WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Wydział Inżynierii Lądowej ... · WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Wydział Inżynierii Lądowej, Semestr III Jacek Chróścielewski, Czesław Szymczak,

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Wydział Inżynierii Lądowej, Semestr III

Jacek Chróścielewski, Czesław Szymczak, materiały pomocnicze do wykładu z WM 1

Charakterystyka, cel i zadania Wytrzymałość Materiałów (WM)• przedmiot badań: ciała odkształcalne, uproszczone modele matematyczne, proste obliczenia rachunkowe;• cel: dostarczenie podstaw teoretycznych umożliwiających wybór materiału i wymiarów elementów

konstrukcji tak aby całość spełniała zadania eksploatacyjne (zabezpieczenie przed zniszczeniem inadmiernymi deformacjami);

• dobór: przekroju poprzecznego ( , , , , ,...a b h d δ ) i kształtu (belki, łuki, ramy , ,...H L ) elementów konstrukcji;• badanie stanu wewnętrznego ciała, wyznaczanie: naprężeń (! ) i odkształceń ( " ), oraz przemieszczeń ( u );• warunki: wytrzymałości ( max Rσ ≤ ), sztywności ( max dopu u≤ ) i stateczności ( kr dop /P P n≤ ).

Podstawowe założenia wytrzymałości materiałów• ośrodek ciągły, materiał liniowo sprężysty, jednorodność i izotropowość;• liniowość ⇒ zasada superpozycji;• obciążenia statyczne (sposób narastania obciążenia);• małe deformacje i odkształcenia ⇒ zasada zesztywnienia (odstępstwo – zagadnienia stateczności i cięgna);• liniowa relacja naprężenia–odkształcenia ⇒ prawo Hooke'a (odstępstwo – nośność graniczna);• lokalność wpływu przyłożenia siły skupionej na naprężenia ⇒ zasada Saint-Venanta;• założenie płaskich przekrojów w prętach ⇒ hipoteza kinematyczna Bernoulliego (Kirchhoffa–Love’a),

belka Timoshenki (Reissnera–Mindlina).

Zasady (prawa) równowagi statyki (szczególny przypadek ogólnych zasad zachowania: masy, pędu i momentupędu, w mechanice układów inercjalnych).• uniwersalność zasad zachowania;• równowaga sił (1 równanie wektorowe = 3 równania skalarne 0iP∑ = , , ,i x y z= );• równowaga momentów (1 równanie wektorowe = 3 równania skalarne 0iM∑ = , , ,i x y z= );• pojęcie statycznej wyznaczalności i kinematycznej niezmienniczości układu (reakcje i stopnie swobody).

Przestrzenny stan naprężenia i odkształcenia (materiał częściowo objęty wykładem)• pojęcie wektora naprężenia #$%ó w punkcie (a) przekroju ciała A (

0lim ( )A

A∆

∆ ∆→

= P#$%ó ), zależność #$%! od

orientacji przekroju A , składowa normalna ( )|| || cosaσ α= ó i styczna ( )|| || sinaτ α= ó ( )( , )aα ≡! nó

( σ τ= +#$% #$% #$%n tó , np. na ściance X+ elementarnego sześcianu zapisuje się ( X)x xy xzσ τ τ+ = + +i j kó );

• stan naprężenia w punkcie ( (3 3)[ ]ijσ ×=ó , , , ,i j x y z= [macierz], 9 składowych - symetria ij jiσ σ= ⇒6 niezależnych, oznaczenie: normalne ii iσ σ≡ , styczne ij ijτ σ≡ , i j≠ );

• naprężenia główne I II IIIσ σ σ< < i kierunki główne I II III, ,ν ν ν (problem własny )σ =1 0# &σ ν ,

(3 3) (3 3) (3 1) (3 1)([ ] [1] ) 0ij jσ σ ν× × × ×− = );• równania ruchu, równowagi w punkcie (współrzędne kartezjańskie ,ij i j jf uσ ρ+ = "" , , 0ij i jfσ + = , , , ,i j x y z= );• odkształcenia w punkcie ( (3 3)[ ]ijε ×=ε , , , ,i j x y z= , 9 składowych - symetria ij jiε ε= ⇒ 6 niezależnych);• relacje odkształcenia-przemieszczenia ( )ij kf uε = , , , , ,i j k x y z= dla małych przemieszczeń / 1iu L<< i małych

odkształceń 1ijε << , ( 12 ( , , )ij i j j iu uε = + , kąt odkształcenia postaciowego 2ij ijγ ε= , i j≠ );

• odkształcenia główne I II IIIε ε ε< < i kierunki główne I II III, ,ν ν ν (problem własny )ε− =1 0#ε ν ,

(3 3) (3 3) (3 1) (3 1)([ ] [1] ) 0ij jε ε ν× × × ×− = );• struktura liniowych związków fizycznych (reprezentacja macierzowa, relacje: odkształcenia − naprężenia

(6 1) (6 6) (6 1) [D] ε σ× × ×= i odwrotna naprężenia − odkształcenia 1(6 1) (6 6) (6 1) [D] σ ε−

× × ×= ), uogólnione prawoHooke'a (jednorodny izotropowy materiał liniowo sprężysty - dwie niezależne stałe materiałowe np.:E - moduł sprężystości Younga, ν - współczynnik Poissona):

222

xx x

yy y

zz z

xy xy

xz xz

yz yz

ε εε εε ε

εε γε γε γ

= ≡

,

xx x

yy y

zz z

xy xy

xz xz

yz yz

σ σσ σσ σ

σσ τσ τσ τ

= ≡

,

1/ / / 0 0 0/ 1/ / 0 0 0/ / 1/ 0 0 0

[D]0 0 0 1/ 0 00 0 0 0 1/ 00 0 0 0 0 1/

E E EE E EE E E

GG

G

ν νν νν ν

− − − − − −

=

,

gdzie / 2(1 )G E ν= + - moduł odkształcenia postaciowego (ścinania).



Płaski stan naprężenia (PSN)• PSN – w rozważanym ciele wyróżniona jest płaszczyzna (np. x y− ) do której wszystkie wektory naprężeń

( X)x xyσ τ+ = +i jó ( ijσ , , ,i j x y= → x xxσ σ≡ , y yyσ σ≡ , xy xyτ σ≡ , yx yxτ σ≡ ) i obciążenia x yf f= +f i j

( x xX f Rρ= = , y yY f Rρ= = ) są równoległe ⇒ wektory prostopadłe do x y− z założenia są równe zero;• lokalne równania równowagi PSN (z warunków równowagi elementu różniczkowego d dx y , ( ) 0AM∑ = ⇒

xy yxτ τ= , 0xP∑ = ⇒ / / 0x yx xx y fσ τ∂ ∂ +∂ ∂ + = , 0yP∑ = ⇒ / / 0xy y yx y fτ σ∂ ∂ +∂ ∂ + = lub w notacjiindeksowej ij jiσ σ= , , 0ij i jfσ + = , , ,i j x y= ), muszą być spełnione w każdym punkcie ciała;

• znajomość , ,x y xyσ σ τ pozwala wyznaczyć naprężenia ,ϕ ϕσ τ w dowolnie zorientowanym przekroju( , )xϕ =! n , z warunków równowagi elementarnego trójkąta (wykorzystując sindx dsϕ= , cosdy dsϕ= )

mamy 2 2cos sin 2 sin cosx y xyϕσ σ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕ= + + , 2 2( )sin cos (cos sin )x y xyϕτ σ σ ϕ ϕ τ ϕ ϕ= − − + − , następnie

po uwzględnieniu tożsamości trygonometrycznych 2 12cos (1 cos 2 )ϕ ϕ= + , 2 1

2sin (1 cos 2 )ϕ ϕ= − ,

sin2 2sin cosϕ ϕ ϕ= , 2 2cos2 sin cosϕ ϕ ϕ= − ) otrzymuje się 1 12 2( ) ( ) cos 2 sin 2x y x y xyϕσ σ σ σ σ ϕ τ ϕ= + + − + ,

12 ( )sin 2 cos 2x y xyϕτ σ σ ϕ τ ϕ=− − + ;

• normalne naprężenia ekstremalne, poszukiwanie takiego przekroju 0ϕ dla którego 0ϕσ są ekstremalne, z

warunku 0 0d /d ( ) sin 2 2 cos 2 0x y xyϕσ ϕ σ σ ϕ τ ϕ=− − + = ⇒ 0tan 2 2 /( )xy x yϕ τ σ σ= − → 0ϕ , w zakresie 2πistnieją dwie wartości 02ϕ spełniające d /d 0ϕσ ϕ = różniące się o π ⇒ istnieją dwa przekroje prostopadłe

( /2π ) w których naprężenia są ekstremalne, ponieważ zachodzi 12d /dϕ ϕσ ϕ τ= , ekstremalne σ występuje

dla 0ϕτ = co oznacza, że ekstremalne naprężenia normalne są naprężeniami głównymi 1 maxσ σ= i 2 minσ σ= ,kąty je określające, wykorzystując 0tan 2 2 /( )xy x yϕ τ σ σ= − ⇒ 02 ( ) tan 2xy x yτ σ σ ϕ= − , oblicza się z warunku

2 2 20 0 0 0d /d 2( )cos 2 4 sin 2 2( )cos 2 [1 tan 2 ]x y xy x yϕσ ϕ σ σ ϕ τ ϕ σ σ ϕ ϕ=− − − = − − + , stąd

01 max|ϕσ σ= dla2 2d /d 0ϕσ ϕ < ⇒ 0( ) cos 2 0x yσ σ ϕ− > , odpowiednio

02 min|ϕσ σ= dla 0( ) cos 2 0x yσ σ ϕ− < , uwzględniając

0tan 2 2 /( )xy x yϕ τ σ σ= − w tożsamościach 2 1/ 2 2 2 1/ 20 0cos 2 (1 tan 2 ) ( )[( ) 4 ]x y x y xyϕ ϕ σ σ σ σ τ− −=± + =± − − + ,

2 1/ 2 2 2 1/ 20 0 0sin 2 tg2 (1 tan 2 ) 2 [( ) 4 ]xy x y xyϕ ϕ ϕ τ σ σ τ− −=± + = ± − + po podstawieniu do zależności na ϕσ

otrzymuje się 2 2 1/ 21 2, [( ) ]

2 2x y x y

xy

σ σ σ σσ τ

+ −= ± + , łatwo zauważyć, że suma 1 2 x yσ σ σ σ+ = + jest

niezmiennikiem;• styczne naprężenia ekstremalne, poszukiwanie takiego przekroju 0ϕ dla którego

0ϕτ są ekstremalne; zwarunku 0 0d /d ( )cos 2 2 sin 2 0x y xyϕτ ϕ σ σ ϕ τ ϕ=− − − = ⇒ 0tan 2 ( ) / 2x y xyϕ σ σ τ=− − ponieważ zachodzi

10 0tan 2 tan 2ϕ ϕ−=− ⇒ 0 0 /4ϕ ϕ π= + płaszczyzny naprężeń głównych tworzą kąt o45 z płaszczyznami

ekstremalnych naprężeń stycznych, wykorzystując 0tan 2 ( ) / 2x y xyϕ σ σ τ=− − , analogicznie do naprężeń

normalnych otrzymuje się 2 2 1/ 2 1 23 [( ) ]

2 2x y

xy

σ σ σ στ τ− −=± + = , jednocześnie

0 2x y

ϕ

σ σσ

+= , z rozważań

trójwymiarowych wynika, że ekstremalne naprężenia styczne w PSN nie leżą w płaszczyźnie obciążenia, leczpod kątem o45 do niej i wynoszą 1 2 / 2τ σ=± , 2 1 / 2τ σ=± ;

• koło Mohra – interpretacja graficzna PSN, konstrukcja wynika z przekształcenia wzorów na ,ϕ ϕσ τ , grupując

i podnosząc obustronnie do kwadratu kolejno mamy 2 21 12 2[ ( )] [ ( ) cos 2 sin 2 ]x y x y xyϕσ σ σ σ σ ϕ τ ϕ− + = − + ,

2 212[ ] [ ( )sin 2 cos 2 ]x y xyϕτ σ σ ϕ τ ϕ= − − + po dodaniu stronami otrzymuje się równanie okręgu

2 2 212[ ( )] [ ]x y Rϕ ϕσ σ σ τ− + + = o promieniu 2 2 21

2[ ( )] [ ]x y xyR σ σ τ= − + ;• powyższe zależności dot. naprężeń głównych wynikają z rozwiązania problemu własnego )σ =1 0# &σ ν ⇒

00

x xy x

xy y y

σ σ τ ντ σ σ ν

− = − ⇒ det 0x xy

xy y

σ σ ττ σ σ−

= − ⇒ 2( )( ) 0x y xyσ σ σ σ τ− − − = ⇒

2 2( ) ( ) 0x y x y xyσ σ σ σ σ σ τ− + + − = ⇒ 1 1( , )σ ν i 2 2( , )σ ν .• zadanie: dane , ,x y xyσ σ τ wyznaczyć ,ϕ ϕσ τ w płaszczyźnie ϕ ;• zadanie: dane , ,x y xyσ σ τ wyznaczyć naprężenia główne 1σ i 2σ oraz 01ϕ i 02ϕ , koło Mohra;• zadanie: dane naprężenia główne 1σ i 2σ wyznaczyć ,ϕ ϕσ τ w płaszczyźnie ϕ , koło Mohra.



Płaski stan odkształcenia (PSO)• PSO – odkształcenia ( ijε ) występują tylko w płaszczyznach równoległych do danej stałej płaszczyzny (np.

x y− ⇒ ijε , , ,i j x y= → x xxε ε≡ , y yyε ε≡ , 2xy xyγ ε≡ , 2yx yxγ ε≡ , pozostałe składowe z założenia są równezero 0zj jzε ε= = , ,j x y= );

• deformacja naroży ABDC A B D C′ ′ ′ ′→ powierzchniowego elementu różniczkowego d dx y× , np.

x yAA u u′= = +#####$

u i j , d d ( d d ) ( d d )y yx xx y

u uu uDD x y u x y u x yx y x y x y

∂ ∂∂ ∂∂ ∂′ = + + = + + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

######$ u uu i j , wynikająca z

rozwinięcia pola przemieszczeń ( , )x y=u u w szereg Taylora, ograniczonego (założenie o małychodkształceniach) do wyrazów pierwszego rzędu;

• deformacja AD A D′ ′→ odcinak przekątniowego 0d ds s→ powierzchniowego elementu d dx y× ,

0d d dAD s x y= = +#####$ ####$

i j , d (d d d ) (d d d )y yx x u uu uA D s x x y y x yx y x y

∂ ∂∂ ∂′ ′ = = + + + + +∂ ∂ ∂ ∂

#######$ ##$i j , stąd (zgodnie z założeniem

o małych deformacjach ,x yu u ) pomijając iloczyny typu x xu ux y

∂ ∂∂ ∂

jako małe drugiego rzędu, można obliczyć

przybliżenie różnicy kwadratów 2 2 2 20(d ) (d ) 2[ (d ) (d ) ( )d d ]y yx xu uu us s x y x y

x x y x∂ ∂∂ ∂

− ≈ + + +∂ ∂ ∂ ∂

;

• jednostkowe odkształcenie podłużne: 0 0 0(d d ) / d d /d 1s s s s sε = − = − jest to stosunek wydłużenia ( 0d ds s− )odcinka materialnego do jego długości początkowej ( 0ds ), dla małych odkształceń (pomijając składniki

drugiego rzędu) otrzymuje się 2 2

0 0 02

0 0 00

(d ) (d ) d d d d d( 1) ( 2) 2d d d(d )

s s s s s s ss s ss

ε ε ε ε− − += = + = + ≈ stąd

2 22 20

20 0 0 00

(d ) (d )1 ( ) ( ) ( )2 (d )

y yx xu us s u udx dy dx dyx ds x ds y x ds dss

ε∂ ∂− ∂ ∂

≈ = + + +∂ ∂ ∂ ∂

, wprowadzając oznaczenia xx

ux

ε ∂=

∂,

yy

ux

ε∂

=∂

, ( )yxxy xy yx

uuy x

γ ε ε∂∂

= + = +∂ ∂

i uwzględniając 0

cosdxds

ϕ= , 0

sindyds

ϕ= , otrzymuje się wzór na

jednostkowe odkształcenie podłużne w kierunku ϕ : 2 2cos sin sin cosx y xyϕε ε ϕ ε ϕ γ ϕ ϕ= + + ;

• podobieństwo wzoru 2 2cos sin sin cosx y xyϕε ε ϕ ε ϕ γ ϕ ϕ= + + do wzoru z PSN2 2cos sin 2 sin cosx y xyϕσ σ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕ= + + wskazuje na analogię ϕ ϕσ ε↔ , x xσ ε↔ , y yσ ε↔ ,

2 xy xyτ γ↔ , która pozwala natychmiast wypisać zależności analogiczne do wyprowadzonych w PSN, stąd np.

odkształcenia główne wynoszą 2 2 1/ 21 2, [( ) ( ) ]

2 2 2x y x y xyε ε ε ε γ

ε+ −

= ± + , 0tan 2 /( )xy x yϕ γ ε ε= − ;

• interpretacja xε - odkształcenie jednostkowe krawędzi AB d

d

xdef x x

xx

uu x u uA B AB xAB x x

ε

∂+ −′ ′ ∂− ∂= = =∂

;

• interpretacja yε - odkształcenie jednostkowe krawędzi AC d

d

yy ydef

yy

uu y u uA C AC y

AC y yε

∂+ − ∂′ ′ − ∂= = =

∂;

• interpretacja 2xy xyγ ε= - kąt odkształcenia postaciowego (spaczenie), zmiana kąta między ściankami elementu

dd2

d d

xy

yxxy xy yx xy

uu yx uuyxx y y x

γ ε ε ε

∂∂∂∂∂∂= + = = + = +

∂ ∂;

• zadanie: dane , ,x y xyε ε γ wyznaczyć ,ϕ ϕε γ w kierunku ϕ ;• zadanie: dane , ,x y xyε ε γ wyznaczyć odkształcenia główne 1ε i 2ε oraz 01ϕ i 02ϕ , koło Mohra;• zadanie: dane odkształcenia główne 1ε i 2ε wyznaczyć ,ϕ ϕε γ w kierunku ϕ , koło Mohra;• zadanie: dane odkształcenia jednostkowe pomierzone w trzech różnych kierunkach (tzw. rozetka) np.

o o o0 45 90, ,ε ε ε (lub o o o0 60 120

, ,ε ε ε ) wyznaczyć odkształcenia główne 1ε i 2ε oraz 01ϕ i 02ϕ .



Związki fizyczne (relacje konstytutywne)• są to prawa szczególne ujmujące własności materiału (tyle praw ile typów materiałów) mają postać relacji

między stanem odkształcenia ε a stanem naprężenia ó , dla materiału sprężystego (czyli niezależnego odhistorii obciążenia ciała, co oznacza zależność tylko od stanu aktualnego) mają ogólną postać , , )= #ε σ x nF ,w przypadku materiału liniowo − sprężystego funkcja materiałowa , )= #x nF F nie zależy od ó , w przypadkumateriału jednorodnego funkcja , )= # nóF F nie zależy od położenia x punktu w ciele, w przypadkumateriału izotropowego funkcja materiałowa , )= # xóF F nie zależy od kierunku n przekroju, zatem dlajednorodnego izotropowego materiału liniowo − sprężystego funkcja materiałowa ( )const=F jest stała, cowięcej ze ścisłych rozważań teorii sprężystości wynika, że ten typ materiału określony jest całkowicie tylkoprzez dwie niezależne stałe materiałowe;

• najbardziej popularnymi stałymi używanymi do opisu jednorodnego izotropowego materiału liniowo −sprężystego są: a) moduł sprężystości E (moduł Younga) [ 2/N m ] − charakteryzuje opór materiału jakistawia on przy rozciąganiu, b) współczynnik Poissona ν [-] − charakteryzuje stosunek odkształceńpoprzecznych do odkształceń podłużnych, c) moduł odkształcenia postaciowego (ścinania) / 2(1 )G E ν= +[ 2/N m ] − wyraża się przez stałe E i ν ;

• uogólnione prawo Hooke’a − związek fizyczny dla stanu przestrzennego 6 równań skalarnych wiążących 6

składowych naprężeń z 6-cioma składowymi odkształceń: 1 ( ( ))x x y zEε σ ν σ σ= − + , 1 ( ( ))y y x zE

ε σ ν σ σ= − + ,

1 ( ( ))z z x yEε σ ν σ σ= − + , xy

xy Gτ

γ = , xzxz G

τγ = , yzyz G

τγ = , gdzie

2(1 )EG

ν=

+ lub postać odwrotna: xy xyGτ γ= ,

xz xzGτ γ= , yz yzGτ γ= , [(1 ) ( )](1 )(1 2 )x x y z

Eσ ν ε ν ε εν ν

= − + ++ −

, [(1 ) ( )](1 )(1 2 )y y x z


= − + ++ −

,

[(1 ) ( )](1 )(1 2 )z z x y


= − + ++ −

;

• płaski stan naprężenia PSN 0z zx zyσ τ τ= = = ⇒ 1 ( )x x yEε σ νσ= − , 1 ( )y y xE

ε σ νσ= − , ( )z x yEνε σ σ=− + ,

xyxy G

τγ = , postać odwrotna: xy xyGτ γ= , 2 ( )

1x x yEσ ε νεν

= +−

, 2 ( )1y y x

Eσ ε νεν

= +−

;

• płaski stan odkształcenia PSO 0z zx zyε γ γ= = = ⇒ ( )z x yσ ν σ σ= + , [(1 ) ](1 )(1 2 )x x y

Eσ ν ε νεν ν

= − ++ −

,

[(1 ) ](1 )(1 2 )y y x

Eσ ν ε νεν ν

= − ++ −

, ( )(1 )(1 2 )z x y

Eνσ ε εν ν

= ++ −

, xy xyGτ γ= , postać odwrotna: xyxy G

τγ = ,

(1 ) [(1 ) ]x x yEνε ν σ νσ+= − − , (1 ) [(1 ) ]y y xE

νε ν σ νσ+= − − ;

• uwaga a) wykazanie zależności pomiędzy modułem odkształcenia postaciowego G a stałymi E i ν ,rozważa się przypadek czystego ścinania w PSN (tzn. tylko 0xyτ τ= ≠ ) dla którego prawo konstytutywne ma

postać / Gγ τ= , naprężenia główne występują w przekroju obróconym o o45 i wynoszą 1σ τ= , 2σ τ=− ,

odkształcenie główne z prawa Hooke’a 1 1 21 1( ) (1 )E E

ε σ νσ ν τ= − = + , zakładając d dy x= wydłużenie

przekątnej wynosi 1 1d d 2 ds s x∆ ε ε= = , odpowiednie obliczone z zależności geometrycznych na podstawie

γ wynosi 2 21 12 2d ( d ) ( d ) d / 2s x x x∆ γ γ γ= + = , stąd 1 /2ε γ≡ ⇒ 1

1 (1 )2 2E Gγ τε ν τ= + ≡ = ⇒

2(1 )EG

ν=

+;

• uwaga b) ograniczenie na liczbę Poissona, rozważmy przyrost objętości jednostkowego sześcianu w PSNpoddanemu rozciąganiu opisanym naprężeniami , 0x yσ σ > ( 0xyτ = ):

(1 )(1 )(1 ) 1x y z x y zV∆ ε ε ε ε ε ε= + + + − ≈ + + = 1 1( ) ( ) ( )x y y x x yE E Eνσ νσ σ νσ σ σ− + − − + = (1 2 )x y

Eσ σ

ν+

−

zgodnie z intuicją fizyczną 1 2 0ν− ≥ ⇒ 1/ 2ν ≤ ;• zadanie: w PSN dane są , ,x y xyε ε γ i ,E ν wyznaczyć naprężenia główne 1 2,σ σ i 01 02,ϕ ϕ oraz ekstremalne

naprężenia styczne 3τ (określić płaszczyznę ich występowania).



