This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Spis tre ci
Spis tre ci
1. Wprowadzenie ....................................................................................1-1
1.1 Istota Fizyki ................................................................................1-1 1.2 Poj!cia podstawowe....................................................................1-2 1.3 Jednostki .....................................................................................1-2 1.4 Matematyka w Fizyce.................................................................1-3 1.4.1 Modele matematyczne w fizyce........................................................... 1-3
2.2 Przyspieszenie.............................................................................2-3 2.2.1 Przyspieszenie jednostajne i chwilowe ................................................ 2-3
2.2.2 Ruch jednostajnie zmienny .................................................................. 2-3
3. Ruch na p!aszczy"nie .........................................................................3-1
3.1 Przemieszczenie, pr!dko " i przyspieszenie...............................3-1 3.2 Rzut uko ny ................................................................................3-2 3.3 Ruch jednostajny po okr!gu .......................................................3-4 4. Dynamika punktu materialnego .......................................................4-1
5.2 Si#y bezw#adno ci .......................................................................5-2 6. Ci#$enie powszechne (grawitacja) ....................................................6-1
6.1 Prawo powszechnego ci$%enia....................................................6-1 6.2 Do wiadczenie Cavendisha ........................................................6-3 6.2.1 Wa%enie Ziemi..................................................................................... 6-4
6.3 Prawa Keplera ruchu planet ........................................................6-5 6.4 Ci!%ar ..........................................................................................6-6 6.4.1 Ci!%ar pozorny, masa bezw#adna i masa grawitacyjna ........................ 6-6
6.5 Pole grawitacyjne........................................................................6-7 6.5.1 Pole grawitacyjne wewn$trz kuli ......................................................... 6-8
3
Spis tre ci
7. Praca i energia ....................................................................................7-1
7.1 Wst!p ..........................................................................................7-1 7.2 Praca wykonana przez sta#$ si#!..................................................7-1 7.3 Praca wykonana przez si#! zmienn$ ...........................................7-3 7.4 Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii.....................7-5 7.5 Moc .............................................................................................7-6 8. Zasada zachowania energii................................................................8-1
8.1 Wst!p ..........................................................................................8-1 8.2 Si#y zachowawcze i niezachowawcze.........................................8-1 8.3 Energia potencjalna.....................................................................8-3 8.3.1 Energia potencjalna i potencja# pola grawitacyjnego........................... 8-5
8.4 Zasada zachowania energii .........................................................8-7 9. Zasada zachowania p%du ...................................................................9-1
9.1 &rodek masy................................................................................9-1 9.2 Ruch rodka masy.......................................................................9-3 9.3 P!d uk#adu punktów materialnych..............................................9-5 9.4 Zasada zachowania p!du ............................................................9-6 10. Zasada zachowania p%du II .............................................................10-1
11.2.5 Zale%no " masy od pr!dko ci ............................................................ 11-8
11.2.6 Równowa%no " masy i energii........................................................... 11-9
12. Ruch obrotowy..................................................................................12-1
12.1 Wst!p ........................................................................................12-1 12.2 Kinematyka ruchu obrotowego.................................................12-1 12.3 Dynamika ruchu obrotowego....................................................12-2 12.3.1 Moment si#y ....................................................................................... 12-2
12.3.2 Moment p!du ..................................................................................... 12-2
12.3.3 Zachowanie momentu p!du ............................................................... 12-3
12.4 Cia#a sztywne i moment bezw#adno ci .....................................12-5 12.5 Ruch post!powo-obrotowy cia#a sztywnego ............................12-6 12.6 Ruch precesyjny (b$k) ..............................................................12-8 13. Ruch drgaj#cy...................................................................................13-1
13.4 Energia ruchu harmonicznego prostego....................................13-5 13.5 Oscylator harmoniczny t#umiony..............................................13-7 13.5.1 Straty mocy, wspó#czynnik dobroci................................................... 13-9
13.6.2 Moc absorbowana ............................................................................ 13-12
14. Statyka i dynamika p!ynów .............................................................14-1
14.1 Ci nienie i g!sto " ....................................................................14-1 14.2 Zmiany ci nienia wewn$trz nieruchomego p#ynu ....................14-2 14.3 Prawo Pascala i prawo Archimedesa ........................................14-3 14.4 Pomiar ci nienia (barometr)......................................................14-4 14.5 Ogólny opis przep#ywu p#ynów................................................14-4 14.6 Równanie Bernoulliego ............................................................14-6 14.6.1 Dynamiczna si#a no na ...................................................................... 14-7
15. Fale w o rodkach spr%$ystych.........................................................15-1
15.7 Dudnienia - modulacja amplitudy.............................................15-7 15.8 Zjawisko Dopplera....................................................................15-8 16. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I .................................16-1
16.1 Prawo gazów doskona#ych........................................................16-1 16.2 Temperatura ..............................................................................16-2 16.1.1 Termometry ....................................................................................... 16-3
16.3 Ekwipartycja energii .................................................................16-3 16.3.1 Zerowa zasada termodynamiki .......................................................... 16-3
16.3.2 Ekwipartycja energii .......................................................................... 16-3
16.4 Pierwsza zasada termodynamiki ...............................................16-4 16.5 Ciep#o w#a ciwe........................................................................16-5 16.5.1 Ciep#o w#a ciwe przy sta#ej obj!to ci ................................................ 16-5
16.1.2 Ciep#o w#a ciwe przy sta#ym ci nieniu .............................................. 16-6
16.6 Rozpr!%anie izotermiczne.........................................................16-7 16.7 Rozpr!%anie adiabatyczne.........................................................16-7 17. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II ...............................17-1
17.1 &rednia droga swobodna...........................................................17-1 17.2 Rozk#ad pr!dko ci Maxwella....................................................17-2 17.3 Równanie Van der Waalsa........................................................17-3 17.4 Entropia i druga zasada termodynamiki ...................................17-4
5
Spis tre ci
17.4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne ................................................. 17-4
17.4.2 Cykl Carnota ...................................................................................... 17-4
17.4.3 Druga zasada termodynamiki............................................................. 17-5
17.4.4 Termodynamiczna skala temperatur .................................................. 17-6
17.5 Stan równowagi, zjawiska transportu .......................................17-9 17.5.1 Stan równowagi ................................................................................. 17-9
18.2.2 Zachowanie #adunku .......................................................................... 18-1
18.3 Prawo Coulomba.......................................................................18-1 18.3.1 Zasada superpozycji........................................................................... 18-1
18.4 Pole elektryczne........................................................................18-2 18.4.1 Linie si# .............................................................................................. 18-3
18.5 Prawo Gaussa............................................................................18-4 19. Elektrostatyka I ................................................................................19-1
20.5 Trzy wektory elektryczne .........................................................20-6 21. Pr#d elektryczny i pole magnetyczne .............................................21-1
21.1 Pr$d elektryczny .......................................................................21-1 21.2 Prawo Ohma .............................................................................21-2 21.2.1 Wyprowadzenie prawa Ohma............................................................ 21-2
21.3 Straty cieplne ............................................................................21-4 21.3.1 Si#a elektromotoryczna ...................................................................... 21-4
21.4 Obwody pr$du sta#ego ..............................................................21-5 21.4.1 Prawa Kirchoffa ................................................................................. 21-5
21.5 Pole magnetyczne .....................................................................21-6 21.5.1 Si#a magnetyczna ............................................................................... 21-6
21.5.2 Dzia#anie pola magnetycznego na obwód z pr$dem .......................... 21-7
23.3 Energia a pole magnetyczne .....................................................23-6 23.4 G!sto " energii a pole magnetyczne.........................................23-6 24. Drgania elektromagnetyczne...........................................................24-1
31.1 P#ytki polaryzuj$ce ...................................................................31-2 31.2 Polaryzacja przez odbicie .........................................................31-4 31.3 Za#amanie podwójne.................................................................31-5 32. &wiat!o a fizyka kwantowa ..............................................................32-1
32.1 )ród#a wiat#a ...........................................................................32-1 32.2 Cia#o doskonale czarne .............................................................32-2 32.3 Teoria promieniowania we wn!ce, prawo Plancka...................32-4 32.3.1 Rozwa%ania klasyczne ....................................................................... 32-4
32.3.2 Teoria Plancka promieniowania cia#a doskonale czarnego................ 32-5
32.3.3 Zastosowanie prawa promieniowania w termometrii ........................ 32-6
32.4 Zjawisko fotoelektryczne..........................................................32-7 32.5 Efekt Comptona ......................................................................32-10 33. Model atomu Bohra .........................................................................33-1
33.1 Wst!p ........................................................................................33-1 33.2 Widma atomowe .......................................................................33-2 33.3 Model Bohra atomu wodoru .....................................................33-3 34. Fale i cz#stki......................................................................................34-1
34.1 Fale materii ...............................................................................34-1 34.2 Struktura atomu i fale stoj$ce ...................................................34-3 34.3 Mechanika falowa.....................................................................34-4 34.4 Znaczenie funkcji ..................................................................34-6 34.5 Zasada odpowiednio ci.............................................................34-7 34.6 Zasada nieoznaczono ci............................................................34-8 35. Lasery ................................................................................................35-1
G ówny cel - poszukiwanie i poznawanie podstawowych praw przyrody, od których za-le" wszystkie zjawiska fizyczne. Historia nauki - coraz g!#bsze poziomy pojmowania ale podstawowe prawa oraz teorie na kolejnych poziomach coraz prostsze i coraz ich mniej. Przyk ad 1 jak przebiega! rozwój nauki o elektryczno$ci i magnetyzmie, która ma tak fundamentalne znaczenie dla nas dzisiaj (elektronika, telekomunikacja, energetyka, in-formatyka itd.)? ! Ju" w staro"ytno$ci wiedziano o oddzia!ywaniu cia! naelektryzowanych (potarty bursztyn przyci ga! kawa!ki materii) i namagnesowanych (bry!a magnetytu przyci ga-j ca drobne kawa!ki "elaza). ! Dopiero w XVII wieku pierwsze pomiary ilo$ciowe i pierwsze prawa fizyczne (pra-wo Coulomba). ! XIX wiek - oddzia!ywanie pr du z ig! magnetyczn (Oersted), oddzia!ywanie prze-wodników z pr dem (Ampere), indukcja elektromagnetyczna (Faraday), prawo Ohma i w ko%cu jednolita teoria zjawisk elektromagnetycznych (prawa Maxwella. Prawa Maxwella ("tylko" cztery!!!) s prawami ogólnymi, które zawieraj w sobie jako przypadki szczególne nie tylko wszystkie prawa elektryczno$ci i magnetyzmu, ale tak"e wyja$niaj w!a$ciwo$ci $wiat!a jako fali elektromagnetycznej. Nie ulega w tpliwo$ci, "e zjawiskami przyrody rz dzi stosunkowo niewielka liczba praw ogólnych. Celem fizyki jest w!a$nie poznanie tych praw. Konsekwentnie, prawa fizyki b#d wyprowadzane (gdzie to tylko mo"liwe) z podsta-wowych zasad, tj. b#dzie podkre$lona ró"nica pomi#dzy zasadami podstawowymi a tym co mo"na z nich wyprowadzi&. Badania podstawowe - cz stki elementarne ich w!a$ciwo$ci i oddzia!ywania. Jak dotychczas stwierdzono tylko cztery podstawowe oddzia!ywania, z których wynika-j wszystkie si!y i oddzia!ywania zaobserwowane we Wszech$wiecie. Tab. 1.1 Cztery podstawowe oddzia!ywania.
Typ oddzia!ywa% 'ród!o Wzgl#dne
nat#"enie
Zasi#g
Grawitacyjne
S!abe
Elektromagnetyczne
J drowe
Masa
Wszystkie cz stki elementarne
(adunek elektryczny
Hadrony (protony,neutrony,mezony)
~ 10-38
~ 10-15
~ 10-2
1
D!ugi
Krótki (10-18m)
D!ugi
Krótki (10-15m)
Podstawowy charakter cz stek elementarnych i ich oddzia!ywa% przejawia si# np. w tym, "e obja$niaj one zarówno $wiat ma!ych jak i du"ych wielko$ci (gwiazdy, galaktyki). Wszystkie dzia!y nauk fizycznych i biologicznych maj swe korzenie w fizyce.
1-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
1.2 Poj!cia podstawowe
Tak jak w ka"dej dyscyplinie, w fizyce pos!ugujemy si# specyficznymi poj#ciami podstawowymi do opisu wielko$ci fizycznych czy te" w!a$ciwo$ci fizycznych obiek-tów. Poj#cia fizyczne definiujemy stosuj c pewne prawa fizyki. Bez zrozumienia tych poj#& nie jest mo"liwe opisanie zjawisk fizycznych i pos!ugiwanie si# tym opisem (mo-delami).
1.3 Jednostki
Fizyka w znacznej mierze zajmuje si# pomiarami wielko$ci fizycznych, maj cych cechy ilo$ciowe. Dlatego tak istotne jest podanie obok wielko$ci numerycznej (liczby) tak"e jednostki. Dotyczy to równie" rozwi za% zada% z fizyki (uwaga do &wicze%). Nie wolno podawa& odpowiedzi numerycznej nie podaj c jednocze$nie jednostki. Podstawowe jednostki - wiele wielko$ci fizycznych jest wspó!zale"nych. Np. pr#dko$& jest d!ugo$ci podzielon przez czas, g#sto$& mas podzielon przez obj#to$& itd. Wi#kszo$& wielko$ci fizycznych jest zwi zana z d ugo!ci" (l), czasem (t) i mas" (m). Oznacza to, "e te podstawowe wielko$ci wyznaczaj wymiar innych wielko$ci fizycz-nych. Tak wi#c pr#dko$& ma wymiar l/t (lt-1) a g#sto$& m/l3 (ml
-3). Zdecydowanie najpowszechniejszy jest uk!ad metryczny. Bardzo prosta w tym uk!adzie jest konwersja do innych jednostek. Po prostu dodaje si# przedrostek okre$laj cy odpo-wiedni pot#g# dziesi#ciu (patrz Tab 1.2). Tab. 1.2 Przedrostki jednostek metrycznych.
Przedrostek Skrót Pot#ga dziesi#ciu
tetra
giga
mega
kilo
centy
mili
mikro
nano
piko
femto
T
G
M
k
c
m
"
n
p
f
1012
109
106
103
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
D ugo!#, pole powierzchni, obj#to$& s zdefiniowane w geometrii Euklidesowej. Definicje 1 metra (historycznie): ! cz#$& (1/107) odleg!o$ci od bieguna do równika, ! odleg!o$& mi#dzy rysami na sztabie platynowej (Mi#dzynarodowe Biuro Miar i Wag w Sevres, Francja), ! w oparciu o d!ugo$& fal pewnej linii widmowej kryptonu 86Kr. ! jako droga, któr w pró"ni przebywa $wiat!o w czasie 1/299792458 sekundy. Czas - jest poj#ciem fizycznym, jego definicja jest zwi zana z pewnymi prawami fizyki. Np. prawa fizyki mówi , "e (a) okres obrotu Ziemi musi by& z du" dok!adno$ci sta!y; (b) okres drga% oscylatora krystalicznego (zegarek, zegar komputera) jest sta!y przy sta-
1-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
!ych warunkach zewn#trznych takich jak np. temperatura. Obecnie najdok!adniejsze ze-gary zliczaj drgania promieniowania emitowanego przez atomy izotopu cezu 133Cs. Sekund# definiuje si# jako czas trwania 919263177#109 drga% promieniowania emito-wanego przez 133Cs. Masa - równie" poj#cie fizyczne zdefiniowane przez pewne prawa fizyki. Nowoczesna definicja masy (w oparciu o prawo zachowania p#du) b#dzie podana w kolejnych wy-k!adach. Obecnie $wiatowym wzorcem kilograma (kg) jest walec platynowo-irydowy (Mi#dzynarodowe Biuro Miar i Wag w Sevres, Francja),
Kiedy takie poj#cia jak czas czy masa opieramy na prawach fizyki, nie mo"emy by& pewni, "e te prawa s absolutnie poprawne. Teoria fizyczna w ostateczno$ci spoczywa na fundamentach do$wiadczalnych, gdy" fizyka zajmuje si# $wiatem fizycznym. To w!a$nie obserwacje do$wiadczalne stwierdzaj ce pewne prawid!owo$ci (je"eli spe!nio-ne s dane warunki to wynik do$wiadczenia si# powtarza) le" u podstaw formu!owania praw przyrody. Do$wiadczenie weryfikuje wi#c teori# ale tylko w sensie negatywnym tj. mo"e spowodowa& odrzucenie teorii. Nie mo"e potwierdzi& "ca!kowicie" teorii ze wzgl#du na ograniczone mo"liwo$ci pomiarowe. Innymi s!owy nie mo"na wykluczy& sytuacji, "e teoria nie przejdzie kolejnego testu do$wiadczalnego.
Trzeba powiedzie&, "e takich teorii (tzw. wielkich teorii), które przewiduj w szero-kim zakresie i z bardzo du" dok!adno$ci wyniki do$wiadcze% jest niewiele np. me-chanika klasyczna Newtona, teoria wzgl#dno$ci Einsteina. Inne przyk!ady spoza fizyki to geometria Euklidesowa i teoria Darwina. Do takiej teorii pretenduje równie" mecha-nika kwantowa.
1.4 Matematyka w fizyce
1.4.1 Modele matematyczne w fizyce
W fizyce wyniki bada% podaje si# w postaci liczb i praw wyra"onych matematycz-nie. Matematyka jest wi#c j#zykiem fizyki, bez u"ycia matematyki nie mo"na opisa& zjawisk fizycznych ani z teoretycznego ani z do$wiadczalnego punktu widzenia (opis jako$ciowy, opis ilo$ciowy). Matematyka stanowi narz#dzie w pracy badawczej i s!u"y do formu!owania modeli matematycznych.
zagadnienie fizyczne rozwi¹ zanie fizyczne
zagadnienie
matematyczne
rozwi¹ zanie
matematyczne
intuicja
konstrukcja modelu
matematycznego
symulacja
matematyka
interpretacja
rozwi¹ zania
matematycznego
Stykaj c si# z okre$lon sytuacj fizyczn fizyk stara si# dokonywa& jej idealizacji
matematycznej czy, jak mówimy, symulacji, sporz dzaj c wyidealizowany model ma-tematyczny tej sytuacji wed!ug poni"szego schematu
1-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Idealizacja polega na przyj#ciu za!o"e% upraszczaj cych np. dla wahad!a z!o"onego z kulki zawieszonej na nici: ! przyjmujemy, "e wahad!o waha si# w jednej p!aszczy)nie, ! pomijamy opór powietrza, ! zaniedbujemy tarcie w punkcie zawieszenia, ! zaniedbujemy mas# nici, ! zak!adamy, "e ni& jest nierozci gliwa, ! zak!adamy, "e ca!a masa kulki jest skupiona w jednym punkcie w jej $rodku masy.
Rozwa"ania dotycz ce metod bada% fizycznych i modeli zilustrujemy prostym przyk!adem: badanie si!y oporu powietrza Foporu dzia!aj cej na poruszaj cy si# samochód. Najpierw, jak wygl da metoda indukcyjna. Badacz analizuj cy ruch samochodu ustala najpierw wielko$ci fizyczne: pr#dko$& samochodu, g#sto$& powietrza itd. Nast#pnie stawia hipotez#, "e si!a oporu powietrza zale"y od pr#dko$ci v
(porównanie z jazd na rowerze), od g#sto$ci powietrza $ (o$rodka) i od powierzchni pola przekroju S. Do$wiadczalnie sprawdza t# hipotez#. Okazuje si#, "e dla ró"nych v, $, S otrzymuje si# ró"ne warto$ci oporu powietrza. Teraz badacz buduje model matematyczny badanego zjawiska przyjmuj c, "e pomi#dzy badanymi wielko$ciami istnieje zale"no$& funkcyjna: Foporu = f(v, $, A). Celem jest znalezienie (dopasowanie) tej funkcji. Mo"na to zrobi& na wiele sposobów. Poni"ej, omówimy jeden prosty i skuteczny sposób tzw. analiz$ wymiarow".
1.4.2 Analiza wymiarowa
To post#powanie polega, w pierwszym kroku, na sformu!owaniu uogólnionego zwi zku
Foporu ~ Ax $
y v
z
gdzie x, y, z s nieznanymi wyk!adnikami pot#gi. Teraz sprawdzamy wymiar po obu stronach równania. Wyra"amy wymiar przez podstawowe wielko$ci: mas#, d!ugo$& i czas. Otrzymujemy
mlt-2
= (l2)x·(ml
-3)y·(lt
-1)z
Z przyrównania wyk!adników otrzymujemy
y = 1 (przy m) 2x-3y+z = 1 (przy l) -z = -2 (przy t)
Rozwi zaniem s x = 1, y = 1, z = 2. Wstawiaj c to do równania wyj$ciowego otrzymujemy
Foporu ~ A$v2
Okazuje si#, "e to równanie jest poprawne z dok!adno$ci do czynnika 1/2 (sta!a pro-porcjonalno$ci). Sta! t# mo"na wyznaczy& z wyników do$wiadczalnych.
1-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
1.4.3 Formalizm matematyczny
Uwa"a si#, "e fizyka pos!uguje si# trudn matematyk wy"sz . Tak nie jest gdy cho-dzi o podstawowe prawa. W wi#kszo$ci b#dziemy u"ywa& prostej algebry, geometrii i troch# trygonometrii. Wprowadzimy elementy rachunku ró"niczkowego i ca!kowego ale w ograniczonym zakresie. Na wst#pie kilka uwag (inne w trakcie wyk!adów).
skalary i wektory
w tek!cie oznaczenia wektorów a i a s" równowa%ne Uwaga: Stosowane
, metoda geometryczna ! Dodawanie wektorów
ie wektorów, metoda analityczna ! rozk!adanie wektorów na sk!adowe i dodawan
y
x
j
i
%
a ay
ax
!adowe: ax = a cos%; ay = a sin%
d!ugo$&:
sk
yx
yx aa jia &'
aaa &'
cc ji &
to w
c = a + b
cx = ax + bx cy = ay + by
! Mno%enie wektorów
wektorów jest skalarem (liczb )
babaab &''# %cosba
dzie % jest k tem pomi#dzy wektorami a, b.
wektor:
22
analogicznie: b ' 'yx bb ji & , c yx
dodawanie wek ró
skalarne: iloczyn dwóch
yyxx
g
1-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
wektorowe: bac ('
d!ugo$& wektora c: c = ab sin%
dzie % jest k tem pomi#dzy wektorami a, b
szczyzny utworzonej przez wektory a i b, gKierunek wektora c jest prostopad!y do p!atzn. prostopad!y do tych wektorów. Zwrot wektora c wyznacza regu!a $ruby prawo-skr#tnej (rysunek poni"ej)
kierunek kciuka
kierunek palców
Funkcje i liczby (warto$ci sta!e, zmienne, warto$ci chwilowe) !
!adniczego
prezentacja graficzna (wykresy)
! Zapis formalny ;wielko$ci >> 1 i znacznie << 1 konieczno$& zapisu wyknp. masa elektronu 9.1·10-31 kg. Korzystne jest to, "e przy mno"eniu wyk!adniki dodaje si#. ! Re ! Cyfry znacz ce w obliczeniach Przyk ad 2
pr#dko$ci: mierzymy drog# linijk z dok!adno$ci 1%, oraz czas zegarem z d
v = s/t = 1/3 = 0.3333333 m/s
ytanie: ile cyfr po znaku dziesi#tnym ? uwa"ana za pewn . Poniewa" odleg!o$& zmie-
v = 0.333 ) 0.003 m/s
znacza to, "e warto$& v le"y w przedziale mi#dzy 0.330 a 0.336 m/s. Wida&, "e dwie
odstawowe podr#czniki: izyka, t.I i II, PWN, Warszawa,
ne, Warszawa. Warszawa
Pomiar ok!adno$ci 0.01%. Wyniki pomiarów s = 1 m, t = 3 s, wi#c
PUmowa: przedostatnia podana cyfra jest rzona z dok!adno$ci 1% (pomiar czasu bardziej dok!adny) wi#c wynik powinien by& podany jako
Opierwsze trójki s pewne a trzecia jest nieco niepewna. Nie nale"y podawa& wyniku w postaci v = 0.3 m/s ani v = 0.3333 m/s bo jest to myl ce i niepotrzebne. PD. Halliday, R. Resnick, FJ. Orear, Fizyka, t. I i II, Wydawnictwo Naukowo TechniczCz. Bobrowski, Fizyka – krótki kurs, Wydawnictwo Naukowo Techniczne,
1-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 2
2. Ruch jednowymiarowy
Zajmiemy si" opisem ruchu rozumianym jako zmiany po o!enia jednych cia
wzgl"dem innych, które nazywamy uk adem odniesienia. Zwró# uwag", $e to samo cia!o
mo$e porusza# si" wzgl"dem jednego uk!adu odniesienia a spoczywa# wzgl"dem inne-
go. Oznacza to, $e ruch jest poj"ciem wzgl"dnym.
2.1 Pr dko!"
Pr"dko#$ jest zmian% odleg o#ci w jednostce czasu.
2.1.1 Pr!dko"# sta a
Je$eli cia!o, które w pewnej chwili t0 znajdowa!o si" w po!o$eniu x0, porusza si"
ze sta! pr"dko%ci v to po czasie t znajdzie si" w po!o$eniu x danym zwi zkiem
x-x0 = v(t t0)
czyli
0
0
tt
xx
!v (2.1)
2 4 6 8 1
-2
0
2
4
6
8
0
x
t
Interpretacja graficzna: pr"dko%# to nachylenie prostej x(t) (ró$ne nachylenia wykresów
x(t) odpowiadaj ró$nym pr"dko%ciom).
Wielko%# v (wektor) mo$e by# dodatnia albo ujemna, jej znak wskazuje kierunek ru-
chu !!! Wektor v ujemny to ruch w kierunku malej cych x.
2.1.2 Pr!dko"# chwilowa
Je$eli obiekt przyspiesza lub zwalnia to wskazania szybko%ciomierza nie zgadzaj
si" z wyra$eniem (2.1) chyba, $e we&miemy bardzo ma!e warto%ci x x0 ("x) czyli rów-
nie$ bardzo ma!e t - t0 ("t). St d pr"dko%# chwilowa:
2-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
t
x
t "
"!
#" 0limv
Tak definiuje si" pierwsz pochodn , wi"c
td
d x!v (2.2)
Prezentacja graficzna
0 2 4 60
20
40
60
80
Pr"dko%# chwilowa przej%cie od siecznej do stycznej. Nachylenie stycznej to pr"d-
ko%# chwilowa (w chwili t odpowiadaj cej punktowi styczno%ci).
2.1.3 Pr!dko"# "rednia
'rednia matematyczna. Znaczenie %redniej - przyk!ady. Przyk!ady rozk!adów nie-
jednostajnych - czynniki wagowe.
Przyk ad 1
Samochód przeje$d$a odcinek 20 km z pr"dko%ci 40 km/h a potem, przez nast"pne
20 km, jedzie z pr"dko%ci 80 km/h. Oblicz pr"dko%# %redni .
t1 = x1/v1 = 20/40 = 0.5 h
t2 = x2/v2 = 20/80 = 0.25 h
2
21
21
21
1vvv
tt
t
tt
t
$$
$! = 53.33 km/h
a nie 60 km/h; (wagi statystyczne). Poniewa$ viti = xi wi"c
t
xx 0 !v (2.3)
przesuni"cie wypadkowe/czas ca!kowity.
2-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Przyk ad 2
Korzystamy z warto%ci %redniej do obliczenia drogi hamowania samochodu, który
jedzie z pr"dko%ci 25 m/s (90 km/h). Czas hamowania 5 sekund. Pr"dko%# maleje jed-
nostajnie (sta!a si!a hamowania). Pr"dko%# %rednia 12.5 m/s (45 km/h).
Z równania (2.3) x - x0 = 12.5·5 = 62.5 m.
To najkrótsza droga hamowania. Warto%# %rednia daje praktyczne wyniki. Ten przyk!ad
wprowadza nas do omówienia przyspieszenia.
2.2 Przyspieszenie
Przyspieszenie to tempo zmian pr"dko#ci.
2.2.1 Przyspieszenie jednostajne i chwilowe
Pr"dko%# zmienia si" jednostajnie z czasem czyli przyspieszenie
t
0vv !a (2.4)
jest sta e.
Gdy przyspieszenie zmienia si" z czasem musimy wtedy ograniczy# si" do pomiaru
zmian pr"dko%ci "v w bardzo krótkim czasie "t (analogicznie do pr"dko%ci chwilowej).
Odpowiada to pierwszej pochodnej v wzgl"dem t.
td
dv!a (2.5)
2.2.2 Ruch jednostajnie zmienny
Cz"sto chcemy zna# zarówno po!o$enie cia!a jak i jego pr"dko%#. Ze wzoru (2.4)
mamy v = v0 + at. Natomiast do policzenia po!o$enia skorzystamy ze wzoru (2.3).
txx v$! 0
Poniewa$ w ruchu jednostajnie przyspieszonym pr"dko%# ro%nie jednostajnie od v0 do v
wi"c pr"dko%# %rednia wynosi
v = (v0 + v)/2
( cz c otrzymujemy
x = x0 + (1/2) (v0 + v)t
gdzie za v mo$emy podstawi# v0 + at. Wtedy
x = x0 + (1/2) [v0 + (v0 +at)] t
wi"c ostatecznie
2
2
00
attxx $$! v (2.6)
2-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dyskutuj c ruch po linii prostej mo$emy operowa# liczbami, a nie wektorami bo mamy
do czynienia z wektorami równoleg!ymi. Jednak trzeba sobie przy opisie zjawisk (roz-
wi zywaniu zada)) u%wiadamia#, $e mamy do czynienia z wektorami.
Przyk ad 3
Dwa identyczne cia!a rzucono pionowo do góry z pr"dko%ci pocz tkow v0 w od-
st"pie czasu "t jedno po drugim. na jakiej wysoko%ci spotkaj si" te cia!a?
Dane: v0, "t, g - przyspieszenie ziemskie.
Mo$emy rozwi za# to zadanie obliczaj c odcinki dróg
przebytych przez te cia!a: H
h
v0
1) 2
2
0
ggtH !v , v = v0 - gtg, v = 0
2)2
2
dgthH !
3)2
2
0
gtth !v , tg + td = t + "t
Trzeba teraz rozwi za# uk!ad tych równa).
Mo$na inaczej: h - to po!o$enie czyli wektor (nie odcinek). Podobnie v0t i (1/2)gt2.
W dowolnej chwili h jest sum dwóch pozosta!ych wektorów. Opis wi"c jest ten sam
w czasie ca!ego ruchu (zarówno w gór" jak i w dó!). Sprawd&my np. dla v0 = 50 m/s, g = 10 m/s
2; wi"c równanie ma posta#: h = 50t-5t
2.
Wykonujemy obliczenia przebytej drogi i wysoko%ci w funkcji czasu i zapisujemy w
tabeli poni$ej
czas [s] po!o$enie (wysoko%#) droga [m]
0 0 0
1 45 45
2 80 80
3 105 105
4 120 120
5 125 125
6 1 w dó! 120 130 5 (w dó!) 7 2 105 145 20
8 3 80 170 45
9 4 45 205 80
10 5 0 250 125
Opis matematyczny musi odzwierciedla# sytuacj" fizyczn . Na tej samej wysoko%ci h
cia!o w trakcie ruchu przebywa 2 razy (w dwóch ró$nych chwilach; pierwszy raz przy
wznoszeniu, drugi przy opadaniu). Równanie musi by# wi"c kwadratowe
(2 rozwi zania). Rozwi zaniem równania (1/2)gt2 - v0t + h = 0 s w!a%nie te dwa czasy
t1 i t2.
Z warunku zadania wynika, $e t1 t2 = "t. Rozwi zanie: 8
)(
2
22
0 gt
gh
" !
v
Pami"tanie o tym, $e liczymy na wektorach jest bardzo istotne. Szczególnie to wida#
przy rozpatrywaniu ruchu na p!aszczy&nie.
2-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 3
3. Ruch na p aszczy!nie
Ruch w dwóch wymiarach b"dziemy opisywa# w uk!adzie wspó!rz"dnych x i y.
Np. y - wysoko$#, x - odleg!o$# w kierunku poziomym. Poka%emy, %e taki ruch mo%na
traktowa# jak dwa niezale%ne ruchy jednowymiarowe.
3.1 Przemieszczenie, pr dko!" i przyspieszenie.
Po o!enie punktu w chwili t przedstawia wektor r; pr"dko#$ wektor v; przyspiesze-
nie wektor a. Wektory r, v, a s wzajemnie zale%ne od siebie i dadz si" przedstawi#
(za pomoc wersorów i, j, k czyli wektorów jednostkowych) w postaci
yx
yx
yx
aattt
t
y
t
x
t
yx
jijia
jijir
jir
! !!
! !!
!
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
vv
vv
v
v
Czy trzeba stosowa# rozk!adanie wektorów na sk!adowe?
Przyk ad 1
&aglówka p!yn ca pod wiatr (pod k tem 45" do kierunku wiatru). Si!a, któr wiatr dzia-
!a na %agiel, popycha !ódk" prostopadle do p!aszczyzny %agla. Ze wzgl"du na kil (i ster)
!ód' mo%e porusza# si" wzd!u% osi kila. Sk!adowa si!y w tym kierunku (Fx) ma zwrot
w kierunku ruchu.
o kila
!agiel
Fx
wiatr
Ruch ze sta ym przyspieszeniem oznacza, %e nie zmienia si" kierunek ani warto#$ przy-
spieszenia tzn. nie zmieniaj si" równie% sk!adowe przyspieszenia.
Rozpatrzymy teraz przypadek punkt materialnego poruszaj cego si" wzd!u% krzywej
le% cej na p!aszczy'nie.
Rozpoczniemy od napisania równa( dla ruchu jednostajnie przyspieszonego
3-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
a = const
v = v0 + at
r = r0 + v0t + (1/2) at2
Prze$led'my teraz dodawanie wektorów na wykresie. Przyk!adowo punkt porusza si" z
przyspieszeniem a = [2,1], pr"dko$# pocz tkowa v0 = [1,2], a po!o%enie pocz tkowe, r0
= [1,1]. Szukamy po!o%enia cia!a np. po t = 1s i t = 3s dodaj c odpowiednie wektory tak
jak na rysunku obok.
Powy%sze równania wektorowe s równowa%ne równaniom w postaci skalarnej:
Równania opisuj ce ruch wzd!u%
osi x
Równania opisuj ce ruch wzd!u%
osi y
ax = const
vx = vx0t + axt
x = x0 + vx0t + (1/2) axt2
ay = const
vy = vy0t + ayt
y = y0 + vy0t + (1/2) ayt2
Przyk!adem na którym prze$ledzimy ruch krzywoliniowy ze sta!ym przyspieszeniem
jest rzut uko$ny.
3.2 Rzut uko!ny
Rzut uko$ny to ruch ze sta!ym przyspieszeniem g [0, -g] skierowanym w dó!. Jest
opisywany przez równania podane powy%ej w tabeli. Przyjmijmy, %e pocz tek uk!adu
wspó!rz"dnych pokrywa si" z punktem, z którego wylatuje cia!o tzn. r0 = 0.
#
v0
v0cos#
v0sin#
Pr"dko$# w chwili pocz tkowej t = 0 jest równa v0 i tworzy z k t # z dodatnim kierun-
kiem osi x. Zadaniem naszym jest: znale'# pr"dko$# i po!o%enie cia!a w dowolnej chwi-
poniewa% ax = 0 wi"c: vx = v0 cos#, czyli w kierunku x ruch jest jednostajny (sk!adowa
x pr"dko$ci jest sta!a)
W kierunku y (pionowym)
vy = vy0 + ayt
poniewa% gy = -g wi"c
vy = v0 sin# – gt
Warto$# wektora wypadkowego pr"dko$ci w dowolnej chwili wynosi
22
yx vvv !
wi"c
22
0
2
0 sin2 tggt $! #vvv (3.1)
Teraz obliczamy po!o%enie cia!a
x = v0xt
czyli
x = v0 cos# t (3.2)
y = v0yt+(1/2)ayt2
czyli
y = v0 sin# t – (1/2)gt2 (3.3)
D!ugo$# wektora po!o%enia r mo%na teraz obliczy# dla dowolnej chwili t z zale%no$ci
22 yxr !
Sprawd'my po jakim torze porusza si" nasz obiekt tzn. znajd'my równanie krzywej
y(x). Mamy równania x(t) i y(t). Równanie y(x) obliczymy eliminuj c t z równa( (3.2) i
(3.3). Z równania (3.2)
t = x/v0 cos#
wi"c równanie (3.3) przyjmuje posta#
3-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2
2
0 )cos(2)(tg x
gxy
##
v$! (3.4)
Otrzymali$my równanie paraboli (ramionami w dó!). Z równania paraboli obliczamy zasi"g Z czyli znajdziemy miejsca zerowe. Do równania
(3.3) wstawiamy x = Z oraz y = 0 i otrzymujemy po przekszta!ceniach dwa miejsca ze-
rowe
Z = 0
oraz
###
2sincossin2 2
0
2
0
ggZ
vv!! (3.5)
Z równania (3.4) wynika, %e zasi"g jest maksymalny gdy # = 45".
Zauwa%my, %e omawiany ruch odbywa si" po linii krzywej.
W poprzednich wyk!adach mówili$my o przyspieszeniu zmieniaj cym warto$# pr"dko-
$ci, a nie jej kierunek (zwrot). Mówili$my o przyspieszeniu stycznym.
Rozpatrzmy teraz sytuacje gdy warto#$ pr"dko$ci si" nie zmienia a zmienia si" kieru-
nek.
3.3 Ruch jednostajny po okr gu
Rozwa%my zamieszczony obok rysunek. Punkt P - po!o%enie punktu materialnego w
chwili t, a P' - po!o%enie w chwili t + %t. Wektory v, v' maj jednakowe d!ugo$ci ale
ró%ni si" kierunkiem; s styczne do toru (krzywej) odpowiednio w punktach P i P'.
#
rO
P
P'
v
v'
v
v'%v
#
Przerysujmy wektory v i v' zaznaczaj c zmian" pr"dko$ci %v. Zauwa%my, %e k t po-
mi"dzy tymi wektorami jest taki sam jak k t na pierwszym rysunku. Zaznaczone trójk -
ty s podobne wi"c :r
l!
%
v
v, gdzie l jest d!ugo$ci !uku (pod warunkiem, %e l jest bar-
dzo ma!e (l&0)). St d
%v = vl/r.
a poniewa%
l = v %t
wi"c
%v = v2 %t/r
Ostatecznie
a = %v/%t
3-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
wi"c
r
a2
v! (3.6)
To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem normalnym (w odró%nieniu od styczne-
go) bo jest prostopad!e do toru. W przypadku ruchu po okr"gu kierunek prostopad!y do
toru jest skierowany do $rodka i dlatego takie przyspieszenie nazywamy równie% przy-
spieszeniem do#rodkowym. Przyspieszenie normalne zmienia kierunek pr"dko$ci.
Cz"sto wyra%a si" to przyspieszenie przez okres T. Poniewa%
v = 2'r/T
wi"c
a = 4'2r/T
2
Przyk ad 2
przyspieszenia do$rodkowego, wynikaj cego z obrotu Ziemi, doznaje cia!o
b"d
a = 0.0034 m/s2.
tanowi to 0.35 % przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s2.
niejsza (np. !atwiej pobi#
yk!ad, w którym zmienia si" i warto#$ i kierunek pr"dko$ci.
Wr
ieszenia stycznego i normalnego (jako
Jakiego
ce na równiku? RZ = 6370 103 m, T = 8.64 10
4 sec.
S
Przy za!o%eniu, %e Ziemia jest kul waga na równiku jest m
rekord w skoku wzwy%).
Prze$led'my teraz prz
acamy do rzutu uko$nego. Przyspieszenie g (jedyne) jest odpowiedzialne za zmian"
zarówno warto$ci pr"dko$ci jak i jej kierunku.
Prezentacja graficzna z zaznaczeniem przysp
sk!adowych g) jest przedstawiona poni%ej.
g
as
ar
y obie sk!adowe przyspieszenia. Teraz obliczym
a) Przyspieszenie styczne
tas
d!
dv
rzypomnijmy, %e zale%no$# v(t) w rzucie uko$nym jest dana równaniem (3.1)
(
P22
0
2
0 sin2 tggt $! #vvv ).
3-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
St d
aS ! gtggt
gt22
0
2
0
0
sin2
sin
$
$
#
#
vv
v
b) Przyspieszenie do$rodkowe
k wynika z rysunku Ja
22
sr aga $!
b lu
ra
2v
! ale trzeba umie# obliczy# %dym punkcie toru. promie( krzywizny w ka
3-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 4
4. Dynamika punktu materialnego
4.1 Wst p
Dotychczas starali"my si# opisywa$ ruch za pomoc wektorów r, v, oraz a. By!y to
rozwa%ania geometryczne. Teraz omówimy przyczyny ruchu, zajmiemy si# dynamik .
Nasze rozwa%ania ograniczymy do przypadku du%ych cia! poruszaj cych si# z ma!ymi
(w porównaniu z pr#dko"ci "wiat!a w pró%ni) pr#dko"ciami tzn. zajmujemy si# mecha-
nik klasyczn .
Podstawowy problem mechaniki klasycznej:
! mamy cia!o (zachowuj ce si# jak punkt materialny) o znanych w!a"ciwo"ciach (ma-
sa, !adunek itd.),
! umieszczamy to cia!o, nadaj c mu pr#dko"$ pocz tkow , w otoczeniu, które znamy,
! pytanie: jaki b#dzie ruch cia!a?
Aby bada$ ruch cia!a wywo!any si! na nie dzia!aj c trzeba wiedzie$ jakiego rodzaju
jest to si!a i sk d si# bierze. Teraz zajmiemy si# ogólnymi skutkami si! a dalej b#dziemy
rozwa%a$ specjalne w!asno"ci si! grawitacyjnych, elektromagnetycznych, s!abych i j -
drowych.
W dzisiejszym rozumieniu mechaniki klasycznej w celu rozwi zania naszego problemu
musimy:
! wprowadzi$ poj#cie si!y F,
! ustali$ sposób przypisania masy m aby opisa$ fakt, %e ró%ne cia!a wykonane z tego
samego materia!u, w tym samym otoczeniu uzyskuj ró%ne przyspieszenia (np. pchamy
z ca! si! dwa ro%ne pojazdy i uzyskuj ró%ne a),
! szukamy sposobu obliczenia si! dzia!aj cych na cia!o na podstawie w!a"ciwo"ci tego
cia!a i otoczenia - szukamy praw rz dz cych oddzia!ywaniami ("teorii").
