130 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Y en virtud de la fórmula (4), obtenemos: p' cotg p. = — = a, es decir, p. = arccotg a = const. P Ejercicios Partiendo de la definición de derivada, hallar las derivadas de las fun- ciones: 1 1 1. y = x 3 . Resp.: 3x2. 2. y = —. Resp.: - —. 1 1 _ 1 3. y B V x Resp.: — — . 4. y = Resp.: 2Vx Vx 2xVx 5. y = sen2 x. Resp.: 2 sen x eos x. 6. y = 2x2 - x Resp.: 4x - 1. Determinar las tangentes de los ángulos que forman con el eje positivo de las x las líneas tangentes a las curvas: 7. y = x 3 ; a) Cuando x = 1. Resp.: 3. b) Cuando x = -1. Resp.: 3; construir la gráfica. 8. y = —. a) Cuando x = —. Resp.: - 4 . b) Cuando x = 1. Resp.: - 1; x 2 construir la gráfica. — " 1 nr 9. y = Vx cuando x = 2. Resp.: — V2. 7 ' 2 Hallar las derivadas de las funciones: 10. y = x* + 3x2 - 6. Resp.: y' = 4x3 + 6x. 11. y = óx 3 - x 2 . Resp.: y' = 18x2 - 2x. x' x 2 • 5x< 2x 12. y = - x. Resp.: y = - 1. a + b a - b a + b a — b x 3 - x 2 + 1 3x2 - 2x 13. y = . Resp.: y' = . x2 2x 14. y = 2ax3 h c. Resp.: y' = 6ax2 . b b 7 _5_ 5 3 15. y = 6x T + 4x 2 + 2x. Resp.: y' = 21x T + 10x T + 2. _ 1 VT 1 1 16. y = V3x + ^'x + —. Resp.: y' = — + — — . x 2Vx 3>^x2 x 1 (x + iy Mx + lHx-l) 17. y = - — . Resp . y1 ; . x~ 2x~ 18. y DERIVADA Y DIFERENCIAL 131 x m x2 n2 _ 1 m 2x 2n 2 m <• _ * III ¿.II +- + - , + - 2 - Res P- : / = r + -T — r - x « 2 x 2 m x 2 n 2 x 1 _ _ 2 1 1 19. y = ^ x 2 - 2</x + 5. Resp.: V = — — —. 3 ^x Vx ax2 b 5 1 3 _1 1 _1 20. y = —— + — — —. Resp.: y' = —axi bx 2 + — x *. 'v'x xVx v.x 3 2 6 21. y = (1 + 4x 3 )(l + 2x2). Resp.: y' = 4x(l + 3x + 10x3). 22. y = x(2x - l)(3x + 2). Resp.: y' = 2(9x2 + x - 1). 23. y = (2x - l)(x 2 - 6x + 3. Resp.: y' = 6x2 - 26x + 12. 2x< 4x 3 (2b 2 -x 2 ) 24. y = . Resp.: y' = b2 - x2 (b2 - x 2 ) 2 • a — x 2a 25. y = . Resp.: y' = - a + x (a + xY ' 3 / 2(3 + / 2 ) 2<¡. /(O = -. Resp.: /'(/) = 1 + t1' " (1 + t2)2 ' u x < s + 4 ^ r, ( s + 2)(s + 4) 27. /(s) = — . Resp.: f(5) = . • s + 3 (s + 3? x1 + 1 x 4 - 2x3 - 6x2 - 2x + 1 28. y = — — i -. Resp.: y = x 2 -x-2 (x2-x-2Y 29. y = . Resp.: >' = i x'" - a'" {Xm _ a-yt 30. y = (2x2 - 3) 2. Resp.: y' = 8x(2x2 - 3). 31. y = {x2 + a2)K Resp.: y = 10x(x2 + a 2 ) 4 . 32. y = Vx 2 + a2. Resp.: y' = 33. y = (a + x)Va - x. Resp.: y' = VxT+fl J a - 3x 2VÜ-X 1 (1 - x)VT - x 2x2 - 1 1 + 4x2 3->- y = — • Resp.: y' = xVTTx 2 " *~- ' 3 • x 2 (l + x 2 ) 2 36. y = -f/x2 + í + T Resp.: y' = — ' + 1 - . 3^(x2 + x + l) 2
8
Embed
xVTTx *~- ' x ^(x + x + 2CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 76. Vx 2 + 1 - x n 2 W = ln vx*-i +x * Resp": m •- " "vl^ • 77. y a + Va 2 + x f Va 2 + x 2 = Va 2 + x 2 - a ln . Resp.:
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
130 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L
Y en vi r tud de la fórmula (4), obtenemos:
p' cotg p. = — = a, es decir, p. = arccotg a = const.
