = 4- 3s- 4t

III. 0 - 2q + 2r = -1 + 5s + 4t


Durch Umformen erhält man:

r: q+ r- 7s- 3t = -3 /·2 l 9

I 2 ] 9

rr: -2q+ 2r+ 3s+ 4t = 7 rn: -2q + 2r- 5s- 4t = -1 IV: 4r- 11s- 2t = 1 /-(

-1) l 9 V. 4r- 19s- 10t = -7

VI. - 85- 8t = -8 ::} s = 1-t

Durch Einsetzen von s = 1 - t in E2 erhält man die Schnittgerade g mit:

Schnittgerade g der Ebenen E1 und E2•

(2) Zu berechnen sei der Abstand der zueinander parallelen Ebenen ft und E2•

gegeben: E1 [7- G)] • CD; 0

und E2 [ 7 - (_DJ * ( =D ; 0

Lösung: oa ( =D ; <-2) ( -n sind die Ebenen parallel zueinander.


Der Abstand berechnet sich mit d1 = (1 · ( -1) + 4 · 2 + 7 · 1) = 14

und

zu:

d(ft E,) = p: · ::-dt CD· ro - 14

= 1-111 ", 4 49 ln1l \/(-1)2 + 22 + 12 ../6

Ebenso hätte man mitd2 = (3. 2 + 4. ( -4) + ( -2) . ( -2) = -6

. _ 1c1 * 17! - d2l d(E1 E2) - lfi!l den Abstand der beiden Ebenen zueinander berechnen können.

(3) Man bestimme den Winkel cx zwischen den beiden Ebenen E1 und E2•

gegeben: ft [�- CDJ • ( J) =

0

und f2 [ �- C DJ • UD =

0

Lösung: Der Schnittwinkel der beiden Ebenen E1 und E2 berechnet sich mit:

und somit cx � 18 9°

CD · UD = l85l �o 946

CD · un Jjö.vug

212 Lineare Algebra/ Ana lytische Geometrie

3.6 Analytische Geometrie mit Kreisen und Kugeln

3.6.1 Gleichungen von Kreisen und Kugeln

Auf einem Kreis (im 2-dimensionalen Raum) bzw. auf einer Kugel (im 3-dimensionalen Raum) liegen alle Punkte, die von einem Punkt dieselbe Entfernung besitzen. Durch Angabe des MittelpunktesMund des Radiusrist somit der Kreis bzw. die Kugel eindeutig festgelegt. Zur Herleitung wird die Eigenschaft verwendet, dass jeder beliebige Kreis- oder Kugelpunkt X vom Mittelpunkt M die Entfernung r besitzt. Da die Entfernung des Mittelpunktes M vom Punkt X gerade die Länge des Verbindungsvektors ist, quadriert man diese Gleichung und erhält so die Kreis- bzw. Kugelgleichung:

0

Kreis-jKugelgleichung:

1-:t- ml = J<x- m)2 = r

3.6.1.1 Gleichungen von Kreisen

Ein Kreis K mit dem Mittelpunkt M (m1;m2) und dem Radius r kann durch eine Koordinatengleichung oder durch eine Vektorgleichung beschrieben werden.

Koordinatengleichung eines Kreises:

(x1 - m1)2 + (x2 - m2)2 = r2

Analytische Geometrie mit Kreisen und Kugeln

Vektorgleichung eines Kreises:

( x - ( ::) ) * ( x+ - ( ::) ) = f2 oder

Beispiele:

y

(2. Achse)

0 M

213

x (1. Achse)

(1) Gegeben sind derRadiusrund derMittelpunktMeines Kreises. Zu bestimmen sei die Koordinatengleichung und die Vektorgleichung des Kreises.

Gegeben: r = 2; M = (-4,5· 2)

Lösung:

Koordinatengleichung:

Vektorgleichung:

(2) Man bestimme den MittelpunktMund den Radiusraus der gegebenen Gleichung:

Gegeben: a) ( x- ( _i)) 2 = 17

b) � - 6x1 + x22 + 8x2 = 50


Lösung zu a):

Mittelpunkt M = (5· -1) Radius r = .Jfi � 4 123

Lösung zu b):

Oie Gleichung x12 - 6x1 + x/ + 8x2 = 50 muss durch quadratische Ergänzung (s. Kap. 2.1.3.5} auf die Form

(xt - mt)2 +(x2 - m2)2 = r2 gebracht werden:

(x12- 6x1 + 9) +(x22 + 8x + 16) =50+ 9 + 16

somit: (xt - 3)2 + (x2 + 4/ = 75

man erhält nun:

MittelpunktM = (3; - 4) Radius r = Ji5 � 8 66

3.6.1.2 Gleichungen von Kugeln

Eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M (m1· m2· m3) und dem Radius r kann durch eine Vektorgleichung oder durch eine Koordinatengleichung beschrieben werden.

