Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu ... fileFigury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania,

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena

w nauczaniu matematyki w zakresie

podstawowym dla uczniów technikum

część II

Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej

L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania, w których potrafi:

1 Wektory na płaszczyźnie kartezjańskiej

• obliczać współrzędne wektora oraz jego długość,

• wyznaczać współrzędne wektorów równych i przeciwnych,

• obliczać współrzędne środka wektora,

• zaznaczać wektory na płaszczyźnie kartezjańskiej, gdy znane są jego składowe.

w sytuacjach typowych wymagających użycia jednego algorytmu (P)

w zagadnieniach złożonych wymagających doboru właściwego algorytmu (PP)

2 Działania na wektorach • wyznaczać współrzędne wektora, który jest sumą, różnicą oraz iloczynem wektora przez liczbę,

• interpretować geometrycznie działania na wektorach,

• rozwiązywać zadania z parametrem, których rozwiązanie sprowadza się do rozwiązania równań liniowych lub kwadratowych.



3 Współczynnik kierunkowy prostej

• obliczać współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dowolne punkty oraz pisać równanie tej prostej w postaci kierunkowej i ogólnej,

• pisać równanie prostej przechodzącej przez dany punkt, gdy znany jest jej współczynnik kierunkowy (w postaci ogólnej i kierunkowej).



4 Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie

• badać równoległość i prostopadłość prostych, których równania podane są w postaci kierunkowej,

• badać równoległość i prostopadłość prostych, których równania podane są w postaci ogólnej lub kierunkowej,

• rozwiązuje zadania prowadzące do rozwiązywania równań z parametrem, w których wykorzystuje własności prostych prostopadłych lub prostych równoległych.



5 Środek odcinka i symetralna odcinka

• obliczać długość odcinka,

• wyznaczać współrzędne środka odcinka,

• pisać równanie symetralnej odcinka (o zadanych własnościach),

• rozwiązywać zadania prowadzące do rozwiązywania równań liniowych lub kwadratowych z parametrem, w których wykorzystuje własności symetralnej odcinka.



6 Odległość punktu od prostej i odległość dwóch prostych równoległych

• pisać równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt,

• obliczać współrzędne punktu przecięcia się dwóch prostych

• obliczać odległość d punktu 00 , yxP od prostej 0 CByAx korzystając z wzoru 0 0

2 2

Ax By Cd

A B

• obliczać odległość dwóch prostych równoległych określonych równaniami 01 CByAx , 02 CByAx korzystając z

wzoru 1 22 2

C Cd

A B

,

• rozwiązywać zadania z parametrem, w których stosuje się wzór na odległość punktu od prostej, których rozwiązanie prowadzi do rozwiązania równań liniowych lub kwadratowych.



7 Równanie okręgu i nierówność koła

• pisać równanie okręgu, gdy znane są współrzędne jego środka i promień,

• sprawdzać, czy dany punkt leży na okręgu o znanym równaniu, • obliczać współrzędne środka okręgu i jego promień, gdy równanie okręgu ma postać ogólną,

• określać wzajemne położenie okręgów, gdy znane są ich równania,

• rysować figury (koła i ich części) na płaszczyźnie kartezjańskiej opisane układem nierówności,

• opisywać figury układami równań i nierówności, które są kołami ich częścią lub figurami do których nie należą części koła,

• rozwiązywać zadania z parametrem prowadzące do rozwiązywania równań liniowych lub kwadratowych, w których wykorzystuje własności wzajemnego położenia okręgów.



8 Wzajemne położenie prostej i okręgu

• obliczać odległość środka okręgu od prostej, czyli określać położenie prostej względem okręgu,

obliczać współrzędne punktów wspólnych prostej i okręgu,

• obliczać największą i najmniejszą odległość punktu leżącego na zewnątrz okręgu,

• rozwiązywać zadania z parametrem prowadzące do rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych, w których wykorzystuje się własności wzajemnego położenia prostej i okręgu.