P
Ejercicios
Partiendo de la definición de derivada, hallar las derivadas de las funciones:
1 1 1. y = x 3. Resp.: 3x2. 2. y = —. Resp.: - —.
1 1 _ 1 3. y B V x Resp.: — — . 4. y = Resp.:
2 V x Vx 2xVx 5. y = sen2 x. Resp.: 2 sen x eos x. 6. y = 2x2 - x Resp.: 4x - 1.
Determinar las tangentes de los ángulos que forman con el eje positivo de las x las líneas tangentes a las curvas:
7. y = x 3; a) Cuando x = 1. Resp.: 3. b) Cuando x = - 1 . Resp.: 3; construir la gráfica.
8. y = — . a) Cuando x = —. Resp.: - 4 . b) Cuando x = 1. Resp.: - 1; x 2
construir la gráfica.
— " 1 nr 9. y = Vx cuando x = 2. Resp.: — V2.
7 ' 2
Hallar las derivadas de las funciones:
10. y = x* + 3x2 - 6. Resp.: y ' = 4x3 + 6x.
11. y = óx 3 - x 2. Resp.: y' = 18x2 - 2x.
x ' x 2 • 5x< 2x 12. y = - x. Resp.: y = - 1.
a + b a - b a + b a — b x 3 - x 2 + 1 3x2 - 2x
13. y = . Resp.: y' = .
x 2 2x 14. y = 2ax3 h c. Resp.: y' = 6ax2 .
b b 7 _5_ 5 3
15. y = 6 x T + 4x 2 + 2x. Resp.: y' = 21x T + 1 0 x T + 2.
_ 1 V T 1 1 16. y = V3x + ^'x + —. Resp.: y' = — + — — .
x 2Vx 3>^x2 x 1
(x + iy Mx + lHx-l) 17. y = - — . Resp . y1 ; .
x~ 2x~
18. y
DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 131
x m x2 n2 _ 1 m 2x 2n 2
m <• _ * III ¿.II
+ - + - , + - 2 - R e s P - : / = r + -T — r -x « 2 x 2 m x 2 n 2 x 1
_ _ 2 1 1 19. y = ^ x 2 - 2</x + 5. Resp.: V = — — —.
3 ^x Vx
ax2 b 5 1 3 _ 1 1 _ 1 20. y = —— + — — — . Resp.: y' = —axi bx 2 + — x *.
'v'x xVx v.x 3 2 6
21. y = (1 + 4x 3 ) ( l + 2x2). Resp.: y' = 4x( l + 3x + 10x3).
22. y = x(2x - l)(3x + 2). Resp.: y' = 2(9x2 + x - 1).
23. y = (2x - l ) ( x 2 - 6x + 3. Resp.: y' = 6x2 - 26x + 12.
2x< 4 x 3 ( 2 b 2 - x 2 ) 24. y = . Resp.: y' = b2 - x2 (b2 - x 2 ) 2
2* „ , 2 119. y = arctg — - j - . Resp.: y = J - J—.
- 2x 120. y = arceos (x 2 ) . Resp.: y' = , — - j = = r
2x
arceos x , _ (x + V I - x 2 arceos x) 121. y = Resp.: y = — i - =
' x x 2 V1 - x 2
122. y = aresen t ± L . Resp.: y' = - = ^ = = f .
x 123. y = xVa 2 - x 2 + a 2 aresen —. Resp.: y' = 2Va 2 - x 2.