4.2 Definicje
4.2.1 Masa
Definicja o charakterze operacyjnym (recepta na post#powanie). Nieznan mas# m
porównujemy ze wzorcem masy 1 kg. Umieszczamy pomi#dzy nimi spr#%yn# i zwal-
niamy j . Masy, które pocz tkowo spoczywa!y polec w przeciwnych kierunkach z
pr#dko"ciami v0 i v.
m0 mv0 v
4-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Nieznan mas# m definiujemy jako
v
v00mm " (4.1)
4.2.2 P!d
P#d cia!a definiujemy jako iloczyn jego masy i jego pr#dko"ci wektorowej.
vm#p (4.2)
(Intuicyjnie, ta wielko"$ ma istotne znaczenie np. przy opisie zderze& gdzie liczy si#
zarówno pr#dko"$ jak i masa.)
4.2.3 Si a
Je%eli na cia!o o masie m dzia!a pojedyncza si!a F1, to definiujemy j jako zmian# w
czasie p#du cia!a.
td
d1
pF " (4.3a)
po rozwini#ciu
tm
t
m
t
m
d
d
d
d
d
)d(1
vv
v$#"F
Dla cia!a o sta!ej masie
aF mt
m ##d
d1
v (4.3b)
Przyk!ady uk!adów o sta!ej i zmiennej masie.
4.3 Zasady dynamiki Newtona
Aby przewidzie$ ruch pod wp!ywem si!y musimy mie$ "teori#". Czy teoria jest do-
bra czy nie mo%na stwierdzi$ tylko poprzez do"wiadczenie.
Podstawowa teoria, która pozwala nam przewidywa$ ruch cia!, sk!ada si# z trzech
równa&, które nazywaj si# zasadami dynamiki Newtona.
Najpierw podamy sformu!owanie, a potem dyskusja i rozwini#cie.
Sformu!owanie pierwszej zasady dynamiki Newtona
Cia!o pozostaje w stanie spoczynku lub w stanie sta!ej pr#dko"ci (zerowe przyspie-
szenie) gdy jest pozostawione samo sobie (dzia!aj ca na nie si!a wypadkowa jest równa
zero).
a = 0, gdy Fwypadkowa = 0
gdzie Fwypadkowa jest sum wektorow wszystkich si! dzia!aj cych na cia!o.
Uwaga: a = 0, oznacza, %e nie zmienia si# ani warto"$ ani kierunek tzn. cia!o jest w
spoczynku lub porusza si# ze sta! co do warto"ci pr#dko"ci po linii prostej (sta!y kie-
runek).
4-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Sformu!owanie drugiej zasady dynamiki Newtona
Tempo zmiany p#du cia!a jest równe sile wypadkowej dzia!aj cej na to cia!o.
aFp
F mt
wypwyp ## czyli,d
d (4.4)
Zwró$my uwag#, %e w definicji F mówimy o pojedynczej sile, a tu mamy do czynienia
z si! wypadkow .
Sformu!owanie trzeciej zasady dynamiki Newtona
Gdy dwa cia!a oddzia!uj wzajemnie, to si!a wywierana przez cia!o drugie na cia!o
pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do si!y, jak cia!o pierwsze dzia!a na dru-
gie
FA%B = - FB%A
4.3.1 Pierwsza zasada dynamiki Newtona
Pierwsza zasada wydaje si# by$ szczególnym przypadkiem drugiej. Przypisujemy jej
jednak wielk wag# ze wzgl#dów historycznych (prze!amanie dogmatu Arystotelow-
skiego, %e wszystkie cia!a musz si# zatrzyma$ gdy nie ma si! zewn#trznych) oraz dla-
tego, %e zawiera wa%ne prawid!o fizyczne: istnienie inercjalnego uk!adu odniesienia.
Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, %e je%eli na cia!o nie dzia!aj si!y zewn#trzne
i
k!ady iner-
cja
niesienia (obser-
wa
y cia!a-
mi
a zasada dynamiki Newtona
e y obserwator znajduje si# w uk!adzie iner-
cjalnym. Si!a w drugiej zasadzie dynamiki jest si! wypadkow (trzeba bra$ sum# wek-
toro
to stnieje taki uk!ad odniesienia, w którym to cia!o spoczywa lub porusza si" ruchem
jednostajnym prostoliniowym. Taki uk!ad nazywamy uk!adem inercjalnym.
Ka%dy ruch musi by$ opisany wzgl#dem pewnego uk!adu odniesienia. U
lne s tak istotne bo we wszystkich takich uk!adach ruchami cia! rz dz dok!adnie te
sama prawa. Wi#kszo"$ omawianych zagadnie& b#dziemy rozwi zywa$ w!a"nie w in-
ercjalnych uk!adach odniesienia. Zazwyczaj przyjmuje si#, %e s to uk!ady, które spo-
czywaj wzgl#dem gwiazd sta!ych ale uk!ad odniesienia zwi zany z Ziemi w wi#kszo-
"ci zagadnie& jest dobrym przybli%eniem uk!adu inercjalnego.
Poniewa% przyspieszenie cia!a zale%y od przyspieszenia uk!adu od
tora), w którym jest mierzone wi#c druga zasada dynamiki jest s!uszna tylko, gdy
obserwator znajduje si# w uk!adzie inercjalnym. Inaczej mówi c, prawa strona równa-
nia F = ma zmienia!aby si# w zale%no"ci od przyspieszenia obserwatora.
Zauwa%my, %e pierwsza zasada nie wprowadza %adnego rozró%nienia mi#dz
spoczywaj cymi i poruszaj cymi si# ze sta! pr#dko"ci . Ka%dy z tych stanów mo%e
by$ naturalnym stanem cia!a gdy nie ma %adnych si!. Nie ma ró%nicy pomi#dzy sytuacj
gdy nie dzia!a %adna si!a i przypadkiem gdy wypadkowa wszystkich si! jest równa zeru.
4.3.2 Drug
Wi my ju%, %e ta zasada jest s!uszna gd
w wszystkich si!).
Zastanówmy si# jaka jest ró%nica mi#dzy definicj si!y, a drug zasad dynamiki?
4-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Czy F = ma nie powinno by$ prawdziwe z definicji, a nie dlatego, %e jest to podstawo-
(4.3b) i (4.4) polega na tym, %e w tym drugim wyst#puje
4.3.3 Trzecia zasada dynamiki Newtona
Za!ó%my, %e mamy uk!ad, który sk!ada si# z mA i mB. Wtedy jedynymi si!ami b#d
si!y
ania mi#dzy dwoma cia!ami
we prawo przyrody?
Ró%nica pomi#dzy równaniami
si!a wypadkowa. To jest wa%na ró%nica!!! Oznacza to, %e w tym równaniu jest zawarta
dodatkowa informacja (któr trzeba sprawdzi$ do"wiadczalnie), a mianowicie addytyw-
no"$ masy i wektorowe dodawanie si!. Chocia% wydaje si# to banalne, %e po! czenie
mas m1 i m2 daje przedmiot o masie m = m1 + m2 to jak ka%de twierdzenie w przyrodzie
musi by$ sprawdzone do"wiadczalnie. Istniej wielko"ci fizyczne, które nie s addy-
tywne np. k ty (nieprzemienne dodawanie) czy obj#to"ci mieszanin (np. woda i alko-
hol).
oddzia!ywania mi#dzy tymi cia!ami np. grawitacyjne.
Trzecia zasada stwierdza, %e w przypadku si! oddzia!yw
FA = - FB .
Przyk!ad 1
Rozwa%my uk!ad trzech cia! o masach 3m, 2m i m po! czonych nitkami tak jak na
rysunku. Uk!ad jest ci gni#ty zewn#trzn si! F. Szukamy przyspieszenia uk!adu i na-
pr#%e& nici. Si!y przenoszone s przez sznurki (zak!adamy, %e ich masy s zaniedby-
walne).
F
3mg
R1
2mg
R2R3
mg
N1 -N1N2 -N2
y II zasad# dynamiki dla ka%dego cia!a osobno Piszem
F - N1 = 3ma
odaj c stronami otrzymujemy
F = (3m + 2m + m)a
st d
a = F/6m, N1 = F/2, N2 = F/6
dnostki si!y i masy
(N) 1N = 1kg·1m/s2
N1 -N2 = 2ma
N2 = ma
D
Je
W uk!adzie SI: niuton
4-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 5
5. Dynamika punktu materialnego II
5.1 Si y kontaktowe i tarcie
5.1.1 Si y kontaktowe
Gdy dwa cia!a s dociskane do siebie to wyst"puj mi"dzy nimi si y kontaktowe. #ród!em tych si! jest odpychanie pomi"dzy atomami. Przy dostatecznie ma!ej odleg!o$ci wyst"puje przekrywanie chmur elektronowych i ich odpychanie rosn ce wraz z malej -c odleg!o$ci . To jest si!a elektromagnetyczna i mo%e by& bardzo du%a w porównanie z si!ami grawitacyjnymi. Je%eli si!a ci"%ko$ci pcha blok w dó! si! Fg to powstaje druga si!a - si!a kontaktowa F1. Si!a wypadkowa Fwyp = 0. We wszystkich przypadkach stosowania drugiej zasady dynamiki Newtona jest bardzo istotne, %eby obliczy& si ! wypadkow". Przyk ad 1
Rozwa%my dwa klocki m1 i m2 na g!adkiej powierzchni. Do klocka m1 przy!o%o-no si!" F. Czy si!a F jest przenoszona poprzez klocek 1 na klocek 2? Gdyby tak by!o to zgodnie z trzeci zasad dynamiki Newtona klocek 2 dzia!a!by na klocek 1 si! równ i przeciwnie skierowan . Wtedy Fwyp równa!aby si" zero!!!!, czyli, %e nie mo%na by by!o poruszy& cia!a 1 bez wzgl"du na to jak du%a jest si!a F.
F Fk -Fk
m2 m1
Zasada Newtona nie mówi, %e si!a F jest przenoszona przez klocek 1 na klocek 2; po-
winno si! przyj"# si ! kontaktow" Fk o dowolnej warto$ci. Ogólnie: powinno si" stoso-wa& drug zasad" dynamiki oddzielnie do ka%dego cia a. Dla klocka 1 otrzymujemy wtedy F - Fk = m1a Dla klocka 2 Fk = m2a St d przyspieszenie a = F/(m1 + m2) Zauwa%my, %e ten wynik mo%na otrzyma& gdy traktujemy te dwa klocki jak jedn mas" m = m1 + m2.
5.1.2 Tarcie
Si!y kontaktowe, o których mówili$my s normalne (prostopad!e) do powierzchni. Istnieje jednak sk!adowa si!y kontaktowej le% ca w p!aszczy'nie powierzchni. Je%eli cia!o pchniemy wzd!u% sto!u to po pewnym czasie cia!o to zatrzyma si". Z drugiej zasa-dy dynamiki wiemy, %e je%eli cia!o porusza si" z przyspieszeniem to musi dzia!a& si!a. Tak si!" nazywamy si! tarcia.
5-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Rozwa%my np. klocek, do którego przyk!adamy "ma! " si!" F tak, %e klocek nie po-rusza si". Oznacza to, %e sile F przeciwstawia si" si!a tarcia T. Mamy wi"c: T = -F. Zwi"kszamy stopniowo si!" F a% klocek zaczyna si" porusza&. Im g!adsza powierzchnia tym szybciej to nast pi. Oznacza to, %e si!a tarcia zmienia si" od warto$ci zero do pew-nej warto$ci krytycznej w miar" wzrostu si!y F. Oznaczmy t" krytyczn si!" Ts (s-statyczna). To jest maksymalna si a tarcia statycznego. Ts (dla pary powierzchni suchych) spe!nia dwa prawa empiryczne: ! Jest w przybli%eniu niezale%na od powierzchni zetkni!cia (w szerokim zakresie), ! Jest proporcjonalna do si y normalnej (prostopad!ej) z jak" jedna powierzchnia na-
ciska na drug". Stosunek si!y Ts do nacisku FN nazywamy wspó czynnikiem tarcia statycznego "s
N
ss
F
T#" (5.1)
Uwaga: Mówimy tylko o warto$ciach tych si! bo s one do siebie prostopad!e. Je%eli F jest wi"ksze od Ts to klocek poruszy si", ale b"dzie istnia!a si!a tarcia Tk (k - kinetycz-na) przeciwstawiaj ca si" ruchowi. Si!a Tk spe!nia trzy prawa empiryczne: ! Jest w przybli%eniu niezale%na od powierzchni zetkni!cia (w szerokim zakresie), ! Jest proporcjonalna do si y normalnej (prostopad!ej) z jak" jedna powierzchnia na-
ciska na drug", ! Nie zale%y od pr!dko$ci wzgl!dnej poruszania si! powierzchni. Istnieje odpowiedni wspó czynnik tarcia kinetycznego "k
N
kk
F
T#" (5.2)
Dla wi"kszo$ci materia!ów "k jest nieco mniejszy od "s. Np. "k $ 1 dla opon na jezdni betonowej.
Tarcie jest bardzo z!o%onym zjawiskiem i wyja$nienie go wymaga znajomo$ci od-dzia!ywa( atomów na powierzchni. Nie b"dziemy si" tym zajmowa&. Ograniczmy si" do zauwa%enia, %e tarcie odgrywa bardzo istotn rol" w %yciu codziennym. W samo-chodzie np. na pokonanie si!y tarcia zu%ywa si" oko!o 20% mocy silnika. Tarcie powo-duje zu%ywanie poruszaj cych si" cz"$ci maszyn. Staramy si" je zwalcza&. Z drugiej strony bez tarcia nie mogliby$my chodzi&, je'dzi& samochodami, trzyma& o!ówka, kre-dy, czy te% nimi pisa&.
5.2 Si y bezw adno!ci
We wst"pie wyszczególnione zosta!y cztery rodzaje si! wyst"puj cych w przyrodzie. Wszystkie te si!y nazywamy si ami rzeczywistymi, poniewa% mo%emy je zawsze zwi -za& z jakim$ konkretnym cia!em, mo%emy poda& ich pochodzenie. Czy to samo mo%e-my powiedzie& np. o takich si!ach jakich dzia!ania "doznajemy" np. przy przyspiesza-niu, hamowaniu czy zakr"caniu samochodu?
5-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Przyk ad 2 Dwaj obserwatorzy opisuj ruch kulki w sytuacji pokazanej na rysunku poni%ej. Jeden z obserwatorów znajduje si" w wózku a drugi stoi na Ziemi. Wózek pocz tkowo porusza si" ze sta! pr"dko$ci po linii prostej (rys. 1), nast"pnie hamuje ze sta!ym opó'nieniem a (rys. 2). Mi"dzy kulk a wózkiem nie ma tarcia.
v(1) (2)vk=0, F=0
vk=const, F=0vk=const, F=0
- a a
F1=-ma
Gdy wózek jedzie ze sta! pr"dko$ci to obydwaj obserwatorzy stwierdzaj zgodnie na podstawie pierwszej zasady dynamiki, %e na kulk" nie dzia!a %adna si!a. Zwró&my uwa-g", %e obserwatorzy znajduj si" w inercjalnych uk!adach odniesienia. Sytuacja zmienia si" gdy wózek zaczyna hamowa& (rys. 2). Obserwator zwi zany z Ziemi dalej twierdzi, %e kulka porusza si" ze sta! pr"dko$ci , a tylko pod!oga wózka przesuwa si" pod nim. Natomiast obserwator w wózku stwierdza, %e kulka zaczyna si" porusza& si" z przyspie-szeniem –a w stron" przedniej $ciany wózka. Dochodzi do wniosku, %e na kulk" o ma-sie mk zacz"!a dzia!a& si!a
F1 = - mka ale nie mo%e wskaza& %adnego cia!a, b"d cego 'ród!em tej si!y. Mówili$my ju%, %e dru-ga zasada dynamiki jest s!uszna tylko w inercjalnym uk!adzie odniesienia. Zauwa%my, %e obserwator w wózku znajduje si" teraz w uk!adzie nieinercjalnym. Wida&, %e jest w b!"dzie; nie istnieje rzeczywista si!a F1. Jest to tak zwana pozorna si a bezw adno$ci.
Powstaje wi"c pytanie jak post"powa& gdy musimy rozwi za& problem w uk!adzie nieinercjalnym. W tym celu rozpatrzmy dalszy ruch kulki. Gdy dotrze ona do przedniej $cianki to wówczas wed!ug obserwatora na Ziemi (uk!ad inercjalny) b"dzie porusza& si" z przyspieszeniem a (takim jak wózek) bo dzia!a na ni si!a Fs spr"%ysto$ci przedniej $ciany wózka równa
Fs = mka
Natomiast obserwator w wózku stwierdza, %e kulka przesta!a si" porusza&; spoczywa wzgl"dem niego. Jego zdaniem si!a spr"%ysto$ci $ciany Fs równowa%y si!" F1, tak %e si!a wypadkowa jest równa zeru i kulka nie porusza si"
Fs + F1 = 0 co po podstawieniu za F1 = - mka daje
5-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Fs = mka
Okazuje si", %e wynik otrzymany przez obserwatora w uk!adzie nieinercjalnym jest taki sam jak dla obserwatora zwi zanego z Ziemi ale pod warunkiem uwzgl"dnienia si po-
zornych. Si!y te "znikaj " je$li rozpatrujemy ruch z punktu widzenia uk!adu inercjalne-go. Wprowadzenie ich pozwala po prostu na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu zdarze( w uk!adach poruszaj cych si" z przyspieszeniem. W takim uk!adzie uwzgl"d-niamy, %e na ka%de cia!o dzia!a si!a wprost proporcjonalna do masy tego cia!a, do przy-spieszenia uk!adu a i jest skierowana przeciwnie do a. Przyk ad 3
Winda porusza si" ruchem jednostajnie zmiennym. Czas spadania cia!a puszczonego swobodnie w tej windzie, na drodze od sufitu do pod!ogi, jest o 25% wi"kszy ni% w windzie stoj cej. Obliczy& przyspieszenie windy. Dane jest przyspieszenie ziemskie g. Rozwi zujemy zadanie w uk!adzie inercjalnym i nieinercjalnym tzn. obserwator w jed-nym przypadku znajduje si" na zewn trz windy, a w drugim jest pasa%erem tej windy.
H
h
W przypadku pierwszym obserwator "widzi" (mierzy), %e cia!o przebywa d!u%sz drog"
gdy winda jest w ruchu. Dla windy stoj cej
2
21gt
H #
Dla windy w ruchu
2
22gt
hH #%
oraz
2
22at
h #
przy czym
12 t45
t #
Rozwi zanie tego uk!adu równa( daje wynik ga25
9#
5-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Drugi obserwator za ka%dym razem widzi, %e cia!o przebywa t" sam drog" H od sufitu do pod!ogi ale w ró%nych czasach. Wniosek: w obu przypadkach jest ró%ne przyspie-szenie. Obserwator wprowadza do oblicze( dodatkow si!" nadaj c przyspieszenie –a. Odpowiednie równania wygl daj teraz: Dla windy stoj cej
2
21gt
H #
Dla windy w ruchu
2
)( 22tag
H&
#
Uwzgl"dniaj c, %e
12 4
5tt #
otrzymujemy ga25
9# .
Tak wi"c uwzgl!dnienie si bezw adno$ci jest konieczne je%eli chcemy stosowa# zasady
dynamiki w uk adach nieinercjalnych. W takim uk!adzie uwzgl"dniamy, %e na ka%de cia!o dzia!a si!a wprost proporcjonalna do masy tego cia!a, do przyspieszenia uk!adu a i jest skierowana przeciwnie do a.
Inny przyk!ad stanowi uk!ady nieinercjalne poruszaj ce si" ruchem obrotowym. Np. obserwator w satelicie kr % cym wokó! Ziemi obserwuj c cia!o spoczywaj ce w tym satelicie stwierdza, %e si!a wypadkowa dzia!aj ca na ten obiekt jest równa zeru. Musi wi"c istnie&, wed!ug niego, si!a która równowa%y si!" grawitacji (do$rodkow ). Si!" t" nazywamy si " od$rodkow" i jest to si a pozorna.
Na zako(czenie rozpatrzmy ruch post"powy cia!a w obracaj cym si" uk!adzie od-niesienia. Przyk!adem mo%e by& cz!owiek poruszaj cy si" po linii prostej (radialnie) od $rodka do brzegu karuzeli obracaj cej si" z pr"dko$ci k tow '. Na rysunku poni%ej pokazana jest zmiana pr"dko$ci cz!owieka.
()!
vr
vr vs
vs
r
r+(r!A
A'
'!
vr
vr
(vr
()
Linia (promie() wzd!u% której porusza si" cz!owiek zmienia swój kierunek (karuzela obraca si") o k t ()!w czasie (t, cz!owiek zmienia swoje po!o%enie z punktu A do A'. Obliczymy teraz zmian" jego pr"dko$ci radialnej vr i stycznej vs. Pr"dko$& radialna zmienia swój kierunek.
5-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Pr"dko$& styczna natomiast zmienia zarówno kierunek (przyspieszenie do$rodkowe) ale równie% warto$& bo cz!owiek oddala si" od $rodka (ro$nie r). Najpierw rozpatrzmy ró%nic" pr"dko$ci vr w punktach A i A' pokazan na powy%szym rysunku po prawej stronie. Dla ma!ego k ta () (tzn. ma!ego (t) mo%emy napisa&
(vr = vr ()!
Je%eli obustronnie podzielimy równanie przez (t to w granicy (t 0 otrzymamy
')
rrr
tta v
dv
v###
d
d
d1 !
Zmienia si" równie% pr"dko$& styczna bo cz!owiek porusza si" wzd!u% promienia. W punkcie A pr"dko$& styczna vs = 'r, a w punkcie A' vs' = '(r+(r). Zmiana pr"dko$ci stycznej wynosi wi"c
(vs = '(r+(r) - 'r = '(r!
!
Je%eli obustronnie podzielimy równanie przez (t to w granicy (t 0 otrzymamy
rs
t
r
ta v
v'' ###
d
d
d
d2
Przyspieszenia a1 i a2 maj ten sam kierunek (równoleg!y do vs) wi"c przyspieszenie ca!kowite wynosi a = a1 + a2 = 2'vr (5.3) Przyspieszenie to jest nazywane przyspieszeniem Coriolisa. Pochodzi ono st d, %e na-wet przy sta!ej pr"dko$ci k towej ' ro$nie pr"dko$& liniowa cz!owieka bo ro$nie r. Gdyby cz!owiek sta! na karuzeli to obserwator stoj"cy na ziemi mierzy!by tylko przy-spieszenie do$rodkowe ('2
r) skierowane do $rodka wzd!u% promienia. Natomiast gdy cz!owiek idzie na zewn trz to obserwator rejestruje tak%e przyspieszenie Coriolisa (o kierunku równoleg!ym do vs). Oczywi$cie musi istnie& si!a dzia!aj ca w tym kierunku. Jest ni w tym przypadku si!a tarcia mi"dzy pod!og i butami id cego cz!owieka. Jednak obserwator zwi zany z karuzel nie widzi ani przyspieszenia do$rodkowego ani
ruszaj ce si" ruchem post"powym z pr"dko$ci v w ob-
Fc = 2mv*'!! (5.4)
przyspieszenia Coriolisa, cz!owiek poruszaj cy si" wzd!u% promienia jest w stanie rów-nowagi w uk!adzie karuzeli. A przecie% istnieje realnie odczuwalna (rzeczywista) si!a tarcia. )eby wyeliminowa& t" rozbie%no$& obserwator stoj cy na karuzeli wprowadza dwie si!y pozorne równowa% ce si!" tarcia. Jedna to si a od$rodkowa, a druga to si a
Coriolisa. Si!a od$rodkowa dzia!a radialnie na zewn trz, a si!a Coriolisa stycznie ale przeciwnie do vs. Ogólnie, na cia!o o masie m poracaj cym si" uk!adzie odniesienia dzia!a si!a bezw!adno$ci zwana si! Coriolisa Fc
5-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wprowadzenie si! pozornych (nie umiemy pokaza& ich 'ród!a) jest konieczne aby móc
iruje. W wyniku tego ob-rotu
stosowa& mechanik" klasyczn w uk!adach nieinercjalnych. Ziemia nie jest idealnym uk!adem inercjalnym poniewa% w w zjawiskach zachodz cych na Ziemi obserwujemy si!" Coriolisa. Przyk!adowo,
rzeki p!yn ce na pó!kuli pó!nocnej podmywaj silniej prawy brzeg. Równie% cia!a spa-daj ce swobodnie odchylaj si" od pionu pod dzia!aniem tej si!y. W wi"kszo$ci rozpa-trywanych przez nas zjawisk mo%na jednak zaniedba& wp!yw ruchu Ziemi na ich prze-bieg.
5-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 6
6. Ci!"enie powszechne (grawitacja)
6.1 Prawo powszechnego ci !enia
Newton - 1665 spadanie cia!. Skoro istnieje si!a przyci gania pomi"dzy dowolnym
cia!em i Ziemi , to musi istnie# si!a mi"dzy ka$dymi dwoma masami m1 i m2. Skoro si!a
jest proporcjonalna do masy cia!a to musi by# proporcjonalna do ka$dej z mas m1 i m2
oddzielnie czyli:
F m1m2
Newton zastanawia! si" równie$, czy si!a dzia!aj ca na cia!a b"dzie mala!a wraz ze
wzrostem odleg!o%ci. Doszed! do wniosku, $e gdyby cia!o znalaz!o si" w odleg!o%ci ta-
kiej jak Ksi"$yc to b"dzie ono mia!o takie samo przyspieszenie jak Ksi"$yc bowiem
natura si!y grawitacyjnej pomi"dzy Ziemi i Ksi"$ycem jest taka sama jak pomi"dzy
Ziemi i ka$dym cia!em.
Przyk ad 1
Obliczmy jakie jest przyspieszenie Ksi"$yca i jaki jest stosunek przyspieszenia
Ksi"$yca do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi?
Zastosujemy równanie na przyspieszenie do%rodkowe (wyk!ad 3 - ruch jednostajny po
okr"gu). Wówczas:
2
22
2 4
T
RR
Ra K
K
K
!" ###
v
gdzie RK jest odleg!o%ci od Ziemi do Ksi"$yca. Ta odleg!o%# wynosi 3.86·105 km,
a okres obiegu Ksi"$yca T = 27.3 dnia. Otrzymujemy wi"c
a = 2.73·10-3
m/s2
W pobli$u powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s2. St d stosunek przyspie-
sze& wynosi:
a/g = 1/3590 $ (1/60)2
W granicach b!"du a/g = . 22 / KZ RR
Newton wykona! takie obliczenia i wyci gn ! wniosek, $e si!a przyci gania mi"dzy
dwoma masami maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odleg!o%ci mi"dzy nimi
(odleg!o%# mi"dzy %rodkami mas). Sformu!owa! wi"c prawo powszechnego ci $enia
2
21~r
mmF
Sta! proporcjonalno%ci oznacza si" G, wi"c
6-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2
21
r
mmGF # (6.1)
Newton oszacowa! warto%# sta!ej G zak!adaj c %redni g"sto%# Ziemi % = 5·103 kg/m
3
(porówna# to z g"sto%ci pierwiastków z uk!adu okresowego np. %Si = 2.8·103 kg/m
3,
%Fe = 7.9·103 kg/m
3).
Punktem wyj%cia jest równanie:
2
21
r
mmGF #
Je$eli we'miemy r = RZ to otrzymamy:
2
21
ZR
mmGF #
Zgodnie z II zasad Newtona F = ma, gdzie a = g.
St d
mgR
mmG
Z
#2
21
wi"c
Z
Z
M
gRG
2
#
Wiemy, $e MZ = %VZ wi"c
ZZ
Z
R
g
R
gRG
!%!% 4
3
3
4 3
2
##
Uwzgl"dniaj c RZ = 6.37·106 m otrzymamy G = 7.35·10
-11 Nm
2/kg
2 co jest warto%ci
tylko o 10% wi"ksz ni$ ogólnie przyj"ta warto%# 6.67·10-11
Nm2/kg
2.
Porównuj c przyspieszenie grawitacyjne na orbicie Ksi"$yca i na powierzchni Ziemi,
Newton zak!ada!, $e Ziemia zachowuje si" tak jakby jej ca!a masa by!a skupiona w
%rodku. Zgadywa!, $e tak ma by# ale dowód matematyczny przeprowadzi! dopiero 20
lat pó'niej (wtedy te$ sformu!owa! rachunek ca!kowy).
Równanie (6.1) nazywa si! prawem powszechnego ci"#enia, poniewa# dok adnie to sa-
mo prawo stosuje si! do wszystkich si grawitacyjnych. To samo prawo wyja%nia spada-
nie cia! na Ziemi", t!umaczy ruch planet, pozwala obliczy# ich masy i okresy obiegu.
Przyk ad 2
Jaki by! okres obiegu Ksi"$yca przez modu! statku Apollo?
F = ma
6-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2R
mMGF K#
gdzie MK jest mas Ksi"$yca, a R promieniem orbity po jakiej kr $y modu! o masie m.
Poniewa$ przyspieszenie
2
24
T
Ra
!#
wi"c
&&'
())*
+#
2
2
2
4
T
Rm
R
mMG K !
KGM
RT
322 4!#
KGM
RT
3
2!#
Podstawiaj c warto%ci liczbowe: promie& Ksi"$yca R = 1740 km, mas" MK = 7.35·1022
kg i G = 6.67·10-11
Nm2/kg
2, otrzymamy T = 6.5·10
3 s czyli 108 minut.
6.2 Do"wiadczenie Cavendisha
Newton obliczy! warto%# sta!ej G na podstawie przyj"tego za!o$enia o %redniej war-
to%ci g"sto%ci Ziemi. Gdyby Ziemia mia!a tak jak gwiazdy j dro o super wielkiej g"sto-
%ci to wynik uzyskany przez Newtona by!by obarczony du$ym b!"dem. Czy mo$na wy-
znaczy# sta! G w laboratorium niezale$nie od masy Ziemi i tym samym unikn # b!"du
zwi zanego z szacowaniem g"sto%ci Ziemi?
W tym celu trzeba zmierzy# si!" oddzia!ywania dwóch mas m1 i m2 umieszczonych
w odleg!o%ci x (rysunek).
x
m1 m2
F F
Wówczas si!a
F = Gm1m2/x2
czyli
21
2
mm
FxG #
6-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Zauwa$my, $e dla mas ka$da po 1 kg oddalonych od siebie o 10 cm si!a F ma warto%#
F = 6.67·10-9
N tj. 109 razy mniej ni$ ci"$ar 1 kg i jest za ma!a by j wykry# (dok!adnie)
zwyk!ymi metodami.
Problem ten rozwi za! Henry Cavendish w 1797 r. Wykorzysta! on fakt, $e si!a po-
trzebna do skr"cenia d!ugiego, cienkiego w!ókna kwarcowego o kilka stopni jest bardzo
ma!a. Cavendish najpierw wykalibrowa! w!ókna, a nast"pnie zawiesi! na nich pr"t z
dwiema ma!ymi kulkami o!owianymi na ko&cach (rysunek a). Nast"pnie w pobli$u ka$-
dej z kulek umie%ci! wi"ksz kul" o!owian i zmierzy! precyzyjnie k t o jaki obróci! si"
pr"t (rysunek b). Pomiar wykonane metod Cavendisha daj warto%# G = 6.67·10-11
Nm2/kg
2.
m
m
M
M
,
a) b)
6.2.1 Wa"enie Ziemi
Maj c ju$ godn zaufania warto%# G, Cavendish wyznaczy! MZ z równania:
G
gRM Z
Z
2
#
Wynik pomiaru jest równie dok!adny jak wyznaczenia sta!ej G. Cavendish wyznaczy! te$ mas" S!o&ca, Jowisza i innych planet, których satelity zosta!y zaobserwowane. Np.
na rysunku poni$ej niech M b"dzie mas S!o&ca, a m mas planety kr $ cej wokó! S!o&ca np. Ziemi.
6-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
R M
m
Wtedy
F = GMm/R2
Poniewa$ przyspieszenie
a = 4!2R/T
to z równania F = ma otrzymujemy
&&'
())*
+#
2
2
2
4
T
Rm
R
MmG
!
czyli
2
324
GT
RM
!#
Je$eli R jest odleg!o%ci Ziemia - S!o&ce, T = 1 rok, to M jest mas S!o&ca. Podobne
obliczenia mo$na przeprowadzi# dla innych planet.
6.3 Prawa Keplera ruchu planet
Zanim Newton zapostulowa! prawo powszechnego ci $enia, Johannes Kepler
stwierdzi!, $e ruch planet stosuje si" do trzech prostych praw. Prawa Keplera wzmocni-
!y hipotez" Kopernika. Praca Keplera (1609 - 1619) by!a wielkim odkryciem i aktem
odwagi zw!aszcza po tym jak w 1600 roku spalono na stosie Giordana Bruno zwolenni-
ka systemu heliocentrycznego. Przypomnijmy, $e nawet Galileusz zosta! zmuszony do
publicznego odwo!ania swoich pogl dów (1633 r) mimo, $e papie$ by! jego przyjacie-
lem.
Dogmatem wtedy by! pogl d, $e planety poruszaj si" wokó! Ziemi po skomplikowa-
nych torach, które s z!o$eniem pewnej liczby okr"gów. Np. do opisania orbity Marsa
trzeba by!o oko!o 12 okr"gów ró$nej wielko%ci.
Kepler poszukiwa! nieskomplikowanej geometrycznie orbity, $eby udowodni# $e Mars
i Ziemia musz obraca# si" wokó! S!o&ca. Po latach pracy odkry! trzy proste prawa,
które zgadza!y si" z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo du$ dok!adno-
%ci . Te prawa stosuj si" te$ do satelitów okr $aj cych jak % planet".
6-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
-. Pierwsze prawo Keplera
Ka#da planeta kr"#y po orbicie eliptycznej, ze S o$cem w jednym z ognisk tej elipsy.
-. Drugie prawo Keplera (prawo równych pól)
Linia "cz"ca S o$ce i planet! zakre%la równe pola w równych odst!pach czasu.
-. Trzecie prawo Keplera
Sze%ciany pó osi wielkich orbit dowolnych dwóch planet maj" si! do siebie jak kwadra-
ty ich okresów obiegu. (Pó!o% wielka jest po!ow najd!u$szej ci"ciwy elipsy).
Dla orbit ko!owych 2
2
2
1
3
2
3
1
T
T
R
R#
Newton rozwijaj c swoj teori" potrafi! dowie%#, $e tylko wtedy, gdy si!a jest odwrotnie
proporcjonalna do kwadratu odleg!o%ci, orbita dowolnej planety jest elips ze S!o&cem
w jednym z ognisk oraz, $e 2
2
2
1
3
2
3
1
T
T
R
R# . Newton wyprowadzi! prawa Keplera z zasad dy-
namiki. Przyk!adowo wyprowad'my III prawo Keplera dla planet poruszaj cych si" po
orbitach ko!owych.
Korzystaj c z otrzymanego uprzednio wzoru na mas" S!o&ca otrzymamy dla pierwszej
planety:
2
1
3
1
24
GT
RM
!#
a dla drugiej
2
2
3
2
24
GT
RM
!#
Porównuj c otrzymamy
2
2
2
1
3
2
3
1
2
2
3
2
2
1
3
1 czyliT
T
R
R
T
R
T
R##
Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania p"du (dowód mo$na pomin #).
6.4 Ci#!ar
Ci!#ar zazwyczaj definiujemy jako si ! ci"#enia dzia aj"c" na cia o. W pobli$u po-
wierzchni Ziemi dla cia!a o masie m b"dzie ona równa mg. Na Ksi"$ycu ci"$ar jest
mniejszy w porównaniu z ci"$arem na Ziemi oko!o sze%# razy.
165.02
2
2
2
###KZ
ZK
Z
Z
K
K
Z
K
RM
RM
R
mMG
R
mMG
F
F
Definicja ci"$aru mo$e by# myl ca. Np. astronauta pomimo, $e dzia!a na niego jeszcze
si!a ci $enia uwa$a, $e jest w stanie niewa$ko%ci. Fizjologiczne odczucie ci"$aru czyli
ile si!y trzeba w!o$y# np. do podniesienia r"ki.
6-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
6.4.1 Ci#"ar pozorny, masa bezw adna i masa grawitacyjna
Wa$n konsekwencj tego, $e si!a grawitacyjna dzia!aj ca na cia!o jest proporcjo-
nalna do jego masy, jest mo$liwo%# pomiaru masy za pomoc mierzenia si!y grawita-
cyjnej. Mo$na to zrobi# u$ywaj c wagi spr"$ynowej albo porównuj c si!y grawitacyjne
dzia!aj ce na mas" znan (wzorzec) i na mas" nieznan innymi s!owy wa$ c cia!o na
wadze. Powstaje pytanie czy w obu metodach mierzymy t" sam w!a%ciwo%#. Np. gdy
spróbujemy pchn # klocek po idealnie g!adkiej poziomej powierzchni to wymaga to
pewnego wysi!ku, a przecie$ ci $enie nie pojawia si" tu w ogóle. Konieczno%# przy!o-
$enia si!y jest zwi zana z mas . Ta masa wyst"puje we wzorze F = ma. Nazywamy j
mas" bezw adn" m. W innej sytuacji utrzymujemy ten klocek uniesiony w gór" w stanie
spoczynku. Bezw!adno%# nie odgrywa tu $adnej roli bo cia!o nie przyspiesza, jest w
spoczynku. Ale musimy u$ywa# si!y o warto%ci równej przyci ganiu grawitacyjnemu
mi"dzy cia!em i Ziemi , $eby cia!o nie spad!o. Odgrywa tu rol" ta w!a%ciwo%# cia!a,
która powoduje jego przyci ganie przez inne obiekty takie jak Ziemia i si!a jest tu dana
wzorem
2
'
Z
Z
R
MmGF #
gdzie m' jest mas" grawitacyjn". Czy m i m' cia!a s sobie równe?
Masa bezw!adna m spadaj c swobodnie w pobli$u powierzchni Ziemi ma przyspiesze-
nie a1, przy czym 1
2
111
'
Z
Z
R
MmGam #
je$eli inna masa m2 uzyskuje inne przyspieszenie a2 to
2
222
'
Z
Z
R
MmGam #
Dziel c te równania przez siebie otrzymamy
'
'
2
1
22
11
m
m
am
am#
Widzimy, $e je$eli wszystkie cia!a spadaj z tym samym przyspieszeniem a1 = a2 = g to
stosunek mas bezw!adnych jest równy stosunkowi mas grawitacyjnych. Je$eli dla jednej
substancji ustalimy, $e masa bezw!adna jest równa masie grawitacyjnej to prawdziwe to
b"dzie dla wszystkich substancji. Aktualnie jeste%my w stanie stwierdzi#, $e a1 = a2 z
dok!adno%ci 10-10
. Te wyniki sugeruj , $e masa bezw!adna jest równa masie grawita-
cyjnej. To stwierdzenie nazywa si" zasad" równowa#no%ci.
Konsekwencj jest to, $e nie mo$na rozró$ni# mi"dzy przyspieszeniem uk!adu (labora-
torium), a przyspieszeniem grawitacyjnym. Ta zasada jest punktem wyj%cia ogólnej teo-
rii wzgl"dno%ci Einsteina.
6-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
6.5 Pole grawitacyjne
Na przyk!adzie si! grawitacyjnych omówimy wa$ne w fizyce poj"cie pola. Nasze
rozwa$ania rozpoczynamy od umieszczenia masy M w pocz tku uk!adu. W punkcie
przestrzeni opisanym wektorem r znajduje si" natomiast masa m. Wektor r opisuje po-
!o$enie masy m wzgl"dem masy M wi"c si!" oddzia!ywania grawitacyjnego mi"dzy ty-
mi masami (równanie 6.1) mo$emy zapisa# w postaci wektorowej
rr
F32 r
MmG
rr
MmG /#/# (6.2)
Zwró#my uwag", $e si!" t" mo$emy potraktowa# jako iloczyn masy m i wektora 0(r)
przy czym
rF
r3
)(r
MG
m/##0 (6.3)
Je$eli w punkcie r umie%ciliby%my inn mas" np. m' to ponownie mogliby%my zapisa#
si!" jako iloczyn masy m' i tego samego wektora 0(r)
)('' r0mF #
Widzimy, $e wektor 0(r) nie zale$y od obiektu na który dzia!a si!a (masy m) ale zale$y
od 'ród!a si!y (masa M) i charakteryzuje przestrze& otaczaj c 'ród!o (wektor r). Ozna-
cza to, $e masa M stwarza w punkcie r takie warunki, $e umieszczona w nim masa m
odczuje dzia!anie si!y. Inaczej mówi c masie M przypisujemy obszar wp ywu (dzia a-
nia), czyli pole.
Zwró#my uwag", $e rozdzielili%my si!" na dwie cz"%ci. Stwierdzamy, $e jedna masa
wytwarza pole, a nast"pnie to pole dzia a na drug" mas!. Taki opis pozwala uniezale$-
ni# si" od obiektu (masy m) wprowadzanego do pola.
Z poj"cia pola korzysta si" nie tylko w zwi zku z grawitacj . Jest ono bardzo u$y-
teczne równie$ przy opisie zjawisk elektrycznych i magnetycznych. (ród!ami i obiek-
tami dzia!ania pola elektrycznego s !adunki w spoczynku, a pola magnetycznego !a-
dunki w ruchu. W!a%ciwo%ci pól wytwarzanych przez !adunki elektryczne omówimy w
dalszych rozdzia!ach.
Chocia$ pole jest poj"ciem abstrakcyjnym jest bardzo u$yteczne i znacznie uprasz-
cza opis wielu zjawisk. Na przyk!ad gdy mamy do czynienia z wieloma masami, mo-
$emy najpierw obliczy# w punkcie r pole pochodz ce od tych mas, a dopiero potem si!"
dzia!aj c na mas" umieszczon w tym punkcie.
Z polem si! wi $e si" nie tylko przestrzenny rozk!ad wektora nat"$enia pola, ale
równie$ przestrzenny rozk!ad energii. W!a%nie zagadnieniom dotycz cym pracy
i energii s po%wiecone nast"pne rozdzia!y.
6.5.1 Pole grawitacyjne wewn!trz kuli
Rozpatrzmy teraz pole czaszy kulistej o masie m i promieniu R. Dla r > R pole jest
równe Gm/r2 tj. tak jakby ca!a masa by!a skupiona w %rodku kuli (przyk!ad z satelit ).
Jakie jest jednak pole wewn trz czaszy?
6-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Rozwa$my przyczynki od dwóch le$ cych naprzeciwko siebie powierzchni A1 i A2
w punkcie P wewn trz czaszy (rysunek poni$ej). Fragment A1 czaszy jest 'ród!em si!y
F1 ~ A1/(r1)2 ci gn cej w lewo. Powierzchnia A2 jest 'ród!em si!y ci gn cej w prawo F2
~ A2/(r2)2 .