9 Wyznaczanie równań stycznych do okręgu

• korzystać z własności stycznej do okręgu,

• określać położenie prostej względem okręgu,

• napisać równanie prostej l równoległej (prostopadłej) do prostej – odległej od prostej l o zadaną odległość,

• napisać równanie stycznej do okręgu w punkcie leżącym na okręgu o środku S i promieniu r,

• napisać równanie(a) stycznych do okręgu przechodzących przez punkt odległy od jego środka o więcej niż długość promienia,

• pisać równania stycznych do okręgu, które są równoległe lub prostopadłe do danej prostej,

• obliczać współrzędne punktów wspólnych prostej i okręgu rozwiązując układ równań, z których jedno jest równaniem prostej a drugie równaniem okręgu,

• rozwiązywać zadania z parametrem dotyczące wzajemnego położenia prostej i okręgu oraz prowadzące do równań z bezwzględną wartością, równań kwadratowych lub liniowych.



10 Trójkąt na płaszczyźnie kartezjańskiej

• obliczać obwody trójkątów,

• sprawdzać, czy trójkąt jest prostokątny, gdy znane są jego wierzchołki lub proste, w których zawierają się boki,

• obliczać współrzędne wierzchołków trójkąta,

• wyznaczać równania symetralnych boków trójkąta,

• wyznaczać równania prostych zawierających środkowe trójkąta (środek ciężkości trójkąta),

• wyznaczać równania prostych zawierających wysokości trójkąta,

• obliczać pole i obwód trójkąta, gdy dane są współrzędne jego wierzchołków.



11 Czworokąty na płaszczyźnie kartezjańskiej

• badać równoległość i prostopadłość prostych (sprawdzać, czy czworokąt jest trapezem, równoległobokiem, prostokątem),

• obliczać współrzędne wierzchołków czworokątów i punkt przecięcia przekątnych,

• wyznaczać równania prostych zawierających boki czworokąta, jego przekątne oraz równania symetralnych jego boków,

• wyznaczać równania prostych zawierających wysokości czworokąta,

• obliczać pole i obwód czworokąta, gdy znane są jego wierzchołki.



12 Symetria osiowa względem osi układu współrzędnych

• znajdować obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii osiowej względem osi układu współrzędnych,

• napisać równanie osi symetrii figury (jeśli ona istnieje).



13 Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych

• obliczyć współrzędne środka symetrii (o ile istnieje) figur na płaszczyźnie kartezjańskiej,

• znajdować obrazy niektórych figur geometrycznych (punktu, prostej, odcinka, okręgu, trójkąta itp.) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.



Przekształcanie wykresów funkcji


14 Obraz wykresów funkcji w symetrii względem osi układu współrzędnych

• mając dany wykres xfy szkicuje obrazy tych wykresów przekształcając je przez symetrię względem:

a) osi x i pisze wzór xfy ,

b) osi y i pisze wzór xfy

15 Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi układu współrzędnych

• obliczyć współrzędne punktu przesuniętego równolegle do: a) osi x o p jednostek w prawo (lewo), b) osi y o q jednostek w dół (górę),

• obliczyć współrzędne punktu przesuniętego o wektor 0,pu

, gdzie 0p ,

• obliczyć współrzędne punktu przesuniętego o wektor qw ,0

, gdzie 0q ,

• napisać wzór funkcji przesuniętej o wektor 0,pu

albo o wektor qw ,0

,

• gdy ma wzór funkcji xfy napisać wzory funkcji pxfy oraz qxfy i odwrotnie i podać wektor przesunięcia.



16 Wykresy funkcji xfy , xfky , y f k x ,

gdzie 0k

• obliczyć bezwzględną wartość liczby a, gdzie Ra

• określić znak wartości funkcji na podstawie wykresu, dla poszczególnych argumentów,

• mając wykres funkcji xfy napisać wzór funkcji

0gdy,

0gdy,xfxfxfxfxfxg

• narysować wykres funkcji xfxg

• dla każdego punktu o współrzędnych xfx, obliczyć współrzędne punktu xfkx , , gdzie 0\Rk