124. y = V a 2 - x2 + a aresen i Resp.: y' = ^ /
v + a du 1 125. u = arctg . Resp.:
a + x
1 — av dv 1 + v 2
1 x V T x 2 + 1 126. y = —— arctg . Resp.: y' =
V T 1 - x 2 x* + x2 + J
x 127. y = x aresen x. Resp.: y ' = aresen x +
128. / ( x ) = arceos (ln x) . Resp.: f'(x) = -
yJX^x2
1
129. / ( x ) = aresen V sen x. Resp.: f ( x ) =
x V 1 — l n 2 x
eos x 2 V sen x — sen2 x
VI - eos x i n . _ 1
(0 < x < Tt). Resp.: y' = —. 1 + eos x 2
earctg x 131. y = earctg x. Resp.: y' =
1 + x 2
gJC g-x 2 l. y = arctg . Resp.: y ' =
e' + e-<
ln x I . y = jaresen x, Resp.: y' = ¿aresen * ̂ aresen X +
V I - x 2
. „ , eos x ( + 1 en los cuadrantes 1.° y 4.° 134. x = aresen (sen x) . Resp.: y = - • = , , , ,
eos x j - 1 en ios cuadrantes 2.° y 3.°
DERIVADA Y D I F E R E N C I A L
4 sen x 4 135. y = arctg . Resp.: y' =
3 + 5 eos x 5 + 3 eos x
a A / x — a 2a3
136. y = arctg — h ln \ . Resp.: y = . x V j + a x 4 - a4
\_
, / 1 + * \ 1 ~ . x 2
137. y = ln - — arctg x. Resp.: y' = - . V 1 - x / 2 1 - x 4
3x2 1 x* + 1 138. y = — — — + ln V 1 + x 2 + arctg x. Resp.: y' = 3*J c . r * x< + x* '
1 , x + 1 1 2x - 1
m y = T Vx 2-ZTTT + 7T a r c t g " T T ' R e s p - : y = , 1 + x V"2~+ x 2 . x v ' T w 4 V T
110. y = ln — 7 = + 2 arctg -. Resp.: y' = . 1 - x V 2 + x 2 6 1 - x 2 v * 1 + x*
x2" - 1 2« | x I» 141. y = arceos . Resp.: y ' = -
x 2" + 1 r x(x 2" + l )
Derivación de funciones implícitas:
¿y Calcular , si:
dx dy 2p
142. y 2 = 4px. Resp.: = . 143. x 2 + y 2 = a2. Resp. dx y
dy b2x 144. b 2x 2 + a2y2 = a2b2. Resp.: .
dx a2y
dy 2a 145. y 3 - 3y + 2ax = 0. Resp.:
1 1 " dy . / y 146. x 2 + y 2 = aT Resp.: —— = - i / -
2 2 2 147. x 3 + y 3 = a 3. Resp.:
dx dy
148. y 2 - 2xy + b2 = 0. ~
ax 3(1 - y 2 )
dx""" " V x
3 <*> \ y
I 7-
dx y — x
dy ay — x 2
149. x ' + y 3 - 3axy = 0. Resp.: = dx y 2 — ax
138 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L
dy 1 + y sen (xy) 151. eos (xy) = x. Resp.: =
dx x sen (xy)
dy ":,'•• - - .;:' " Hallar para las funciones dadas paramét r i camente :
dx
dy b 152. x = a eos t, y = b sen t. Resp.: = cotg t.
dx a dy t
153. x = a(t - sen / ) ; y = a{l - eos f). Resp.: = cotg —. dx 2
dy b 154. x = a eos3 /; y — b sen3 t. Resp.: = tg /.
dx a lat Sat2 dy 2t
155. x = - ; y = -• Resp.: 1 + 1 + t2 dx 1 - t2
du 156. u = 2 ln cotg s, v = tg s + cotg s. Demuéstrese que = tg 2s.
ds
Hallar las tangentes de los ángulos que forman con el eje positivo de las x las líneas tangentes a las curvas:
1 V T 157. -x = eos í, y = sen í en el punto x = — —, y = —y. Construyase la grá-
1 fica. Resp.: ——.
V T
vi" 158. x = 2 eos t, y = sen í en el punto x = 1, y = . Construyase la grá-
1 fica. Resp.:
2
2 V3
159. x = a(t - sen ?), y = a ( l - eos t) cuando t = —. Construyase la grá
fica. Resp.: 1.
160. x = a ees3 t, y = a sen3 t cuando t = —. Construyase la gráfica. Res-4
puesta: — 1.
161. Un cuerpo lanzado al vacío, formando con la horizontal un ángulo a, describe, por acción de la gravedad, una curva (parábola) cuyas ecua-
gt2
ciones son x = v 0 eos at, y --= v„ sen af (g = 9,8 m/s 2). Sabiendo que a = b0*( i»0 = 50 m/seg, determinar la dirección del movimiento cuandu: 1) / = 2 seg; 2) t = 7 seg. Construir la gráfica. Resp • 1) tg <p, = 0,948, cp, = 43° 30'; 2) tg q>2 = - 1,012, <p2 = + 134' 7'.
DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 139
Hallar las diferenciales de las funciones siguientes:
162. y = (a 2 - x 2 ) 5 . Resp.: dy = - 10x(a2 - a 2) 4 dx.