Pojęcie pręta (prosty, płaski, przestrzenny): krzywa (przestrzenna) wyposażona w dodatkową strukturę -zagadnienie jednowymiarowe; pręt: pryzmatyczny, o zmiennym przekroju, cienkościenny.• redukcja zagadnienia trójwymiarowego do jednowymiarowego;• oś pręta (orientacja układu odniesienia), dyskusja jej usytuowania ( )z w stosunku do przekroju

poprzecznego ( , )x y (środek ciężkości, środek skręcania);• założenie płaskich przekrojów z ax by cε ε≡ = + + , hipoteza kinematyczna Bernoulliego, belka Timoshenki;• przekrojowe siły wewnętrzne (wektory W i M - zapewniające równowagę odciętej myślowo części pręta),

wypadkowy wektor sił wewnętrznych ( x x y y zT T NW e e e= + + ), składowe: poprzeczne ,x yT T (siły tnące) ipodłużna N (siła normalna), wypadkowy wektor momentów wewnętrznych ( x x y y s zM M MM e e e= + + ),składowe: zginające ,x yM M i skręcająca s zM M≡ , konwencja znaków;

• definicja sił przekrojowych (obowiązuje niezależnie od rozkładu naprężeń):

d ,

d d ,

d ,

x zxA

y zyA A

zA

T A

A T A

N A

W

τ

τ

σ

≡≡ ⇒ ≡

≡

∫∫ ∫

∫ó

d ,

( )d d ,

( y)d ,

x zA

y zA A

s zy zxA

M A

A M A

M x A

M r

σ

σ

τ τ

≡≡ × ⇒ ≡ −

≡ −

∫∫ ∫

∫ó

( , , ) zx x zy y z zx y z e e eτ τ σ= + +ó wektor naprężenia w punkcie ( , ) x yx y x yr e e= + przekroju pręta ( )A z ;• wyznaczenie przekrojowych sił wewnętrznych ( ), ( ), ( )x yT z T z N z , ( ), ( ), ( )x y sM z M z M z jest zadaniem

Statyki (Mechaniki) Budowli, podczas gdy wyznaczenie rozkładów naprężeń ( , , )x y zó przy danych siłachwewnętrznych jest zadaniem wytrzymałości Materiałów

• lokalne równania równowagi płaskiego pręta prostego (belki) - zależności różniczkowe pomiędzy ( )xM z ,( )yT z , ( )N z i obciążeniem ciągłym ( )xm z , ( )yq z , ( )zq z (z warunku równowagi elementu różniczkowego

o długości dz : d /d zN z q= − , d /dy yT z q=− , d /dx y xM z T m= + , 2 2d /d d /dx y xM z q m z=− + );• wykresy sił wewnętrznych ( )xM z , ( )yT z , ( )N z (interpretacja, ciągłość, wartości ekstremalne, rysowanie);• stany wytężenia pręta: proste (jedna składowa 0≠ ) i złożone (kombinacja kilku składowych 0≠ ).

Jednoosiowy stan naprężenia (tylko 0N ≠ , prosty stan wytężenia): rozciąganie 0N > i ściskanie 0N < . • założenia dodatkowe (tylko 0zσ σ≡ ≠ i ( , , ) ( )x y z z constσ σ σ= = = w przekroju ( )A z );

• siła i naprężenia normalne (z definicji ( )

( ) ( , , )d d ( ) ( )z z zA z AN z x y z A A z A zσ σ σ≡ = =∫ ∫ ⇒ ( ) ( ) / ( )z N z A zσ = );

• odkształcenia: podłużne i poprzeczne (z uogólnionego prawa Hooke'a dla składowej naprężenia 0zσ σ≡ ≠⇒ / /z z E N EAε ε σ≡ = = oraz /p x y z zEε ε ε νσ νε≡ = = − = − );

• wydłużenie pręta (z relacji odkształcenia-przemieszczenia 12 ( , , ) d /dz z z z zu u u zε ε≡ = + = ⇒ d du zε= ⇒

( ) ( )| d ( ) / ( ) d ( ) / ( ) ( ) db b b

a b z za a au z z E z z N z E z A z zε σ− = = =∫ ∫ ∫ , dla /N EA const= ⇒ | | /a b a bu Nl EA− −= ;

• obciążenia termiczne ot ( tα - wsp. termicznej rozszerzalności liniowej 1[(deg) ]− , podłużne odkształcenietermiczne t t tε α= , swobodne wydłużenie odcinka pręta o długości l , t tl l tl∆ ε α= = );

• wykresy sił normalnych ( )N z , przemieszczeń ( )zu z , układy statycznie niewyznaczalne (koncepcjarozwiązania, warunek geometryczny, plan przemieszczeń przy założeniu małych deformacji);

• ograniczenia stosowalności - jednorodność rozkładu naprężeń w przekroju: a) jest ważna w pewnej odległościod miejsca przyłożenia siły (zasada de Saint-Venanta), b) jest ważna dla prętów o stałym przekroju lub o,,łagodnych” zmianach, w przypadku zmian silnych lub skokowych występuje koncentracja naprężeń;

• współczynnik koncentracji naprężeń β dla rozciąganej taśmy o szerokości b z otworem o średnicy dwynosi:

d/b 0 0.2 0.4 0.8β 3 2.48 2.22 2.08

• wymiarowanie przekroju z warunku wytrzymałości ( /oblA N Rσ= zależnie od metody - normy: oblN - siła

obliczeniowa, Rσ - wytrzymałość obliczeniowa; • metoda naprężeń dopuszczalnych dopRσ σ≡ ( /dop plR nσ = dla mat. plastycznych albo dla mat. kruchych

/dop rR nσ = lub /dop cR nσ = , wsp. bezpieczeństwa 1n > ( 1.5 10n ≈ ÷ zależnie od materiału i zagadnienia);



• metoda naprężeń granicznych 1 2/ ...i i nP A R k k kσ η= ∑ ≤ , gdzie , , pl r cR R R R= , 1iη ≥ , wsp. przeciążenia(zależy od rodzaju obciążenia), 1ik ≤ , np. 1k −wsp. jednorodności materiału (zależy od mat., war. produkcjiitp.), 2k − współczynniki warunków pracy (zależy od war. realizacji konstrukcji);

• metoda stanów granicznych 1 2...i i gr nA P N k k kσ η=∑ ≤ , grN oznacza nośność przekroju lub całej konstrukcji; • wymiarowanie przekroju z warunku sztywności (geometrycznego max ( ) dopu u A u= ≤ ⇒ A ); • ponadto musi być sprawdzony warunek stateczności konstrukcji (o czym będzie mowa później);

Zwykła statyczna próba rozciągania (i ściskania), fakty eksperymentalne, podstawa wzór np.: 0 0/E Nl A l∆= .• krzywa rozciągania stali miękkiej, żeliwa, betonu, drewna, gumy ( 0P l∆− ⇒ σ ε− gdzie 0/P Aσ = ,

0 0/l lε ∆= ), liniowy i nieliniowy zakres sprężysty, płynięcie plastyczne (odkształcenia trwałe – plastyczne,odkształcenia sprężyste), wzmocnienie materiału, utrata stateczności materiału (szyjka), zniszczenie (złomy);

• obciążenie, odciążenie zakres sprężysty i plastyczny, naprężenia umowne (nominalne) i rzeczywiste (szyjka);• materiał o jednakowej (np. stal) i niejednakowej (np. beton) wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie (rys.);• interpretacja modułu sprężystości (wykres σ ε− ⇒ tanE α= dla H propRσ σ≤ = ) (próba ścisła);• granice: proporcjonalności H propR σ= (stosowalności prawa Hooke'a), sprężystości s sprR σ= , plastyczności

(wyraźna) pl plastR σ= , wytrzymałości na rozciąganie maxrR σ= , wytrzymałości na ściskanie mincR σ= − ;• granice umowne (próba ścisła).

E ν pl plastR σ= maxrR σ= , [ MPa ]

Materiał [ GPa ] [ ]− [ MPa ] rozciąganie ściskanieStal zwykła 210 0.33 220-240 320-380 320-380Stal o wysokiej wytrzymałości 210 0.33 320-360 520-640 520-640Stop aluminium 72 0.34 90-300 90-430 90-430Sosna (wzdłuż włókien) 10 − − ! 55 ! 35Sosna (poprzecznie do włókien) 0.3 − − ! 4 ! 5Beton konstrukcyjny 15-40 ! 0.16 − 0.5-3 5-50Cegła 2-4 − − 0.5-3 5-15

Charakterystyki geometryczne figur płaskich• momenty statyczne w/z osi dx cA

S y A Ay= ≡∫ , dy cAS x A Ax= ≡∫ ; środek ciężkości /c xy S A= , /c yx S A= , osie

centralne 0 0,x y - przechodzących przez środek ciężkości, jeśli figura ma oś symetrii to jej środek ciężkościleży na tej osi, jeśli ma dwie osie symetrii to środek ciężkości leży na ich przecięciu; dla figury złożonej z nczęści 1( )n

x i i ciS A y== ∑ , 1( )ny i i ciS A x== ∑ , iA , ( ,ci ciy x ) pole i współrzędne środka ciężkości figury i ;

położenie środka ciężkości figury złożonej z dwóch części - sposób wykreślny;• momenty bezwładności w/z osi 2dx A

J y A= ∫ , 2dy AJ x A= ∫ , biegunowy 2 2 2

o d ( + )d +x yA AJ r A x y A J J= = =∫ ∫ ,

dewiacyjny dxy AJ xy A=∫ , zawsze o, , 0x yJ J J > , promienie bezwładności 1/ 2( )k ki J A= , , , ,k x y xy o= ;

• centralne (środkowe) momenty bezwładności - 0 0 0 0, ,x y x yJ J J momenty w/z osi centralnych 0 0,x y );

• wzór Steinera (postać szczególna 0

2x x cJ J Ay= + ,

0

2y y cJ J Ax= + ,

0 0xy x y c cJ J Ax y= + gdzie 0 0 0 0, ,x y x yJ J J są

momentami w/z osi centralnych 0 0,x y , gdzie ( , )c cx y są współrzędnymi tego środka ciężkości wewspółliniowym 0 ||x x , 0 ||y y układzie odniesienia x , y ; dla figury złożonej z n części

0

21( )

i

nx i x i ciJ J A y== ∑ + ,

0

21( )

i

ny i y i ciJ J A x== ∑ + ,

0 01( )i i

nxy i x y i ci ciJ J A x y== ∑ + );

• znajomość , ,x y xyJ J J pozwala wyznaczyć momenty bezwładności , ,J J Jη ξ ηξ w układzie współrzędnych owspólnym początku i obróconych o kąt ϕ ( ( , )x"ϕ ξ+ = mierzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara)wykorzystując transformację współrzędnych cos sinx yξ ϕ ϕ= − , sin cosx yη ϕ ϕ= + , z definicji mamy

2 2 2d cos sin 2sin cosx y xyAJ A J J Jξ η ϕ ϕ ϕ ϕ≡ = + +∫ , 2 2 2d sin cos 2sin cosx y xyA

J A J J Jη ξ ϕ ϕ ϕ ϕ≡ = + −∫ ,

2 2d ( ) sin cos (cos sin )x y xyAJ A J J Jηξ ηξ ϕ ϕ ϕ ϕ≡ = − − + −∫ ;

• podobieństwo wzoru 2 2cos sin 2sin cosx y xyJ J J Jξ ϕ ϕ ϕ ϕ= + + do wzoru z PSN (tak jak w przypadku PSO)2 2cos sin 2 sin cosx y xyϕσ σ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕ= + + wskazuje na analogię Jϕ ξσ ↔ , x xJσ ↔ , y yJσ ↔ , xy xyJτ ↔ ,

która pozwala natychmiast wypisać zależności analogiczne do wyprowadzonych w PSN, stąd np. główne



momenty i główne osie bezwładności 2 2 1/ 21 11,2 2 4( ) [ ( ) ]x y x y xyJ J J J J J= + ± − + , 02 2 /( )xy x ytg J J Jϕ = − , warunek

maksimum 01( )cos 2 0x yJ J ϕ− > ; osie główne (1,2 ) są ortogonalne 01 02 / 2ϕ ϕ π= + ; w układzie osigłównych 12 0J = ; warunek niezmienniczości względem obrotu 1 2 x yJ J J J J J constξ η+ = + = + = ;

• główne centralne (środkowe) momenty i osie bezwładności ( 1 2,J J i 1,2 ), dla układu centralnego 0x x= ,

0y y= (o początku w środku ciężkości) jeśli figura ma oś symetrii to jest to oś główna - jeśli ma dwie osiesymetrii to są to główne centralne osie bezwładności - jeśli ma trzy i więcej, to każda prosta przez środekciężkości jest główną centralną osią bezwładności); znajomość:

0

3/12xJ bh# = , 1

3| dolna / 3xJ bh# = ,

1

3| dolna /12xJ bh∆ = ,

0

3/ 36xJ bh∆ = , O 4o / 2J rπ= ,

0 0

O O O 4o / 2 / 4x yJ J J rπ= = = ;

• graficzne wyznaczanie 1 2 0, ,J J ϕ - metoda Mohra (orientacja osi , ,x y xyJ J J , uwaga dla kąta ( , )x"ϕ ξ+ =odmierzanego zgodnie z ruchem wskazówek zegara, oś momentów dewiacyjnych xyJ skierowana w dół);

• obliczanie charakterystyk dla przekrojów cienkościennych (grubość ścianki δ << od pozostałych wymiarów, , ,...a b h - składniki z 2δ i w wyższej potędze są bardzo małe - pomijamy).

Zginanie czyste, (tylko wektor momentu 0x x y yM MM e e= + ≠ ⇒ tylko 0zσ σ≡ ≠ ) • przyjmuje się: zginanie w osiach centralnych 0x yS S= = ; • hipoteza kinematyczna Bernoulliego – założenie o płaskich przekrojów: przekroje początkowo płaskie i

prostopadłe do osi pręta pozostają płaskie i prostopadłe do osi pręta w trakcie procesu deformacji, oznaczato, że doznają one tylko obrotów, konsekwencja postać funkcji ( , ) zx y ax by cε ε≡ = + + ; założenie onaprężeniach: w przekrojach prostopadłych do osi pręta ( z ) występują tylko naprężenia normalne zσ σ≡ ;

• z prawa Hooke'a ( , ) ( , ) ( )z zx y E x y E ax by cσ ε≡ = + + i definicji sił przekrojowych otrzymuje się układ

d ( )d

d ( ) d

d ( ) d

zA A

x zA A

y zA A

N A E ax by c A

M y A E ax by c y A

M x A E ax by c x A

σ

σ

σ

= = + + = = + +

= − = − + +

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

⇒ x y

x x xy x

y xy y y

A S S Ec NS J J Eb MS J J Ea M

= −

;

• dla czystego zginania 0N = w układzie osi centralnych 0x yS S= = wyznaczamy stałe , ,Ea Eb Ec ⇒

0c = , 2( ) ( )x y y xy x y xyEb M J M J J J J= + − , 2( ) ( )y x x xy x y xyEa M J M J J J J= − + − ;

• podstawiając stałe otrzymamy wzór na naprężenia 2 2( , ) y x x xy x y y xyz

x y xy x y xy

M J M J M J M Jx y x y

J J J J J Jσ

+ += − +

− −;

• oś obojętna lub zerowa ( , ) 0z x yσ = ⇒ y x x xy

x y y xy

M J M Jy x

M J M J+

=+

, przechodzi przez początek układu;

• naprężenia ekstremalne występują w punktach najbardziej oddalonych od osi zerowej (obojętnej); • zginanie w głównych centralnych osiach bezwładności ( 0x y xyS S J= = = ) wzory ulegają uproszczeniu

( , ) ( / ) ( / )z y y x xx y M J x M J yσ = − + , oś obojętna ( , ) 0z x yσ = ⇒ ( / )y x x yy M J M J x= ; • naprężenia w przekroju o dwóch osiach symetrii ⇒ są to główne centralne osie bezwładności oraz

max min| |x x= i max min| |y y= stąd | | / | | /eks x x y yM W M Wσ = ± ± , gdzie max/x xW J y= , max/y yW J x= nazywa sięwskaźnikami wytrzymałości w/z odpowiednich osi;

• zginanie proste (płaskie) odbywa się w głównych centralnych osiach bezwładności i zachodzi kiedy jedna zeskładowych wektora M jest równa zero np.: 0yM = (inaczej mówimy o zginaniu ukośnym), naprężenia

( ) ( / )z x xy M J yσ = , oś zerowa 0y = , naprężenia w skrajnych włóknach: w górnym /g gx xM Wσ = − , dolnym

/d dx xM Wσ = , gdzie wskaźniki wytrzymałości: górny / | |g g

x xW J y= i dolny / | |d dx xW J y= ;

• lokalna deformacja osi ( z ) belki w zginaniu prostym ⇒ prosta 0y = jest jednocześnie główną centralnąosią bezwładności i osią naprężeń zerowych; dla wydłużenia pasma długości dz oddalonego o y przyzakrzywieniu 1κ ρ= osi belki do łuku kołowego o promieniu d dzρ ϕ= , obowiązuje geometrycznywarunek zgodności ( )d dz y z yε ϕ= ⇒ ( ) (d / d )z y z yε ϕ= , wykorzystując prawo Hooke'a ( ) ( )z zy E yσ ε=

(d / d )E z yϕ= i definicję momentu ( ) dx zAM y y Aσ= ∫ 2(d / d ) d

AE z y Aϕ= ∫ 2(d / d ) d

AE z y Aϕ= ∫

(d / d ) xE z Jϕ= otrzymuje się równanie na krzywiznę osi belki 1 d d x xz M EJκ ρ ϕ= = = , gdzie xEJ -nazywa się sztywnością na zginanie; rozwiązanie opisuje deformację belki w łuk kołowy i jest rozwiązaniemścisłym w ramach przyjętych założeń.



Mimośrodowe rozciąganie/ściskanie, (stan złożony: 0x x y yM MM e e= + ≠ , 0zNW e= ≠ ⇒ 0zσ σ≡ ≠ ), • traktujemy jako superpozycję stanów: osiowego rozciągania/ściskania i zginania ukośnego, czyli

( ) ( , )NNx y constA

σ = = i ( ) 2 2( , ) y x x xy x y y xyM

x y xy x y xy

M J M J M J M Jx y x

J J J J J Jσ

+ +=− +

− −, gdzie x , y ( 0x yS S= = ) to osie

centralne; redukcja moment M r W= × ⇒ xM Nv= , yM Nu=− do siły 0zNW e= ≠ na mimośrodzie

(ramieniu) x yu vr e e= + daje ( ) ( ) 2 2[1 ]x xy y xyN M

x y xy x y xy

uJ vJ vJ uJN Ax AyA J J J J J J

σ σ σ− −

= + = + +− −

; oś naprężeń zerowych

oblicza się z definicji 0σ = ⇒ 2 2 1 0x xy y xy

x y xy x y xy

uJ vJ vJ uJAx Ay

J J J J J J− −

+ + =− −

;

• uwaga zachować prawoskrętną orientację osi, oś ( )z+ zgodnie z dodatnim kierunkiem siły normalnej ( )N+ ,która wywołuje naprężenia rozciągające ( )σ+ , czyli działa od przekroju;

• w głównych centralnych osiach bezwładności ( 0x y xyS S J= = = ) wzory się upraszczają

2 2[1 ] [1 ]y x y x

N uA vA N ux vyx yA J J A i i

σ = + + = + + , gdzie 2 xx

JiA

= , 2 yy

Ji

A= ; oś 0σ = ⇒ 2 2 1 0

y x

ux vyi i

+ + = , zatem dla

0x = ⇒ 2 /xy i v= − , 0y = ⇒ 2 /yx i u= − , wynika stąd, że oś naprężeń zerowych nigdy nie przecinaćwiartki w której działa siła ( , )u v ; trzy charakterystyczne położenia osi naprężeń zerowych, to oś: nieprzecina, jest styczna i przecina przekrój;

• przejście z układu osi centralnych ( x , y ⇒ , , 0x y xyJ J J ≠ ) do układu głównych osi centralnych (np.: 1ξ ≡ ,2η ≡ , 1J Jξ ≡ , 2J Jη ≡ , 01ϕ ) jest zawsze możliwe stosując transformację ortogonalną 01 01cos sinx yξ ϕ ϕ= + ,

01 01sin cosx yη ϕ ϕ= − + (tutaj 01!ϕ ( )+ mierzony od osi ξ do η ) i sprowadza się do przeliczeniawspółrzędnych ,x y oraz ,u v ; pozwala to stosować obie wersje wzorów;

• jeżeli punkt przyłożenia siły przesuwa się po prostej np. u av b= + to oś obojętna, niezależnie od u i v ,

2 2 1 0y x

av b vx yi i+ + + = ⇒ 2 2 2( ) 1 0

y x y

ax y bxvi i i

+ + + ≡ zawsze przechodzi przez punkt (2y

b

ix

b= − ,

2x

bi ayb

= ), tzn.

oś zerowa obraca się wokół punktu ( , )b bx y stanowiąc pęk prostych przechodzących przez ten punkt; • kontur przekroju K (najmniejsza figura wypukła, w którą da się wpisać przekrój A K⊆ ); • rdzeń (jądro) przekroju R (miejsce geometryczne punktów przyłożenia siły, dla których w całym przekroju

panują naprężenia jednakowego znaku tj. oś naprężeń zerowych nie przecina przekroju; punktom granicyrdzenia odpowiadają osie obojętne styczne do konturu; praktyczne znaczenie rdzenia np.: materiały kruche,materiały nie przenoszące ciągnień, fundamenty; rdzeń R jest zawsze figurą wypukłą leżącą wewnątrz konturuR K⊆ ale nie koniecznie wewnątrz przekroju np.: rura, ceownik; środek ciężkości przekroju zawsze leży wobszarze rdzenia; dla przekroju posiadającego oś symetrii rdzeń ma tę samą oś symetrii; wyznaczenie rdzeniapolega na określeniu jego granic; jeśli kontur przekroju jest wielobokiem to granice rdzenia są wielobokiem otej samej liczbie boków; rdzeń wyznacza się z definicji - przez podstawienie do równania osi obojętnejzapisanej w postaci parametrycznej ( , ) ( , )y a u v x b u v= + albo (I) równań granicy rdzenia wiedząc, żei − temu wierzchołkowi konturu ( , )i ix y odpowiada i − te równanie boku rdzenia i iv uα β= + ; albo (II)równań boków konturu wiedząc, że i − temu bokowi konturu i iy a x b= + odpowiada i − ty wierzchołekrdzenia ( , )i iu v , stąd:

− dla równania boku konturu i iy a x b= + przy 0ia ≠ i 0ib ≠ otrzymuje się położenie wierzchołek rdzenia2 2( ) / / /i i y xy i i y i xy iu a J J b A a i b i b= − = − , 2 2( ) / / /i i xy x i i xy i x iv a J J b A a i b i b= − = − ;

− dla boku 0iy b= ≠ i ( , )x ∈ −∞ +∞ ⇒ 0ia = ⇒ 2/ /i xy i xy iu J b A i b= − = − , 2/ /i x i x iv J b A i b= − = − ; − dla równania boku 0ix c= ≠ i ( , )y ∈ −∞ +∞ ⇒ / /i i ix y a b a= − dla 0ia ≠ ⇒ 1/ 1/ 0i ia b= = ale

/i i ic b a= − otrzymuje się 2/ /i y i y iu J c A i c= − = − , 2(1 )i xy i i xyv J c A c i= − = − ; • sposób wykreślnego znajdowania położenia ( ,x y ) osi zerowej w układzie głównych centralnych osiach

bezwładności (bazuje na warunkach 2 /yx i u= − , 2 /xy i v= − ) i granic rdzenia ( /g dv W A= , /d gv W A= ,/l pu W A= , /p lu W A= , gdzie iW , górny, dolny, lewy, prawyi g d l p= − − − − );



• wybrane wierzchołki (granice) rdzenia typowych figur: prostokąt ( b h× ) / 6gv h= , / 6pu b= ; trójkątrównoboczny ( b h× ) / 6gv h= , / 8pu b= /12dv h= ; koło ( R ) / 4Rρ = ; rura grubościenna ( ,R r )

2 2( ) / 4R r Rρ = + ; rura cienkościenna ( , )R δ / 2Rρ = , gdzie ρ jest promieniem rdzenia.