Koordinatengleichung einer Kugel:

Vektorgleichung einer Kugel:

Beispiele:

(1) Gegeben sind derRadiusrund derMittelpunktMeiner KugeL Man stelle die Koordinatengleichung und die Vektorgleichung auf.

Gegeben: r = 1; M=(-11,-1)

Lösung:

Koordinatengleichung: (x1 + 1f + (x2- 1)2 + (x3 + 1)2 = 1

Vektorgleichung:

Analytische Geometrie mit Kreisen und Kugeln 215

(2) Zu bestimmen sind der Radius r und derMittelpunktMaus der gegebenen Kugelgleichung.

Gegeben: a) ( x+- ( n ) ' = 11

Lösung:

Lösung:

somit:

Radius r = Jll Mittelpunkt M = ( 4· 2; 0)

Die Gleichung x12 + 4x1 + x22 - 4x2 + x32 = 8 muss durch quadratische Ergänzung (s. Kap. 2.1.3.5) auf die Form

(xt - mt)2 + (x2 - m2)2 + (x3 - m3)2 = r2 gebracht werden:

(xt + 4xt + 4) + (x2 - 4x2 + 4) + x/ = 8 + 4 + 4

(xt + 2)2 + (x2- 2)2 +x32 = 16

man erhält nun:

Mittelpunkt M = ( -2· 2· 0) Radius r = Ji6 = 4

3.6.2 Lagebeziehungen von Geraden und Krejsen

Um die Schnittmenge zwischen einer Geraden und einem Kreis zu bestimmen, setzt man die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein. Es gibt drei Lösungsmöglichkeiten: Die Gerade g1 hat genau einen Schnittpunkt {Berührpunkt) mit dem Kreis und ist somit Tangente im Punkt P11 die Gerade g2 schneidet den Kreis in den Punkten P2 und P3 und ist Sekante oder die Gerade g3 schneidet den Kreis nicht und ist somit Passante.

)' g. (2. Adlse)

x (1. Achse)


Beispiel: Gegeben seien die Gleichungen eines Kreises und von drei Geraden. Zu bestimmen seien die Schnittpunkte bzw. man beschreibe die gegenseitige Lage von Kreis und Gerade.

Gegeben: Kreis: k: ( "1- ( -�)) 2 = 25

Geraden: 91 : ( =�) + r · ( �) 92: ( =�) + r · ( �)

93 : ( -�) + r · ( �) a) Schnittpunkt von k mit91:

( ( =�) + r · ( �) - ( _i)) 2 = 25 =} ( -�, Y = 25

25 + 4r2 = 25

P=(-3·-1}

=} r = 0

Die Gerade 91 hat genau einen Schnittpunkt mit dem Kreiskund ist somit Tangente im Punkt P.

b) Schnittpunkt von k mit92:

5r2- 8r- 9 = 0 /:5

Anwenden der pfq-Formel:

'tf' � � ± J w 2 + �

r1 � 0 76

=} � - 8r + 16 + 4r2 = 25

Durch Einsetzen in die Geradengleichung 92 : ( =�) + r. ( �) erhält man die

beiden Schnittpunkte P1 = ( -2,76; -2,52) und P2 = (0 36; 3 72).

Die Gerade 92 schneidet den Kreiskin den Punkten P1 und P2 und ist somit Sekante.

Analytische Geometrie mit Kt�sen und Kugeln

c) Schnittpunkt von k mit g3:

( ( -�) +r· (�)- ( -�)) 2 = 25 => (��Y= 25

(3r- 6)2 + (3r + 2)2 = 25

=> 9r2 - 36r + 36 + 9? + 12r + 4 = 25

18r2 - 24r + 15 = 0 / : 18 => ? - � r + � = 0 3 6

Einsetzen in die Lösungsformel ergibt L = {}.

Oie Gerade g3 schneidet den Kreis k nicht und ist somit Passante.