• mając wykres funkcji xfy narysować wykres xkfxg ,

• czyli wiedzieć że obraz punktu xfx, w powinowactwie prostokątnym o osi y i skali k jest punkt o współrzędnych

xfx

k,1

,

• mając wykres funkcji xfy rysuje i pisze wzory funkcji pxfy , qxfy , xfy , xfy , gdzie Rp i Rq oraz wykresy funkcji xfy , xfky i xkfy



Funkcja kwadratowa


17 Wykres i własności funkcji • wśród wzorów funkcji rozpoznać wzory funkcji kwadratowych,

kwadratowej 2y ax • rysować wykresy funkcji 2axy , gdzie 0\Ra ,

• określić dziedzinę, zbiór wartości, podać równanie osi symetrii wykresu, nazwać krzywą oraz przyporządkować wzór postaci 2axy do wykresu funkcji,

• rysować wykresy funkcji kwadratowej 2axy , które są: a) symetryczne względem osi x, b) symetryczne względem osi y, c) przesunięte wzdłuż osi układu współrzędnych.



18 Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

• rysować wykres i napisać wzór funkcji kwadratowej określonej wzorem 2axxf przesuniętej o wektor:

a) 0,pu

,

b) q,0

,

c) qpw ,

• podać wektor przesunięcia, wierzchołek paraboli i zwrot jej ramion, gdy wzór funkcji kwadratowej ma postać kanoniczną qpxay 2 , gdzie a, p i q są liczbami rzeczywistymi,

• funkcję kwadratową zapisaną w postaci kanonicznej zapisać w postaci ogólnej i odwrotnie,

• interpretować współczynniki a, p i q we wzorze funkcji kwadratowej zapisanej w postaci kanonicznej.



19 Postać kanoniczna a postać ogólna funkcji kwadratowej

• wyrazić współrzędne wierzchołka W paraboli, gdzie qpW , w zależności od współczynników liczbowych funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej,

• szkicować wykresy funkcji podanej w postaci ogólnej zapisując jej wzór w postaci kanonicznej,

• interpretować współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej: a) obliczać współrzędne wierzchołka wykresu funkcji,

b) podać współrzędne punktu przecięcia się wykresu funkcji z osią y ( cf 0 ).



20 Miejsca zerowe funkcji kwadratowej i jej postać iloczynowa

• obliczyć miejsce zerowe funkcji kwadratowej w postaci ogólnej lub kanonicznej,

• odczytać z wykresu funkcji kwadratowej jej miejsca zerowe i zbiór wartości,

• odróżniać miejsca zerowe funkcji kwadratowej od punktów przecięcia się jej wykresu z osią x,

• obliczyć współrzędne wierzchołka wykresu (paraboli) funkcji kwadratowej, gdy znane są jej miejsca zerowe i współczynnik a,

• szkicować wykres funkcji kwadratowej korzystając z wzoru zapisanego w postaci iloczynowej.



21 Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

• obliczać wartość funkcji kwadratowej na końcach przedziału ba; , czyli af i bf oraz badać czy ;Wx a b ( MINWy y lub MAXWy y ),

• porównywać liczby af , bf , która z wartości jest najmniejsza, a która największa ( Wf x porównywać z af i bf ,

gdy baxW ; ).



22 Wyznaczanie wzoru funkcji • odczytać z wykresu funkcji kwadratowej miejsca zerowe (o ile istnieją),

kwadratowej na podstawie informacji o niej

• odczytać współrzędne wierzchołka wykresu funkcji kwadratowej,

• napisać wzór funkcji kwadratowej, gdy znane są jej miejsca zerowe i współrzędne wierzchołka qpW , ,

• napisać wzór funkcji kwadratowej, gdy znane są współrzędne wierzchołka wykresu funkcji i jeden punkt różny od wierzchołka,

• napisać oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej, gdy dany jest jej wzór lub współrzędne wierzchołka wykresu,

• napisać wzór funkcji kwadratowej, gdy dane są trzy punkty leżące na jej wykresie, w tym jeden na osi x,.