Mimośrodowe ściskanie przy wyłączeniu strefy rozciąganej (fundamenty – nie przenoszą ciągnień) • fundament (stopa) prostokątny A h b= × o wierzchołkach rdzenia ( / 6, / 6)h b± ± obciążony w płaszczyźnie

symetrii ( x x b− ⊥ ) siłą P o różnych położeniach c mierzonych od krawędzi stopy, trzy przypadki: − / 3c h≥ rozkład σ trapezowy, siła wewnątrz rdzenia max min, / /y yP A M Wσ σ = − ± ⇒

max2 3(1 )P cbh h

σ = − , min2 3( 2 )P cbh h

σ = − + ;

− / 3c h= rozkład σ trójkątny na całej długości h , siła na skraju rdzenia max 0σ = , min2Pbh

σ = − ;

− / 3c h< rozkład σ trójkątny tylko na części h , siła poza rdzeniem max 0σ = , min23

Pbc

σ = − ;

− w praktyce nie dopuszcza się przypadków odporu fundamentu na obszarze mniejszym od połowypowierzchni całkowitej ⇒ 3 / 2c h> ⇒ / 6c h> .

Skręcanie swobodne de Saint − Venanta, (czyste, tylko 0s zM M≡ ≠ i tylko 0τ ≠ , swoboda deplanacji) • skręcanie nieswobodne (skrępowane), w wyniku uniemożliwienia swobody deplanacji (poprzez warunki

podparcia, zmienne obciążenie lub zmienny przekrój), powstają dodatkowo samorównoważące się wprzekroju naprężenia normalne 0σ ≠ mimo, że jednak 0x yN M M= = = );

• pręt o przekroju kołowym (pełny, rura grubościenna, rura cienkościenna - rozwiązania ścisłe): − założenia: przemieszczenia są sztywnymi obrotami ( )zϕ przekrojów, w wyniku skręcenia tworzące walca

przyjmują postać krzywej śrubowej, którą dla małych kątów skręcenia dobrze przybliża prosta ⇒d dzρ ϕ γ= , występuje czyste ścinanie z prawa Hooke’a ⇒ Gτ γ= ⇒ d /dG zτ ρ ϕ= , wektory naprężeń

stycznych ( )! ñ prostopadłe do promieni ñ przekroju ⇒ 2dd dds A A

M A G Azϕτρ ρ= =∫ ∫ ⇒ skręcenie

0

dd

sMz GJϕ = , gdzie 2

0 dA

J Aρ= ∫ - biegunowy moment bezwładności, 0GJ - sztywność na skręcanie,

− wzory obliczeniowe, naprężenia 0( ) ( / )sM Jτ ρ ρ= ⇒ max 0 max( / ) /s s sM J M Wτ ρ= = , gdzie 0 max/sW J ρ=

wskaźnik wytrzymałości na skręcanie, obrót odcinka 0

( )| d d( )

b bs

a b a a

M z zGJ z

ϕ ϕ− = =∫ ∫ , dla stałych

charakterystyk 0| /a b s a bM l GJϕ − −= ; − ponieważ w prętach kołowych nie występuje deplanacja powyższe wzory są słuszne także dla przypadku

skręcania skrępowanego; • pręt o przekroju prostokątnym - nie można uzyskać rozwiązań w ramach rozważań elementarnych,

podstawowe fakty z rozwiązań ścisłych teorii sprężystości uzyskanych dla pręta o długości l i o stałymprzekroju b h× obciążonego stałym momentem skręcającym ( sM const= ) to:

− w wyniku swobodnego skręcenia występuje deplanacja (paczenie) przekroju, − wektory naprężeń stycznych ! na brzegu przekroju są równoległe do konturu a w narożach równe zero, − naprężenie maksymalne maxτ występuje w środku dłuższego boku prostokąta, − wzory przybliżone max /s sM Wτ = , 2

sW hbβ= - wskaźnik wytrzymałości, kąt skręcenia s sM l GJϕ = ,3

sJ hbα= , sGJ - sztywność na skręcanie, współczynniki α i β z tablic w zależności od proporcji /h b

/h b 1 1.5 2 3 4 6 8 10 →∞α 0.140 0.196 0.229 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 → 1/3β 0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 → 1/3

• pręt cienkościenne o przekroju otwartym - składa się z n wąskich prostokątów i ihδ × , / 10i ih δ ≥ ,1,2,...,i n= , przyjmuje się założenia i przybliżony wzór dla prostokąta ( b δ≡ ) z warunku /h δ ≈ ∞ ⇒

1 3α β= = , w wyniku swobodnego skręcenia występuje silna deplanacja przekroju: − zakłada się, że przekroje w płaszczyźnie doznają jedynie sztywnego obrotu (jako całość i constϕ ϕ≡ = ),



− maksymalne naprężenia styczne: w przekroju złożonym z prostokątów max max/ /s s s sM W M Jτ δ= = ,w i tej− ściance w środku dłuższego boku max( ) /i s i sM Jτ δ= , kąt skręcenia s sM l GJϕ = ,

− wskaźnik wytrzymałości 31

max max

13

n ss i ii

JW h bδ ηδ=

= =∑ , gdzie 313

ns i ii

J h bη=

= ∑ jest momentem

bezwładności na skręcanie, dla profili walcowanych wprowadza się współczynnik kształtu η (kątownik1η = , ceownik i teownik 1.12η = , dwuteownik 1.30η = , dla profili (idealnych) z prostokątów 1η = ,

− uzasadnienie wzorów: 1 1

... ...i i n ni s s s s s s s sM l GJ M l GJ M l GJ M l GJϕ ϕ≡ = = = = = ≡ ⇒ /

i is s s sM M J J= ,

gdzie 313is i iJ h b= , ponadto

1 2...

ns s s sM M M M+ + + = ⇒ max( ) / / /i i i ii s s s i s s i sM W M J M Jτ δ δ= = = ;

• jednokomorowe pręt cienkościenne o przekroju zamkniętym (występuje deplanacja - rozwiązanie ścisłetylko dla stałego momentu i przekroju ( ( ), ( ), ( ), ( )s s sM z A z J z F z const= ) oraz swobodnej deplanacji:

− założenia (przekroje doznają jedynie sztywnego obrotu ( )zϕ w płaszczyźnie ( )z ale nie pozostająpłaskie (deplanacja), naprężenia ( , )z sτ są styczne linii środkowej przekroju cienkościennego ( )s irozłożone równomiernie na grubości ścianki ( )sδ ),

− z równowagi 0Z∑ = wyciętego fragmentu obwodu o długości dz ⇒ max min( ) ( ) ( )t s s s constτ δ τ δ= = = ,

− I. wzór Bredta dla naprężeń ( )2 ( )

s

s

MsF s

τδ

= ⇐ z def. d d d d 2s sAM A tr s t r s r s F" " "τρ τδ τδ= = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ,

gdzie 12 dsF r s"= ∫ pole figury ograniczonej linią środkową ( )s , "−∫ całka po obwodzie zamkniętym ( )s ,

z max min constτδ τ δ= = ⇒ maxmin2s s

s s

M MF W

τδ

= = , gdzie min2s sW Fδ= wskaźnik wytrzymałości na skręcanie;

− II. wzór Bredta dla skręcenia dd

s

s

Mz GJϕ = , gdzie 2 1(2 ) / ds sJ F s"δ −= ∫ moment bezwładności na skręcanie

a sGJ sztywność na skręcanie, ostatecznie obrót odcinka ab | d db b

sa b a a

s

M zGJ

ϕ ϕ− = =∫ ∫ , II. wzór Bredta

wyprowadza się na podstawie twierdzenia Clapeyrona (które będzie podane później) przyrównując pracęzL zewnętrznego momentu skręcającego sM wykonaną na kącie obrotu ϕ z energią potencjalną pE

odkształcenia sprężystego zapisanego dla pręta o długości l ⇒ 1 12 2 dz s p V

L M E Vϕ τγ= ≡ = ∫ , oraz z

prawa Hooke’a / Gγ τ= ⇒ 2d ( /G)ds V VM V Vϕ τγ τ= =∫ ∫ , dla d dV l sδ= ⇒ 2( /G)ds V

M Vϕ τ= ∫2 2 2 2 2 1( / 4 ) d ( / 4 ) ds s s sM GF l s M GF s l" "δ δ δ−= =∫ ∫ , stąd ostatecznie 2 1d /d / ( / 4 ) ds sz l M GF s"ϕ ϕ δ −≡ = ∫ ;

• wykresy momentów ( )sM z , kątów obrotu ( )zϕ , zadania statycznie niewyznaczalne (koncepcja rozwiązania,warunek geometryczny - zgodności obrotów);

• wymiarowanie przekroju (minimalny wymiar z warunków: wytrzymałości /s sM W Rττ = ≤ ⇒ sW ⇒wymiar lub sztywności max ( )s dopJϕ ϕ ϕ= ≤ ⇒ sJ ⇒ wymiar ).

Łączenie elementów konstrukcji (stalowych i drewnianych) • założenie równomiernego rozkładu naprężeń w połączeniach (silne uproszczenie, pominięcie problemu

koncentracji naprężeń); kontrola tylko warunku wytrzymałościowego (typu obl oblRσ ≤ ); liczba łączników,rozmieszczenie, rozstawy i odstępy technologiczne, grubości nakładek itp. regulują normy;

• połączenia nitowane (zniszczenie przez: ścięcie, docisk, rozerwanie blach; nośność m − ciętego nita naścinanie 2/4m

tN mR dτ π= , nośność nita na docisk mind dN R dt= , nośność nita min min( , )mt dN N N= , liczba nitów

min/n P N≥ , sprawdzenie naprężeń w osłabionej otworami blasze min( )iN b d t Rσσ Σ= − ≤ , gdzieb− szerokość blachy, min min(t = z sumy gr. blach po jednej str. połączenia), idΣ = suma średnic nitów wosłabieniu przekroju );

• połączenia spawane (czołowe np. eN bt Rσσ = ≤ , b− szerokość i t − grubość blachy; pachwinowe np.

eN la Rττ = ≤ , l − sumaryczna długość spoin (po jednej stronie łączonych części), a − obl. grubość spoiny); • połączenia ciesielskie (anizotropowość, wytrzymałość zależy od kierunku obciążenia w stosunku do włókien

drewna, zniszczenie przez: ścięcie, docisk, rozerwanie osłabionego przekroju); • projektowanie - normy (maksymalne i minimalne wielkości technologiczne); • połączenie nie powinno zmieniać charakteru pracy łączonych części np. osiowość pracy połączenia

(położenie: wypadkowej z łączników ≡ wypadkowej z obciążenia).



Zginanie ze ścinaniem belek grubościennych, stan złożony: moment + siła tnąca np.: 0xM ≠ i 0yT ≠ , zginanieproste w głównych centralnych osiach bezwładności 0x y xyS S J= = = : • zakłada się, że siła tnąca nie wpływa na rozkład naprężeń normalnych (rozsądne przy 1 5h L ≤ , wówczas

błąd nie przekracza 1% inaczej należy stosować rozwiązania według teorii tarcz); • zakłada się, że na prostych ( )y y ustaloneγ= , równoległych do osi x , która jest osią naprężeń zerowych

zginania prostego (po szerokości) naprężenia ścinające (styczne pionowe) są stałe ( , )x y constγτ = ; • równanie równowagi 0ZΣ = , wycinka dz belki części przekroju odciętej płaszczyzną ( )y y ustaloneγ= na

szerokości przekroju ( )b yγ o polu powierzchni ( )y AγΩ ⊂ pod działaniem stałej siły yT i momentu xM ,

ma postać ( d )d d ( ) ( )d 0A A y b y zγ γΩ Ωσ σ σ τ+ − − =∫ ∫ ⇒ d d ( ) ( )d 0A y b y zγ γΩ

σ τ− =∫ , różniczkując po z

wzór na naprężenia normalne w zginaniu prostym x

x

M yJ

σ = otrzymuje się dd d

x x

x x

M y T yz z J Jσ = = co po

podstawieniu do (d d )d ( ) ( ) 0z A y b yγ γΩσ τ− =∫ ⇒ ( ) d 0y xT J y A bγ γΩ

τ− =∫ daje wzór na naprężenia

styczne y x

x

T SJ b

γ

γγ

τ = w przecięciu y yγ= , gdzie ( )

( ) dx x yS S y y A

γ

γγ Ω

= = ∫ jest momentem statycznym względem

osi x odciętej części przekroju poprzecznego o powierzchni ( )yγΩ ; • ekstremalne naprężenia tnące (styczne) występują w płaszczyźnie przechodzącej przez środek ciężkości

przekroju poprzecznego (tam z definicji ( 0)xS yγ = jest ekstremalne), dla prostokąta max 0| 3 / 2y yT Aγ

τ τ == = ,

dla przekroju kołowego max 0| 4 / 3y yT Aγ

τ τ == = .

Zginanie ze ścinaniem belek cienkościennych, stan złożony: 2 momenty + 2 siły tnące, zginanie ukośne wgłównych centralnych osiach bezwładności 0x y xyS S J= = = , w stosunku do założeń dla belek grubościennychzmianie ulega założenie o rozkład naprężeń stycznych − przyjmuje się (zgodnie z charakterem prętówcienkościennych), że: • naprężenia styczne od siły tnącej ( )sτ są stałe na grubości ścianki ( )sδ , gdzie s jest współrzędną bieżącą;

• równanie równowagi 0ZΣ = elementarnej objętości (d d )s z δ× pręta ma postać d d d d 0z s s zz sσ τδ δ∂ ∂+ =

∂ ∂

⇒ 0z sσ τδ δ∂ ∂+ =

∂ ∂, całkując po s w przekroju γ otrzymuje się 0 00

ds

sz

γ

γ γστ δ δ τ δ∂= − +

∂∫ , w przypadku

całkowania od brzegu przekroju 0 0τ = , różniczkując po z zależność na naprężenia normalne w zginaniuukośnego ( / ) ( / )y y x xM J x M J yσ = − + i wykorzystując związki różniczkowe d /dx yM z T= i d /dy xM z T= − ,

po podstawieniu do całki otrzymuje się 0 0

d ds sy x

x y

T Ty s x sJ J

γ γ

γ γτ δ δ δ= − −∫ ∫ , stąd y x x y

x y

T S T SJ J

γ γ

γγ γ

τδ δ

= − − , gdzie

dxS y Aγ

γ

Ω= ∫ , dyS x A

γ

γ

Ω= ∫ są momentami statycznymi względem odpowiednich osi odciętej części

przekroju poprzecznego o powierzchni ( )sγ γΩ Ω= , uwaga dla 0τ > wektor τ jest zgodny z kierunkiem s ; • środek zginania (skręcania) jest to taki punkt w płaszczyźnie przekroju poprzecznego, w którym winna

działać siła tnąca aby pręt był tylko zginany, w przeciwnym razie obok zginania wystąpi również skręcanie(inaczej mówiąc jest to punkt względem którego suma momentów od naprężeń stycznych jest równa zero);dla przekroju o jednej osi symetrii środek zginania leży na tej osi, przy dwóch osiach symetrii pokrywa się ześrodkiem ciężkości; przykłady położenia środka skręcania:

− ceownik cienkościenny ( , bb δ , , hh δ i 0yT ≠ ), rozkład naprężeń w półkach liniowy, bowiem

/ 2x bS h sγγδ= stąd / 2y b xT hs Jγ γ γτ δ δ= − , na brzegu (0) 0bτ = , ekstremalne na półce w narożu

(1) / 2b y xT hb Jτ = − , wypadkowa z naprężeń w półce (poziomych) (1) 2/ 2 / 4b b b y b xt b T hb Jτ δ δ= = , rozkład

naprężeń w środniku paraboliczny bowiem / 2półki 2 2d /2 /8 ( ) /2

h

x x h b h hyS S y y hb h y

γ

γγδ δ δ δ= + = + −∫ , w narożu

środnika (1) (1) /h b b hτ τ δ δ= , maksymalne naprężenie występuje w płaszczyźnie środka ciężkości ( 0)yγ =(1) 2

max /8h y xT h Jτ τ= − , wypadkowa z naprężeń pionowych (w środniku) musi równoważyć siłę tnącą

h yt T= , z warunku zerowania się sumy momentów od naprężeń ścinających 0b h xt h t α− = otrzymuje się

położenie środka ścinania 2 2/ /4x b h b xt h t h b Jα δ= = , gdzie xα jest mierzone od linii środkowej środnika;



− dla przekrojów gwiaździstych (np. kątownik, teownik, krzyżak itp.) środek skręcania pokrywa się ześrodkiem gwiazdy, gdzie krzyżują się strumienie naprężeń stycznych z poszczególnych ramion gwiazdy.

Belki wielokrotne i złożone, gdy pręt składa się z kilku części połączonych lub niepołączonych ze sobą, to: • belka wielokrotna, składowe części o długości l tworzące belkę nie są połączone ze sobą, pracujące

niezależnie, tak jak gdyby leżały obok siebie, np. dla n takich samych części0

max max max( ) ( ) / ( ) /z x x xM nW nσ σ= = ; • belka złożona, pręty składowe połączone przez niepodatne (z założenia) łączniki w monolit, oblicza się jako

całość przykładowo jako belkę o sumarycznej wysokości, stąd np. dla n takich samych części o przekroju

prostokątnym ( )b h× obowiązuje 0

max max maxmax 2 2 2

( ) ( ) ( )( )( ) / 6

x x xz

x

M Mb nh n W n

σσ = = = , aby taki stan był możliwy

połączenie (klej, nity, śruby, spawki, zgrzewanie punktowe czy klocki, gwoździe, pierścienie w belkachdrewnianych itp.) musi przenosić naprężenia styczne γτ występujące w miejscu połączenia y yγ= ;

• siła rozwarstwiająca jest wypadkową naprężeń (na jednostkę długości z ) zebraną z całej szerokości belki wmiejscu łączenia z y x xR b T S Jγ γ

γ γτ= = , na nią projektuje się łączniki, tak obliczoną siłę muszą przenosićłączniki o charakterze ciągłym (np. kleje, spawki ciągłe), dla łączników punktowych (nity, śruby, klocki itp.)rozmieszczonych w rozstawie e siłę przypadająca na poprzeczny rząd łączników punktowych zbiera się z

odcinka e długości belki ( ) d dz e z ee x

z z yz zx

SR R z T zJ

γγ γ+ +

= =∫ ∫ , mimo osłabień przekroju, ze względu na ich mały

wpływ, siłę rozwarstwiającą obliczamy jak dla przekroju pełnego ( brutto ), stąd np. dla yT const=

brutto( )

brutto

x y x yez

x x

S T S TR e e

J J

γ γγ = = , w praktyce wzór w tej postaci, mimo zmienności siły tnącej, ze względu na mały

rozstaw nitów, stosowany jest w belkach stalowych (blachownicach nitowanych); • naprężenia normalne w belkach złożonych sprawdza się dla przekroju osłabionego łącznikami ( netto )

max max netto( ) ( ) /z x x dopM Wσ σ= ≤ , dla belek drewnianych, ponieważ wykonanie całkowicie niepodatnychłączników jest niemożliwe, do obliczenia nettoxW stosuje się odpowiednie (zgodne z normami) współczynnikikorygujące.

Naprężenia prostopadłe do osi belki w zginaniu prostym, naprężenia yσ dotąd były pomijane, stan złożonymoment 0xM ≠ i siła tnąca i 0yT ≠ od stałego na szerokości 0b obciążenia rozłożonego na górnej powierzchnibelki, zginanie proste w głównych centralnych osiach bezwładności 0x y xyS S J= = = , szerokość przekroju

( )b b y= , wysokość g dh h h= + ;

• warunek 0YΣ = objętości (d d )y z b× ma postać ( d ) d d ( d ) d d 0y zyy y zy zyy b z b z z b y b y

y zσ τ

σ σ τ τ∂ ∂

+ − + + − =∂ ∂

wykorzystując, że | y xzy

x

T SJ b

γ

γγ

τ = oraz d

( )d

yTp z

z= − otrzymuje się

d ( )...d

y zy y x x

x x

T S p z Sy z z J b J b

γ γ

γ γ

σ τ∂ ∂= − = = − =

∂ ∂,

całkując po y w przekroju γ otrzymuje się naprężenia 0

( ) ( )| dg

yx

y hx

p z S p zyJ b b

γγ

γγ

σ−

= −∫ , wynik całkowania

zależy od kształtu przekroju poprzecznego;

• przekrój prostokątny b const= , 2

2( ( ) )2 4xb hS yγ

γ= − , 3

12xbhJ = ⇒

22

/ 2

( ) ( )| ( ( ) )d2 4

y

y hx

p z b h p zy yJ b b

γ

γ γσ−

= − −∫2( ) [3 4( ) 1]

2y yp z

b h hγ γ= − − , w praktyce ze względu na małe wartości yσ pomija się, np. dla belki swobodnie

podpartej o długości l o przekroju prostokątnym ( )b h× obciążonej równomiernie p const= na górnej

powierzchni: / 2

2max / 2( ) | | | [3 4( ) 1] | | |

2 y hy y h

y yp pb h h bγ

γ γσ σ=−=−= = − − = − i

22max

max 2

( ) /8 3( ) ( )/ 6 4

xz

x

M pl p lW bh b h

σ = = = ,

stąd max 2

max

( ) 4 ( )( ) 3

y

z

hl

σσ

= , np. dla 10hl

= ⇒ max

max

( )0.0133

( )y

z

σσ

= .