A1 A2
Pr1 r2
Mamy wi"c
2
1
2
2
2
1
2
1
r
r
A
A
F
F#
Z rozwa$a& geometrycznych wida#, $e
2
2
2
1
2
1
r
r
A
A#
(pola powierzchni sto$ków ~ do kwadratu wymiarów liniowych)
Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy
12
1 #F
F
Tak wi"c wk!ady wnoszone przez A1 i A2 znosz si". Mo$na w ten sposób podzieli# ca!
czasz" i uzyska# si!" wypadkow równ zero. Tak wi"c wewn trz czaszy pole grawita-
cyjne jest równe zeru. Pole wewn trz czaszy maj cej skorup" dowolnej grubo%ci te$ jest
zero bo mo$emy podzieli# t" skorup" na szereg cienkich warstw koncentrycznych.
Na rysunku poni$ej przedstawiono pe!n kul" o promieniu R i masie M.
P
R
r
W punkcie P pole pochodz ce od zewn"trznej warstwy jest zerem. Pole pochodzi wi"c
tylko od kuli o promieniu r czyli
a = Gm/r2 lub a = G%V/r
2
6-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dla kuli V = 4!r3/3. G"sto%#
3
3
4R
M
!% # wi"c pole w punkcie P wynosi r
R
MGa
3#
Widzimy, $e pole zmienia si" liniowo z r.
a
g
r RZ
~r ~1/r2
6-10
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 7
7. Praca i energia
7.1 Wst p
Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest okre"lenie ruchu punktu, je#eli znana jest si!a dzia!aj ca na ten punkt. W pierwszym kroku wyznaczamy przyspieszenie
a = F/m Gdy m i F sta!e to a te# jest sta!e i wtedy mo#emy prosto obliczy$ pr%dko"$
v = v0 + at
i po!o#enie x = v0t + at
2/2 Zagadnienie jest bardziej z!o#one gdy F nie jest sta!a. Trzeba pos!ugiwa$ si% bardziej skomplikowan matematyk (ca!kowanie). Mamy cz%sto do czynienia z takimi si!ami np. si!a grawitacji mi%dzy dwoma cia!ami zale#y od ich odleg!o"ci, si!a wywierana przez rozci gni%t spr%#yn% zale#y od stopnia rozci gni%cia. Post%powanie pozwalaj ce okre"li$ ruch punktu prowadzi nas do poj%cia pracy, energii i twierdzenia o pracy i energii. Zagadnienia zwi zane z energi s tak istotne (szeroko rozumiana ekonomia, ekologia, zasoby energii itd.), #e ich znajomo"$ jest konieczna dla wszelkich rozwa#a& zarówno ekonomicznych, technologicznych jak i spo!ecznych. Pro-blemy energii (jej ró#ne formy ich konwersja itd.) b%d odt d przewija$ si% stale przez wyk!ady. Z energi zwi zana jest najwa#niejsza chyba zasada ca!ej fizyki - zasada za-
chowania energii. Nak!ada ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzy-stanie. B%dzie ona centralnym tematem wi%kszo"ci dzia!ów fizyki omawianych na wyk!adach. W mechanice zasada zachowania energii pozwala oblicza$ w bardzo prosty sposób ruch cia! bez konieczno"ci korzystania z zasad dynamiki Newtona.
7.2 Praca wykonana przez sta!" si!
W najprostszym przypadku, si!a F jest sta!a, a punkt porusza si% w kierunku dzia!a-nia si!y. Wtedy W = F·s = Fs cos (7.1) (Iloczyn dwóch wektorów daje liczb%). Zastanówmy si% czy k t mo#e by$ ró#ny od zera? Odpowied' jest twierdz ca, bo sta-!a si!a nie musi mie$ kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu materialnego. Oczywi"cie musz dzia!a$ jeszcze inne si!y (np. ci%#ar, tarcie). Gdyby dzia!a!a tylko jedna to i tak cia!o nie musia!oby porusza$ si% w kierunku jej dzia!ania np. rzut uko"ny (tylko grawitacja). Wzór Fs cos okre"la jedynie prac% wykonan przy przemieszczaniu punktu przez jed-n si!%. Prac% wykonan przez inne nale#y obliczy$ oddzielnie i potem je zsumowa$.
7-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Zwró$my uwag%, #e gdy = 0 otrzymujemy pierwszy wzór Fs. Gdy = 90! to z rów-nania wynika, #e W = 0. Przyk ady
(a) i (b) W = 0 bo = 90!, (c) i (d) bo przesuni%cie s = 0. Jednostk pracy jest w uk!adzie SI d!ul (J), 1J = 1N·1m.
Q
R
F
v=const
Q
N
Q
R1 R2
a) b) c) d)
Cz%sto u#ywa si% jednostki elektronowolt 1eV = 1.6·10-19 J. Przyk ad 2
Sanki o masie 5 kg s ci gni%te ze sta " pr#dko$ci" po poziomej powierzchni (rysunek). Jaka praca zostanie wykonana na drodze s = 9 m, je"li wspó!czynnik tarcia kinetyczne-go wynosi 0.2, a sznurek, za który ci gniemy tworzy k t 45! z poziomem?
mg
F
T
R
Prac% obliczamy z zale#no"ci:
W = Fs cos Aby obliczy$ prac% musimy znale'$ F. Z warunku sta!ej pr%dko"ci (w kierunku pozio-mym)
Fcos - T = 0 a dla kierunku pionowego
Fsin +R - mg = 0 Nacisk na pod!o#e (równy reakcji pod!o#a) wynosi mg - Fsin , wi%c si!a tarcia wynosi
7-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
T = " (mg - Fsin )
Te równania pozwalaj wyliczy$ F (eliminuj c T).
F = "mg/(cos +"sin ) wi%c praca
W = Fs cos = "mgs cos /(cos +"sin )
7.3 Praca wykonana przez si! zmienn"
Rozwa#my teraz si!% b%d c funkcj po!o#enia F(x), której kierunek jest zgodny z osi x. Szukamy pracy jak wykona ta si!a przy przesuwaniu cia!a od po!o#enia x1 do po!o#enia x2. Jak skorzysta$ ze wzoru W = Fs cos czyli co podstawi$ za F, skoro war-to"$ jej zmienia si% (rysunki poni#ej)?
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
20
25
30
35
40
45
50
F (
x)
X
Zaczynamy od przybli#enia. Dzielimy ca!kowite przemieszczenie na n jednakowych odcinków #x (rysunek poni#ej). Wewn trz takiego przedzia!u przyjmujemy (to jest to przybli#enie), #e si!a jest sta!a (prawie) i mo#emy teraz policzy$ prac% na tym odcinku #x: #Wi = Fi#x, gdzie Fi jest warto"ci si!y na tym odcinku. Zwró$my uwag%, #e od strony czysto formalnej (geometria) liczenie pracy jest równowa#ne liczeniu sumy po-wierzchni prostok tów o szeroko"ci #x i wysoko"ci Fi. Nast%pnie mo#emy zsumowa$ prace na kolejnych odcinkach (zsumowa$ pola prostok tów) i otrzyma$ prac% ca!kowi-t .
$%
#%n
i
i xFW1
(eby poprawi$ to przybli#enie dzielimy przedzia! (x1, x2) na wi%cej (mniejszych) odcin-ków #x (patrz kolejny rysunek).
7-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
20
30
40
50
F (
x)
X
I teraz znowu powtarzamy procedur% sumowania. Przybli#enie jest lepsze bo si!a ma prawie sta! warto"$ wewn trz "ma!ych" przedzia!ów #x (pola powierzchni prostok -tów bardziej pokrywaj si% z polem pod krzyw ).
Wida$, #e rozwi zaniem problemu jest przej"cie (w granicy) #x & 0.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
F (
x)
X
Stosujemy t% sam procedur% obliczaj c
$ '%#%&#
2
1
2
1
dlim0
x
x
x
xx
xFxFW (7.2)
To jest definicja ca!ki. Liczbowo odpowiada to liczeniu pola powierzchni pod krzyw (w zadanym przedziale - granicach). Odpowiada to te# z definicji liczeniu warto"ci "redniej co zgadza si% z intuicyjnym podej"ciem: W = F$rednia(x2 – x1)
Trzeba wi%c albo umie$ rozwi za$ ca!k% (albo poszuka$ w tablicach) lub umie$ obli-
czy$ pole powierzchni pod krzyw co mo#e by$ czasem !atwe.
Np. rozwa#my spr%#yn% zamocowan jednym ko&cem do "ciany i rozci gan si! F tak,
#e jej koniec przemieszcza si% o x.
7-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
F
Si!a wywierana przez spr%#yn% jest si! przywracaj c równowag% i wynosi F = -k x.
Aby rozci gn $ spr%#yn% musimy przy!o#y$ si!% równ co do warto"ci lecz przeciwnie
skierowan . Tak wi%c F = k x.
Teraz obliczmy prac%
' ' %%%%x x x
kxkxxkxxFW
0 0
2
0
2
22d)(d
Mo#emy te# wprost obliczy$ pole pod wykresem F(x). F(x)
x
F=kx
kx
x
Pole powierzchni jest polem trójk ta i wynosi
P = (1/2) x·kx = (1/2) kx2
i zgadza si% z wynikiem uzyskanym z obliczenia ca!ki.
To by! przypadek jednowymiarowy. Przypadek 2 i 3-wymiarowy s w zasadzie swej
rozpatrywane podobnie ale matematycznie trudniejsze.
7.4 Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii
W przyk!adzie z sankami mieli"my do czynienia z ruchem bez przyspieszenia.
Oznacza!o to, #e wypadkowa si!a dzia!aj ca na cia!o wynosi zero. Teraz rozwa#my
przypadek gdy cia!o porusza si% pod wp!ywem niezrównowa#onej si!y. Najprostszy
przypadek to sta!a si!a czyli ruch ze sta!ym przyspieszeniem. Jak prac% wykonuje ta
si!a przy przemieszczeniu cia!a na odleg!o"$ x?
Zak!adamy, #e kierunek si!y F i przyspieszenia a pokrywa si% z kierunkiem osi x. Dla
sta!ego przyspieszenia mamy
7-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2
2
0
attx (% v
oraz
taat 0
0
vvvv
)%*(%
co w po! czeniu daje
tx2
0vv (%
Wykonana praca jest równa
222
2
02
00 vvvvvv mmt
tmxmaFxW )%+
,
-./
0 (+,
-./
0 )%%% (7.3)
Po!ow% iloczynu masy cia!a i kwadratu pr%dko"ci nazywamy energi" kinetyczn".
Praca wykonana przez wypadkow" si # F dzia aj"c" na punkt materialny jest równa
zmianie energii kinetycznej tego punktu.
W = Ek – Ek0 (7.4)
To jest twierdzenie o pracy i energii.
Gdy nie ma zmiany warto"ci pr%dko"ci to nie ma zmiany energii kinetycznej tzn. nie
jest wykonywana praca (np. si!a do"rodkowa). Z twierdzenia powy#szego wynika, #e
jednostki pracy i energii s takie same.
7.5 Moc
Rozwa#my czas w jakim wykonywana jest praca. Cz%sto interesuje nas szybko$%
wykonania pracy a nie jej warto"$. To jest w!a"nie moc.
Moc "rednia: P$rednia = W/t
Moc chwilowa: P = dW/dt
Oczywi"cie gdy moc jest sta!a w czasie to P$rednia = P.
Jednostk mocy jest wat. 1W = 1J/1s.
Dla celów praktycznych u#ywa si% kW (kilowatów) lub KM (koni mechanicznych przy
czym 1 KM 1 (3/4) kW.
7-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 8
8. Zasada zachowania energii
8.1 Wst p
Korzystaj c z drugiej zasady dynamiki Newtona pokazali"my, #e
W = Ek
Cz$sto na punkt materialny dzia!a kilka si!, których suma wektorowa jest si! wypad-
kow : F = F1 + F2 + F3 +.......+ Fn. Wtedy praca jest sum algebraiczn prac wykona-
nych przez poszczególne si!y: W = W1 + W2 + W3 +...........+ Wn.
Twierdzenie o pracy i energii ma wtedy posta%
W1 + W2 + W3 +...........+ Wn = Ek
B$dziemy w!a"nie rozpatrywa% uk!ady, w których dzia!aj ró#ne si!y, pozwoli to na de-
finiowanie ró#nych rodzajów energii.
8.2 Si!y zachowawcze i niezachowawcze
Zaczynamy od rozwa#my przyk!adów dwóch rodzajów si!: si zachowawczych i si nie-
zachowawczych.
V
Najpierw rozpatrzmy spr$#yn$ jak w przyk!adzie z poprzedniego wyk!adu.
Przesuwamy cia!o o masie m z pr$dko"ci v w kierunku spr$#yny, tak jak na rysunku.
Za!o#enia:
!" ruch na p!aszczy&nie odbywa si$ bez tarcia,
!" spr$#yna jest idealna tzn. spe!nia ona prawo Hooke'a: F = -kx, gdzie F jest si! wy-
wieran przez spr$#yn$ kiedy jej swobodny koniec jest przemieszczony na odleg!o"% x,
!" masa spr$#yny jest zaniedbywalnie ma!a w porównaniu z mas cia!a, wi$c ca!a ener-
a maleje
a#
gia kinetyczna w uk!adzie spr$#yna + cia!o jest zgromadzona w tym ciele.
Przy "ciskaniu spr$#yny, pr$dko"% cia!a, a wobec tego i energia kinetyczn
do zatrzymania cia!a. Nast$pnie cia!o porusza si$ w przeciwnym kierunku pod
wp!ywem spr$#yny. Pr$dko"% i energia kinetyczna rosn a# do warto"ci jak cia!o mia!o
pocz tkowo. Interpretowali"my energi$ kinetyczn jako zdolno"% cia!a do wykonania
pracy kosztem jego ruchu (kosztem Ek). Po przebyciu zamkni$tej drogi (cyklu) zdolno"%
cia!a do wykonania pracy pozostaje taka sama, jest zachowana. Si!a spr$#ysta wywiera-
na przez idealn spr$#yn$ jest zachowawcza. Inne si!y, dzia!aj tak#e w ten sposób, np.
8-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
si!a grawitacji. Cia!o rzucone do góry, przy zaniedbaniu oporu powietrza, wróci z t
sam pr$dko"ci i energi kinetyczn .
Je#eli jednak cia!o, na które dzia!a jedna lub wi$cej si! powraca do po!o#enia pocz tko-
alnie g!adka,
#e
a% zachowawczy charakter si! analizuj c prac$ jak wykonuje
ta s
z tarcia) praca wykonana przez si!$ spr$#yst , gdy
spr
y tarcie). Praca wykonywana przez si!$ tarcia
jest
m mate-
si!ami niezachowawczy-
WAB,1 + WBA,2 = 0
o droga zamkni$ta. Mo#emy to zapisa% inaczej
WAB,1 = - WBA,2
le gdyby odwróci% kierunek ruchu i przej"% z A do B po drugiej drodze to, poniewa#
wego i ma inn energi$ kinetyczn ni# na pocz tku to oznacza, #e po przebyciu drogi
zamkni$tej zdolno"% tego cia!a do wykonania pracy nie zosta!a zachowana. Oznacza to,
#e przynajmniej jedn z dzia!aj cych si! okre"la si$ jako niezachowawcz!.
Aby zilustrowa% ten przypadek, za!ó#my, #e powierzchnia nie jest ide
mamy do czynienia z tarciem. Ta si!a tarcia przeciwstawia si$ ruchowi bez wzgl$du
w którym kierunku porusza si$ cia!o (nie tak jak si!a spr$#ysto"ci czy grawitacji) i cia!o
wraca z mniejsz energi kinetyczn . Mówimy, #e si!a tarcia (i inne dzia!aj ce podob-
nie) s niezachowawcze.
Mo#emy przeanalizow
i!a nad punktem materialnym.
W pierwszym przyk!adzie (be
$#yna ulega "ciskaniu, jest ujemna (si!a jest skierowana przeciwnie do przemiesz-
czenia, cos180# = -1). Gdy spr$#yna rozpr$# si$ praca jest dodatnia (si!a i przemiesz-
czenie jednakowo skierowane). Podczas pe!nego cyklu praca wykonana przez si!$ spr$-
#yst (si!$ wypadkow ) jest równa zero.
W drugim przyk!adzie (uwzgl$dniam
ujemna dla ka#dej cz$"ci cyklu (tarcie zawsze przeciwstawia si$ ruchowi).
Ogólnie: Si a jest zachowawcza, je"eli praca wykonana przez t# si # nad punkte
rialnym, który porusza si# po dowolnej drodze zamkni#tej jest równa zeru. Si a jest nie-
zachowawcza je"eli praca wykonana przez t# si # nad punktem materialnym, który po-
rusza si# po dowolnej drodze zamkni#tej nie jest równa zeru.
Mo#emy jeszcze trzecim sposobem rozwa#y% ró#nic$ mi$dzy
A
B
1
2
A
B
1
2
mi i zachowawczymi. Rozpatrzmy ruch z punktu A do B po jednej drodze (1) a powrót z
B do A po innej (2) (patrz rysunek).
Je#eli si!a jest zachowawcza to
b
A
8-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
zmieniamy tylko kierunek to
WAB,2 = -WBA,2
Sk d otrzymujemy
WAB,1 = WAB,2
ida% z tego, #e praca wykonana przez si!$ zachowawcz! przy przemieszczaniu od A
cz! je"eli praca wykonana przez ni! nad punktem mate-
ria
równowa#ne.
8.3 Energia potencjalna
Skupimy si$ teraz na odosobnionym uk!adzie cia!o + spr$#yna. Zamiast mówi% cia!o
si$
kinetyczna maleje a potem ro-
"ni
Ek + Ep = 0
nymi s!owy, ka#da zmiana energii kinetycznej Ek jest równowa#ona przez równ co
Ek + Ep. = const. (8.1)
W
do B jest taka sama dla obu dróg. Drogi 1 i 2 mog mie% dowolny kszta t byleby tylko
! czy!y te same punkt A i B.
Si # nazywamy zachowaw
lnym poruszaj!cym si# mi#dzy dwoma punktami zale"y tylko od tych punktów, a nie
od !cz!cej je drogi. Si # nazywamy niezachowawcz! je"eli praca wykonana przez ni!
nad punktem materialnym poruszaj!cym si# mi#dzy dwoma punktami zale"y od drogi
!cz!cej te punkty.
Przedstawione definicje s
porusza b$dziemy mówi%: stan uk adu si# zmienia.
Widzieli"my, #e gdy nie wyst$puje tarcie to energia
e tak, #e wraca do pocz tkowej warto"ci w cyklu zamkni$tym. W tej sytuacji (gdy
dzia!aj si!y zachowawcze) staje si$ celowe wprowadzenie poj$cia energii stanu lub
energii potencjalnej Ep. Mówimy, #e je#eli energia kinetyczna uk!adu zmieni si$ o war-
to"% Ek to tym samym zmieni! si$ stan uk!adu to energia potencjalna Ep (stanu) tego
uk!adu musi si$ zmieni% o warto"% równ co do warto"ci bezwzgl$dnej, lecz przeciwn
co do znaku, tak #e suma tych zmian jest równa zeru
In
do warto"ci, a przeciwn co do znaku zmian$ energii potencjalnej Ep uk!adu, tak #e ich
suma pozostaje przez ca!y czas sta!a
Energia potencjalna przedstawia form$ nagromadzonej energii, która mo#e by% ca!ko-
rcia) energia kinetyczna cia!a pocz tkowo maleje,
a zl
W = Ek
i$c dla zachowawczej si!y F
W = Ek = - Ep
wicie odzyskana i zamieniona na energi$ kinetyczn . Nie mo#na wi$c wi za% energii
potencjalnej z si! niezachowawcz .
W przyk!adzie ze spr$#yn (bez ta
okalizowana w spr$#ynie energia potencjalna ro"nie. Z twierdzenia o pracy i energii
w
8-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
St d
x
$%&%& x
p xxFWE
0
d)( (8.2)
o#emy wi$c zapisa% zale#no"% mi$dzy si! i energi potencjaln
M
xxF
p
d)( %&
xE )(d (8.3)
rzeba zwróci% uwag$, #e naprawd$ potrafimy tylko policzy% Ep a nie Ep sam . Po-
x
unkt A nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak (umowa), #eby
T
niewa# Ep = EpB – EpA. 'eby znale&% EpB trzeba nie tylko zna% si!$ ale jeszcze warto"%
EpA
pA
x
pAppB ExxFEEE '%&' & $0
d)(
P
Ep by!o równe zeru w tym punkcie (porównanie z potencja!em elektrycznym).
Przyk ady energii potencjalnej dla jednowymiarowych si zachowawczych
F(y) = -mg
jest sta!a. Przyjmujemy, #e dla y = 0, Ep(0) = 0.
y y
Sprawdzenie
!" grawitacyjna energia potencjalna (w pobli#u powierzchni Ziemi)
Ruch wzd!u# osi y
F
Wtedy
$ $ &%%&'%& pp mgyymgEyyFyE0 0
d)()0(d)()(
mgyy
Fp
%&%&%&dd
mgyyE )(d)(d
" energia potencjalna spr$#yny
F(x) = -kx
rzyjmujemy dla x = 0, Ep(0) = 0.
!Ruch wzd!u# osi x
P
Wtedy
8-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2d)(
2
0
kxxkxE
x
p &%%& $
Sprawdzenie:
kxx
kx
x
xEF
p%&
(()
*++,
-
%&%&d
2d
d
)(d
2
8.3.1 Energia potencjalna i potencja pola grawitacyjnego
W przyk!adzie powy#ej obliczyli"my energi$ potencjaln zwi zan z si! grawita-
cyjn w pobli#u powierzchni Ziemi, gdzie przyjmowali"my, #e si!a grawitacji jest sta!a.
Teraz zajmiemy si$ zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energi$ potencjaln
masy m znajduj cej si$ w dowolnym punkcie nad powierzchni Ziemi odleg!ym o r od
"rodka Ziemi.
Dla si! zachowawczych zmian$ energii potencjalnej cia!a przy przej"ciu ze stanu A
do stanu B mo#emy zapisa% jako
ABpApBp WEEE %&%&
sk d
pBABpB EWE '%&
'eby policzy% energi$ potencjaln w punkcie B musimy zna% energi$ potencjaln w
punkcie odniesienia A i policzy% prac$ WAB.
Dla masy m znajduj cej si$ w pewnym punkcie nad powierzchni Ziemi odleg!ym o
r od "rodka Ziemi stan odniesienia wybiera si$ tak, #e Ziemia i masa m znajduj si$ od
siebie w niesko(czonej odleg!o"ci. Temu po!o#eniu (r .) przypisujemy zerow ener-
gi$ potencjaln , EpA = 0. Zwró%my uwag$, #e stan zerowej energii jest równie# stanem
zerowej si!y. Si!a grawitacji jest si! zachowawcz wi$c dla wybranego punktu odnie-
sienia
0)( '%& .rp WrE
Musimy teraz obliczy% prac$ . Poniewa# znamy si!$ rW.%
2r
mMGF Z%&
to mo#emy obliczy% prac$ i w konsekwencji energi$ potencjaln (znak minus wskazuje
kierunek dzia!ania si!y do "rodka Ziemi; si!a przyci gaj ca)
8-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
r
MmG
r
MmG
rr
MmGrFWrE
r
rr
rp
%&%
&()
*+,
-%%&%&%&
.
..
. $$ dd)(2
(8.4)
Energia potencjalna ma warto"% równo zeru w niesko(czono"ci (punkt odniesienia)
i maleje w miar$ zmniejszania si$ r. Oznacza to, #e si!a jest przyci gaj ca. Wzór ten jest
prawdziwy bez wzgl$du na wybór drogi po jakiej punkt porusza si$ z niesko(czono"ci
do r.
Widzimy, #e z polem si y grawitacji wi!"e si# przestrzenny rozk ad energii E(r) da-
ny równaniem (8.4).
Omawiaj c na Wyk!adzie 6 pole grawitacyjne przedstawiali"my si!$ dzia!aj c na
umieszczony w tym polu obiekt jako iloczyn nat#"enia pola i masy tego obiektu.
Stwierdzili"my, #e jedna masa wytwarza pole, a nast$pnie to pole dzia!a na drug mas$.
Inaczej mówi c rozdzielili"my si!$ na dwie cz$"ci i w ten sposób uniezale#nili"my nasz
opis od masy obiektu wprowadzanego do pola.
Podobnie mo#emy post pi% z energi potencjaln . Zauwa#my, #e zgodnie z wyra#e-
niem (8.4) mo#emy j przedstawi% jako iloczyn masy m i pewnej funkcji V(r)
)()( rmVrE p & (8.5)
Funkcj# V(r) nazywamy potencja em pola grawitacyjnego i definiujemy jako stosunek
grawitacyjnej energii potencjalnej masy m do warto$ci tej masy
r
MG
m
rErV
p%&&
)()( (8.6)
Jak ju# wspominali"my z poj$cia pola korzysta si$ nie tylko w zwi zku z grawitacj .
Przy opisie zjawisk elektrycznych równie# b$dziemy si$ pos!ugiwali poj$ciem pola
(elektrycznego), jego nat$#enia i potencja!u.
Przyk ad 1
Skorzystajmy teraz z wyra#enia na grawitacyjn energi$ potencjaln , #eby znale&%
pr$dko"% jak nale#y nada% obiektowi przy powierzchni Ziemi, aby wzniós! si$ on na
wysoko"% h nad powierzchni$ Ziemi Stosuj c zasad$ zachowania energii otrzymujemy
)()( hREREE ZpZpk '&'
czyli
hR
mMG
R
mMG
m
Z
Z
Z
Z
'%&%
2
2v
a po przekszta!ceniach
(()
*++,
-
'%&
hRRGM
ZZ
112v
8-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Je#eli na powierzchni Ziemi dostarczymy cia!u dostatecznie du#ej energii kinetycz-
nej wtedy ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Jego energia kinetyczna b$dzie mala!a w
trakcie oddalania si$, a potencjalna ros!a.
Przyk ad 2
Teraz spróbujemy obliczy% jak pr$dko"% nale#y nada% obiektowi na Ziemi aby
uciek! on z Ziemi na zawsze.
Praca potrzebna na przeniesieni cia!a o masie m z powierzchni Ziemi do niesko(czono-
"ci wynosi
Ep(RZ) = -GMZm/RZ
Je#eli na powierzchni Ziemi dostarczymy cia!u energii kinetycznej wi$kszej wtedy
ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Energia kinetyczna b$dzie mala!a w trakcie oddala-
ró$nica po!o$e' wybuchów wynosi x’, a ró$nica czasu t’. Porównajmy teraz spostrze$enia obserwatorów na ziemi i w samolocie. Zróbmy to
np. z pozycji obserwatora na ziemi, który próbuje opisa% to co widz pasa$erowie sa-molotu.
11-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Je$eli, pierwszy wybuch nast pi! w punkcie x1’ (wzgl"dem samolotu), a drugi po
czasie t, to w tym czasie samolot przelecia! drog" V t (wzgl"dem obserwatora na Ziemi) i drugi wybuch zosta! zaobserwowany w punkcie
Vtxxx ! "# '' 12
czyli Vtxxxx ! #!# ''' 12
Jednocze#nie, poniewa$ samolot leci wzd!u$ linii ! cz cej wybuchy, to y’ = z’ = 0. Oczywistym wydaje si" te$, $e t’ = t. Otrzymali#my wi"c wzory przek#adaj!ce wyniki obserwacji jednego obserwatora na
spostrze$enia drugiego
tt
zz
yy
Vtxx
#
#
#
!#
'
'
'
'
(11.1)
Te równania nosz nazw" transformacji Galileusza Sprawd&my, czy stosuj c powy$sze wzory do opisu do#wiadcze', otrzymamy takie sa-me wyniki, niezale$nie od uk!adu w którym to do#wiadczenie opisujemy. Jako przyk!ad wybierzmy cia!o poruszaj ce wzd!u$ osi x ruchem jednostajnie przyspieszonym z przy-spieszeniem a. W uk!adzie nieruchomym pr"dko#% chwilowa cia!a wynosi
t
xu
#
Jego przyspieszenie jest sta!e i równe a. Natomiast obserwator w poje&dzie poruszaj -cym si" wzd!u$ osi x ze sta! pr"dko#ci V rejestruje, $e w czasie t’ cia!o przebywa odleg!o#% x’. Zatem pr"dko#% chwilowa cia!a zmierzonego przez tego obserwatora wynosi
11-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
'
''
t
xu
#
Zgodnie z transformacj Galileusza x' = x ! V t, oraz t' = t, wi"c
Vut
tVx
t
xu !#
!
#
#'
''
Otrzymali#my pr"dko#% wzgl"dn jednego obiektu wzgl"dem drugiego co jest wyni-kiem intuicyjnie oczywistym. Natomiast przy#pieszenie w uk!adzie poruszaj cym si" wynosi
at
u
t
Vu
t
ua #
# !
#
#)(
'
''
Wida%, $e w tym przypadku zastosowanie wzorów transformacji Galileusza daje wynik zgodny z do#wiadczeniem. Jednak nie jest to prawd w ka$dym przypadku. Miedzy in-nymi stwierdzono, $e ta transformacja zastosowana do równa' Maxwella nie daje tych samych wyników dla omawianych uk!adów inercjalnych. W szczególno#ci z praw Maxwella wynika, $e pr dko"% "wiat#a jest podstawow! sta#! przyrody i powinna by%
taka sama w ka$dym uk#adzie odniesienia. Oznacza to na przyk!ad, $e gdy impuls #wiat!a rozchodz cy si" w pró$ni w kierunku x jest obserwowany przez dwóch obserwatorów (patrz na tekst i rysunek powy$ej) to za-równo obserwator nieruchomy jak poruszaj cy si" z pr"dko#ci V (wzgl"dem pierwsze-go) zmierz identyczn pr"dko#% impulsu c = 2.998$108 m/s. Tymczasem zgodnie z transformacj Galileusza i ze zdrowym rozs dkiem powinni#my otrzyma% warto#% c – V. WMaxwella, a w szczególno#ci próbowano pokaza%, $e pr"dko#% #wiat!a, tak jak pr"dko#% d&wi"ku zale$y od uk!adu odniesienia (stosuje si" do transformacji Galileusza). Naj-s!awniejsze z nich, to do#wiadczenie Michelsona-Morleya maj ce na celu wykrycie wp!ywu ruchu orbitalnego Ziemi na pr"dko#% #wiat!a poprzez pomiar pr"dko#ci #wiat!a w kierunku prostopad!ym i równoleg!ym do ruchu Ziemi. Wszystkie te do#wiadczenia da!y wynik negatywny i musimy uzna%, $e pr"dko#% #wiat!a w pró$ni jest jednakowa we wszystkich inercjalnych uk!adach odniesienia. Pr dko"% "wiat#a c = 2.988$108 m/s we wszystkich u
ykonano szereg do#wiadcze', w których próbowano podwa$y% równania
k#adach odniesienia.
!a.
11.1.3 Dylatacja czasu
Za!ó$my, $e w rakiecie znajduje si" przyrz d wysy!aj cy impuls #wiat!a z punktu A, któ
dzy wys!aniem #wiat!a, a jego zarejestrowaniem przez obser-
#wiat!a z punktu A do zwierciad!a i z powrotem do A.
Rozpatrzmy teraz niektóre wnioski wynikaj ce ze sta!o#ci pr"dko#ci #wiat
ry nast"pnie odbity przez lustro Z, odleg!e od A o d powraca do punktu A, gdzie jest rejestrowany (rysunek). Czas t' jaki up!ywa mi"watora b"d cego w rakiecie jest oczywi#cie równy t' = 2d/c (rysunek po lewej stronie). Teraz to samo zjawisko opisujemy z uk!adu nieruchomego, wzgl"dem którego rakieta porusza si" w prawo z pr"dko#ci V. Chcemy, w tym uk!adzie, znale&% czas t przelotu
11-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
na rysunku (po prawej stronie) #wiat!o przechodz c od punktu
porusza si" po linii o d!ugo#ci S Jak wida% A do zwier-ciad!a Z
% 22
dt
VS "&'
(
#
Zatem czas potrzebny na przebycie drogi (tj. dwóch odcinków S) wynosi
y% spe!niony tylko wtedy gdy, czas pomi"dzy dwoma zdarzeniami obserwowanymi
y s w ruchu. Dotyczy to równie$ reakcji chemicznych,
#ci bliskiej pr"dko#ci #wiat!a i mierzono zmian"
ci pr"dko#ci #wiat!a w ró$
'tc
bi mierzonymi z ró$nych uk!adów odniesienia jest ró$ny. W konsekwencji, ka$dy obserwator stwierdzi, $e poruszaj!cy si zegar idzie wolniej ni$
identyczny zegar w spoczynku. To zjawisko dylatacji czasu jest w!asno#ci samego czasu i dlatego spowolnieniu ulega-j wszystkie procesy fizyczne gdwi"c i np. biologicznego starzenia si". Dylatacj" czasu zaobserwowano do#wiadczalnie min. za pomoc nietrwa!ych cz stek. Cz stki takie przyspieszano do pr"dkoich czasu po!owicznego zaniku.
11-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
11.2 Transformacja Lorentza
Szukamy ponownie (jak w przypadku transformacji Galileusza) wzorów przek!ada-j cych spostrze$enia jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy znale&% transformacj" wspó!rz"dnych ale tak , w której obiekt poruszaj cy si" z pr"dko#ci równ c w uk!adzie nieruchomym (x, y, z, t), równie$ w uk!adzie (x', y', z', t') poruszaj -cym si" z pr"dko#ci V wzd!u$ osi x b"dzie porusza% si" z pr"dko#ci c.
Transformacja wspó#rz dnych, która uwzgl dnia niezale$no"% pr dko"ci "wiat#a od
uk#adu odniesienia ma posta%
2
2
2
2
2
2
2
2
11
'
'
'
11
'
+
+
!
!#
!
!#
#
#
!
!#
!
!#
xc
Vt
c
V
xc
Vt
t
zz
yy
Vtx
c
V
Vtxx
(11.3)
gdzie + = V/c. Te równania nosz nazw" transformacji Lorentza. Omówimy teraz niektóre wnioski wynikaj ce z transformacji Lorentza.
11.2.1 Jednoczesno"#
Przyjmijmy, $e wed!ug obserwatora w rakiecie poruszaj cej si" wzd!u$ osi x' (czyli tak$e wzd!u$ osi x, bo zak!adamy, $e te osie s równoleg!e) pewne dwa zdarzenia za-chodz równocze#nie t' = t2' - t1' = 0, ale w ro$nych miejscach x2' - x1' = x' , 0. Sprawd&my, czy te same zdarzanie s równie$ jednoczesne dla obserwatora w spoczyn-ku. Z transformacji Lorentza wynika, $e
2
2
1'
+!
! #
xc
Vt
t
tVxx "! # 21' +
( cz c oba powy$sze równania otrzymujemy zwi zek
'1'2
2 xc
Vtt !! # + (11.4)
Je$eli teraz uwzgl"dnimy fakt, $e zdarzenia w uk!adzie zwi zanym z rakiet s jedno-czesne t' = 0 to otrzymamy ostatecznie
11-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
'1 2
2
xc
V
t !
# +
(11.5)
Widzimy, $e równoczesno#% zdarze' nie jest bezwzgl"dna, w uk!adzie nieruchomym te dwa zdarzenia nie s jednoczesne.
11.2.2 Skrócenie d ugo"ci
Teraz rozpatrzmy inny przyk!ad. W rakiecie poruszaj cej si" z pr"dko#ci V, wzd!u$ osi x' le$y pr"t o d!ugo#ci L'. Sprawd&my jak d!ugo#% tego pr"ta zaobserwuje obserwa-tor w uk!adzie nieruchomym.
Pomiar d!ugo#ci pr"ta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk zachodz cych rów-nocze#nie na ko'cach pr"ta (np. zapalenie si" $arówek). Poniewa$ $arówki zapalaj si" na ko'cach pr"ta to x' = L'. Ponadto $arówki zapalaj si" w tym samym czasie (dla ob-serwatora w uk!adzie spoczywaj cym ) to dodatkowo t = 0. Uwzgl"dniaj c te warunki otrzymujemy na podstawie transformacji Lorentza
xL !
#21
1'
+
x jest d!ugo#ci pr"ta L w uk!adzie nieruchomym wi"c
21' +!## LLx (11.6)
Okazuje si", $e pr"t ma mniejsz d!ugo#%, jest krótszy.
11.2.3 Sta o"# przedzia u czasoprzestrzennego
Pomimo, $e powy$szy opis k!óci si" ze zdrowym rozs dkiem i do#wiadczeniem $y-cia codziennego to jednak po bli$szej analizie transformacja Lorentza mo$e ju$ nie wy-dawa% si" a$ tak dziwna. Wyobra&my sobie pr"t o d!. np. .20m. umieszczony w uk!adzie wspó!rz"dnych w taki sposób, $e rzut tego odcinka na o# x wynosi x, a na o# y y.
y' y
x'
x
-
Je#li teraz kto# znajdzie si" w drugim uk!adzie wspó!rz"dnych, obróconym wzgl"dem pierwszego o k t , to spogl daj c na ten odcinek z tego uk!adu mierzy jego wspó!-rz"dne jako x
’ i y’
-. Czy jest to dla nas dziwne? Oczywi#cie nie. Mo$emy tak$e prze-
t!umaczy% opis w jednym uk!adzie na opis w drugim (znale&% transformacj")
11-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
x
’ = x cos- + y sin-
y’=- x sin- + y cos-
Poszczególne wyniki obserwacji x i y dla jednego cz!owieka, oraz, odpowiednio, x' i y' dla drugiego s ró$ne, lecz suma ich kwadratów tj. d#ugo"% pr ta jest taka sama. Zwi zek mi"dzy x i y, a x' i y' jest dany przez liniow! kombinacj podobnie jak w transformacji Lorentza. Tylko, $e tutaj wiemy, $e x i y to odleg!o#ci, a tam x i t to wielko#ci innego rodzaju.
Szczególna teoria wzgl"dno#ci dowodzi, $e czas jest "ci"le powi!zany z odleg#o"ci!
i naprawd $yjemy w 4-wymiarowej przestrzeni; czasoprzestrzeni. Co wi"cej, podobna wielko#% jak odleg!o#% w naszym przyk!adzie te$ istnieje: jest ni przedzia# czasoprze-
strzenny ( x)2-(c t)2, który jest niezmiennikiem transformacji Lorenzta, czyli jest taki sam w dwóch uk!adach ( x)2-(c t)2=( x’)2-(c t’)2 (11.7)
11.2.4 Dodawanie pr!dko"ci
Uprzednio rozwa$ali#my obiekt spoczywaj cy w rakiecie. Teraz zajmiemy si" przy-padkiem gdy obiekt ma ju$ pewn pr"dko#% Ux' w ruchomym uk!adzie odniesienia (tj. wzgl"dem rakiety). Sprawdzimy jak pr"dko#% Ux zarejestruje nieruchomy obserwator, w uk!adzie którego rakieta porusza si" z pr"dko#ci V wzd!u$ osi x. Z transformacji Lo-rentza wynika, $e
21'
+!
! #
tVxx
2
2
1'
+!
! #
xc
Vt
t
Dziel c te równania przez siebie otrzymujemy
t
x
c
V
Vt
x
xc
Vt
tVx
t
x
!
!
# !
! #
221'
'
a po podstawieniu
'
''
t
xU x
# i
t
xx
#U
11-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
21
'
c
VU
VUU
x
xx
!
!# (11.8a)
Równanie (11.8a) mo$na rozwi za% ze wzgl"du na Ux
2
'1
'
c
VU
VUU
x
xx
"
"# (11.8b)
W ogólno#ci, je#li obiekt przesuwa si" z pr"dko#ci ' , wzgl"dem ob-
serwatora w rakiecie (poruszaj cej si" z pr"dko#ci U wzd!u$ osi x) to pr"dko#% tego przedmiotu zarejestrowana w nieruchomym uk!adzie wyniesie
'' yx VVV ji "#
yx VVV ji "#
2
'1
'
c
UV
VUV
x
xx
"
"# (11.9a)
Vy = Vy' (11.9b) Przyk#ad 1
Dwa nadd&wi"kowe samoloty odrzutowe lec ku sobie na kursie kolizyjnym. Ich pr"dko#ci wzgl"dem Ziemi wynosz odpowiednio: samolot 1 Vx = 1500km/h, samolot 2 U = 3000km/h. Jak warto#% pr"dko#ci pierwszego samolotu zmierzy obserwator w sa-molocie drugim? Samolot 2 jest uk!adem, wzgl"dem którego pr"dko#% obiektu (czyli samolotu 1) chcemy obliczy%, przy znanej pr"dko#ci w uk!adzie zwi zanym z Ziemi . Poniewa$ Vx = 1500 km/h, U = - 3000 km/h (bo przeciwny kierunek). st d na podstawie równania (11.9a) Vx' = 4497.77 km/h.
11.2.5 Zale$no"# masy od pr!dko"ci
Dotychczas zajmowali#my si" kinematyk ruchu cia!a obserwowanego z dwóch uk!adów odniesienia poruszaj cych si" wzgl"dem siebie ze sta! pr"dko#ci . Teraz chcemy odpowiedzie% na pytanie jak mo$na opisa% zachowanie cia!a pod wp!ywem si! w sytuacji, gdy transformacja Lorentza, (a nie Galileusza) jest prawdziwa. Chodzi o to, czy druga zasada dynamiki Newtona F = dp/dt mo$e by% stosowana i czy zasada za-chowania p"du ma tak sam posta% we wszystkich uk!adach inercjalnych.
Okazuje si", $e warunkiem zachowania p"du przy transformacji z jednego uk!adu odniesienia do innego jest uwzgl"dnienie zale$no#% masy cia!a m od jego pr"dko#ci V, danej nast"puj cym wyra$eniem
2
2
0
1
)(
c
V
mVm
!
# (11.10)
11-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
w którym m0 oznacza mas spoczynkow!, czyli mas" nieruchomego cia!a. Zauwa$my ponadto, $e masa cz stki ro#nie wraz z pr"dko#ci i zmierza do niesko'czono#ci gdy V c.
Rozpatrzmy teraz ruch cia!a pod wp!ywem sta!ej si!y F dzia!aj cej równolegle do kierunku ruchu. Zale$no#% pr"dko#ci cia!a od czasu obliczamy na podstawie drugiej za-sad dynamiki Newtona. Uwzgl"dniaj c zale$no#% masy od pr"dko#ci (11.10) otrzymu-jemy
2
0
0
1
)(
&)'
(*%"
#
cmFt
mFt
tV
Porównanie zale$no#% pr"dko#ci cia!a od czasu dzia!ania si!y w mechanice klasycznej i relatywistycznej jest pokazane na rysunku poni$ej.
0
1
Pr dko!" relatywistyczna
Pr dko!" klasyczna
Przedzia# mechaniki klasycznej
V/c
t
W przeciwie'stwie do opisu klasycznego, z powy$szej zale$no#ci wynika, $e cz stki nie da si" przyspiesza% w niesko'czono#% dzia!aj c sta! si! . Zmiana masy z pr"dko#ci zosta!a potwierdzona wieloma do#wiadczeniami prze-prowadzonymi dla cz stek elementarnych.