23 Przekształcanie wykresów funkcji kwadratowej

• mając wykres funkcji kwadratowej xfy naszkicować wykres funkcji g, gdzie:

a) pxfxg , który powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f o p jednostek wzdłuż osi x, czyli o wektor 0,pu

,

b) qxfxg , który powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f wzdłuż osi y (w górę lub w dół), czyli o wektor q,0

,

c) xfxg , który powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f przez symetrię względem osi x,

d) xfxg , który powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f względem osi y,

e) xfkxg , gdzie 0\Rk , który powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f przez powinowactwo prostokątne o osi x,

f) xfkfxg , gdzie 0\Rk powstaje z przekształcenia wykresu funkcji f przez powinowactwo prostokątne o osi x,

• opisać przekształcenie, gdy na rysunku dane są wykresy funkcji f i g, z których jeden jest obrazem drugiego.



24 Nierówności kwadratowe • sprawdzać, czy dana liczba spełnia nierówność kwadratową,

• odczytać zbiory rozwiązań nierówności kwadratowych z wykresu funkcji kwadratowej,

• rozwiązać zadania prowadzące do nierówności kwadratowych.



25 Funkcja kwadratowa w zastosowaniach

• opisywać związek pomiędzy wielkościami liczbowymi za pomocą nierówności,

• wykorzystywać własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp. (także osadzonych w kontekście praktycznym),

• posługiwać się poznanymi metodami rozwiązywania równań kwadratowych do obliczania, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje określone wartości,

• rozwiązywać zadania prowadzące do rozwiązywania nierówności lub równań kwadratowych.



26 Układy równań, z dwiema niewiadomymi, z których przynajmniej jedno jest stopnia pierwszego

• podać ilustrację graficzną równania okręgu, hiperboli ayx i równania paraboli,

• sporządzać ilustrację graficzną układów równań, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego,

• odczytać (jeśli jest to możliwe) współrzędne przecięcia się figur, które są ilustracją graficzną równań w układzie równań,

• rozwiązać algebraicznie układy równań, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego,

• rozwiązać prosty układ równań z parametrem, w których obliczenie parametru sprowadza się do rozwiązania równania (nierówności) liniowego albo kwadratowego,

• rozwiązać proste zadanie tekstowe prowadzące do rozwiązania układów równań, z których jedno jest stopnia drugiego.



27 Równanie kwadratowe z parametrem

• określić stopień równania w zależności od wartości współczynników przy niewiadomej w równaniu kwadratowym i liniowym, tj. równanie cbxax 2 jest kwadratowe, gdy 0a oraz jest liniowe, gdy 0a

• określić liczbę pierwiastków równania kwadratowego w zależności od wyróżnika Δ,

• rozwiązywać układ nierówności (równań) typu

00a

lub

00a

lub 00

a

,

• stosować wzory Viete’a do wyznaczania parametru w równaniu kwadratowym,

• stosując wzory Viete’a obliczać wartości wyrażeń, np.: 21

11xx

, 32

31 xx itp.



28 Nierówność kwadratowa z parametrem

• określać stopień trójmianu kwadratowego po sprowadzeniu go do postaci cbxax 2 ,

• wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych,

• badać warunki rozwiązania nierówności kwadratowej w zależności od wyróżnika Δ i współczynnika a – zależnych od danego parametru,

• sporządzać wykres trójmianu kwadratowego, czyli funkcji kwadratowej cbxaxxf 2 przy uwzględnieniu przypadków:

(1) 0 , (2) 0 , (3) 0 , gdzie Δ zależy od parametru.



Wielomiany


29 Suma, różnica i iloczyn wielomianów jednej zmiennej

• uporządkować wielomian jednej zmiennej oraz określać jego stopień,

• dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany jednej zmiennej,

• określać warunki jakie spełniają wielomiany równe (zagadnienia z parametrem) prowadzące do rozwiązywania równań kwadratowych lub liniowych.