Pręty zespolone, wykonane z materiałów o różnych modułach sprężystości (np. bE i sE : beton − stal,beton − cegła, drewno − stal itp.) połączone w jedną całość (siła rozwarstwiająca w miejscu połączenia musi byćprzenoszona przez łączniki), rozważamy stan złożony moment 0xM ≠ i siła normalna 0N ≠ , przekroju opionowej ( y ) osi symetrii ( 0)xyJ = złożony z dwóch materiałów ( s ) i ( b ), które charakteryzuje stosunekmodułów sprężystości /s bE E n= ( s bE nE= ); celem jest wyznaczenie naprężeń normalnych w obu materiałach; • charakterystyki geometryczne przekroju zespolonego b sA A A= + (położenie środka ciężkości, momenty

statyczne, momenty bezwładności) wynikają (tak jak poprzednio) z hipotezy o płaskich przekrojachby cε = + i obowiązującego prawa Hooke’a ( ) ( ) ( )y E y yσ ε= ⇒ ( ) ( )b b by E E by cσ ε= = + na bA ,

( ) ( )s s sy E E by cσ ε= = + ( )bnE by c= + na sA , z warunku równoważenia się sił przekrojowych ( ,N M ) z

naprężeniami (σ ) lub wprost z definicji sił przekrojowych dA

N Aσ= ∫ db

bAAσ= ∫ d

ssA

Aσ+ ∫( )d

bb A

E by c A= +∫ ( )ds

b AnE by c A+ +∫ ( )b x b bE bS cA= + ( )b x s snE bS cA+ + , dx A

M y Aσ= ∫ db

bAy Aσ= ∫

ds

sAy Aσ+ ∫ 2( )d

bb A

E by cy A= +∫ 2( )ds

b AnE by cy A+ +∫ ( )b x b x bE bJ cS= + ( )b x s x snE bJ cS+ + , otrzymuje się

układ równań względem ( , )b c //

b s x b x s b

x b x s x b x s x b

A nA S nS N EcS nS J nJ M Eb

+ + = + +

, gdzie db

x b AS y A= ∫ , d

sx s A

S y A= ∫ ,

2db

x b AJ y A= ∫ , 2d

sx s A

J y A= ∫ , środek ciężkości przekroju zespolonego ustala się tak aby

0x c x b x sS S nS= + ≡ , stąd 1 1 1/ ( )/( )c x c x b x s b sy S A S nS A nA= = + + , zaś układ rozsprzęga się i /x b cb M E J=

/ b cc N E A= , gdzie c b sA A nA= + , x c x b x sJ J nJ= + , po podstawieniu do wzorów na naprężenia otrzymuje się( ) ( ) / ( / )b b c x cy E by c N A M J yσ = + = + na bA , ( ) ( ) [ / ( / ) ]s b c x cy nE by c n N A M J yσ = + = + na sA ;

• przekroj zastępczy, postać powyższych wzorów wskazuje na możliwość stosowania prostszego sposobuobliczania tego typu konstrukcji przez wprowadzenie tzw. przekroju zastępczego traktując dalej prętzespolony jako wykonany z materiału jednorodnego, sposoby wyznaczania:1. sprowadzenie do jednorodnego pręta o module bE otrzymuje się mnożąc szerokości (składniki

liniowe) półek i środników obszaru sA przez n ,2. sprowadzenie do jednorodnego pręta przekroju o module sE dokonuje się dzieląc szerokości

(składniki liniowe) półek i środników obszaru bA przez n ,dla przekroju zastępczego prowadzimy obliczenia jak dla pręta z materiału jednorodnego, jedynie na końcu wprzypadku pierwszym aby otrzymać naprężenia w części ( )s mnoży się naprężenia z obszaru sA przez n lubw przypadku drugim aby otrzymać naprężenia w części ( )b dzieli się przez n naprężenia z obszaru bA .

• przykład, drewnianą swobodnie podparta belkę długości 3l m= , obciążona siłą skupioną 10P kN= wśrodku rozpiętości o przekroju prostokątnym 10 20d db h cm× = × ( 10dE GPa= ) wzmocniono w strefierozciąganej (na dole) płaskownikiem stalowym 10 0.5s sb h cm× = × ( 200sE GPa= ); wyznaczyćmaksymalne naprężenia w stali i drewnie oraz rozstaw wkrętów, jeśli nośność wkręta wynosi 2,5wN kN= ;przyjmujemy przekrój zastępczy jak jednolity z drewna, / 20s dn E E= = , zatem nowy wymiar poprzecznypłaskownika stalowego tak jakby był wykonany z drewna wynosi 20 10 200d

s sb nb cm!= = = , c d sA A nA= +220 10 20 (0.5 10) 300 cm! ! != + = , współrzędna cy środka ciężkości względem osi 1x usytuowanej w miejscu

połączenia stali i drewna wynosi 1

/c x cy S A= (10 20 10 200 0.5 0.25) /(20 10 200 0.5) 6.58cm! ! ! ! ! != − + ≅ ,

moment bezwładności względem osi 1x (podstawy) 1

3 3 4(10 20 200 0.5 ) / 3 26 675xJ cm! != + = , głównycentralny moment bezwładności względem osi x przechodzącej przez środek ciężkości figury zespolonej

1

2x x c cJ J A y= − 2 426 675 300 (6.58) 13 700 cm!= − = , wskaźniki wytrzymałości /( )g x d cW J h y= −

313 700 /13.42 1020 cm= = , /( )d x c sW J y h= + 313 700 / 7.08 1935 cm= = , maksymalny moment zginający

max / 4M Pl= 10 000 300 / 4 750 000 Ncm!= = , ekstremalne naprężenia (ściskające) w drewnie

max /drewnag gM Wσ σ= = 2750 000 /1020 735 /N cm= = , ekstremalne naprężenia (rozciągające) w stali

max /stalid gn n M Wσ σ= = 220 750 000 /1935 7760 /N cm!= = , maksymalna siła tnąca / 2 0.5yT P kN= = ,

moment statyczny np. płaskownika stalowego ( / 2)x s s c sS n b h y h!γ = + 320 10 0.5 (6.58 0.25) 683 cm! ! != + = ,siłą rozwarstwiająca między drewnem i stalą /y x xR T S Jγ γ= 5 000 683/13 700 250 /N cmb!= ≅ , odstęp

wkrętów z warunku wR e Nγ ≤ ⇒ /we N Rγ≤ 2 500 / 250 10 cm= = .



Pręty zakrzywione, o przekroju symetrycznym względem płaszczyzny pokrywającej się z płaszczyznąobciążenia y y− , rozważa się stan złożony: siła normalna N i moment zginający xM (rozciąganie/ściskaniemimośrodowe), zadaniem jest wyznaczenie podłużnych naprężeń normalnych zσ σ≡ ;

• pręty słabo zakrzywione (np. łuki), / 10hρ > , gdzie ρ jest promieniem krzywizny początkowej osi pręta;w zagadnieniach obliczania naprężeń przy zginaniu, rozciąganiu i ścinaniu, pręty słabo zakrzywione traktujesię tak jak pręty proste stosując te same wzory obliczeniowe jak dla prętów prostych;

• pręty silnie zakrzywione (np. haki, wyoblone naroża ram), / 1 3hρ ≅ ÷ założenia: − o płaskich przekrojach (przed i po odkształceniu), − siły tnące yT i naprężenia normalne prostopadłe do osi pręta ( yσ σ ⊥≡ ) nie wpływają na rozkład

naprężeń normalnych równoległych do osi pręta ( z "σ σ≡ ), − naprężenia styczne oblicza się tak samo jak w prętach prostych;

początkową długość włókien (geometrię) elementu różniczkowego ( ,d )ρ ϕ pręta silnie zakrzywionegoopisuje wzór wynikający z zależności geometrycznych 0d ( ) ( )d d d d ds y y y s yρ ϕ ρ ϕ ϕ ϕ≡ + = + = + , dla osipręta 0y = mamy 0d ds ρ ϕ= , w wyniku deformacji (wywołanej obciążeniem pręta) następuje zmiana( ,d )ρ ϕ → ( ,d )ρ ϕ , gdzie d d dϕ ϕ ∆ ϕ= + , przekrój obraca się względem punktu nie leżącego na osi ( x ),długość włókien zdeformowanych wynosi ( )d ( ) 1 ( ) d ( ) ( )d ( )(d d )s y y s y y yε ρ ϕ ρ ϕ ∆ ϕ= + ≡ + = + + ⇒

d d d d1 ( ) ( ) ( )d ( ) ( )d

y y ys y y

ϕ ∆ ϕ ϕ ∆ ϕε ρ ρρ ϕ

+ ++ = + = ++

, odpowiednio dla osi pręta 0y = mamy

0 0 0 0d d | (1 )d d (d d )ys s sε ρ ϕ ρ ϕ ∆ ϕ== = + ≡ = + , stąd promień krzywizny zdeformowanej 0 0(1 )dd d

sερϕ ∆ ϕ+=

+, co

po podstawieniu daje 0(1 ) d d d1 ( )d d ( )d

y yy

ε ρ ϕ ϕ ∆ ϕεϕ ∆ ϕ ρ ϕ

+ ++ = + + + 0 01 ( )y

y ϕε γ ερ

= + + −+

, gdzie ddϕ

∆ ϕγϕ

= ,

zatem 0 0( ) ( )yyy ϕε ε γ ε

ρ= + −

+;

z prawa Hooke’a mamy 0 0( ) ( ) ( ) yy E y E Eyϕσ ε ε γ ε

ρ= = + −

+, niewiadome odkształcenia 0ε i ϕγ

wyznacza się bezpośrednio z definicji przekrojowych sił wewnętrznych

0 0d d ( ) dA A A

yN A E A E Ayϕσ ε γ ε

ρ= = + −

+∫ ∫ ∫ , 2

0 0d d ( ) d( )x A A A

yM y A E y A E Ayϕσ ε γ ε

ρ= = + −

+∫ ∫ ∫ , ponieważ

d 0x AS y A= =∫ , oznaczając

2

dx A

yJ Ay

ρρ

′ =+∫ i przekształcając d

A

y Ayρ +∫ 1 d

A

y y Ayρ ρ

= − + ∫2

2

1 1d dA A

yy A Ay

ρρ ρ ρ

= −+∫ ∫ 2

1xJ

ρ′= − otrzymuje się

20

0

///0 /

x

xx

N EA JM EJ ϕ

εργ ερ

′ − = −′−

⇒ 0x

x

MEJϕ

ργ ε− =′

,

0xN M

EA EAε

ρ= + , co po podstawieniu do wzoru na naprężenia daje ( ) x x

x

N M M yyA A J y

ρσρ ρ

= + +′ +

; wzór ten

wskazuje, że: (a) przebieg naprężeń jest krzywą hiperboliczną, (b) dla 0N = (czyste zginanie) oś zerowa nieprzechodzi przez środek ciężkości, (c) dla ρ → ∞ wzór przyjmuje klasyczną postać jak dla belki prostej;

przykład, przekrój prostokątny b h× , promień krzywizny hρ = , obciążenie 0N = , xM M const≡ = ,

obliczyć ( )yσ ; dla prostokąta: A bh= , 2 2/ 2

/ 2d d

h

x A h

y yJ A b yy y

ρ ρρ ρ

+

−′ = =

+ +∫ ∫ 2 / 2ln/ 2

hb hh

ρρ ρρ

+= − − ,

zatem przy hρ = mamy 3 /10xJ bh′ ≅ (dla pręta prostego 3 /12xJ bh= ), stad 2

10( ) (1 )M yybh h y

σ = ++

2

11M h ybh h y

+=+

, równanie osi zerowych naprężeń 11 0h y+ = ⇒ /11y h= − , max / 2 2

13|3y h

Mbh

σ σ == = ,

min / 2 2| 9y hM

bhσ σ =−= = − .



Równanie linii ugięcia belki (wyznaczanie przemieszczeń przy zginaniu) założenia: − zginanie płaskie (proste) np.: ( ) 0xM z ≠ (dopuszcza się ( ) 0yT z ≠ ), w głównych centralnych osiach

bezwładności 0x y xyS S J= = = , − małe przemieszczenia / ( / / ) 1yv L u L y L≡ ≡ << , małe obroty d / d ( d / d d /d ) 1yv v z u z y z y′ ′= ≡ ≡ = <<

i małe odkształcenia 1ε << , rozważamy tylko pionowe przemieszczenia belki tzn. ugięcia, − siła tnąca yT nie wpływa na deformację pręta; • lina ugięcia − zdeformowana oś belki ( ) ( ( ) ( ) )yv z u z y z≡ ≡ , stan przemieszczeń a stąd odkształceń belki

określony jest całkowicie przez linię ugięcia; • równanie Eulera (założenie, że siły tnące nie wpływają na deformację pręta pozwala wykorzystać równanie

na krzywiznę osi belki z czystego zginania 1/ /x xM EJκ ρ= = , gdzie d / d 1/sκ ϕ ρ= = − krzywizna osibelki, s − długością łuku (zakrzywionej osi belki), ρ − promień krzywizny, równanie 1/ /x xM EJκ ρ= =powiązane z wzorem na krzywiznę krzywej płaskiej z geometrii różniczkowej 2 3/ 21 (1 ( ) )y yκ ρ ′′ ′= = ± +daje 2 3/ 2(1 ( ) ) /x xv v M EJ′′ ′+ = ± ; założenie o małych deformacjach (obrotach) pozwala pominąć składnik

2 2( ) (d d ) 0v v z′ ≡ << , uwzględniając klasyczną konwencję znaków ( )y v+ ≡ + , ( 1/( ) )κ ρ− = − , ( )xM+otrzymuje się równanie linii ugięcia 2 2d / d /x xv v z M EJ′′ = = − lub 2 2d / d /x xy y z M EJ′′ = = − nazywanerównaniem Eulera, jest to zwyczajne równanie różniczkowe II-rzędu o stałym współczynniku, rozwiązaniejego wymaga znajomości ( )xM z ;

• równanie IV-rzędu linii ugięcia (przyjmując xEJ const= nadaje się równaniu Eulera formę x xEJ v M′′ = − ),uwzględniając zależności różniczkowe pomiędzy momentem, siłą tnącą i obciążeniem d / dzx x yM M T′ = = ⇒

2 2d / dz d / dzx x y y yM M T T q′′ ′= = = = − , po zróżniczkowaniu równania Eulera x x yEJ v M T′′′ ′= − = − ,IV

x x y yEJ v M T q′′ ′= − = − = ; otrzymuje się ostatecznie postać /IVy xv q EJ= , która może służyć do obliczania

ugięć w układach statycznie niewyznaczalnych ponieważ nie wymaga ona znajomości sił wewnętrznych; • metoda Eulera - całkowania bezpośredniego, polega na dwukrotnym obustronnym całkowaniu równanie

2 2d d / ( )x xv v z M EJ f z′′ = = − = (czterokrotnym równania /IVy xv q EJ= ) otrzymuje się 1( )dv f z z C′ = +∫ ,

1 2[ ( )d ] dv f z z z C z C= + +∫ ∫ ; jeśli ( )f z ma odcinkowo kilka różnych postaci analitycznych całkujemy

przedziałami, stałe C1, C2 wyznaczamy z warunków brzegowych i/lub warunków ciągłości linii ugięcia nakońcach przedziałów l pv v= i ciągłości stycznych (kątów) l pv v′ ′= o ile taka zachodzi (przegub); zgodnie zzałożeniem o małych deformacjach d / d tgy y z ϕ ϕ′ = = ≅ interpretuje się jako kąt obrotu stycznej; uwagaprzy zmianie w przedziałach zwrotu osi ( )z z= − , dla wygody całkowania, przyrównując na brzegachprzedziału funkcje nieparzyste y ϕ′ ≅ , yy T′′′ ↔ zmieniamy znak na przeciwny;

• metoda Mohra - obciążeń wtórnych wykorzystuje analogię budowy wzorów statyki2 2d / dz d / dzx x y y yM M T T q′′ ′= = = = − i wzorów na linię ugięcia 2 2d / d d( ) / d /x xy y z y z M EJ′′ ′= = = −

zachodzącą pomiędzy następującymi wielkościami: /y x xq M EJ↔ , yT y′↔ , xM y↔ ; definiując jako

obciążenie wtórne funkcję * /y x xq M EJ≡ i rozwiązując zagadnienie statyki - uzyskamy wtórne siły tnące*yT y ϕ′≡ ≅ i wtórne momenty *

xM y≡ , które są pierwotnymi obrotami i ugięciami; ponieważ układrzeczywisty - belka pierwotna nie spełnia analogii w warunkach brzegowych (podporach), musimy utworzyćukład zastępczy - belkę wtórną, w której warunki brzegowe (podpory) określa się według reguły:

belka rzeczywista układ pierwotny ⇒ układ zastępczy belka wtórnapodpora przegubowa 0y = , 0ϕ ≠ ⇒ * 0M = , * 0T ≠ podpora przegubowa

utwierdzenie 0y = , 0ϕ = ⇒ * 0M = , * 0T = brzeg swobodnybrzeg swobodny 0y ≠ , 0ϕ ≠ ⇒ * 0M ≠ , * 0T ≠ utwierdzenie

przegub l py y= , 0l pϕ ϕ≠ ≠ ⇒ * *l pM M= , * * 0l pT T≠ ≠ podpora ciągła

podpora ciągła 0y = , 0l pϕ ϕ= ≠ ⇒ * 0M = , * * 0l pT T= ≠ przegub

metoda jest efektywna w obliczeniach ugięć w ustalonych punktach *( )i x iy M≡ układów statyczniewyznaczalnych.



Energia potencjalna odkształcenia sprężystego (ciała sprężyste, zagadnienie statyki ⇒ energia kinetyczna 0= ) • praca sił zewnętrznych zL − jeśli punkty ( i ) przyłożenia sił ulegają przemieszczeniom to siły te wykonują

pracę 1n

z i i iL Pδ== ∑ , gdzie iP − obciążenia zewnętrzne niezależne od przemieszczeń, iδ − przemieszczeniapunktów przyłożenia sił mierzone w kierunku i zgodnie ze zwrotem siły iP ;

• praca sił wewnętrznych wL − praca sił przekrojowych na odpowiednich przemieszczeniach (funkcjachpołożenia) powstałych w wyniku deformacji ciała (lub praca naprężeń na odpowiednich odkształceniach);

• energia potencjalna odkształcenia sprężystego pE , na cechę gromadzenie się energii pE (jej istnienie) wwyniku obciążania ciała sprężystego wskazuje własność powracania ciała do swojej pierwotnej postaci pozdjęciu obciążenia (czyli odciążeniu);

• twierdzenie Clapeyrona: p w zE L L= = (wynika z zasady zachowania energii, przy 0kE = − statyka),praca sił zewnętrznych ( zL ) równa jest pracy sił wewnętrznych ( wL ), któracałkowicie zamienia się na energia potencjalna odkształcenia sprężystego ( pE );

− przykład: jednorodny pręt ( l , EA const= ) rozciągany osiowo ( P ); wydłużenie pręta było /l Pl EA∆ =

⇒ ( ) EAP u ul

= , stąd praca sił zewnętrznych; 2

2

0 0

1( )d d ( )2 2 2

l l

z zEA EA P lL P u u u u l P ll l EA

∆ ∆∆ ∆= = = = =∫ ∫ ;

• energia właściwa odkształcenia sprężystego Φ , jest to energia potencjalna odkształcenia sprężystegoprzypadająca (mierzona) na jednostkę objętości d / d d / dp wE V L VΦ = = , stąd dp w V

E L VΦ= =∫ ; przykłady:

− jednoosiowy stan naprężenia (normalnego ( ) Eσ ε ε= ), dla jednostkowej objętości 1 1 1 1V = × × = ,

otrzymuje się 2 2

0 0

1 1( )d d2 2 2EE

Eε ε

Φ σ ε ε ε ε ε σ σε= = = = =∫ ∫ ;

− czyste ścinanie (naprężenia styczne ( ) Gτ γ γ= ), 1V = : 2 2

0 0

1 1( )d d2 2 2GG

Gγ γ

Φ τ γ γ γ γ γ τ τγ= = = = =∫ ∫ ;

− ogólny przypadek przestrzennego stanu naprężeń można rozpatrywać jako superpozycję jednoosiowychstanów naprężenia 1 1 1

2 2 2z z zz zz zzΦ σε σ ε σ ε Φ= ≡ = = i stanów czystego ścinania (uwzględniając symetrię

xy yxτ τ≡ , xy yxε ε≡ oraz oznaczenia xy xyτ σ= , 2xy xyγ ε= ) 1 1 12 2 2 ( )xy xy xy xy yx yx xyΦ τγ τ γ σ ε σ ε Φ= ≡ = + =

względem osi , , ,i j x y z= , stąd otrzymuje się 1 12 2 [ ]ij ij x x y y z z xy xy xz xz yz yzΦ σ ε σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ= = + + + + + ;

• energia właściwa odkształcenia sprężystego w przestrzennym stanie wytężenia 12 ij ijΦ σ ε= , , , ,i j x y z=

wykorzystując związki fizyczne w postaci uogólnionego prawa Hooke’a lub odwrotne przy czym 2(1 )

EGν

=+

,

1 ( ( ))x x y zEε σ ν σ σ= − + , [(1 ) ( )]

(1 )(1 2 )x x y zEσ ν ε ν ε ε

ν ν= − + +

+ −,

1 ( ( ))y y x zEε σ ν σ σ= − + , [(1 ) ( )]

(1 )(1 2 )y y x zEσ ν ε ν ε ε

ν ν= − + +

+ −,

1 ( ( ))z z x yEε σ ν σ σ= − + , [(1 ) ( )]

(1 )(1 2 )z z x yEσ ν ε ν ε ε

ν ν= − + +

+ −,

2 xyxy xy G

τγ ε= = , 2 xz

xz xz Gτγ ε= = , 2 yz

yz yz Gτ

γ ε= = , 2xy xy xyG Gτ γ ε= = , 2xz xz xzG Gτ γ ε= = , 2yz yz yzG Gτ γ ε= = ,

otrzymuje się 2 2 2 21 1[ ( ) (1 )( )]2 x y z xy xz yz x y y z z xE

Φ σ σ σ ν τ τ τ σ σ σ σ σ σ= + + + + + + − − − lub w postaci

2 2 2 2 2 2 21[ ( ) ( )]1 2 2x y z x y z xy xz yzG νΦ ε ε ε ε ε ε γ γ γ

ν= + + + + + + + +

−, do późniejszych zastosowań energię rozkłada się

na część związaną ze zmianą objętości VΦ i na część związaną ze zmianą postaci fΦ zapisując V fΦ Φ Φ= + ; − zmiana objętości nie zależy od odkształceń postaciowych lecz tylko od zmian długości krawędzi, stąd dla

sześcianu ( 1 1 1 1V = × × = ) przyrost jednostkowej objętości, przy ograniczeniu się do wyrazówpierwszego rzędu, wynosi (1 )(1 )(1 ) 1 3x y z x y z sΘ ε ε ε ε ε ε ε= + + + − ≅ + + = , gdzie 1