Tangentengleichung:

217

Ist auf einem Kreis mit dem MittelpunktMein Punkt P gegeben, so gilt für die Gleichung der Tangente an den Kreis durch P:

-- --+ -+ ( OM - O P ) * ( x - OP ) = 0

Beispiel: Gegeben sei ein Kreis mit dem Mittelpunkt M = ( -2; 2) und der Punkt P = (2; 5) auf dem Kreis. Zu bestimmen sei die Gleichung der Tangente an den Kreis im Punkt P.

Lösung: ( -2 - 2) :e< (X1 - 2) = O 2- 5 X2- 5 =}

-4x1 + 8- 3x2 + 15 = 0

( =�) * ( ;� = �) = 0

-4x1 - 3x2 + 23 = 0

Man erhält somit die Tangentengleichung:

3. 6.3 Schnittpunktezweier Kreise

Zur Bestimmung möglicher Schnittpunkte zweier Kreise K1 und K2, muss das Gleichungssystem untersucht werden, welches man aus den beiden Kreisgleichungen bilden kann.

Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems ergibt die Schnittpunkte der Kreise miteinander. Hierbei gibt es drei Möglichkeiten:


Möglichkeit 1:

Das Gleichungssystem hat zwei Lösungen. Die Kreise schneiden sich also in zwei Punkten:

Möglichkeit II:

Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Die Kreise berühren sich in einem Punkt.

Möglichkeit 3:

Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Die Kreise schneiden sich nicht.

Beispiel: Gegeben sind zwei Kreise K1 und K2 mit den Radien r1 und r2 und ihren Mittelpunkten M1 und M2• Man bestimme gegebenenfalls die Schnittpunkte der beiden Kreise.

gegeben:

Lösung:

M1=(1·2)

M2 = (1·10)

fl = 5

f2 = 2

Aufstellen der Koordinatengleichungen:

I. {x1 - 1)2

+ (x2 - 2)2

= 25

li. (x1 - 1)2

+ (x2 - 10)2 = 4

Analytische Geometrie mit Kreisen und Kugeln

Durch Ausmultiplizieren erhält man:

I. x12 -2x1 + 1 + x/ - 4x2 + 4 = 25

x12-2x1 + x/ 4x2- 20 = 0

II. x12-2x1+1 +x/-20x2+100=4

x/ -20x2 + 97 = 0

Subtrahiert man nun Gleichung II von Gleichung I ergibt sich:

III. 16x2 = 117 X2 = 117 = 7 3125 16

Nun setzt man x2 in Gleichung I (alternativ Gleichung II) ein:

!. X12-2x1 + (713125)2-7 3125-20 = 0

X12 -2x1 + 26 1602 = 0

Durch Anwenden der Lösungsformel erhält man:

X11f12 = 1+J-251602

keine Lösung, da eine negative Zahl unter der Wurzel steht.

219

Die beiden Kreise haben somit keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

3.6.4 Lagebeziehungen von Geraden und Kugeln

Ebenso wie beim Kreis kann man die Schnittmenge zwischen einer Geraden und einer Kugel bestimmen, indem man die Geradengleichung in die Kugelgleichung einsetzt. Auch hier gibt es drei Lösungsmöglichkeiten: Man erhält zwei, einen oder keinen Schnittpunkt.

Beispiel: Gegeben sind die Gleichungen einer Kugel sowie von drei Geraden. Man bestimme die Schnittpunkte, bzw. beschreibe die gegenseitige Lage von Kugel und Geraden.

Gegeben: Kugel: K (X' - ( D ) ' � 25

Geraden:

� CD +r CD �· 0) +, (-D


a) Schnittpunkt von K mit91:

(CD +r CD- (D )'=25

( =� � �') 2 = 25

-8-r (-4+r)2+(-1+ 4)2 +(-8-r)2 = 25 18r2 + 56 = 0 / : 18

I= _56 18 keine Lösung

Die Gerade 91 schneidet die Kugel K nicht und ist Passante.

b) Schnittpunkt von K mit92:

( (D +r· ( -D _ (D )'

=25

(-�- r) 2

=25 -3 + 3r

25 + ( 1-r)2 + ( -3 + 3r)2 = 25 10/ - 20r + 10 = 0 I : 10

1- 2r+ 1 = 0 (r -1)2 = 0 I J

r=1 Durch Einsetzen von r = 1 in die Geradengleichung 92:

erhält man den Schnittpunkt P( 1; 1· 6).