30 Dzielenie wielomianów jednej zmiennej z resztą

• porządkować wielomian malejąco lub rosnąco,

• dzielić wielomian jednej zmiennej przez jednomian,

• dzielić wielomiany jednej zmiennej przez dwumian postaci mx i bax , gdzie Rm , 0\Ra i Rb ,

• rozkładać wielomian xW na czynniki, gdy przy dzieleniu wielomianu przez dwumian bax reszta R z dzielenia jest równa zeru ( 0xR ) i wyłączając wspólny czynnik przed nawias,

• rozkładać wielomian na czynniki stosując wzoru skróconego mnożenia,

• obliczać resztę z dzielenia wielomianu xW przez rx jako wartość wielomianu rW ( rWxR ), stosując twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x a ,

• rozwiązywać zadania z parametrem, w których określa się dla jakiego parametru wielomian xW jest podzielny przez rx (zadania te sprowadzają się do rozwiązywania równań kwadratowych lub liniowych).



31 Pierwiastki wielomianu i twierdzenia o nich

• sprawdzać, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu,

• korzystać z tw. Bèzouta (jeśli r jest pierwiastkiem wielomianu xW , to rxxQxW i odwrotnie),

• stosować twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych,

• rozwiązywać zadania z parametrem i szukać pierwiastków całkowitych wśród wyrazu wolnego wielomianu,

• rozwiązywać równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych lub liniowych,

• wskazywać pierwiastek wielokrotny wielomianu,

• rozwiązywać zadania z parametrem prowadzące do prostych równań wielomianowych, kwadratowych lub liniowych.



32 Rozkładanie wielomianów na czynniki

Przypomnieć rozkładanie niektórych wielomianów przez stosowanie:

a) wzorów skróconego mnożenia,

b) wyłączania wspólnego czynnika przed nawias,

c) stosowanie wzorów na obliczanie pierwiastków trójmianu kwadratowego,

d) grupowanie wyrazów i wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias,

e) stosować tw. o dzieleniu wielomianu przez rx .



33 Równania wielomianowe • określić czy dane równanie jest równaniem jednej zmiennej,

• sprawdzać czy dana liczba jest rozwiązaniem równania stopnia wyższego niż 2,

• korzystać z własności iloczynu 0 cba 0a lub 0b lub 0c przy rozwiązywaniu równania typu 0941 2 xxxx ,

• rozwiązywać równania typu 033 xx – rozkładając lewą jego stronę na czynniki 032 xx lub typu

2422 xxx

• każde równanie postaci 0xW zapisać tak, aby lewa strona była iloczynem trójmianów kwadratowych i wielomianu I stopnia albo iloczynem trójmianów kwadratowych,

• rozwiązywać równania wielomianowe dające się łatwo sprowadzić do równań kwadratowych albo równań kwadratowych i liniowych,

• rozwiązywać równania wielomianowe przez wprowadzenie pomocniczej niewiadomej (np. równania dwukwadratowe),

• rozwiązywać równania wielomianowe z parametrem.



34 Nierówności wielomianowe • sprawdzać czy dana liczba spełnia nierówność wielomianową,

• rozwiązywać proste nierówności wielomianowe postaci 0xW , 0xW , 0xW i 0xW metodą:

a) siatki znaków,

b) rysując „linię znaków”,

c) rysując wykresy funkcji f i g, gdy xfxgxW , gdzie funkcje f i g są co najwyżej drugiego stopnia,

d) określa znak ilorazu lub iloczynu funkcji f i g,

• rysować przy pomocy komputera lub kalkulatora graficznego wykres xWy i odczytywać z rysunku znaki tej funkcji.



Wyrażenia wymierne


35 Wyrażenie wymierne i jego dziedzina

• określać dziedzinę wyrażenia wymiernego z jedną niewiadomą, w którego mianowniku występuje wielomian dający się

sprowadzić do iloczynu wielomianów stopnia pierwszego (np. dziedziną wyrażenia xPxW

jest zbiór tych liczb dla

których 0xP ),

• określać dziedzinę wyrażenia wymiernego, gdy jego mianownik jest iloczynem wielomianów pierwszego lub drugiego stopnia z parametrem,

• wskazać wyrażenia wymierne równe.