3 ( )s x y zε ε ε ε= + + jestśrednim odkształceniem podłużnym, wykorzystując prawo Hooke’a Θ wyraża się przez naprężenia, stąd

1 2 1 2( ) 3x y z sE Eν νΘ σ σ σ σ− −= + + = , gdzie 1

3 ( )s x y zσ σ σ σ= + + jest średnim naprężeniem normalnym;

− deformacja ściśle objętościowe ciała (bez zmian postaci) ma miejsce wówczas, gdy odkształceniapodłużne wszystkich krawędzi rozpatrywanego sześcianu są jednakowe ⇒ xV yV zV sε ε ε ε≡ ≡ ≡ ;



− deformacja postaciowe ciała charakteryzować zatem będą wszystkie pozostałe odkształcenia, tj.xf x sε ε ε= − , yf y sε ε ε= − , zf z sε ε ε= − oraz 2xy xyγ ε= , 2xz xzγ ε= , 2yz yzγ ε= ;

− zależności powyższe można otrzymać formalnie przez rozkład (dekompozycję) macierzy (tensora) np.odkształceń 3 3[ ]ijε ×=ε na tzw. aksjator 3 3[1]s s sε ε×= ≡ε 1 (część kulistą) i dewiator f sε= −ε ε 1 , tj.:

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

ε ε εε ε εε ε ε

=

ε , 1 0 00 1 00 0 1

s sε =

ε , 13

13

( )

( )s xx yy zz

x y z

ε ε ε εε ε ε

= + +

= + +,

1 12 2

1 12 21 12 2

xx s xy xz xf xy xz

f xy yy s yz xy yf yz

xz yz zz s xz yz zf

ε ε ε ε ε γ γε ε ε ε γ ε γε ε ε ε γ γ ε

− = − ≡ −

ε ,

− lub naprężeń 3 3[ ]ijσ ×=σ , aksjator 3 3[1]s s sσ σ×= ≡σ 1 (część kulistą) i dewiator f sσ= −σ σ 1 :

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

σ σ σσ σ σσ σ σ

=

σ , 1 0 00 1 00 0 1

s sσ =

σ , 13

13

( )

( )s xx yy zz

x y z

σ σ σ σσ σ σ

= + +

= + +,

xx s xy xz xf xy xz

f xy yy s yz xy yf yz

xz yz zz s xz yz zf

σ σ σ σ σ τ τσ σ σ σ τ σ τσ σ σ σ τ τ σ

− = − ≡ −

σ ,

− na podstawie prawa Hooke’a relacje między powyższymi składowy stanu naprężeń i odkształceń mają

postać: 1 2s sE

νε σ−= , 2

xfxf G

σε = ,

2yf

yf Gσ

ε = , 2

zfzf G

σε = , 2 xy

xy xy Gτ

γ ε= = , 2 xzxz xz G

τγ ε= = , 2 yzyz yz G

τγ ε= = ,

− energia właściwa odkształcenia sprężystego 12 ij ijΦ σ ε= rozłożona na część związaną ze zmianą objętości

VΦ ma postać 2 21 3 (1 2 ) 3( ) 32 2 2 (1 2 )V s s s s

EE

νΦ σ ε σ εν

−= × = =−

i na część związaną ze zmianą postaci

fΦ ma formę 12 [ ]f xf xf yf yf zf zf xy xy xz xz yz yzΦ σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ= + + + + + 2 2 2 2 2 21 [ 2( )]

4 xf yf zf xy xz yzGσ σ σ τ τ τ= + + + + +

2 2 2 2 2 21 [( ) ( ) ( ) 6( )]12 x y y z z x xy xz yzG

σ σ σ σ σ σ τ τ τ= − + − + − + + + 2 2 2 2 2 21[ ( )]2xf yf zf xy xz yzG ε ε ε γ γ γ= + + + + + ;

• energia potencjalna odkształcenia sprężystego różnych stanów wytężenia pręta:

− rozciąganie/ściskanie osiowe /N A constσ = = , / Eε σ= , energia właściwa 2

22

1 12 2 2

NE EA

Φ σε σ= = = ,

dla objętości d dV A z= związanej z przekrojem pręta 2 2

2d d d d2 2

Np

N NE V A z zEA EA

Φ= = = ⇒

2dd 2

NpE N

z EA= , dla pręta o długości l otrzymuje się

2

0

1d d2

lN Np pl

NE E zEA

= =∫ ∫ ;

− skręcanie swobodne pręta o przekroju kołowym 0( ) /sM Jτ ρ ρ= , 20 d

AJ Aρ=∫ , / Gγ τ= , energia

właściwa 2 2

220

1 12 2 2

sMG GJ

ρΦ τγ τ= = = , dla objętości d d dV z A= ⇒ 2 2

20

d d d d2

S sp

ME V z AGJ

ρΦ= = , dla

przekroju 2 2

220 0

dd

d 2 2

Sp s s

A

E M MAz GJ GJ

ρ= =∫ , dla pręta o długości l otrzymuje się 2

00

1d d2

lS S sp pl

ME E zGJ

= =∫ ∫ ;

− zginanie czyste ( ) /x xy M y Jσ = , 2dx AJ y A=∫ , /Eε σ= , energia właściwa

22 2

2

1 12 2 2

x

x

M yE EJ

Φ σε σ= = =

dla d d dV z A= ⇒ 2

22d d d d

2M xp

x

ME V y A zEJ

Φ= = , dla przekroju 2 2

22

dd

d 2 2

Mp x x

Ax x

E M My Az EJ EJ

= =∫ , dla pręta o

długości l otrzymuje się 2

0

1d d2

lM M xp pl

x

ME E zEJ

= =∫ ∫ ;

− ścinanie przy zginaniu ( ) /y x xy T S J bγγ γτ = , / Gγ τ= , energia właściwa

2 22

2 2

1 1 ( )2 2 2

y x

x

T SG GJ b

γ

γ

Φ τγ τ= = =

dla d d dV z A= ⇒ 2 2

2 2

( )d d d d2

yT xp

x

T SE V z AGJ b

γ

γ

Φ= = , dla przekroju 2 22

2 2

d ( ) dd 2 2

Tp y yx

Ax

E T TS A kz GJ b GA

γ

γ

= =∫ , gdzie

2

2 2

( ) dxA

x

A Sk AJ b

γ

γ

= ∫ jest bezwymiarowym współczynnikiem charakteryzującym rozkład naprężeń od

ścinania zależnym tylko od kształtu przekroju (dla przekroju prostokątnego 6 / 5k = , dla dwuteowników

2 2.5k = ÷ ), ostatecznie dla pręta o długości l otrzymuje się 2

0

1d d2

l yT Tp pl

TE E k z

GA= =∫ ∫ ;



• twierdzenia Castigliano rozważa się ciało liniowo − sprężyste obciążone układem sił 1 2, ,..., nP P P podwpływem których doznaje ono przemieszczeń 1 2, ,..., nδ δ δ w miejscu i kierunku ich działania. Ponieważprzemieszczenia są liniową funkcją obciążenia praca sił zewnętrznych wynosi 1

12n

z i i iL Pδ== ∑ i może byćzapisana między innymi na dwa sposoby albo jako funkcja obciążenia 1 2( , ,..., )z z nL L P P P= , albo jako funkcjaugięć 1 2( , ,..., )z z nL L δ δ δ= ;

− pierwsze twierdzenie Castigliano − przemieszczenie iδ w miejscu i kierunku działania siły iP równajest pochodnej cząstkowej pracy sił zewnętrznych względem siły iP , tj. /z i iL P δ∂ ∂ = ;

− drugie twierdzenie Castigliano − siły iP działająca w miejscu i kierunku przemieszczenie iδ równajest pochodnej cząstkowej pracy sił zewnętrznych względem przemieszczenia iδ , tj. /z i iL Pδ∂ ∂ = ;

− dowód do tw. I; niech zL ma postać 1 2( , ,..., )z z nL L P P P= , wykorzystuje się koncepcję oddziaływań wdwóch etapach, do jednej z obciążającego ciało układu sił 1 2, ,..., nP P P , np. i − tej siły ( iP ), dodaje się

mały przyrost d iP , wówczas praca sił zewnętrznych wzrośnie i wyniesie (1) dzz z i

i

LL L PP

∂= +∂

, zauważmy, że

po zmianie kolejność działania obciążeń − najpierw d iP a następnie układ sił 1 2, ,..., nP P P − praca siłzewnętrznych wyniesie (2) dz z i iL L Pδ= + (po pominięciu ,,małego” przemieszczenia od d iP ), ponieważpraca nie może zależeć od kolejności oddziaływań musi zachodzić (1) (2)

z zL L≡ ⇒ /z i iL P δ∂ ∂ = , cnd; − dowód do tw. II; analogicznie jak w tw. I jednak dla 1 2( , ,..., )z z nL L δ δ δ= i zaburzenia i − ego iδ małym

przyrost d iδ otrzymamy (1) dzz z i

i

LL L δδ

∂= +∂

, (2) dz z i iL L P δ= + , (1) (2)z zL L≡ ⇒ /z i iL Pδ∂ ∂ = , cnd;

− przykład, kąt skręcenia cienkościennego pręta o przekroju zamkniętym ( , ,d dsF A sδ δ= ) i długości ( l ),

pierwszy wzór Bredta ( ) / 2 ( )s ss M F sτ δ= , / Gγ τ= , energia właściwa 2

22 2

1 12 2 8

s

s

MG GF

Φ τγ τδ

= = = , dla

objętości d d d d dV z A z sδ= = ⇒ 2

2d d d d8

S sp

s

ME V z sGF

Φδ

= = , energia potencjalna odkształcenia

sprężystego w całym pręcie 2

20

1 dd d8

lS S sp pV

s

M sE E zG F δ

= = ∫ ∫ ∫! , dla przypadku ,s sM F const= otrzymuje

się 2

2

1 d8

S sp

s

M l sEGF δ

= ∫! , na podstawie pierwszego tw. Castigliano i tw. Clapeyrona otrzymuje się

2

1 d4

pz s s

s s s s

EL M l s M lM M GF GJ

ϕδ

∂∂ = ≡ = =∂ ∂ ∫! , gdzie 2 d(2 ) /s s

sJ Fδ

= ∫! co zgodne jest z drugim wzorem Bredta;

• zastosowanie pierwszego tw. Castigliano do obliczania dowolnych przemieszczeń, − tw. /z i iL P δ∂ ∂ = mówi, że obliczone iδ to przemieszczenie w miejscu i kierunku działania siły iP , − tak powiązane wielkości typu ( ,i iPδ ), ( ,i iMϕ ), ( ,ij ijε σ ) nazywa się parami energetycznie sprzężonymi, − zatem jeśli na podstawie /z i iL P δ∂ ∂ = ma być obliczone pewne przemieszczenie δ w dowolnym miejscu

oraz o dowolnym kierunku i zwrocie to potrzebne jest energetycznie sprzężone z nim obciążenie, w tymcelu wprowadza się obciążenie fikcyjne tworzące parę energetycznie sprzężoną ( , Pδ ),

− jeśli P jest obciążeniem fikcyjnym (a więc o wartości 0P = ) energetycznie sprzężonym z δ to pierwsze

tw. Castigliano, po wykorzystaniu tw. Clapeyrona p zE L≡ , przyjmie postać 0 0

pz

P P

ELP P

δ= =

∂∂= ≡∂ ∂

,

− jeśli P jest obciążeniem fikcyjnym, a P symbolizuje rzeczywiste obciążenie zewnętrzne, to w przypadkuukładów liniowo − sprężystych siły wewnętrzne można zapisać np. w postaci typu: ( , )xM P P

( ) ( )x xM P M P= + ( )x xM P P M= + " , ( , ) ( )y y yT P P T P P T= + " , ( , ) ( )N P P N P P N= + " , gdzie , ,x yM T N

są siłami wewnętrznymi od obciążenia jednostkowego ( )1 energetycznie sprzężonego z δ , ( , )δ 1 ,



− struktura wzorów na energię potencjalną odkształcenia sprężystego w przypadku płaskich ram, łuków czy

układów sztywno wiotkich 22 21 d

2yM T N x

p p p p sx

kTM NE E E E zEJ GA EA

= + + = + +

∫ wymaga obliczenia wyrażeń

typu 2 2 2 2 2

0 0 0

d[ ( , )] d[( ) ] d[ 2 ] 2d d dx x x x x x x

x xP P P

M P P M M P M M M P M P M MP P P= = =

+ + += = = , na tej podstawie

− dla ram ostatecznie otrzymuje się wzór obliczeniowy 0

dp y yx xs

xP

E T TM M NNk zP EJ GA EA

δ=

∂ = = + + ∂

∫ , gdzie

, ,x yM T N są siłami przekrojowymi od rzeczywistego obciążenie zewnętrznego ( , , , , ,...p P m M t ),

a , ,x yM T N siłami wewnętrznymi od obciążenia jednostkowego ( )1 energetycznie sprzężonego z

poszukiwanym przemieszczeniem δ , ( , )δ 1 ,

− dla kratownic wzór upraszcza się i przyjmuje postać 10

np k k

kk kP

E N N lP EA

δ==

∂= =

∂ ∑ , gdzie kN siła normalna w

k − tym pręcie od rzeczywistego obciążenia zewnętrznego ( , ,...P t ) a kN siła normalna od obciążeniajednostkowego ( )1 energetycznie sprzężonego z poszukiwanym przemieszczeniem δ , ( , )δ 1 ;

• obliczanie (graficzne) całek z iloczynu dwóch funkcji, we wzorach (energetycznych) do obliczania

przemieszczeń występują całki z iloczynu dwóch funkcji typu 2

11 2d

z

zf f z∫ (np. dx x

sx

M M zEJ∫ ),

− wykresy funkcji 1f i 2f są znane, zakłada się, że jedna z funkcji jest liniowa np. 2 ( )f z az b= + , wówczas

kolejno oblicza się 2

11 2( ) (z)d

z

zf z f z∫ " 2

11( ) ( )d

z

zf z az b z= +∫ " 2 2

1 11 1( ) d ( )d

z z

z za f z z z b f z z= +∫ ∫

1 1z d d

A Aa A b A= +∫ ∫ 1 1aS bA= +

11 1CaA z bA= + 1 11 1 2( ) ( )C CA az b A f z= + =" " , stąd

− 2

11

1 2 1 2d ( )z

Czf f z A f z=∫ " , gdzie 2

11 1( )d

z

zA f z z= ∫ jest polem ograniczonym funkcją 1f , zaś

12 ( )Cf z jest

wartością funkcji liniowej 2f pod środkiem ciężkości 1Cz pola 1A ,

− dla funkcji skomplikowanych, które dają się rozłożyć na znane funkcje proste np. 1 1 1f f f= +# $ będzie

obowiązywać 2 2

1 11 1

1 2 1 1 2 1 2 1 2d ( ) d ( ) ( )z z

C Cz zf f z f f f z A f z A f z= + = +∫ ∫ # $ # # $ $" " ;



Stateczności prostych prętów sprężystych ściskanych osiowo • znaczenie stateczności (wyboczenia) w projektowaniu konstrukcji; • stany równowagi położenia ( 0x ) np. sztywnej kulki Q spoczywającej na różnego kształtu powierzchniach

(badanie energii potencjalnej ( ) ( )pE x Qz x const= + siły ciężkości Q , gdzie 0x x u∆= ± , u∆ - wychylenie): − powierzchnia wklęsła: 0 0( ) ( )z x u z x∆± > , po wychyleniu u∆ powstają siły powodujące powrót do

położenia pierwotnego 0x ⇒ równowaga stateczna 0( ) minp pE x E= ⇒ konieczny warunek

stateczności lokalnej: ekstremum / 0pE x∂ ∂ = oraz minimum 2 2/ 0pE x∂ ∂ > , − powierzchnia wypukła: 0 0( ) ( )z x u z x∆± < , po wychyleniu u∆ powstają siły powodujące oddalanie się od

położenia pierwotnego 0x ⇒ równowaga niestateczna 0( ) maxp pE x E= ⇒ występuje w przypadku

/ 0pE x∂ ∂ = , 2 2/ 0pE x∂ ∂ < , − płaszczyzna pozioma: 0 0( ) ( )z x u z x∆± = , wychylenie u∆ nie powoduje powstania żadnych sił ⇒

równowaga obojętna 0 0( ) ( )p pE x E x u∆= ± ⇒ ma miejsce gdy / 0pE x∂ ∂ = , 2 2/ 0pE x∂ ∂ = ; • podobne jw. metody badania stateczności równowagi można stosować do układów sprężystych; • układ sprężysty jest stateczny, jeżeli po wychyleniu z położenia równowagi powraca lub drga wokół tego

położenia, inaczej jest niestateczny; • badanie stateczności (od strony geometrycznej) wymaga uwzględnienia przemieszczeń ( , , )u v w w

równaniach równowagi (rezygnacja z zasady zesztywnienia); mówi się: − teoria I-rzędu, kiedy obowiązuje zasada zesztywnienia, − teoria II-rzędu, kiedy uwzględniamy wpływ małych przemieszczeń (małych obrotów) / 1v L << , − dalsze udokładnienia teorii polegają na podnoszeniu rzędu rozważanych przemieszczeń (odkształceń); • swobodnie podparty prosty pręt sprężysty ( L , xEJ EJ const≡ = ) ściskany siłą osiową P ; w wynikuściskania pręt o osi ( z ) doznaje w płaszczyźnie y z− wygięcia ( )v v z= spełniającego warunki brzegowe,wówczas moment zginający wyniesie ( ) ( )M z P v z= , zakładając małe przemieszczenia ( ) / 1v z L << możnawykorzystać równanie Eulera na linię ugięcia ( ) ( )EJv M z P v z′′ = − = − ⇒ / 0v vP EJ′′ + = , wprowadzającwspółczynnik 2 /P EJα = otrzymuje się jednorodne zwyczajne równanie różniczkowe II − rzędu o stałymwspółczynniku 2 0v vα′′ + = , którego rozwiązanie ogólne ma postać 1 2( ) sin cosv z C z C zα α= + ;z warunków brzegowych oblicza się stałe 0| 0zv = = ⇒ 2 0C = i | 0z lv = = ⇒ 1 sin 0C lα = ⇒ są tu dwarozwiązania: trywialne 1 0C = oś pręta pozostaje prosta, lub

sin 0Lα = ⇒ L nα π= , 1,2,3,...n = , są to wartości własne równania 2 0v vα′′ + = ;na podstawie 2 /P EJα = otrzymuje się 2 2 2/P n EJ Lπ= możliwe wygięcie tzw. postać wyboczenia

1( ) sin( / )v z C n z Lπ= , gdzie 1C - pozostaje nieokreślone; zatem dla tej samej siły 2 2 2/P n EJ Lπ= są dwastany równowagi pręta dwie postaci: prosta ( 1 0C = ) lub wygięta 1 0C ≠ ⇒ dla wartości 2 2 2/P n EJ Lπ=występuje bifurkacja – tzw. rozdwojenie rozwiązania;

• krytyczna siła Eulerowska pierwsza 2 21| /KR E nP P P EJ Lπ=≡ = = – (najniższa) najmniejsza wartość siły

krytycznej do osiągnięcia której KRP P< pręt zachowuje postać prostoliniową – układ pozostaje stateczny, poosiągnięciu tej siły KRP P≥ pręt może ulec wyboczeniu, postać prostoliniowa jest niestateczna, jednak istniejkrzywoliniowa postać równowagi znalezienie której wymaga już rozwiązania równania ścisłego

2 3/ 2(1 ( ) )EJ v v Pv′′ ′+ = − (tzw. rozwiązanie pokrytyczne, powyboczeniowe, pobifurkacyjne) a nie jak wyżejrozwiązania przybliżonego ( EJv Pv′′ = − );

• wyboczenie (wygięcia – utrata stateczności przy sile P przekraczającej wartość krytyczną KRP P> ); • siły krytyczne wyższego rzędu ( 1n > ) postaci ich wyboczenia, znaczenie przy dodatkowych podporach pręta; • prosty wspornik sprężysty ( L , xEJ EJ const≡ = ) ściskany siłą osiową P ; w wyniku ściskania wygięcie

wspornika ( )v v z= w płaszczyźnie y z− osiąga na jego końcu wartość ( )f v L= , wówczas momentzginający ma postać ( ) ( ( ) )M z P f v z= − − , dla małych przemieszczeń ( ) / 1v z L << obowiązuje równanieEulera ( ) ( ( ) )EJv M z P f v z′′ = − = − ⇒ 2 2v v fα α′′ + = , gdzie 2 /P EJα = , które jest niejednorodnymzwyczajnym równaniem różniczkowym II − rzędu o stałym współczynniku, rozwiązanie jego składa się zcałki ogólnej (jak wyżej) oraz całki szczególnej i ma postać 1 2( ) sin cosv z C z C z fα α= + + ;z warunków brzegowych oblicza się stałe 0| 0zv = = ⇒ 2C f= − i 0| 0zv =′ = ⇒ 1 0C = , gdzie

1 2( ) ( cos sin )v z C z C zα α α′ = − co daje ( ) (1 cos )v z f zα= − ,



ponadto zgodnie z założeniem musi być spełniony warunek |z Lv f= = ⇒ (1 cos )f f Lα= − ⇒cos 0f Lα = , ponieważ założono 0f > ⇒ cos 0Lα = dla najniższej wartości / 2Lα π= otrzymuje się

siłę krytyczną 2 2/(2 )KRP EJ Lπ= i postać wyboczenia ( ) [1 cos( / 2 )]v z f z Lπ= − , gdzie f jest nieokreślone; • z jednej strony utwierdzony a z drugiej swobodnie podparty pręt sprężysty ( L , xEJ EJ const≡ = )ściskany siłą osiową P ; w wyniku ściskania pręt o osi ( z ) doznaje w płaszczyźnie y z− wygięcia ( )v v z=powodującego w miejscu zamocowania ( )A moment utwierdzenia AM , wówczas moment zginający jestsumą wpływów od momentu utwierdzenia i od momentu wywołanego siłą P na ugięciu belki

( ) ( ) /AM z P v z M z L= + , stąd równanie Eulera ma postać ( ) ( ( ) / )AEJv M z P v z M z L′′ = − = − + ⇒2 2v v zα β′′ + = − , gdzie 2 /P EJα = , 2 /AM EJLβ = 2 /P EJα = , jest to niejednorodne zwyczajne

równanie różniczkowe II − rzędu o stałym współczynniku, rozwiązanie jego składa się z całki ogólnej orazcałki szczególnej i ma postać 2 2