, xdx 163. y = V 1 + x2. Resp.: dy = •
V 1 + x 2
164. y = y tg 3 x + tg x. Resp.: dy = se4 x dx.
x ln x , , . ' „ . ln x dx 165. y = - — j - + ln (1 - x). Resp.: dy = — - .
i - x ( l - xy Calcular los incrementos y diferenciales de las funciones:
166. y = 2x2 - x cuando x = 1, Ax = 0,01. Resp.: Ay = 0,0302, dy = 0,03. 167. Dada y = x 3 + 2x. Hállese Ay y dy cuando x = - 1, Ax = 0,02. Respues
ta: Ay = 0,098808, dy = 0,1.
u n n 168. Dada y = sen x. Hállese dy cuando x = —, Ax = —. Resp.: dy = — =
= 0,00873. 3 1 8 3 6
V T i 169. Sabiendo que sen 60° = —— = 0,866025; eos 60° = —, hallar los valores
aproximados de sen 60* 3' y sen 60° 18'. Comparar los resultados con datos tabulares. Resp.: sen 60" 3 '= 0,866461; sen 60* 18' » 0,868643.
170. Hallar el valor aproximado de tg 45° 4'30". Resp.: 1,00262.
171. Sabiendo que log 1 0 200=2,30103, hallar el valor aproximado de loe, 0 200.0. Resp.: 2,30146.
192. y = sen2 x. Hallar y<">. Resp.: - 2"-' eos ^ 2x + y n j •
193. y = x sen x. Hallar yM. Resp.: x sen ^ x + yH^-n eos |
194. Si y = e* sen x, demuést rese que y" — 2y' + 2y = 0.
cP-y 4a2
195. y 2 = 4ax. Hallar . Resp.: . dx 2 y 3
¿P-y d 3y b* 3b*x 196. bx 2 + a 2y 2 = a2b2. Hallar — y — . Resp.: ; .
dx 2 dx} a 2y 3 a*ys
d2y r 2
197. x 2 + y 2 = r 2. Hallar — - . Resp.: -. dx 2 y 3
d3y 198. y 2 - 2xy = 0. Hallar . Resp.: 0.
dx 3
d3p 2(5 + 8p2 + 3p«) 199. p s tg (<p + p). Hallar . Resp.: — .
dy1 p8
DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 141
200. sec <p • eos p = C. Hallar — - . Resp.: (Pp tg 2 p - tg 2 <p
dep2 ' tg 3 p
¿Py (1 - e**'j(e* - ey) 201. M + x =2e>' + y. Hallar — . Resp, ^ + ^
d 2y 2a3xy 202. y 3 + x 3 - 3ÍIXV = 0. Hallar — — . Resp.: - — - .
7 dx 2 (y 2 - ax) 3
(Py 1 203. x = a ( í - sten f), y = a ( l - eos í). Hallar ——. Resp.: -
dx 2 4a sen4 ( T ) (Py
204. x = a eos 2i, y = b sen2 /. Demuéstrese que = 0. dx 2
d3y 3 eos í 205. x = a eos f, y = a sen f. Hallar . Resp.: -dx 3 a2 sen5 í
d 2» cP-'+i 206. Demuéstrese que —— (sh x) = sh x; (sh x) = ch x.
dx2" . d x 2 n + I
Ecuaciones de la tangente y de la normal.
Longitudes de la subtangente y de la subnormal.
207. Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = x 3 - 3x2 - x + 5 en el punto M(3, 2). Resp.: tangente 8x - y - 22 = 0; normal x + 8y - 19 = 0.
208. Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal, así como las longitudes de la subtangente y subnormal de la circunferencia x 2 + y 2 = r 2
en el punto M(x\, y¿). Resp.: tangente xxi + yyi = r 2; normal Xiy —
- y,x = 0; sT = \ — ; S N — I — x\
209. Demostrar que la subtangente correspondiente a un punto arbitrario de la parábola y 2 = 4px queda dividida por el vértice en dos partes iguales y que la subnormal es constante e igual a 2p. Construir la gráfica.
210. Hallar la ecuación de la tangente en el punto AÍ(X| , yj): a) A la elipse x 2 y 2 xxi yy, x 2 v 2
— + — = 1. Resp.: + = 1. b) A la hipérbole — = 1. a2 b7 a? h- a2 b2
xxx yy, Resp.: = 1.
a2 b2
211. Hallar la ecuación de la tangente y de la normal a la curva de Agnesi
y - — en el punto donde x = 2a. Resp.: tangente x + 2v = 4a; 4a2 + x 2
normal v + 2x - 3a.
142 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L
212. Demostrar que la normal a la curva 3y = 6x - 5x3 en el punto
M ( 1, y J, pasa por el origen de las coordenadas.