Analytische Geometrie mit Kt�sen und Kugeln 221

Die Gerade g2 hat genau einen Berührpunkt mit derKugelKund ist somit Tangente im Punkt P.

c) Schnittpunkt von K mit g3:

(CD +r G)- (D )'

=25

( -3 + r

)

2 -1 =25 -7 + 5r

(-3 +r)2 + 1 + (-7 + 5r)2 =

25 26r2 - 76r + 34 = 0 / : 26

,2 _ 38 r + 17 = 0 13 13

Durch Anwenden der Lösungsformel erhält man:

't/2 = �; ± / G;) 2 - g => '112 = �; ± �

Setzt man r1 und r2 in die Geradengleichung g3:

CD +r G)

ein, so erhält man die beiden Schnittpunkte

s = (58 - 2 . !35· 0· 82 - 10 . !35) 1 13 13 13 13

und 52= (i� +

123 · /35· O· �� + i� · /35).

3. 6.5 Lagebeziehungen von Ebenen und Kugeln

Bei den Lagebeziehungen zwischen Kugeln und Ebenen gibt es wiederum drei MögLichkeiten: Die Ebene schneidet eine Kugel, man erhält einen Schnitt.kreis; die Ebene berührt

die Kugel, man erhält eine Tangentialebene oder die Ebene berührt bzw. schneidet die Kugel nicht.

2 2 2 Lineare Algebra/ Ana lytische Geometrie

Beispiel: Man berechne den Schnittkreis zwischen der Ebene E und der Kugel K, falls ein solcher existiert:

Gegeben: f: ( J) • 7 = 25

K (7- (D )'=64 Lösung: Zuerst berechnet man den Abstand des Kugelmittelpunktes zu der

Ebene. d(M;E)= 1�1-lrt *DM- dl mit: lf = ( j} d = 25

oM = ( D

d(M E)=� CD* G)-25 = � ·12. 2 + 2 ·1 + (-1). 2-251 = 7

Somit ist der Abstand des Kugelmittelpunktes zu der Ebene kleiner als der Kugelradius und es existiert ein Schnittkreis.

Nun berechnet man den Radius r des Schnittkreises mithilfe des Sat

zes von Pythagoras:

r2 = 82 - 72 :::} ,2 = 15 r = v'i5 � 3 87

Analytische Geometrie mit Kt�sen und Kugeln 223

Als letzter Schritt muss noch der Mittelpunkt Q des Schnittkreises berechnet werden.

Der Mittelpunkt Q ist der Schnittpunkt der Senkrechten zu E durch den Kugelmittelpunkt M mit der Ebene E.

Durch Einsetzen in die Ebenengleichung erhält man: ( 2) (2 + 2r) 2 * 1 + 2r = 25 -1 2 -r

( 4 + 4r) + ( 2 + 4r) + (-2 + r) = 2 5 => r = � Setzt man nun rin 00 =

( D + r ·

( -D ein, so erhält man

den Mittelpunkt des Schnittkreises mit Q = ( 23°; 1; ; -�).

Tangentialebene:

Sind eine Kugel mit dem MittelpunktMund ein Punkt auf der Kugeloberfläche

gegeben, so gilt für die Gleichung der Tangentialebene an die Kugel im Punkt P:

� � � � ( OM - OP) * ( x - OP ) = 0

Beispiel: Zu bestimmen sei die Gleichung der Tangentialebene im Punkt P für

die Kugel mit d,em Mittelpunkt M:

Gegeben: M= (2· 0;-1) p = (2; 1· 0)

Lösung: ( 2-2) (x1-2) ( 0 ) (x1-2)

0 - 1 * X2 - 1 = 0 ::} -1 *' X2 - 1 = 0 -1 - 0 X3 - 0 -1 X3 -0

-x2 - x3 + 1 = 0

Man erhält somit die Tangentialebene mit:

Stichwortverzeichnis

A

Ableitungen 61 f., 73, 88, 91, 95, 99, 102, 104,106

Ableitungsfunktionen 63 Ableitungsregeln 63 Abstand 146 -, paralleler Geraden 209 - Punkt- Ebene 204 - Punkt- Gerade 185 -, windschiefer Geraden 190 ff. Achsenabschnittsform 180, 197 Achsensymmetrie 87,94 Additionsverfahren 165 Ankathete 11 Asymptoten 69, 85, 99 -, horizontale 70, 93 -, schiefe 70, 93 -, vertikale 69, 93