11.2.6 Równowa$no"# masy i energii
Einstein pokaza!, $e zasada zachowania energii jest spe!niona w mechanice relaty-wistycznej pod warunkiem, $e pomi"dzy mas i ca!kowit energi cia!a zachodzi zwi -zek
2mcE # (11.11)
11-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
gdzie m zale$y od pr"dko#ci cia!a V zgodnie zrównaniem (11.10). To znane powszech-nie równanie Einsteina opisuje równowa$no#% masy i energii. Wynika z niego, $e cia!o w spoczynku ma zawsze pewn energi" zwi zan z jego masa spoczynkow
200 cmE #
Energi" kinetyczn cia!a poruszaj cego si" z pr"dko#ci V obliczamy odejmuj c od
energii ca!kowitej energi" spoczynkow (nie zwi zan z ruchem)
20
20
20 )( cmmcmmcEEEk !#!#!#
Widzimy, $e mechanika relatywistyczna wi $e energi" kinetyczn z przyrostem masy cia!a. Na zako'czenie zobaczmy jak warto#% przyjmuje energia ca!kowita, je#li pr"d-ko#% V jest ma!a. Dla ma!ego V równanie (11.10) mo$na przybli$y% (rozwijaj c w sze-reg) do postaci
&&)
'((*
%".
!
#2
2
0
2
2
0
21
1
)(c
Vm
c
V
mVm
Podstawiaj c t" warto#% do wyra$enia na energi" ca!kowit otrzymujemy
2)(
202
02 Vm
cmcVmE ".#
Pierwszy wyraz jest energi! zwi!zan! z istnieniem samej masy (energia spoczynkowa) natomiast drugi jest klasyczn! energi! kinetyczn! zwi!zan! z ruchem cia#a. Otrzymali-#my rozwi zanie klasyczne jako graniczny przypadek (dla ma!ych pr"dko#ci) rozwi za-nia relatywistycznego.
St d o krok ju$ by!o do stwierdzenia, $e je$eli masa spoczynkowa cz stki zostanie zmniejszona o m, to nast pi wyzwolenie energii E = mc
2. Te wnioski zosta!y po-twierdzone do#wiadczalnie i omówimy je na dalszych wyk!adach.
11-10
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 12
12. Ruch obrotowy
12.1 Wst p
Mówi c o "rodku masy wspominali"my o ruchu obrotowym oraz o toczeniu si# cia!.
Du$ym u!atwieniem w analizie uk!adów cz stek jest mo$liwo"% rozpatrywania oddziel-
nego ruchu post#powego i ruchu obrotowego. Aby wprowadzi% to uproszczenie zdefi-
niujemy dwie nowe wielko"ci: moment p du i moment si!y. Zasada zachowania momen-
tu p#du jest równie istotna jak zasada zachowania p#du i zasada zachowania energii.
12.2 Kinematyka ruchu obrotowego
Musi w pierwszym kroku wypracowa% uj#cie matematyczne dla ruchu obrotowego.
Dla ruchu obrotowego wielko"ci analogiczn do przesuni#cia jest przesuni cie k"to-
we . K t okre"la po!o$enie punktu wzgl#dem uk!adu odniesienia. Dla ruchu po okr#-
gu, z definicji miary !ukowej k ta = S/R. (w radianach).
R S
K tow analogi pr#dko"ci v = dx/dt jest pr dko#$ k"towa !.
td
d ! " (12.1)
Dla ruchu po okr#gu v = ! R.
W przypadku ruchu jednostajnego po okr#gu ! jest nazywane cz sto#ci" k"tow" i jest
zwi zana z cz#stotliwo"ci f relacj
! = 2#f
Podobnie jak przyspieszenie liniowe a = dv/dt zosta!o zdefiniowane przyspieszenie k -
towe $.
td
d!$ " (12.2)
12-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dla ruchu po okr#gu zwi zek pomi#dzy a i $ jest analogiczny do zwi zku pomi#dzy v
i ! tzn. a = $R. Mo$emy teraz np. poda% opis ruchu obrotowego ze sta!ym przyspiesze-
niem $ poprzez analogi# do ruchu post#powego jednostajnie zmiennego.
Ruch post#powy Ruch obrotowy
a = const
v = v0 + at
s = s0 + v0t + (1/2)at2
$ = const
! = !0 + $t
= 0 + !0t + (1/2)$t2
Kierunek i zwrot wektorów pr#dko"ci k towej ! i przyspieszenia k towego $%w ruchu
obrotowym przyspieszonym (1) i opó&nionym (2) s pokazane na rysunku poni$ej.
!%
$%
!%
$%
1) 2)
12.3 Dynamika ruchu obrotowego
12.3.1 Moment si y
W ruchu post#powym si!# wi $emy z liniowym przyspieszeniem cia!a. Jak wiel-
ko"% b#dziemy wi za% z przyspieszeniem k towym?
Nie mo$e by% to tylko si!a bo jak pokazuje do"wiadczenie np. z otwieraniem drzwi
przyspieszenie k towe zale$y od tego gdzie i pod jakim k tem jest przy!o$ona si!a. W
szczególno"ci si!a przy!o$ona w miejscu zawiasów zarówno wzd!u$ jak i prostopadle
do nich nie wytwarza $adnego przyspieszenia. Natomiast si!a przy!o$ona do drzwi na
ich zewn#trznej kraw#dzi i pod k tem prostym nadaje im maksymalne przyspieszenie.
Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem si!y w ruchu post#powym jest moment si!y
(tzw. moment obrotowy) &. Je$eli si!a F dzia!a na cz stk# to moment si!y jest definiowany jako
Fr! '" (12.3)
gdzie wektor r reprezentuje po!o$enie cz stki wzgl#dem wybranego inercjalnego uk!a-
du odniesienia. Moment si!y jest wielko"ci wektorow , której warto"% bezwzgl#dna
przez rurk" polega na przeniesieniu pewnej obj"to%ci V p!ynu ograniczonej powierzch-
niami S1S1' do po!o#enia S2S2'.
Twierdzenie o pracy i energii mówi, #e praca wykonana przez wypadkow ianie energii uk!adu. Si!ami, które wykonuj prac" s F1 i F2. Obliczam
si!" jest
równa zm y wi"c
rac"
ian"
p
VpptSptSptFtFW )( 121112221122 "#$"$#$"$# vvvv
oraz zm energii strugi
''(
)**+
,-"''
(
)**+
,-# 1
2
12
2
2
22mgh
mmgh
m vv
Poniewa#
to przy za!o#eniu nie%ci%liwo%ci p!ynu ( )
$E
W = $E
= const
''(
)**+
,-
(
)
+
,1
2
1
2
"''** -#" 22
2mgh
mm vv
Zwi zek ten mo#
122
)( mghVpp
na przekszta!ci$ do postaci
14-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2
2
2211 ghpghp
--#--
v
czyli
2
1 v22
const.#-- gyp 21v
2 (14.5)
Równanie to nosi nazw" !ywu ustalonego, nielepkiego
nie%ci%liwego. Jest to podstawowe równanie mechaniki p!ynów. Mo#e by$ stosowane
o si!a jaka dzia!a na np. skrzyd!o samolotu, nart" wod-
n , %mig!o helikoptera, i wywo!ana jest ruchem tych cia! w p!ynie w odró#nieniu od sta-
tyc
Analizuj t natar-
. Tak wi"c
równania Bernoulliego dla przep
i
do wyznaczenia pr"dko%ci p!ynu na podstawie pomiarów ci%nienia (rurka Venturiego,
rurka Pitota). Mo#na te# w oparciu o nie wyznaczy$ dynamiczn si!" no%n .
14.6.1 Dynamiczna si a no!na
Dynamiczna si"a no na jest t
znej si"y no nej, która jest si!a wyporu dzia!aj c np. na balon czy statek zgodnie z
prawem Archimedesa. Na rysunku poni#ej pokazane s schematycznie linie pr du wo-
kó! skrzyd!a samolotu.
c te linie pr du zauwa#ymy, #e ze wzgl"du na ustawienie skrzyd!a (k
cia) linie pr du nad skrzyd!em s rozmieszczone g"%ciej ni# pod skrzyd!em
vg ponad skrzyd!em jest wi"ksza ni# pod skrzyd!em vd a to oznacza zgodnie z prawem
Bernoulliego, #e ci%nienie nad skrzyd!em jest mniejsze od ci%nienia pod skrzyd!em i
otrzymujemy wypadkow si!" no%n F skierowan ku górze. Wynika to równie# z trze-
ciej zasady dynamiki Newtona. Pr"dko%$ v0 powietrza zbli#aj cego si" do skrzyd!a jest
pozioma podczas gdy powietrze za skrzyd!em jest skierowane na ukos w dó! (sk!adowa
pionowa). Oznacza to, #e skrzyd!o pchn"!o powietrze w dó! wi"c w reakcji powietrze
pchn"!o skrzyd!o do góry.
14-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 15
15. Fale w o!rodkach spr"#ystych
15.1 Fale mechaniczne
Fale powstaj ce w o"rodkach spr#$ystych (np. fale d%wi#kowe) nazywamy falami
mechanicznymi. Powstaj w wyniku wychylenia jakiego" fragmentu o"rodka z po!o$e-nia równowagi co w nast#pstwie powoduje drgania fragmentu wokó! tego po!o$enia. Drgania te (dzi#ki w!a"ciwo"ciom spr#$ystym o"rodka) s przekazywane na kolejne cz#"ci o"rodka. Sam o"rodek nie przesuwa si#, a jedynie jego elementy wykonuj drga-nia w ograniczonych obszarach przestrzeni. Np. fale na powierzchni wody: przedmioty p!ywaj ce wykonuj ruch drgaj cy natomiast same fale poruszaj si# ruchem jednostaj-nym. Fala dobiegaj ce do danego przedmiotu wprawiaj go w ruch drgaj cy przekazu-j c mu energi#. Mo$na za pomoc fal przekazywa& wi#c energi# na du$e odleg!o"ci. Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cz stek o"rodka. Cech charakterystyczn fal jest to, !e przenosz energi" poprzez materi" dzi"ki prze-
suwaniu si" zaburzenia w materii a nie dzi"ki ruchowi post"powemu samej materii. Do rozchodzenia si# fal mechanicznych potrzebny jest o#rodek. To w!a"ciwo"ci spr#$y-ste o"rodka decyduj o pr#dko"ci rozchodzenia si# fali. Ze wzgl#du na kierunek drga' cz stek wzgl#dem kierunku rozchodzenia si# fali ! fale poprzeczne (np. lina) ! fale pod!u$ne (np. spr#$yna, g!os) Ze wzgl#du na czo!o fali (powierzchnia ! cz ca punkty o jednakowych zaburzeniach w danej chwili) wyró$niamy ! fale p!askie (w jednym kierunku) ! fale kuliste
15.2 Fale rozchodz ce si! w przestrzeni
Rozwa$my d!ugi sznur naci gni#ty w kierunku x, wzd!u$ którego biegnie fala po-przeczna. W dowolnej chwili np. t = 0 kszta!t sznura mo$na opisa& funkcj
y = f(x), t = 0 y – przemieszczenie cz steczek sznura sznura.
W miar# up!ywu czasu fala biegnie wzd!u$ sznura bez zmiany kszta!tu. Po czasie t fala
przesuwa si# o vt w prawo (v - pr#dko"& fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma
posta&
y = f(x " vt), t
Oznacza to, $e w chwili t w punkcie x = vt, kszta!t jest taki sam jak w chwili t = 0
w punkcie x = 0. Mamy wi#c równanie fali tylko trzeba okre"li& funkcj# f.
Je$eli "ledzimy wybran cz#"& fali (czyli okre"lon faz#) to musimy zbada& jak zmienia
si# w czasie okre"lona warto"& y (np. maksimum - amplituda). Chcemy $eby y by!o ca!y
15-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
czas takie samo, wi#c argument x "- vt musi by& taki sam, a to oznacza, $e gdy czas ro-
"nie to musi te$ rosn & x (czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma wi#c równanie
y = f(x+vt). Podsumowuj c, dla wybranej fazy mamy
x " vt = const.
Ró$niczkuj c wzgl#dem czasu otrzymujemy
0d
d#"v
t
x
czyli
v#t
x
d
d
To jest pr"dko#$ fazowa. Zauwa$my, $e dla danego t mamy równanie f(x), a dla danego
miejsca sznura x mamy równanie f(t).
Rozwa$my teraz fale o szczególnym kszta!cie. Za!ó$my, $e w chwili t = 0 kszta!t sznura
jest opisany funkcj
xAy$%2
sin#
gdzie A jest maksymalnym wychyleniem. Zauwa$my, $e wychylenie jest takie samo
w punktach x, x + $, x + 2$, x + 3$ itd. Wielko"& $ nazywamy d!ugo"ci fali (odleg!o"&
mi#dzy punktami o tej samej fazie). Je$eli fala biegnie w prawo to po czasie t
)(2
sin txAy v"#$%
To jest równanie fali biegn cej.
Okres T jest czasem, w którym fala przebiega odleg!o"& równ $ wi#c:
$ = vT
st d
&'
()*
+ "#T
txAy
$%2sin (15.1)
Wida&, $e w danej chwili taka sama faza jest w punktach x, x + $, x + 2$, x + 3$ itd.,
oraz, $e w danym miejscu faza powtarza si# w chwilach t, t + T, t +2T, itd.
Cz#sto wprowadza si# dwie nowe wielko"ci: liczb# falow k = 2%/$ i cz#sto"& , = 2%/T.
Wówczas y = Asin(kx-,t) lub y = Asin(kx+,t) dla fal biegn cych w prawo i lewo.
Wida&, $e pr#dko"& fazowa fali v jest dana wzorem
v = $/T = ,/k (15.2)
oraz, $e dla danego x otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.
15-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
15.3 Rozchodzenie si! fal, pr!dko"# fal
Je$eli chcemy zmierzy& pr#dko"& fali v to "ledzimy jak przemieszcza si# w czasie
wybrana cz"#$ fali czyli okre#lona faza.
Wiemy, $e pr#dko"& fali zale$y od spr#$ysto"ci o"rodka i jego bezw!adno"ci. Spr#-
$ysto"& dla sznura jest okre"lona poprzez napinaj c go si!# F (np. im wi#ksza si!a tym
szybciej wychylone elementy sznura wracaj do po!o$enia równowagi). Natomiast
bezw!adno"& jest zwi zana z mas sznura m oraz jego d!ugo"ci l. Spróbujemy teraz
wyprowadzi& wzór na zale$no"& pr#dko"ci v fali od si!y F i od - = m/l tj. masy przypa-
daj cej na jednostk# d!ugo"ci sznura. W tym celu rozpatrzmy ma!y wycinek sznura
o d!ugo"ci dx pokazany na rysunku.
Ko'ce wycinka sznura tworz z osi x ma!e k ty .1 i .2. Dla ma!ych k tów
. / sin. / dy/dx. Wypadkowa pionowa si!a tj. si!a wychylaj ca sznur w kierunku y wy-
nosi
1212 .... FFFFFwyp "#"# sinsin
Zgodnie z zasad dynamiki si!a wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka
dm = -0dx i jego przyspieszenia. St d
212 )()(t
ydx
tdxFFF
y
wyp 1
1#
1
1#"#
2
--..v
lub
2
2
t
y
Fx 11-.
#11
(Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cz stkowe oznaczane symbolem 1y bo wy-
chylenie y jest funkcj dwóch zmiennych y = f (x,t) i liczymy pochodne zarówno
wzgl#dem zmiennej x jak i zmiennej t). Uwzgl#dniaj , $e . = 1y/1x otrzymujemy
2
2
2
2
t
y
Fx
y
11-
11
# (15.3)
15-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Jest to równanie falowe dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpo-
wiednie pochodne funkcji )sin(),f( txkAtxy ,"##
)sin( txkAt
y,,
11
""# 2
2
2
oraz
)sin( txkAkx
y,
11
""# 2
2
2
W wyniku podstawienia otrzymujemy
22 ,-F
k #
sk d mo$emy obliczy& pr#dko"& fali
-
, F
k##v (15.4)
Zwró&my uwag#, $e sinusoidalna fala mo$e by& przenoszona wzd!u$ struny z pr#dko-
"ci niezale$n od amplitudy i cz#stotliwo"ci.
Je$eli teraz przepiszemy równanie struny w postaci
2
2
22
2 1
t
y
x
y
11
11
v# (15.5)
to otrzymamy równanie falowe, które stosuje si# do wszystkich rodzajów rozchodz -
cych si# fal, takich jak fale d%wi#kowe czy elektromagnetyczne.
15.4 Przenoszenie energii przez fale
Szybko"& przenoszenia energii wyznaczymy obliczaj c si!# F jaka dzia!a na koniec
struny (porusza strun w gór# i w dó! w kierunku y).
15-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
W tym celu pos!u$ymy si# zale$no"ci
P = Fyvy
Jak wida& z rysunku pr#dko"& poprzeczna równa jest vy = 1y/1t, a sk!adowa si!y F w
kierunku y wynosi Fsin. . Podstawiaj c do wzoru na moc otrzymujemy
.11
sint
yFP #
Dla ma!ych k tów . mo$emy przyj & sin. / – 1y/1x (znak minus wynika z ujemnego
nachylenia struny). St d
x
y
t
yFP
11
11
"#
Obliczamy teraz pochodne funkcji )sin(),f( txkAtxy ,"##
)cos( tkxAt
y,,
11
""#
)cos( tkxkAx
y,
11
"#
i podstawiamy do wyra$enia na moc
)(cos txkkFAP ,, "# 22 (15.6)
Zauwa$my, $e moc czyli szybko"& przep!ywu energii oscyluje w czasie. Korzystaj c
z tego, $e k = , /v, , = 2%f oraz, $e -/F#v otrzymujemy
)(cos4 2222 tkxfAP ,-% "# v (15.7)
Widzimy, $e szybko"& przep!ywu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy
i kwadratu cz#stotliwo"ci. Ta zale$no"& jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.
15.5 Interferencja fal
Rozwa$my dwie fale o równych cz#stotliwo"ciach i amplitudach ale o fazach ró$-
ni cych si# o 2. Równania tych fal s nast#puj ce
y1 = Asin(kx – ,t – 2)
y2 = Asin(kx – ,t)
15-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Znajd%my teraz fal# wypadkow (zasada superpozycji) jako sum# y = y1 + y2.
Korzystaj c ze wzoru na sum# sinusów otrzymujemy
y = 2Acos(2/2)sin(kx – ,t – 2/2) (15.8)
co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie 2Acos(2/2). Dla 2 = 0 fale spotykaj
si# zgodnie w fazie (wzmacniaj ), a dla 2 = 180 wygaszaj .
15.6 Fale stoj ce
Rozwa$my teraz dwa ci gi falowe biegn ce w przeciwnych kierunkach tzn.
y1 = Asin(kx – ,t)
y2 = Asin(kx + ,t)
np. fal# padaj c i odbit .
Fal# wypadkow mo$na zapisa& jako
y = y1 + y2 = 2Asinkxcos,t (15.9)
To jest równanie fali stoj cej. Zauwa$my, $e cz stki drgaj ruchem harmonicznym pro-
stym. Cz stki maj t# sam cz#sto"& ale ró!n amplitud" zale$n od po!o$enia cz stki x.
Punkty kx = %/2, 3%/2, 5%/2, itd. czyli x = $/4, 3$/4, 5$/4 itd. maj ce maksymaln am-
plitud# nazywamy strza%kami a punkty kx = %, 2%, 3% itd. czyli x = $/2, $, 3$/2 itd. ma-
j ce zerow amplitud# nazywamy w"z%ami.
Zwró&my uwag# na jeszcze jedn istotn ró$nic#. Energia nie jest przenoszona wzd!u$
sznura bo nie mo$e ona przep!yn & przez w#z!y, jest na sta!e zmagazynowana w po-
szczególnych elementach sznura.
15.6.1 Uk ady drgaj$ce, przyk ad
Je$eli struna zamocowana na obu ko'cach zostanie najpierw wygi#ta a nast#pnie
puszczona, to wzd!u$ struny rozchodz si# drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijaj
si# od zamocowanych ko'ców i w wyniku interferencji powstaje fala stoj ca. Zwró&my
o ró"nych temperaturach nast#puje wzrost entropii dS to towarzyszy temu strata energii
mechanicznej dW równa iloczynowi dS i temperatury najch!odniejszego cia!a.
Uwaga: mo"liwe jest lokalne zmniejszenie entropii, kiedy jednak bierze si# pod uwag#
wszystkie cz#$ci uk!adu (uk!ad zamkni#ty) to wypadkowa zmiana entropii b#dzie równa
zeru lub b#dzie dodatnia.
17.5 Stan równowagi, zjawiska transportu
17.5.1 Stan równowagi
Stan równowagi uk!adu to taki stan, w którym "aden z parametrów potrzebnych do
makroskopowego opisu uk!adu nie zale"y od czasu. Dla uk!adu jednorodnego (np. ga-
zu) w stanie równowagi wystarcza znajomo$% dwu podstawowych parametrów stanu
np. ci$nienie i obj#to$%.
Opis komplikuje si# gdy mamy uk!ad niejednorodny np. ciecz w równowadze z par .
Dla danej temperatury stan równowagi tego uk!adu jest mo"liwy przy ró"nych obj#to-
$ciach uk!adu (od obj#to$ci zale"y ilo$% fazy ciek!ej i gazowej). Natomiast temperatura i
17-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
ci$nienie przestaj by% niezale"ne. W ka"dej temperaturze równowaga jest mo'liwa tyl-
ko przy okre!lonym ci!nieniu (pary nasyconej). Przy wy"szym istnieje tylko ciecz, przy
ni"szym para. Podobnie ciecz i cia!o sta!e mog istnie% w równowadze tylko w tempera-
turze topnienia, która jest funkcj ci$nienia. Wreszcie cia!o sta!e wspó!istnieje w rów-
nowadze z par nasycon , której ci$nienie jest funkcj temperatury. Krzywe równowagi
pokazane na rysunku poni"ej.
Liter a oznaczona jest krzywa równowagi cia!o sta!e - ciecz (zwi zek temperatury top-
nienia z ci$nieniem). Krzywa a' przedstawia t# zale"no$% dla kilku nietypowych sub-
stancji, które przy topnieniu zmniejszaj obj#to$% np. lód.
p
T
aa'
b
b'
K
P
I II III
Krzywa b + b' pokazuje zale"no$% ci$nienia pary nasyconej od temperatury. Punkt P
nazywamy punktem potrójnym. Odcinek b' to krzywa równowagi cia!o sta!e – para, a
odcinek b krzywa równowagi ciecz – para. W punkcie potrójnym mog istnie% wszyst-
kie trzy stany skupienia. Dla wody odpowiada to ci$nieniu p = 4.57 mm Hg, T = 273.16
K (O 4C). Krzywa b ko'czy si# w punkcie krytycznym K powy"ej którego nie istnieje
ró"nica pomi#dzy gazem i ciecz . Dlatego "eby skropli% gaz trzeba obni"y% temperatur#
poni"ej temperatury krytycznej.
17.5.2 Zjawiska transportu
Dotychczas zajmowali$my si# w!a$nie uk!adami w stanie równowagi. Teraz zapo-
znamy si# z bardzo uproszczonym opisem zjawisk, które zachodz gdy uk!ad d "y do
takiego stanu. W zjawiskach tych mamy zawsze do czynienia z przenoszeniem (trans-
portem):
/0 materii
/0 energii
/0 p#du
/0 !adunku elektrycznego
Wszystkie te zjawiska transportu opisujemy w pierwszym przybli"eniu za pomoc rów-
nania ró"niczkowego, które przedstawia propagacj$ pewnej wielko!ci fizycznej 5 maj&-
c& na celu osi&gni$cie równowagi
x
Kj665
$# (17.8)
gdzie j jest g#sto$ci strumienia wielko$ci 5 (g#sto$% pr du), K jest sta! charakteryzu-
j c dan sytuacj# fizyczn . Sta! K wi "emy z w!a$ciwo$ciami mikroskopowymi rozpa-
17-10
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
trywanego uk!adu statystycznego, z tzw. wspó"czynnikami transportu. Wi " si# one
z no$nikami np. cz steczkami gazu, elektronami w metalu.
/0 Dyfuzja w gazie czyli przenoszenie cz stek w kierunku obszarów o mniejszej kon-
centracji n (d&'enie do wyrównania koncentracji). Równanie dyfuzji
gradnDx
nDjD $#$#66
gdzie jD g#sto$% strumienia cz stek, n - koncentracja cz stek. Równanie to znane jest
pod nazw prawa Ficka.
Wspó!czynnik dyfuzji (dla rozrzedzonego gazu)
"v3
1#D
/0 Przewodnictwo cieplne czyli transport energii, wskutek ruchu cz stek w kierunku
obszaru o ni"szej T (d&'enie do wyrównania temperatury).
Równanie (prawo Fouriera) ma posta%
gradTx
TjQ 7
66
7 $#$#
gdzie jQ jest g#sto$ci strumienia ciep!a, 7 jest wspó"czynnikiem przewodnictwa ciepl-
nego. Dla rozrzedzonego gazu
"7 Vcnv3
1#
/0 Lepko!# gazu polegaj ca na przenoszeniu p#du mi#dzy warstwami gazu o ró"nych
pr#dko$ciach (d&'enie do wyrównania pr$dko!ci).
Równanie (prawo Newtona) ma posta%
gradux
uj p .
66
. $#$#
gdzie u jest pr#dko$ci (unoszenia) warstwy. Wspó"czynnik lepko!ci dla rozrzedzonego
gazu wynosi
". mnv3
1#
/0 Przewodnictwo elektryczne czyli przenoszenie !adunku elektrycznego w wyniku ru-
chu elektronów (d&'enie do wyrównania potencja"ów elektrycznych). Równanie (prawo
Ohma) ma posta%
17-11
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
gradV 8
$### EEj1
gdzie przewodno!# elektryczna jest dana wyra"eniem
vm
nq
m
nq "9
22
##
Uwaga: wszystkie wspó!czynniki transportu zale" od temperatury (poprzez pr#dko$%
$redni , $redni drog# swobodn itd.)
17-12
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 18
18. Si a elektrostatyczna
18.1 Wst p
Oddzia!ywanie elektromagnetyczne - chyba najwa"niejsze w fizyce. Pozwala wyja-#ni$ nie tylko zjawiska elektryczne ale te" si!y zespalaj ce materi% na poziomie ato-mów, cz steczek. Przewodniki i izolatory. Do#wiadczenie z na!adowaniem pr%ta meta-lowego i pr%ta szklanego. Zdolno#$ izolacyjna stopionego kwarcu jest 1025 razy wi%ksza ni" miedzi.
18.2 !adunek elektryczny
Porównajmy si!% grawitacyjn pomi%dzy elektronem i protonem w atomie wodoru F = 3.61·10-47 N z si!a elektryczn pomi%dzy nimi w tym samym atomie F = 2.27·10-8 N. To, "e si!y grawitacyjne dla "du"ych" cia! dominuj wynika st d, "e liczby protonów i
elektronów s równe.
Nie istnieje, "aden zwi zek mi%dzy mas i !adunkiem.
W przeciwie&stwie do masy !adunki "+" lub "-".
18.2.1 Kwantyzacja adunku
'adunek elementarny e = 1.6·10-19
C. Wszystkie adunki s! wielokrotno"ci! e.
18.2.2 Zachowanie adunku
Zasada zachowania !adunku - B. Franklin. Wypadkowy adunek w uk adzie zamkni#-
tym jest sta y.
18.3 Prawo Coulomba
Si!a oddzia!ywania dwóch !adunków q1 i q2
2
21
r
qqkF (18.1)
gdzie sta!a 04
1
!" k . Wspó!czynnik "0 = 8.854·10
-12 C
2/(Nm
2) nosi nazw% przenikalno-
"ci elektrycznej pró$ni. W uk!adzie cgs k = 1.
18.3.1 Zasada superpozycji
Si # wypadkow! (tak jak w grawitacji) obliczamy dodaj!c wektorowo si y dwucia o-
we.
Przyk ad 1
18-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dipol elektryczny sk!ada si% z dwóch !adunków oddalonych od siebie l. Jaka si!a
jest wywierana na !adunek q umieszczony tak jak na rysunku?
+Q -Q l
q F
F2
F1
r r
Z podobie&stwa trójk tów
r
l
F
F
1
St d
3321r
pqk
r
Qlqk
r
Qqk
r
lF
r
lF #
$
%&'
(
gdzie p = Ql jest momentem dipolowym.
18.4 Pole elektryczne
W wyk!adzie 6 zdefiniowali#my nat%"enie pola grawitacyjnego w dowolnym punk-
cie przestrzeni jako si!% grawitacyjn dzia!aj ca na mas% m umieszczon w tym punkcie
przestrzeni podzielon przez t% mas%.
Analogicznie definiujemy nat#$enie pola elektrycznego jako si # dzia aj!c! na adunek
próbny q (umieszczony w danym punkcie przestrzeni) podzielon! przez ten adunek.
Aby zmierzy$ nat%"enie pola elektrycznego E w dowolnym punkcie P, nale"y w tym
punkcie umie#ci$ !adunek próbny i zmierzy$ wypadkow si!% elektryczn F dzia!aj c
na ten !adunek. Nale"y upewni$ si% czy obecno#$ !adunku q nie zmienia po!o"e& innych
!adunków. Wtedy
q
FE (18.2)
'adunek próbny jest dodatni (umowa). Kierunek E jest taki sam jak F (na !adunek do-
datni).
Przyk ad 2
Ten sam uk!ad co poprzednio tylko w punkcie P nie ma "jakiego#" !adunku tylko
tam umie#cimy !adunek próbny. Korzystaj c z otrzymanej zale"no#ci obliczamy E
3
3
r
pk
q
r
pkq
E #$
%&'
(
18-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Pole E w punkcie P jest skierowane w prawo.
+Q -Q l
F
F2
F1
r r
P
Pole E w odleg!o#ci r od !adunku punktowego Q jest równe
rr
Qkr
r
Qqk
qqˆˆ
1122
#$
%&'
( FE
Pole elektryczne od n !adunków punktowych jest równe sumie wektorowej pól elek-
trycznych
)
n
i
i
i
i rr
Qk
12
ˆE
Przyk ad 3
Ca!kowity !adunek na!adowanego pier#cienia o promieniu R wynosi Q. Jakie jest
pole elektryczne na osi pier#cienia w odleg!o#ci x0 od #rodka?
R
x0
r
P
dE
dEx
*
Pole wytwarzane przez element dl pier#cienia jest równe
dEx = dE(cos*)
cos* = x0/r
Je"eli + = Q/2!R jest liniow g%sto#ci !adunku to
2
dd
r
lkE+
oraz
r
x
r
lkEx
0
2
dd
+
18-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
St d
2
3
22
0
0
3
0
3
0
)(
)2(d
Rx
QkxR
r
xkl
r
xkEE x
,
- !++
Zwró$my uwag%, "e w #rodku pier#cienia (x0 = 0) E = 0, a dla x0 >> R pole E . kQ/x02
i jest takie samo jak pole !adunku punktowego w tej odleg!o#ci.
Jedn z zalet pos!ugiwania si% poj%ciem pola elektrycznego jest to, "e nie musimy
zajmowa$ si% szczegó!ami (ród!a pola. Np. pole E = kQ/r2 mo"e pochodzi$ od wielu
(róde!.
18.4.1 Linie si
Kierunek pola E w przestrzeni mo"na przedstawi$ za pomoc tzw. linii si . Linie nie
tylko pokazuj kierunek E ale te" jego warto#$ (liczba linii na jednostk% powierzchni).
Je"eli liczb% linii przechodz cych przez powierzchni% /S oznaczymy /0 to wówczas
/0 = E /S = E/S cos*
gdzie * jest k tem pomi%dzy wektorem powierzchni /S i wektorem E.
W ogólno#ci wi%c
d0 = dE ds (18.3)
i jest to definicja strumienia elektrycznego.
Ca!kowity strumie& przechodz cy przez powierzchni% S mo"na obliczy$ jako sum%
przyczynków od elementów powierzchni
) / iapowierzchn
SE0
Suma ta przedstawia ca!k% powierzchniow
- S
SE d0 (18.4)
Obliczmy teraz strumie& dla !adunku punktowego w odleg!o#ci r od niego.
W tym celu rysujemy kul% o promieniu r wokó! !adunku Q i liczymy strumie& (liczb%
linii przez powierzchni%).
0
2
2
2 4)4()4("
!!!0Q
kQrr
QkrE #
$
%&'
( (18.5)
Otrzymany strumie& nie zale"y od r, a zatem strumie& jest jednakowy dla wszystkich r.
Ca!kowita liczba linii wychodz cych od !adunku jest równa Q/"0 i linie te ci gn si% do
niesko&czono#ci.
18-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Poniewa" pokazali#my, "e strumie& jest taki sam przez ka"d powierzchni% niezale"nie
od r wi%c jest to prawd dla zamkni%tej powierzchni o dowolnym kszta!cie (która ota-
cza !adunek Q).
Taka powierzchnia nazywa si% powierzchni! Gaussa.
18.5 Prawo Gaussa.
Niech zamkni%ta powierzchnia obejmuje dwa !adunki Q1 i Q2. Ca!kowita liczba linii
si! przecinaj ca powierzchni% zamkni%t wokó! !adunków Q1 i Q2 jest równa
-- - - , , SESESEESE ddd)(d 1121µ kca0
gdzie E1 jest wytwarzane przez Q1, a E2 przez Q2. Powo!uj c si% na wcze#niejszy wynik
otrzymujemy
0ca k = (Q1/"0) + (Q2/"0) = (Q1 + Q2)/"0
Ca!kowita liczba linii si! jest równa ca kowitemu adunkowi podzielonemu przez "0. Po-
dobnie mo"na pokaza$ dla dowolnej liczby n !adunków.
Otrzymujemy wi%c prawo Gaussa
0
..4d
"! wewn
wewn
QkQ - SE (18.6)
Strumie& pola wychodz cy z na!adowanego cia!a jest równa wypadkowemu !adunkowi
podzielonemu przez "0. Je"eli Q jest ujemne strumie& wp!ywa do cia!a.
Linie mog zaczyna$ si% i ko&czy$ tylko na !adunkach a wsz%dzie indziej s ci g!e.
A co w sytuacji gdy na zewn trz zamkni%tej powierzchni s !adunki?
Rozwa"my zamkni%t powierzchni% (rysunek) wewn trz której Qwewn. = 0, a linie si!
pochodz od !adunku na zewn trz.
c
b
a
d
18-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Ca!kowity strumie& dzielimy na cz%#ci
0ca k = 0ab + 0bc + 0cd + 0da
Z rysunku wida$, "e 0ab = +2, 0bc = +3, 0cd = -7, 0da = +2. Tak wi%c
0ca k = +2 + 3 - 7 + 2 = 0
Na nast%pnym wyk!adzie zastosujemy prawo Gaussa do obliczania E dla ró"nych na!a-
dowanych cia!.
18-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 19
19. Elektrostatyka I
19.1 Wst p
Wi"kszo#$ cia! sta!ych mo%na podzieli$ na przewodniki i izolatory. W izolatorze nadmiarowy !adunek mo%e by$ rozmieszczony w ca!ej obj"to#ci natomiast w przewod-nikach swobodne elektrony b"d si" zbiera!y na powierzchni dopóty, dopóki nie wy-tworzy si" pole równowa% ce pole zewn"trzne. Rozpatrzmy dowolny w kszta!cie przewodnik. Wybierzmy powierzchni" zamkni"t tu% poni%ej powierzchni przewodnika.
S
Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni
0
.d wewnQ
!" SE
Wewn trz przewodnika w dowolnym punkcie powierzchni S pole musi by$ równe zeru, bo inaczej elektrony porusza!yby si" czyli
0d !" SE
Zatem 0 = Qwewn./ 0
St d Qwewn. = 0
Tak wi"c !adunek wewn trz dowolnej zamkni"tej powierzchni (przewodnika) musi by$ równy zeru; ca!y !adunek gromadzi si" na powierzchni.
W dowolnym punkcie sfery E ## S (prostopad!e do powierzchni) wi"c
" ! )4(d 2rE $SE
Zgodnie z prawem Gaussa:
E(4$r2) = Q/ 0
czyli
2204
1
r
Qk
r
QE !!
$ (19.1)
dla r > R (tak jakby ca!y !adunek skupiony by! w #rodku sfery). Dla r < R, E = 0.
19.2.2 Jednorodnie na adowana kula
Przewodniki - równowa%ne sferze bo !adunek na powierzchni. Izolator - równowa%ny szeregowi wspó!#rodkowych sfer.
2.
r
QkE wewn!
gdzie Qwewn. = Q(r3/R3) (stosunek obj"to#ci kuli o promieniu r do obj"to#ci kuli o pro-mieniu R, rysunek).
R
r
Q
Qwewn
19-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
%%&
'##(
)!
3
32 4)4(
R
rQkrE $$
Czyli
rR
QkE
3! (19.2)
Wykres E w funkcji odleg!o#ci od #rodka jednorodnie na!adowanej kuli jest pokazany poni%ej.
kQ2/R
2
R
E
r
Przyk ad 1
Atom wodoru traktujemy jako sztywn jednorodnie na!adowan kul" o promieniu R = 10-10 m, ca!kowitym !adunku Q = e = -1.6·10-19 C i masie me = 9.1·10-31 kg. Proton znajduj cy si" w #rodku chmury elektronowej (stan podstawowy) zostaje przemiesz-czony o ma! odleg!o#$ x0 i puszczony swobodnie. Jaka b"dzie cz"stotliwo#$ drga& ja-kie elektron i proton b"d wykonywa!y wokó! ich po!o%e& równowagi?
R
x0
chmura
elektronowa
proton
Si!a przywracaj ca proton do po!o%enia równowagi F = eE czyli
xR
ekF
3
2
*!
lub
xR
ek
t
xme 3
2
2
2
d
d*!
19-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Powinni#my si" pos!ugiwa$ raczej mas zredukowan + =Mpme/(MP + me) ale me << Mp wi"c + , me. Zgodnie z równaniem dla ruchu harmonicznego
3
2
Rm
ke
e
!-
$-2
!f = 2.5·1015 Hz
Ta cz"stotliwo#$ jest bliska promieniowaniu wysy!anemu przez atom wodoru w pierw-szym stanie wzbudzonym czyli, %e taki model jest uzasadniony.
19.2.3 Liniowe rozk ady adunków
Liczymy pole E w odleg!o#ci r od jednorodnie na!adowanego pr"ta (drutu) o d!ugo-#ci l >> r.
L
r
+ + +
Wprowadzamy liniow g"sto#$ !adunku . (!adunek na jednostk" d!ugo#ci). Jako powierzchni" Gaussa wybieramy walec (mo%emy wybiera$ dowolnie). Z prawa Gaussa
" !! )(4d0
LkL
.$ .
SE
E jest równoleg!e do wektora S i ma tak sam warto#$ w ka%dym punkcie powierzchni wi"c
2$rLE = 4$kL.
rr
kE
02
2
$ ..
!! (19.3)
Teraz pole wewn trz. Wybieramy powierzchni" Gaussa o promieniu r < R. 'adunek wewn trz powierzchni Gaussa Qwewn. = /$r
2L, gdzie / - g"sto#$ obj"to#ciowa
!adunku. Z prawa Gaussa otrzymujemy
E(2$rL) = 4$k(/$r2L)
19-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
E = 2k/$r
poniewa% . = /$R
2 wi"c
rR
rR
kE
20
2 2
2
$ ..
!! (19.4)
19.2.4 P askie rozk ady adunków
Obliczamy pole od niesko&czonej jednorodnie na!adowanej p!aszczyzny.
E E
'adunek otoczony przez powierzchni" Gaussa jest równy Qwewn. = 0S, gdzie 0 jest g"-sto#ci powierzchniow , a S powierzchni podstawy walca. Z prawa Gaussa
2ES = 0S/ 0 gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca. Ostatecznie otrzymujemy E = 0/2 0 (19.5) Wiele zastosowa& dotyczy uk!adu dwóch, p!askich równoleg!ych p!yt (kondensator p!a-ski).
Pole wytwarzane przez p!yt" "po lewej stronie" (rysunek poni%ej) jest równe Eminus = 0/2 0 i skierowane ku p!ycie. Pole wytwarzane przez p!yt" po prawej Eplus = 0/ 0 i skierowane jest od p!yty.
19-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
I II III
Zatem w obszarze I
EI = 0/2 0 + (– 0/2 0) = 0
w obszarze II
EII = –0/2 0 + (– 0/2 0) = –0/ 0
w obszarze III
EIII = (– 0/2 0) + 0/2 0 = 0
19.2.5 Powierzchnia przewodnika
Je%eli przedstawiona na rysunku na!adowana powierzchnia stanowi cz"#$ po-
wierzchni przewodnika to poniewa% ca!y !adunek gromadzi si" na zewn"trznej po-
wierzchni to wewn trz E = 0. Co wi"cej E musi by$ prostopad!e do powierzchni (rów-
noleg!e do S) bo gdyby istnia!a sk!adowa styczna to elektrony porusza!yby si".
Z prawa Gaussa wynika, %e
ES = (0S)/ 0
wi"c
E = 0/ 0 (19.6)
na powierzchni przewodnika.
19.3 Potencja! elektryczny
Zgodnie z naszymi rozwa%aniami ró%nica energii potencjalnych jest dana przez
"*!*B
A
pApB EE rF d
co dla pola elektrycznego daje
"" *!*!*B
A
B
A
pApB qEE rErF dd (19.7)
Podobnie jak dla grawitacyjnej energii potencjalnej mo%emy zdefiniowa$ punkt zerowej
energii potencjalnej dla cia!a znajduj cego si" w niesko&czono#ci. Wtedy
19-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
"1
*!r
p qrE rE d)(
Je%eli przenosimy !adunek q z niesko&czono#ci do punktu odleg!ego o r od innego !a-
dunku punktowego Q, to energia potencjalna jest równa pracy wykonanej przeciw sile
elektrycznej, czyli
"1 1
1 23
456
7**!*!!r r
rpr
qQkrr
QkqWrE
1d)(
2
r
qQkrE p !)( (19.8)
jest energi! potencjaln! !adunków q i Q.
Potencja elektryczny jest definiowany jako energia potencjalna na jednostkowy adu-
nek
q
W
q
rErV rp 1!!
)()( (19.9)
Dla !adunku punktowego
r
QkV ! (19.10)
Potencja = praca potrzebna do przeniesienia jednostkowego !adunku z niesko&czono#ci
do r od !adunku punktowego Q.