213. Demostrar que la tangente a la curva ( ~~ ) + ( ) = 2 e n e l P u n t 0
x y M(a, b) viene dada por la ecuación — H = 2.
a b
214. Hallar la ecuación de la tangente a la parábola y 2 = 20x que forma con el eje Ox un ángulo de 45°. Resp.: y = x + 5 [en el punto (5, 10)].
215. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia, paralelas a la recta 2x + 3y = 6. Resp.: 2x + 3y ± 26 = 0.
216. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola 4x2 - 9y2 = 36, perpendiculares a la recta 2y + 5x = 10. Resp.: no existen tales tangentes.
217. Demostrar que el segmento de tangente a la hipérbola xy = m, comprendido entre los ejes de coordenadas, queda dividido por el punto de tangencia en dos partes iguales.
L — — 218. Demostrar que el segmento de tangente a la astroide x 3 + y 3 = a 3, com
prendido entre los ejes de coordenadas, tiene longitud constante.
219. Hallar el ángulo a de corte de las curvas y = ax e y = bx. Respuesta: ln a — ln b
tg a = . 1 + ln a • ln b
220. Hallar las longitudes de la subtangente, subnormal, tangente y normal de la cicloide x = a(9 — sen 9), y = a ( l — eos 9) en el punto en que
•K _
9 = —. Resp.: sT = a; sN = a; T = a V 2; A/ = aV2.
221. Hallar los valores sT, sN, T y N para la hipocicloide de x = 4a eos3 /, sen4 t
y = 4a sen3 t. Resp.: sT = - 4a sen2 / eos t; sN = - 4a ; T = eos /
= 4a sen2 t; N = 4a sen2 t tg t.
Problemas diversos
Calcular las derivadas de las funciones:
sen x 1 / TZ x \222. y = - — ln tg - - — Resp.: y' = -
2 eos2 x 2 \ 2 / eos1
1 1 223. y = aresen —. Resp.: y' =
x r ' I x I V x 2 - 1 sen x
224 y = aresen (sen x). Resp.: y' = I sen x
DERIVADA Y D I F E R E N C I A L 143
a - b rctg I
1
2 l a - b x \ 225. y = — 7 - — • arctg — — - tg - (a > 0, b > 0).
v a 2 — b2 \ + b 2 /
Resp.: y' = a + b eos x
226. y = x . Resp.: y' = -—¡
227. y = aresen v 1 — x 2. Resp.: y' = — •—¡ • • » | x | V1 - x 2
228. De las fórmulas para calcular el volumen y la superficie de la esfera 4 dv . . .
v = — i t r 3 y s = izr2, se deduce que = s. Explicar el significado géo-3 dr
métr ico de este resultado. Hallar la relación análoga entre el área del círculo y la longitud de la circunferencia.
229. En el triángulo ABC, el lado a se expresa en función de los otros dos lados b, c y el ángulo A formado por estos últ imos, mediante la fórmula a = V b2 — c2 — 2bc eos A. Siendo invariable b y c, a es función
da del ángulo A. Demostrar que = ha, donde ha es la altura del trian
do guio correspondiente a la base a. Interpretar el significado geométrico de este resultado.
230. Empleando el concepto de diferencial, interpretar el origen de las fór-b b
muías aproximadas v a2 + b = a -\ -v^a3 + b » a -\ donde \b\ 2a 3a 1 1
es un número pequeño, en comparación con a.
231. E l per íodo de oscilaciones de un péndulo es T = n ^ ~• ¿Oué influencia
tiene sobre el error, al calcular el valor del per íodo T, un error del 1 % cometido al medir:
1) la longitud del péndulo /; 2) la aceleración de la fuerza de la
gravedad g? Resp.: 1) * — %; 2) = — %.
232. La tractriz tiene la propiedad de que en cada uno de sus puntos, el segmento de tangente T es de longitud constante. Demostrar esto:
1) dada la ecuación de la tractriz:
fl a _ Va 2 - y 2
x = V a2 - y 2 + ln J ( a > 0);
2 a + V a2 — y 2
2) dadas las ecuaciones paramét r icas :
t x = a(ln tg — + eos / ) , y = a sen t.
233. Demostrar que la función y = Cxe~x + C2e-2x satisface la ecuación y + 3y' + 2y = (Cj y C2 son constantes).
144 CÁLCULO D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L
234. Suponiendo que y = ax sen x, z = e* eos x, demostrar que
y" = 2z, z" = - 2y.
235. Demostrar que la función y = sen (m aresen x) satisface la ecuación
(1 - x2) y" - xy + m2y = 0.
y 236. Demostrar que si (a - bx)ex = x , se tiene: