-
Prof.Dr. Erkan zer 05.02.2009 1/2
YAPI SSTEMLERNN DORUSAL OLMAYAN ANALZ
ERK
Dorusal olmayan teoriye giri, yaplarn dorusal olmama nedenleri,
yap
sistemlerinin artan d ykler altndaki dorusal olmayan davran.
Dorusal olmayan sistemlerin saysal zm yntemleri, ardk yaklam
teknikleri, yk artm yntemleri, gme yk ve burkulma yknn bulunmas,
yerdeitirme kontroll sistem analizi.
Geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan sistemler, ikinci
mertebe teorisi, genel yntem, stabilite ve burkulma, ikinci mertebe
etkilerinin fiktif kuvvetlerle ifadesi, Yerdeitirme Yntemi ile
ikinci mertebe teorisine gre hesap, birim yerdeitirme ve ykleme
sabitlerinin hesab iin kesin ve yaklak bantlar, burkulma yklerinin
bulunmas, burkulma boylarnn hesab, Matris Yerdeitirme Yntemi ile
hesap, dzlem ve uzay ubuk sistemler.
Dorusal olmayan malzemeden yaplm kesitlerde i
kuvvet-ekildeitirme bantlarnn ve akma (krlma) koullarnn gzden
geirilmesi, elastoplastik malzemeden yaplm kesitler, betonarme
kesitler, betonarme kesitlerin davrannn idealletirilmesi, yaklak i
kuvvet-ekildeitirme bantlar, uzay ubuk elemanlarda i
kuvvet-ekildeitirme bantlar ve akma (krlma) koullar.
Malzeme bakmndan dorusal olmayan sistemlerin hesab, dorusal
olmayan ekildeitirmelerin sistem zerinde yayl olmas hali,
dorusallatrma teknikleri, yerdeitirme yntemleri ile hesap.
Plastik mafsal hipotezi, plastik mafsal teorisine gre hesap, yk
artm yntemi ile limit ykn bulunmas, limit ykn dorudan doruya
hesab.
Malzeme ve geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan
sistemlerin hesab, dorusal olmayan ekildeitirmelerin sistem zerinde
yayl olmas hali, dorusal olmayan ekildeitirmelerin plastik
kesitlerde toplanmas hali, ikinci mertebe limit ykn bulunmas,
ikinci mertebe limit ykn dorudan doruya hesab.
Dorusal olmayan statik analiz (Pushover analysis) ve ikinci
mertebe limit ykn hesab iin bir artmsal hesap yntemi ve bilgisayar
programlar.
Dorusal olmayan analiz yntemlerinin pratik uygulamalar,
performansa dayal deerlendirme (performance based evaluation),
eitli yaklamlarn (kapasite spektrum yntemi, yerdeitirme katsaylar
yntemi) gzden geirilmesi, ekildeitirme ve yerdeitirmeye bal
performans deerlendirmesinde son gelimeler.
2007 Trk Deprem Ynetmeliinin (Deprem Blgelerinde Yaplacak
Binalar Hakknda Ynetmelik) temel ilkeleri, 1998 Trk Deprem
Ynetmelii ile karlatrma, dorusal elastik yntem ve dorusal elastik
olmayan yntem ile mevcut yaplarn deprem performans ve
gvenliklerinin belirlenmesi.
Yap sistemlerinin performansa dayal tasarm (performance based
design).
Zaman tanm alannda dorusal olmayan analize (nonlinear
time-history analysis) giri.
-
Prof.Dr. Erkan zer 05.02.2009 2/2
BAARI DEERLENDRME ESASLARI Yaryl Sonu Snavna girme koulu :
Derslerin en az % 80 ine devam etmek, dev
(ve seminer) almalarnda en az % 50 orannda baar gstermek.
Yaryl Sonu baar notu : Yaryl ii snav : % 25
devler (ve seminer) : % 25
Yaryl Sonu Snav : % 50
-
Prof. Dr. Erkan zer 1/2 05.02.2009
YAPI SSTEMLERNN DORUSAL OLMAYAN ANALZ
KAYNAK LSTES
[1] McGuire, W., Gallagher, R.H., and Ziemian, R.D., Matrix
Structural Analysis,
2 nd Edition, John Wiley, 2000.
[2] Cook, R.D., Malkus, D.S., and Plesha, M.E., Concepts and
Applications of Finite Element Methods, 3 rd Edition, John Wiley,
1989.
[3] Livesley, R.K., Matrix Methods of Structural Analysis, 2 nd
Edition, Pergamon, 1975.
[4] Zienkiewicz, O.C., and Taylor, R.L., The Finite Element
Method, Vol. 2, 4 th Edition, McGraw Hill, 1991.
[5] akrolu, A., Hiperstatik Sistemlerin Hesap Metotlar, T naat
Fakltesi Matbaas, 1992.
[6] akrolu, A., zden, E., zmen, G., Yap Sistemlerinin Hesab in
Matris Metotlar ve Elektronik Hesap Makinas Programlar, Cilt 1, 2,
T naat Fakltesi Matbaas, 1992.
[7] akrolu, A., zer, E., Malzeme ve Geometri Bakmndan Lineer
Olmayan Sistemler, Cilt 1, Matbaa Teknisyenleri Basmevi, 1980.
[8] akrolu, A., zer, E., Girgin, K., Yield Conditions and Yield
Vector for Combined Biaxial Bending of Rectangular Reinforced
Concrete Sections, Uur Ersoy Symposium in Structural Engineering,
121-135, Ankara, 1-2 July 1999.
[9] zer, G., Malzeme Bakmndan Lineer Olmayan Sistemlerin Hesab
in Bir Ardk Yaklam Yntemi ve Bilgisayar Program, Y. Lisans Tezi, T
Fen Bilimleri Enstits, 2003.
[10] zer, E., Determination of Second-Order Limit Load by a
Method of Load Incremennts, Bulletin of the Technical University of
Istanbul, Vol. 40, No. 4, 815-836, 1987.
[11] rtem, E., Uzay ubuk Sistemlerde kinci Mertebe Limit Ykn
Hesab in Bir Yk Artm Yntemi, Doktora Tezi, T Fen Bilimleri Enstits,
1991.
[12] Girgin, K., Betonarme Yap Sistemlerinde kinci Mertebe Limit
Ykn ve Gme Gvenliinin Belirlenmesi in Bir Yk Artm Yntemi, Doktora
Tezi, T Fen Bilimleri Enstits, 1996.
[13] zer, E., Pala, S., Orakden, E., Girgin, K., Deprem
Blgelerindeki Mevcut Betonarme Yaplarn Deprem Gvenliklerinin
Belirlenmesi ve Rehabilitasyonu, Trkiye Deprem Vakf Teknik Rapor
TDV/TR 028-45, 1999.
[14] Applied Technology Council, Seismic Evaluation and Retrofit
of Concrete Buildings ATC 40, Vol. 1, 2, 1996.
-
Prof. Dr. Erkan zer 2/2 05.02.2009
[15] Federal Emergency Management Agency, NEHRP Guidelines for
the Seismic Rehabilitation of Buildings FEMA 273, 1997.
[16] Federal Emergency Management Agency, NEHRP Commentary on
the Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings FEMA
274, 1997.
[17] Federal Emergency Management Agency, Prestandard and
Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings FEMA 356,
2000.
[18] akrolu, A., ubuk Sistemlerin Burkulma Hesab, Teknik
Kitaplar, stanbul, 1982.
[19] American Society of Civil Engineers, Plastic Design in
Steel, A Guide and Commentary, ASCE Manual No. 41, New York,
1971.
[20] Bozorgnia, Y., and Bertero, V.V. Editors., Earthquake
Engineering from Engineering Seismology to Performance-Based
Engineering, CRC Press, 2004.
[21] Federal Emergency Management Agency, Improvement of
Nonlinear Static Seismic Analysis Procedures FEMA 440, 2004.
[22] Hodge, P.G., Plastic Analysis of Structures, McGraw-Hill,
New York, 1959.
[23] Neal, B.G., The Plastic Methods of Structural Analysis,
Chapman & Hall, London, 1956.
[24] Timoshenko, S., and Gere, J.M., Theory of Elastic
Stability, McGraw-Hill, New York, 1963.
[25] European Committee for Standardization, Design of
Structures for Earthquake Resistance - Assessment and Retrofitting
of Buildings, Eurocode 8-3, 2004.
[26] Bayndrlk ve skan Bakanl, Deprem Blgelerinde Yaplacak
Binalar Hakknda Ynetmelik, Ankara, 2007.
[27] American Society of Civil Engineers, Seismic Rehabilitation
of Existing Buildings, ASCE/SEI 41-06, 2007.
[28] Los Angeles Tall Buildings Structural Design Council, An
Alternative Procedure for Seismic Analysis and Design of Tall
Buildings Located in the Los Angeles Region, 2008.
[29] stanbul Bykehir Belediyesi mar Mdrl, stanbul Yksek Binalar
Deprem Ynetmelii, Versiyon IV, stanbul, Mays 2008.
-
Prof.Dr. Erkan zer 1/11 05.02.2009
BLM 1 DORUSAL OLMAYAN HESABA GR
Baz zel durumlarn dnda, yap sistemleri iletme ykleri altnda
genellikle dorusal davran gsterirler. Bu genellemenin dnda kalan
sistemler arasnda narin yaplar, elastik zemine oturan sistemler ile
blgesel zayflklar ve stabilite yetersizlikleri ieren yaplar
saylabilir.
Dorusal sistem davrann esas alan analiz yntemlerinde, malzemenin
gerilme- ekildeitirme bantlar dorusal-elastik olarak alnmakta ve
yerdeitirmelerin ok kk olduu varsaylmaktadr.
Buna karlk, d etkiler iletme yk snrn aarak yapnn tama gcne
yaklatka, gerilmeler dorusal-elastik snr amakta ve yerdeitirmeler
ok kk kabul edilemeyecek deerler almaktadr.
Gnmzde yap mhendisliinde genellikle uygulanmakta olan ve dorusal
teoriye gre sistem analizine dayanan tasarm yaklamlarda (gvenlik
gerilmeleri esasna gre tasarm ve tama gc yntemine gre tasarm), yap
sisteminin dorusal olmayan davran eitli ekillerde gznne alnmaya
allmaktadr. rnein, ikinci mertebe etkilerini hesaba katmak ve
burkulmaya kar gvenlik salamak amacyla, moment bytme ynteminden ve
burkulma katsaylarndan yararlanlmakta, dorusal olmayan
ekildeitirmeler nedeniyle i kuvvet dalmnn deimesi yeniden dalm
ilkesi yardm ile gznne alnmaya allmaktadr. Dier taraftan, deprem
etkilerine gre hesapta malzemenin dorusal-elastik snr tesindeki
davrann ve snekliini hesaba katmak zere, tayc sistem davran katsays
tanmlanmakta ve elastik deprem ykleri bu katsayya bal olan bir
deprem yk azaltma katsays ile blnerek kltlmektedir.
Yap malzemelerinin dorusal-elastik snr tesindeki tama
kapasitesini gznne almak, ok kk olmayan yerdeitirmelerin denge
denklemlerine ve gerekli olduu hallerde geometrik uygunluk
koullarna etkilerini hesaba katmak suretiyle, yap sistemlerinin d
etkiler altndaki davranlarnn daha yakndan izlenebilmesi ve bunun
sonucunda daha gereki ve ekonomik zmler elde edilmesi mmkn
olabilmektedir.
Dorusal olmayan sistem davrann esas alan hesap yntemlerinin
gelitirilmesinde ve uygulanmasnda genel olarak iki durum ile
karlalmaktadr. Bunlardan birincisi, yap sisteminin dorusal
olmamasna neden olan etkenlerin belirlenerek sistem davrann geree
yakn bir biimde temsil eden hesap modelinin oluturulmas, dieri ise
bu hesap modelinin analizi sonucunda elde edilen dorusal olmayan
denklem sisteminin etkin bir ekilde zlmesidir.
1.1 zmn Salamas Gereken Koullar
Bir yap sisteminin d etkiler altnda hesab (analizi) ile elde
edilen i kuvvet, ekildeitirme ve yerdeitirmelerin zm olabilmeleri
iin aadaki koulu birarada salamalar gerekmektedir.
1- Bnye denklemleri : Malzemenin cinsine ve zelliklerine bal
olan gerilme-ekildeitirme bantlarna bnye denklemleri
denilmektedir.
-
Prof.Dr. Erkan zer 2/11 05.02.2009
2- Denge koullar : Sistemi oluturan elemanlarn ve bu elemanlarn
birletii dm noktalarnn denge denklemlerinden olumaktadr.
3- Geometrik uygunluk (sreklilik) koullar : Elemanlarn ve dm
noktalarnn sreklilik denklemleri ile mesnetlerdeki geometrik
koullardr.
1.2 Yap Sistemlerinin Dorusal Olmama Nedenleri
Bir yap sisteminin d etkiler altndaki davrannn dorusal olmamas
genel olarak iki nedenden kaynaklanmaktadr.
1- Malzemenin dorusal-elastik olmamas nedeniyle
gerilme-ekildeitirme bantlarnn (bnye denklemlerinin) dorusal
olmamas.
