LIGHTWEIGHT STRUCTURES in CIVIL ENGINEERING INTERNATIONAL SEMINAR of IASS POLISH CHAPTER Organized by Polish Chapter of International Association for Shell and Spatial Structures Warsaw-Częstochowa, 3 December, 2004 WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ DLA WSTĘPNIE WYGIĘTEGO PRĘTA ŚCISKANEGO Z WĘZŁAMI PODATNYMI NA OBRÓT J.K. ZAMOROWSKI Wydział Budownictwa, Politechnika Śląska w Gliwicach
30
Embed
WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ DLA WSTĘPNIE WYGIĘTEGO PRĘTA ŚCISKANEGO
LIGHTWEIGHT STRUCTURES in CIVIL ENGINEERING INTERNATIONAL SEMINAR of IASS POLISH CHAPTER Organized by Polish Chapter of International Association for Shell and Spatial Structures Warsaw-Częstochowa, 3 December, 2004. J.K. ZAMOROWSKI Wydział Budownictwa, Politechnika Śląska w Gliwicach. - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
LIGHTWEIGHT STRUCTURES in CIVIL ENGINEERINGINTERNATIONAL SEMINAR of IASS POLISH CHAPTER
Organized by Polish Chapter ofInternational Association for Shell and Spatial Structures
Warsaw-Częstochowa, 3 December, 2004
WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃDLA WSTĘPNIE WYGIĘTEGO PRĘTA ŚCISKANEGO
Z WĘZŁAMI PODATNYMI NA OBRÓT
J.K. ZAMOROWSKIWydział Budownictwa, Politechnika Śląska w Gliwicach
W rozwiązaniu przyrostowym, wyprowadzono wzory transformacyjne metody przemieszczeń dla wstępnie wygiętego pręta obciążonego jak na rys 1, o zmiennych, w kolejnych krokach przyrostowych, sztyw- nościach EJk na zginanie i GAk na ścinanie. Uwzględniono przy tym wpływ siły poprzecznej na giętną deformację pręta.
Rys. 1
.1101 VM yyyy ,,
,21
2
21
2
20
2
21
2
dx
yd
dx
yd
dx
yd
dx
yd VM ,,
,1111 yNqMxM ,1111 dx
ydNqVxV
,1111 ji MMpMMMqM
.1111 ji MVpVMVqV
Założono, że ugięcie pręta jest sumą wstępnego wygięcia (y0), ugięcia od wpływu zginania (yM) i ugięcia wywołanego siłą poprzeczną (yV).Sumaryczne ugięcie w pierwszym kroku przyrostowym
(2a)
(1a)
sumaryczna krzywizna
(1b)
przyrost momentu zginającego i siły poprzecznej
(2)
gdzie
1
12
12
1
EJ
xM
dx
yd
xM
,
,111
11
11
dx
ydNqV
GA
k
GA
xVk
dx
yd V,
.
2
2
2
2dy
yb
yS
J
Ak
h
h
.1
1 GA
k
,
1 12
11
11111
20
2
21
2
dx
ydN
dx
qVdyNqM
EJdx
yd
dx
yd
Wprowadzając do (1b) wyrażenie na krzywiznę zginanego pręta w postaci
oraz przyjmując kąt odkształcenia postaciowego
gdzie
po zróżniczkowaniu otrzymuje się równanie
(4a)
(3a)
(3b)
gdzie
,1
120
2
111
11
212
12
dx
qVd
dx
ydqM
EJyk
dx
yd
1111
1 gdzie,1
1NN
N
.1
1121 EJ
Nk
Po uporządkowaniu uzyskano równanie
w którym
oraz
(4b)
(4c)
(4d)
Dla k – tego kroku przyrostowego uzyskano
,2
2
2
2
2
2
dx
yd
dx
yd
dx
yd VkMkk ,,
(5a)
,
,
1
1
1
1
k
m
mk
kkkk
k
mmkkkkk
dx
ydN
dx
ydNqVxV
yNyNqMxM
– sumaryczny przyrost krzywizny
– przyrost momentu zginającego i siły poprzecznej
(5b)
gdzie
k
mmk NN
1
,
1
12
2
1
1
22
2
k
m
mk
kkk
k
mmkk
k
kkk
k
dx
ydN
dx
qVd
yNqMEJ
ykdx
yd
kkk N
1
1
.2
k
kkk EJ
Nk
oraz równanie osi odkształconej pręta
w którym
oraz
(5c)
(5d)
(5e)
Funkcje wstępnych wygięć pręta, przyrostów sprężystych wygięć, przyrostówwewnętrznych momentów zginających oraz przyrostów obciążeń przyjmuje się w postaci nieskończonych szeregów trygonometrycznych
, ,
, , 00
nknk
nknk
nknk
nn
l
xnpp
l
xnqmqM
l
xnfy
l
xnfy
sinsin
sinsin
gdzie n = 1, 2, 3... .