36 Skracanie i rozszerzanie wyrażeń wymiernych • określić dziedzinę wyrażenia

W xP x ,

• skrócić wyrażenie wymierne xPxW

,

• skrócić wyrażenie wymierne xPxW

,



37 Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

• określać dziedzinę każdego z wyrażeń, które mnożymy lub dzielimy,

• nim pomnoży wyrażenia rozłoży liczniki i mianowniki na czynniki,

• skracać, jeżeli to możliwe mając iloczyny wyrażeń wymiernych, np.

422

22

42222

22

84

223

2

xxx

xx

xxxxx

xx

xx

• dzielić wyrażenia wymierne, gdzie

xQ

xMxWxP

xMxQ

xWxP

: , przy czym zakłada, że 0xW i 0xM i 0xQ .



38 Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

• przypomnieć działania na wyrażeniach algebraicznych,

• ustalić wspólny mianownik wyrażeń wymiernych, które dodajemy lub odejmujemy i podać ich dziedzinę,

• dodawać i odejmować proste wyrażenia wymierne (analogicznie jak wyrażenia algebraiczne).



39 Rozwiązywanie równań wymiernych

• rozwiązywać proste równania wymierne, których rozwiązanie sprowadza się do rozwiązywania równań kwadratowych lub

liniowych, np.: 02

532

x

xx, 2

31

xx

, xx

x 43

, 3

111

xx itp.

• określa dziedzinę każdego równania wymiernego,

• rozwiązywać układy równań wymiernych prowadzących do rozwiązywania układów równań, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego,

• rozwiązywać równania i układy równań wymiernych przez wprowadzenie pomocniczej niewiadomej,

• rozwiązuje zadania prowadzące do rozwiązywania równań lub układów równań wymiernych.



40 Nierówności wymierne • każdą nierówność wymierną zapisać w jednej z postaci:

0xWxP

lub 0xWxP

lub 0xWxP

lub 0xWxP

, gdzie

0xW

• określić dziedzinę nierówności wymiernej oraz korzystać z twierdzeń:

a) 0xWxP

0 xWxP , b) 0xWxP

0 xWxP ,

c) 0xWxP

, gdy 0 xWxP i 0xW ,

d) 0xWxP

, gdy 0 xWxP i 0xW ,

• rozwiązywać proste nierówności wymierne (po określeniu dziedziny nierówności) rozwiązywać ją jak nierówność wielomianową (lub jako układ nierówności)

Np.: xxx 1

213

lub xxx

xx

33

95

22

itp.



Funkcja wykładnicza


41 Potęga o wykładniku rzeczywistym

• szacować wartość potęgi, np.: 32 , 23 , 22 itp.

• przedstawiać w postaci potęgi o zadanej, jednej podstawie wyrażenia, np.: 1 122 2 2

xx , xx 339 2 ,

2121

2

,

• wykonując działania na potęgach o wykładnikach niewymiernych stosować twierdzenia dotyczące działań na potęgach o wykładnikach wymiernych,

• rozwiązywać układy prostych równań wykładniczych prowadzących do równań kwadratowych lub liniowych.



42 Wzór i wykres funkcji wykładniczej • wśród wzorów np. xy 2 , 32 xy ,

122 3

xy , xy 3 itp. wskazać te, które są funkcjami wykładniczymi,

• szkicować wykresy funkcji wykładniczych o różnych podstawach,

• odczytać z wykresu xay , gdzie Ra i 1a własności funkcji wykładniczej,

• obliczać, dla jakiego argumentu funkcja wykładnicza przyjmuje daną wartość,

• sprawdzać, czy punkt o danych współrzędnych leży na wykresie funkcji wykładniczej,

• obliczać ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu oraz posługując się poznanymi metodami obliczać dla jakiego argumentu funkcja wykładnicza przyjmuje daną wartość.