2- Geometri deiimleri nedeniyle denge denklemlerinin (ve baz
hallerde geometrik sreklilik denklemlerinin) dorusal olmamas.
Yap sistemlerinin dorusal olmamasna neden olan etkenler ve bu
etkenleri gznne alan teoriler ekil 1.1deki tablo zerinde topluca
zetlenmitir.
Denge denklemlerinde yerdeitirmelerin kk olmad sistemlerde denge
denklemleri ekildeitirmi eksen zerinde yazlmaktadr.
Geometrik uygunluk koullarnda yerdeitirmelerin kk olmad
sistemlerde ise, geometrik sreklilik denklemlerinin de ekildeitirmi
eksen zerinde yazlmas gerekmektedir.
Dorusal Olmayan Sistemler
Dorusal Sistemler
Malzeme Bakmndan
Geometri Deiimleri Bakmndan
Her ki Bakmdan
zmn Salamas Gereken Koullar
kinci Mertebe
Teorisi
Sonlu Deplasman Teorisi
kinci Mertebe Teorisi
Sonlu Deplasman Teorisi
Bnye Denklemleri (Gerilme-
ekildeitirme Bantlar)
Dorusal-elastik
Dorusal-elastik Deil
Dorusal-elastik
Dorusal-elastik
Dorusal-elastik Deil
Dorusal-elastik Deil
Denge Denklemlerinde Yerdeitirmeler
kk kk kk Deil
kk Deil
kk Deil
kk Deil
Geometrik Uygunluk Koullarnda
Yerdeitirmeler kk kk kk
kk Deil
kk kk Deil
ekil 1.1 Yap sistemlerinin dorusal olmama nedenleri
Bir ucunun dier ucuna gre bal yerdeitirmeleri u ve v olan bir ij
ubuunun s boydeimesi
( ) ( )2 22s u v s s+ + = + (1.1)
+
+22
2
1
2
1
s
v
s
u
s
uss (1.2)
-
Prof.Dr. Erkan zer 3/11 05.02.2009
eklinde ifade edilebilir, ekil 1.2. (1.2) ifadesinde sadece
birinci terimin esas alnmas geometrik uygunluk koullarnda
yerdeitirmelerin kk olduu varsaymn ifade etmektedir. Buna karlk,
dier terimlerin de hesaba katlmas geometri deiimlerinin geometrik
uygunluk koullarna etkisi gznne alndn sonlu deplasman teorisine kar
gelmektedir.
s
s j u
v
i
sj '
ekil 1.2 (ij) ubuk elemannn bal yerdeitirmeleri
Baz yap sistemlerinde, sistemin zelliklerinden kaynaklanan
nedenlerle, geometrik uygunluk koullar salanmayabilir. Bu durumda,
sistemde geometrik sreksizlikler meydana gelir. zellikle sistemi
oluturan elemanlarn snr koullarndaki bu sreksizlikler nedeniyle,
sistemin davran dorusal olmaz. Bu tr sistemlere, geometrik
sreksizlikler bakmndan dorusal olmayan sistemler denir ve bu
sistemler malzeme bakmndan dorusal olmayan sistemler gibi
incelenebilirler. Kayc bulonlu dm noktalar ieren elik yap
sistemleri, geometrik sreksizlikler bakmndan dorusal olmayan
sistemlere bir rnek oluturmaktadr.
1.3 Yap Sistemlerinin D Ykler Altndaki Dorusal Olmayan
Davran
Dey ve yatay ykler etkisindeki bir yap sisteminin dorusal ve
dorusal olmayan teorilere gre hesab ile elde edilen yk
parametresi-yerdeitirme (P-) bantlar ekil 1.3te ematik olarak
gsterilmilerdir.
Malzemenin snrsz olarak dorusal-elastik varsayld bir yap
sisteminin, artan d ykler altnda, birinci mertebe teorisine gre
elde edilen davran ekildeki (I) dorusu ile temsil edilmektedir.
Geometri deiimlerinin denge denklemlerine etkisinin, dier bir
deyile, eksenel kuvvetlerden oluan ikinci mertebe etkilerinin
hesaba katld ikinci mertebe teorisinde ise, eksenel kuvvetin basn
veya ekme olmasna gre farkl sistem davranlar ile
karlalabilmektedir. rnein eksenel kuvvetin basn olmas halinde, (II)
erisinden grld gibi, artan d yklere daha hzla artan yerdeitirmeler
kar gelmektedir. D yklerin iddetini ifade eden yk parametresi
artarak dorusal-elastik burkulma yk ad verilen bir PB deerine eit
olunca, yerdeitirmeler artarak sonsuza eriir ve sistem burkularak
ger. Baz zel durumlarda, burkulmadan sonra, artan yerdeitirmelere
azalan yk parametresi kar gelebilir. rnein asma sistemler gibi
eksenel kuvvetin ekme olduu durumlarda ise, ekilde (IIa) ile
gsterilen P- diyagram pekleen zellik gsterir. Yanal yk etkisinde
olmayan ve bu nedenle burkulmadan nce ekildeitirmeyen sistemlerde,
yk parametresinin bir Pcr deerinde dallanma burkulmas oluur ve
ekildeki (IIb) diyagramndan grld gibi, yerdeitirmeler birden
artarak sonsuza eriir. Dallanma burkulmasna neden olan yke kritik
yk denilmektedir. Kritik yk genellikle burkulma yknden biraz byk
veya ona eittir. Dallanma burkulmas, baz hallerde burkulmadan nce
ekildeitiren sistemlerde de oluabilir, (II erisi).
-
Prof.Dr. Erkan zer 4/11 05.02.2009
ikinci mertebe, lineer-elastik (P: ekme) (IIa)
(IIb)dallanma burkulmas
birinci mertebe, lineer-elastik (I)kritik yk
burkulma yk
ikinci mertebe,lineer-elastik (P: basn) (II)
birinci mertebe limit yk
birinci mertebe, elastoplastik (III)
ikinci mertebe, elastoplastik (IV)ikinci mertebe limit yk
krlma, byk yerdeitirme,byk plastik ekildeitirmeile gme
P
dallanma burkulmas
Pcr
P
P? P1
? P2
PB
PL1
L2P
ekil 1.3 eitli teorilere gre elde edilen yk parametresi
yerdeitirme bantlar
Dorusal olmayan malzemeden yaplm sistemlerde, artan d yklerle
birlikte i kuvvetler de artarak baz kesitlerde dorusal-elastik snr
amakta ve bu kesitler dolaynda dorusal olmayan (plastik)
ekildeitirmeler meydana gelmektedir. Dorusal olmayan
ekildeitirmeler genel olarak sistem zerinde srekli olarak
yaylmaktadr. Buna karlk, kopma srasndaki toplam ekildeitirmelerin
dorusal ekildeitirmelere orannn byk olduu snek malzemeden yaplm
sistemlerde, dorusal olmayan ekildeitirmelerin plastik mafsal (veya
genel anlamda plastik kesit) ad verilen belirli kesitlerde topland,
bunun dndaki blgelerde ise sistemin dorusal-elastik davrand
varsaylabilir. Bu varsaym plastik mafsal hipotezi olarak
isimlendirilmektedir. Plastik mafsal hipotezinin esas alnd bir yap
sisteminin birinci mertebe teorisine gre hesabnda (III erisi),
oluan plastik mafsallar nedeniyle sistemin tmnn veya bir blmnn
mekanizma durumuna gelmesi tama gcnn sona erdiini ifade eder. Bu yk
birinci mertebe limit yk adn alr.
Dorusall bozan her iki etkinin birlikte gznne alnmas halinde,
yani yap sisteminin ikinci mertebe elastoplastik teoriye gre hesab
ile elde edilen P- diyagram ekilde (IV) erisi ile gsterilmitir. Bu
diyagram ilk kritik kesitte dorusal-elastik snrn almasna kadar (II)
erisini izlemekte, daha sonra oluan plastik ekildeitirmeler
nedeniyle yerdeitirmeler daha hzl olarak artmaktadr. Plastik mafsal
hipotezinin esas alnd yap sistemlerinde, d ykler artarak bir PL2
snr deerine eit olunca, meydana gelen plastik mafsallar nedeniyle
rijitlii azalan sistemin burkulma yk d yk parametresinin altna der,
dier bir deyile, P- diyagramnda artan yerdeitirmelere azalan ykler
kar gelir. Sistemin stabilite yetersizlii nedeniyle tama gcn
yitirmesine sebep olan bu yk parametresine ikinci mertebe limit yk
denilmektedir.
1P
2P
-
Prof.Dr. Erkan zer 5/11 05.02.2009
Baz hallerde, d ykler limit yke erimeden nce, meydana gelen byk
yerdeitirmeler, byk plastik ekildeitirmeler ile betonarme
sistemlerde oluan atlaklar ve krlma yapnn kullanlamaz hale
gelmesine (gmesine) neden olabilmektedir.
1.4 rnekler
Malzeme ve/veya geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan
sistemlerin d ykler altndaki davranlarn incelemek, bu sistemlerin
hesabnda esas alnacak genel kavramlar ve uygulanacak yntemleri
basit modeller zerinde gzden geirmek zere, aada baz rnekler
verilmitir.
rnek 1.1
ekil 1.4te geometrisi, snr koullar, ykleri ve k yatay yay
katsays verilen sonsuz rijit ubuun
a) = 0 (H = 0) , P : basn b) 0 , P : basn c) 0 , P : ekme
halleri iin ikinci mertebe teorisine gre hesab yaplacaktr.
L
sonsuz rijit(EI=? )
k=sabit
P
H=?P
P
A A
P
H=?P H=?P
P
A
ekil 1.4 kinci mertebe teorisine gre hesap
(a) : = 0 (H= 0) , P : basn iin zm
denge denklemi: 0= AM 0= LkP (1.3) ( ) 0= kLP (1.4) (1.4)
bantsnda, P < Kl iin = 0 P = Pcr = kL iin olmaktadr. Burada, Pcr
ykne kritik yk, bu yk altnda yerdeitirmelerin artarak sonsuz deer
alabildii kararsz denge konumuna da dallanma burkulmas ad
verilir.
H=P H=P H=P
Sonsuz rijit (EI=)
-
Prof.Dr. Erkan zer 6/11 05.02.2009
(b) : 0 (H 0) , P : basn iin zm
denge denklemi: 0= AM 0=+ LkPLP (1.5) (1.5) denklemi dier bir
ekilde, boyutsuz olarak dzenlenirse
kL
PkL
P
L =
1
(1.6)
eklini alr. (1.6) bantsnda
P = PB = kL iin L
( )
olmaktadr. Artan yatay yklerle beraber yatay yerdeitirmesinin de
artarak sonsuza gittii bu durum burkulma, burkulmaya neden olan PB
yk ise burkulma yk olarak tanmlanr.
(c) : 0 (H 0) , P : ekme iin zm
denge denklemi: 0= AM 0=+ LkPLP (1.7) (1.7) denklemi, (1.6)
bantsna benzer olarak boyutsuz formda yazlrsa
kL
PkL
P
L +=
1
(1.8)
eklini alr. Bu bantda
kL
P (P ) iin =
L
olmakta, dier bir deyile P yknn sonsuza erimesi halinde dahi
yatay yerdeitirmesi belirli bir snr deeri amamaktadr. Bu durum ekme
kuvvetinden kaynaklanan pekleme etkisini ifade etmektedir. (1.4)
(1.6) ve (1.8) denklemlerinin tanmlad boyutsuz yk parametresi -
yerdeitirme (P/kL - /L) diyagramlar ekil 1.5 zerinde birarada
gsterilmilerdir.
-
Prof.Dr. Erkan zer 7/11 05.02.2009
ikinci mertebe,lineer-elastik (1.6)(P: basin)
birinci mertebe, lineer-elastik
dallanma burkulmas(1.4)
ikinci mertebe, lineer-elastik (1.8)(P: ekme)
PkL
kL P P cr B
kL =1
1/?
? L
,
ekil 1.5 kinci mertebe teorisine ait yk parametresi yerdeitirme
bantlar
rnek 1.2
rnek 1.1 deki sistemin
a) = 0 (H = 0) b) 0 , (H 0)
halleri iin sonlu deplasman teorisine gre hesab yaplacaktr, ekil
1.6.
L
sonsuz rijit(EI=? )
k=sabit
P
H=?PP
=Lsin
A
H=?P
L
Lcos
P
=Lsin
A
L
Lcos
ekil 1.6 Sonlu deplasman teorisine gre hesap
(a) : = 0 (H= 0) iin zm
denge denklemi: 0= AM 0cos = LkP (1.9) ( ) 0cos = kLP (1.10)
1/
H=P
H=P
Sonsuz rijit (EI=)
-
Prof.Dr. Erkan zer 8/11 05.02.2009
(1.10) bantsnda, = 0 (cos = 1) iin P = Pcr = kL > 0 (cos <
1) iin P = kLcos < Pcr olmaktadr. Burada, Pcr ykne kritik yk, bu
yke kar gelen kararsz denge konumuna dallanma burkulmas ad
verilir.