1 2( ) sin cos /v z C z C z zα α β α= + − , 2 21 2( ) cos sin /v z C z C zα α α α β α′ = − − ;

z warunków brzegowych oblicza się 0| 0zv = = ⇒ 2 0C = , | 0z Lv = = ⇒ 2 21 sin / 0C L Lα β α− = , | 0z Lv =′ =

⇒ 2 21 cos / 0C Lα α β α− = , dzieląc dwa ostatnie stronami otrzymuje się warunek wyboczenia tg L Lα α= , z

przybliżonego rozwiązania najmniejsza wartość wynosi 4.49Lα = , stąd siła krytyczna2 2 2 2(4.49) / /(0.7 )KRP EJ L EJ Lπ= = ;

• długość wyboczeniowa, długość wolna na wyboczenie wl wynika z ujednolicenia wzoru na KR EP P≡ dlaróżnych warunków podparcia pręta o długości L : 2 2/KR E wP P EJ lπ≡ = , wówczas odpowiednio do warunkówbrzegowych wl wynosi: wl L= – obustronnie swobodnie podparty, 2wl L= – wspornik; 0.5wl L= –obustronnie utwierdzony, 0.7wl L! – jednostronnie swobodnie podparty i jednostronnie utwierdzony;

• smukłość pręta ( /wl iλ = współczynnik bezwymiarowy 0λ > , gdzie 2 /i J A= promień bezwładności, stądsiła krytyczna 2 2/KR EP P EAπ λ≡ = );

• płaszczyzna wyboczenia, minimalna siła krytyczna (konstrukcje rzeczywiste są przestrzenne – zatemwyboczenie może wystąpić w różnych płaszczyznach np.: ( x z− ) lub ( y z− ), wartość

2 2maxmin /KR EP P EAπ λ≡ = związana jest z płaszczyzną wyboczenia tj. z płaszczyzną w której smukłość jest

największa max max( , )x yλ λ λ= , w obliczeniach /wl iλ = należy uwzględnić różne xJ , yJ (rzutujące na

promień bezwładności 2 /i J A= ), jak i różne warunki podparcia w płaszczyznach ( x z− ) lub ( y z− )(rzutujące na długość wyboczeniową wl );

• smukłość graniczna gr propλ λ≡ zakres sprężysty (analogicznie do wzoru /P Aσ = ) wprowadza się pojęcie

naprężenia krytycznego 2 2( ) ( ) / /KR KRP A Eσ λ λ π λ= = , które można przedstawić w postaci funkcjismukłości tzw. hiperboli Eulera, formalnie zależność 2 2( ) /KR Eσ λ π λ= dopuszcza wzrost KRσ → ∞ przymalejącej smukłości 0λ → , jednak zgodnie z założeniami wzór 2 2( ) /KR Eσ λ π λ= jest słuszny tylko wzakresie liniowo sprężystym ( ) HRσ λ ≤ (tj. do granicy proporcjonalności, stosowalności prawa Hooke'a)stąd 2 2/KR H propE Rσ π λ σ= ≤ ≡ ⇒ 1/ 2( / )gr prop propEλ λ π σ= = z budowy wzoru wynika, że grλ jest kolejnącharakterystyką materiałową (a nie geometryczną) i ogranicza od dołu zakres sprężysty ( gr propλ λ λ≡ ≤ ), dla

stali wynosi 102stal stalgr propλ λ= ≈ ;

• wyboczenie w zakresie niesprężystym propλ λ< w projektowaniu dopuszcza się naprężenia do wartościgranicy plastyczności pl plastRσ σ≤ ≡ ponieważ jednak przy wyboczeniu poza granicą proporcjonalności, tj.

gr propλ λ λ< = uplastycznienie nie od razu obejmuje cały przekrój, uwzględniając na różny sposób ten fakt(poprzez różne dodatkowe założenia) proponuje się w przedziale smukłości 0 gr propλ λ λ< < = różne krzyweprzejściowe ( )KR KRσ σ λ= przechodzące od H propR σ≡ do pl plastR σ≡ ;

• krzywa Engessera–Karmana, wyboczenie poza granicą proporcjonalności smukłość propλ λ< , pręt ojednej płaszczyźnie symetrii np. y z− będącej płaszczyzną wyboczenia, współrzędne przekrojowe ( ,x y ) wśrodku ciężkości, y – położenie osi obojętnej, założenie: na pręt działa ustalona osiowa siła P const= ,analizując stan układu nadaje się prętowi obciążonemu siłą P const= małe przemieszczenie poprzeczne ( v ),jeśli po usunięciu przyczyny v przemieszczenie to zniknie – równowaga (zgodnie z definicją) jest stateczna,jeśli pręt pozostanie trwale wygięty oznacza to, że KRP P≥ , zatem w wyniku wygięcia trwałego po stroniewklęsłej ( 1A , 1h y y− ≤ ≤ ) nastąpi przyrost naprężeń ujemnych (zgodnie ze styczną do krzywej rozciągania



σ ε− , dociążenie tg d /dtEβ σ ε= = , gdzie tE jest modułem stycznym), zaś po stronie wypukłej ( 2A ,

1y y h≤ ≤ ) spadek naprężeń ujemnych (odciążenie sprężyste tg Eα = ), jest to zatem przypadek materiału oróżnych własnościach na ściskanie ( tE ) i rozciąganie ( E ), obliczymy teraz przyrosty naprężeń powstałetylko w wyniku wygięcia:przyjmując założenie o płaskich przekrojach przyrost odkształcenia od wygięcia wyniesie

1( ) ( )y y y y∆ε κ ρ −= − = − , tutaj κ jest krzywizną, zaś ρ promieniem krzywizny, stąd wzrost naprężeńujemnych ( ) /t tE E y y∆σ ∆ε ρ= = − po stronie wklęsłej ( 1A , 1h y y− ≤ ≤ ), zaś po stronie wypukłej ( 2A ,

1y y h≤ ≤ ) ma miejsce spadek naprężeń co do bezwzględnej wartości ( ) /E E y y∆σ ∆ε ρ= = − ; ponieważrozważamy wygięcie pręta przy warunku N P const= = to dla rozważanych przyrostów naprężeń odzginania obowiązuje d 0

AA∆σ =∫ ⇒

1 2

1 1( )d ( )d 0t A AE y y A E y y Aρ ρ− −− + − =∫ ∫ ⇒ 1 2 0tE S E S+ = stąd

możemy wyznaczyć położenie osi obojętnej y , gdzie 1 0S < i 2 0S > są momentami statycznymi pól 1A i

2A względem poszukiwanej osi obojętnej;

z definicji moment zginający wynosi d ( )d dx A A AM y A y y A y A∆σ ∆σ ∆σ= = − +∫ ∫ ∫ ( )d

Ay y A Pv∆σ= − ≡∫

co po podstawieniu wzorów na naprężenia daje 1 2( ) /x tM E J E J Pvρ= + ≡ , gdzie 1J i 2J są momentamibezwładności pól 1A i 2A wz osi obojętnej ( y ), podstawiając 1 2 3/ 2d /d (1 ( ) )z v v vκ ρ ϕ− ′′ ′ ′′= = = − + ≈ − ,gdzie v jest linią ugięcia, po uwzględnieniu przybliżenia 1 vκ ρ − ′′= ≈ − otrzymuje się 1 2( )tE J E J v Pv′′+ = −co można zapisać 0xEJ v Pv′′ + = ⇒ 2 0v vα′′ + = , gdzie 2 / xP EJα = , 1 2( ) /t xE E J E J J= + nazywa sięsprowadzonym modułem wyboczenia a xJ jest momentem bezwładności w/z osi przechodzących przezśrodek ciężkości; zatem dla zakresu propλ λ< wobec analogii wzoru 2 0v vα′′ + = do przypadku wyboczeniasprężystego, możemy stosować wzór obowiązujący w zakresie sprężystym podstawiając jedynie w miejscemodułu sprężystości E sprowadzony moduł wyboczenia E , daje to 2 2/KR Eσ π λ= co pozwala wyznaczyć

krzywą ( )KRλ λ σ= ( ) /KR KREπ σ σ= zastępującą w zakresie propλ λ< hiperbolę Eulera; • krzywa Engessera–Shanleya, wyboczenie poza granicą proporcjonalności smukłość propλ λ< , u podstaw

koncepcji leży założenie, że wygięciu pręta w chwili wyboczenia towarzyszy jednoczesny wzrost siły P taki,że nie pojawia się strefa zmniejszenia naprężeń (odciążenia) zatem w całym przekroju obwiązuje ten sammoduł styczny tE , to umożliwia stosować wzory z zakresu sprężystego kładąc w miejsce modułu sprężystościE moduł styczny tE , daje to 0t xE J v Pv′′+ = ⇒ 2 0v vα′′+ =" , gdzie 2 / t xP E Jα =" , stąd 2 2/KR tEσ π λ=" co

pozwala wyznaczyć krzywą ( )KRλ λ σ= " ( ) /t KR KREπ σ σ= " " zastępującą dla propλ λ< hiperbolę Eulera;

• ponieważ obowiązuje relacja tE E E< < to naprężenia krytyczne wg teorii Engessera–Shanleya ( )KRσ λ" sątrochę mniejsze od obliczonych wg Engessera–Karmana ( )KRσ λ , doświadczenia pokazały, że lepsza jestteoria Engessera–Shanleya;

• wpływ siły tnącej yT na wielkość siły krytycznej KRP , równanie linii ugięcia uwzględniające wpływ siłytnącej yT ma postać ( ) ( )M x T yv v M v T= + , stan zgięciowy ( )M xv M wyraża równanie Eulera /M x xv M EJ′′ = − ,ugięcie od siły tnącej ( )T yv T oblicza się z kąta odkształcenia postaciowego γ wywołanego działaniem siły

tnącej d /dT Tv z vγ ′= = , na podstawie tw. Clapeyrona T Tz pL E≡ ⇒

21 1 1d d d2 2 2

yy T y

TT v T z k z

GAγ= ≡ otrzymuje

się y Tk T v

GAγ ′= ≡ a stąd T y y

k kv T pGA GA

′′ ′= = − , ostatecznie xM T y

x

M kv v v TEJ GA

′′ ′′ ′′ ′= + = − + ,

w przypadku wyboczenia swobodnie podpartego prostego pręta sprężystego ( L , xEJ EJ const≡ = )ściskanego siłą osiową P mamy ( ) ( )M z P v z= ⇒ yT M P v′ ′= = ⇒ yT M P v′ ′′ ′′= = , po podstawieniu do

równania na linie ugięcia x

P kPv v vEJ GA

′′ ′′= − + otrzymuje się (1 ) 0xkPEJ v PvGA

′′− + = ⇒ 2ˆ 0v vα′′ + = , gdzie

2 1ˆ1 /x

PEJ kP GA

α =−

, warunek wyboczenia dla tej belki ma postać 1 ˆsin 0C Lα = ⇒ ˆLπα = , rozwiązując

względem P otrzymuje się 1 12 2

2 2ˆ 1 1x xKR E E

EJ k EJ kP P PL GA L GA

π π− − = + = +

, gdzie 2

2x

EEJPL

π= ,



ostateczne można napisać 2

2ˆ

( )KREAP π

βλ= , tutaj

2

21 1Ek k EP

GA Gπβλ

= + = + jest bezwymiarowym

współczynnikiem, którego ostatnia postać wskazuje, że dla przekrojów jednolitych wpływ siły tnącej nawartość siły krytycznej jest bardzo mały i może być pominięty; okazuje się, że w prętach złożonych(wielogałęziowych) wpływ siły tnącej na wartość siły krytycznej jest znaczący;jako przykład rozważa się ściskany siłą osiową P pręt o długości L złożony z pasów pJ , pA (np. w postacidwóch teowników) rozstawionych na szerokość h i utrzymywanych prostym wykratowaniem w postacisłupków sA w rozstawie a i pojedynczych krzyżulców kA o długości równej 2 2 1/ 2( )d a h= + ,moment bezwładności przekroju złożonego wyniesie 22 [ ( /2) ]x p pJ J A h= × + ,

gdyby wykratowanie byłoby niepodatne można by stosować klasyczny wzór na siłę krytyczną 2 2/E xP EJ Lπ= ,okazuje się jednak, że podatność wykratowania ze względu na siłę tnącą yT wpływa znacznie na wartość siłykrytycznej, rozpatrując oczko ( a h× ) wykratowania, które musi przenieść siłę tnącą yT powstałą w wynikuglobalnego wygięcia pręta v , otrzymuje się: siłę rozciągającą w słupku s yN T= , siłę ściskającą w krzyżulcu

/k yN T d h= − , siłę rozciągającą w jednym z pasów /p yN T a h= (jednak ze względu na dużą sztywność pasa( )pEA ∞! w stosunku do sztywności wykratowania sEA , kEA siłę pN będzie pomijać się w obliczeniach

przemieszczeń od ścinania Tv ),

odpowiadający kątowi postaciowemu dd

Ty

k vTGA z

γ = ≡ elementu różniczkowego dz belki jednolitej kąt

spaczenia oczka wykratowania ma postać /Tv aγ ∆= , gdzie Tv∆ jest przyrostem ugięcia od siły tnącej yT wramach oczka wykratowania a , obliczenie Tv∆ można przeprowadzić na drodze analizy schematugeometrycznego lub elegancko wykorzystując pierwsze tw. Castigliano /T z yv L T∆ = ∂ ∂ i tw. Clapeyrona

Nz pL E≡ obliczając energię potencjalną dla układu kratowego oczka

2( )2

N i ip

i i

N lEEA

=∑ 2( )

2y

s

T hEA

=

2( / )2y

k

T d h dEA

−+

2( / )2 ( )

y

p

T a h aEA

+∞!

stąd 3

2

1 1 1 ( )Np y y

Ty s k

E T h T dv

a a T a EA h EAγ ∆

∂= = = +

∂

3 3

2 ( )y

s k

T h dEah A A

= + , porównując

oba kąty wyznacza się wyrażenie 3 3

2

1 ( )y s k

k h dGA T Eah A A

γ= ≡ + pozwalające określić współczynnik

3 3 2

2 2

11 1 ( ) xE

s k

k h d EJPGA Eah A A L

πβ = + = + + , który wskazuje, że dla przekrojów złożonych wpływ siły

tnącej na wartość siły krytycznej 2 2ˆ /( )KRP EAπ βλ= jest dużo większy; • wymiarowanie prętów ściskanych – rzeczywiste konstrukcje nie są liniowo sprężyste (np.: uplastycznienia),

ponadto nie spełniają warunków idealnych: mimośrodowość obciążeń i wstępne wygięcia (imperfekcje),także występują obciążenia poprzeczne (proste ujęcie tych zjawisk prowadzi do niejednorodnych równańróżniczkowych) pojawia się jakościowo inne zjawisko - oś pręta wygina się od początku, nie występuje tuproblem bifurkacji - siły wybaczającej EP lecz siły granicznej GRP - maksymalnej; tradycyjnie nazywamysiły: Eulerowską E KRP P′≡ - siła krytyczna I-rodzaju oraz graniczną GR KRP P′′≡ - siła krytyczna II-rodzaju);zmniejszający współczynnik wyboczenia β ma ująć rzeczywiste zachowanie konstrukcji (redukującnaprężenia krytyczne ( )KR KRσ σ λ= , hiperbola Eulera + krzywa przejściowa), współczynnik β zawierająnormy projektowania poszczególnych rodzajów konstrukcji (stalowych, żelbetowych, ...) w postaci tablic

( )β β λ= jako funkcji smukłości pręta /wl iλ = ; podstawą wymiarowania prętów ściskanych osiowo:w metodzie naprężeń dopuszczalnych są warunki / ( ) brutto dopP Aσ β λ σ= ≤ i / netto dopP Aσ σ= ≤ , gdzie

bruttoA – pole przekroju poprzecznego bez miejscowych osłabień (bowiem wzór oparty jest na zależnościachgeometrycznych, linii ugięcia), nettoA – minimalne pole przekroju poprzecznego z uwzględnieniem osłabień,w metodzie stanów granicznych są warunki 1 2( ) ...i i gr nP N brutto k k kη β∑ ≤ i 1 2( ) ...i i gr nP N netto k k kη∑ ≤ ,gdzie ( )gr pl bruttoN brutto Aσ= oznacza nośność przekroju brutto, ( )gr pl nettoN netto Aσ= oznacza nośnośćprzekroju netto, 1iη ≥ , współczynniki przeciążenia (zależą od rodzaju obciążenia), 1ik ≤ , np.

1k − współczynnik jednorodności materiału (zależy od mat., war. produkcji itp.), 2k − współczynnikiwarunków pracy (zależy od war. realizacji konstrukcji).



Hipotezy wytrzymałościowe • standardowe badania materiałów określającymi ich podstawowe cechy sprowadzają się zasadniczo do

jednoosiowych statycznych prób rozciągania i ściskania, popularność tych prób wynika z prostoty ichprzeprowadzenia i łatwości interpretacji otrzymywanych wyników (jedna składowa naprężeń);

• podstawowymi wielkościami wskazującymi na niebezpieczny stany materiału są: granica plastycznościpl plastR σ= , wytrzymałości na rozciąganie maxrR σ= i wytrzymałości na ściskanie mincR σ= − określane

w ramach jednoosiowego stanu wytężenia w próbach rozciągania lub ściskania; okazuje się, że kruchość iplastyczność zależą nie tylko od samego materiału ale także od złożoności stanu wytężenia w jakim znajdujesię ciało (liczby niezerowych składowych naprężeń np.: PSN, PSO, symetria osiowa, przestrzenny stannaprężenia); w obliczeniach za wielkość charakteryzujące jednoosiowego stan wytężenia przyjmuje sięnaprężenie graniczne 0 , , pl r cR R Rσ = , a stąd otrzymuje się pozostałe wielkości graniczne: odkształcenie

0 0/Eε σ= , naprężenie styczne 0 0/2τ σ= , energia sprężysta odkształcenia postaciowego 20 0 /6GΦ σ= ;

• hipotezy wytrzymałościowe uogólniają wyniki badań jednoosiowych na ogólny przestrzenny stannaprężenia określając w przestrzeni naprężeń obszar bezpieczny wewnątrz hiperpowierzchni odpowiadającejwartości 0σ z jednoosiowego stan wytężenia, pozwalają zatem określić stan niebezpieczny materiału wzłożonych stanach wytężenia; jest wiele różnych hipotez o ich wartości decyduje zgodność z doświadczeniemotrzymywanych na ich podstawie wyników;

• hipoteza największego naprężenia normalnego Galileusza (historyczna): stan niebezpieczny ma miejsce,gdy największe co do bezwzględnej wartości naprężenie główne osiągnie wartość 0σ , stan bezpieczny to

I II III 0| |, | |, | |σ σ σ σ< , w PSN są dwa warunki I 0| |σ σ< i II 0| |σ σ< , które w dwuwymiarowej przestrzeninaprężeń głównych tworzą kwadrat o bokach 02σ ograniczający obszar bezpieczny; hipoteza ta nie znalazłapotwierdzenia w badaniach doświadczalnych;

• hipoteza największego odkształcenia podłużnego de Saint–Venanta (historyczna): stan niebezpiecznyzachodzi, gdy największe co do bezwzględnej wartości odkształcenie główne osiągnie wartość 0ε , stanbezpieczny to I II III 0| |, | |, | |ε ε ε ε< ; w PSN na podstawie uogólnionego prawa Hooke’a otrzymuje się są dwawarunki I II 0| |σ νσ σ− < i II I 0| |σ νσ σ− < , które w dwuwymiarowej przestrzeni naprężeń głównych tworząromb o bokach 02σ nachylonych pod kątem α ( tgα ν= ) ograniczający obszar bezpieczny; hipoteza ta nieznalazła potwierdzenia w badaniach doświadczalnych;

• hipoteza największego naprężenia stycznego – hipoteza Treski: stan niebezpieczny ma miejsce, gdynajwiększe co do bezwzględnej wartości naprężenie styczne osiągnie wartość 0τ , stan bezpieczny to1 1 1

II III III I I II 02 2 2| |, | |, | |σ σ σ σ σ σ τ− − − < , w PSN wobec 0 0/2τ σ= otrzymuje się trzy warunki I II 0| |σ σ σ− <

I 0| |σ σ< i II 0| |σ σ< , które w dwuwymiarowej przestrzeni naprężeń głównych tworzą sześciobok wpisany wkwadrat o bokach 02σ ograniczający obszar bezpieczny; hipoteza ta wykazuje lepszą zgodność zdoświadczeniem, wada - brak możliwości uwzględnienia różnych wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie;

• hipoteza energii sprężystej odkształcenia postaciowego – Hubera–Misesa–Hencky’ego (HMH): obszar

bezpieczny określa nierówność 0fΦ Φ≤ , gdzie 2 2 2 2 2 21 [( ) ( ) ( ) 6( )]12f x y y z z x xy xz yzG

Φ σ σ σ σ σ σ τ τ τ= − + − + − + + + ,

a 20 0 /6GΦ σ= jest graniczną energią sprężystą odkształcenia postaciowego dla jednoosiowego stanu

naprężenia ( 0xσ σ= , pozostałe 0= ), stąd 2 2 2 2 2 2 20( ) ( ) ( ) 6( ) 2x y y z z x xy xz yzσ σ σ σ σ σ τ τ τ σ− + − + − + + + ≤ i w

trójwymiarowej przestrzeni naprężeniach głównych 2 2 2 2I II II III III I 0( ) ( ) ( ) 2σ σ σ σ σ σ σ− + − + − ≤ tworzy

nieskończenie długi walec o podstawie kołowej i osi jednakowo nachylonej do osi naprężeń głównych,w PSN 2 2 2 2

03x y x y xyσ σ σ σ τ σ+ − + ≤ i w dwuwymiarowej przestrzeni naprężeń głównych 2 2 2I II I II 0σ σ σ σ σ+ − ≤

warunek HMH ma postać elipsy ograniczając obszar bezpieczny; hipoteza ta dla materiałów plastycznych ojednakowej wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie wykazuje bardzo dobrą zgodność z doświadczeniem;

• stosowanie hipotez wytrzymałościowych w złożonym stanie naprężenia wprowadza się pojęcie naprężeńzastępczych wg odpowiedniej hipotezy, zapis obszaru bezpieczne przyjmuje postać

I II III 0( , , )zast fσ σ σ σ σ= ≤ , gdzie 0σ jest naprężeniem granicznym w jednoosiowym stanie naprężenia,dla hipotezy Treski w PSN wykorzystując 2 2 1/ 21 1

1 2 2 4, ( ) [ ( ) ]x y x y xyσ σ σ σ σ τ= + ± − + otrzymuje się zastσ ≡2 2 1/ 2

I II [( ) 4 ]Treska x y xyσ σ σ σ σ τ= − = − + dla I II 0σ σ <! lub Izast Treskaσ σ σ≡ = i IIzast Treskaσ σ σ≡ = I II 0σ σ >! ,

dla hipotezy Hubera–Misesa–Hencky’ego w PSN zastσ ≡ 2 2 23HMH x y x y xyσ σ σ σ σ τ= + − + 2 2I II I IIσ σ σ σ= + − ,

zaś w przestrzennym zastσ ≡ 2 2 2 2 2 212 [( ) ( ) ( ) 6( )]HMH x y y z z x xy xz yzσ σ σ σ σ σ σ τ τ τ= − + − + − + + + ;



− przykład; określić, który z trzech stanów naprężeń jest najbardziej niebezpieczny wg hipotezy Hubera–

Misesa–Hencky’ego (HMH) a) 10 0 00 80 00 0 30

MPa =

σ , b) 10 0 200 60 020 0 0

MPa−

=

σ , c) 0 20 020 75 00 0 10

MPa =

σ ,

gdzie składowe naprężeń zapisane są kartezjańskim układzie współrzędnych ( , , ) ( , , )x y z≡i j k e e e zastσ ≡2 2 21

2 [(10 80) (80 30) (30 10) ] 62,5HMH MPaσ = − + − + − = , zastσ ≡ 2 2 2 212 [( 10 60) 60 10 6 20 ]HMHσ = − − + + + !