8

Betrag 146 Binomische Formeln 5 Brüche, addieren 2 -, dividieren 3 -, erweitern 2 -, kürzen 2 -, multiplizieren 3 -, subtrahieren 2 Bruchzahlen 2

c

Cramer'sche Regel 178

D

Definitionslücken 67 Definitionsbereich 66 Definitionslücken 66 -, stetig hebbare 66 Determinanten 175 -, dreireihige 176 Differenzialgleichung 1. Ordnung, Lineare

113 ff. - n-ter Ordnung, lineare 116 Differenzialrechnung 54 ff. Differenzierbarkeit 61 Distributivgesetz 158 Dodekaeder 28 Dreieck, allgemeines, Flächenberechnung 21 -, gleichschenkliges 13 -, rechtwinkliges 6 ff., 11 f. -, -, Rächenberechnung 21 Dreiecksberechnung 14 ff. Drei-Punkteform 195 Dreisatzrechnung 3 Durchstoßpunkt 206

E Ebene, Achsenabschnittsform 197 -, Drei-Punkteform 195 -, Hesse-Normalenfarm 201 -, Koordinatengleichung 196 -, Normalenform 199 -, parameterforme 193 -, Punkt-Normalenfarm 198 f. Ebenengleichung 193 Einheitskreis 146 Einsetzungsverfahren 161 Euler'sche Darstellung 149 Euler'sche Formel 145 ff. Exponentialfunktionen 52, 98 ff. -, Eigenschaften 53 Extrempunkte 88, 91, 97, 100, 102 -, notwendige Bedingung 77 -, relative 79 Extremwertprobleme 107 ff.

F

Faktorisieren 51 Rächenberechnungen 19 ff., 125 ff. Rächeninhalt 1 - zwischen zwei Kurven 130 Rächeninhaltsfunktion 120 f. Rächensätze 6 ff. Funktion 84 -, Achsensymmetrie 87, 94 -, ganzrationale 84, 87 -, gebrochenrationale 84 f., 93 -, Hochpunkt 85 -, lineare 124 -, Punktsymmetrie 87, 94 -, Tiefpunkt 85 -, trigonometrische 102 -, Wendepunkt 85 Funktionen 32 -, höherer Ordnung 42 -, lineare 32 -, quadratische 37 ff. Funktionsgleichung 105, 107

G

Gauß-Algorithmus 167 Gegenkathete 11 Gegenvektor 151 Gerade 84 Geradengleichung 180, 189 -, Hauptform 34 -, Punktsteigungsform 34 -, Zweipunkteform 34 Gewicht 1 Gleichsetzungsverfahren 163 Gleichung, gemischtquadratische 41 - höherer Ordnung 50

225

226

-, lineare 36 Gleichungssysteme 167 -, lineare 161 ff.

- mit einer Lösung 167 - mit unendlich vielen Lösungen 170 - ohne Lösung 170 Grenzwerte 54 ff.

-, h-Methode 57 -, Termumformung 56

H Hesse-Normalenfarm 180 , 201 , 203 Hochpunkt, Funktion 85 -, hinreichende Bedingung 78 Höhensatz 9 , 21 Hypotenuse 6

I Ikosaeder 28 Integrale, uneigentliche 138 Integralfunktion 125 ff.

Integralrechnung 119 ff. Integration durch Substitution 137 - partielle 135 ff. Integrationsgrenzen 127 Integrationsintervall 127

K

Kathete6 Kathetensatz 8 , 21 Kegel26 Kegelstumpf 27 Kettenregel63, 6 5 , 124 Koeffizientenbestimmung 83, 104 Kommutativgesetz 158 komplexe Zahl141 ff. -, Division 148 -, konjugierte 147 -, Multiplikation 148 Koordinaten, kartesische 142 , 145 , 147 Koordinatengleichung 180 , 196 -, Kreis 212 -, Kugel214 Kosinus 10 f. Kosinussatz 17 ff. Kreis, Flächenberechnung 22 -, Koordinatengleichung 212 -, Vektorgleichung 213 Kreisausschnitt 22 Kreisbogen 22 Kreise, Schnittpunkt zweier 217 Kreisgleichung 212 Kreisring, Flächenberechnung 22 Kreiszylinder 24 Krümmungsverhalten 73, 80 Kugel27,214 -, Koordinatengleichung 214 -, Vektorgleichung 214