43 Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej

• mając wykres funkcji wykładniczej xaxf , gdzie Rx i 1x rysuje wykresy funkcji g takich, że:

a) xaxg – w symetrii względem osi x,

b) xaxg – w symetrii względem osi y,

c) pxaxg – w przesunięciu o wektor 0,pu

,

d) qaxg x – w przesunięciu o wektor q,0

,

• mając wykres funkcji xaxf rysuje wykresy funkcji g takich, że: xfxg , xfcxg i xcfxg



Funkcja logarytmiczna


44 Działania na logarytmach (powtórzenie)

• stosować twierdzenia na:

a) logarytm iloczynu: yxyx aaa logloglog

b) logarytm ilorazu: log log loga a ax x yy

c) logarytm potęgi: xnx an

a loglog , gdzie Nn

d) zmieniać podstawy logarytmu ax

xa log

1log i abb

c

ca log

loglog

• w prostych przykładach obliczać niewiadomą, która jest pod znakiem logarytmu, np.: 3log225log2loglog x

• szacuje wartość logarytmów, np.: 2log7 , 15log5 itp.



45 Funkcja logarytmiczna i jej własności

• rysować wykresy funkcji logarytmicznych o różnych podstawach np.: xy 2log , xy 5,0log itp.

• określać dziedzinę, zbiór wartości funkcji logarytmicznej, miejsce zerowe oraz określa monotoniczność w zależności od podstawy logarytmu,

• korzystając z wykresu odpowiedniej funkcji logarytmicznej

a) szacuje wartość wyrażenia, np.: 7log2 , 100log5 , 5log3 itp.

b) porządkuje rosnąco lub malejąco wartości wyrażeń, np.: 6log2 , 6log3 , 6log4 itp.



46 Przekształcanie wykresu funkcji logarytmicznej

• mając wykresy funkcji logarytmicznej xfy i xgy , gdzie funkcja g jest obrazem funkcji f określa jakie przekształcenie wykonano, by z wykresu funkcji g otrzymać wykres funkcji f (lub odwrotnie),

• mając wykres funkcji xy alog szkicuje wykresy:

a) pxy a log , b) pxy a log ,

c) qpxy a log i podaje wektor przesunięcia,

• mając wykres funkcji xy alog rysuje wykres funkcji:

a) xy alog , b) xy a log , c) xy a log ,

d) xy alog , e) xky alog , f) xky alog , gdzie 0k i opisuje to przekształcenie,

• mając wykres funkcji xxf alog , gdzie 1\Ra szkicuje wykres funkcji g, gdzie

a) xxg alog i Rx – w symetrii względem osi x,

b) xxg a log i Rx i xxg a log1 ,

c) pxxg a log i xxg alog1 ,

d) qxxg a log i qxxg log1 ,

e) xfxg ,

f) xcxg alog ,

h) logag x c x , gdzie 0 xc ,

• określać dziedzinę funkcji logarytmicznej oraz tej, która jest obrazem funkcji xxf alog , gdzie Rx i 1\Ra w przekształceniach opisanych powyżej,

• odczytać z wykresu funkcji logarytmicznej pewne dane i pisać jej wzór.



Przykłady zastosowania potęg i logarytmów


47 Rozwiązywanie równań typu nx a

• korzystać z definicji pierwiastka do rozwiązywania równań typu axn , gdzie Nn oraz:

a) gdy 0a i n jest liczbą naturalną dodatnią,

b) gdy 0a i n jest liczbą naturalną nieparzystą,

• szkicuje wykres funkcji nxxf dla liczb naturalnych: a) n parzystych , b) n nieparzystych,

• określa liczbę rozwiązań równania axn ,

• rozwiązuje równania wielomianowe np.: 011 36 xxxx 011 33 xxx itp.

• obliczać podstawę logarytmu, gdy dane są współrzędne punktu leżącego na wykresie funkcji xy alog oraz argument x, gdy dane są y i a,

• zapisuje potęgi liczb naturalnych w notacji wykładniczej,

• korzystać przy obliczaniu wartości wyrażeń z twierdzeń o logarytmach ze szczególnym uwzględnieniem twierdzenia dotyczącego zmiany podstawy logarytmu.