(b) : 0 (H 0) iin zm
denge denklemi: 0= AM 0coscos =+ LkPLP (1.11) = Lsin olduu
gznnde tutularak, (1.11) denkleminde gerekli dzenlemeler yaplrsa,
yk parametresi yerdeitirme bants iin boyutsuz formda
gkL
P
cot1
cos
+= (1.12)
fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun ekstremum noktasnn
absisi
0=
dkL
Pd
iin 3arctan = (1.13)
olarak hesaplanr.
Saysal Uygulama :
= 0.10 iin 03 90.2410.0arctan == , sin = 0.421, cos = 0.907,
cotg = 2.154
746.0=
makskL
P
(1.10) denkleminden ve = 0.10 iin (1.12) bantsndan yararlanarak
izilen yk parametresi yerdeitirme diyagramlar ekil 1.7 de
gsterilmilerdir.
dallanma burkulmasikL
P
L=sin
a=0.10
(1.10)
sonlu deplasmanlineer-elastik (1.12)
ekil 1.7 Sonlu deplasman teorisine ait yk parametresi
yerdeitirme bantlar
=0.10
-
Prof.Dr. Erkan zer 9/11 05.02.2009
rnek 1.3
a) Birinci mertebe elastoplastik teori
ekil 1.8 de geometrisi, snr koullar, yk ve k yatay yay katsaysnn
deiimi verilen sonsuz rijit ubuun birinci mertebe elastoplastik
teoriye gre hesab yaplacaktr.
L
sonsuz rijit(EI=? )
H H
F
k
ekil 1.8 Birinci mertebe elastoplastik teoriye gre hesap
yatay denge denklemi: 0= X H F = 0 (1.14) i) s iin F = k H =
k
boyutsuz formda ifade edilirse: LkL
H = (1.15)
ii) > s iin F = ks H = ks
boyutsuz formda ifade edilirse: LkL
H s= (1.16)
(1.15) ve (1.16) bantlar ile ifade edilen boyutsuz yk
parametresi yerdeitirme diyagram ekil 1.9 da verilmitir.
kLH
L
LL
1
ekil 1.9 Birinci mertebe elastoplastik teori iin yk parametresi
yerdeitirme diyagram
Sonsuz rijit (EI=)
-
Prof.Dr. Erkan zer 10/11 05.02.2009
b) kinci mertebe elastoplastik teori
ekil 1.10 da geometrisi, snr koullar ve k yatay yay katsaysnn
deiimi verilen sonsuz rijit ubuun, dey ve yatay ykler altnda ikinci
mertebe teorisine gre elastoplastik hesab yaplacaktr.
L
sonsuz rijit(EI=? )
F
k
P
H=?P
P
H=?P
ekil 1.10 kinci mertebe elastoplastik teoriye gre hesap
denge denklemi: 0= AM 0=+ FLPLP (1.17) i) s iin F = k
( ) LkLP =+ (1.18)
boyutsuz formda dzenlenirse:
kL
PkL
P
L =
1
(1.19)
ii) > s iin F = ks
( ) LkLP s=+ (1.20)
boyutsuz formda dzenlenirse:
kL
PkL
P
LL
s
=
(1.21)
bantlar elde edilir. (1.19) ve (1.21) bantlar ile ifade edilen
yk parametresi yerdeitirme diyagram birinci mertebe elastoplastik
teoriye ait diyagram ile birlikte ekil 1.11 zerinde
gsterilmitir.
Sonsuz rijit (EI=)
H=P H=P
-
Prof.Dr. Erkan zer 11/11 05.02.2009
L
1/
kLP
LL
birinci mertebe, elastoplastik
ikinci mertebe, elastoplastik
1
ekil 1.11 Birinci ve ikinci mertebe elastoplastik teorilere ait
yk parametresi - yerdeitirme diyagramlar
-
1YAPI SSTEMLERNN LNEER OLMAYAN ANALZ 1. HAFTA
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
2007 TRK DEPREM YNETMEL
BLM 7 MEVCUT BNALARIN
DEERLENDRLMES VE GLENDRLMES
Prof. Dr. Erkan zer
stanbul Teknik niversitesi
Prof. Dr. Erkan zer 1/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
A. Mevcut Binalarn Deprem Gvenliklerinin Belirlenmesinde Esas
Alnan Temel lkeler
1998 Trk Deprem Ynetmelii, dier benzeri deprem ynetmelikleri
gibi, yeni ina edilecek binalarn depreme dayankl olarak tasarmna
ilikin kurallar iermektedir.
Buna gre, bina tayc sistemi, tasarmda kullanlmas ngrlen tayc
sistem davran katsays (R) iin gerekli olan sneklie (plastik
ekildeitirme kapasitesine) sahip olacak ve plastik ekildeitirmesi
srasnda gevrek gme olumayacak ekilde, ynetmelikteki kurallar
dorultusunda boyutlandrlr.
Prof. Dr. Erkan zer 2/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
Buna karlk, mevcut bir binann tayc sistemi kendine zel koullar
iermektedir ve bu koullar erevesinde deerlendirilmesi gerekir.
2007 Trk Deprem Ynetmeliinin 7. Blm bu gereke ile hazrlanmtr ve
mevcut bina tayc sistemlerinin deprem performans ve gvenliklerinin,
kendi zellikleri esas alnarak deerlendirilmesi amacyla oluturulan
kurallar iermektedir.
Prof. Dr. Erkan zer 3/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
B. Binalardan Bilgi Toplanmas Bilgi Dzeyleri
Mevcut binalarn tayc sistem zelliklerine ve malzeme
karakteristiklerine ilikin bilgiler
proje ve tasarm raporlarndan
binada yaplacak gzlem ve lmlerden
binadan alnacak malzeme rnekleri zerinde yaplacakdeneylerden
elde edilir.
Binalardan elde edilen bilgiler iin bilgi dzeyi ve bunlara ait
bilgi dzeyi katsaylar tanmlanmtr.
a) snrl bilgi dzeyi (bdk=0.75)b) orta bilgi dzeyi (bdk=0.90)c)
kapsaml bilgi dzeyi (bdk=1.00)
-
2Prof. Dr. Erkan zer 4/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
C. Deprem hareketleri
Mevcut binalarn deprem performans ve
gvenliklerinindeerlendirilmesinde gznne alnmak zere, farkldzeyde
deprem hareketleri tanmlanmtr. Bu deprem hareketlerinin alma
olaslklar ve dn periyotlar:
Servis depremi (50 ylda % 50 72 yl)
etkisi tasarm depreminin yars kadardr
Tasarm depremi (50 ylda % 10 475 yl)
En byk deprem (50 ylda % 2 2475 yl)
etkisi tasarm depreminin 1.50 katdr
Minimum Hasar Snr (MN) kesitte elastik tesi davrann balangcn
tanmlar.
Gvenlik Snr (GV) kesitin dayanmnn gvenli olarak salanabilecei
elastik tesi davrann st snrn tanmlar.
Gme Snr (G) kesitin gme ncesi davrannn snrn tanmlar.
Prof. Dr. Erkan zer 5/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
D. Kesit Hasar Snrlar ve Hasar Blgeleri
Minimum HasarBlgesi
BelirginHasarBlgesi
leriHasarBlgesi
GmeBlgesi
ekildeitirme
kuvvetMinimum HasarSnr(MN)
GvenlikSnr(GV)
GmeSnr(G)
Prof. Dr. Erkan zer 6/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
E. Mevcut Binalarn Deprem PerformanslarnnDeerlendirilmesinde
Uygulanan Yntemler (zet)
Dayanm bazl dorusal yntemler :
Bu yntemlerin amac, verilen bir deprem etkisialtnda, deprem yk
azaltma katsaysnn Ra = 1 deeri iin hesaplanan etkiler ile yap
elemanlarnn artk kapasiteleri arasndaki etki / kapasite
(r)oranlarnn hesaplanmas ve bu deerlerin ilgilisnr deerler ile
karlatrlmas suretiyle yapelemanlarnn kesit hasar blgelerinin
belirlenmesi ve bunlardan yararlanarak bina dzeyindeperformans
deerlendirmesinin yaplmasdr.
Prof. Dr. Erkan zer 7/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
ekildeitirme bazl dorusal olmayan yntemler :
Bu yntemlerin amac, verilen bir deprem iin, snek davrana ilikin
plastik ekildeitirme istemleri ile gevrek davrana ilikin i kuvvet
istemlerinin hesaplanmas ve bu istem byklklerinin kesitlerin
ekildeitirme ve i kuvvet kapasiteleri ilekarlatrlmas suretiyle,
kesit ve bina dzeyindeyapsal performans deerlendirmesinin
yaplmasdr.
-
3Prof. Dr. Erkan zer 8/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
F. Bina Deprem Performansnn Belirlenmesi ve
Glendirme Kararlar
Performans seviyeleri, verilen bir yap iin, verilen bir
deprem etkisi altnda ngrlen hasar miktarnn snr
durumlardr. Bu snr durumlar, binadaki tayc ve
tayc olmayan elemanlarda meydana gelebilecek
hasarn miktarna, bu hasarn can gvenlii bakmndan
bir tehlike oluturup oluturmamasna, deprem
sonrasnda binann kullanlp kullanlmamasna ve
hasarn neden olduu ekonomik kayplara bal olarak
belirlenir.
Prof. Dr. Erkan zer 9/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
Bir yap sistemini oluturan yap elemanlarnn hasar durumlarna bal
olarak, farkl bina deprem performans dzeyi tanmlanmtr :
Hemen kullanm performans dzeyi (HK) Can gvenlii Performans dzeyi
(CG) Gmenin nlenmesi performans dzeyi (G)
Yerdeitirme
DepremYk
HemenKullanm(HK)
CanGvenlii
(CG)
Gmeninnlenmesi
(G)
Prof. Dr. Erkan zer 10/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
G. ok Seviyeli Performans Hedefi
Belirli bir deprem hareketi altnda, bina iin ngrlen
yapsal performans, performans hedefi olarak tanmlanr.
Yapsal performans, bir bina tayc sistemini oluturan
elemanlarn performans seviyeleri (dzeyleri) ile
tanmlanr. Bir yap iin, birden fazla yer hareketi altnda
farkl performans hedefleri ngrlebilir. Buna ok
seviyeli performans hedefi denir. GHKTehlikeli Madde eren
BinalarToksik, parlayc ve patlayc zellikleri olan maddelerin
bulunduu ve
depoland binalar, vb.
CG
CG
% 2
CG
CG
HK
HK
% 10% 50
Dier binalarYukardaki tanmlara girmeyen dier binalar (konutlar,
iyerleri, oteller,
turistik tesisler, bina tr endstri yaplar, vb.)
HKnsanlarn ksa sreli ve youn olarak bulunduu binalarSinema,
tiyatro, konser salonlar, kltr merkezleri, spor tesisleri, vb.
nsanlarn uzun sreli ve youn olarak bulunduu binalar ve
mzelerOkullar, yatakhaneler, yurtlar, pansiyonlar, askeri klalar,
cezaevleri,
mzeler, vb
Deprem sonras hemen kullanm gereken binalarHastaneler, salk
tesisleri, itfaiye binalar, haberleme ve enerji tesisleri,
ulam istasyonlar, vilayet, kaymakamlk, belediye binalar, afet
ynetim
merkezleri, vb.
Depremin 50 ylda alma olaslBinann kullanm amac
ve tr
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
Prof. Dr. Erkan zer 11/26
-
4Prof. Dr. Erkan zer 12/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
H. Glendirmenin Temel lkeleri
Glendirme amacyla binalara eklenecek olan elemanlarn tasarm,
genel olarak, yeni inaedilecek depreme dayankl binalarn tasarm ile
ilgili esaslara gre (Blm: 3 ve 4) yaplacaktr.
Glendirilen binalarn ve elemanlarnn depremperformans ve
gvenliklerinin belirlenmesinde ise, mevcut binalar iin verilen
hesap yntemleri ve deerlendirme esaslar (Blm: 7) kullanlacaktr.
Prof. Dr. Erkan zer 13/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
J. Glendirmede zlenecek Yol
Ardk Yaklam Yntemi
TASARIM
DEERLENDRME
Prof. Dr. Erkan zer 14/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
Dayanm bazl dorusal yntemler ile glendirme
aS
dS
Sae2
Sae1
Sr2
Sr1
mevcut bina
Sae1
Sr1r =
glendirilmibina
Sae2
Sr2r =
Prof. Dr. Erkan zer 15/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
ekildeitirme bazl dorusal olmayan yntemler ile
glendirme
aS
dS
mevcut bina
glendirilmibina plastik
ekildeitirmeistemi
plastik ekildeitirmeistemi
-
5Prof. Dr. Erkan zer 16/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
K. Glendirme Trleri
Tayc sistem elemanlarnn, eleman baznda, tekil
olarak glendirilmesi ve iyiletirilmesi :
Binann kolon, kiri, perde, eleman birleim blgeleri ve dolgu
duvarlar gibi deprem yklerini karlayan elemanlarnn ve
birleimlerinin, tekil olarak dayanmve ekildeitirme kapasitelerinin
(snekliklerinin) arttrlmasna ynelik olarak uygulanan ilemlerdir. Bu
glendirmede ama, yapnn genel dayanm ve rijitlik zelliklerinden
bamsz olarak, elemandzeyindeki yetersizliklerin giderilmesi
suretiyle binann deprem performansnn ykseltilmesidir.