Ró"nica potencja ów czyli napi#cie U pomi"dzy dwoma punktami = praca na przenie-
sienie !adunku jednostkowego mi"dzy tymi punktami
"*!!!*B
A
ABAB WUVV rE d (19.11)
19-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 20
20. Elektrostatyka II
20.1 Obliczanie potencja u
Rozwa"my np. ró"nic# potencja!ów (napi#cie) pomi#dzy $rodkiem i powierzchni
na!adowanej pow!oki kulistej.
Poniewa" E = 0 (wzd!u" drogi ca!kowania) wi#c tzn. w $rodku
i na powierzchni jest ten sam potencja!.
0d ! ! "B
A
AB VV rE
Z powy"szego wzoru wynika, "e
r
VE
d
d! (20.1)
Przyk ad 1
Obliczy% potencja! V i pole E w odleg!o$ci r od dipola ustawionego wzd!u" osi x.
Moment dipolowy p = qL i dodatkowo r >> L.
L
-q +q
#
r
P y
x
Je"eli r >> L to punkt P jest odleg!y od !adunku +q o:
r – (1/2)Lcos#
oraz od –q o:
r + (1/2)Lcos#
Ca!kowity potencja! jest sum
#
#
## 22
2 cos4
cos
cos2
1
)(
cos2
1 Lr
qLk
Lr
qk
Lr
qkV
!
$
!$
!
20-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Dla r >> L otrzymujemy ostatecznie
32
cos
r
xkp
r
pkV %
#
)1cos3( 2
3! ! #
&&
r
kp
x
VEx
##&&
sincos33r
kp
y
VE y !
Teraz rozpatrzmy pole i ró"nic# potencja!ów dla dwóch przeciwnie na!adowanych p!yt
o polu powierzchni S znajduj cych si# w odleg!o$ci d od siebie. Je"eli !adunki na p!y-
tach wynosz odpowiednio +Q i –Q to g#sto$ci !adunków wynosz Q/S i –Q/S.
'V = – Ed
Zgodnie z naszymi obliczeniami
'V = (d/)0
S
QdV
0) ' (20.2)
Na zako&czenie zaznaczmy, "e powierzchnia ka"dego przewodnika jest powierzchni
Do obliczenia pola wytwarzanego przez solenoid zastosujemy prawo Ampera, dla kon-
turu pokazanego na rysunku poni%ej.
a b
c d
B
Ca!k$ po konturze zamknietym lB d przedstawimy jako sum$ czterech ca!ek
%%%!a
d
d
c
c
b
b
a
lBlBlBlBlB ddddd
Druga i czwarta ca!ka s równe zeru bo B & l. Trzecia ca!ka jest te% równa zero ale to
dlatego, %e B = 0 na zewn trz solenoidu. Tak wi$c niezerowa jest tylko ca!ka pierwsza
i równa
!b
a
hBlB d
gdzie h jest d!ugo&ci odcinka ab.
Teraz obliczmy pr d obejmowany przez kontur.
Je%eli cewka ma n zwojów na jednostk$ d!ugo&ci to wewn trz konturu jest nh zwojów
czyli ca!kowity pr d przez kontur wynosi:
I = I0nh
gdzie I0 jest pr dem przep!ywaj cym przez cewk$ (przez pojedynczy zwój).
22-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Z prawa Ampera otrzymujemy wi$c:
Bh = "0I0nh
czyli
B = "0I0n (22.4)
22.3.3 Dwa przewodniki równoleg e
Dwa przewodniki równoleg!e umieszczone w odleg!o&ci d. P!yn w nich pr dy Ia i Ib
odpowiednio.
d
ia ib
F
Ba
l
a b
Przewodnik a wytwarza w swoim otoczeniu pole
d
IB a
a #"2
0!
W tym polu znajduje si$ przewodnik b, w którym przep!ywa pr d Ib. Na odcinek l tego
przewodnika dzia!a si!a
d
IIllBIF ba
abb #"
2
0!! (22.5)
Zwrot si!y wida# na rysunku.
To rozumowanie mo%na "odwróci#" zaczynaj c od przewodnika b. Wynik jest ten sam.
Fakt oddzia!ywania przewodników równoleg!ych wykorzystano przy definicji am-
pera. Za!ó%my, %e d = 1m oraz, %e Ia = Ib = I. Je%eli dobierzemy tak pr d aby si!a przy-
ci gania przewodników, na 1 m ich d!ugo&ci, wynosi!a 2·10-7
N to mówimy, %e nat$%e-
nie pr du jest równe 1 amperowi.
22-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
22.4 Prawo Biota-Savarta
Istnieje inne równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczy# B
z rozk!adu pr du. Oczywi&cie to prawo i prawo Ampera musz by# matematycznie rów-
nowa%ne. Prawo Ampera jest jednak "!atwe" w stosowaniu tylko gdy rozk!ady pr dów
s na tyle symetryczne, %e obliczenie odpowiedniej ca!ki nie jest trudne. Gdy rozk!ad
pr dów jest skomplikowany (nie znamy jego symetrii) to dzielimy pr dy na nie-
sko(czenie ma!e elementy (rysunek) i stosuj c prawo Biota-Savarta obliczamy pole od
takich elementów, a nast$pnie sumujemy je (ca!kujemy) %eby uzyska# wypadkowy
wektor B.
r
dl
I
'
dB
Warto&# liczbowa dB zgodnie z prawem Biota-Savarta wynosi
2
0 sind
4d
r
lIB
'#
"!
a zapisane w postaci wektorowej
3
0 d
4d
r
I rlB
(!
#"
(22.6)
Przyk$ad 2
Obliczmy pole B na osi ko!owego przewodnika z pr dem.
dB&
dBII
d
R x
r
)
I
Z prawa B -S otrzymujemy
2
0 90sind
4d
r
lIB
o
#"
!
oraz
22-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
)cosdd BBII !
Z tych równa( otrzymujemy
2
0
4
dcosd
r
lIBII #
)"!
Ponadto 22 xRr %!
oraz
22cos
xR
R
r
R
%!!)
Podstawiaj c otrzymujemy
lxR
IRBII d
)(4d
2322
0
%!
#"
Zauwa%my, %e wielko&ci I, R, x s takie same dla wszystkich elementów pr du.
Ca!kujemy, %eby obliczy# B (wy! czaj c sta!e czynniki przed znak ca!ki)
2322
2
0
2322
0
2322
0
)(2)2(
)(4d
)(4d
xR
IRR
xR
IRl
xR
IRBB II %
!%
!%
!! "
##
"#
"
Dla x >> R dostajemy
3
2
0
2x
IRB
"!
22.5 Indukcja elektromagnetyczna
22.5.1 Prawo Faradaya
Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu pr dów elektrycz-
nych w zamkni$tym obwodzie podczas przemieszczania si$ wzgl$dem siebie "ród!a po-
la magnetycznego i tego zamkni$tego obwodu. Mówimy, %e w obwodzie jest induko-
wana si$a elektromotoryczna (SEM indukcji), która wywo!uje przep!yw pr"du indukcyj-
nego.
Prawo indukcji Faradaya stosuje si$ do trzech ró%nych sytuacji fizycznych:
*+ Nieruchoma p$tla, wzgl$dem której porusza si$ "ród!o pola magnetycznego (mamy
tzw. elektryczn SEM).
*+ Przewód w kszta!cie p$tli porusza si$ w obszarze pola magnetycznego (magnetycz-
na SEM).
*+ Nieruchoma p$tla i nieruchome "ród!o pola magnetycznego lecz zmienia si$ pr d,
który jest "ród!em pola magnetycznego (tak%e elektryczna SEM).
Na podstawie obserwacji Faraday doszed! do wniosku, %e czynnikiem decyduj cym jest
szybko%& zmian strumienia magnetycznego $B. Ilo&ciowy zwi zek przedstawia prawo
Faradaya
22-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
t
B
d
d$, -! (22.7)
Je%eli mamy obwód z!o%ony z N zwojów to
tN B
d
d$, -!
22.5.2 Regu a Lenza
Pr d indukowany ma taki kierunek, %e przeciwstawia si$ zmianie, która go wywo!a-
!a. Kierunek pr du indukowanego w p$tli (rysunek) zale%y od tego czy strumie( ro&nie
czy maleje (zbli%amy czy oddalamy magnes). Ta regu!a dotyczy pr dów indukowanych.
S N
v
I
S N
v
I
22-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 23
23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego
23.1 Indukcyjno !
23.1.1 Transformator
Gdy dwie cewki s nawini"te na tym samym rdzeniu (cz"sto jedna na drugiej) to pr d zmienny w jednej wywo!uje SEM indukcji w drugiej. N1 - liczba zwojów w cewce pierwotnej, N2 - liczba zwojów w cewce wtórnej
tNU B
d
d22
!"
oraz
tNU B
d
d11
!"
Stosunek napi"#
1
2
1
2
N
N
U
U" (23.1)
Wida#, $e reguluj c ilo%# zwojów w cewkach mo$emy zamienia# ma!e napi"cia na du$e i odwrotnie. Przyk ad 1
Obliczmy straty mocy w linii przesy!owej o oporze 10 # przesy!anej z generatora 10 MW gdy napi"cie wynosi 1.5·104 oraz 105 V. P = IU
Pstrat = I2 R = (P/U)
2 R
Pstrat1 = 4.4 MW (44%) Pstrat2 = 0.1 MW (1%)
23.1.2 Indukcyjno!" w asna
Gdy nat"$enie pr du przep!ywaj cego przez cewk" zmienia si" to zmienia si" te$ strumie& przez ka$dy zwój tej cewki wi"c zgodnie z prawem indukcji Faradaya induku-je si" SEM. T" si!" elektromotoryczn nazywamy si ! elektromotoryczn! samoindukcji.
t
Nd
d $ !" (23.2)
Wielko%# N jest ca!kowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazw" strumie-
nia skojarzonego. Strumie& skojarzony jest proporcjonalny do pr du p!yn cego przez cewk". N = LI (23.3)
23-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Sta!a proporcjonalno%ci L = N /I (23.4) nazywana jest indukcyjno"ci!. Zró$niczkowanie(po czasie) równania (23.3) daje
t
IL
tN
d
d
d
d"
St d
t
IL
d
d!"$ (23.5)
Jednostk L jest henr. 1 H = 1 Vs/A Jako przyk!ad obliczmy indukcyjno%# cewki o d!ugo%ci l0 i N zwojach. Strumie& przez ka$dy zwój wynosi
= BS
gdzie B dla cewki wynosi B = %0nI = %0I(N/l0)
Zatem
Il
NS
00% "
Indukcyjno%# L otrzymujemy mno$ c strumie& przez N/I
0
2
0l
SNL %" (23.6)
Zauwa$my, $e L zale$y tylko od geometrii.
23.1.3 Indukcja wzajemna
Omawiaj c transformator pokazywali%my, $e dwie cewki mog oddzia!ywa# na sie-bie. Pr d zmienny w jednej wywo!ywa! SEM w drugiej. Tym razem strumie& przecho-dz cy przez cewk" 2 jest proporcjonalny do pr du p!yn cego przez cewk" 1.
N2 21 = M21I1 Sta! proporcjonalno%ci M21 nazywamy indukcj! wzajemn!. Ró$niczkuj c to równanie otrzymujemy
t
IM
tN
d
d
d
d 121
212 "
St d
23-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
t
IM
d
d 1212 !"$
Je$eli zmieniamy pr d I2 to analogicznie
t
IM
d
d 2121 !"$
Mo$na pokaza# (ale w skomplikowany sposób), $e
M12 = M21 = M Podobnie jak L tak samo M zale$y tylko od geometrii uk adu. 23.2 Obwody RC i RL, sta"e czasowe
Zaczniemy teraz zajmowa# si" pr dami zmieniaj cymi si" w czasie.
23.2.1 Obwód RC
Rozpatrzmy jaki pr d pop!ynie w obwodzie po zamkni"ciu wy! cznika do pozy-
cji (a).
$
R
C
a
b
Korzystamy z prawa Kirchoffa.
C
qIR &"$ (23.7)
W równaniu tym s dwie niewiadome I oraz q. Ale mo$emy skorzysta# ze zwi zku I = dq/dt. Otrzymujemy równanie ró$niczkowe
C
qR
t
q&"
d
d$
Szukamy rozwi zania q(t). Ma ono posta#
)1( / RCteCq !!" $ (23.8)
23-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Mo$emy sprawdzi# czy funkcja ta jest rozwi zaniem równania ró$niczkowego poprzez jej podstawienie do tego równania. Pr d obliczamy ró$niczkuj c dq/dt
RCteRt
qI /
d
d !""$
Rysunki przedstawiaj zale$no%# q(t) oraz I(t).
q
t
C$
I
$/R
t
Je$eli teraz prze! czymy wy! cznik do pozycji (b) to b"dziemy roz!adowywa# konden-sator. Teraz w obwodzie nie ma $ i prawo Kirchoffa przyjmuje posta#
0"&C
qIR czyli 0
d
d"&
C
q
t
qR
Rozwi zanie ma posta#
RCteqq /0
!" (23.9)
gdzie q0 jest !adunkiem pocz tkowym na kondensatorze. Nat"$enie pr du przy roz!adowaniu wynosi
RCteRC
q
t
qI /0
d
d !!""
W równaniach opisuj cych !adowanie i roz!adowanie kondensatora wielko%# RC ma wymiar czasu i jest nazywana sta ! czasow! obwodu. Opisuje ona fakt, $e !adunek na kondensatorze nie osi ga od razu warto%ci ko&cowej lecz zbli$a si" do niej wyk!adni-czo. Podobnie przy roz!adowaniu.
23.2.2 Obwód RL
Analogicznie opó'nienie w narastaniu i zanikaniu pr du pojawia si" w obwodzie RL przy w! czaniu lub wy! czaniu 'ród!a SEM.
23-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
$
R
L
a
b
Gdyby nie by!o cewki pr d osi gn !by natychmiast warto%# $/R. Dzi"ki cewce w obwo-dzie pojawia si" dodatkowo SEM samoindukcji $L, która zgodnie z regu! Lenza prze-ciwdzia!a wzrostowi pr du (po w! czeniu) co oznacza, $e jej zwrot jest przeciwny do $. Z prawa Kirchoffa otrzymujemy
0d
"!!t
LIR$d I
(23.10)
oszukujemy rozwi zania tego równania ró$niczkowego w postaci I(t). P
Ma ono posta#
)1( / LRteR
I !" !$ (23.11)
prawdzamy poprzez podstawienie do równania. Napi"cie na oporniku i cewce pokaza-S
ne jest na rysunkach poni$ej.
V
t
$
R
V
$
t
L
arastanie pr du w obwodzie jest opisane sta! czasow 'L = L/R. i otrzymamy
NJe$eli prze! cznik ustawimy w pozycji (b) to wy! czmy 'ród!o SEM
0d
"& IRt
Ld I
(23.12)
rozwi zaniem z
LRteR
I /!"$
(23.12)
23-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
23.3 Energia, a pole magnetyczne
awa Kirchoffa otrzymali%my Pozosta&my przy obwodzie RL. Z pr
td Mno$ c to równanie przez I dostajem
ILIR
d&"$
y
t
ILIRI
d
d2 &
"puj ca:
( lewa strona równania przedstawia szybko%# (moc = $I tj $dq/dt) z jak 'ród!o prze-
tycznym.
I "$
Interpretacja tego równania z punktu widzenia pracy i energii jest nast)
kazuje do obwodu energi" $q. )( pierwszy wyraz po prawej stronie to szybko%# (moc) wydzielania ciep!a na oporze
R. )( drugi wyraz po prawej stronie to szybko%# z jak energia gromadzi si" w polu ma-
gneTo ostatnie mo$emy zapisa# jako
t
ILI
t
WB
d
d
d
d"
czyli
ILIdWB d"
Po sca!kowaniu otrzymujemy
2
2
1dd LIILIWBB """ ** W (23.13)
ównanie okre%la ca kowit!
rzez, któr p!ynie pr d I.
R w cewce o indukcyjno%ci L energi# magnetyczn! zawart pPorównajmy to z energi na!adowanego kondensatora
C
C 2
qW
21"
(23.14)
3.4 G#sto ! energii a pole magnetyczne
Rozpatrzmy solenoid o d!ugo%ci l i powierzchni przekroju S czyli o obj"to%ci lS.
2
Tak wi"c g"sto%# energii
23-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
lS
Ww B
B "
Poniewa$ 21
LIW "2B
wi"c LI
w21
"lS2B
Przypomnijmy, $e
l
SNL
2
0%" oraz l
NIInB 00 %% ""
co w po! czeniu daje wyra$enie
02 %
21 BwB " (23.15)
opisuj ce g#sto"$ energii zawartej w ka punkcie przestrzeni w której jest indukcja agnetyczna B.
$dym
mPrzyk ad 2
D!ugi koncentryczny kabel sk!ada si" z cylindrycznych przewodników o promieniach my energi" zawart w polu magnetycznym kabla na odcinku o d!ugo%ci l0 a i b. Oblicz
oraz jego indukcyjno%#.
-
+
a
b
r
dr
pera dla przestrzeni pomi"dzy cylindrami otrzym Stosuj c prawo Am amy
zyli
IrB 02 %+ "
c
r+2 G"sto%# energii w punktach pomi" i
IB
%0"
dzy przewodam
23-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
22
20 I
wB
%",-""
Rozpatrzmy teraz cienk i. Obj"to%# tej warstewki
ynosi:
dla odcinka kabla o d!ugo%ci l0. nergia w tej obj"to%ci wynosi wi"c
2
02 11 IB % ./
00 8222 rr ++%% 01
(dr) warstewk" pomi"dzy cylindramw
dV = 2+rdrl0
E
rr 48+
c) po ca!ej obj"to%ci obliczamy ca!kowit energi"
rlIrlr
IVwW B
dd2dd 0
20
022
20
+%
+%
"""
Sumuj c (ca!kuj W
ara
44 ++
y z zale$no%ci
blIrlIb d 0
200
20 %%
WW lnd ** """
Indukcyjno%# znajdziem
21LIU "
2 czyli
2
2
I
UL "
a
blL ln
200
+%
"
L zale$y tylko od czynników geometrycznych.
23-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 24
24. Drgania elektromagnetyczne
24.1 Wst p
Przypomnienie: masa M na spr"#ynie, bez oporów. Równanie ruchu
kxt
xM !
2
2
d
d
Rozwi zania
x = Acos"t
v = dx/dt = A"sin"t
a = d2
x/dt2 = – A"2
cos"t
przy warunku " = (k/M)1/2
.
24.2 Obwód LC
Rozpatrzmy obwód z!o#ony z szeregowo po! czonych indukcyjno$ci L i pojemno$ci
C. Opór omowy jest równy zeru (R = 0). Za!ó#my, #e w chwili pocz tkowej na
kondensatorze C jest nagromadzony !adunek qm, a pr d przez cewk" jest równy zeru.
Energia zawarta w kondensatorze
WC = qm2/(2C) (24.1)
jest maksymalna, a energia w cewce
WL = LI2/2 (24.2)
jest równa zeru.
Po zamkni"ciu obwodu, kondensator roz!adowuje si" przez cewk". W obwodzie p!ynie
pr d I = dq/dt. W miar" jak maleje !adunek na kondensatorze maleje te# energia zawarta
w polu elektrycznym kondensatora, a ro$nie energia pola magnetycznego, które pojawia
si" w cewce w miar" narastania w niej pr du.
Wreszcie gdy !adunek spadnie do zera ca!a energia jest przekazana do pola
magnetycznego cewki. Pr d w cewce indukcyjnej ma maksymaln warto$%. Ten pr d
!aduje kondensator (przeciwnie) wi"c energia jest ponownie przekazywana do
kondensatora. Stan ko&cowy jest taki jak pocz tkowy tylko kondensator jest
na!adowany odwrotnie. Sytuacja powtarza si". Mamy wi"c do czynienia z oscylacjami
!adunku (pr du).
24-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Opis ilo!ciowy
Z prawa Kirchoffa
UL + UC = 0
0d
d!#
C
q
t
IL (24.3)
Poniewa# I = dq/dt wi"c
C
q
t
qL !
2
2
d
d (24.4)
To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla spr"#yny, przy czym
nast"puj ce wielko$ci s analogiczne
q $ x, L $ M, 1/C $ k
Tak wi"c mo#emy napisa% rozwi zanie tego równania
q = qmcos"t
I = dq/dt = qm"sin"t = Imsin"t
" = (1/LC)1/2
(24.5)
gdzie Im = qm"
UL = - LdI/dt = – LIm"cos"t
UC = q/c = (qm/C)cos"t
Poniewa#
LIm" = Lqm"2 = Lqm(1/LC) = qm/C
wida%, #e amplitudy napi"% s takie same.
24.3 Obwód szeregowy RLC
Dotychczas rozwa#ali$my obwód zwieraj cy indukcyjno$% L oraz pojemno$% C.
Tymczasem ka#dy obwód ma pewien opór R, przyk!adowo jest to opór drutu z którego
nawini"to cewk". Obecno$% oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci
wydzielaj cego si" ciep!a. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania
t umione analogiczne do drga& t!umionych spr"#yny opisanych w wyk!adzie 12, przy
czym wspó!czynnik t!umienia 1/2% jest równy R/2L.
Drgania w obwodzie RLC mo#na podtrzyma% je#eli obwód b"dziemy zasila%
napi"ciem sinusoidalnie zmiennym
tUtU "sin)( 0!
24-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawieraj cego elementy R, L, C oraz 'ród!o SEM ma
posta%
tUC
qRI
t
IL "sin
d
d0!## (24.6)
ró#niczkuj c po dt
tUC
I
t
IR
t
IL "" cos
d
d
d
d02
2
!## (24.7)
albo
tL
U
LC
I
t
I
L
R
t
I"
"cos
d
d
d
d 0
2
2
!## (24.8)
To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy R/L $
a mi"dzy napi"ciem i nat"#eniem pr du istnieje ró#nica faz, dana równaniem
R
CL
""
'
1
!tg (24.10)
Wyra#enie (24.9) ma posta% prawa Ohma przy czym sta!a proporcjonalno$ci pomi"dzy
U0 i I0
2
2 1()
*+,
- #!C
LRZ"
" (24.11)
pe!ni analogiczn rol" jak opór R w prawie Ohma. Wielko$% Z nazywamy impedancj!
(zawad!) obwodu.
Gdy zmienne sinusoidalne napi"cie przy!o#ymy do kondensatora to C
q!U
St d
C
I
t
U!
d
d
24-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
co dla U=U0sin"t daje
C
ItU !"" cos0
St d
)90sin(cos 00
#!! tCUtCUI """"
Wida%, #e pr!d wyprzedza napi"cie na kondensatorze o 90.. Maksymalny pr d I0 = U0/("C) a sta!a proporcjonalno$ci 1/"C pe!ni ca rol"
analogiczn do oporu w obwodzie pr du sta!ego nazywamy reaktancj! pojemno#ciow!.
XC = 1/"C (24.12)
Je#eli generator pr du zmiennego pod! czymy do cewki indukcyjnej to analogicznie
mo#na pokaza%, #e
)90sin(cos 00 ! ! tL
Ut
L
UI "
""
"
Pr d pozostaje za napi"ciem o 90., a reaktancja indukcyjna ma warto$%
XL = "L (24.12)
Zauwa#my, #e w obwodzie RLC, pomimo po! czenia szeregowego oporów omowego,
pojemno$ciowego i indukcyjnego ich opór zast"pczy (zawada) nie jest prost sum tych
oporów. Wynika to w!a$nie z przesuni"$ fazowych.
Trzeba je uwzgl"dni% przy dodawaniu napi"%.
U = UR + UC + UL
czyli
U = I0Rsin"t - XCI0cos"t + XLI0cos"t
(na kondensatorze U pozostaje za I, na cewce U wyprzedza I)
St d
tXXtRI
UCL "" cos)(sin
0
0 #!
Mamy teraz doda% sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku.
Mo#emy przy tym skorzysta% z wyra#enia (24.10) wed!ug, którego tg' = (XL - XC)/R
.Relacja ta jest pokazana na rysunku poni#ej
Zauwa#my, ze przeciwprostok tna trójk ta na rysunku jest równa zawadzie
Z = (R2 + (XL - XC)
2)
1/2.
24-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
R
(XL - XC)
Z
'
24.3.1 Rezonans
Drgania !adunku, pr du i napi"cia w obwodzie odbywaj si" z cz"sto$ci zasilania
". Amplituda tych drga& zale#y od " i osi ga maksimum dla pewnej charakterystycznej
warto$ci tej cz"sto$ci. Przypomnijmy, #e zjawisko to nazywamy rezonansem. Dla
ma!ego oporu R czyli dla ma!ego t!umienia warunek rezonansu jest spe!niony gdy
LC
10 !!"" (24.13)
Nat"#enie pr du osi ga wtedy warto$% maksymaln równ
R
UI 0
0 ! (24.14)
Widzimy, #e nat"#enie pr du w obwodzie jest takie, jak gdyby nie by!o w nim ani
pojemno$ci ani indukcyjno$ci, a zawada wynosi!a R.
Przyk ad
Drgania wymuszone w obwodzie mo#na tak#e wywo!a% bez w! czania bezpo$redniego
'ród!a SEM w postaci generatora. Przyk!adem mo#e by% uk!ad RLC w obwodzie
wej$ciowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poni#ej. Uk!ad ten jest
zasilany sygna!em z anteny.
W uk!adzie dostrojenie do cz"stotliwo$ci danej radiostacji jest osi gane przez dobranie
pojemno$ci. W ten sposób jest spe!niony warunek rezonansu dla tej cz"stotliwo$ci.
24-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Przyjmijmy, #e w pokazanym uk!adzie R = 10 /, a L = 1 0H. Sprawd'my, jaka
powinna by% pojemno$% C aby uzyska% dostrojenie odbiornika (rezonans) do stacji
"Jazz Radio", która w Krakowie nadaje na cz"stotliwo$ci 101 MHz? Korzystaj c z warunku (24.13) otrzymujemy C = 2.48 pF.
W warunkach rezonansu napi"cie na kondensatorze (w obwodzie RLC) jest równe
C
L
R
U
CR
UXIU CrezC
0
0
00,
1!!!
"
Je#eli sygna! wej$ciowy z anteny ma amplitud" 100 0V to napi"cie na kondensatorze przy cz"stotliwo$ci rezonansowej ma warto$% 6.35 mV. Dla porównania napi"cie na kondensatorze przy tych samych ustawieniach R, L, C i sygnale o tej samej amplitudzie ale o cz"stotliwo$ci 96.0 MHz (radio "RMF") wynosi 1 mV.
24.3.2 Moc w obwodzie pr"du zmiennego
W obwodzie pr du przemiennego moc dana analogicznym wyra#eniem jak dla pr du sta!ego )()()( tItUtP ! (24.15)
ale warto$% jej zmienia si" bo zmienne jest napi"cie i nat"#enie pr du. Dlatego te# w przypadku pr du zmiennego pos!ugujemy si" warto#ciami #rednimi. Zgodnie z naszymi obliczeniami moc w obwodzie RLC w dowolnej chwili t wynosi
)sin(sin)()()( 00 '"" !! ttIUtItUtP
Korzystaj c ze wzoru na sinus ró#nicy k tów otrzymujemy
)sin2sin2
1cos(sin)sincoscos(sinsin)( 2
0000 '"'"'"'"" ttIUtttIUtP ! !
gdzie skorzystali$my z relacji 22 ttt """ sincos !sin . Moc $rednia jest wi"c dana
wyra#eniem
)sin2sin2
1cossin( 2
00 '"'" ttIUP !
Poniewa# to 122 !# tt "" cossin 2122 !! tt "" cossin (wykresy sinus i cosinus s
takie same, jedynie przesuni"te o 1/2). Ponadto 0!2 t"sin bo funkcja sinus jest na
przemian dodatnia i ujemna. Uwzgl"dniaj c, ponadto #e U0 = ZI0 oraz, #e (zgodnie z rysunkiem na stronie 24-4) ZR!'cos otrzymujemy wyra#enie na moc $redni
22
)(cos
2
200000 RI
Z
RIZIIUP !!! ' (24.16)
24-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Jak widzimy, $rednia moc zale#y od przesuni"cia faz. Przypomnijmy, #e dla pr du sta!ego P = I
2R. Z porównania tych dwóch wyra#e& dochodzimy do wniosku, #e moc
$rednia wydzielana przy przep!ywie pr du zmiennego o amplitudzie I0 jest taka sama jak pr du sta!ego o nat"#eniu
Mierniki pr du zmiennego (np. amperomierze i woltomierze) odczytuj w!a$nie warto$ci skuteczne. Warto$% napi"cia 220 V w naszej sieci domowej to warto$% skuteczna. Obliczyli$my moc $redni wydzielan w ca!ym obwodzie. Porównajmy j teraz ze $redni moc tracon na oporze R
2
2022
02 RI
RtIRtIPR !!! "sin)(
Widzimy, #e ca a moc wydziela si" na oporze R, a to oznacza, #e na kondensatorze i
cewce nie ma strat mocy. Zwró%my uwag", #e ten wniosek pozostaje w zgodno$ci z naszymi wcze$niejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje si" tylko pojemno$% lub indukcyjno$% (nie ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe 1/2, a poniewa# cos(1/2) = 0 to zgodnie z równaniem (24.16) $rednia moc jest równa zeru. Jednocze$nie zauwa#my, #e moc chwilowa zmienia si" z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do uk!adu).2
Omawiane obwody, w których elementy R, L, C stanowi!y odr"bne cz"$ci nazywamy obwodami o elementach skupionych. W praktyce jednak mamy do czynienia z elementami, które maj z!o#one w!asno$ci. Przyk!adem mo#e tu by% cewka, która oprócz indukcyjno$ci L ma zawsze opór R oraz pojemno$% mi"dzyzwojow C. Mamy wtedy do czynienia z obwodami o elementach roz o%onych.
24-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 25
25. Równania Maxwella
25.1 Podstawowe równania elektromagnetyzmu
Poszukiwali"my zawsze podstawowego (najmniejszego) zestawu równa# pozwala-
j cego na pe!ne opisanie przedmiotu zainteresowa#.
W mechanice - trzy zasady dynamiki
W termodynamice - trzy zasady termodynamiki
Teraz chcemy zrobi$ to samo dla elektromagnetyzmu.
Zacznijmy od poznanych ju% równa#.
Nazwa Równanie
1
2
3
4
prawo Gaussa dla elektryczno"ci
prawo Gaussa dla magnetyzmu
prawo indukcji Faradaya
prawo Ampera
! 0/d "qSE
! 0dSB
#!!t
B
d
dd
$" lE
! I0d %lB
Te równania jak si& oka%e s niekompletne Konieczne jest wprowadzenie jeszcze jed-
nego dodatkowego wyrazu do równania 4.
Pozwala on w szczególno"ci na udowodnienie, %e pr&dko"$ "wiat!a w pró%ni c, jest
zwi zana z czysto elektrycznymi i magnetycznymi wielko"ciami.
Prze"led'my powy%sz tabel& z punktu widzenia symetrii.
Zwró$my uwag&, %e w tych rozwa%aniach sta!e %0 i "0 nie s istotne bo mo%emy wybra$
uk!ad jednostek, w którym b&d te sta!e równe 1. Wtedy zauwa%amy pe!n symetri& le-
wych stron równa#. Prawe strony NIE s symetryczne.
Przyczyn& niesymetrii dla równa# 1 i 2 znamy. Wiemy, %e istniej izolowane centra
!adunku (np. elektron, proton) ale nie istniej izolowane centra magnetyczne (pojedyn-
cze bieguny magnetyczne - monopole). Dlatego w równaniu 1 pojawia si& q, a w 2 zero.
Z tego powodu mamy w równaniu 4 pr d I = dq/dt, a nie mamy pr du monopoli (!adun-
m – d$B/dt w równaniu 3. Sens tego prawa
wrotna:
ków magnetycznych) w równaniu 3.
Drugi rodzaj asymetrii wi %e si& z wyraze
jest nast&puj cy: zmieniaj ce si" pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.
Korzystaj c z zasad symetrii mo%na przypuszcza$, %e obowi zuje zale%no"$ od
zmieniaj c pole elektryczne (d$E/dt) wytwarzamy pole magnetyczne )d( lB .
25.2 Indukowane pole magnetyczne
Oczywi"cie do"wiadczenie daje przyk!ady: w kondensatorze (cylindrycznym) pole
elektryczne wzrasta (kondensator !aduje si&) z pr&dko"ci dE/dt co oznacza, %e do ok!a-
dek dop!ywa !adunek.
25-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Do"wiadczenie pokazuje, %e powstaje tam pole magnetyczne wytworzone przez zmienia-
j ce si" pole elektryczne.
x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
i i
E
E
R
r
B
B B
B
Trzeba to uwzgl&dni$ w naszych równaniach. Jeszcze raz rozpatrzmy cylindryczny kon-
densator i obliczmy z prawa Ampera pole magnetyczne w punkcie P (rysunek poni%ej).
S
S'
E
i
i
r
P
Wybieramy kontur obejmuj cy p!ask powierzchni& S, która zawiera pr d I oraz prze-
chodzi przez punkt P (w odleg!o"ci r) ( ). Z prawa Ampera otrzymujemy !S
ISjd
!Skontur
I0d %lB
St d
B2&r=%0I
Czyli
r
IB
&%2
0!
Prawo Ampera obowi zuje dla dowolnego konturu. Wybieramy wi&c kontur ko!owy na
którym rozpi&ta jest zakrzywiona powierzchnia S'. (aden pr d nie przechodzi przez t&
powierzchni& wi&c tym razem kontur nie obejmuje pr du i mamy ! 0dlB co jest
sprzeczne z poprzednim wynikiem. Wynika to z nieci g!o"ci pr du, który nie p!ynie
Uwaga: Gdyby szeroko#& szczeliny by!a równa # wtedy pierwsze minimum pojawi!oby
si" dla " = 90% czyli #rodkowe maksimum wype!ni!oby ca!y ekran. W miar" rozszerza-
nia szczeliny #rodkowe maksimum staje si" w"$sze. (Podobnie by!o dla interferencji
Younga w miar" zmiany odleg!o#ci mi"dzy szczelinami punktowymi). Podobne rozwa-
$ania mo$emy powtórzy& dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyra$enie
dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci
asin" = m#, m = 1, 2, 3,...... (minimum) (29.1)
Mniej wi"cej w po!owie mi"dzy ka$d para s siednich minimów wyst"puj oczywi#cie
maksima nat"$enia.
29.2 Pojedyncza szczelina, rozwa ania jako!ciowe
Teraz chcemy znale%& wyra$enie na rozk!ad nat"$enia w ca!ym obszarze dyfrakcyj-
nym w funkcji k ta ". Teraz zrobimy to jako#ciowo.
Wyobra%my sobie, $e szczelin" o szeroko#ci a dzielimy na N pasków o ma!ej szeroko-
#ci &x. Ka$dy pasek jest %ród!em fal kulistych Huyghensa, które wytwarzaj na ekranie
okre#lone zaburzenie falowe.
29-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
a "
"
&x sin"
B C
P
P0
Ró$nica dróg mi"dzy s siednimi paskami wynosi &xsin" st d ró$nica faz &' pomi"dzy
falami pochodz cymi z s siednich pasków wynosi
#"
(' sin
2
x&$
&
czyli
"#(
' sin2
x&$&
! Zak!adamy, $e paski s tak w skie, $e wszystkie punkty na danym pasku maj t" sa-
m drog" optyczn do punktu P (ca!e #wiat!o ma t" sam faz").
! Dla ma!ych k tów " amplitudy &E0 zaburze' falowych w punkcie P pochodz ce od
ró$nych pasków przyjmujemy za jednakowe.
Zatem w punkcie P dodaje si" N wektorów (pól elektrycznych E) o tej samej amplitu-
dzie &E0, tej samej cz"sto#ci i tej samej ró$nicy faz &' mi"dzy kolejnymi wektorami.
Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla ró$nych punktów P, tzn. dla ró$nych k -
tów ", tzn. dla ró$nych &'.
Poni$ej na rysunkach przedstawione jest zaburzenie wypadkowe dla kilku ró$nych
miejsc na ekranie.
! Rysunek (a) przedstawia warunki dla maksimum #rodkowego (&'=0%). ! Rysunek (b) przedstawia warunki dla kierunku nieco odmiennego od maksimum
#rodkowego (&'=5%). ! Rysunek (c) przedstawia warunki dla pierwszego minimum (&'=30%). ! Rysunek (d) przedstawia warunki bliskie pierwszemu maksimum (poza #rodkowym)
(&'=42%).
29-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
E"!$!EM
E"E"
E"
E"!$!)a)
b)
c)
d)
Zwró&my uwag", $e d!ugo#& !uku jest zawsze równa EM ale amplituda E" jest ró$na.
Wektory na rysunku odpowiadaj amplitudom (a nie nat"$eniom). (eby otrzyma& nat"-
$enia trzeba je podnie#& do kwadratu. W przeciwie'stwie do obrazu interferencyjnego
nat!"enia kolejnych maksimów nie s jednakowe.
29.3 Pojedyncza szczelina, rozwa ania ilo!ciowe
Na rysunku poni$ej jest przedstawiona konstrukcja s!u$ ca do obliczenia nat"$enia
#wiat!a w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Sytuacja odpowiada tej pokazanej
na poprzednim rysunku (b).
R
R
Em Em
E"
**'
'
Je$eli szczelin" podzielimy na niesko'czenie wiele ma!ych pasków o szeroko#ci dx to
!uk strza!ek b"dzie !ukiem ko!a o promieniu R. D!ugo#& !uku wynosi Em czyli równa jest
amplitudzie w #rodku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strza!ek).
K t ' w dolnej cz"#ci rysunku przedstawia ró$nic" fazy mi"dzy skrajnymi wektorami w
!uku tzn. ' jest ró$nic faz pomi"dzy promieniami wychodz cymi z góry i do!u szczeli-
ny.
29-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Jak wida& z rysunku
2sin2 '"
$R
E
czyli
2
sin2'
" RE $ (29.2)
W mierze !ukowej
R
Em$'
St d
'mE
R $
Podstawiaj c do równania (29.2) otrzymamy
2sin
2
''"
mEE $
czyli
**" sinmE
E $ (29.3)
gdzie * = '/2.
Przypomnijmy, $e ' jest ró$nic faz dla promieni wychodz cych z kra'ców szczeliny.
Poniewa$ ró$nica dróg dla tych promieni wynosi asin" (a szeroko#& szczeliny) wi"c
mo$emy pos!u$y& si" znanym zwi zkiem
ró$nica faz/2( = ró$nica dróg/# !otrzymuj c
"#(
' sin2 a
$
lub
"#('
* sin2
a$$ (29.4)
Teraz mo$emy ju$ obliczy& nat"$enie #wiat!a dla dyfrakcji na pojedynczej szczelinie.
Nat"$enie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Otrzymujemy wi"c
29-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
2sin
+,
-./
0$**
" mII (29.5)
Wyra$enie na nat"$enie przyjmuje warto#& minimaln dla
* = m(, m = 1, 2, 3,....
Podstawiaj c do równania (29.4) otrzymujemy
asin" = m#, m = 1, 2, 3, ..... (minimum)
Jest to wynik zgodny z uzyskanym poprzednio (rozwa$ania jako#ciowe).
Obliczmy teraz wzgl"dne nat"$enia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych.
Maksima le$ w #rodku pomi"dzy minimami, a wi"c w punktach, dla których
* = (m+1/2)(, m = 1, 2, 3,.......
Podstawiaj c to do równania (29.5) na nat"$enie otrzymujemy
I"/Im = 0.045, 0.016, 0.008 dla m = 1, 2, 3. Wida&, $e nat!"enia kolejnych maksimów
bardzo szybko malej .
Na rysunku poni$ej przedstawiono krzywe I" dla ró$nych szeroko#ci szczeliny (w sto-
sunku do d!ugo#ci fali #) w funkcji po!o$enia na ekranie (k ta ").
a=10#
a=5#
a=#
10510 5
wzg
l dne n
at !enie
" (deg)
29-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
29.4 Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach
W do#wiadczeniu Younga szczeliny by!y w skie ( a << #) tak, $e ka$da ze szczelin
o#wietla!a równomiernie ekran. Je$eli takie fale (spójne) interferowa!y to otrzymywali-
#my pr "ki o jednakowym nat!"eniu.
Dla realnych szczelin trudno jest zrealizowa& warunek a << #. Oznacza to, $e pojedyn-
cza szczelina b"dzie dawa!a obraz dyfrakcyjny i interferencja fal da teraz obraz, w któ-
rym nat"$enia pr $ków nie b"d sta!e (jak w do#wiadczeniu Younga) ale zale$ne od te-
go obrazu dyfrakcyjnego.
Odej#cie od za!o$enia a << # powoduje g!ównie zmian" nat"$enia pr $ków (ich po!o-
$enia pozostaj prawie nie zmienione).
Przypomnijmy, $e obraz interferencyjny dla dwóch szczelin dany jest równaniem
1"2
int,int, cosmII $
gdzie
"#(
1 sind
$
przy czym d jest odleg!o#ci mi"dzy szczelinami.
Natomiast nat"$enie fali ugi"tej na szczelinie jest dane równaniem
2
,,
sin+,
-./
0$**
" dyfmdyf II
gdzie
"#(
* sina
$
przy czym a jest szeroko#ci szczeliny.
Teraz chcemy otrzyma& ! czny efekt. Dlatego w równaniu dla interferencji sta! ampli-
tud" (dla w skich szczelin) zast"pujemy realnym nat"$eniem dyfrakcyjnym. Otrzymu-
jemy
2
2 sin)(cos +
,
-./
0$**
1" mII (29.6)
Ten wynik opisuje nast"puj ce fakty. W pewnym punkcie ekranu nat"$enie #wiat!a, z
ka$dej szczeliny osobno, jest dane przez obraz dyfrakcyjny tej szczeliny. Obrazy dy-
frakcyjne dwóch szczelin rozpatrywanych oddzielnie nak!adaj si" (fale interferuj ).
Rysunek poni$ej jest wykresem powy$szego równania dla d = 50# i trzech warto#ci sto-
sunku a/#.
29-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 a = #
wzgl
dne n
at !enie
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = 5#
wzgl
dne n
at !enie
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = 10#
1010 55
wzgl
dne n
at !enie
" (deg)
29-9
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Obwiednie pr $ków interferencyjnych pokrywaj si" dok!adnie z obrazem dyfrakcyj-
nym. Obraz jest wi"c iloczynem czynnika interferencyjnego i dyfrakcyjnego (rysunek
poni$ej). Czynnik interferencyjny (cos21) jest pokazany na górnym wykresie, czynnik
dyfrakcyjny (sin*/*)2 na #rodkowym, a ich iloczyn na dolnym.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
wzgl
dne n
at !enie
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0w
zgl
dne n
at !enie
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1010 55 " (deg)
a = 5#
wzgl
dne n
at !enie
29-10
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 30
30. Siatki dyfrakcyjne
30.1 Siatki dyfrakcyjne
Rozpatrzymy teraz przypadki gdy liczba centrów rozpraszania jest wi"ksza. Tzn. rozpatrzmy naturalne rozszerzenie do#wiadczenia Younga poprzez zwi"kszenie liczby szczelin od dwu do wi"kszej liczby N. Uk!ad zawieraj cy zespó! N równoleg!ych szczelin nazywamy siatk dyfrakcyjn (szczelin mo$e by% b. du$o np. 104/cm). Na rysunku poni$ej pokazany jest rozk!ad nat"$e& dla N = 5 szczelin.
e
d
c
b
a
N = 5
0.2
0.4
0.6
0.8
Dla przypomnienia poni$ej pokazano wynik w do#wiadczeniu Younga.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Z tych rysunków wida%, $e zwi"kszenie liczby szczelin ! nie zmienia odleg!o#ci pomi"dzy g!ównymi maksimami (przy sta!ych d i ") ! nast pi!o natomiast ich zw"$enie (wyostrzenie) ! pojawi!y si" wtórne maksima pomi"dzy maksimami bocznymi Maksima g!ówne wyst pi gdy spe!niony jest znany warunek
30-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
dsin# = m", m = 0, 1, 2, (maksima) (30.1) gdzie m nazywamy rz"dem widma, a d jest odleg!o#ci mi"dzy szczelinami (sta!a siatki dyfrakcyjnej). Uwaga: Po!o$enia maksimów g!ównych nie zale$ od N. Pochodzenia maksimów wtórnych mo$na wyja#ni% za pomoc metody strza!ek fazo-wych (wskazów).
a)
b)
c)
d)
e)
$!%!&
$!%!'()
$!%!**&)
$!%!*++)
$!%!*,&)
E#
E#!%!& E#
E#
E#!%!&
Siatki dyfrakcyjne s cz"sto stosowane do pomiarów d!ugo"ci fali i do bada# struktury i
nat$%enia linii widmowych. ! Poniewa$ sta! siatki dyfrakcyjnej mo$na zmierzy% dok!adnie pod mikroskopem to z
warunku na wyst"powanie g!ównych maksimów mo$emy wyznaczy% ". ! Z tego samego warunku wida%, $e fale o ró$nych " uginaj si" pod ró$nymi k tami
jest wi"c szansa na ich rozseparowanie. Przyk!ad 1
Siatka dyfrakcyjna ma 4000 naci"% na 1 cm. Pada na ni prostopadle #wiat!o $ó!te z lampy sodowej. W #wietle tym wyst"puj dwie fale o d!ugo#ciach 589.00 i 589.59 nm. Pod jakim k tem wyst"puje maksimum dla pierwszego rz"du dla 1 z tych linii? Jaka jest odleg!o#% k towa pomi"dzy maksimami pierwszego rz"du dla tych linii? Maksimum pierwszego rz"du otrzymujemy z warunku
dsin# = m" dla m = 1
sin# = "/d = 0.236
# = 13.6°
30-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Najprostszym sposobem znalezienia odleg!o#ci k towej jest powtórzenie oblicze& dla " = 589.59 i odj"cie obliczonych k tów ale trzeba prowadzi% bardzo precyzyjne obli-czenia tzn. dla wielu liczb znacz cych (nie tak jak powy$ej). Powtarzamy obliczenia
dla " = 589.00 nm # = 13.6270° dla " = 589.59 nm # = 13.6409°
st d -# = 0.0139°
Mo$emy jednak przeprowadzi% bezpo#rednie obliczenia tej ró$nicy. W tym celu zró$niczkujemy nasze równanie
Oczywi#cie otrzymujemy ten sam wynik ale obliczenia wymagaj tylko 2 cyfr znacz -cych zamiast 5 (jak ").
Wielko#% #"
#cosd
d
d
mD %% jest nazywana dyspersj k tow siatki dyfrakcyjnej i in-
formuje o odleg!o#ci k towej (rozdzieleniu) dwóch fal o ma!o ró$ni cych si" d!ugo-#ciach.
30.2 Dyfrakcja promieni Roentgena (promieni X)
Promienie X s falami elektromagnetycznymi o d!ugo#ciach fal rz"du 0.1 nm. (Dla przypomnienia #wiat!o $ó!te z przyk!adu 1 ma d!ugo#% równ 589 nm.) W 1912 r. Max von Laue zauwa$y!, $e cia!a sta!e zawieraj ce regularny uk!ad atomów mog stanowi% naturaln , trójwymiarow „siatk" dyfrakcyjn ” dla promieniowania X.
(Standardowe optyczne siatki dyfrakcyjne s bezu$yteczne bo " << d.).
Rysunek poni$ej pokazuje wi zk" promieni X, o widmie ci g!ym, padaj c na
kryszta!. Wi zki promieni powsta!e w wyniku interferencji fal ugi"tych na atomach pa-
30-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
daj na klisz" tworz c na niej charakterystyczny uk!ad punktów zwany obrazem Lau-
ego. Analiza po!o$e& i nat"$e& tych punktów pozwala na okre#lenie struktury kryszta!u.
wi¹ zka prom. X
kryszta³
wi¹ zki
ugiête obraz
Lauego
Na kolejnym rysunku pokazana jest komórka elementarna kryszta!u NaCl.
Ma!e kule przedstawiaj jony sodu, a du$e jony chloru.
Jest to najmniejsza jednostka, z której mo$na zbudowa% kryszta! (cegie!ka) poprzez do-
dawanie jej (powielanie) w trzech prostopad!ych kierunkach.
Ka$da komórka elementarna NaCl zawiera 4 jony sodu i cztery jony chloru czyli cztery
cz steczki NaCl (poza jonem w #rodku, pozosta!e nale$ te$ do komórek s siednich).
Dla NaCl d!ugo#% boku komórki elementarnej wynosi 0.562737 nm (porówna% z d!ugo-
#ci fali promieniowania X).
Nat"$enia linii siatki dyfrakcyjnej zale$ od geometrii pojedynczej szczeliny. W ideal-
nym przypadku zale$ od szeroko#ci szczeliny.
Tak samo nat"$enia wi zek rozproszonych na krysztale zale$ od geometrii pojedynczej
rozpraszaj cej komórki elementarnej.
30-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
30.3 Prawo Bragga
Prawo Bragga podaje warunki, w jakich jest mo$liwa dyfrakcja promieni Roentgena
krysztale. Rysunek poni$ej pokazuje ugi"cie wi zki promieni X na zespole równole-
g!ych p!aszczyzn (linie przerywane). Odleg!o#% mi"dzy p!aszczyznami wynosi d.
W krysztale mo$na wybra% wiele ró$nych rodzin p!aszczyzn o ró$nych odleg!o#ciach
mi"dzyp!aszczyznowych.
Rysunek (a) pokazuje fal" oddzia!uj c z rodzin p!aszczyzn, z których jedna jest poka-
zana na rysunku (b).
fala padaj ca fala
padaj ca
fala ugi!ta fala
ugi!ta
a a’
b’
b
4
#
d
a)
b)
Ugi"cie nast"puje na elementarnych centrach rozpraszania (komórki elementarne - od-
powiednik pojedynczej szczeliny).
Promienie ugi"te b"d si" sumowa% gdy ró$nica dróg b"dzie równa ca!kowitej wielo-
krotno#ci d!ugo#ci fali.
ab’ – a’b = ab(cos4 5 cos#) = k", k = 0, 1, 2,
Dla k = 0 otrzymujemy 4 = # tzn. p!aszczyzna wyznaczona przez atomy dzia!a jak
„zwierciad!o” odbijaj ce fal" padaj c (k t padania = k t odbicia) tzn. w tym kierunku
jest wzmocnienie promieniowania ugi"tego.
Je$eli chcemy otrzyma% wzmocnienie promieniowania odbitego od ca!ej rodziny p!asz-
czyzn dla kierunku okre#lonego przez k t # to musz si" wzmacnia% promienie odbite
od poszczególnych p!aszczyzn. Oznacza to, $e ró$nica dróg dla promieni odbitych od
s siednich p!aszczyzn musi by% równa ca!kowitej wielokrotno#ci ", tak wi"c
2dsin# = m", m = 1, 2, 3,....
Zale$no#% ta zosta!a podana przez W. L. Bragga i st d nazwa prawo Bragga.
W równaniu tym d oznacza odleg!o#% mi"dzy s siednimi p!aszczyznami.
St d wida%, $e dyfrakcja promieni X jest metod do#wiadczaln w badaniu rozmiesz-
czenia atomów w kryszta!ach.
Aby otrzyma% wyniki ilo#ciowe trzeba zna% d!ugo#% fali promieniowania X.
30-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 31
31. Polaryzacja
Teoria przewiduje, "e #wiat!o podobnie jak ka"da fala elektromagnetyczna jest fal
poprzeczn . Kierunki drga$ wektorów E i B s prostopad!e do kierunku rozchodzenia
si% fali. Na rysunku poni"ej przedstawione fal% elektromagnetyczn , która ma jeszcze
dodatkowo pewn charakterystyczn w!asno#&:
wektory E s do siebie równoleg e we wszystkich punktach fali. Podobnie wektory B.
Mówimy, "e ta fala jest p asko spolaryzowana (spolaryzowana liniowo).
B
E
Drgaj cy wektor E tworzy z kierunkiem ruchu fali p!aszczyzn% zwan p aszczyzn!
drga".
W fali spolaryzowanej liniowo wszystkie takie p!aszczyzny s równoleg!e.
Z dotychczas opisanych do#wiadcze$ z interferencj i dyfrakcj nie mo"na wydeduko-
W antenie takiej fale wytwarzane s przez !adunek elektryczny drgaj cy w gór% i w dó! anteny. Taka fala w du"ej odleg!o#ci od dipola, na osi prostopad!ej, ma wektor pola
elektrycznego równoleg!y do osi dipola (anteny) jest wi%c spolaryzowana liniowo. Kie-
dy taka fala pada na drugi dipol wówczas zmienne pole elektryczne (zmienny wektor E
fali) wywo!uje w antenie odbiorczej drgania elektronów do góry i w dó! (pr d zmien-
ny). Je"eli jednak obrócimy anten% o 90° wokó! kierunku padania fali, to wektor E b%-
dzie prostopad!y do anteny i nie wywo!a ruchu elektronów (antena nie odbiera sygna!u).
'ród!a #wiat!a widzialnego ró"ni si% od (róde! fal radiowych i mikrofal min. tym, "e
atomy (cz steczki) emituj ce #wiat!o dzia!aj niezale"nie.
W konsekwencji #wiat!o rozchodz ce si% w danym kierunku sk!ada si% z niezale#nych
ci!gów fal, których p!aszczyzny drga$ zorientowane s przypadkowo wokó! kierunku
ruchu fali (rysunek poni"ej). Takie #wiat!o chocia" jest fal poprzeczn jest niespolary-
zowane.
Rysunek poni"ej pokazuje ró"nic% mi%dzy fal poprzeczn spolaryzowan liniowo (a)
i fal poprzeczn niespolaryzowan (b). Rysunek (c) przedstawia inny równowa"ny
opis niespolaryzowanej fali poprzecznej; tutaj traktujemy j jako z!o"enie dwóch spola-
ryzowanych liniowo fal o przypadkowo zmiennej ró"nicy faz.
c)b)a)
Orientacja kierunków drga$ pól E wzgl%dem kierunku rozchodzenia si% fali jest te"
przypadkowa (ale prostopad!a).
Dla zbadania fal #wietlnych niespolaryzowanych potrzeba znale(& metod%, która po-
zwoli!aby rozdzieli& fale o ró"nych p!aszczyznach drga$.
31.1 P ytki polaryzuj!ce
Na rysunku (poni"ej) #wiat!o niespolaryzowane pada na p!ytk% z materia!u polary-
zuj cego, zwanego polaroidem.
31-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
W p!ytce istnieje pewien charakterystyczny kierunek polaryzacji zaznaczony liniami
równoleg!ymi. P!ytka przepuszcza tylko te fale, dla których kierunki drga$ wektora
elektrycznego s równoleg e do kierunku polaryzacji, a poch ania te fale, w których s
one prostopad e.
p ytkapolaryzuj!ca
Kierunek polaryzacji ustala si% w procesie produkcji:
! cz steczki o strukturze !a$cuchowej osadza si% na elastycznej warstwie plastycznej,
! warstw% rozci ga si% co powoduje równoleg!e u!o"enie cz steczek.
)eby zanalizowa& nat%"enie #wiat!a przechodz cego przez polaryzator rozpatrzmy ci g
fal padaj cy na polaroid tak, "e wektor E wyznaczaj cy p!aszczyzn% drga$ tworzy k t "
z kierunkiem polaryzacji p!ytki (rysunek).
Ey E
Ex
"
Ten ci g fal jest równowa"ny ci gom fal o sk!adowych Ex i Ey (sk!adowe wektora E).
Sk!adowa równoleg!a Ey = Ecos" jest przepuszczana podczas gdy sk!adowa prostopad!a
Ex = Esin" jest poch!aniana.
Postawmy teraz na drodze #wiat!a drug! p ytk$ polaryzuj!c! (tak zastosowan p!ytk%
nazywamy analizatorem). Je"eli p!ytk% drug (analizator) b%dziemy obraca& wokó! kie-
runku padania #wiat!a to nat%"enie #wiat!a przechodz cego przez obie p!ytki b%dzie si%
zmienia& osi gaj c minimum dla po!o"e$ ró"ni cych si% o 180° tj. przy prostopad!ych
kierunkach polaryzacji obu p!ytek.
31-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
p ytkapolaryzuj!ca
Je"eli amplituda pola elektrycznego fali padaj cej na analizator jest równa Em to ampli-
tuda fali wychodz cej z analizatora wynosi Emcos", gdzie " jest k tem pomi%dzy kie-
runkami polaryzacji obu p!ytek. Poniewa" nat%"enie #wiat!a jest proporcjonalne do
kwadratu amplitudy wi%c otrzymujemy
I = Imcos2" (30.1)
Zauwa"my, "e I ma maksimum dla " = 0° lub " = 180° a minimum dla " = 90° lub
" = 270°. Powy"sze równanie zwane jest prawem Malusa.
Znane s jeszcze inne sposoby otrzymywania #wiat!a spolaryzowanego. Niektóre omó-
wione s poni"ej.
31.2 Polaryzacja przez odbicie
W 1809 r. Malus odkry!, "e #wiat!o mo"e by& cz%#ciowo lub ca!kowicie spolaryzo-
wane przez odbicie. Rysunek przedstawia wi zk% niespolaryzowan padaj c na po-
wierzchni% szk!a.
# #
$
padaj ce !wiat"o niespolaryzowane
fala odbita
fala za"amana
sk"adowa %
sk"adowa &
powietrze
szk"o n = 1.5
Wektor E mo"na roz!o"y& na dwie sk!adowe:
31-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
! sk!adow & prostopad! do p!aszczyzny padania (p!aszczyzna rysunku),
! sk!adow % le" c w p!aszczy(nie padania.
Dla #wiat!a ca!kowicie niespolaryzowanego obie sk!adowe maja jednakowe amplitudy.
Stwierdzono do#wiadczalnie, "e dla szk!a (i innych materia!ów dielektrycznych) istnieje
pewien k t padania, nazywany k!tem ca kowitej polaryzacji #p, dla którego wspó!czyn-
nik odbicia sk!adowej % jest równy zero. Wtedy wi zka odbita jest spolaryzowana li-
niowo prostopadle do p!aszczyzny padania. Wi zka przechodz ca jest tylko cz%#ciowo
spolaryzowana (sk!adowa % jest ca!kowicie za!amana, a sk!adowa & tylko cz%#ciowo).
Zwró&my uwag%, "e wi zka za!amana ma wi%ksze nat%"enie od wi zki odbitej.
Do#wiadczalnie stwierdzono, "e gdy k t padania jest równy k towi ca!kowitej polary-
zacji to wówczas wi zka odbita i za!amana tworz k t prosty co oznacza "e
# + $ = 90°
Natomiast z prawa za!amania mamy
$# sinsin 21 nn '
Z obu tych równa$ otrzymujemy
### cos)90sin(sin 221 nnn '('
albo
nn
n''
1
2tg# (30.2)
przy czym promie$ pada z o#rodka 1 i za!amuje si% w o#rodku 2.
To ostatnie równanie jest nazywane prawem Brewstera.
Prawo to zosta!o znalezione do#wiadczalnie ale oczywi#cie mo"na je wyprowadzi& #ci-
#le przy pomocy równa$ Maxwella.
31.3 Za amanie podwójne
Dotychczas milcz co zak!adali#my, "e pr%dko#& #wiat!a, a wi%c i wspó!czynnik za-
!amania, nie zale#! od kierunku rozchodzenia si$ %wiat a w o%rodku ani od jego
polaryzacji. Cia!a spe!niaj ce te warunki nazywamy cia ami optycznie izotropowymi.
Istnieje jednak szereg cia! anizotropowych (nie izotropowych).
Dotyczy to nie tylko w!asno#ci optycznych ale wielu innych. Np. pewne kryszta!y !ami
si% !atwo tylko w jednej p!aszczy(nie, opór elektryczny mierzony w ró"nych kierunkach
jest ró"ny. Kryszta!y !atwiej magnesuje si% w jednym kierunku ni" innych itd.
Uwaga: Cia!a polikrystaliczne (z!o"one z wielu ma!ych kryszta!ków) z powodu przy-
Na pocz tku wyk!adu wspomniany zosta! eksperyment z kryszta!em kalcytu.
Na rysunku poni"ej niespolaryzowana wi zka #wiat!a pada na kryszta! kalcytu prosto-
padle do jednej z jego #cian.
31-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
wi!zkapadaj!ca
kryszta CaCO3
e
o
Pojedyncza wi zka rozszczepia si% na powierzchni kryszta!u na dwie.
Mamy do czynienia z podwójnym za amaniem.
Mo"emy zanalizowa& obie wychodz ce wi zki za pomoc p!ytki polaryzuj cej.
Okazuje si%, "e obie wi zki s spolaryzowane liniowo, przy czym ich p!aszczyzny
drga$ s wzajemnie prostopad e. Wi zki te s oznaczone przez o i e.
Je"eli zmienimy k t padania to oka"e si%, "e jedna z wi zek tzw. promie" zwyczajny o
spe!nia prawo za!amania (tak jak dla o#rodka izotropowego) a druga wi zka tzw. pro-
mie" nadzwyczajny e nie spe!nia tego prawa.
Na rysunku k t padania jest równy zeru wi%c i k t za!amania te" powinien by& zerowy
i tak jest dla promienia o ale nie dla promienia e.
Ró"nic% t% mo"na wyja#ni& nast%puj co:
! promie$ o przechodzi przez kryszta! z jednakow pr%dko#ci we wszystkich kierun-
kach tzn. ma jeden wspó!czynnik za!amania n0 tak jak izotropowe cia!o sta!e.
! promie$ e ma pr%dko#& w krysztale zale"na od kierunku tzn. pr%dko#& zmienia si%
od v0 do ve a wspó!czynnik za!amania od no do ne. Dla kalcytu ne = 1.658, no =
1.486.
Wielko#ci ne i n0 nazywamy g ównymi wspó czynnikami za amania kryszta u.
Niektóre podwójnie za!amuj ce kryszta!y maj interesuj c w!asno#& nazywan dichro-
izmem, polegaj c na tym, "e jedna ze sk!adowych polaryzacji jest poch!aniana silniej
ni" druga. W!asno#& ta jest pokazana na rysunku na nast%pnej stronie. Na tej zasadzie
opiera si% dzia!anie szeroko stosowanych polaroidów.
Zamiast du"ej p!ytki wyci%tej z kryszta!u mo"na zastosowa& wiele ma!ych kryszta!ów
o osiach optycznych ustawionych równolegle do siebie.
31-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
!wiat"o niespolaryzowane
Niektóre przezroczyste cia!a bezpostaciowe jak szk!a czy tworzywa sztuczne optycznie
izotropowe pod wp!ywem przy!o"onych napr%"e$ mechanicznych staj si% optycznie
anizotropowe.
Fakt ten jest szeroko wykorzystywany w technice do badania napr%"e$ w ró"nych kon-
strukcjach i mechanizmach.
Napr%"enia mo"na wyznaczy& ilo#ciowo, buduj c model plastyczny urz dzenia, które
poddaje si% dzia!aniu ró"nych si!. Anizotropi% optyczn , jaka przy tym powstaje w mo-
delu, bada si% przy pomocy polaryzacji.
31-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 32
32. !wiat o a fizyka kwantowa
32.1 ród!a "wiat!a
Najbardziej znanymi "ród!ami #wiat!a s rozgrzane cia!a sta!e i gazy, w których za-chodzi wy!adowanie elektryczne; np. ! wolframowe w!ókna $arówek ! jarzeniówki Promieniowanie wysy!ane przez ogrzane (do pewnej temperatury) cia!a nazywamy pro-mieniowaniem termicznym. Wszystkie cia!a emituj takie promieniowanie do otoczenia, a tak$e z tego otoczenia je absorbuj . Je$eli cia!o ma wy$sz temperatur% od otoczenia to b%dzie si% ozi%bia& poniewa$ szyb-ko#& promieniowania przewy$sza szybko#& absorpcji (ale oba procesy wyst!puj !!). Gdy osi gni%ta zostanie równowaga termodynamiczna wtedy te pr%dko#ci b%d równe. Za pomoc spektrometru mo$emy zanalizowa& #wiat!o emitowane przez te "ród!a tzn. dowiedzie& si% jak silnie i jakie d!ugo#ci fal wypromieniowuje. Dla przyk!adu, na rysunku poni$ej pokazane jest widmo promieniowania dla ta#my wolframowej ogrzanej do T = 2000 K.
0 1 2 3 4 5
zakres
widzialny
wolfram
T = 2000 K
cia o doskonale czarne
T = 2000 K
R"
" (#m)
Zanotujmy, $e: ! Widmo emitowane przez cia!a sta!e ma charakter ci g"y, ! Szczegó!y tego widma s prawie niezale$ne od rodzaju substancji, ! Widmo silnie zale$y od temperatury. Zwró&my uwag%, $e w zwyk!ych temperaturach wi%kszo#& cia! jest dla nas widoczna dlatego, $e odbijaj one (lub rozpraszaj ) #wiat!o, które na nie pada a nie dlatego, $e
32-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
cia!a te wysy!aj promieniowanie widzialne (#wiec ). Je$eli nie pada na nie #wiat!o (np. w nocy) to s one niewidoczne. Dopiero gdy cia!a maj wysok temperatur% wtedy #wiec w!asnym #wiat!em. Ale jak wida& z rysunku i tak wi%kszo#& emitowanego promieniowania jest niewidzialna bo przypada na zakres promieniowania cieplnego (podczerwie'). Dlatego cia!a, #wiec ce w!asnym #wiat!em s bardzo gor ce. Je$eli b%dziemy rozgrzewa& kawa!ek metalu to pocz tkowo chocia$ jest on gor cy to z jego wygl du nie mo$na tego stwierdzi& (bo nie #wieci); mo$na to tylko zrobi& doty-kiem. Emituje wi%c promieniowanie podczerwone (ciep!o). Ze wzrostem temperatury kawa!ek metalu staje si% pocz tkowo ciemno-czerwony, nast%pnie jasno-czerwony, a$ wreszcie #wieci #wiat!em niebiesko-bia!ym. Wielko#& R" przedstawiona na wykresie na osi pionowej nazywana jest widmow zdol-
no#ci emisyjn promieniowania i jest tak zdefiniowana, ze wielko#& R"d" oznacza szybko#&, z jak jednostkowy obszar powierzchni wypromieniowuje energi% odpowia-daj c d!ugo#ciom fal zawartym w przedziale ", "+d". Czasami chcemy rozpatrywa& ca!kowit energi% wysy!anego promieniowania w ca!ym zakresie d!ugo#ci fal. Wielko#& ta nazywana jest ca"kowit emisja energetyczna pro-
mieniowania R. Emisj% ca!kowit R mo$emy obliczy& sumuj c emisj% dla wszystkich d!ugo#ci fal tzn. ca!kuj c R" po wszystkich d!ugo#ciach fal.
$%
&0
""dRR
Oznacza to, $e mo$emy interpretowa& emisj% energetyczn promieniowania R jako po-wierzchni% pod wykresem R" od ". Ilo#ciowe interpretacje widm promieniowania przedstawiaj powa$ne trudno#ci. Dlatego pos!ugujemy si% wyidealizowanym obiektem (modelem), ogrzanym cia!em sta-!ym, zwanym cia"em doskonale czarnym. (Takie post%powali#my ju$ w przypadku ga-zów; rozwa$ali#my modelowy obiekt tzw. gaz doskona!y.) Przyk!adem takiego cia!a mo$e by& obiekt pokryty sadz (obiekt nie odbija #wiat!a, je-go powierzchnia absorbuje #wiat!o). My jednak omówimy inny przyk!ad.
32.2 Cia!o doskonale czarne
Rozwa$my trzy bloki metalowe posiadaj ce puste wn%ki wewn trz (takie jak na ry-sunku). W #ciankach tych bloków wywiercono otworki (do tych wn%k).
32-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Promieniowanie pada na otwór z zewn trz i po wielokrotnych odbiciach od wewn%trz-nych #cian zostaje ca!kowicie poch!oni%te. Oczywi#cie #cianki wewn%trzne te$ emituj promieniowanie, które mo$e wyj#& na zewn trz przez otwór (przyk!ad - otwór okienny). Ka$dy z tych bloków (np. wolfram, tantal, molibden) ogrzewamy równomiernie do jed-nakowej temperatury np. 2000 K. Bloki znajduj si% w nieo#wietlonym pomieszczeniu, tak $e obserwujemy tylko #wiat!o wysy!ane przez nie. Pomiary wykonane pokazuj , $e: ! Promieniowanie wychodz ce z wn%trza bloków ma zawsze wi%ksze nat%$enie ni$
promieniowanie ze #cian bocznych (rysunek powy$ej), ! Dla danej temperatury emisja promieniowania wychodz cego z otworów jest iden-
tyczna dla wszystkich $róde" promieniowania, pomimo $e dla zewn%trznych po-wierzchni te warto#ci s ró$ne,
! Emisja energetyczna promieniowania cia!a doskonale czarnego (nie jego po-wierzchni) zmienia si% wraz z temperatur wed!ug prawa Stefana
4TRC '& (32.1)
gdzie ' jest uniwersaln sta! (sta!a Stefana-Boltzmana) równ 5.67·10-8 W/(m2K). Dla zewn%trznych powierzchni to empiryczne prawo ma posta&:
4TeRC '&
gdzie zdolno#& emisyjna e jest wielko#ci zale$n od substancji i, co jeszcze bardziej skomplikowane, od temperatury. R" dla cia!a doskonale czarnego zmienia si% z temperatur tak jak na rysunku poni$ej.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
T = 3000 K
T = 4000 K
T = 5000 K
T = 6000 K
obszar widzialnyklasyczna teoria
R"
" (#m)
D!ugo#& fali dla której przypada maksimum emisji jest odwrotnie proporcjonalna do temperatury cia!a.
32-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Uwaga: Krzywe te zale$ tylko od temperatury i s ca!kiem niezale$ne od materia!u oraz kszta!tu i wielko#ci cia!a czarnego. Rozpatrzmy teraz, pokazane na rysunku poni$ej, dwa cia!a doskonale czarne (dwie wn%ki).
RARB
T T
! Kszta!ty wn%k s dowolne, ! Temperatura #cianek obu wn%k jest jednakowa. Promieniowanie oznaczone RA przechodzi z wn%ki A do wn%ki B, a promieniowanie RB w odwrotnym kierunku. Je$eli te szybko#ci nie by!yby równe wówczas jeden z bloków ogrzewa!by si% a drugi styg!. Oznacza!oby to pogwa!cenie drugiej zasady termodyna-miki. Mamy wi%c
RA = RB = RC
gdzie RC opisuje ca!kowite promieniowanie dowolnej wn%ki. Nie tylko energia ca!kowita ale równie$ jej rozk!ad musi by& taki sam dla obu wn%k. Stosuj c to samo rozumowanie co poprzednio mo$na pokaza&, $e
R"A = R"B = R"C
gdzie R"C oznacza widmow zdolno#& emisyjn dowolnej wn%ki.
32.3 Teoria promieniowania we wn#ce, prawo Plancka
32.3.1 Rozwa"ania klasyczne
Na prze!omie ubieg!ego stulecia Rayleigh i Jeans wykonali obliczenia energii pro-mieniowania we wn%ce (czyli promieniowania cia!a doskonale czarnego). Najpierw zastosowali oni klasyczn teori% pola elektromagnetycznego do pokazania, $e promieniowanie wewn trz wn%ki ma charakter fal stoj cych (w%z!y na #ciankach wn%-ki). Zgodnie z fizyk klasyczn , energia ka%dej fali mo%e przyjmowa& dowoln warto#& od
zera do niesko'czono#ci, przy czym energia jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Nast%pnie Rayleigh i Jeans obliczyli warto#ci #redniej energii w oparciu o znane nam prawo ekwipartycji energii i w oparciu o ni znale"li widmow zdolno#& emisyjn . Uzyskany wynik jest pokazany na wykresie na stronie 3 (teoria klasyczna). Jak wida& rozbie$no#& mi%dzy wynikami do#wiadczalnymi i teori jest du$a. Dla fal d!ugich (ma-
32-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
!ych cz%stotliwo#ci) wyniki teoretyczne s bliskie krzywej do#wiadczalnej, ale dla wy$-szych cz%stotliwo#ci wyniki teoretyczne d $ do niesko'czono#ci podczas gdy g%sto#& energii zawsze pozostaje sko'czona. Ten sprzeczny z rzeczywisto#ci wynik rozwa$a' klasycznych nazywany jest „katastrof w nadfiolecie”.
32.3.2 Teoria Plancka promieniowania cia a doskonale czarnego
W 1900 roku Max Planck przedstawi! Berli'skiemu Towarzystwu Fizycznemu em-
piryczny wzór opisuj cy widmow zdolno#& emisyjn daj cy wyniki zgodne z do-
#wiadczeniem.
1
125
1
(&
Tce
cR
"" " (32.2)
Wzór ten stanowi! modyfikacj% znanego ju$ prawa Wiena i chocia$ wa$ny nie stanowi! sam nowej teorii (by! to wzór empiryczny).
Próbuj c znale"& tak teori% Planck za!o$y!, $e atomy #cian zachowuj si% jak oscylato-
ry elektromagnetyczne, które emituj (i absorbuj ) energi% do wn%ki, z których ka$dy
ma charakterystyczn cz%stotliwo#& drga'.
Rozumowanie Plancka doprowadzi!o do przyj%cia dwóch radykalnych za!o$e' dotycz -
cych tych oscylatorów atomowych:
1. Oscylator nie mo$e mie& dowolnej energii, lecz tylko energie dane wzorem
E = nhv (32.3)
gdzie v oznacza cz%sto#& oscylatora, h -sta! (zwan obecnie sta! Plancka),
n - pewn liczb% ca!kowit (zwan obecnie liczb kwantow ).
Z powy$szego wzoru wynika, $e energia jest skwantowana i mo$e przyjmowa& tyl-
ko #ci#le okre#lone warto#ci. Tu jest zasadnicza ró$nica bo teoria klasyczna zak!ada-
!a dowoln warto#& energii od zera do niesko'czono#ci.
2. Oscylatory nie wypromieniowuj energii w sposób ci g!y, lecz porcjami czyli
kwantami. Kwanty s emitowane gdy oscylator przechodzi z jednego stanu o danej
energii do drugiego o innej energii
)E = )nhv = hv
gdy n zmienia si% o jedno#&.
Dopóki oscylator pozostaje w jednym ze swoich stanów kwantowych (stany stacjonar-
ne) dopóty ani nie emituje ani nie absorbuje energii.
Sprawd"my czy ta hipoteza stosuje si% do znanych nam oscylatorów takich jak np. spr%-
$yna o masie m = 1 kg i sta!ej spr%$ysto#ci k = 20 N/m wykonuj ca drgania o amplitu-
dzie 1 cm. Dla takiej spr%$yny cz%stotliwo#& drga' w!asnych wynosi
Hzm
kv 71.0
2
1&&
*
32-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Warto#& energii ca!kowitej (mechanicznej) tej spr%$yny wynosi
JkAE 32 1012
1 (+&&
Je$eli energia jest skwantowana to jej zmiany dokonuj si% skokowo przy czym
)E = hv. Wzgl%dna zmiana energii wynosi wi%c
)E/E = 4.7·10-31
W celu zaobserwowania (zarejestrowania) tych nieci g!ych zmian energii trzeba by
wykona& pomiar energii z dok!adno#ci przewy$szaj c wielokrotnie czu!o#& przyrz -
dów pomiarowych.
Tak wi%c dla „du$ych” oscylatorów natura kwantowa drga' nie jest widoczna podobnie
jak w uk!adach makroskopowych nie widzimy dyskretnej natury materii (cz steczek,
atomów, elektronów itp.).
Wnioskujemy, $e do#wiadczenia ze zwyk!ym wahad!em nie mog rozstrzygn & o s!usz-
no#ci postulatu Plancka.
Zanim przejdziemy do przedstawienia innych do#wiadcze' (zjawisko fotoelektryczne i
efekt Comptona) omówmy zastosowanie prawa promieniowania w termometrii.
32.3.3 Zastosowanie prawa promieniowania w termometrii
Promieniowanie emitowane przez gor ce cia!o mo$na wykorzysta& do wyznaczenia
jego temperatury. Je$eli mierzy si% ca!kowite promieniowanie, to mo$na zastosowa&
prawo Stefana-Boltzmana.
Przyk"ad 1
(rednia ilo#& energii (na jednostk% czasu) promieniowania s!onecznego padaj cego na
jednostk% powierzchni Ziemi wynosi 355 W/m2. Jak temperatur% b%dzie mia!a po-
mno$ona przez !adunek elektronu e jest miar energii najszybszych elektronów (przy V0
nawet najszybsze elektrony s zahamowane, nie dochodz do B)
Ekmax = eV0 (32.4)
Krzywe a i b na rysunku ró$ni si% nat%$eniem padaj cego #wiat!a (Ib > Ia). Wida&
wi%c, $e Ekmax nie zale$y od nat%$enia #wiat!a. Zmienia si% tylko pr d nasycenia, a to
oznacza, $e wi zka o #wiat!a wi%kszym nat%$eniu wybija wi%cej elektronów (ale nie
szybszych).
Wynik innego do#wiadczenia pokazuje kolejny rysunek.
32-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
12 8 4 0
cz stotliwo ! (10 Hz)
Vh (V)
3
2
1
14
Pokazano tu zale no!" napi#cia hamowania od cz#stotliwo!ci !wiat$a padaj%cego dla sodu. (Millikan, Nobel w 1923). Zauwa my, e istnieje pewna warto!" progowa cz#stotliwo!ci, poni ej której zjawisko fotoelektryczne nie wyst#puje. Opisane zjawisko fotoelektryczne ma trzy cechy, których nie mo na wyja!ni" na grun-cie klasycznej falowej teorii !wiat$a: 1. Z teorii klasycznej wynika, e wi#ksze nat# enia !wiat$a oznacza wi#ksze pole elek-
tryczne E (I ~ E2). Poniewa si$a dzia$aj%ca na elektron wynosi eE wi#c gdy ro!nie
nat# enie !wiat$a to powinna rosn%" ta si$a, a w konsekwencji energia kinetyczna elektronów. Tymczasem stwierdzili!my, e Ekmax nie zale y od nat# enia !wiat$a. Zgodnie 2. z teori% falow% zjawisko fotoelektryczne powinno wyst#powa" dla ka dej
3. ron absorbuje
Ein $o eniu, e
E = hv (32.5)
cz#stotliwo!ci !wiat$a pod warunkiem dostatecznego nat# enia. Jednak dla ka dego materia$u istnieje progowa cz#stotliwo!" v0, poni ej której nie obserwujemy zjawi-ska fotoelektrycznego bez wzgl#du na jak silne jest o!wietlenie. Poniewa energia w fali jest „roz$o ona” w ca$ej przestrzeni to elekt
tylko niewielk% cz#!" energii z wi%zki (bo jest bardzo ma$y). Mo na wi#c spodzie-
wa" si# opó&nienia pomi#dzy pocz%tkiem o!wietlania, a chwil% uwolnienia elektro-
nu (elektron musi mie" czas na zgromadzenie dostatecznej energii). Jednak nigdy
nie stwierdzono adnego mierzalnego opó&nienia czasowego.
steinowi uda$o si# wyja!ni" efekt fotoelektryczny dzi#ki nowemu za
energia wi%zki !wietlnej rozchodzi si# w przestrzeni w postaci sko'czonych porcji
(kwantów) energii zwanych fotonami. Energia pojedynczego fotonu jest dana wzorem
Przypomnijmy sobie, e Planck utrzymywa$, e ród!o emituje "wiat!o w sposób nieci#-
fala ale jak
hv = W + Ekmax (32.6)
g!y ale w przestrzeni rozchodzi si$ ono jako fala elektromagnetyczna.
Hipoteza Einsteina sugeruje, e !wiat$o rozchodzi si# w przestrzeni nie jak
cz%stka. Stosuj%c t# hipotez# do efektu fotoelektrycznego otrzymamy
32-9
Z. K%kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki
gdzie hv oznacza energi# fotonu. Równanie to g$osi, e jeden foton dostarcza energii hv,
która w cz#!ci (W) zostaje zu yta na wyrwanie elektronu z materia$u (jego przej!cie
przez powierzchni#). Ewentualny nadmiar energii (hv – W) elektron otrzymuje w posta-
ci energii kinetycznej, przy czym cz#!" z niej mo e by" stracona w zderzeniach we-
wn#trznych (przed opuszczeniem materia$u).
Rozpatrzmy teraz ponownie (z nowego punktu widzenia) trzy cechy fotoefektu nie da-
j%ce si# wyja!ni" za pomoc% klasycznej teorii falowej.
1. Podwajaj%c nat# enie !wiat$a podwajamy liczb# fotonów a nie zmieniamy ich ener-
gii. Ulega wi#c podwojeniu fotopr%d a nie Ekmax, która nie zale y tym samym od na-
t# enia.
2. Je eli mamy tak% cz#stotliwo!", e hv0 = W to wtedy Ekmax = 0. Nie ma nadmiaru
energii. Wielko!" W nazywamy prac# wyj"cia dla danej substancji. Je eli v < v0 to
fotony niezale nie od ich liczby (nat# enia !wiat$a) nie maj% dosy" energii do wy-
wo$ania fotoemisji.
3. Dostarczana jest energia w postaci skupionej (kwant, porcja) a nie roz$o onej (fala).
Mo emy przepisa" równanie dla fotoefektu w postaci
e
Wv
e
hV !0 (32.7)
Wida", e teoria przewiduje liniow% zale no!" pomi#dzy napi#ciem hamowania, a cz#-
stotliwo!ci%, co jest ca$kowicie zgodne z do!wiadczeniem.
Teoria fotonowa ca$kowicie potwierdza wi#c fakty zwi%zane ze zjawiskiem fotoelek-
trycznym, wydaje si# jednak by" sprzeczna z teori% falow%, która te potwierdzona zo-
sta$a do!wiadczalnie (np. dyfrakcja).
Nasz obecny punkt widzenia na natur# !wiat$a jest taki, e ma ono dwoisty charakter,
tzn. w pewnych warunkach zachowuje si# jak fala, a w innych jak cz%stka, czyli foton.
Ta dwoista natura b#dzie jeszcze omawiana na dalszych wyk$adach.
32.5 Efekt Comptona
Do!wiadczalne potwierdzenie istnienia fotonu jako sko'czonej porcji energii zosta$o
dostarczone prze Comptona w 1923 r (Nobel w 1927).
Wi%zka promieni X o dok$adnie okre!lonej d$ugo!ci fali pada na blok grafitowy (rysu-
nek poni ej).
32-10
Z. K%kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki
"ród#o promieni
grafitowy blok rozpraszaj$cy
szczeliny kolimuj$ce
detektor
kryszta# grafitu
"
Compton mierzy$ nat# enie wi%zki rozproszonej pod ró nymi k%tami jako funkcj# #.
Wyniki pokazane s% na nast#pnej stronie. Wida", e chocia wi%zka padaj%ca na grafit
ma jedn% d$ugo!" fali to rozproszone promienie X maj% maksimum dla dwóch d$ugo!ci
fali. Jedna z nich jest identyczna jak # fali padaj%cej, druga #' jest wi#ksza (d$u sza) o
$#. To tzw. przesuni$cie Comptona zmienia si# z k%tem obserwacji rozproszonego
promieniowania X (czyli #' zmienia si# z k%tem).
Je eli padaj%ce promieniowanie potraktujemy jako fal# to pojawienie si# fali rozproszo-
nej o d$ugo!ci #' nie da si# wyja!ni".
32-11
Z. K%kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki
" = 45°
" = 90°
" = 135°
°A
0.7500.700
" = 0°
# ,
Compton potrafi$ wyja!ni" swoje wyniki przyjmuj%c, e wi%zka promieni X nie jest fa-
l%, a strumieniem fotonów o energii hv. Za$o y$ on, e fotony (jak cz%stki) ulegaj% zde-
rzeniu z elektronami swobodnymi w bloku grafitu. Podobnie jak w typowych zderze-
niach (np. kule bilardowe) zmienia si# kierunek poruszania si# fotonu oraz jego energia
(cz#!" energii przekazana elektronowi). To ostatnie oznacza zmian# cz#stotliwo!ci i
zarazem d$ugo!ci fali. Sytuacja ta jest schematycznie pokazana na rysunku poni ej.
foton
foton #'
#
elektron
elektron
v=0
v
"
%
Stosuj%c zasad# zachowania p#du oraz zasad# zachowania energii (stosujemy wyra enia
relatywistyczne) otrzymamy ostatecznie wynik
32-12
Z. K%kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki
)cos1(0
"### ! &!$cm
h (32.8)
gdzie m0 jest mas% elektronu (spoczynkow%).
Tak wi#c przesuni#cie Comptona zale y tylko od k%ta rozproszenia.
Pozostaje tylko wyja!ni" wyst#powanie maksimum dla nie zmienionej #. Za ten efekt
odpowiedzialne s% zderzenia z elektronami rdzenia jonowego. W zderzeniu odrzutowi
ulega ca$y jon o masie M. Dla w#gla (grafitu) M = 22000 m0 wi#c otrzymujemy niemie-
rzalnie ma$e przesuni#cie Comptona.
32-13
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Komputeryzacji
Wyk ad 33
33. Model atomu Bohra
33.1 Wst p
Do roku 1910 znano wiele wyników eksperymentalnych, które wskazywa!y na to, "e
atomy zawieraj elektrony (np. zjawisko fotoelektryczne).
Poniewa" w normalnych warunkach atomy s elektrycznie oboj#tne, a zatem musz one
mie$ !adunek dodatni równy ujemnemu.
Poniewa" masa elektronów jest bardzo ma!a w porównaniu z mas najl"ejszych nawet
atomów oznacza!o ponadto, "e !adunki dodatnie zwi zane s ze znaczn mas .
Tego typu rozwa"ania prowadzi!y do pytania, jak wygl da rozk!ad !adunków dodatnich
i ujemnych w atomie.
J. J. Thomson zaproponowa! model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie na!ado-
wane elektrony znajduj si# wewn trz pewnego obszaru wype!nionego w sposób ci g!y
!adunkiem dodatnim („ciasto z rodzynkami”).
%adunek dodatni tworzy! kul# o promieniu rz#du 10
-10 m. W tej kuli !adunki ujemne
by!yby roz!o"one równomiernie (w wyniku si! odpychania).
W atomie znajduj cym si# w stanie o najni"szej energii elektrony by!y nieruchome. Na-
tomiast w atomach o wy"szej energii, tzn. w atomach wzbudzonych (np. w wysokiej
Analogicznie obliczamy n(E) dla pozosta!ych warto$ci E (patrz ostatni wiersz tabeli).
auwa"my, "e suma tych liczb wynosi cztery, tak "e jest równa ca!kowitej liczbie cz -
stek we wszystkich
ykres zale"no$ci n(E) jest pokazany na rysunku poni"ej.
Z
stanach energetycznych.
W
n(E)
1
0 4#E 3#E 2#E #E
a krzywa na rysunku jest wykresem malej cej wyk!adniczo funkcji Ci g!
0)(E
E
AeEn
!
2
(35.1)
o"emy teraz bra% #E coraz mniejsze (zwi#kszaj c ilo$% dozwolonych stanów) przy tej
samej co poprzednio warto$ci ca! "e b#dziemy dodawa% co-
z wi#cej punktów do naszego wykresu, a
nkcji ci g!ej danej powy"szym równaniem.
M
kowitej energii. Oznacza to,
" w gra ranicy gdy #E $ 0 przejdziemy do
fu
Potrzebujemy jeszcze znale&% E0. Obliczenia te cho% proste wykraczaj poza ramy tego
wyk!adu. Wystarczy wi#c zapami#ta%, "e E0 = kT, tzn. jest równa $redniej energii uk!a-
du cz stek w temperaturze T.
Ostatecznie wi#c
kT
E
AeEn !)( (35.2)
st to rozk#ad Boltzmana, który mówi, "e prawdopodobna ilo$% cz stek uk!adu w rów-
nowadze w temperaturze T, znajduj w stanie o energii E jest proporcjonalna do
Je
cych si#
$ci A zalekT
E
. Sposób wyboru sta!ej proporcjonalno "y od tego jaki uk!ad rozwa"amy. e
Poni"ej pokazana jest zale"no$% n(E) dla trzech ró"nych temperatur i trzech odpowied-
nich warto$ci sta!ej A.
35-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
0 1 2 30
1
2
a - T = 1000 K
b - T = 5000 K
c - T = 10000 K
c
b
a
n (
E)
E (eV)
Widzimy, "e stany o ni"szej energii s obsadzane z wi#kszym prawdopodobie(stwem
ni" stany o wy"szym E.
35.5 Laser
Je"eli wi#c uk!ad b#d cy w stanie równowagi o$wietlimy odpowiednim promienio-
waniem to w takim uk!adzie absorpcja b$dzie przewa%a#a nad emisj wymuszon .
'eby przewa"a!a emisja wymuszona, to w wy"szym stanie energetycznym musi si#
znajdowa% wi#cej atomów (cz steczek) ni" w stanie ni"szym. Mówimy, "e rozk!ad musi
by% antyboltzmanowski.
Taki uk!ad mo"na przygotowa% na kilka sposobów min. za pomoc zderze( z innymi
atomami lub za pomoc pompowania optycznego.
Ten pierwszy sposób jest wykorzystywany w laserze helowo-neonowym.
Schemat poziomów energetycznych dla tego lasera jest pokazany na rysunku poni"ej.
10
20
eV
En’
En
h"=1.96 eV
% = 633 nm
E1
35-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
W tym laserze atomy neonu s wzbudzane do na poziom En’ w trakcie zderze( ze
wzbudzonymi atomami helu. Przej$cie na poziom En zachodzi wskutek emisji wymu-
szonej. Nast#pnie atomy neonu przechodz szybko do stanu podstawowego oddaj c
energi# w wyniku zderze( ze $ciankami. Emisja wymuszona w laserze przedstawiona
zosta!a na rysunkach poni"ej.
d)
c)
b)
a)
Na rysunku (a) foton zostaje „wprowadzony” do gazu. Foton wymusza emisj# drugiego
fotonu przez wzbudzony atom (b). Przez uk!ad poruszaj si# dwa fotony. Wymuszona
zostaje kolejna emisja i ju" trzy fotony o tej samej fazie poruszaj si# przez uk!ad (c).
Je"eli na ko(cach zbiornika znajduj si# lustra to ten proces b#dzie trwa! a" wszystkie
atomy wypromieniuj nadmiar energii. Je"eli jedno z tych zwierciade! b#dzie cz#$cio-
wo przepuszczaj ce to uk!ad b#dzie opuszcza!a wi zka spójna - wszystkie fotony b#d
mia!y t# sam faz#.
Inny sposób „odwrócenia” rozk!adu boltzmanowskiego jest wykorzystany w laserze
rubinowym. Laser zbudowany na ciele sta!ym sk!ada si# z pr#ta wykonanego z kryszta-
!u Al2O3, w którym jonami czynnymi s jony z grupy ziem rzadkich. Na ko(cach pr#ta
s naniesione zwierciad!a odbijaj ce. Promieniowanie pompuj ce jest wytwarzane
przez lamp# b!yskow umieszczon wokó! kryszta!u tak jak pokazano na rysunku poni-
"ej.
lampab yskowa
wi!zka "wiat alaserowego
kryszta
35-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Od czasu uruchomienia pierwszego lasera tj. od 1960 roku technologia tych urz dze(
bardzo si# rozwin#!a. Obecnie dzia!aj zarówno lasery impulsowe jak i lasery o pracy
ci g!ej. O$rodkami czynnymi w laserach s gazy, cia!a sta!e i ciecze, a zakres d!ugo$ci
fal jest bardzo szeroki; od podczerwieni przez obszar widzialny a" do nadfioletu (ostat-
nio !!!).
Zastosowania laserów s wszechstronne. Przyk!adowo:
&' w odtwarzaczach i nagrywarkach (CD),
&' w dalmierzach, celownikach
&' przy obróbce mechanicznej
&' holografia
35-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 36
36. Atomy wieloelektronowe, uk ad okresowy pierwiastków.
Fizycy badaj cy struktur" atomów wieloelektronowych starali si" odpowiedzie# na
fundamentalne pytanie, dlaczego wszystkie elektrony w atomie znajduj cym si" w sta-
nie podstawowym nie s zwi zane na najbardziej wewn!trznej pow"oce (orbicie).
Fizyka klasyczna nie wyja$nia tego problemu; dopiero mechanika kwantowa przynios!a
podstawy teoretyczne, na gruncie których mo%na przewidzie# w!asno$ci pierwiastków.
36.1 Liczby kwantowe
Na poprzednich wyk!adach przedstawione zosta!o wprowadzenie do $wiata fizyki
kwantowej. Poznali$my mi"dzy innymi jak ograniczenie ruchu cz stki do obszaru za-
wartego pomi"dzy sztywnymi $ciankami wp!ywa na prawdopodobie&stwo jej znalezie-
nia oraz jak wp!ywa na skwantowanie warto$ci energii
......,2,1,8 2
22 n
ml
hnE
Podobnie warto$ci energii elektronu w atomie wodoru zale% tylko od liczby kwanto-
wej n.
Inaczej jednak jest w przypadku odpowiedniej fali (stoj cej) materii. Funkcja falowa
zale%y od trzech liczb kwantowych co wynika z faktu, %e ruch w przestrzeni jest opisany
przez trzy niezale%ne zmienne; na ka%d wspó!rz"dn przestrzenn przypada jedna licz-
ba. Na rysunku obok pokazane s wspó!rz"dne prostok tne (x, y, z) i wspó!rz"dne sfe-
ryczne (r, !, ") punktu P.
x
y
z
x
y
z
P
r
!
"
Stosowanie wspó!rz"dnych sferycznych w zdecydowany sposób u!atwia obliczenia.
Wynika to z faktu, %e energia potencjalna oddzia!ywania elektronu z j drem
r
eU
0
2
4#$% jest funkcj tylko jednej zmiennej we wspó!rz"dnych sferycznych podczas
gdy we wspó!rz"dnych prostok tnych funkcj wszystkich trzech wspó!rz"dnych
222
0
2
4 zyx
eU
&&%
#$
36-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Trzy liczby kwantowe n, l, ml spe!niaj nast"puj ce warunki
lmlllllllm
nlnl
n
ll ''%%%&%&%%
%''%
lub,1,2,.....,2,1,
10lub1,......,2,1,0
.....,3,2,1
(36.1)
Ze wzgl"du na rol" jak odgrywa liczba n w okre$leniu energii ca!kowitej atomu, jest
nazywana g"ówn liczb kwantow . Liczba l nosi nazw" azymutalnej liczby kwantowej,
a liczba ml nazywana jest magnetyczn liczb kwantow . Z warunków (36.1) wida#, $e
dla danej warto%ci n (danej energii) istnieje na ogó" kilka ró$nych mo$liwych warto%ci l,
ml.
36.2 Zasada Pauliego
W 1869 r. Mendelejew jako pierwszy zauwa%y!, %e wi"kszo$# w!asno$ci pierwiast-
ków chemicznych jest okresow funkcj liczby atomowej Z okre$laj cej liczb" elektro-
nów w atomie co najlepiej uwidacznia si" w odpowiednio skonstruowanym uk"adzie
okresowym pierwiastków. W!a$ciwo$ci chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzaj
si" je%eli zebra# je w grupy zawieraj ce 2, 8, 8, 18, 18, 32 elementów.
W 1925 r. Wolfgang Pauli poda! prost zasad", dzi"ki której automatycznie s genero-
wane grupy o liczebno$ci 2, 8,18,32. Pauli zapostulowa", $e na jednej orbicie mog
znajdowa# si! nie wi!cej ni$ dwa elektrony, czyli tylko dwa elektrony mog by# opisane
t sam fal stoj c materii.
Zatem na orbicie n = 1 b"d dwa elektrony bo mamy tylko jedn fal" stoj c , czyli je-
den orbital
(n, l, ml) = (1,0,0)
Dla n = 2 s cztery orbitale
(n, l, ml) = (2,0,0);
(2,1,1), (2,1,0), (2,1,–1)
St d wynika, %e w stanie n = 2 mo%e by# 8 elektronów (dwa na orbital).
Podobnie dla n = 3 mamy 9 orbitali czyli 18 elektronów
(n, l, ml) = (3,0,0);
(3,1,1), (3,1,0), (3,1,–1);
(3,2,2), (3,2,1), (3,2,0), (3,2,–1), (3,2,–2)
Wida#, %e okresy 2, 8, 18 s konsekwencja zasady Pauliego i teorii kwantowej, z której
wynikaj warunki (36.1).
W czasie gdy Pauli poda! swoj zasad" by!a ona zasad ad hoc, nie mo%na by!o jej wy-
prowadzi# w ramach istniej cej teorii. Pozostawa!o wi"c pytanie: dlaczego akurat dwa
elektrony (a nie inna liczba) mog by# opisane t sam fal stoj c ?
36-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
36.2.1 Spin elektronu
W roku 1926 odkryto, %e wszystkie elektrony maj wewn"trzny moment p"du
Lwew = (1/2)(h/2#), który zosta! nazwany spinowym momentem p!du.
Elektron zachowuje si" tak, jakby by! kulk wiruj c wokó! pewnej osi obrotu (analo-
gicznie jak Ziemia obiegaj ca S!o&ce i obracaj ca si" wokó! swej osi).
Wewn"trzny moment p"du elektronu nigdy nie zwi"ksza si" ani te% nie maleje.
Okaza!o si" ponadto, %e dla danego stanu orbitalnego s mo%liwe dwa kierunki spinu.
Mamy wi"c inny sposób wyra%enia zasady Pauliego. Oznacza to, %e zasada Pauliego nie
by!a postulatem wprowadzona ad hoc.
Znajomo$# spinu jest niezb"dna do opisu stanu elektronu. Kiedy te stany s okre$lone to
zasada Pauliego, która w pierwotnym brzmieniu stwierdza!a, %e w danym stanie orbital-
nym nie mo%e by# wi"cej elektronów ni% dwa, oznacza teraz, %e w danym stanie
(z uwzgl!dnieniem spinu) mo$e znajdowa# si! tylko jeden elektron.
36.3 Atomy wieloelektronowe, uk ad okresowy pierwiastków
Pos!uguj c si" zasad Pauliego mo%na okre$li# jakie stany w atomie b"d obsadza-
ne.
Rozpatrzmy np. j dro neonu Z = 10. Je%eli w pobli%u j dra umie$cimy jeden elektron to
zajmie on orbital n = 1. Tak samo b"dzie z drugim elektronem (inny kierunek spinu). Te
dwa elektrony zape!ni orbit" n = 1. Pozosta!e 8 elektronów zape!ni orbit" o n = 2, czyli
cztery orbitale (l, ml) = (0,0), (1,1), (1,0), (1,–1). W ten sposób rozpatrzymy przewidy-
wan przez teori" kwantow struktur" niektórych pierwiastków.
Z = 1, Wodór
Jedyny elektron znajduje si" w stanie n = 1, o energii E = – 13.6 eV. Tak wi"c energia
wi zania czyli energia jonizacji atomu wodoru wynosi 13.6 eV. Oznacza to, %e mini-
malne napi"cie potrzebne do zjonizowania atomu wodoru wynosi 13.6 V. To minimalne
napi"cie nazywamy potencja"em jonizacyjnym.
Z = 2, Hel
Zacznijmy od jonu helu, He+, który sk!ada si" z j dra oraz jednego elektronu.
Mamy uk!ad podobny do wodoru tylko inna jest si!a elektrostatyczna dzia!aj ca na elek-
tron (wi"ksza o czynnik Z). Energia jest dana wzorem analogicznym jak w modelu
Bohra
eV6.138 2
2
2
2
1222
0
42
n
Z
n
ZE
nh
meZE % %
$ (36.2)
Ze wzgl"du na czynnik Z2 energia jonizacji He
+ wynosi 4·13.6 eV = 54.4 eV.
Warto$# ta zgadza si" ze zmierzonym potencja!em jonizacji.
Je%eli teraz dodamy drugi elektron na pow!ok" n = 1 to przez po!ow" czasu b"dzie on
bli%ej j dra ni% pierwszy i b"dzie „czu!” !adunek j dra Z, a przez po!ow" czasu b"dzie
dalej wi"c b"dzie „widzia!” j dro o !adunku Z i 1 elektron czyli „obiekt” o !adunku
(Z – 1). Prosta $rednia arytmetyczna tych dwóch warto$ci daje efektywny "adunek
Zef = 1.5e jaki „czuj ” elektrony w atomie helu. Mo%emy teraz uogólni# wzór (36.2) do
postaci
36-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
eV6.132
2
n
ZE
ef% (36.3)
Na podstawie tak oszacowanego !adunku efektywnego otrzymujemy potencja! jonizacji
równy oko!o (1.5)2·13.6 V = 30 V.
W rzeczywisto$ci elektrony nie tylko ekranuj !adunek j dra ale te% odpychaj si" na-
wzajem (dodatnia energia potencjalna), wi"c energia wi zania powinna by# mniejsza.
Wyznaczony do$wiadczalnie potencja! jonizacyjny helu wynosi 24.6 V i jest najwi"k-
szy dla wszystkich pierwiastków. 'adna si!a chemiczna nie mo%e dostarczy# takiej
energii, która jest potrzebna do utworzenia He+.
Gdyby$my spróbowali utworzy# ujemny jon He- to dodatkowy elektron obsadzi pow!o-
k" n = 2 o du%o wi"kszym promieniu ni% n = 1, na której s ju% dwa elektrony. (adunek
efektywny widziany przez ten elektron b"dzie wi"c równy zeru, nie dzia!a %adna si!a
mog ca przytrzyma# ten elektron. W rezultacie hel nie tworzy cz steczek z %adnym
pierwiastkiem. Hel i inne atomy o ca"kowicie wype"nionych pow"okach s nazywane
gazami szlachetnymi.
Z = 3, Lit
Dwukrotnie zjonizowany atom litu jest atomem wodoropodobnym przy czym energie
trzeba pomno%y# przez czynnik Z2 = 9.
Jednokrotnie zjonizowany atom litu ma energie podobne do atomu helu ale
Zef ( (3 – 1/2) zamiast (2 – 1/2), jak dla helu.
Trzeci elektron znajduje si" na pow!oce n = 2. Dla niego !adunek efektywny musi by#
w pobli%u (troch" wi"kszy) jedno$ci. Zatem nale%y oczekiwa#, %e potencja! jonizacji
litu b"dzie nieco wi"kszy ni% 13.6/n2 = 13.6/2
2 = 3.4 V. Warto$# zmierzona wynosi 5.4
V co odpowiada Zef = 1.25e.
Oderwanie drugiego elektronu wymaga potencja!u a% 75.6 V. Zatem w zwi zkach che-
micznych lit powinien zawsze wykazywa# warto$ciowo$# +1.
Z = 4, Beryl
Zgodnie z zasad Pauliego w stanie n = 2, l = 0 jest miejsce dla dwóch elektronów. Dla
berylu drugi potencja! jonizacyjny nie jest wi"c du%o wi"kszy od pierwszego i beryl w
zwi zkach chemicznych ma warto$ciowo$# +2.
Wprowad)my teraz do opisu konfiguracji nast"puj c konwencj": numer pow!oki (n)
piszemy cyfr , natomiast podpow!oki: l = 0, 1, 2, 3 4 oznaczmy literami s, p, d, f.
Wska)nik górny przy symbolu podpow!oki okre$la liczb" znajduj cych si" w niej elek-
tronów a wska)nik dolny przy symbolu chemicznym pierwiastka okre$la warto$# Z.
Tak wi"c konfiguracje dotychczas omawianych pierwiastków zapiszemy w postaci
1H : 1s1
2He : 1s2
3Li : 1s22s
1
4Be : 1s22s
2
Od Z = 5 (Boru) do Z = 10 (neonu)
W tych sze$ciu pierwiastkach elektrony zape!niaj podpow!ok" 2p (n = 2, l = 1)
5B : 1s22s
22p
1
36-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
10Ne : 1s22s
22p
6
W$ród tych pierwiastków znajduj si" fluor i tlen, którym do zape!nienia orbity p bra-
kuje odpowiednio 1 i 2 elektrony. Pierwiastki te wykazuj siln tendencj" do przy! cze-
nia dodatkowych elektronów tworz c trwa!e jony Fl– i O
– –. To zjawisko jest zwane po-
winowactwem elektronowym.
Kontynuuj c powy%szy schemat mo%na napisa# konfiguracj" elektronow dowolnego
atomu. Okazuje si" jednak, %e w niektórych przypadkach obserwowane konfiguracje nie
pokrywaj si" z obserwowanymi. Wnioskujemy, %e ró%nice energii pomi"dzy niektóry-
mi podpow!okami musz by# tak ma!e, %e w pewnych wypadkach mo%e zosta# odwró-
cona kolejno$# ich zape!niania. Mo%na to zobaczy# na rysunku poni%ej. Krzywe ko&cz
si" na Z = 80 (rt"#). Uwaga: skala energii nie jest liniowa.
0 20 40 60 80
energ
ia
5d4f
6s
5p4d5s
4p3d
4s
3p
3s
2p
2s
1s
Z
Zwró#my te% uwag", %e ka%da podpow!oka p ma wy%sz energi" od poprzedzaj cej j
pow!oki s. Natomiast ró%nice energii pomi"dzy ka%d podpow!ok s i poprzedzaj c j
pow!ok p s szczególnie du%e. W konsekwencji wzbudzenie elektronu w atomach
pierwiastków, w których zako&czy!o si" w!a$nie zape!nianie pow!oki p jest bardzo
trudne (gazy szlachetne).
W ten sposób na gruncie mechaniki kwantowej (z uwzgl"dnieniem spinu elektronu)
mo%na przeanalizowa# w!asno$ci wszystkich pierwiastków.
36.4 Promienie X
Wielokrotnie mówili$my o zastosowaniu promieniowania rentgenowskiego. Teraz
poznamy wi"cej szczegó!ów dotycz cych widma tego promieniowania.
Na rysunku poni%ej pokazana jest lampa rentgenowska.
Elektrony emitowane z katody K s przyspieszane przez napi"cie U rz"du 104 V (przy-
!o%one pomi"dzy katod i anod ) i wreszcie uderzaj w anod" (tarcz"). Elektrony s
hamowane w anodzie, a% do ich ca!kowitego zatrzymania.
36-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
K A
U
promieniowanie X
Zgodnie z fizyk klasyczn w wyniku tego hamowania ("adunek doznaj cy przyspiesze-
nia) powinna nast pi# emisja promieniowania elektromagnetycznego o widmie ci g"ym.
Przyk!adowy rozk!ad widmowy rentgenowski otrzymany dla wolframu jest pokazany
na wykresie poni%ej.
0.00 0.05 0.10 0.15
Na
t !e
nie
) (nm)
Najbardziej charakterystycznymi cechami obserwowanych rozk!adów widmowych pro-
mieniowania X s :
*+ charakterystyczne linie widmowe tj. maksima nat"%enia promieniowania wyst"puj -
ce dla $ci$le okre$lonych d!ugo$ci fal. Zaobserwowano, %e widmo liniowe zale%y od
materia!u (pierwiastka) anody.
*+ istnienie dobrze okre$lonej minimalnej d!ugo$ci fali )min widma ci g"ego. Stwier-
dzono, %e warto$# )min zale%y jedynie od napi"cia U i jest taka sama dla wszystkich
materia!ów, z jakich wykonana jest anoda.
Istnienie krótkofalowej granicy widma ci g!ego promieniowania X nie mo%e by# wyja-
$nione przez klasyczn teori" elektromagnetyzmu. W $wietle tej teorii nie istniej %adne
powody, aby z anody nie mog!y by# wys!ane fale o d!ugo$ci mniejszej od jakiej$ warto-
$ci granicznej.
36-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Je%eli jednak potraktujemy promieniowanie rentgenowskie jako strumie& fotonów to
wyja$nienie obserwowanego zjawiska jest proste.
Elektron o pocz tkowej energii kinetycznej Ek (uzyskanej dzi"ki napi"ciu U) w wyniku
oddzia!ywania z ci"%kim j drem atomu tarczy jest hamowany i energia jak traci poja-
wia si" w formie kwantów (rysunek).
Ek
Ek'
j dro
foton
elektron
Energia powstaj cego fotonu jest dana wzorem:
hv = Ek - Ek'
gdzie Ek' jest energi elektronu po zderzeniu. Elektron w trakcie zderzenia przekazuje
j dru pewn energi" jednak ze wzgl"du na to, %e j dra tarczy s bardzo ci"%kie (w po-
równaniu do elektronu) mo%emy j zaniedba#.
D!ugo$# fali fotonu mo%na obliczy# z relacji
'
kk EEc
h % )
W wyniku zderze& elektrony trac ró%ne ilo$ci energii typowo elektron zostaje zatrzy-
many w wyniku wielu zderze& z j drami tarczy - otrzymujemy szereg fotonów o ró%-
nych energiach (ró%nych )). Wobec tego promieniowanie rentgenowskie wytwarzane
przez wiele elektronów b"dzie mia!o widmo ci g"e.
Powstaje wiele fotonów o d!ugo$ciach od )min do ) , -, co odpowiada ró%nym ener-
giom traconym w zderzeniach.
Foton o najmniejszej d!ugo$ci fali )min (maksymalnej energii) b"dzie emitowany wtedy
gdy elektron straci ca! energi" w jednym procesie zderzenia. Oznacza to, %e po tym
zderzeniu Ek' = 0 wi"c
kEc
h min)
(36.4)
Poniewa% energia kinetyczna jest równa eU (elektron przyspieszony napi"ciem U) wi"c
zachodzi relacja
eUc
h min)
czyli
eU
hc min) (36.5)
36-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Tak wi"c minimalna d!ugo$# fali odpowiadaj ca ca!kowitej zamianie energii kinetycz-
nej elektronów na promieniowanie zale%y jedynie od U, a nie zale%y np. od materia!u z
jakiego zrobiono tarcz" (anod").
Podobnie na gruncie fizyki kwantowej mo%na wyja$ni# powstawanie widma liniowego
(charakterystycznego).
Elektron z wi zki padaj cej przelatuj c przez atom anody, niekiedy przechodzi w pobli-
%u elektronu podpow!oki wewn"trznej. W wyniku oddzia!ywania kulombowskiego
mi"dzy tymi elektronami mo%e doj$# do wybicia elektronu z podpow!oki poza atom.
Pozostawia to atom w stanie wysoko wzbudzonym poniewa% uby! elektron o du%ej
energii wi zania. Atom ostatecznie powróci do stanu podstawowego, emituj c seri" fo-
tonów wysokoenergetycznych.
Aby to szczegó!owo prze$ledzi# rozpatrzmy atom anody, z którego podpow!oki 1s zo-
sta! usuni"ty elektron. W pierwszym kroku powrotu atomu do stanu podstawowego
elektron z jednej z podpow!ok o mniej ujemnej (wy%szej) energii np. elektron 2p, prze-
chodzi na wolne miejsce w podpow!oce 1s. Pozostawia to dziur" w podpow!oce 2p.
Towarzyszy temu emisja fotonu o energii równej spadkowi energii wzbudzenia tj. ró%-
nicy energii atomu z brakuj cym elektronem 1s i atomu z brakuj cym elektronem 2p.
Oczywi$cie dziura w podpow!oce 2p mo%e by# zape!niona przez elektron 3d, a powsta!a
dziura w podpow!oce 3d przez elektron 4p itd.
Zazwyczaj proces powrotu atomu do stanu podstawowego sk!ada si" z kilku kroków.
W ka%dym kroku dziura przeskakuje do podpow!oki o mniej ujemnej energii, a% przej-
dzie do najbardziej zewn"trznej podpow!oki gdzie zostanie zaj"ta przez jaki$ elektron
b"d cy w pobli%u. Atom jest znowu w stanie podstawowym i jest oboj"tny elektrycznie.
Ka%demu przej$ciu dziury do stanu o mniej ujemnej energii towarzyszy emisja fotonu o
energii równej spadkowi energii wzbudzenia. W ten sposób powstaje widmo liniowe.
Poniewa% przej$cia odbywaj si" pomi"dzy podpow!okami atomu anody wi"c wysy!ane
promieniowanie X jest charakterystyczne dla atomów konkretnego pierwiastka anody.
Liniowe widma rentgenowskie s interesuj ce praktyczni ze wzgl"du na wiele u%ytecz-
nych zastosowa& w nauce i technice.
36-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 37
37. Materia skondensowana
37.1 Wst p
Kiedy pierwiastek lub zwi zek chemiczny, b"d cy w stanie gazowym lub ciek!ym, zo-stanie dostatecznie och!odzony to kondensuje czyli przechodzi do stanu sta!ego. Wi"kszo#$ zwi zków ma struktur" krystaliczn . Atomy u!o%one s w powtarzaj cy si" regularny wzór zwany sieci krystaliczn . Np. ziarna soli kuchennej tworz sze#ciany oparte na powtarzaj cym si" elementarnym sze#cianie pokazanym na rysunku poni%ej. Pozycje atomów Na i Cl s zaznaczone odpowiednio ma!ymi i du%ymi kulami.
Wiele cia! sta!ych nie przypomina kryszta!ów ale jest zbudowana z bardzo wielu malut-kich kryszta!ków; mówimy, %e maj struktur" polikrystaliczn . Wreszcie w przyrodzie wyst"puj cia!a niekrystaliczne tzn. takie, w których uporz dkowanie atomowe nie roz-ci ga si" na du%e odleg!o#ci. W dalszej cz"#ci wyk!adu zajmiemy si" tylko cia!ami krystalicznymi. Klasyfikacje takich cia! prowadzi si" wed!ug dominuj cego rodzaju wi zania.
37.2 Rodzaje kryszta!ów (rodzaje wi"za#)
Ze wzgl"du na typy wi za& kryszta!y dzielimy na: ! Kryszta!y cz steczkowe (molekularne);
! Kryszta!y o wi zaniach wodorowych;
! Kryszta!y jonowe;
! Kryszta!y atomowe (kowalentne);
! Kryszta!y metaliczne.
37.2.1 Kryszta y cz!steczkowe
Sk!adaj si" ze stabilnych cz steczek, które zachowuj wiele swoich cech indywidu-alnych nawet przy zbli%aniu ich do siebie. ! Si!y wi % ce cz steczki s s!abym przyci ganiem van der Waalsa, takim jakie ist-
nieje pomi"dzy cz steczkami w fazie gazowej. Fizycznym mechanizmem odpowie-
37-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
dzialnym za to przyci ganie jest oddzia!ywanie pomi"dzy dipolami elektrycznymi (cz steczki zachowuj si" jak dipole elektryczne).
! Cia!a cz steczkowe tworzy wiele zwi zków organicznych a w stanie sta!ym gazy szlachetne i zwyk!e gazy, takie jak tlen, azot, wodór.
! Energia wi zania jest s!aba - rz"du 10-2 eV tj. 10-21 J. Dla porównania energia termiczna cz steczki (wp!ywaj ca na rozerwanie wi zania)
w temperaturze pokojowej (300 K) wynosi J1062
3 21"#$TkB .
Wida$, %e zestalenie mo%e mie$ miejsce dopiero w niskich i bardzo niskich temperaturach, gdzie efekty rozrywaj ce wi zanie, wynikaj ce z ruchu termicznego, s bardzo ma!e. Np. temperatura topnienia sta!ego wodoru wynosi 14 K (tj. -259 %C).
! Te kryszta!y s podatne na odkszta!cenia (s!abe wi zanie) oraz ze wzgl"du na brak elektronów swobodnych s bardzo z!ymi przewodnikami ciep!a i elektryczno#ci.
37.2.2 Kryszta y o wi!zaniach wodorowych
W pewnych warunkach atomy wodoru mog tworzy$ silne wi zania z atomami pierwiastków elektroujemnych takich jak np. tlen czy azot. Te wi zania zwane wodo-rowymi odgrywaj wa%n rol" min. w kryszta!ach ferroelektrycznych i w cz steczkach kwasu DNA (dezoksyrybonukleinowego).
37.2.3 Kryszta y jonowe
Np. chlorek sodu. Takie kryszta!y sk!adaj si" z trójwymiarowego naprzemiennego u!o%enia dodatnich i ujemnych jonów, o energii ni%szej ni% energia odosobnionego jo-nu. ! Energia wi zania wynika z wypadkowego przyci gania elektrostatycznego. Ta ener-
gia jest wi"ksza od energii zu%ytej na przeniesienie elektronów (utworzenie jonów).
Wi zanie jonowe nie ma wyró%nionego kierunku (sferycznie symetryczne zamkni"te pow!oki). Jony s u!o%one jak g"sto upakowane kulki. ! Nie ma swobodnych elektronów (które mog!yby przenosi$ !adunek lub energi")
wi"c kryszta!y jonowe s z!ymi przewodnikami elektryczno#ci i ciep!a. ! Ze wzgl"du na du%e si!y wi % ce kryszta!y jonowe s zazwyczaj twarde i maj wy-
sok temperatur" topnienia.
37.2.4 Kryszta y atomowe (kowalentne)
Np. German, Krzem. Sk!adaj si" z atomów po! czonych ze sob parami wspólnych elektronów walencyjnych. ! Wi zania maj kierunek i wyznaczaj u!o%enie atomów w strukturze krystalicznej. ! S niepodatne na odkszta!cenia i posiadaj wysok temperatur" topnienia. ! Brak elektronów swobodnych, wi"c cia!a atomowe nie s dobrymi przewodnikami
elektryczno#ci i ciep!a. Czasami jak w przypadku wymienionych Ge oraz Si s one pó!przewodnikami.
37-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
37.2.5 Cia a metaliczne
Wi zanie metaliczne mo%na sobie wyobrazi$ jako graniczny przypadek wi zania kowalentnego, w którym elektrony walencyjne s wspólne dla wszystkich jonów w krysztale a nie tylko dla jonów s siednich. ! Gdy w atomach, z których jest zbudowany kryszta!, elektrony na zewn"trznych po-
w!okach s s!abo zwi zane to mog one zosta$ uwolnione z tych atomów kosztem energii wi zania (bardzo ma!ej).
! Elektrony te poruszaj si" w ca!ym krysztale; s wi"c wspólne dla wszystkich jonów. Mówimy, %e te elektrony tworz gaz elektronowy wype!niaj cy przestrze& pomi"dzy dodatnimi jonami. Gaz elektronowy dzia!a na ka%dy jon si! przyci gania wi"ksz od odpychania pozo-sta!ych jonów - st d wi zanie. Wprawdzie w tych atomach na zewn"trznych podpow!okach s wolne miejsca ale jest za ma!o elektronów walencyjnych (na atom) aby utworzy$ wi zanie kowalentne.
! Poniewa% istnieje wiele nie obsadzonych stanów elektronowych (na zewn"trznych podpow!okach s wolne miejsca) to elektrony mog porusza$ si" swobodnie w krysztale od atomu do atomu - s wspólne dla ca!ego kryszta!u.
! Kryszta!y metaliczne s doskona!ymi przewodnikami elektryczno#ci i ciep!a. Wszystkie metale alkaliczne tworz kryszta!y metaliczne. W podsumowaniu nale%y zaznaczy$, %e istniej kryszta!y, w których wi zania musz by$ interpretowane jako mieszanina opisanych powy%ej g!ównych typów wi za&. Typ wi zania w poszczególnych kryszta!ach wyznacza si" do#wiadczalnie przez bada-nie: dyfrakcji promieni X, w!asno#ci dielektrycznych, widm optycznych itp..
37.3 Pasma energetyczne
W odró%nieniu od atomów (i cz steczek) gdzie ruch elektronów jest ograniczony do ma!ego obszaru przestrzeni, w cia!ach sta!ych elektrony walencyjne mog si" porusza$ w ca!ej obj"to#ci cia!a przechodz c od atomu do atomu. Ruch elektronów w kryszta!ach jest wi"c czym# po#rednim pomi"dzy ruchem we-wn trzatomowym a ruchem swobodnych elektronów w pró%ni. ! Energia elektronu w atomie mo%e przyjmowa$ tylko okre#lone warto#ci tworz c
zbiór dyskretnych poziomów energetycznych. ! Elektron swobodny mo%e porusza$ si" z dowoln energi , mamy wi"c do czynienia
z ci g!ym przedzia!em energii od zera do niesko&czono#ci. W kryszta!ach mamy sytuacje po#redni . Gdy du%a liczba atomów jest zbli%ana do sie-bie nast"puje poszerzenie atomowych poziomów energetycznych tworz si" tzw. pasma
energetyczne tak jak pokazano na rysunku na nast"pnej stronie. Silnie zwi zane elektrony wewn"trzne w atomie pozostaj zlokalizowane w atomach. Elektronom tym odpowiadaj najni%sze dyskretne (atomowe) poziomy energii. Energie elektronów walencyjnych uk!adaj si" w przedzia!y - pasma. Pasma s tym szersze im s!absza wi"' elektronów z j drami atomowymi (czyli im bardziej przypomi-naj elektrony swobodne). Pasma energetyczne s oddzielone obszarami wzbronionymi czyli przedzia!ami energii nie dost"pnych dla elektronów.
37-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
r
En
erg
ia e
lektr
on
u
r0
r0 - odleg!o#$ mi"dzyatomowa w krysztale. Pasmowa struktura widma energetycznego elektronów pozwoli!a wyja#ni$ wiele pod-stawowych w!a#ciwo#ci cia! sta!ych. Przede wszystkim pozwoli!a wyt!umaczy$ dlaczego, mimo %e odleg!o#ci mi"dzyato-mowe i energie oddzia!ywa& w metalach, pó!przewodnikach i dielektrykach s tego sa-mego rz"du to oporno#$ elektryczna tych substancji ró%ni si" o 25 rz"dów wielko#ci: od oko!o 10-6 w metalach do 1019 &cm w dielektrykach. ! Je%eli pasmo jest puste to nie mo%e wnosi$ wk!adu do przewodnictwa (nie ma elek-
tronów o energiach w takim przedziale). ! Tak%e pasmo ca!kowicie zape!nione nie bierze udzia!u w przewodnictwie. Je%eli
przyk!adamy napi"cie (aby pop!yn ! pr d) to w polu elektrycznym elektrony b"d przyspieszane, a to oznacza wzrost ich energii. Ale ten proces jest niemo%liwy bo nie ma wolnych (nie obsadzonych) energii w pa#mie.
! Takich ruch elektronów jest mo%liwy dopiero w pa#mie cz"#ciowo wype!nionym czyli takim, w którym s nie obsadzone stany energetyczne.
Substancje o cz"#ciowo wype!nionych pasmach s wi"c metalami a substancje, w któ-rych wyst"puj tylko ca!kowicie zape!nione lub puste stany energetyczne s dielektry-kami lub pó!przewodnikami (rysunek).
Ca!kowicie zape!nione pasma w kryszta!ach nazywamy pasmami walencyjnymi, a cz"-#ciowo zape!nione (lub puste) pasmami przewodnictwa.
37-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Je%eli szeroko#$ obszaru oddzielaj cego najwy%sze pasmo walencyjne od pasma prze-wodnictwa (tzw. przerwa energetyczna lub pasmo wzbronione) jest du%a to materia! ten jest dielektrykiem we wszystkich temperaturach (a% do temperatury topnienia). Je%eli jednak przerwa jest dostatecznie w ska to w odpowiedniej temperaturze dzi"ki energii cieplnej cz"#$ elektronów mo%e zosta$ przeniesiona do pustego pasma. Kryszta!, który w T = 0 K by! izolatorem teraz b"dzie przewodzi! a jego przewodno#$ szybko ro-#nie (opór spada) wraz z temperatur . Je%eli przerwa jest mniejsza ni% 1 eV to przewod-nictwo staje si" wyra'ne ju% w temperaturze pokojowej. Substancje z tak przerw nazywamy pó!przewodnikami.
37.4 Fizyka pó!przewodników
W tym punkcie przedstawione zostan podstawowe w!a#ciwo#ci pó!przewodników oraz ich zastosowania. Materia!y te zrewolucjonizowa!y elektronik" i wspó!czesn technologi" dlatego zosta!y wybrane do omówienia. Gdy elektron znajduj cy si" w pa#mie walencyjnym np. Ge zostanie wzbudzony ter-micznie, wówczas powstaje w tym pa#mie miejsce wolne, a zostaje zape!niony stan w pa#mie przewodnictwa. Pusty stan w pa#mie walencyjnym nazywany jest dziur . Na rysunku zaznaczono symbolicznie t" sytuacj".
elektron przewodnictwa
Eprzerwy
Ge Ge
Ge
Ge Ge
elektron przewodnictwa
dziura
wi zanie (elektrony walencyjne)
Ge Ge
dziura
W obecno#ci zewn"trznego pola elektrycznego inny elektron walencyjny, s siaduj cy z dziur mo%e zaj $ jej miejsce, pozostawiaj c po sobie now dziur", która zostanie za-pe!niona przez kolejny elektron itd. Zatem dziura przemieszcza si" w kierunku prze-ciwnym ni% elektron i zachowuje jak no#nik !adunku dodatniego (dodatni elektron). Liczba dziur jest równa liczbie elektronów przewodnictwa. Takie pó!przewodniki na-zywamy samoistnymi.
37.4.1 Domieszkowanie pó przewodników
Je%eli w trakcie wzrostu kryszta!ów do roztopionego germanu dodamy niewielk ilo#$ arsenu (grupa 5 uk!adu okresowego) to arsen wbudowa! si" w struktur" germanu wykorzystuj c cztery spo#ród pi"ciu elektronów walencyjnych. Pozosta!y elektron nie bierze udzia!u w wi zaniu i !atwo staje si" elektronem przewodnictwa. Dzi"ki temu w
37-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
pa#mie przewodnictwa jest prawie tyle elektronów ile atomów arsenu (domieszki). Za-zwyczaj liczba ta jest wi"ksza ni% liczba elektronów wzbudzonych termicznie z pasma walencyjnego. Taki pó!przewodnik nazywany jest pó!przewodnikiem typu n (negative). German mo%na te% domieszkowa$ galem (grupa 3 uk!adu okresowego). W takim przy-padku atom galu b"dzie mia! tendencj" do wychwytywania elektronu z s siedniego atomu germanu aby uzupe!ni$ cztery wi zania kowalencyjne. Zatem atom galu wpro-wadza dziur" i mamy pó!przewodnik typu p (positive).
37.5 Zastosowania pó!przewodników
37.5.1 Termistor
W miar" wzrostu temperatury obserwujemy szybki wzrost przewodno#ci (spadek oporu) pó!przewodników. Np. przewodno#$ czystego krzemu zwi"ksza si" a% dwukrot-nie przy wzro#cie temperatury od 0% C do 10% C. Dlatego czysty krzem mo%e by$ sto-sowany w czu!ych miernikach temperatury. Taki przyrz d (wykonany z czystego pó!-przewodnika) jest nazywany termistorem.
37.5.2 Z !cze p - n
Je%eli pó!przewodnik typu n i pó!przewodnik typu p zostan ze sob zetkni"te to cz"#$ elektronów z obszaru typu n b"dzie przep!ywa!a do obszaru typu p, a dziury b"d prze-p!ywa!y z obszaru typu p do obszaru typu n. W wyniku tego obszar p na!aduje si" ujemnie (dodatkowymi elektronami) a obszar typu n dodatnio. Powstaje kontaktowa ró%nica potencja!ów pokazana na rysunku poni%ej.
V0
X
V
Typ p
Typ n
Je%eli do takiego z! cza p - n przy!o%ymy zewn"trzny potencja! to wielko#$ pr du p!y-n cego przez z! cze zale%y od kierunku i warto#ci tego napi"cia tak jak pokazano na wykresie poni%ej. Dla dodatniego napi"cia pr d jest zazwyczaj wielokrotnie wi"kszy od I0 podczas gdy dla ujemnego napi"cia (napi"cie zaporowe) maksymalna warto#$ pr du wynosi I0. To urz dzenie jest nazywane diod p - n. Jednym z jego zastosowa& s detektory radiood-biorników o modulacji amplitudowej.
37-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
V
I
I0
37.5.3 Baterie s oneczne
Je%eli o#wietlimy obszar przej#ciowy z! cza p - n to elektrony z pasma walencyjne-go zostan wzbudzone do pasma przewodnictwa (tak samo jak energi ciepln ). Ka%dy poch!oni"ty foton kreuje par" elektron - dziura. Powsta!e dziury s wci gane do obszaru p, a elektrony do obszaru n. Je%eli mamy za-mkni"ty obwód to p!ynie w nim pr d. W ten sposób mo%na zamieni$ #wiat!o bezpo#rednio na energi" elektryczn .