(6a)
k
kk pdx
qdV
dx
qMd
2
2
,2
knkn pnl
pm
Amplitudy przyrostów momentów zginających uzyskano z równania równowagi
(6b)
w postaci
(6c)
kjkikkn M
n
nM
np
n
n
lqm
cos
sin22
2
4 23
2
.2
2
2
nkn
kk
l
xnqm
l
n
dx
qMd
dx
qVd sin
Dla obciążenia równomiernie rozłożonego i momentami na końcach, w dowolnym kroku przyrostowym otrzymano- wyrażenie na amplitudę momentu zginającego od obciążenia zewnętrznego
oraz wyrażenia na pochodną siły poprzecznej
(7)
(6d)
. 1
2
10
2
1
11
11
211
2
nn
nn
n nnn
nn
l
xnqm
l
n
l
xnf
l
n
lxn
qmEJl
xnfk
lxn
fl
n
sinsin
sinsinsin
Podstawiając szeregi trygonometryczne do równań różniczkowych
odkształconej osi pręta, uzyskano równanie dla pierwszego kroku
przyrostowym
. gdzie ,
1
21
22
121
2
0
2
1
111
1
11
l
EJnN
kl
n
fl
n
NN
Nqm
f nkr
n
nkr
nkr
nn
,,
,,
,,
(8)
(8a)
a stąd wyrażenie na dowolną amplitudę strzałki ugięcia
, dla ,
1
2
22
1
1
l
EJnN
NN
N
fNqmf k
nkkr
knkkrk
nkkr
k
mnmkkn
kn
,,
,,
,,
1
1
k
mnmf
Analogicznie postępując, dla k - tego kroku przyrostowego otrzymano
gdzie
jest sumą amplitud przemieszczeń z poprzednich kroków przyrostowych.
(8b)
.0
dx
dy
dx
MdyxV
dx
dy
dx
Vdy
dx
dyx
Sumaryczne kąty obrotu przekrojów poprzecznych od wstępnych
i sprężystych wygięć oblicza się, zgodnie z rys. 2, wg wzoru
Rys. 2
(9)
Dla przyrostu obciążenia równomiernie rozłożonego oraz przyrostu momentów Mi, Mj, otrzymuje się:- w pierwszym kroku przyrostowym
,cos1 111111 lxn
qmfNl
nx
nnn
- w k – tym kroku przyrostowym
.cos11
1 l
xnfNqmfN
l
nx
n
k
mmnkkknkknkkk
(9a)
(9b)
.01
11 dx
dyxV
dx
ydx
Dla wstępnie wygiętego pręta obciążonego jak na rys 3.
przyrost sprężystego kąta obrotu w pierwszym kroku oblicza się wg wzoru
Rys. 3
(10)
.1
2
1111
01
1
11
n nkrnkr
njj
l
xn
NNN
fnM
Nn
l
Mx
cos
cos
,,,,
Wprowadzając szeregi trygonometryczne wraz amplitudami otrzymujesię w pierwszym kroku przyrostowym wyrażenie na przyrost sprężys-tego kąta obrotu
(10a)
A stąd dla x = 0 oraz x = l
,6 1
1
11
ij
ji C
EJ
lM ,
3 11
11
jj
jj C
EJ
lM
gdzie
n nkrnkr
nji
jNNN
fnMN
n
l
EJC ,
1
26
1111
01
1
21
1,,,,
cos
.1
23
1111
01
1
21
1
n nkrnkr
njj
j nNNN
fnMN
n
l
EJC
cos
cos
,,,,
(10b i c)
(10d)
(10e)
Analogicznie, w k – tym kroku przyrostowym uzyskano
lxn
NNN
fNnn
M
ln
xn nkkrnkkrkk
k
mnmk
kj
k
cos1
cos2
,,,,
1
1
oraz dla x = 0 oraz x = l
,6
ikj
k
kjki C
EJ
lM ,
3j
kjk
kjkj C
EJ
lM
gdzie
,1
26
1
1
2
n nkkrnkkrkk
k
mnm
kj
k
kikj
NNN
fnM
Nn
l
EJC
,,,,
cos
.1
23
1
1
2
n
NNN
fnM
Nn
l
EJC
n nkkrnkkrkk
k
mnm
kj
k
kjkj cos
cos
,,,,
(11a)
(11b i c)
(11d)
(11e)
,k ki1
1
ik
ki
ik
ik
ik
kikip K
M
K
M
K
M
,,
,
,
ikki
ikikikki KM
KKMk
,
,,,
1
111
Przyrost kąta obrotu od wpływu podatnego połączenia określa się ze wzoru
gdzie
Rys. 4. Zależność M - w podatnym węźle przy obciążeniach przemiennych
(12a)
(12b)
Przyrost kąta obrotu w pręcie podatnie utwierdzonym w węźle i
Rys. 5.