Prof. Dr. Erkan zer 17/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
Yap sisteminin tmnn glendirilmesi :
Deprem etkileri altnda yeterli bir dayanmkapasitesine sahip
olmayan veya ekildeitirmeleri ve yerdeitirmeleri ngrlen performans
dzeyiiin verilen snr deerleri aan yap sistemleri iin tmsel
glendirme nlemlerinin uygulanmasgerekli olabilir. Bu amala, ok
kere, mevcut yapsistemine yeni elemanlar eklenir.
Prof. Dr. Erkan zer 18/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
L. Eleman Baznda Glendirme nlemleri
kolonlarn sarlmas
kolon kesitlerinin bytlmesi
kirilerin sarlmas
blme duvarlarnn glendirilmesi ....
Prof. Dr. Erkan zer 19/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
Kolonlarn sarlmas : Kolonlarda kesme ve basn dayanmlarnn
arttrlmas, sneklik dzeyinin ykseltilmesive bindirmeli eklerin
zayflklarnn giderilmesi iin sarglama yntemlerinden yararlanlr.
Sarglama ile kolonlarn eilme kapasiteleri arttrlamaz.
-
6Prof. Dr. Erkan zer 20/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
Kolon kesitlerinin bytlmesi : Kolonlarn eilme kapasitesinin
arttrlmas iin
kolon kesitleri bytlr. Bu ilem ile, ayn zamanda kolonlarn kesme
ve eilme kapasiteleri de arttrlabilir. Bytlen kolona eklenen boyuna
donatnn katlar arasnda sreklilii salanr.
Kolon kesitinin bytlmesi ilemi, kolonun baland dm noktalarn da
kapsamad srece, glendirme sadece kolon eilme momenti kapasitesinin
artrlmas ile snrl kalmaktadr.
Prof. Dr. Erkan zer 21/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
M diyagramSistem ve ykler
bytlmkolon kesiti
Prof. Dr. Erkan zer 22/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
M. Yap Sisteminin Tmsel Glendirilmesi
ereve dzlemi iinde betonarme perde eklenmesi
ereve dzlemine bitiik betonarme perdeeklenmesi
betonarme sisteme yeni ereveler eklenmesi
elik tayc elemanlar ile glendirme .....
Prof. Dr. Erkan zer 23/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
Yap sistemine glendirme perdeleri eklenmesi halinde uyulmas
gereken temel ilkeler
a) Glendirme perdelerinin konumlar
b) Glendirme perdelerinin says ve plandaki yerleimi
c) Perde temellerinin gereki ve ekonomik olarak tasarm
d) Betonarme perdelerin mevcut tayc sistemile btnlemesi ve
kuvvet aktarlmasnn salanmas
-
7Prof. Dr. Erkan zer 24/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
Uyulmas gereken temel esaslar (devam)
d1) Mevcut ereve kirilerini perdeye balayan dey ankraj ubuklar
kullanlmal
d2) Glendirme perdesini u kolonlarna balayan yatay ankraj
ubuklar kullanlmal
d3) Gerekli hallerde u kolonlarnn evresinde manto oluturulmal ve
gerekli ek donat bu manto betonu iine yerletirilmeli
Prof. Dr. Erkan zer 25/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
Uyulmas gereken temel esaslar (devam)
e) Glendirme perdelerinin, temelden balayarak perde st kotuna
kadar srekli olmasnn salanmas ve perde u donatlarnn perde ykseklii
boyunca srekli olmas
f) Perde temelinin glendirme perdesinden ve mevcut bina
kolonlarndan aktarlan dey ykleri ve eilme momentlerini temel
zeminine gvenle aktaracak ekilde boyutlandrlmas
Prof. Dr. Erkan zer 26/26
2007 TRK DEPREM YNETMEL - BLM 7
N. Dier Glendirme nlemleri
Betonarme sistemin ktlesinin azaltlmas
Mevcut dzensizliklerin azaltlmas veyagiderilmesi
Taban izolasyonu ve enerji snmleyiciaygtlar kullanlmas
......
-
Prof. Dr. Erkan zer 1/7 12/02/2009
BLM 2 DORUSAL OLMAYAN SSTEMLERN ZM YNTEMLER
Bir problemin zmn veren denklem takmnn katsaylar ve/veya
sabitleri problemin zmne bal ise, yani problemin bilinmeyenlerini
de ieriyorsa bu tr problemlere dorusal olmayan problemler
denir.
Bir yap sisteminin hesabnda yerdeitirme bileenlerinin
bilinmeyenler olarak seilmesi halinde, bilinmeyenleri veren denklem
takmnn matris formundaki genel ifadesi
[S] : katsaylar matrisi (sistem rijitlik matrisi) [d] :
bilinmeyenler matrisi (yerdeitirme matrisi) [p] : sabitler matrisi
(ykleme matrisi)
olmak zere
[S][d]=[p] (2.1)
eklinde yazlabilir.
Dorusal olmayan yap mekanii problemlerinde, problemin trne ve
zmde uygulanan ynteme bal olarak, [S] katsaylar matrisi ve/veya baz
hallerde [p] sabitler matrisi problemin zmn, dier bir deyile, zme
ait yerdeitirmeleri ve ekildeitirmeleri iermektedir.
rnein, geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan sistemlerin
hesabnda denge denklemlerinin ekildeitirmi eksen zerinde yazlmas
gerektiinden, genel olarak denklem takmnn katsaylar, yani [S]
matrisi bilinmeyen yerdeitirmelere baldr. Dier taraftan, geometri
deiimlerinin denge denklemlerine etkisinin fiktif d yklerle temsil
edilmesi halinde, [p] ykleme matrisinin elemanlar sistemin
yerdeitirmelerine bal olarak ifade edilmektedir.
Malzeme bakmndan dorusal olmayan sistemlerde de, bnye
denklemlerinin dorusal olmamas nedeniyle, elemanlarn etkin
rijitliklerinin ve bu rijitlikleri ieren [S] matrisinin sistemin
ekildeitirmelerine, dier bir deyile problemin bilinmeyenlere bal
olarak ifade edilmesi gerekmektedir.
Grld gibi, zellikle bilinmeyen says fazla olan yap sistemlerinin
dorusal olmayan teoriye gre hesabnda, dorusal olmayan denklem
takmnn yazlmas ve bu denklemin kapal zmnn elde edilmesi uzun
hesaplar gerektirmekte ve ok kere olanaksz olmaktadr.
Bu durumda, dorusal olmayan yap sistemlerinin etkin bir ekilde
hesab iin, her admda problemin dorusallatrlmas esasna dayanan
saysal yntemlerin gelitirilmesi ve uygulanmas uygun olmaktadr.
2.1 Dorusal Olmayan Sistemlerin Saysal zm Yntemleri
Dorusal olmayan yap sistemlerinin hesab iin uygulanan saysal
yntemler genel olarak iki blmde incelenebilirler.
1- Ardk yaklam yntemleri. 2- Yk artm yntemleri.
-
Prof. Dr. Erkan zer 2/7 12/02/2009
2.1.1 Ardk Yaklam Yntemleri
Ardk yaklam yntemleri, bir nceki admda elde edilen zme ait
byklkler iin, rnein szkonusu admda bulunan yerdeitirme ve
ekildeitirme durumu dolaylarnda, sistem davrannn dorusallatrlmas
esasna dayanmaktadrlar.
Bu yntemler, dorusallatrmada uygulanan teknie bal olarak
farkllklar gsterirler. Dorusallatrma tekniklerinin balcalar
unlardr:
a- balang kirii yntemi b- balang teeti yntemi c- teet yntemi d-
kiri yntemi
a- Balang kirii yntemi
Ardk yaklamn her admnda, dorusallatrlan sistemin yk
parametresi-yerdeitirme (P-d) bants balang noktasndan geen bir doru
olarak alnr, ekil 2.1.
P
dd1 d2 d =dn A
PA
O
1 2 nm2
1
m11
m01
ekil 2.1 Balang kirii yntemi
Balang kirii yntemi
i) geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan sistemlerde,
denge denklemlerinin bir nceki admda bulunan ekildeitirmi eksen
zerinde yazlmas,
ii) malzeme bakmndan dorusal olmayan sistemlerde ise, bir nceki
admda bulunan ekildeitirme durumu iin, bnye denkleminin balang
kiriinin kullanlmas (ekil 2.2)
suretiyle uygulanr.
Bu yntemde katsaylar matrisinin her admda yeniden hesaplanmas
gerekir. Buna karlk, denklem takmnn sabitleri ayn kalr. Yntemin
yaknsaklk hz orta dzeydedir.
-
Prof. Dr. Erkan zer 3/7 12/02/2009
i-1
M
lineerletirilmibnye denklemi
ekil 2.2 Dorusallatrlm bnye denklemi (balang kirii)
b- Balang teeti yntemi
Ardk yaklamn her admnda, dorusallatrlan sistemin yk
parametresi-yerdeitirme (P-d) bants bu erinin balang teetine
paralel olarak alnr, ekil 2.3.
P
dd1 d2 d =dn A
PA
O
1 2 n
m01
m01
m01
d '1 d '2
ekil 2.3 Balang teeti yntemi
Bu yaklam
i) geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan sistemlerde,
denge denklemlerinin ekildeitirmemi eksen zerinde yazlmasna, buna
karlk bir nceki admda bulunan zme ait ekildeitirme durumu iin elde
edilen ikinci mertebe etkilerinin hesaba katlmasna
ii) malzeme bakmndan dorusal olmayan sistemlerde ise, bir nceki
admda bulunan ekildeitirme durumu dolaylarnda, bnye denkleminin
balang teetinin kullanlmasna (ekil 2.4)
kar gelmektedir.
Balang teeti ynteminde katsaylar matrisinin her admda yeniden
hesaplanmas gerekmez. Buna karlk her admda sabitler matrisi yeniden
hesaplanr. Yntemin yaknsaklk hz genellikle dk veya orta
dzeydedir.
-
Prof. Dr. Erkan zer 4/7 12/02/2009
M
lineerletirilmibnye denklemi
==
ekil 2.4 Dorusallatrlm bnye denklemi (balang teeti)
c- Teet yntemi
Ardk yaklamn her admnda, dorusallatrlm sistemin P-d bants iin
bir nceki admda bulunan zme ait teet davran esas alnr, ekil
2.5.
Bu yaklam, malzeme bakmndan dorusal olmayan sistemlerde, bir
nceki admda bulunan ekildeitirme durumu dolaylarnda, bnye
denkleminin balang teetinin kullanlmasna kar gelmektedir.
Bu yntemde denklem takmnn katsaylar ve sabitler matrislerinin
her admda yeniden hesaplanmas gerekir. Ayrca, P-d bantsnn teetinin
belirlenmesinde pratik bakmdan baz glkler olabilir.
Teet ynteminin yaknsaklk hz ok yksektir.
P
dd1 d2 d =dn A
PA
O
1 2 n
m01
m11
ekil 2.5 Teet yntemi
d- Kiri yntemi
Ardk yaklamn her admnda, nceki iki admda bulunan zmleri
birletiren kiri denklemi, dorusallatrlm P-d bants olarak seilir,
ekil 2.6.
Bu yntem teet yntemi gibidir. Ancak teet aranmas gerekmez.
Yaknsaklk hz ok yksektir.
i-1 p
-
Prof. Dr. Erkan zer 5/7 12/02/2009
P
dd1 d3 d =dn A
PA
O
1 3 n
m01
m11
2
m01
d2
ekil 2.6 Kiri yntemi
rnek 2.1
ekil 2.7 de geometrisi, snr koullar, ykleri ve k yay katsays
verilen sistem P yk parametresi iin ikinci mertebe teorisine gre
hesaplanarak B dm noktasnn yatay yerdeitirmesi hesaplanacaktr.
L
Sonsuz rijit(EI=8 )
k=sabit
P
H=aP
A
P
H=aP
A
BB
ekil 2.7 kinci mertebe teorisine gre hesap
Sistemin analizi iin nceki blmde aklanan ardk yaklam ynteminden
yararlanlacak ve hesapta eitli dorusallatrma teknikleri
uygulanacaktr.
denge denklemi: 0= AM 0=+ LkPLP (2.2)
+
=L
kLP
(2.3)
Sonsuz rijit (EI=)
H=P H=P
-
Prof. Dr. Erkan zer 6/7 12/02/2009
Bu denklem m P = (m: bilinmeyen katsays) (2.4)
eklinde dzenlenirse, bilinmeyen katsays iin
( )L
kLmm
+== (2.5)
elde edilir. Grld gibi, bilinmeyen katsays problemin zm olan
yerdeitirmeye bal olduundan problem dorusal deildir.
Saysal Uygulama :
L = 10.00 m , k = 400 kN/m : sabit , = 0.10 , H = 0.10 P , P =
2000 kN iin yatay yerdeitirmesinin hesab istenmektedir.
Verilen saysal deerler iin (2.4) denge denkleminin bilinmeyen
katsays
( )1
4000
+== mm (2.5a)
olmaktadr.
a- Balang kirii yntemi, ekil 2.8
1. adm : = 0 (birinci mertebe teorisi)
mo = m ( = 0) = 4000 P = 2000 = 4000 50.04000
20001 == m
2. adm : 1 = 0.50 m 2667150.0
40001 =+=m 75.0
2667
20002 == m
3. adm : 2 = 0.75 m 2286175.0
40001 =+=m 875.0
2286
20003 == m
P(kN)
0.501
2000
O
1 2m2
1
m1
m0
3
0.7520.8753
1.00
1
1
ekil 2.8 Balang kirii yntemi
-
Prof. Dr. Erkan zer 7/7 12/02/2009
Dier admlara ait saysal sonular Tablo 2.1 de verilmitir.
Ardk yaklamn 10. admnda elde edilen sonucun kesin sonuca (kesin
= 1.00 m) gre bal hatas % 0.1 deerini almaktadr.
Tablo 2.1 Balang kirii ynteminin saysal sonular
Adm mi-1 i 4 2133 0.9375
5 2065 0.9688
6 2032 0.9844
7 2016 0.9922
8 2008 0.9961
9 2004 0.9980
10 2002 0.9990
-
Prof. Dr. Erkan zer 1/8 12.02.2009
2.1.2 Yk Artm Yntemleri
Dorusal olmayan bir yap sisteminin belirli bir PA yk parametresi
iin hesab yerine, yk parametresinin eitli deerleri iin hesab
yaplarak P-d bantsnn belirlenmesi istenirse, yk artm ynteminden
yararlanlabilir.
Yk artm yntemi iki farkl ekilde uygulanabilir:
a- basit yk artm yntemi b- dzeltilmi yk artm yntemi
a- Basit Yk Artm Yntemi
Bu yntemde yk parametresine kk artmlar verilerek hesap yaplr.
Her yk artmnda, bir nceki zme ait balang teeti, balang kirii, teet
veya kiri rijitlii esas alnarak sistem davran dorusallatrlr. Her yk
artmnda teet tekniinin uyguland bir basit yk artm yntemi ekil 2.9
da ematik olarak gsterilmitir.
Bu yntemin en nemli sakncas, biriken hatalar nedeniyle, elde
edilen zmn her yk artmnda gerek zmden biraz daha uzaklamasdr.
Toplam hata miktar seilen yk artmnn byklne ve her yk artmnda
uygulanan dorusallatrma tekniine bal olarak deimektedir.
P3
d2 d3d1
P2
3
2
1
m21
1m1
1m0
P1
P
m21
1m1
O
ekil 2.9 Basit yk artm yntemi
b- Dzeltilmi Yk Artm Yntemi
Yk artm ynteminde biriken hatalar azaltmak amacyla kk yk artmlar
semek yerine, her yk artmnda elde edilen zm ardk yaklam
tekniklerinden biri (balang teeti, balang kirii, teet veya kiri
teknikleri) uygulanarak gerek zme yaklatrlabilir. Bu ynteme
dzeltilmi yk artm yntemi ad verilir. rnek olarak, her
-
Prof. Dr. Erkan zer 2/8 12.02.2009
yk artmnda balang kirii tekniinin ardk olarak iki kere uyguland
bir dzeltilmi yk artm yntemi ekil 2.10 da ematik olarak
gsterilmitir.
P3
d2 d3d1
P2
3
2
1P1
P
2'
3'
1'
O
ekil 2.10 Dzeltilmi yk artm yntemi
2.2 Gme Yknn Hesab
Dorusal olmayan bir yap sisteminin tama kapasitesini ifade eden
gme ykne (limit yk veya burkulma yk) genel olarak iki ekilde
ulalmaktadr:
a- yer deitirmelerin sonsuza erimesi ( P-d bantsnn bir asimptota
sahip olmas) b- yk parametresi - yer deitirme bantsnn bir
maksimumdan gemesi
a- Uygulamada, genellikle dorusal - elastik burkulma yknn veya
birinci mertebe limit ykn hesabnda karlalan birinci duruma ait P-d
diyagram ve bu diyagrama kar gelen P- P/d bants ekil 2.11 de ematik
olarak gsterilmitir.
ekilden grld gibi
P = PL iin ve P/d = 0
olmaktadr.
Buna gre, eitli P yk parametreleri iin hesap yaplarak P - P/d
diyagram izilirse, diyagramn P eksenini kestii noktann absisi
hesaplanarak PL limit yk (veya burkulma yk) elde edilebilir.
Asimptotik yk parametresi-yerdeitirme diyagramlar iin P - P/d
bants genelde dorusala yakn olmaktadr. Bu nedenle, PL limit yk
kolaylkla hesaplanabilir.
-
Prof. Dr. Erkan zer 3/8 12.02.2009
P
d
PL
P2
1P
O d1 d2
=0dP
2
1
d
d
d
1P 2P LP
2P
PO
1P
P
ekil 2.11 Asimptotik P-d diyagram ve P - P/d bants
b- Yk parametresi - yerdeitirme diyagramnn bir maksimumdan
gemesi suretiyle sistemin tama gcne ulalmas halinde (rnein
elastoplastik burkulma yk iin), tama gc iki ekilde
hesaplanabilir.
b.1- P-d diyagramnn pozitif ve negatif eimli blgeleri zerinde
eitli noktalar elde edilebilmesi halinde, bu noktalar arasnda bir
interpolasyon ilemi uygulayarak (rnein ardk noktadan bir ikinci
derece parabol geirerek) diyagramn maksimum noktasnn ordinat, yani
sistemin tama gc hesaplanabilir, ekil 2.12. Ancak kuvvet kontrollu
olarak, yani yk parametresinin seilen deerleri iin hesap yaparak
uygulanan yntemler ile, P-d diyagramnn negatif eimli blgesi zerinde
noktalar elde edilebilmesi ok kere mmkn olamamaktadr.
b.2- Yk parametresi - yerdeitirme diyagramnn bir maksimumdan
gemesi halinde gme yknn hesab iin uygulanabilen dier bir yol yk
artm yntemidir. Bu yntemde, rnein teet tekniinin uygulanmas
halinde, herhangi bir yk artm iin negatif yerdeitirme artm elde
edilmesi P-d diyagramnn bir maksimumdan getiini ifade eder. Bu
duruma ait yk parametresi sistemin tama gcn verir, ekil 2.13.
P
P1
O d
P3
d2 d3d1
P2
dL
PL
ekil 2.12 nterpolasyon ile tama gcnn bulunmas
-
Prof. Dr. Erkan zer 4/8 12.02.2009
H=0.10P (=0.10)
P
P 1
O d
P =P3 L
d2 d3d1
P2
4'
4'3
2
1
ekil 2.13 Yk artm yntemi ile tama gcnn bulunmas
rnek 2.2
rnek 2.1 de ikinci mertebe teorisine gre hesab yaplan elastik
sistemin burkulma yk hesaplanacaktr, ekil 2.14.
L=10.0 mSonsuz rijit(EI=8 )
k=400 kN/m
P
A
ekil 2.14 Sistem ve ykler
Problemin saysal verileri iin
=mP (m: bilinmeyen katsays) (2.4)
denkleminin bilinmeyen katsays
( )1
4000
+=
+==
L
kLmm
(2.5a)
eklini almaktadr.
Sonsuz rijit (EI=)
-
Prof. Dr. Erkan zer 5/8 12.02.2009
Sistemin ematik yk parametresi - yerdeitirme diyagram ekil 2.15
te grlmektedir.
Yk parametresinin P1 = 0 ve P2 = 2000 kN deerleri iin P/
deerleri hesaplanacak ve bu deerlerden yararlanarak, dorusal
ekstrapolasyon ile, sistemin burkulma yk bulunacaktr.
P
PB
P2
1P
O1 2
1
m0
burkulma yk
ekil 2.15 ematik yk parametresi -yerdeitirme diyagram
P1 = 0 iin hesap : ( ) 400001
1 ===
mP
P2 = 2000 kN iin hesap : 00.12 = m (rnek 2.1 e baknz) 20002
2 =
P
2
2
1
1 ,
PP deerlerinden yararlanarak izilen P - P/ diyagram ekil 2.16 da
verilmitir.
ekilden grld gibi, sistemin burkulma yk dorusal ekstrapolasyon
ile PB =4000 kN olarak hesaplanmtr. Burkulma yknn kesin deeri
de
4000
limit 40001B
P
= = + kN
dur.
-
Prof. Dr. Erkan zer 6/8 12.02.2009
P
O
2000
2000
4000
4000
P
P = 4000 kNB
ekil 2.16 Burkulma yknn bulunmas
2.3 Yerdeitirme Kontrollu Sistem Analizi
Malzeme ve/veya geometri deiimleri bakmndan dorusal olmayan
sistemlerin artan d ykler altndaki davranlarnn belirlenmesi, dier
bir deyile yk parametresi-yerdeitirme bantlarnn elde edilerek tama
glerinin hesaplanmas istendiinde genel olarak iki farkl yoldan biri
uygulanabilir.
a- Kuvvet kontrollu analiz
Hesabn balangcnda yk parametresi seilir ve ardk yaklamn her
admnda bu yk parametresi esas alnarak hesap yaplr. Bu durumda elde
edilecek zm, sistemin balangta seilen yk parametresi iin zmdr.
b- Yerdeitirme kontrollu analiz
Hesabn balangcnda sisteme ait herhangi bir bykln deeri seilir.
Bu byklk yerdeitirme, ekildeitirme veya bir i kuvvet olabilir. Ardk
yaklamn her admnda sz konusu bykln seilen deerini veren yk
parametresinin hesab amalanr. Bu durumda, ardk yaklamn sonunda
bulunan yk parametresi sistemde seilen bykl meydana getiren deere
eit olacaktr. Elde edilen i kuvvet, ekildeitirme ve yerdeitirmeler
ise sistemin bu yk parametresi iin zmn vermektedir.
Kuvvet kontrollu ve yerdeitirme kontrollu analiz yntemleri
karlatrldnda u sonulara varlmaktadr.
i) Tek serbestlik dereceli sistemlerde, seilen her hangi bir
byklk sistemin i kuvvet, ekildeitirme ve yerdeitirme durumunu
tanmlamak iin yeterli olduundan, yerdeitirme kontrollu hesap
kesindir; yani ilk admda sistemin gerek zmn vermektedir. ok
serbestlik dereceli sistemlerde ise, ardk yaklamn birinci admnda
elde edilen zm, artan yklerle birlikte sisteme ait byklklerin
aralarndaki oran sabit kalacak ekilde arttklar varsaym altnda
problemin yaklak zmn vermektedir. Dier admlarda, bu varsaymn neden
olduu yaklakln etkisi gznne alndndan kesin zme hzla ulalaca
sylenebilir.
-
Prof. Dr. Erkan zer 7/8 12.02.2009
ii) Sistemin tama gcn aan yk parametreleri iin, kuvvet kontrollu
analizde zm elde edilememektedir, ekil 2.17. Buna karlk,
yerdeitirme kontrollu analizde, seilen her yerdeitirme deeri iin
bir zm elde edilebilir.
P
PB
O d
P1
ekil 2.17 Kuvvet ve yerdeitirme kontrollu analizlerin
karlatrlmas (1)
iii) Yk parametresi - yerdeitirme bants bir maksimumdan geen
sistemlerde, her yk parametresine birden fazla yerdeitirme durumu
kar geldii halde, seilen her yerdeitirme durumuna tek bir yk
parametresi kar gelmektedir, ekil 2.18. Bu zellik, sz konusu
sistemlerin tama glerinin hesabnda, yerdeitirme kontrollu yntemin
nemli bir stnln oluturmaktadr.
iv) Gmenin krlma (bir kesitteki i kuvvetin bir snr deere
ulamas), byk yerdeitirmeler veya byk plastik ekildeitirmeler
nedeniyle meydana gelmesi halinde, sz konusu kritik bykln seilen
snr deeri iin hesap yapmak suretiyle gme yk dorudan doruya elde
edilebilmektedir, ekil 2.19.
P
P1
O d
P3
d2d3d1
ekil 2.18 Kuvvet ve yer deitirme kontrollu analizlerin
karlatrlmas (2)
P
PG
O ddG
gme
ekil 2.19 Yer deitirme kontrollu analizde gme yknn bulunmas
-
Prof. Dr. Erkan zer 8/8 12.02.2009
rnek 2.3
ekil 2.20 de zellikleri tanmlanan malzeme ve geometri deiimleri
bakmndan dorusal olmayan sistem, yerdeitirme kontrollu sistem
analizi ile, yatay yerdeitirmesinin verilen bir deeri iin
hesaplanacak ve bu yerdeitirmeye kar gelen P yk parametresi
bulunacaktr.
L
P
L
/ + 1L
/ LpM = M
pMM
ekil 2.20 Yer deitirme kontrollu analiz ile hesap
Saysal byklkler :
L = 10.00 m , = 0.04 ( H = 0.04 P) , = 0.20 m , Mp = 900 kNm , L
= 0.01 radyan
a) geometrik sreklilik denklemi : 02.000.10
20.0==
=L
radyan
b) bnye denklemi : p/ 0.02 / 0.01
900 600/ 1 0.02 / 0.01 1
L
L
M M
= = = =
+ +kNm
c) denge denklemi : MPPL =+ +
=L
MP
100020.000.1004.0
600=
+=P kN
Not: Baz zel durumlarda, rnein d yklerin geri dnmesi (yk
boalmas) halinde, yk parametresi yerdeitirme bantsnn elde
edilebilmesi iin yerdeitirme kontrollu analiz de yeterli
olmayabilir. Bu zel durumda, sistem davrannn (rnein plastik
mafsallarn oluumunun) srekli olarak izlendii yntemlere bavurulmas
gerekebilir.
Sonsuz rijit (EI=)
H=P
-
Prof. Dr. Erkan zer 1/23 19.02.2009
P
h
H
(a)
Pi e P1 i
BLM 3 GEOMETR DEMLER BAKIMINDAN DORUSAL OLMAYAN SSTEMLER 3.1
Tanmlar ve Esaslar Yerdeitirmelerin yeter derecede kk olmad yap
sistemlerinde denge denklemlerinin ekildeitirmi eksen zerinde
yazlmas gerekmektedir. Geometri deiimlerinin (yerdeitirmelerin)
denge denklemlerine etkisinin gz nne alnd bu teoriye ikinci mertebe
teorisi denir, ekil 3.1.
I. mertebe teorisi : hHM aI =
II. mertebe teorisi : D+= PhHM aII
II. mertebe terimi (PD etkisi)
ekil 3.1 Birinci ve ikinci mertebe teorilerinin karlatrlmas
kinci mertebe teorisinde yerdeitirmelerin geometrik sreklilik
denklemlerine etkisi terkedilmektedir. Bu etkinin de gznne alnd
teoriye sonlu deplasman teorisi ad verilir. naat mhendislii
kapsamndaki yap sistemlerinde yerdeitirmelerin belirli snr deerleri
amasna izin verilmediinden, yerdeitirmelerin geometrik sreklilik
denklemlerine etkisi ok kere terkedilebilecek dzeyde kalmaktadr.
kinci mertebe teorisi dorusal olmadndan sperpozisyon prensibi
geerli deildir. Bu nedenle gvenlik gerilmeleri esasna gre hesap
yaplamaz. Bunun yerine iletme (servis) yklerinin gvenlik katsaylar
ile arpmndan oluan hesap ykleri (tasarm ykleri) altnda, sistem
ikinci mertebe teorisine gre hesaplanarak kesit zorlar bulunur. Bu
kesit zorlarndan oluan gerilmeler snr gerilmeyi amayacak ekilde,
sistem boyutlandrlr, ekil 3.2.
II. Mertebe IIIIII TNM ,, Sss teorisi iletme hesap (tasarm)
ykleri ykleri (Pi) (Ph = e1 Pi)
ekil 3.2 kinci mertebe teorisine gre boyutlandrma
-
Prof. Dr. Erkan zer 2/23 19.02.2009
rnek olarak, elik ve betonarme yaplar iin uygulanmakta olan
gvenlik katsaylar ve snr gerilmeler aada tanmlanmtr. a) elik yaplar
(TS 648 elik yaplar standardna gre)
i) gvenlik katsays : e1 = 1.67 ( EY yklemesi, yan etkisiz ) e1 =
1.45 ( EIY yklemesi, yan etkili ) ii) snr gerilme : sS = sakma (
akma gerilmesi) Fe 37 sS = 235 N/mm2 Fe 52 sS = 353 N/mm2
b) betonarme yaplar (TS 500 betonarme standardna gre) i) gvenlik
katsaylar : e1 : yk katsaylar ii) snr gerilmeler : fcd , fyd (beton
ve beton elii snr gerilmeleri)
3.2 Genel Yntem (Ardk Yaklam Yntemi)
3.2.1 kinci Mertebe Teorisine Gre Hesap Genel yntemin en
belirgin zellii, sistem ve ykleme zelliklerinden bamsz olarak her
trl yap sistemine uygulanabilmesidir. Bu yntemin uygulanmasnda
Kuvvet veya Yerdeitirme (Deplasman) yntemlerinden herhangi biri
kullanlabilir.
D ykler etkisindeki bir yap sisteminin ekildeitirmi ekseni
bilinirse denge denklemleri bu eksen zerinde yazlarak ikinci
mertebe teorisine gre hesap yaplabilir. Ancak zme bal olan
ekildeitirmi eksen balangta bilinmediinden bir ardk yaklam
ynteminin uygulanmas gerekmektedir.
Ardk yaklamn birinci admnda sistem birinci mertebe teorisine gre
hesaplanarak, bu adma ait ( ) ( ) ( )111 ,, TNM kesit zorlar ve (
)1d yerdeitirmeleri bulunur, ekil 3.3.
I. Mertebe ( ) ( ) ( ) ( )1111 ,,, dTNM teorisi
hesap ykleri (Ph = e1 Pi)
ekil 3.3 Ardk yaklam ynteminin birinci adm
kinci admda ekildeitirmi eksen sistem ekseni olarak alnr. Denge
denklemleri bu eksen zerinde yazlarak sistem yeniden hesaplanr ve
bu adma ait ( ) ( ) ( ) ( )2222 ,,, dTNM byklkleri bulunur, ekil
3.4.
rnein Kuvvet ynteminden yararlanarak hesap yaplmas halinde, d
yklerden ve birim yklemelerden oluan iMM ,0 diyagramlar izilirken
eksen erisi olarak ekildeitirmi eksen esas alnr.
-
Prof. Dr. Erkan zer 3/23 19.02.2009
denge denklemleri ekildeitirmi sistem ( ) ( ) ( ) ( )2222 ,,,
dTNM zerinde yazlarak
hesap ykleri (Ph = e1 Pi)
ekil 3.4 Ardk yaklam ynteminin ikinci adm
Kuvvet yntemi denklem takmnn katsay ve sabitlerini oluturan ikd
ve 0id terimleri
EI
sMMEIdsMM kikiik
D@= d (3.1)
EI
sMMEIdsMM iii
D@= 000d (3.2)
eklinde saysal integrasyon ile hesaplanabilir. Bu arpmlarda
diyagramlardan biri ekildeitirmi sistemden, dieri ekildeitirmemi
sistemden alnmaldr. Bunun nedeni, ikinci mertebe teorisinde
geometrik sreklilik denklemlerinin ekildeitirmemi sistem zerinde
yazlmas gereinden kaynaklanmaktadr.
stenirse, denge denklemleri ekildeitirmi eksen zerinde yazlacak
yerde, yksz eksen (ekildeitirmemi eksen) esas alnr ; buna karlk her
admda d yklerle beraber
cd 2L
N (3.3)
fiktif kuvvetleri de hesaba katlr, ekil 3.5. Buradaki c2
katsays, eksen erisinin dorusal olmamasndan doan ek fiktif
kuvvetleri ifade etmektedir. Bu katsay genellikle
20.1200.1 c arasndadr. Gznne alnan eleman boylarnn yeter
derecede kk olmas halinde 00.12 @c olarak alnabilir.
ok katl ereve sistemlerin ikinci mertebe teorisine gre hesabnn
fiktif kuvvelerden yararlanarak yaplmas halinde, en alt katta 20.12
@c , st katlarda ise 00.12 @c alnmas nerilmektedir, [18].
Ardk yaklamn her admnda, bir nceki adm sonunda bulunan
ekildeitirmi ekseni sistem ekseni olarak almak ve denge
denklemlerini bu eksen zerinde yazmak suretiyle hesaba devam
edilir. Herhangi bir admda esas alnan eksen erisi ile hesap
sonucunda bulunan ekildeitirmi eksen birbirine yeter derecede yakn
olunca ardk yaklama son verilir.
-
Prof. Dr. Erkan zer 4/23 19.02.2009
N d 2c L
N d 2c L
L
N
N
N
N
ekil 3.5 Fiktif kuvvetler
Ardk yaklamn belirli bir sonuca yaknsamamas, yani raksak olmas
halinde sistemin bu ykleri tayamad anlalr. Ykler belirli bir snr
deerin altnda ise ardk yaklam yaknsaktr. Ancak ykler arttka ardk
yaklamn yaknsaklk hz azalr. Ardk yaklamn yaknsaklk hznn fazla olmad
hallerde, aada aklanan yaklak bir yntem uygulanarak hesaplar
ksaltlabilir.
Yaklak Yntem Ardk yaklamn eitli admlarnda her kesitte ayr ayr
hesaplanan byklkler, rnein eilme momentleri ile bunlara bal olarak
tanmlanan dier parametreler aada verilmitir.
( )1M ( )2M ( )3M ( )4M .......
( ) ( )121 MMM -=D ( ) ( )23
2 MMM -=D ( ) ( )34
3 MMM -=D .......
( )111 / MMD=a 122 / MM DD=a 233 / MM DD=a ....... Bu
parametreler yardmyla, ikinci mertebe teorisine ait byklkler elde
edilebilir. rnein, IIM ikinci mertebe eilme momenti iin
( ) .....3211 +D+D+D+= MMMMM II
( ) ( ) ( ) ( ) .....13211
211
11 ++++= MMMMM II aaaaaa
( ) [ ].....1 3212111 ++++= aaaaaaMM II (3.4)
bants yazlabilir. Ardk yaklamn ilerleyen admlarnda, her
kesitteki a saylar giderek birbirine yakn deerler almakta, ayrca
ardk iki admdaki a deerleri de birbirine yaklamaktadr.
Buna gre, rnein 432 aaa @@ ..... olduu varsaym yaplrsa, (3.4)
bants
( ) ( )[ ] ( )
-
+@+++++=2
112
32
221
1
11....11
aa
aaaa MMM II (3.5)
d
-
Prof. Dr. Erkan zer 5/23 19.02.2009
eklini alr. Bu durumda, 2a saysn hesaplamak iin ( ) ( ) ( )321
,, MMM deerlerinin
bulunmas, yani ardk yaklamn adm uygulanmas gerekmektedir.
....432 @@@ aaa varsaymnn yaplabilmesi iin i) 1a ve 2a saylarnn
birbirine yakn deerler almas, ii) ayrca her kesitteki 2a
deerlerinin de birbirine yakn olmas gerekir.
Sisteme ait dier byklkler, rnein yerdeitirmeler de benzer
ekilde
( )
-
+@2
11
11
aa
dd II (3.6)
bants ile hesaplanabilir. Buradaki 1a , 2a saylar yerdeitirmeler
iin hesaplanan a saylarn gstermektedir. Daha salkl ve hassas sonu
elde etmek istenirse, daha ok sayda adm tekrarlamak gerekebilir.
rnein, ....543 @@@ aaa varsaym ile
( )
-
++@3
211
1
11
aaa
aMM II (3.7)
forml elde edilir. Bu durumda sistemin drt adm hesaplanmas
gerekir.
kinci admdan sonra hesaba son verilirse
( )
-
@1
1
11a
MM II (3.8)
yaklak forml kullanlabilir.
Problem : ki ve drt adm hesap sonucunda uygulanabilen ve yukarda
(3.7) ve (3.8) ifadeleri ile verilen ekstrapolasyon formllerini
karnz.
3.2.2 Burkulma Yknn Bulunmas Sisteme etkiyen d ykler,
aralarndaki oran sabit kalacak ekilde arttrlarak her yk parametresi
iin ikinci mertebe teorisine gre hesap yaplr ve P yk parametresi
ile d yer deitirmesi (veya P yk parametresi ile M eilme momenti)
arasndaki bant izilirse, yklerin bir PB snr deerinden daha byk
olamad grlr, ekil 3.6. Snrlama genellikle bir yatay asimptot ile
olur. Dayanm ile ilikisi bulunmayan ve stabilite yetersizlii
nedeniyle sistemin gmesine neden olan bu yke burkulma yk denir.
Burkulma yk altnda sistemin yerdeitirmeleri ve kesit zorlar sonsuza
gitmektedir.
Uygulamada, iletme yklerinin burkulma yknden bir 2e gvenlik
katsays kadar uzakta olmas istenir.
2ePP Bi ( 2e : burkulma gvenlik katsays ) (3.9)
Burkulma gvenlik katsays iin pratikte genellikle 50.22 =e deeri
kullanlmaktadr.
-
Prof. Dr. Erkan zer 6/23 19.02.2009
I. mertebe
II. mertebe(P: ekme)
P
PB
II. mertebe(P: basin)
O
P
ardk yaklam raksak
ardk yaklam yaknsak
(veya M)
ekil 3.6 kinci mertebe teorisi ve burkulma yk
a) Yk Artm Yntemi ile Burkulma Yknn Hesab Sistem artan ykler iin
ikinci mertebe teorisine gre hesaplanarak yk parametresi
yerdeitirme (P - d ) erisi izilir. Bu erinin yatay asimptotunun
ordinat BP burkulma ykn vermektedir. Asimptotun bulunmas genellikle
zahmetli olduundan, uygulamada daha pratik olan aadaki yol
uygulanabilir.
Yk parametresinin eitli deerleri iin hesap yaplarak P ile P d
arasndaki bant izilir, ekil 3.7. Yk parametresinin BP burkulma ykne
eit olmas halinde P d = 0 olacandan, P - P d diyagramnn P eksenini
kestii noktann apsisi ekstrapolasyon ile bulunarak PB burkulma yk
hesaplanr.