= 74,16 MPa , zastσ ≡ 2 2 2 212 [75 (75 10) 10 6 20 ] 78.58HMH MPaσ = + − + + =! , odp. stan c);

− przykład; sprawdzić w przekroju α α− naprężenia zastępcze w swobodnie podpartej dwuteowej belcezginanej obciążonej siłą skupioną w środku wg hipotezy Hubera–Misesa–Hencky’ego (HMH),

/ ( )x xM y J nettoσ = , ( ) / ( )y x xT S brutto J bruttoγτ δ= , zastσ ≡ 2 23HMHσ σ τ= + .Matematyczne modele ciał plastycznych, nośność graniczna przekroju poprzecznego (rozważa się stanywytężenia w których występuje tylko naprężenie normalne σ , tj. rozciąganie/ściskanie osiowe, zginanie czyste irozciąganie/ściskanie mimośrodowe);• krzywa rozciągania/ściskania σ ε− jako podstawa modeli teoretycznych, np. stal miękka charakterystyka

zakresów: liniowego i nieliniowego sprężystego (granica proporcjonalności H propR σ= , wyraźna granicaplastyczności 0pl plR σ σ= ≡ ), płynięcie plastyczne (odkształcenia trwałe – plastyczne plε , odkształceniasprężyste sε ), wzmocnienie (moduł wzmocnienia WE , granica wytrzymałości maxrR σ= ), utrata statecznościmateriału (zniszczenie); pojęcia obciążenia i odciążenia w zakresie sprężystym i plastycznym;

• istota zachowania plastycznego, niezależność od czasu ( )f tσ ≠ , ( )f tε ≠ , nieodwracalność deformacjiplastycznej plε , niejednoznaczność opisu matematycznego – inny sposób opisu obciążenia i odciążenia;

• model liniowo–sprężysty (L–S, rozważany dotąd) Eσ ε= , schemat mechaniczny – sprężyna P ku= ;• model sztywno–plastyczny (Sz–P)

0ε = dla 0 plσ σ σ< ≡ (brak odkształceń do osiągnięcia graniczy plastyczności – materiał sztywny),

plε dla 0 plσ σ σ= ≡ (płynięcie materiału – nieograniczone deformacje),schemat mechaniczny – ruch ciała sztywnego Q na płaszczyźnie z tarciem Culomba T Qµ= , tj. P T<spoczynek, P T= ruch nieograniczony;

• model idealnie sprężysto–plastyczny (IS–P)Eσ ε= dla 0 plσ σ σ< ≡ ⇒ 0 0/Eε σ= zachowanie liniowo sprężyste,

0 plε ε ε= + dla 0 plσ σ σ= ≡ (płynięcie materiału – nieograniczone deformacje),schemat mechaniczny – sprężyna ( P ku= dla P T< ) połączona szeregowo ze modelem ciała sztywnego napłaszczyźnie ( P T= dochodzi ruch nieograniczony);

• model idealnie sprężysto–plastyczny ze wzmocnieniem (IS–PW), początkowe 0 plσ σ≡ ,Eσ ε= dla 0σ σ< ⇒ 0 0/Eε σ= zachowanie liniowo sprężyste,

0 plε ε ε= + i 0 0( )WEσ σ ε ε= + − przy obciążeniu tj. 0σ σ> dla odciążenia położenie 0σ σ≡ (płynięcie zewzmocnieniem materiału wg WE – ograniczone deformacje plastyczne),schemat mechaniczny – sprężyna ( s sP k u= dla P T< ) połączona szeregowo ze równoległym układemzbudowanym ze sprężyny ( Wk ) i ciała sztywnego na płaszczyźnie ( T ) (tj. s Wu u u= + , zP k u= ,

/ / /z s WP k P k P k= + druga sprężyna aktywizuje się przy obciążeniu P T> , dla odciążenia kładzie sięT P≡ ); istnieje szereg innych modeli opisujących zjawisko uplastycznienia materiału;

• nośność graniczna przekroju jest to maksymalna siła przekrojowej (wewnętrznej) – wyznaczana napodstawie modelu materiału idealnie sprężysto–plastycznego (IS–P) – przy której następuje nieograniczonywzrost odkształceń (tj. maksymalna siła jaką jest w stanie przenieść przekrój, wielkość lokalna);

• nośność graniczna konstrukcji jest to obciążenie zewnętrzne powodujące zniszczenie całej konstrukcji lubjej części (wielkość globalna),nośność graniczna przekroju pokrywa się z nośnością graniczną konstrukcji tylko w przypadku konstrukcjistatycznie wyznaczalnych,w przypadku układów statycznie niewyznaczalnych zniszczenie konstrukcji następuje w momencieprzekształcenia się układu w łańcuch kinematyczny w następstwie przekroczenie nośności granicznej(najczęściej) w kilku przekrojach;

• rozciąganie/ściskanie nośność graniczna przekroju, − pręt jednorodny o przekroju A , constσ = na A : maxgr plN N Aσ= = ,



− pręt zespolony z dwóch materiałów np. stal ( ( ), ss plA σ ), beton ( ( ), b

b plA σ ): ( ) ( )s bgr pl s pl bN A Aσ σ= +! ! ,

dla porównania stan sprężysty, z warunku zgodności odkształceń b sε ε ε= = i prawa Hoocka/ /b b s sE Eε σ σ= = → b b s s b b s sN A A E A E Aσ σ ε ε= + = + ( / )b b s s b b cE A A E E Aε σ= + = , /c b s s bA A A E E= + ;

• zginanie czyste nośność graniczna przekroju, rozważa się zginanie proste względem osi x , 0xM ≠ , w stanierównowagi granicznej (w całym przekroju A występują naprężenia plastyczne plσ : w strefie ściskanej

,s plA σ− , w strefie rozciąganej ,r plA σ+ ) muszą być spełnione warunki równowagi statycznej

d 0A

N Aσ≡ =∫ ⇒ 0pl s pl rA Aσ σ− + = ⇒ / 2s rA A A= = i dgr AM y Aσ≡ ∫ , stąd plastyczny wskaźnik

wytrzymałości / ( )2

s rpl gr pl s r x x

AW M c c S Sσ= = + = + , gdzie sx s sS A c= , r

x r rS A c= statyczne momenty pól

ściskanego sA i rozciąganego rA względem osi obojętnej w stanie równowagi granicznej, − porównanie wskaźników wytrzymałości sprężystych W i plastycznych plW , równoważne porównaniu

momentów zginających przekrój maksymalnego sprężystego maxspr plM Wσ= i granicznego plastycznego

gr pl plM Wσ= ⇒ max/ /gr spr plM M W W= ;

przekroje pełne: prostokątny ( )b h× : 2 / 6W bh= , 11 22 ( )plW A c c= + 1 2 / 4c c h= = ,

2

22 4 4pl

bh h bhW = × =! ,

/ 1.5plW W = ; kołowy ( )r ; 3 / 4W rπ= , 11 22 ( )plW A c c= + , 1 2 4 / 3c c r π= = ,

234 42

2 3 3plr rW rπ

π= × =! ,

/ 16 / 3 1.7plW W π= = ;przekroje cienkościenne: idealny dwuteownik (same pasy) / 1plW W = , dwuteownik | / 1.1 1.2pl x xW W = ÷ ,

| / 1.6 1.7pl y yW W = ÷ ; ceownik | / 1.1 1.2pl x xW W = ÷ , | / 1.8pl y yW W ≅ ; rura ( , )r δ / 1.27plW W = ; − obszar uplastycznienia belki, przykład, belka swobodnie podparta L o przekroju prostokątnym ( )b h×

obciążona w środku /2z L= siłą skupioną P , symetria układu, 12( )M z Pz= , 0 / 2z L≤ ≤ , 1

max 4M PL= ;układ statycznie wyznaczalny → lokalna nośność graniczna przekroju 21

4gr pl pl plM W bhσ σ= = pokrywa

się z globalną nośnością graniczną konstrukcji 21 1max4 4gr pl grM bh M P Lσ= ≡ = ⇒ 2 /gr plP bh Lσ= ⇒

12( ) 2 /gr grM z P z M z L= = ; z drugiej strony maksymalny moment sprężysty przenoszony przez przekrój

21max 6S

pl plM W bhσ σ= = ogranicza zasięg strefy sprężystej max( ) 2 / SgrM z M z L M= ≤ ⇒ / 3z L≤ , zatem

strefa plastyczna obejmuje obszar / 3z L≥ w którym max ( )SgrM M z M≤ ≤ ; z analizy rozkładu naprężeń

po wysokości h przyjmując, że 0 ( )h z h≤ opisuje zakres strefy sprężystej w przekroju ( )z , wynika

0 01 1( ) 2 [( ) ( )]2 2 3 2gr pl

h hM z M bσ= − × ! 21012gr plM h bσ= − ⇒ ( )0 ( ) 12 ( ) /( )gr plh z M M z bσ= − widać stąd,

że dla ( ) grM z M→ ⇒ 0 ( ) 0h z → , ostatecznie podstawiając ( ) 2 /grM z M z L= i 214gr plM bhσ=

otrzymuje się ( )0 ( ) 3 1 2 /h z h z L= − ; oczywiście dla zakresu sprężystego 0 ( )h z h= otrzymuje sięwcześniejszy warunek / 3z L= ;

− materiały o różnej granicy plastyczności na rozciąganie ( rplσ ) i ściskanie ( s

plσ ) np. beton, cegła,kamień; przykład, stan graniczny przekroju prostokątnego ( )b h× charakteryzują parametry w strefieściskanej ( s

plσ− , s sA b h= × ) i w strefie rozciąganej ( rplσ , r rA b h= × ), przy czym s rh h h= + , s rA A A= + ;

z warunku równowagi d 0A

N Aσ≡ =∫ ⇒ 0s rpl s pl rbh bhσ σ− + = ⇒ / /r s

s r pl plh h σ σ= ⇒ s rh h h= +

(1 / )s rs pl plh σ σ= + (1 / )r s

r pl plh σ σ= + ⇒ 1(1 / )s rs pl plh hσ σ −= + , 1(1 / )r s

s pl plh hσ σ −= + , stąd z definicji

dgr AM y Aσ≡ ∫ oblicza się alternatywnie,

wz osi obojętnej

s rgr pl s pl rM S Sσ σ= +"##$##% 1

2

wz środka ciężkości pola

( )r

spl s s r

A

bh h hσ= +!"##$##% 12

wz środka ciężkości pola

( )s

rpl r s r

A

bh h hσ= +!"##$##%

1 212 (1 / )s s r

pl pl pl bhσ σ σ −= + , gdzie 21 12 2s s s sS A h bh= = , 21 1

2 2r r r rS A h bh= = są momentami statycznymiodpowiednich pól względem osi obojętnej w stanie granicznym;

− przekrój zespolony z dwóch różnych materiałów np. przekrój prostokątny ( )b h× z materiałów opolach ( ) ( )B BA bh= i ( ) ( )S SA bh= mających takich same granice plastyczności na ściskanie i rozciąganie

( ) ( ) ( )B B r B spl pl plσ σ σ≡ = , ( ) ( ) ( )S S r S s

pl pl plσ σ σ≡ = ; przyjmując, że ( ) ( )B Sh h> i ( ) ( )B Spl plσ σ< z warunku równowagi



d 0A

N Aσ≡ =∫ ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0B B B B S Spl s pl r plA A Aσ σ σ− + + = oblicza się ( )B

sh i ( )Brh pozwala to obliczyć nośność

graniczną przekroju zginanego ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B B B B S Sgr pl s pl r plM S S Sσ σ σ= + + , gdzie ( ) ( ) ( ) 21 1

2 2 ( )B B Bs s s sS A h b h= = ,

( ) ( ) ( ) 21 12 2 ( )B B B

r r r rS A h b h= = i ( ) ( ) ( ) ( )12( )S S B S

rS A h h= +! są momentami statycznymi odpowiednich pólwzględem osi obojętnej w stanie granicznym;warto zauważyć, że w przypadku materiałów o tych samych własnościach na ściskanie i rozciąganie

( ) ( ) ( )S S r S spl pl plσ σ σ≡ = i ( ) ( ) ( )B B r B s

pl pl plσ σ σ≡ = graniczna nośność dgr AM y Aσ≡ ∫ zespolonego przekroju

zginanego nie zależy od zwrotu momentu zginającego M± ;inaczej jest w przypadku materiałów o różnych odporności na ściskanie i rozciąganie (np. ( ) ( )B r B s

pl plσ σ≠ ),tutaj nośność graniczna przekroju zespolonego zależy oczywiście od tego czy dany materiał jest ściskanyczy rozciągany (tj. M± ), przykładem jest tu sposób obliczania nośności granicznej przekrojużelbetowego w którym przyjmuje się, że w stanie granicznym beton nie pracuje na rozciąganie (tj.

( ) 0B rplσ = ze względu na zarysowanie);

− przykład zachowania się betonu w konstrukcji żelbetowej wskazuje, że w przypadku rzeczywistychmateriałów w których występuje duże zróżnicowanie r s

pl plσ σ<< może pojawić się konieczność

ograniczenia odkształceń przy rozciąganiu do pewnej wartości rgr grε ε≡ , która decydować będzie o

nośności granicznej przekroju,rozważa się przekrój prostokątny ( )b h× wykonany z materiału o różnej granicy plastyczności naściskanie ( s

plσ , s sA bh= ) i rozciąganie z jednoczesnym ograniczeniem wartości odkształceń ( rplσ ,

rgr grε ε≡ , ( )r r sA bh b h h= = − ), przyjmując układ współrzędnych pokrywający się z osią obojętną w stanie

granicznym (tj. max|ry h grε ε ε= = ≡ ), zgodnie z założeniem Bernoulliego odkształcenia są funkcją liniową

( ) /gr ry y hε ε= , stąd min| /sy h gr s rh hε ε ε= = = − /( )gr s sh h hε= − − ; zakładając dla przypadku r s

pl plσ σ<<uproszczony model rozkładu naprężeń w stanie granicznym tj. w strefie ściskanej liniowo sprężysty

( ) ( ) /( )gr sy E y E y h hσ ε ε= = − , 0sh y≤ ≤ i uplastycznienie całej strefy rozciąganej ( ) rply constσ σ= = ,

0 ry h≤ ≤ ; stąd z warunku równowagi d 0A

N Aσ≡ =∫ ⇒ 1 ( ) 02

rsgr s pl s

s

hbE h b h hh h

ε σ− + − =−! ⇒

2 2( / 2) 2 0r r rs pl gr s pl plh E h h hσ ε σ σ− − + = znajduje się

/ 2/ 2

r rpl pl gr

s rpl gr

Eh h

Eσ σ ε

σ ε−

=−

i r sh h h= − co pozwala

obliczyć nośność graniczną przekroju zginanego (np. względem punktu przyłożenia wypadkowej ze strefyściskanej) 1 2

2 3( ) [ ( ) ]rgr pl s s sM b h h h h hσ= − − +! 1 1

2 3( )rpl r sb h h hσ= + ;

dla betonu lub cegły 214

rgr plM bhσ≅ ;

• mimośrodowe rozciąganie/ściskanie nośność graniczna przekroju, rozważa się rozciąganie siłą N i zginanymomentem M przekrój o jednej osi symetrii w płaszczyźnie zginania ( h const= , ( )b b y= ) oraz materiał ojednakowej granicy plastyczności plσ na ściskanie i rozciąganie,przyjmuje się, że układ współrzędnych ( , )x y pokrywa się z osią obojętną stanu granicznego czystegozginania (tj. 0M ≠ i 0N = , / 2s rA A A= = ⇒ oś x , zaś 2 /s

s xc S A= i 2 /rr xc S A= ), zatem xM M Na= +

bowiem siła 0N ≠ działa na mimośrodzie Ca y= równym odległości środka ciężkości ( )c przekroju A odosi obojętnej x , ponadto niech δ oznacza względne przesunięcie osi obojętnej z rozciąganiamimośrodowego ( , 0xM N ≠ ) w stosunku do osi x czystego zginania ( 0xM ≠ , 0N = ) w stanach granicznych;

z warunków równowagi (czy definicji sił) dA

A Nσ ≡∫ ⇒ 0

2 ( )dpl b y y Nδ

σ =∫ , d xAy A M M Naσ ≡ = +∫ ⇒

12 0

( ) 2 ( )dpl s r plA c c y b y y M Naδ

σ σ+ − = +∫ ! po podzieleniu odpowiednio przez gr plN Aσ= lub gr pl plM Wσ=

12 ( )pl s rA c cσ= + otrzymuje się kolejno

0

2 dgr

N b yN A

δ= ∫ i

0

21 dgr pl pl pl

M Nay b yM W W

δ

σ= − −∫ ! ⇒

0

21 ( ) dgr pl

M y a b yM W

δ= − +∫ ! po uwzględnieniu że

02 dplN b y

δσ= ∫ , ostatecznie po zcałkowaniu i

wyznaczeniu δ otrzymuje się ( ) 1gr gr

M NfM N

+ = , gdzie funkcja f zależy od kształtu przekroju;



− przekrój prostokątny ( )b h× , bisymetryczny ⇒ 0a = , 2 2gr

N bN bh h

δδ= = ⇒ 22 1

4 gr

Nh Nδ =

, oraz

22 2

2 2

2 41 1 4 12gr gr

M NbM bh h N

δ δ = − = − = −

! , stąd ostatecznie 2

1gr gr

M NM N

+ =

,

przykład; zbadać czy przekrój prostokątny 2b cm= , 20h cm= , 250pl MPaσ = , przeniesie obciążenie

40M kNm= i 300N kN= ; oblicza się 250 0.02 0.2 1 1000grN MN kN= = =! ! , 214250 0.02 (0.2)grM = ! ! !

0.05 50MNm kNm= = , stąd 2

2

2

40 300 0.8 0.09 150 1000gr gr

M NM N

+ = + = + <

⇒ może przenieść;

− idealny przekrój dwuteowy (dwuteownik bez środnika) 1gr gr

M NM N

+ = .

• złożone stany naprężeń (PSN, PSO, symetria osiowa, przestrzenny stan naprężenia), w tych przypadkachpojęcie granicy plastyczności plσ z jednoosiowego stanu naprężenia zostaje uogólnione poprzez hipotezywytrzymałościowe na tzw. warunek uplastycznienia na podstawie którego budowana jest klasyczna teoriaplastyczności,

− w przypadku hipotezy Hubera–Misesa–Hencky’ego (HMH) warunek plastyczności w PSN ma postać2 2 2 23x y x y xy plσ σ σ σ τ σ+ − + = , warunek ten interpretuje występujący po lewej stronie równości złożony stan

naprężenia ( , ,x y xyσ σ τ ) w terminie jednoosiowego stanu naprężenia (tj. granicy plastyczności przyrozciąganiu plσ ) występującym po stronie prawej,

kolejne założenia, różnicujące teorię plastyczności na dwie grupy, dotyczą opisu zachowania się materiału poprzejściu w stan plastyczny, wyróżniamy tu:

− odkształceniową teorię plastyczności formułującą (plastyczne) prawa konstytutywne (fizyczne)pomiędzy całkowitymi naprężeniami i całkowitymi odkształceniami tak jak w sprężystości (teoria ta jestistotnie ograniczona, ma raczej znaczenie historyczne, wykorzystywana jest w rozwiązaniachanalitycznych),

− teorię plastycznego płynięcia przyjmującą (plastyczne) prawa konstytutywne (fizyczne) pomiędzyprędkościami (przyrostami) naprężeń i prędkościami (przyrostami) odkształceń;

badania nośności konstrukcji w złożonych stanach naprężenia, ze względu na ich wysoki stopieńskomplikowania powodowany nieliniowością problemu, należą do jednych z trudniejszych zadań mechanikiośrodków ciągłych i w ogólnym przypadku wymagają stosowania metod numerycznych;

• skręcanie swobodne 0x yσ σ= = , 0xyτ τ= ≠ , z warunku plastyczności 2 2 2 23x y x y xy plσ σ σ σ τ σ+ − + = ⇒

/ 3pl plτ σ= , przykłady: − pełnościenny przekrój kołowy ( )r , zakres sprężysty 0( ) /sM Jτ ρ ρ= , max | r plρτ τ τ== = maksymalny

sprężysty moment skręcający przenoszony przez przekrój max 312s spr pl pl sM r Wτ π τ= =! ! , moment w stanie

granicznym d ds gr plM Aτ ρ= , d dA ρ ϕ= , ds gr s grAM M= ∫

22 3230 0

d dr

pl pl pl s plr Wπ

τ ρ ρ ϕ τ π τ= = =∫ ∫! ! ! ;

warto zauważyć, że 323s gr plM rτ π= ! 21

32 ( )plr rπ τ= ! ! ! 132 ( ) 2Ah V= =! ! , gdzie 1

3V Ah= jest objętością

stożka o podstawie pola przekroju poprzecznego 2A rπ= i wysokości tgh r β= , tutaj tg plβ τ= , β jest

kątem nachylenia tworzącej do podstawy stożka; max

4 1.(3)3

s gr s pl

s spr s

M WM W

= = = ;

− przekrój kwadratowy ( )a a× max 30.208s spr pl s plM W aτ τ= =! ! , objętość ostrosłupa o nachyleniu ściany

tg plβ τ= a stąd wysokości 1 12 2tg plh a aβ τ= = i podstawie 2A a= wynosi 31 1

3 6 plV Ah aτ= = , zatem

3132s gr pl pl s plM V a Wτ τ= = =! ! , 31

3s plW a= , max

1/ 3 1.600.208

s gr s pl

s spr s

M WM W

= = ≅ ;

− wąski przekrój prostokątny ( h δ× , h δ>> ) sprężysty wskaźnik wytrzymałości 213sW hδ= , w zakresie

plastycznym 1 12 2tg plh δ β δ τ= = , A hδ= ⇒ 31 1

2 4 plV Ah aτ≅ = , stąd 212s plW hδ= i / 1.5s pl sW W = ;

− cienkościenny przekrój zamknięty o stałej grubości constδ = , maxs gr s sprM M= bowiem τ jest stałe na

grubości ścianki i w całym przekroju, stąd / 1s pl sW W = .