,3
3
3 ikk
kiikiki
kiik
kikiiki
k
kikipkiki KEJ
EJklKCM
K
kMC
EJ
lM
,
,
,
kikikik
iki
ikkki
kEJlKC
lK
l
EJM
3
3
,
,
.3
322 ki
kikikki
ikkkiji
kEJlKC
lK
l
EJ
l
MRR
,
,
(13a)
(13c)
(13b)
Przyrost kąta obrotu od wpływ przemieszczenia podpory o
Rys. 6. Pręt podatnie utwierdzony w węźle j
,3
3
jkk
kjkjkj
kjkjkjpkjkj KEJ
kEJKlCM
l ,
,
(13d)
.3
32
kjkjk
jkj
jkkkj
kEJKCl
lK
l
EJM
,
,
Skąd
(13e)
Rys. 6. Pręt podatnie utwierdzony w węźle j
(13d)
Reakcje w układzie aktualnym (osie x, y )
.3
33
kjkjk
jkj
jkkkjji
kEJKCl
lK
l
EJ
l
MRR
,
,
Rys. 6. Pręt podatnie utwierdzony w węźle j
(13e)
Reakcje w układzie pierwotnym (osie xp, yp )
,33
3 2
3
k
k
kjkjkj
kj
jkkkki
pkj
pki EJ
lN
kEJKCl
lK
l
EJ
lNRRR
,
,
Przyrosty kątów obrotu w pręcie podatnie utwierdzonym w węzłach i oraz j
Rys. 7.
od wpływu przyrostów momentów w węzłach i oraz j
.0
,
kjkjpkjkjkikjkj
kjkikikipkikiki
MMM
MMM
(14a)
Rys. 7. Pręt podatnie utwierdzony w węzłach i oraz j
Z przedstawionych zależności, po przekształceniach otrzymuje się
(14b),4
2 kiiji
kki l
EJM ,
23 kiiji
kkj l
EJM
(14c)
gdzie np.
i
kjj
kijkikkjkjkj
kjkikikiki
kjkjkj
kjiki
CClKKkEJKlCkEJKlC
kEJKlClK2
,,,,
,,2
334
33
W przypadku przemieszczenia podpory w węźle j w pręcie obustronnie
Rys. 8.
,kjki
,
,
kikjkjkjpkjkjkj
kjkikikipkikiki
MMM
MMM
podatnie utwierdzonym, zależności wyprowadzono z warunku, że
(14d)
Z porównania kątów obrotu, uzyskuje się zależności
(14e),6
,6
4242 ij
jk
kjiji
kki
l
EJM
l
EJM
,62 ,,
,4
kikikjMkjik
ikiik
ikiji
kEJlCkKlCK
lK
kjkj
kiMkijkj
kjjk
jkijj
kEJlCkKlCK
lK
62 ,,
,4
(14f)
(14g)
(14h)
gdzie
oraz
.62
621
,,,
,,,
lCKkEJlKCK
lCKkEJlKCK
kk
jkiikkikik
ikijk
ijkjkkjkjk
jjkik
MkjMki
Reakcje w układzie aktualnym i pierwotnym
(14i)
.122
1
2
112
,2
1
2
112
2
443
443
ykkij
jiji
kpkj
pki
ykij
jiji
kkjki
uEJ
lN
l
EJRR
ul
EJRR
(14j)
Wpływ obciążenia równomiernie rozłożonego
Rys. 9. Pręt obustronnie podatnie utwierdzony
,0
,0
kjkjkjkjpkikjkjkj
kjkikikipkikikiki
MMMp
MMMp
(15a)
,
312cos
6pi
,2
,
n
knjk
ikj
kjkjkj
kj
nknkjki C
l
n
KCl
kEJlKCnC
l
n
lMM
.6262 ,,,,2
,,12
kjkjkj
kjkikikikijkik
ikj
jki
jkikkjpi
kEJlKCkEJlKCKKCCl
KKCl
EJN
ln
fNn
n
lpN
Ckk
k
mnmk
kkk
kn
2
1
1
23
2
2sin
41
(15b)
(15c)
(15d)
Wyprowadzone w referacie wzory mogą mieć szersze zastosowa- nie. Poza wykorzystaniem ich do obliczania konstrukcji z połącze- niami podatnymi na obrót, z uwagi na możliwość zmiany sztyw- ności EJ oraz GA w kolejnych krokach przyrostowych, można je stosować np.:- do obliczania konstrukcji wzmacnianych, w których w czasie użytkowania zmieniają się przekroje elementów, czy też- do obliczania konstrukcji z elementami, o zmieniających się cha- rakterystykach przekroju pod wpływem obciążenia z uwagi na niestateczność miejscową ścianek.Można wówczas do komputerowego programu wprowadzić odpo- wiednie procedury określające zmianę wartości EJ oraz GA.Z kolei, wprowadzona we wzorach na reakcje podporowe zmiana konfiguracji na zasadzie efektu P - , pozwala śledzić ścieżkę poł- ożenia równowagi elementów, a tym samym stateczność ogólną układu.