O PP2P1
PB
P11
P22
P
ekil 3.7 Burkulma yknn bulunmas
-
Prof. Dr. Erkan zer 7/23 19.02.2009
b) Yaklak Yntem
Sistemin burkulmas, yani IIM eilme momentlerinin sonsuz olmas
iin, rnein iki adm hesap sonunda uygulanan
( )
-
=1
1
11a
MM II (3.8)
formlnde 11 =a olmas gerekir.
Sisteme etkiyen yklerin belirli bir k orannda artmas halinde,
yklerle yerdeitirmelerin arpmndan oluan ikinci mertebe etkileri bu
orann karesi mertebesinde artmakta, dolaysyla ikinci mertebe
etkilerinin birinci mertebe momentine orann ifade eden 1a katsays k
katna kmaktadr. Benzer durum dier a katsaylar iin de geerlidir.
Buna gre, hesapta kullanlan P ykleri yerine 1/aP yklerinin
alnmas halinde 11 =a olur. Bu durumda sistemin burkulma yk iin
1aPPB = (3.10)
bants elde edilir. Bu bantnn kullanlabilmesi iin, her kesitte
bulunan 1a deerlerinin birbirine yakn olmas gerekir. Formlde
kullanlacak 1a deeri iin arlkl ortalama alnmas uygun olur.
Her kesitte bulunan 1a deerleri birbirine yeter derecede yakn
deilse veya daha hassas sonu elde etmek isteniyorsa, veya drt adm
hesap yaparak
2aPPB = (3.10a)
veya
3a
PPB = (3.10b)
bantlar kullanlabilir.
TS 500 Betonarme Yaplar Standardndaki Moment Bytme Katsaysnn
Elde edilmesi Bu blmde aklanan ardk yaklam ynteminin iki adm
uygulanmas halinde ikinci mertebe momentlerini veren (3.8)
bantsnda, 1a katsaysnn (3.10) da verilen ifadesi yerine konursa
( )
B
II
PPMM
/1
1
-= (3.11)
forml bulunur. Bu formlde, TS 500 standardnda kullanlan
notasyona uygun olarak
PN d = : tasarm eksenel kuvveti Bk PN = : kritik yk (burkulma
yk)
-
Prof. Dr. Erkan zer 8/23 19.02.2009
( )1/ MM II=b : moment bytme katsays (ikinci ve birinci mertebe
eilme momentlerinin oran)
dnmleri yaplr ve eleman rijitliklerindeki olas deiimi gz nne
alan 1.3 deerindeki bir gvenlik katsays hesaba katlrsa
k
d
NN
3.11
1
-=b (3.11a)
elde edilir. Grld gibi, (3.11a) bants TS 500 standardndaki
moment bytme katsaysn vermektedir.
3.2.3 Genel Yntemin Yerdeitirme Yntemi Kullanarak Uygulanmas
Genel yntemin uygulanmasnda Yerdeitirme (Deplasman) Ynteminden
yararlanlmas halinde, birinci mertebe teorisine gre hesap iin
hazrlanm bilgisayar yazlmlarn kullanarak, eitli zellikler ieren yap
sistemlerinin (eri eksenli ve deiken kesitli ubuklardan oluan
sistemler, eksenel kuvvetleri ekme olan sistemler vb.) ikinci
mertebe teorisine gre hesaplanmas mmkn olmaktadr.
Bunu iin yaplmas gereken ilem, ardk yaklamn her admnda, bir
nceki adm sonunda elde edilen ekildeitirmi ekseni sistem ekseni
olarak tanmlamaktan ve bilgisayar programnn giri bilgilerini buna
gre hazrlamaktan ibarettir. Bu ilem bir ara program yardm ile
otomatik olarak da yaplabilir.
rnek 3.1 Geometrisi, hesap ykleri ve elastik zellikleri ekil 3.8
de verilen sistemin
a) ikinci mertebe teorisine gre hesab yaplarak eilme momenti
diyagram izilecek ve yerdeitirmeleri bulunacak,
b) burkulma ykleri hesaplanacaktr. Basitlik asndan, ubuklarn
sonsuz rijit olduu ve sistemin ekildeitirmelerinin belirli
kesitlerdeki elastik birleimlerde topland varsaylacaktr.
L= 8.0 m
P = P = 400 kN1
H =k P=40 kN1 2
H =k P=80 kN2 3
L= 4.0 m
(a) R = =10000 kNm
P =k P = 800 kN2 1
Sonsuz rijit
aM
b(b) R =40000 kNm
ekil 3.8 Sistem ve ykler
-
Prof. Dr. Erkan zer 9/23 19.02.2009
Bu blmde aklanan ardk yaklam yntemi, ekildeki sistem zerinde (4)
adm uygulanm ve her adm sonunda elde edilen M eilme momenti
diyagramlar ve d yerdeitirmeleri ekil 3.9 zerinde topluca
gsterilmitir.
0.336 0.064
0.400m
0.2240.176
112040000= 0.0280
0.0160
160
M(1)
0.438 0.092
0.530m
0.2920.238
0.0365
0.0230
230.4
M(2)
0.470 0.102
0.572m
0.3130.259
0.0391
0.0255
255.2
1565.6M(3)
0.480 0.105
0.585m
0.3200.265
0.0400
0.0264
263.6
M(4) kNm
1599.2 kNm
1120 kNm
1459.2 kNm
(1) (2)
(3) (4)
ekil 3.9 Ardk yaklamn drt admna ait eilme momentleri ve
yerdeitirmeler
rnek olarak, ardk yaklamn birinci adm sonunda elde edilen
ekildeitirmi eksen zerine yazlan denge denklemleri ile, ikinci adma
ait eilme momentleri
( ) 4.230176.04004402 =+=aM kNm
( ) 2.1459224.0800400.040088012402 =+++=bM kNm
olarak bulunur. Bu eilme momentlerinden dolay, (a) ve (b)
kesitlerindeki elastik birleimlerde oluan dnmeler
0230.010000
4.230==aq rad ve 0365.040000
2.1459==bq rad
-
Prof. Dr. Erkan zer 10/23 19.02.2009
sistemin yerdeitirmeleri ise
292.080365.0 ==ad m ve 530.040230.0120365.0 =+=ustd m
deerlerini alrlar. Ardk yaklamn sonunda, kritik kesitlerde elde
edilen eilme momentleri ve bunlara bal olarak hesaplanan dier
yardmc byklkler aada verilmitir.
(a) kesiti iin :
( ) 1601 =M kNm ( ) 4.2302 =M kNm ( ) 2.2553 =M kNm ( ) 6.2634
=M kNm
( ) ( ) 4.70121 =-=D MMM kNm 8.242 =DM kNm 4.83 =DM kNm
( ) 440.011
1 =D
=M
Ma 352.0
1
22 =D
D=
MM
a 339.03 =a
(b) kesiti (taban kesiti) iin :
( ) 11201 =M kNm ( ) 2.14592 =M kNm ( ) 6.15653 =M kNm ( )
2.15994 =M kNm
2.3391 =DM kNm 4.1062 =DM kNm 6.333 =DM kNm
303.01 =a 314.02 =a 316.03 =a
Bu byklkler yardmyla, taban kesitindeki eilme momenti :
2. adm sonunda (3.8) forml ile : ( ) 9.1606303.01
111201
1
1
1 =-
=-
=a
MM II kNm
3. adm sonunda (3.5) forml ile: 7.1614314.01
303.011120 =
-+=IIM kNm
4. adm sonunda (3.7) forml ile: 1.1615316.01
314.0303.0303.011120 =
-
++=IIM kNm
olarak bulunur.
Burkulma Yknn Hesab : Taban kesitindeki a deerlerinden
yararlanarak burkulma yk hesaplanacaktr.
2. adm sonunda 1a katsays ile : 1320303.0400
1
===aPPB kN
3. adm sonunda 2a katsays ile : 1274314.0400
2
===aPPB kN
4. adm sonunda 3a katsays ile : 1266316.0400
3
===aPPB kN
-
Prof. Dr. Erkan zer 11/23 19.02.2009
Elde edilen saysal sonulardan yararlanarak izilen yk parametresi
taban eilme momenti (P Mb) diyagram ekil 3.10da, burkulma durumuna
kar gelen d ykler ekil 3.11de gsterilmitir.
I. mertebe
P (kN) P =1266B
II. mertebe
O
400
1120 1615.1 M (kNm)b
ekil 3.10 Yk parametresi taban eilme momenti (P Mb) diyagram
2536 kN
BP = 1266 kN
126.6 kN
253.6 kN
ekil 3.11 Burkulma ykleri
kinci mertebe etkilerinin fiktif kuvvetler ile ifade edilerek
hesap yaplmasna rnek olmak zere, ardk yaklamn ikinci admna ait
fiktif kuvvetler aada elde edilmi, sisteme uygulanm ve bu adm
sonunda bulunan ( )2M diyagram ekil 3.12de gsterilmitir. ekilden
grld gibi, geometri deiimlerinin denge denklemlerine etkisini ifade
eden fiktif kuvvetler
sistemin st blgesinde : 6.170.4
176.0400=
kN
sistemin alt blgesinde : 6.330.8
224.01200=
kN
deerlerini almaktadr. Bu fiktif kuvvetlerin verilen d yklere
eklenmesi ile elde edilen toplam ykler sisteme uygulanarak ikinci
adma ait ( )2M eilme momenti diyagram izilir.
-
Prof. Dr. Erkan zer 12/23 19.02.2009
0.176
0.224
Fiktif Kuvvetler
57.6 kN
96.0
Toplam Kuvvetler
230.4
1459.2 kNmM(2)
4
8
(1)
16.0
17.6 kN
33.6
17.633.6
17.6 kN
ekil 3.12 Fiktif kuvvetler ile hesap
3.3 Yerdeitirme (A) Yntemi ile kinci Mertebe Teorisine Gre
Hesap
3.3.1 Varsaymlar Bu blmde, dzlem ubuk sistemlerinin geleneksel
Yerdeitirme (A) yntemi ile ikinci mertebe teorisine gre hesab
incelenecektir. Yntemin gelitirilmesinde ve uygulanmasnda u
varsaymlar yaplacaktr:
i- ubuklar doru eksenlidir, ii- ubuk en kesiti ubuk boyunca
sabittir, iii- normal kuvvet ubuk boyunca sabittir.
Bu koullarn salanmad hallerde, ubuklar doru eksenli, sabit
enkesitli ve normal kuvveti sabit varsaylabilen kk paralara blnerek
idealletirilebilirler, ekil 3.13.
2
13
4
~~
N sabitEI sabit~
~
ekil 3.13 ubuklarn idealletirilmesi
3.3.2 Yardmc Bilgiler
3.3.2.1 ubuk Diferansiyel Denklemi D ykler, u kuvvetleri ve
sabit eksenel basn kuvveti etkisindeki bir doru eksenli prizmatik
(sabit enkesitli) ubuun ikinci mertebe teorisine ait diferansiyel
denklemi elde edilecektir.
-
Prof. Dr. Erkan zer 13/23 19.02.2009
kinci mertebe teorisinde, ekildeitirmi eksen zerinde yazlan
denge denklemi
( ) ( ) ( )IM x M x Nv x= + (3.12)
eklindedir.
L
M ij Tij Tji
M ji
x
x EI=sabit
i j
v(x)v(x)
v'(x)
N: basin N: basin
ekil 3.14 ubuk diferansiyel denkleminin elde edilmesi
Bu denklemdeki ( )xM I birinci mertebe eilme momenti, ubuk u
kuvvetlerine ve ubuk zerindeki yklere bal olarak, Mo(x) ubuk
zerindeki yklerden oluan basit kiri eilme momentini gstermek
zere
++
+-= xL
MMMxM jiijij
I )( Mo(x) (3.13)
eklinde yazlabilir. Elastik ubua ait
EI
xMdx
xvd )()(2
2
-= (3.14)
ekildeitirme denkleminde, )(xM eilme momentinin (3.12)
denklemindeki ifadesi yerine konursa
0)()()( 222
=++EI
xMxvdx
xvd Ia
=
EIN2a : sabit (3.15)
ubuk diferansiyel denklemi elde edilir. kinci mertebeden sabit
katsayl olan bu diferansiyel denklemin genel zm, )(xF zel zm
gstermek zere
)(cossin)( xFxBxAxv ++= aa (3.16)
eklindedir.
3.3.2.2 ubuk U Kuvvetleri ve U Yerdeitirmeleri kinci mertebe
teorisine gre hesapta, doru eksenli ubuklarn u kuvvetlerinin ve u
yerdeitirmelerinin tanm birinci mertebe teorisinin ayndr, ekil
3.15. Aradaki tek fark, ikinci mertebe teorisinde N u kuvvetinin
pozitif ynnn basn olarak alnmasndan kaynaklanmaktadr.
-
Prof. Dr. Erkan zer 14/23 19.02.2009
j
i
j
i
jiM
jiTijM
jiNN
ijT
ij
j
i
ekil 3.15 ubuk u kuvvetleri ve u yerdeitirmeleri
3.3.2.3 Birim Yerdeitirme (Birim Deplasman) Sabitleri Birim
yerdeitirme sabitleri, u yerdeitirmelerinin birim deerlerinden
oluan u kuvvetleri olarak tanmlanmaktadr. Doru eksenli dzlem
ubuklarda, ikinci mertebe teorisine ait birim yerdeitirme
sabitlerini belirlemek iin farkl yerdeitirme durumu gznne alnr.
(A) Durumu : 1=iq , 0=jq , 0=ijd , d ykler = 0 (ekil 3.16)
i jN N
L
EI
x
mj i
j ittmi i i i
i=1
ekil 3.16 (A) Durumu (qi = 1 durumu)
Bu duruma ait snr koullar :
0=x iin 0)0( =v 1)0( -=dxdv
Lx = iin 0)( =Lv 0)( =Ldxdv
Snr koullar kullanlarak, diferansiyel denklemin zmne ait A ve B
katsaylar ile iim q ijM= , jiij Mm =q birim yerdeitirme sabitleri
hesaplanr. Bu bantlar aada
verilmitir.
( )( ) LLLLLLL
LEIm ii aaa
aaaaq sincos12
cossin 2
---
= EINLL =a (N : basn) (3.17)
( )
( ) LLLLLL
LEIm ij aaa
aaaq sincos12
sin)( 2
---
= (3.18)
-
Prof. Dr. Erkan zer 15/23 19.02.2009
ubuun denge denklemlerinden
L
mmtt ijiiijii
qqqq
+== (3.19)
olarak elde edilir.
(B) Durumu : 0=iq , 1=jq , 0=ijd , d ykler = 0 (ekil 3.17)
i jN N
L
EI=1j
j jt
j jm
i jti jm
ekil 3.17 (B) Durumu (qj = 1 durumu)
Betti kartlk teoreminden : ijji mm qq = ( A ve B durumlar
arasnda ) simetri zelliinden : iijj mm qq =
ubuun denge denklemlerinden: L
mmtt jjjijjji
qqqq
+==
elde edilir.
(C) Durumu : 0=iq , 0=jq , 1=ijd , d ykler = 0 (ekil 3.18)
N
N
L
EIi j
j'mi ij=1
t i
t j
mj
ekil 3.18 (C) Durumu (dij = 1 durumu)
Betti kartlk teoreminden : iji tm qd = ( A ve C durumlar arasnda
) jjj tm qd = ( B ve C durumlar arasnda ) simetri zelliinden : dd
ji mm =
ubuun denge denklemlerinden: LN
Lmm
tt jiji -+
== dddd (3.20)
elde edilir.
-
Prof. Dr. Erkan zer 16/23 19.02.2009
zel Durum : Bir ucu mafsall ubuk Bir ucu mafsall zel ubuun (ekil
3.19) ikinci mertebe teorisine ait birim yerdeitirme sabitleri,
standart ubuun birim yerdeitirme sabitlerinden yararlanarak
N N
L
EIi j
ekil 3.19 Bir ucu mafsall ubuk
i j j ii i i ij j
m mm m
mq q
q qq
= - (3.21)
L
mtt iiijii
qqq == (3.21a)
iji tm qd = (3.21b)
LN
lm
t ii -=d
d (3.21c)
formlleri ile hesaplanr.
3.3.2.4 Ykleme Sabitleri Ykleme sabitleri, u yerdeitirmeleri sfr
iken, yalnz d yklerden oluan u kuvvetleri olarak
tanmlanmaktadr.
Uygulamada genellikle karlalan dzgn yayl ykten oluan ykleme
sabitleri, (3.15) diferansiyel denkleminin zmnden
Mij = Mji = ( )2
tan
22tan
2
2
L
LL
LqL
a
aa
a
- (3.22)
Tij = Tji =2
qL (3.22a)
olarak bulunur, ekil 3.20.
-
Prof. Dr. Erkan zer 17/23 19.02.2009
N N
L
EIi j
q
ij
ji
ij
ji
T M
M
T
ekil 3.20 Ykleme sabitleri
zel Durum : Bir ucu mafsall ubuk Bir ucu mafsall zel ubukta dzgn
yayl ykten oluan ankastrelik momenti, standart ubuun ankastrelik
momentine ve birim yerdeitirme sabitlerine bal olarak
Mij = Mij Mjijj
ji
mm
q
q (3.23)
bants ile hesaplanabilir. Tij ve Tji ykleme sabitleri ise ubuun
denge denklemlerinden bulunur, ekil 3.21.
N
L
EIi j
q
ij ij
jiT T M
ekil 3.21 Bir ucu mafsall ubukta ykleme sabitleri
Doru eksenli prizmatik ubuklarda birim yerdeitirme ve ykleme
sabitlerinin ikinci
mertebe teorisine ait deerleri, EINLL =a parametresine bal
olarak, Tablo 3.1 ve
Tablo 3.2 de verilmilerdir.
-
Prof. Dr. Erkan zer 18/23 19.02.2009
Tablo 3.1 kinci mertebe teorisine ait birim yerdeitirme ve
ykleme sabitleri
LEIi j
q
Mij /qL2 = Mji /qL2
0.00 4,000 2,000 6,000 12,000 0.0833 0.10 3,999 2,000 5,999
11,998 0.0833 0.20 3,995 2,001 5,996 11,952 0.0834 0.30 3,988 2,003
5,991 11,892 0.0835 0.40 3,979 2,005 5,984 11,808 0.0836 0.50 3,967
2,008 5,975 11,700 0.0837 0.60 3,952 2,012 5,964 11,568 0.0838 0.70
3,934 2,017 5,951 11,412 0.0840 0.80 3,914 2,022 5,936 11,231
0.0842 0.90 3,891 2,028 5,919 11,027 0.0845 1.00 3,865 2,034 5,899
10,799 0.0848 1.10 3,836 2,042 5,878 10,546 0.0851 1.20 3,804 2,050
5,854 10,269 0.0854 1.30 3,769 2,059 5,829 9,968 0.0858 1.40 3,732
2,070 5,801 9,642 0.0862 1.50 3,691 2,081 5,771 9,293 0.0866 1.60
3,647 2,093 5,739 8,918 0.0871 1.70 3,599 2,106 5,705 8,520 0.0876
1.80 3,548 2,120 5,668 8,096 0.0882 1.90 3,494 2,135 5,629 7,649
0.0888 2.00 3,436 2,152 5,588 7,176 0.0895 2.25 3,275 2,200 5,474
5,886 0.0913 2.50 3,088 2,257 5,345 4,440 0.0935 2.75 2,872 2,327
5,199 2,836 0.0962 3.00 2,624 2,411 5,036 1,071 0.0993 3.25 2,339
2,515 4,853 -0.856 0.1030 3.50 2,008 2,642 4,651 -2,949 0.1075 3.75
1,624 2,802 4,426 -5,211 0.1130 4.00 1,173 3,004 4,177 -7,646
0.1197 4.25 0.635 3,266 3,901 -10,261 0.1282 4.50 -0.019 3,614
3,595 -13,060 0.1391 4.75 -0.839 4,093 3,255 -16,053 0.1536 5.00
-1,909 4,785 2,876 -19,248 0.1739 5.25 -3,395 5,847 2,452 -22,659
0.2039 5.50 -5,673 7,647 1,975 -26,301 0.2532 5.75 -9,811 11,245
1,434 -30,194 0.3487 6.00 -20,638 21,454 0.816 -34,367 0.6124
LEI
m iiq
EINLL =a
LEI
m jiq2L
EImid
iit q=3L
EItid
-
Prof. Dr. Erkan zer 19/23 19.02.2009
Tablo 3.2 kinci mertebe teorisine ait birim yerdeitirme ve
ykleme sabitleri zel durum: Bir ucu mafsall ubuk
LEIi j
Mij /qL2
0.00 3,000 3,000 3,000 0.1250 0.10 2,998 2,998 2,988 0.1250 0.20
2,992 2,992 2,952 0.1252 0.30 2,982 2,982 2,892 0.1254 0.40 2,968
2,968 2,808 0.1257 0.50 2,950 2,950 2,700 0.1261 0.60 2,927 2,927
2,567 0.1265 0.70 2,901 2,901 2,411 0.1271 0.80 2,870 2,870 2,230
0.1277 0.90 2,834 2,834 2,024 0.1285 1.00 2,794 2,794 1,794 0.1294
1.10 2,749 2,749 1,539 0.1300 1.20 2,699 2,699 1,259 0.1314 1.30
2,644 2,644 0.954 0.1326 1.40 2,584 2,584 0.624 0.1340 1.50 2,518
2,518 0.268 0.1355 1.60 2,446 2,446 -0.114 0.1371 1.70 2,367 2,367
-0.523 0.1389 1.80 2,282 2,282 -0.958 0.1409 1.90 2,189 2,189
-1,421 0.1431 2.00 2,088 2,088 -1,912 0.1455 2.25 1,797 1,797
-3,265 0.1527 2.50 1,438 1,438 -4,812 0.1619 2.75 0.987 0.987
-6,575 0.1741 3.00 0.408 0.408 -8,952 0.1905 3.25 -0.366 -0.366
-10,928 0.2138 3.50 -1,468 -1,468 -13,718 0.2490 3.75 -3,208 -3,208
-17,270 0.3078 4.00 -6,518 -6,518 -22,518 0.4262 4.25 -16,151
-16,151 -34,214 0.7871 4.50 683,788 683,788 663,538 -26,178 4.75
19,141 19,141 -3,421 -0.5962 5.00 10,084 10,084 -14,916 -0.2620
5.25 6,674 6,674 -20,889 -0.1473 5.50 4,636 4,636 -25,614 -0.0881
5.75 3,078 3,078 -29,985 -0.0513 6.00 1,665 1,665 -34,335
-0.0242
EINLL =a
LEImj
LEIm iiq
2LEImid
iit q=3L
EIt id
-
Prof. Dr. Erkan zer 20/23 19.02.2009
3.3.2.5 Birim Yerdeitirme ve Ykleme Sabitleri in Yaklak Formller
Doru eksenli prizmatik ubuklarda ikinci mertebe teorisine ait birim
yerdeitirme ve ykleme sabitlerini veren yukardaki ifadelerde,
trigonometrik fonksiyonlarn seri almlar yazlarak ilk iki terimi
gznne alnr ve gerekli sadeletirmeler yaplrsa, birim yerdeitirme ve
ykleme sabitleri iin aadaki basit, yaklak formller elde
edilebilir.
a) Birim Yerdeitirme Sabitleri : ( )EI
NLL2
2 =a olmak zere,
( )15
2430
142 NL
LEIL
LEIm ii -=
-=
aq (3.24)
( )30
260
122 NL
LEIL
LEIm ji +=
+=
aq (3.25)
( )10
660
16 22
2
NLEIL
LEIttm ijiii -=
-===
aqqd (3.26)
( )LN
LEIL
LEIti 5
61210
112 32
3 -=
-=
ad (3.27)
a1) zel Durum : Bir ucu mafsall ubuk
( )5
315
132 NL
LEIL
LEIm ii -=
-=
aq (3.28)
( )5
315
13 22
2
NLEIL
LEIttm ijiii -=
-===
aqqd (3.28a)
( )LN
LEIL
LEIti 5
6315613 3
23 -=
-= ad (3.28b)
b) Ykleme Sabitleri : Dzgn yayl yk iin ankastrelik
momentleri
Mij = Mji = ( )
+
22
601
12LqL a (3.29)
b1) zel Durum : Bir ucu mafsall ubuk
Mij = ( )
+
22
301
8LqL a (3.30)
T ankastrelik u kuvvetleri ubuun denge denklemleri ile
bulunabilir.
Problem : iim q birim yerdeitirme sabitine ait yaklak forml
karnz.
-
Prof. Dr. Erkan zer 21/23 19.02.2009
Yaklak formllerle hesaplanan katsay ve sabitlerin bal hatalar aL
1.50 iin % 0.3 ten, aL 2.00 iin % 1.0 den daha kk deerler
almaktadr. aL parametresinin daha byk deerleri iin, ubuklar kk
paralara blnerek yaklak formllerin hata oran azaltlabilir.
Yaklak formllerin kesin formllere gre balca stnlkleri
unlardr.
a) Kesin formllerde, aL parametresinin ok kk deerleri iin,
yuvarlanma hatalar nedeniyle gerek sonulardan uzaklalabilmektedir.
Buna karlk, yaklak formllerde bu durum sz konusu deildir.
b) Yaklak formller eksenel kuvvetin basn ve ekme olmas
hallerinin her ikisi iin de geerlidir.
c) Yaklak formllerle elde edilen birim yerdeitirme ve ykleme
sabitlerinde birinci ve ikinci mertebe terimleri birbirinden
ayrldndan, zellikle matris yerdeitirme yntemi ile hesapta
kolaylklar salanabilmektedir.
3.3.2.6 U Kuvvetleri ile U Yerdeitirmeleri Arasndaki Bantlar U
kuvvetleri ile u yerdeitirmeleri arasndaki bantlar birinci mertebe
teorisinin ayndr. Birinci mertebe teorisinde olduu gibi, ikinci
mertebe teorisinde de doru eksenli ubuklarn eksenel dorultudaki ijD
u yerdeitirmeleri terk edilmektedir.