Cięgna • cięgno jest modelem teoretycznym konstrukcji wiszących (liny, łańcuchy itp.), które charakteryzują się

znikomą sztywnością na zginanie, stąd w ich modelu teoretycznym cięgnie sztywność ta jest pomijana;zakłada się, że cięgna przenoszą tylko rozciąganie, oraz w modelu klasycznym, że są nierozciągliweL const= ;

• zasadnicze różnice w stosunku do rozpatrywanych dotąd zagadnień to: − zmienny schemat geometryczny zależy od obciążenia ⇒ nie obowiązuje zasada zesztywnienia, − duże przemieszczenia, zagadnienie geometrycznie nieliniowe ⇒ nie obowiązuje założenie o małych

przemieszczeniach i nie obowiązuje zasada superpozycji; • zasadnicze problemy w analizie cięgien to wyznaczenie: − kształtu cięgna, − reakcji utrzymujących i siły normalnej w cięgnie;• ciężar własny cięgna q const= (na jednostkę długości s ), cięgno nierozciągliwe o długości L const= i

punktach zawieszenia na tej samej wysokości w rozstawie poziomym (rozpiętości) l L< oraz strzałce zwisuf , układ współrzędnych x - pozioma, y - pionowa, początek w punkcie zawieszenia,

postać różniczkowa równania linii zwisu, niech 2 2 2(d ) (d ) (dy)s x= + , d d cos dy sins x ϕ ϕ= = , tg dy/dxϕ = ,z rozkładu sił rozciągającej w cięgnie wynika, że 1 1cos sinN H Vϕ ϕ− −= = , tg d / dV H H y x H yϕ ′= = = ,z warunków równowagi elementu różniczkowego cięgna otrzymuje się kolejno 0xP∑ = ⇒

( d ) 0H H H− + + = ⇒ d 0H = ⇒ H const= , 0yP∑ = ⇒ d ( d ) 0V q s V V− + + + = ⇒ d / dV s q= −

uwzględniając, że V H y′= , stąd d d( )d dV H ys s

′= d( )

dyHs′

= d( ) dd dy xHx s′

= ddxH ys

′′= q= − , lub

uwzględniając 2 2d (d ) (d )s x y= + 2d 1 ( )x y ′= + otrzymuje się równanie różniczkowe linii zwisu cięgna21 ( )H y q y′′ ′= − + ,

całkowanie równania linii zwisu cięgna, wprowadzając oznaczenia z y′= , /H qα = równanie

21 ( )H y q y′′ ′= − + przyjmuje wygodną postać do całkowania 2

d 1 d1

z xz α

= −+

, całkując je obustronnie

otrzymuje się 11arcsinh ( )z x cα

= − + , następnie odwracając arcsinh mamy 1sinh x cy zα+′ ≡ = − i całkując

ponownie oblicza się 12cosh x cy cα

α+= − + , z warunku brzegowego ( 0) 0y x = = i warunku symetrii

12( ) 0y x l′ = = wyznacza się stałe 1 / 2c l= − i 2 cosh( / 2 )c lα α= , co daje linię zwisu cięgna

/ 2[cosh cosh ]2l x ly αα α

−= − ( / 2)[cosh cosh ]2

H ql q x lq H H

−= − nazywaną krzywą łańcuchową, między

innym y jest nieliniową funkcją składowej poziomej H niewiadome siły rozciągającej N w cięgnie,siła rozciągająca cięgno N , a przez to jej składowa pozioma H , zależy od przyjętej długości cięgna L lubzależy równoważnie od bardziej przydatnej w praktyce założonej strzałce zwisu cięgna 1

2( )f y x l≡ = , stąd

[cosh 1]2

H qlfq H

= − ⇒ 1[cosh 1]2qlH q fH

−= − ⇒ ( )H F H= , gdzie F jest nieliniową funkcją H ,

postać ( )H F H= wskazuje na możliwość zastosowania metody kolejnych przybliżeń w postaci iteracji

prostej tj. 1 ( )i iH F H+ = ⇒ 1 1[cosh 1]2

ii

qlH q fH

+ −= − , gdzie i oznacza numer iteracji, zbieżność iteracji

prostej 1 ( )i iH F H+ = ustala warunek Lipschitza, którego spełnienie ogólnie mówiąc zależy od trafnieprzyjętej wartości początkowej 0H , w naszym przypadku dobrym przybliżeniem jest 0 2 / 8H ql f= , powyznaczeniu z żądaną dokładnością składowej H oblicza się kolejno y , y′ a stąd siłę normalną w cięgnie

1 2cos 1 ( )N H H yϕ− ′= = + ;cięgna o małej strzałce zwisu są częstym przypadkiem występującym w praktyce, z relacji f l<< wynika,że d / d 1y y x′ = << ⇒ 21 ( ) 1y′+ ≅ ⇒ d ds x≅ i równanie różniczkowe linii zwisu cięgna pod ciężarem

własnym q const= , 21 ( )H y q y′′ ′= − + przyjmuje postać przybliżoną H y q′′ = − ⇒ 1y α −′′ = − łatwą do

scałkowania 2

1 22xy c x cα

= − + + , z warunku brzegowego ( 0) 0y x = = i warunku symetrii 12( ) 0y x l′ = =



wyznacza się stałe 1 2lcα

= i 2 0c = , ostatecznie ( )2qxy l xH

= − − , z warunku 12( )f y x l≡ = otrzymuje się

2

8qlH

f= ⇒ 2

4 ( )f xy l xl

= − , całkowitą długość cięgna przy założonej strzałce ugięcia f z definicji wynosi

2

0d 1 ( ) d

l

LL s y x′= = +∫ ∫ co po rozwinięciu w szereg potęgowy z ograniczeniem się do dwóch pierwszych

wyrazów daje ( )2 21 12 20 0

1 ( ) d ( ) dl l

L y x l y x′ ′≅ + = +∫ ∫ , co po podstawieniu 2

4 ( 2 )fy l xl

′ = − i wykonaniu

przypisanych operacji otrzymuje się 2

2

8(1 )3fL ll

= + ;

• dowolne obciążenie pionowe ( yP P≡ , yq q≡ ), cięgna o małej strzałce zwisu f l<< i punktachzawieszenia na tej samej wysokości, zakłada się, że punkty przyłożenia obciążenia pionowego doznająjedynie przemieszczeń pionowych, tj. ich przestrzenna linia działania obciążenia nie ulega zmianie,ponieważ brak obciążeń poziomych zachodzi warunek ( )H x const= , wykorzystując równanie momentów

zginających belki swobodnie podpartej 2

2

dd

M qx

= − obciążonej jak cięgno i postać przybliżoną równania linii

zwisu cięgna 2

2

dd

yH qx

= − , można wydedukować związek Hy M= stanowiący warunek zerowania się

momentów zginających, a stąd obliczyć MyH

= [ ]MH

= , uwzględniając, że d[ ] [ ]dM Tx

= , gdzie [ ]T jest

funkcją (wykresem) sił tnących belki swobodnie podartej obciążonej jak cięgno, można obliczyć kolejno21

2 0( ) d

lL l y x′= + ∫ 2

2 0

1 [ ] d2

ll T x

H= + ∫ ⇒ 2 2

0

1 [ ] d2( )

lH T x

L l=

− ∫ ⇒ 1 2cos 1 ( )N H H yϕ− ′= = +

2 21 [ ] /H T H= + 2 2[ ]H T= + , warto zauważyć, że maxy jest dla [ ] 0T = ; • cięgna o punktach zawieszenia A i B na różnych wysokościach i rozpiętości l , dowolnie obciążone

pionowo ( yP P≡ , yq q≡ ) z małą strzałką zwisu; poza układem współrzędnych ( ,x y ) wprowadza się drugiukład ( 1 1,x y ), oba o początku w punkcie A , gdzie oś 1x - przechodzi przez punkty zawieszenia A , B itworzy z osią x kąt 1( , )x xβ ≡! niech ( ) ( ) tgy x y x x β= − oznacza w układzie ( ,x y ) geometrię ustalonegopunktu cięgna mierzoną od prostej przechodzącej przez punkty zawieszenia A , B to odpowiedniawspółrzędna tego punktu w układzie ( 1 1,x y ) wyniesie 1 ( )cosy y x β= ,dla uproszczenia formułowania równań równowagi tworzy się z osi 1x i y trzeci ukośny układwspółrzędnych ( 1,x y ), wówczas jeśli przez S - oznaczy się składową reakcji w punktach zawieszenia wukładzie ukośnym ( 1,x y ) o kierunku prostej AB ( 1|| x ), czyli odpowiednik reakcji poziomej H w układzie( ,x y ), to relacja wiążąca te siły ma postać 1cosS H β−= , także w układzie tym obowiązuje 1

1d d cosx x β−= ,z sumy momentów względem punktów zawieszenia wynika, że pionowe składowe z ukośnego rozkładureakcji cięgna są równe reakcjom [ ]AR i [ ]BR swobodnie podpartej belki AB ,stąd warunek zerowania się momentów w dowolny punkcie cięgna ma postać 1[ ( )] 0M x Sy− = , co pouwzględnieniu 1 cosy y β= , 1cosS H β−= daje warunek [ ( )] /y M x H= identyczny jak dla przypadkupunktów zawieszenia na tych samych wysokościach,relację pomiędzy siłą H (równoważnie S ) a długością cięgna L oblicza się wykorzystując z poprzedniego

zadania zależność na długość cięgna L zapisaną w układzie ( 1 1,x y ) 21cos10

1

1 d( ) dcos 2 d

ll yL xx

β

β= + ∫ , ponieważ

1[ ( )]M xy

S= i 1

ddcos

xxβ

= to 1 1

1 1

d d dd d dy y xx x x

= 2[ ] [ ]cos cosT TS H

β β= = a stąd 3

22 0

1 cos [ ] dcos 2

llL T xH

ββ

= + ∫ostatnia zależność pozwala dla danej długości cięgna L obliczyć składową poziomą H , z warunku, że tylko

siła normalna 0N ≠ , oblicza się 21 11 (d / d )N S y x= + 2 2 21 ([ ] cos ) /S T Sβ= + 2 2 2[ ] cosS T β= + ;

przykład, obciążenie równomierne ⇒ cięgno ma kształt paraboli 2

38 coscos 3

l fLl

ββ

= + ,

2

2( )8

l qlf y xH

= = = ;



• wpływ zmian długości cięgna wywołany dodatkowym obciążeniem Q , przyrostem temperatury t∆i poziomym przemieszczeniem lδ << podpory (zmniejszającego rozpiętość l ), rozważą się cięgno opunktach zawieszenia na tej samej wysokości o małej strzałce zwisu, zakłada się, że pierwotne (zasadnicze)obciążenie pionowe ( yP P≡ , yq q≡ ) jest ustalone i wywołuje 0[ ]M , 0[ ]T , a jego strzałka zwisu zostaławyregulowana przez dobranie pierwotnej długości cięgna 0L , przeprowadza się to w fazie montażu poprzez

odpowiednie urządzenia ze sterowaniem siły naciągu 0H ⇔ 20 02 0

0

1 [ ] d2( )

lL l T x

H= + ∫ ;

problemem jest wyznaczenie nowego kształtu cięgna w czasie eksploatacji wywołanego wymienionymiczynnikami, zakłada się, że obciążenie sumaryczne ( P , q ) + Q wywołuje [ ]M , [ ]T oraz H w tym N ;

nowe obciążenie Q ⇒ wzrost siły normalnej N ⇒ wydłużenie cięgna 0 dN s

N NL sEA

∆ −= ∫ 00

H H LEA−≅ ;

przyrost temperatury t∆ ⇒ wydłużenie cięgna 0t tL t L∆∆ α ∆= , gdzie tα współczynnik rozszerzalnościliniowej;ostatecznie długość cięgna wynosi 0 N tL L L L∆∆ ∆= + + , z drugiej strony długość ta związana jest z

rozpiętością i obciążeniem znanym już wzorem 22 0

1( ) [ ] d2

lL l T x

Hδ

δ−

= − + ∫ 22 0

1( ) [ ] d2

ll T x

Hδ≅ − + ∫ ,

gdzie ze względu, że lδ << pominięto δ przy całkowaniu;

przyrównując stronami 2 00 0 02 0

0

1 [ ] d2

l

tH Hl T x L tL

H EAα ∆−+ + +∫ ≡ 2

2 0

1( ) [ ] d2

ll T x

Hδ− + ∫ po uproszczeniu,

przemnożeniu przez 2

0

H EAL

i uporządkowaniu otrzymuje się równanie algebraiczne trzeciego stopnia

3 2 0H H c d+ − = , gdzie 20 02 0

0 0 0

[ ] d2

l

tEA EAc T x H EA tL H L

α ∆ δ= − + +∫ , 2

00

[ ] d2

lEAd T xL

= ∫ , można wykazać, że

równanie to ma jeden rzeczywisty pierwiastek dodatni, aktualnie rozwiązanie tego równania nie stwarzawiększych trudności,w przypadku cięgien niepodatnych, tj. EA = ∞ , po podzieleniu 3 2 0H H c d+ − = przez EA i położeniu

EA = ∞ otrzymuje się 2 0H c d− = ⇒ /H d c= , gdzie 20 02 0

0

1| [ ] d2

l

EA tcc L T x t

EA Hα ∆ δ=∞= = + +∫ ,

20 0

1| [ ] d2

l

EAdd L T x

EA =∞= = ∫ ,

również obliczona przy założeniu EA = ∞ wartość siły H może służyć jako dobra aproksymacjapoczątkowa 0H jeśli stosuje się numeryczną metodę obliczania pierwiastków równania 3 2 0H H c d+ − = ,np. metodę kolejnych przybliżeń w postaci iteracji prostej tj. 1 ( )i iH F H+ = , tutaj 3 2 0H H c d+ − = ⇒

3( ) /H d H c= − ⇒ 1 3[ ( ) ] /i iH d H c+ = − , gdzie i oznacza numer iteracji.



Wpływ czasu na własności wytrzymałościowe materiałów • długotrwałość i wielokrotność (cykliczność) obciążenia konstrukcji wymaga zbadania wpływu czasu

t R+∈ na opis charakterystyk materiałów i ewentualnego jego uwzględnienia, • własności wytrzymałościowe większości materiałów wykazują w długich okresach zależność od czasu jak

również zależność od innych czynników środowiskowych w jakich pracuje konstrukcja, tj. temperatury,wilgotności itp.

• model materiału lepko − sprężystego, tj. model takiego materiałów, które oprócz cech sprężystychwykazuje cechy cieczy lepkiej, model lepko − sprężysty jest dobrym opisem zależności od czasu wielumateriałów konstrukcyjnych ograniczonych wymogami normowymi (przed osiągnięciem granicyplastyczności), taki typ zjawiska wyraźnie występuje w betonie, tworzywach sztucznych jak również w stali wwarunkach podwyższonych temperatur,

• relaksacja (spadek wartości naprężeń, przy narzuconym odkształceniu nie zmieniającym się w czasie), próbastatyczna ( l const∆ = ), opis w postaci krzywej relaksacji ( )tσ σ= przy constε = ,

• pełzanie (zjawisko narastania trwałych odkształceń przy naprężeniu nie zmieniającym się w czasie), próbastatyczna ( P const= ), opis w postaci krzywej pełzania ( )tε ε= przy constσ = , ocena zjawiska pełzaniajest szczególnie ważna w konstrukcjach sprężonych (np. śruby sprężające, kablobetony i strunobetony itp.)bowiem z czasem efekt pełzania obniża siłę sprężającą,

• zmęczenie materiału jest pojęciem występującym przy obciążeniu ze zmienną charakterystyką, w próbiezmęczeniowej bada się wytrzymałość przy harmonicznej zmienności naprężeń ( ) sinm at tσ σ σ ω= + , gdzie

mσ jest średnim naprężeniem, aσ amplitudą naprężeń, 2 / [ / ]T rad sekω π= częstość kołowa wymuszenia,T okresem cyklu obciążenia, max min/ ( ) /( )m a m ar σ σ σ σ σ σ= = + − współczynniki asymetrii cyklu lubcharakterystyka cyklu, /m aκ σ σ= współczynnik stałości obciążenia, opis w postaci krzywej Wöhlera

( )Nσ σ= , gdzie N liczna cykli do chwili zniszczenia, pojęcia: zniszczenie zmęczeniowe (ma charakterkruchy i występuje szczególnie w obszarach koncentracji naprężeń - karb), wytrzymałość zmęczeniowa zσ ,

• wytrzymałość trwała - największe naprężenie przy którym zniszczenie następuje dopiero po upływieokreślonego czasu (teoretycznie powinna odpowiadać nieskończenie długiemu czasowi obciążania próbki,oczywiście proces zniszczenia poprzedzony jest stopniowym rozwojem pełzania),

• starzenie się materiału niekorzystne zmiany cech wytrzymałościowych bez udziału obciążeń zewnętrznych(wynika z nieustabilizowana budowy wewnętrznej);

Modele reologiczne materiałów • symbole mechaniczne cech materiału − sprężystość → sprężyna (związek między siłą P i przemieszczeniem u ) P Ku= ⇒ S SEσ ε= , gdzie

K - sztywność, E - moduł sprężystości, − lepkość → tłumik lepki (związek między siłą P i prędkością przemieszczenia u" ) P Cu= " ⇒

T Tcσ ε= " , gdzie c - współczynnik tłumienia, Tε - odkształcenie tłumika; • model Maxwella, szeregowe połączenie sprężyny S SEσ ε= i tłumika lepkiego T Tcσ ε= " , co daje

S Tσ σ σ= ≡ i S Tε ε ε= + , różniczkując po czasie S Tε ε ε= +" " " a następnie podstawiając 1S Eε σ−=" " i

1T cε σ−=" otrzymuje się

E cσ σε = +"" liniowe równanie różniczkowe między σ i ε ;

• model Kelvina − Voighta, równoległe połączenie sprężyny S SEσ ε= i tłumika lepkiego T Tcσ ε= " , co daje

S Tε ε ε= ≡ i S Tσ σ σ= + , podstawiając S Eσ ε= i T cσ ε= " otrzymuje się E cσ ε ε= + " liniowe równanieróżniczkowe między σ i ε ;

• model standardowy, równoległe połączenie sprężyny S SEσ ε= z oznaczonym etykietą 1 układemszeregowym sprężyny 1 1 1S SEσ ε= i tłumika lepkiego 1 1 1T Tcσ ε= " , co daje 1Sε ε ε= ≡ , gdzie 1 1 1S Tε ε ε= + ,

stąd 1 11 1 1

1 1S T E c

σ σε ε ε ε= = + = +"" " " " ⇒ 1

1 1 11

EEc

σ ε σ= −"" , oraz daje 1Sσ σ σ= + , gdzie 1 1 1S Tσ σ σ= ≡ , stąd

1 1S Eσ σ σ ε σ= + = + ⇒ 1 Eσ σ ε= − , teraz różniczkując po czasie 1Sσ σ σ= + i uwzględniając

11 1 1

1

EEc

σ ε σ= −"" i 1 Eσ σ ε= − otrzymuje się 1Sσ σ σ= +" " " 11 1

1

EE Ec

ε ε σ= + −" " 11

1

( )EE E Ec

ε ε σ ε= + − −" " ⇒

1 11

1 1

( )E EEE Ec c

σ σ ε ε+ = + +"" , mnożąc obustronnie przez 1 1/c E γ≡ i oznaczając przez 1( )c E Eγ= +

otrzymuje się ostateczną postać E cσ γσ ε ε+ = + "" , która jak wcześniej jest liniowym równaniemróżniczkowym między σ i ε ;



Badanie zjawiska pełzania i relaksacji na modelach reologicznych materiałów • pełzanie funkcja naprężenia 0( )t constσ σ≡ = (oczywiście 0 0σ σ≡ =" " ), poszukuje się rozwiązania ( )tε

− model Maxwella E cσ σε = +"" 0

cσ= , całkując mamy 0

1( )t t Cc

σε = + , uwzględniając warunek początkowy

0( 0)tEσε = = , otrzymuje się 0 0( )t t

c Eσ σε = + liniową zależność między prędkością odkształceń i czasem,

− model Kelvina − Voighta E cσ ε ε= + " ⇒ 01E

c cε ε σ+ =" , całka ogólna równania jednorodnego

0Ec

ε ε+ =" ma postać 1rtC eε = ⇒ pierwiastek równania charakterystycznego Er

c= − , całka

szczególna równania 01E

c cε ε σ+ =" ⇒ 0

1E

ε σ= , stad 1 01( )

E tct C e

Eε σ

−= + uwzględniając warunek

początkowy ( 0) 0tε = = otrzymuje się 0( ) (1 )E tct e

Eσε

−= − , rozwiązanie asymptotycznie dąży do wartości

00 E

σε = ,

− model standardowy E cσ γσ ε ε+ = + "" ⇒ 0 E cσ ε ε= + " ⇒ 01E

c cε ε σ+ =" , stąd 1 0

1( )E tct C e

Eε σ

−= + ,

uwzględniając warunek początkowy 0 0

1

( 0)S

tE E c

σ γσε = = =+

, otrzymuje się 0( ) [1 (1 ) ]E tcEt e

E cσ γε

−= − − ,

rozwiązanie dąży od wartości 0 cγσ asymptotycznie do wartości 0

0 Eσε = ,

• relaksacja funkcja odkształcenia 0( )t constε ε≡ = (oczywiście 0 0ε ε≡ =" " ), poszukuje się rozwiązania ( )tσ

− model Maxwella E cσ σε = +"" 0= , całka ogólna równania jednorodnego 0E

cσ σ+ =" ma postać

1rtC eσ = ⇒ pierwiastek równania charakterystycznego Er

c= − , uwzględniając warunek początkowy

0( 0)t Eσ ε= = , otrzymuje się 0( )E tct Eeσ ε

−= , rozwiązanie dąży od wartości 0 0Eσ ε= asymptotycznie

do 0 , − model Kelvina − Voighta E cσ ε ε= + " ⇒ 0 0 0(0) [ (0)]E c E cσ ε ε δ ε δ= + = + , gdzie ( )tδ jest funkcją

impulsową (deltą Diraca), rozwiązanie poza zaburzeniem początkowym ( 0)tδ = jest stała i wynosi

0 0Eσ ε= ,

− model standardowy E cσ γσ ε ε+ = + "" ⇒ 1 Eσ σ εγ γ

+ =" , stąd 1

0( ) [1 (1 ) ]tct E e

Eγσ ε

γ

−= − − ,

rozwiązanie dąży od wartości 0cεγ

asymptotycznie do wartości 0 0Eσ ε= .

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Wydział Inżynierii Lądowej ... · WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Wydział Inżynierii Lądowej, Semestr III Jacek Chróścielewski, Czesław Szymczak,

Documents