48 Wzrost, zanik wykładniczy i skala logarytmiczna

• zrozumieć omówienie własności funkcji wykładniczej – przy jednakowych przyrostach argumentu wartość funkcji wykładniczej rośnie (maleje) tyle samo razy,

• sporządzać wykresy np.:

a) 023

tf t f t

– zanik wykładniczy,

b) 0 1,06 tf t f t – wzrost wykładniczy,

gdzie 0t – chwila, w której rozpoczęto obserwację, 0f t – wartość początkowa obserwacji,

• funkcje tfy opisują zjawiska fizyczne, chemiczne oraz zagadnienia osadzone w kontekście praktycznym (spłacanie kredytu lub odsetki przy lokacie),

• opisać zjawiska zmieniające się wykładniczo, przedstawienie na wykresie przy zastosowaniu skali logarytmicznej,

• opisać zjawiska np.: a) przy obliczaniu głośności dźwięku, b) skali Richtera przy trzęsieniu ziemi, c) odczynu pH w roztworach, d) stężenia leku we krwi itp.



Ciągi liczbowe


49 Pojęcie ciągu liczbowego, jego rodzaje i sposoby określania

• wyznaczać wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym,

• rozróżniać ciągi skończone i nieskończone,

• wyznaczać wyrazy ciągu, które ilustruje graf, czyli odkrywa reguły tworzenia kolejnych wyrazów ciągu,

• rozróżniać ciągi stałe, rosnące, malejące i naprzemienne,

• wyznaczać wzór na n-ty wyraz ciągu, gdy suma jego n początkowych wyrazów jest określona wzorem nS ,

• obliczać wyrazy ciągu, gdy jest on określony wzorem rekurencyjnym,

• napisać wzór rekurencyjny ciągu określonego wzorem ogólnym,

• przedstawić ciąg określony wzorem w postaci grafu, tabelki i wykresu.



50 Ciąg arytmetyczny i jego własności

• zbadać, czy ciąg określony wzorem ogólnym jest arytmetyczny,

a) napisać wzór na n-ty wyraz ciągu, gdy znane są 1a i r ciągu arytmetycznego,

b) obliczyć w ciągu arytmetycznym jedną wielkość, gdy dane są trzy spośród: na , n, 1a i r,

• określić związek między oszczędzaniem bez kapitalizacji odsetek a ciągiem arytmetycznym, gdy stopa oprocentowania jest stała.



51 Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

• stosować wzory na na i nS ciągu arytmetycznego, gdy:

a) oblicza się sumę wyrazów ciągu arytmetycznego równooddalonych od wyrazu początkowego i ostatniego,

b) oblicza się sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, gdy:

1°) znana jest wartość 1a , na i n, 2°) znana jest wartość 1a , n i r,

c) wyznaczać wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, gdy suma nS określona jest wzorem,

d) rozwiązywać proste równania, gdy lewa jego strona jest sumą wyrazów ciągu arytmetycznego.



52 Ciąg geometryczny i jego własności

• badać czy ciąg jest geometryczny:

a) podać warunki, które powinny być spełnione, by trzy liczby w podanej kolejności tworzyły ciąg geometryczny oraz:

b) odróżniać ciąg arytmetyczny od geometrycznego,

c) odróżniać różnicę ciągu arytmetycznego od ilorazu ciągu geometrycznego,

• obliczyć dowolny wyraz ciągu geometrycznego określonego wzorem ogólnym,

• podać związek ciągu geometrycznego z wartością kapitału 1K , 2K , ..., nK , gdy dochód z kapitału K jest rozliczany łącznie z kapitalizacją odsetek (w jednakowych okresach czasowych),

• rozwiązywać proste zadania umieszczone w kontekście praktycznym, wymagające znajomości wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego,

• wyznaczać wzór ogólny ciągu geometrycznego na , gdy znane są jego dwa wyrazy, które są podane lub zaznaczone na wykresie.



53 Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

• stosować wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego,

• obliczać sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, gdy znane są:

a) 1a i q,

b) wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego,

c) gdy znane są trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego,

• obliczać jedną spośród czterech wielkości 1a , q, n, nS , gdy znane są wartości trzech,

• rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym z wykorzystaniem wzoru na sumę nS .



Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu ... fileFigury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie umiejętności rozwiązując zadania,

Documents