Kugelgleichung 212 Kurvendiskussion 66 ff., 87

L

Stichwortverzeichnis

Lagebeziehung von Ebenen und Kugeln 221 - von Geraden 186 - - - und Kreisen 215 - - - und Kugeln 219 - von Geraden und Ebenen 205 - von Punkten und Geraden 183 - von zwei Ebenen 208 Länge 1 Logarithmen 30 f. Logarithmengesetze 30 Logarithmusfunktionen, Eigenschaften 53

M Maßeinheiten 1 �\atrizen 171 -, Addition 172 -, �1ultiplikation 173 f. -, Vervielfachen 173 Matrizenschreibweise 171 Maximum, relatives 80 �\inimum, relatives 80 �1onotonie 76

N Näherungskurven 69 f. n-Eck, regelmäßiges, Flächenberechnung 23 Normalenform 180 , 199 Normalparabel37 NullsteUe 37 ff., 128 Nullvektor 151

0 Oktaeder 28 Orthogonalität 35 Ortsvektor 151 , 154 , 181 f., 193, 19 5

p Parallelität35 , 189 Parallelogramm, Flächenberechnung 20 Parameter 83 Parameterform 180 f., 193 Passante 21 5 Polarkoordinaten 143 ff., 147 PolsteUen 67 Polyeder, regelmäßiger 27 Polynomdivision 51 Potenzen 29 Potenzfunktion 42 , 52 - mit natürlichem Exponenten 45 - mit negativen ganzzahligen Exponenten 47 - mit ungeraden n 46 , 48 Potenzgesetze 29 Prisma 24 Produktintegration 135 ff. Produktregel63 f.

Stichwo l'tverzeich n is

Punkt-Ebene-Abstand 204 Punkt-Gerade-Abstand 185 Punkt-Normalenfarm 196, 198 f. Punkt-Richtungs-Form 180 Punkt.symmetrie 87, 94 Pyramide 25 Pyramidenstumpf 26 Pythagoras 6, 21

Q Quader 24 Quadrat, Flächenberechnung 19 Quotientenregel 63 ff.

R Rauminhalt 1 Rechteck, Flächenberechnung 19 Regel, Cramer'sche 178 - von Sarrus 177 Richtungsvektor 181 f., 192 f., 195

s Sarrus 179 f. Sarrus'sche Regel 177 Schachbretrregel 176 Schnittkreis 221 Schnittpunkt 71 ff., 88, 90, 95, 99, 187, 190 - zweierKreise 217 Schnittwinkel 35, 187 - zwischen Gerade und Ebene 206 Sekante 215 Sekantensteigung 61 Sektor 22 Sinus 10f. Sinussatz 14 ff. Skalarprodukt 157 ff., 202 -, Rechenregel 158 Stammfunktion 122 ff.

Steigung, Zwei-Punkte-Form zur Bestimmung 61

Stetigkeit 58 Strecken, länge 36 -, Mittelpunkt 36, 154 Substitution 50 Substitutionsverfahren 137 Symmetrie 87, 94, 102 Symmetrieeigenschaft 68

T Tangens 10 f. Tangente 215 Tangentengleichung 217

Tangentensteigung 62 Tangentialebene 221, 223 Tetraeder 27 Tiefpunkt 85 -, hinreichende Bedingung 79 Trapez, Flächenberechnung 20

u Unterdeterminanten 175

V Vektoren 202 -, Betrag 157 -, Addition 152 - im Raum 151 -, lineare Abhängigkeit 155 -, orthograde 160 -, parallele 160 -, Skalarprodukt 157 ff., 202 -, Subtraktion 152 -, Vervielfache 153 -, Winkel z vischen zwei 159 Vektorgleichung, Kreis 213 -, Kugel 214 Vielecke, Flächenberechnung 19 ff.

227

Viereck, allgemeines, Flächenberechnung 20 Volumen eines Drehkörpers 139

w

Wachstumsverhalten 73 Wendepunkt 85 Wendepunkte 80, 89, 91, 98, 100, 103 -, hinreichende Bedingung 81 -, notwendige Bedingung 81 Wertebereich 37, 40, 66 Winkel Z\vischen zwei Ebenen 209 Würfel 23 Wurzel, n-te 50 Wurzelfunktionen 49 Wurzeln 29

z

Zahl -1, komplexe 141 ff. -, -, Division 148 -, -, konjugierte 147 -, -, l�ultiplikation 148 Zahlenebene 141 Zeit 2 Zielfunktion 107 ff., 112 Zuordnungen, antiproportionale 4 -, proportionale 3 Zwei-Punkte-Form 180, 182

Yára Detert - Mathematik für Ahnungslose

Documents