37.5.4 Fotodiody
Gdy do baterii s!onecznej przy!o%ymy napi"cie zaporowe to pr d I0 wzro#nie wielo-krotnie dzi"ki dodatkowym no#nikom wytworzonym przez padaj ce #wiat!o. Fotopr d jest proporcjonalny do szybko#ci padania fotonów. Urz dzenie jest bardzo czu!e i znalaz!o zastosowanie np. jako detektor zmian nat"%enia #wiat!a.
37.5.5 Diody "wiec!ce
Diody #wiec ce s zasilane napi"ciem w kierunku przewodzenia na tyle du%ym, %e przyspieszane elektrony w trakcie zderze& wytwarzaj pary elektron - dziura. Tym pro-cesom tworzenia par elektron - dziura towarzysz procesy odwrotne (tzw. rekombina-cja), w których elektrony mog ponownie obsadzi$ dziur". Ka%demu aktowi rekombi-nacji towarzyszy emisja fotonu o energii hv $ Eprzerw . Tak wi"c cz"stotliwo#$ (barwa) emitowanego #wiat!a zale%y od przerwy energetycznej, która jest charakterystyczna dla danego materia!u pó!przewodnikowego.
37.5.6 Tranzystor
Schemat tranzystora pnp jest pokazany na rysunku na nast"pnej stronie. Mo%na sobie wyobrazi$, %e tranzystor jest diod , do której do! czono dodatkowy obszar p (kolektor).
37-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Vk
Vb
p p n
emiter
kolektor
baza
Ike
Ibe
dioda
V0
Vb
Vk
V
p p n
Do „diody” jest przy!o%one napi"cie w kierunku przewodzenia wi"c p!ynie du%y pr d
(dziurowy) z emitera do bazy. Baza jest na tyle cienka, %e wi"kszo#$ dziur dyfunduje do
kolektora, a tylko niewielka cz"#$ (1%) wyp!ywa z bazy (Ibe).
Pozosta!y pr d (99%) wyp!ywa przez kolektor. Kolektor jest na bardziej ujemnym po-
tencjale ni% baza by dodatnie dziury !atwiej mog!y do niego przechodzi!y. Stosunek pr -
du kolektora do pr du bazy nazywamy wspó!czynnikiem wzmocnienia pr du: be
ke
I
I'( .
Dla typowego tranzystora ( = 100 tzn. s!aby pr d wej#ciowy bazy Ibe mo%e kontrolo-
wa$ 100 razy wi"kszy pr d wyj#ciowy kolektora Ike.
Np. Ibe jest s!abym sygna!em antenowym. Wówczas pr d Ike jest takim samym przebie-
giem ale o warto#ci 100 razy wi"kszej.
Charakterystyki tranzystorów npn s takie same.
37.5.7 Inne urz!dzenia
Istnieje jeszcze wiele innych urz dze& pó!przewodnikowych. Z konieczno#ci ograni-
czymy si" tylko do wymienienia najwa%niejszych: uk!ady scalone du%ej skali integracji;
Ze zjawiskami magnetycznymi spotykamy si" na co dzie&. Najcz"#ciej mamy do
czynienia z magnesami sta!ymi poniewa% s one powszechnie wykorzystywane we
wszelkich urz dzeniach technicznych.
Omówienie w!asno#ci magnetycznych rozpoczniemy od przypomnienia oblicze&,
z Wyk!adu 21. Pokazali#my tam, %e elektron kr % cy w odleg!o#ci r wokó! j dra w
atomie posiada magnetyczny moment dipolowy Le
' zwm2
e) i zany z orbitalnym mo-
mentem p"du L. Podobnie jak z orbitalnym momentem p"du elektronu równie% z jego
spinem zwi zany jest moment magnetyczny tzw. spinowy moment magnetyczny.
W!asno#ci magnetyczne cia! s okre#lone przez zachowanie si" tych elementarnych
momentów (dipoli) magnetycznych w polu magnetycznym.
37-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Przy opisie w!asno#ci magnetycznych cia! pos!ugujemy si" poj"ciem wektora pola-
ryzacji magnetycznej M nazywanej te% namagnesowaniem lub magnetyzacj . Wektor
ten okre#la sum" wszystkich momentów magnetycznych, czyli wypadkowy moment
magnetyczny jednostki obj"to#ci. Je%eli próbk" zawieraj c elementarne dipole magne-
tyczne umie#cimy w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B0 to pole to d %y do
ustawienia dipoli w kierunku pola i w efekcie powstaje w próbce wypadkowe pole o
indukcji
00 BMBB r)'*' (35.1)
Wzgl"dn przenikalno#ci magnetyczn o#rodka )r mo%na na podstawie wzoru (35.1)
zapisa$ jako
+) *'*' 110B
Mr (35.2)
!
gdzie wielko#$ + nazywana jest podatno#ci magnetyczn .
W zale%no#ci od wielko#ci i znaku podatno#ci magnetycznej + , dzielimy cia!a na
nast"puj ce trzy grupy:
! + < 0, cia!a diamagnetyczne;
! + > 0, cia!a paramagnetyczne;
! + >> 0, cia!a ferromagnetyczne.
37.6.1 Diamagnetyzm
Diamagnetyzm jest zwi zany ze zmian orbitalnego momentu p"du elektronów wy-
wo!an zewn"trznym polem magnetycznym. Oznacza to, %e diamagnetyzm wyst"puje w
ka$dym materiale umieszczonym w polu magnetycznym (w ka%dym materiale s elek-
trony). Jednak do#wiadczalnie jest on obserwowany tylko w cia!ach, w których momen-
ty magnetyczne elektronów wchodz cych w sk!ad danego atomu znosz si" wzajemnie
(kompensuj ) tak, %e moment magnetyczny atomu jest równy zeru. W innym przypadku
efekt ten jest maskowany przez wypadkowy moment magnetyczny atomów. Diamagne-
tykami s na przyk!ad te cia!a, których atomy lub jony posiadaj wype!nione pow!oki
elektronowe.
Je%eli atom diamagnetyczny umie#cimy w zewn"trznym polu magnetycznym to na
elektrony dzia!a si!a magnetyczna F = -ev B, która powoduje zmian si!y do"rodkowej dzia!aj#cej na elektron i zmienia pr dko"$ k#tow# elektronów. Zmiana ta zale%y od kie-runku ruchu elektronu wzgl dem pola B i dlatego nie jest jednakowa dla wszystkich elektronów. Oznacza to, %e momenty magnetyczne elektronów przesta!y si kompen-sowa$. W zewn trznym polu magnetycznym B zosta! wyindukowany moment magne-tyczny, o kierunku przeciwnym do B. W efekcie próbka diamagnetyczna jest odpychana od bieguna silnego magnesu, a jej podatno"$ magnetyczna ! jest ujemna.
37-9
Z. K#kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
37.6.2 Paramagnetyzm
Paramagnetykami s# cia!a, których atomy posiadaj# wypadkowy moment magne-tyczny ró%ny od zera. Przyk!adem mog# by$ atomy o nieparzystej liczbie elektronów, w których wypadkowy spin elektronów b dzie zawsze wi kszy od zera. Podatno"$ para-magnetyków ma warto"$ nieznacznie wi ksz# od zera. W zewn trznym polu magne-tycznym atomowe dipole magnetyczne d#%# do ustawienia równoleg!ego do kierunku pola. Jednak ten proces jest silnie zak!ócany przez energi drga& termicznych (energi ciepln#) tak, %e efektywny moment magnetyczny jest du%o mniejszy od maksymalnego, mo%liwego do uzyskania. Te ruchy cieplne s# odpowiedzialne za to, %e po usuni ciu pola magnetycznego znika namagnesowanie i momenty dipolowe paramagnetyka s# ca!kowicie nieuporz#dkowane.
Dla paramagnetyków (nie zawieraj#cych elektronów swobodnych) podatno"$ ma-gnetyczna zale%y od temperatury zgodnie z prawem Curie
T
C"! (35.3)
gdzie C jest sta ! Curie.
37.6.3 Ferromagnetyzm
Istniej# pierwiastki takie jak Fe, Co, Ni oraz wiele ró%nych stopów, w których ob-serwujemy uporz#dkowanie magnetyczne pomimo, przeciwdzia!aj#cych temu, ruchów termicznych atomów. Substancje te zwane ferromagnetykami charakteryzuj# si du%# podatno"ci#, przy czym wielko"$ namagnesowania zale%y zarówno od pola magnesuj#-cego jak i od tego czy by!y one magnesowane wcze"niej. Jest to zwi#zane z silnym od-
dzia ywaniem wymiennym jakie wyst puje pomi dzy spinowymi momentami magne-tycznymi atomów. Ferromagnetyzm jest wi"c w asno#ci! kryszta ów, a nie pojedyn-
czych atomów. Poszczególne atomy (tak jak w paramagnetyku) posiadaj# momenty ma-gnetyczne, które podczas krystalizacji, w wyniku oddzia!ywania wymiennego, ustawia-j# si równolegle do siebie w du%ych obszarach kryszta!u zwanych domenami. Ka%da domena jest wi c ca!kowicie magnetycznie uporz#dkowana. Natomiast kierunki mo-mentów magnetycznych poszczególnych domen s# ró%ne i próbka jako ca!o"$ mo%e nie mie$ wypadkowego namagnesowania. Na rysunku poni%ej po lewej stronie pokazano fragment nienamagnesowanego ferromagnetyka.
37-10
Z. K#kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Linie pokazuj# granice domen, a strza!ki oznaczaj# kierunek momentu magnetycznego w domenie. Je%eli taki materia! ferromagnetyczny umie"cimy w zewn trznym polu magnetycz-nym zaobserwujemy, %e próbka uzyskuje du%e namagnesowanie w relatywnie niskim polu magnetycznym. Dzieje si tak dlatego, %e momenty magnetyczne atomów we-wn#trz domen d#%# do ustawienia si zgodnie z polem oraz, %e przesuwaj# si "ciany domen: domeny zorientowane zgodnie z polem rosn# kosztem domen o innej orientacji. Ten proces nie jest ca kowicie odwracalny. Po usuni ciu pola granice domen nie wraca-j# do po!o%e& pocz#tkowych i materia! pozostaje namagnesowany trwale. Zjawisko to nazywamy histerez! magnetyczn!. Na rysunku, poni%ej prawej pokazana jest krzywa (ab) namagnesowania ferromagnetyka (pocz#tkowo nienamagnesowanego) i towarzy-sz#ca jej p tla histerezy (bcdeb).
Nienamagnesowany (punkt a) materia! ferromagnetyczny magnesujemy zewn trz-nym polem magnetycznym B0 a% do warto"ci odpowiadaj#cej punktowi b. Nast pnie zmniejszamy pole magnesuj#ce do zera. Namagnesowanie materia!u maleje ale nie zni-ka ca!kowicie (punkt c); materia! zosta! namagnesowany trwale. Namagnesowanie w punkcie c nosi nazw pozosta o#ci magnetycznej. Nast pnie, ponownie zwi kszamy po-le magnesuj#ce ale w kierunku przeciwnym do namagnesowania. Trwa!e namagneso-wanie ferromagnetyka zostaje usuni te dopiero po osi#gni ciu warto"ci pola magne-tycznego nazywanego polem koercji (punkt d). Dalsze zwi kszanie pola magnesuj#cego pozwala ponownie namagnesowa$ materia! ale w nowym kierunku (punkt e). Mo%emy teraz powtórzy$ post powanie opisane powy%ej i w efekcie powróci$ do punktu b. Krzywa (bcdeb) nosi nazw p tli histerezy. Pozosta!o"$ magnetyczna i pole koercji s# parametrami, które decyduj# o przydatno-"ci danego materia!u jako magnesu trwa!ego. Du%a pozosta!o"$ magnetyczna gwarantu-je, %e b dziemy mieli silny magnes, a du%e pole koercji, %e b dzie on trwa!y (nie zosta-nie !atwo rozmagnesowany). Materia!ami, które posiadaj# najlepsze warto"ci tych pa-rametrów s# obecnie SmCo5 i Nd2Fe14B. O przydatno"ci ferromagnetyka jako magnesu trwa!ego decyduje równie% zale%no"$ jego podatno"ci od temperatury bo powy%ej pewnej charakterystycznej temperatury TC ferromagnetyk staje si paramagnetykiem. Temperatur TC nazywamy temperatur! Cu-
rie. Z punktu widzenia zastosowa& istotne jest aby materia! ferromagnetyczny mia! mo%liwie wysok# temperatur przej"cia w stan paramagnetyczny.
37-11
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Wyk ad 38
38. Fizyka j!drowa
38.1 Wst p
Ka"de j dro atomowe sk!ada si# z protonów i neutronów wi zanych si ami j!dro-
wymi, niezale"nymi od !adunku. Poniewa" neutron i proton maj prawie tak sam mas# i bardzo zbli"one inne w!asno-$ci, wi#c obydwa okre$la si# wspóln nazw nukleon. Nazwa nuklid jest u"ywana zamiennie z terminem j dro. Nuklidy o tej samej liczbie protonów, ró"ni ce si# liczb neutronów nazywamy izoto-
pami. % czn liczb# protonów i neutronów w j drze nazywamy liczb! masow! j dra i ozna-czamy liter A. Liczba neutronów jest dana równaniem A - Z, gdzie Z jest liczb proto-nów zwan liczb! atomow!. Warto$& liczby A dla j dra atomowego jest bardzo bliska masie odpowiadaj cego mu atomu.
38.2 Rozmiary j!der
Wi zka wysokoenergetycznych protonów lub neutronów mo"e zosta& rozproszona wskutek dyfrakcji na j drze o promieniu R. Analizuj c powsta!y obraz dyfrakcyjny (po-!o"enie maksimów) mo"na wyznaczy& ten promie'. Wyniki pomiarów (równie" innymi technikami) pokazuj , "e $redni promie' dla wszystkich j der oprócz najmniejszych jest dany wzorem:
R (1.2·10-15 m) A1/3 W fizyce j drowej i cz stek elementarnych wielko$& 10-15 pojawia si# cz#sto i dlatego wprowadzono dla niej osobn nazw# fermi. 1 fermi = 1 fm = 10-15 m. Przyk ad 1 Jaka jest g#sto$& masy i g#sto$& cz steczek w materii j drowej ? Dla j dra o promieniu R i liczbie masowej A liczba cz stek na jednostk# obj#to$ci wy-nosi
331153 ])102.1[(3
4
3
4Am
A
R
AN
!"##
$$
sk d N = 1.38·1044 nukleonów/m3
G#sto$& masy to iloczyn tej liczby N i masy nukleonu
38-1
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
% = N Mp = (1.38·1044) (1.67·10-27) kg/m3 = 2.3·1017 kg/m3 Odpowiada to masie oko!o 230 milionów ton dla 1 cm3. G#sto$& materii j drowej nie zale"y od rozmiarów j dra, poniewa" jego obj#to$& jest proporcjonalna do liczby masowej A.
38.3 Oddzia"ywanie nukleon-nukleon
Dotychczas poznane oddzia!ywania (grawitacyjne, elektromagnetyczne) nie pozwa-laj na wyja$nienie struktury j dra atomowego. Aby wyja$ni& co tak silnie wi "e nukle-ony w j drach atomowych trzeba wprowadzi& nowe oddzia!ywanie. Ta si!a wi " ca musi by& wi#ksza ni" si!a odpychania elektrostatycznego wyst#puj ca pomi#dzy proto-nami. Okre$lamy j mianem si y j!drowej lub oddzia ywania silnego. Potencja! opisuj cy to oddzia!ywanie jest o rz d wielko$ci wi#kszy ni" energia poten-cjalna elektrostatycznego odpychania proton - proton. Sytuacja ta jest pokazana na ry-sunku poni"ej.
1 2 3
-30
-20
-10
0
10
20
30
ke2/r
przyci ganie
odpychanie
U (
MeV
)
r (fm)
Oddzia!ywanie proton - proton, proton - neutron i neutron - neutron jest identyczne (je-"eli zaniedbamy relatywnie ma!e efekty odpychania elektrostatycznego) i nazywamy go oddzia!ywaniem nukleon - nukleon. Masy atomowe i energie wi za' mo"na wyznaczy& do$wiadczalnie w oparciu o spek-
troskopi" masow! lub bilans energii w reakcjach j!drowych. W tabeli na nast#pnej stronie zestawione s masy atomowe i energie wi za' j der &E dla atomów wybranych pierwiastków. Masa jest podana w jednostkach masy atomowej (u). Za wzorzec przyjmuje si# 1/12 masy atomowej w#gla 12 . 6 C
38-2
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Z A Masa (u) &E (MeV)
&E/A
01n 0 1 1.0086654 --- ---
11 H 1 1 1.0078252 --- ---
12 H 1 2 2.0141022 2.22 1.11
13 H 1 3 3.0160500 8.47 2.83
23 He 2 3 3.0160299 7.72 2.57
24 He 2 4 4.0026033 28.3 7.07
49 Be 4 9 9.0121858 58.0 6.45
612 C 6 12 12.0000000 92.2 7.68
816 O 8 16 15.994915 127.5 7.97
2963Cu 29 63 62.929594 552 8.50
50120Sn 50 120 119.9021 1020 8.02
74184 W 74 184 183.9510 1476 8.02
92238 U 92 238 238.05076 1803 7.58
W oparciu o dane zestawione w tabeli mo"na uzyska& dalsze informacje o j drach ato-mowych. Dla przyk!adu porównajmy mas# atomu z sum mas jego sk!adników. 2
4 He
M( ) = 4.0026033 u 2
4 He
Ca!kowita masa jego sk!adników równa jest sumie mas dwu atomów 1
1 i dwu neutro-
nów tzn.
H
2M( 1
1 ) + 2M( ) = 2·1.0078252 u + 2·1.0086654 u = 4.0329812 u H 01n
Uwaga: zarówno w sk!ad masy helu jak i dwu mas wodoru wchodz masy dwu elektro-nów. Wynik: masa helu jest mniejsza od masy sk!adników o warto$& 0.0303779 u. Dla ka"dego atomu analogiczny rachunek pokaza!by, "e masa atomu jest mniejsza od masy jego sk!adników o wielko$& &M zwan niedoborem masy. Wynik ten jest $wiadectwem energii wi zania j der jak i równowa"no$ci masy i energii. Je"eli rozwa"ymy dowolny sk!adnik j dra helu to skoro jest on zwi zany z j drem to ma ujemn energi# E < 0 (rysunek na stronie 3). Innymi s!owy, "eby taki nukleon przy-by! z odleg!o$ci r ' (E = 0) i móg! z innym nukleonami utworzy& j dro, jego energia musi ulec zmniejszeniu. To samo dotyczy ka"dego z pozosta!ych nukleonów w j drze. Oznacza to, "e gdy uk!ad oddzielnych swobodnych nukleonów ! czy si# w j dro ener-gia uk!adu musi zmniejszy& o warto$& &E energii wi!zania j!dra.
38-3
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Zmniejszeniu o &E ca!kowitej energii uk!adu musi towarzyszy&, zgodnie z teori wzgl#dno$ci, zmniejszenie masy uk!adu o &M, gdzie &M c
2 = &E. Dla niedobór masy wynosi &M = 0.0303779 u, wi#c energia wi zania jest równa
&E = &M c
24 He
2 = 28.3 MeV. W ostatniej kolumnie tabeli podana jest wielko$& energii wi zania na nukleon w j drze. Jest to jedna z najwa"niejszych cech charakteryzuj cych j dro. Zauwa"my, "e pocz tkowo &E/A wzrasta ze wzrostem A, ale potem przybiera w przy-bli"eniu sta! warto$& oko!o 8 MeV. Wyniki $redniej energii wi zania na nukleon w funkcji liczby masowej j dra A s pokazane na rysunku poni"ej.
0 50 100 150 200 2500
2
4
6
8
238U
184W
120Sn
63Cu
16O
7Li
12C
9Be
4He
3H
2H
&E
/A
Liczba masowa A
Gdyby ka"dy nukleon w j drze przyci ga! jednakowo ka"dy z pozosta!ych nukleonów to energia wi zania na nukleon by!aby proporcjonalna do A. Fakt, "e &E/A nie jest proporcjonalne do A wynika g!ownie z krótkiego zasi#gu si! j -drowych. Wida&, "e najsilniej s wi zane nukleony w j drach pierwiastków ze $rodko-wej cz#$ci uk!adu okresowego.
38.4 Rozpady j!drowe i reakcje j!drowe
38.4.1 Rozpad alfa
Rozpady j drowe zachodz zawsze (pr#dzej czy pó(niej) je$li j dro o pewnej liczbie nukleonów znajdzie si# w stanie energetycznym, nie b#d cym najni"szym mo"liwym dla uk!adu o tej liczbie nukleonów. Takie nietrwa!e (w stanach niestabilnych) j dra powstaj w wyniku reakcji j drowych. Niektóre reakcje s wynikiem dzia!a' laboratoryjnych, inne dokona!y si# za spraw przyrody podczas powstawania naszej cz#$ci Wszech$wiata. J dra nietrwa!e pochodze-nia naturalnego s nazywane promieniotwórczymi, a ich rozpady nosz nazw# rozpa-
dów promieniotwórczych (promieniotwórczo$ci).
38-4
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Rozpady promieniotwórcze dostarczaj wielu informacji o samych j drach atomowych (budowie, stanach energetycznych, oddzia!ywaniach) ale równie" wielu zasadniczych informacji o pochodzeniu Wszech$wiata. Szczególnie wa"nym rozpadem promieniotwórczym jest rozpad alfa (() wyst#puj cy zazwyczaj w j drach o Z ) 82. Z przyczyn historycznych j dro 4He jest nazywane cz st-k (. Rozpad ( polega na przemianie niestabilnego j dra w nowe j dro przy emisji j -dra 4He tzn. cz stki (. Proces zachodzi samorzutnie bo jest korzystny energetycznie. Energia wyzwolona w czasie rozpadu (energetyczny równowa"nik niedoboru masy) jest unoszona przez cz stk# ( w postaci energii kinetycznej. Przyk!adowa reakcja dla j dra uranu wygl da nast#puj co
238U 234Th + 4He + 4.2 MeV Rozpatrzmy teraz uk!ad zawieraj cy w chwili pocz tkowej wiele j der tego samego ro-dzaju. J dra te podlegaj rozpadowi ( (równie dobrze rozpadowi *) z cz#sto$ci rozpa-dów +. Chcemy znale(& liczb# j der, która nie uleg!a rozpadowi po czasie t od chwili pocz tkowej. Oznaczamy przez N liczb# j der. Wtedy dN (<0) oznacza liczb# j der, które rozpadaj si# w czasie dt. Spodziewana liczba rozpadów (liczba j der, które si# rozpadn ) w czasie dt tzn. (t, t + dt) jest dana wyra"eniem
dN = – N+dt
gdzie znak minus wskazuje, "e dN jest liczb ujemn czyli, "e N maleje z czasem.
Mo"emy rozdzieli& zmienne i sca!kowa& równanie obustronnie
tN
Nd
d+!#
,, !#ttN
N
tN
N
0
)(
)0(
dd
+
tN
tNNtN +!##!
)0(
)(ln)0(ln)(ln
czyli
teN
tN +!#)0(
)(
sk d
teNtN +!# )0()( (38.1)
N(0) jest liczb j der w chwili t = 0, a N(t) liczb j der po czasie t.
Powy"szy wzór nazywamy wyk adniczym prawem rozpadu.
38-5
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
Cz#sto wyra"a si# N(t) poprzez $redni czas "ycia j der, który z definicji jest równy od-
wrotno$ci cz#sto$ci rozpadów; - = 1/+.
Prawo rozpadu przyjmuje wtedy posta&
N = N0e-t/-
(38.2)
Do scharakteryzowania szybko$ci rozpadu u"ywa si# czasu po owicznego rozpadu (za-
niku) T1/2. Jest to taki czas, po którym liczba j der danego rodzaju maleje do polowy
tzn. N = (1/2) N0. Wstawiaj c to do równania (38.2), otrzymujemy
-21
002
1 TeNN #
czyli -212
Te#
sk d
T1/2 = 0.693 - (38.3)
Przyk!adowo dla 238
U czas po!owicznego zaniku wynosi 4.5·109 lat, a dla
212Po jest rz#-
du 10-6
s.
38.4.2 Promieniowanie .
Je$li j dro jest wzbudzone do wy"szego stanu energetycznego, to mo"e nast pi& sa-
moczynna emisja fotonu i przej$cie do ni"szego stanu energetycznego. Poniewa" odle-
g!o$ci mi#dzy poziomami energetycznymi w j drach s rz#du MeV wi#c fotony emito-
wane przez j dra maj energi# tysi ce razy wi#ksz od energii fotonów wysy!anych
przez atomy. Takie wysokoenergetyczne fotony emitowane przez j dra nazywamy
promieniowaniem .. J dra w stanie wzbudzonym mo"na !atwo otrzyma& u"ywaj c neutronów o ma!ej ener-
gii. Je"eli taki powolny neutron przechodzi np. przez bry!k# uranu 238
U to zawsze gdy
znajdzie si# blisko j dra dzia!a na niego si!a przyci gaj ca wywo!ana przez oddzia!y-
wanie j drowe. Dlatego jest bardzo prawdopodobne, "e taki neutron zostanie wychwy-
cony i powstanie j dro 239
U* w stanie wzbudzonym (oznaczone *). Takie j dro prze-
chodzi do stanu podstawowego emituj c jeden lub kilka kwantów .. Proces ten opisuj
nast#puj ce reakcje j drowe:
n + 238
U 239
U*
239U
*
239U + .
38.4.3 Rozpad beta
Badaj c w!asno$ci promieniotwórczo$ci stwierdzono, "e istniej trzy rodzaje pro-
mieniowania (, *, .. Po dalszych badaniach stwierdzono, "e ( to j dra helu, promienie
. to fotony, a promienie * to elektrony lub pozytony (cz stka elementarna dodatnia o
masie równej masie elektronu).
38-6
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
J dra, których ilo$& protonów Z ró"ni si# od warto$ci odpowiadaj cej stabilnym j drom
o tej samej liczbie masowej A, mog zmienia& Z w kierunku j der stabilnych poprzez
rozpad *. Wspó!czesna teoria rozpadów * zosta!a rozwini#ta przez Fermiego w 1931 r.
Najprostszym przyk!adem rozpadu * jest rozpad swobodnego neutronu zachodz cy z
czasem po!owicznego zaniku 12 minut
vepn //0
Neutron rozpada si# na proton, elektron i antyneutrino (cz stka elementarna o zerowym
!adunku i zerowej masie spoczynkowej).
Inny przyk!ad to omawiany ju" uran 239
U; rozpad zachodzi z czasem po!owicznego za-
niku 24 minuty
veNpU //0239239
Powsta!y izotop te" nie jest trwa!y i podlega rozpadowi *
vePuNp //0239239
z czasem po!owicznego zaniku 2.35 dnia.
W takim procesie liczba Z wzrasta o jeden a liczba A pozostaje bez zmiany.
Innym rozpadem *, jest proces, w którym j dra emituj pozytony, a towarzyszy te-
mu zawsze emisja neutrina. W tym procesie liczba Z maleje o jeden, a liczba A pozosta-
je bez zmiany.
38.4.4 Rozszczepienie j!der atomowych
Jak widzieli$my w punkcie 38.3 energia wi zania na jeden nukleon wzrasta z liczb
masow a" do A 50. Jednak powy"ej tej warto$ci ta energia maleje. Dzieje si# tak dla-
tego, "e si!y j drowe maj krótki zasi#g i dla dwóch protonów oddalonych o wi#cej ni"
2.5·10-15
m ich oddzia!ywanie jest raczej odpychaj ce ni" przyci gaj ce (rysunek na
stronie 38-2).
Konsekwencj tego jest wyst#powanie zjawisk rozszczepienia i syntezy j drowej. Je"eli
ci#"kie j dro rozdzielimy na dwa mniejsze, te dwie cz#$ci mog mie& mas# mniejsz
ni" masa j dra wyj$ciowego nawet o dziesi te cz#$ci procenta. Dlatego ci#"kie j dra
maj tendencj# do rozpadania si# na dwa mniejsze z wydzieleniem energii.
Energia w bombie atomowej i reaktorach j drowych jest wydzielana w procesach roz-
szczepienia j drowego.
Spontaniczne rozszczepienie j dra jest dozwolone przez zasad# zachowania energii.
Jednak w naturalnych j drach prawdopodobie'stwo rozszczepienia j dra jest mniejsze
ni" prawdopodobie'stwo rozpadu (. Prawdopodobie'stwo rozszczepienia mo"na wy-
datnie zwi#kszy& bombarduj c j dra neutronami. Tak dzieje si# np. gdy j dro 235
U lub 239
Pu wychwyci powolny neutron.
Ró"nica pomi#dzy mas j dra uranu a sum mas produktów rozszczepienia jest taka, "e
w przeci#tnej reakcji wydziela si# 200 MeV energii co stanowi równowa"nik 0.1% ma-sy uranu. Oznacza to, "e z 1g uranu otrzymujemy energi# równ : E = 0.001·mc
2 =
38-7
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
9·1010 J. Jest to oko!o 3 miliony razy wi#cej ni" energia wydzielana przy spalaniu 1g w#gla. Z drugiej strony nale"y uwzgl#dni& fakt, "e uran jest du"o dro"szy od w#gla i "e instalacje w elektrownii j drowej s te" du"o dro"sze ni" w konwencjonalnej. Ci gle jednak energia j drowa jest znacznie ta'sza ni" z paliw tradycyjnych. Rozszczepienie j drowe mo"e w reakcji !a'cuchowej sta& si# procesem samopodtrzy-muj cym si#. W ka"dej reakcji rozszczepienia powstaj dwa lub trzy neutrony. Je"eli przynajmniej jeden z nich wywo!a kolejne rozszczepienie to proces b#dzie sam si# pod-trzymywa!. Ilo$& materia!u powy"ej, której jest spe!niony powy"szy warunek nazywa-my mas! krytyczn!. Po raz pierwszy reakcj# rozszczepienia przeprowadzono (Enrico Fermi) na Uniwersytecie Chicago w 1942 r. Masa 235U i 239Pu mo"e by& te" nadkrytyczna. Wtedy neutrony z jednego rozszczepienia wywo!uj wi#cej ni" jedn reakcj# wtórn (reakcja lawinowa). Ca!a masa nadkrytyczna mo"e by& zu"yta (eksplodowa&) w czasie t < 0.001 s ze wzgl#du na du" szybko$& neu-tronów (3·108 cm/s). Tak eksploduje bomba atomowa. Najcz#$ciej kul# o masie nadkry-tycznej ale rozrzedzonej otacza si# klasycznymi !adunkami wybuchowymi. Ich detona-cja wywo!uje wzrost ci$nienia zewn#trznego i gwa!townie zmniejsza obj#to$& kuli. Oczywi$cie w elektrowniach j drowych spalanie paliwa odbywa si# bardzo powoli.
38.4.5 Reakcja syntezy j!drowej
W tabeli na stronie 38-3 widzimy, "e masa dwóch lekkich j der jest wi#ksza ni" ma-sa j
mog si# po! czy& tworz c j dro helu przy czym 0.6% masy zosta-
reakcji syntezy j drowej jest prowadzenie
wania reaktora termoj drowego. Podstawowym pro-
reakcji ter-moj drowej. Eksperci uwa"aj jednak, "e jest to kwestia najbli"szych lat.
Wymaga to spowalniania neutronów i doboru warunków stacjonarnej pracy reaktora.
dra powstaj cego po ich po! czeniu. Je"eli takie j dra zbli"ymy do siebie na dosta-tecznie ma! odleg!o$&, to przy powstawaniu nowego j dra wydzieli si# energia zwi za-na z ró"nic mas. Np. dwa deuteronynie zamienione na energi#. Wida&, "e ta metoda by!aby sze$& razy wydajniejsza od omówionego rozszczepiania j der uranu (0.1%). Poza tym mamy nieograniczone (ród!o deuteru w wodzie mórz i oceanów. Przeszkod w otrzymywaniu energii t metod jest odpychanie kulombowskie, które nie pozwala zbli"y& si# deuteronom na odleg!o$& po-równywaln z zasi#giem przyci gaj cych si! j drowych. Reakcja ta by!aby mo"liwa gdyby deuter móg! by& ogrzany do temperatury oko!o 5·107 K. Reakcje, które wymaga-j takich temperatur nazywamy reakcjami termoj drowymi. Temperatury osi gane pod-czas wybuchu bomby atomowej s wystarczaj ce do zapocz tkowania takiej reakcji. Raz zapocz tkowana reakcja termoj drowa wytwarza dostateczn ilo$& energii do utrzymania wysokiej temperatury dopóki materia! (wi#kszo$&) nie zostanie spalony. Jest to mechanizm dzia!ania bomby wodorowej. Warunkiem uzyskania u"ytecznej energii z reakcji w sposób kontrolowany. Prowadzone s próby skonstruoblemem jest utrzymanie gazu o tak wysokiej temperaturze w ograniczonym obszarze przez dostatecznie d!ugi czas aby wytworzona energia by!a wi#ksza od energii zu"ytej na uruchomienie reaktora. Stwarza to wiele problemów technicznych. Np. trzeba zapo-biec stopieniu $cian pojemnika z gazem (plazm ). U"ywa si# bardzo silnych pól magne-tycznych próbuj c nie dopu$ci& do zetkni#cia gazu (plazmy) ze $ciankami. Jak dot d nie uda!o si# przeprowadzi& zako'czonej sukcesem kontrolowanej
38-8
Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki
W przyrodzie obserwuje si# ci g!e wytwarzanie energii termoj drowej: procesy termo-j drowe s (ród!em energii gwiazd a wi#c i „naszego” s!o'ca.
38.5 Cykl #ycia s"o$ca
Na rysunku poni"ej s przedstawione podstawowe fazy cyklu "ycia S!o'ca.
chmura
zapadanie zapadanie zapadanie
zapadanie
globula protogwiazda
S o!ce
S o!ce
stabilne ~ 10 bilionów lat
czerwonyolbrzym
bia ykarze
czarny karze
gwiazda neutronowa
czarna dziura ekspansja
Uwaga na rysunku nie jest zachowana skala. Je eli przyj!" #rednic$ „naszego” S%o&ca
za 1 to np. #rednica bia%ego kar%a wynosi ~0.009, a #rednica protogwiazdy jest równa
ura
ii kosmologicznych za przodka gwiazd i planet uwa a gaz, którego
sk%adnikiem by% wodór.
!
ów/cm3 czyli doskona%a pró nia (powietrze w warunkach nor-
! o nietrwa%ej równowagi i najmniejsze zaburzenie
m przyci!gania grawitacyjnego.
mas$ równ! wielokrotno#ci masy S%o&ca;
! dalej s! bardzo rzadkie ze wzgl$du na rozmiar " 100·#rednica uk%adu s%onecznego;
ia).
t
oko%o 106.
38.5.1 Chm
Wi$kszo#" teor
#rednica chmury - kilkadziesi!t lat #wietlnych;
! g$sto#" < 1000 atom
malnych ~ 2.7·1019
atomów/cm3);
! temperatura oko%o -230° C (nie promieniuje).
Chmura znajduje si$ w stanie bardz
powoduje, e zaczyna si$ kurczy" pod wp%ywe
! W miar$ zbli ania si$ atomów wodoru ich energia potencjalna (grawitacyjna) male-
je, a ro#nie energia kinetyczna czyli temperatura gazu.
! Tworz! si$ lokalne zag$szczenia materii zwane globulami.
38.5.2 Globule
! zawieraj! one
! temperatura wy sza " -200° C (dalej brak promieniowan
Dalej trwa zag$szczanie materii pod wp%ywem grawitacji, czemu towarzyszy wzros
temperatury a osi!gni$te zostaje stadium protogwiazdy.
38-9
Z. K!kol-Notatki do Wyk%adu z Fizyki
38.5.3 Protogwiazda
! stabilny rdze&;
dwukrotnie wi$kszy od uk%adu s%onecznego (1 milionowa po-
! C, a powierzchni 1650° C;
grawitacyjne;
d%em tej energii jest
t
Jed
dals rotogwiazdy a do pojawienia si$ nowego 'ród%a energii, które
o!ce
ania o S%o&cu rozpocznijmy od obliczenia promienia S%o&ca w funkcji
Zak
przy powierzchni). Masa S%o&ca MS = 2·10 kg.
drowych wyrówna ci#nie-
dzie g r jest warto#ci! #redni! przyspieszenia równ! g/2; g jest
dobrze wykszta%cony
! pocz!tkowo rozmiar
cz!tkowego rozmiaru chmury);
! w wyniku dalszego zapadania si$ #rednica " #rednicy orbity Marsa;
temperatura wn$trza oko%o 56000°
! nagrzana masa gazu osi!ga ci#nienie, które hamuje dalsze zapadanie
! przy tej temperaturze #wieci (wypromieniowuje energi$); 'ró
zapadanie si$ grawitacyjne a nie reakcja syntezy j!drowej, wi$c to jeszcze nie jes
gwiazda (S%o&ce);
nak gdy energia gazu zmniejszy si$ przez promieniowanie elektromagnetyczne trwa
ze zapadanie si$ p
mo e temu przeciwdzia%a". Tym nowym 'ród%em s! reakcje termoj!drowe - powstaje
S%o&ce.
38.5.4 S
Nasze rozwa
jego masy.
%adamy sta%! g$sto#" wewn!trz S%o&ca (w rzeczywisto#ci rdze& ma wi$ksz! g$sto#"
ni warstwy30
Zapadanie si$ tej masy gazu wodorowego zostanie zatrzymane gdy ci#nienie termiczne
wywo%ane ogrzewaniem gazu przez energi$ z reakcji termoj!
nie grawitacyjne.
Ci#nienie grawitacyjne wewn!trz jednorodnej kuli o promieniu R, mo emy wyznaczy"
z równania: p = #g rh, g
przyspieszeniem na powierzchni kuli (w #rodku przyspieszenie jest równe zeru). St!d
gRPg #1
$ 2
gdzie 2R
GMg S$ . Ostatecznie
R
MGP S
g #2
1$
Ci#nienie term %ego) wynosi iczne gazu (na podstawie równania stanu gazu doskona
pM
gdzie Mp jest mas! protonu (masa cz! asa atomu wodoru).
orównanie tych dwóch ci#nie& daje
t
kTP
#$
steczki gazu = m
P
38-10
Z. K!kol-Notatki do Wyk%adu z Fizyki
RM
S
p 2$
GMkT 1
lub
kTR
pS
2$
MGM
eraz oce&my jaka jest najni sza temperatura potrzebna do zbli enia dwóch protonów
jest równa 3kT. Musi to równowa y" energi$ odpychania elektrostatycznego
T
na odleg%o#" 5·10-15
m. Ka dy proton ma energi$ (3/2)kT, wi$c energia kinetyczna pary
R04%&
e21
9
We wn$trzu g
,
st!d T = 1.1·10 K.
y wystarczy temperatura o jeden lub nawet dwa rz$dy wielko#ci
akcje termoj!drowe jest rz$du
a jest wi$ksza ni 0.08 masy S%o&ca, to osi!-
p + p D + e+ + v
p + D 3He + '
3He +
3He
4He + p + p
en ci!g reakcji termoj!drowych pokazany na rysunku poni ej jest znany jako cykl wo-
wiazd
ni sza, bo zawsze znajdzie si$ wystarczaj!ca ilo#" protonów o pr$dko#ciach wi$kszych
od #redniej (rozk%ad pr$dko#ci) aby podtrzyma" reakcj$.
Tak wi$c temperatura, dla której zaczynaj! zachodzi" re
107 K. Dla tych danych otrzymujemy warto#" promienia S%o&ca R = 7·10
8 m, co jest
warto#ci! dobrze zgodn! z obserwowan!.
Mo na pokaza", e je eli masa pocz!tkow
gni$ta temperatura b$dzie dostatecznie wysoka, aby wywo%a" nast$puj!ce reakcje ter-
moj!drowe
T
dorowy.
wyniku cyklu wodorowego 4 protony s! zu yte do wytworzenia cz!stki (W , 2 pozyto-
nów, 2 neutrin i 2 fotonów '. Masa j!dra helu stanowi 99.3% masy czterech protonów.
Wydziela si$ energia zwi!zana z ró nic! mas.
38-11
Z. K!kol-Notatki do Wyk%adu z Fizyki
Cykl wodorowy jest g%ównym mechanizmem produkcji energii przez S%o&ce i inne
gwiazdy bogate w wodór.
Energia wytwarzana przez S%o&ce jest ogromna. W ci!gu sekundy 592 miliony ton wo-
ocy oko%o 4·1026
W.
doru jest zamieniane na 587.9 milionów ton helu. Ró nica tj. 4.1 miliony ton jest za-
mieniana na energi$ (w ci!gu sekundy). Odpowiada to m
Przyk!ad 1
Obliczmy po jakim czasie wypali%oby si$ S%o&ce tj. gdyby ca%y wodór zamieni% si$ w
hel. Energia wytwarzana w cyklu wodorowym 2·1030
kg otrzymujemy
E = 0.007·Mc2 = 1.3·10
45 J
St!d
t = E/P = (1.3·1045
J) / (4·1026
W) = 1011
lat
oko%o 20 razy wi$cej ni dotychczasowy wiek S%o&ca.
iedy ca%e paliwo wodorowe w rdzeniu wypali si$ to rdze& gwiazdy zacznie zapada"
spalanie wodoru). Jednak
o#" ciep%a wytworzona z energii grawitacyjnej, przewy sza nawet ilo#" energii pocho-
o oko%o 100 mln °K, co umo liwia przemian$ helu w w$giel i tlen. Zapale-
%townie.
Gwiazdy o ma%ych masach nie zapalaj! helu w rdzeniu lecz ewoluuj! w stron$ mg%awic
pla
ko zapada" przechodz!c do fazy bia%ego
ich g$sto#ciach; np. masa 1 cm3 materii tej gwiazdy dochodzi do kilkudziesi$-
3aterii ziemskiej wynosi #rednio kilka g).
Gwiazdy te dalej #wiec! dzi$ki emisji energii grawitacyjnej uwalnianej przy kurczeniu
si$.
#cia w procesie krystalizacji materii bia%ych
dzo niskich temperatur (obiekt nie #wieci).
Jest to
K
si$ pod wp%ywem grawitacji (w zewn$trznej warstwie nadal
il
dz!cej z reakcji termoj!drowej. To ciep%o powoduje, e zewn$trzne warstwy zaczynaj!
si$ rozszerza". Zaczyna si$ ekspansja, S%o&ce staje si$ czerwonym olbrzymem.
38.5.5 Czerwony olbrzym
Gdy masa rdzenia osi!gnie warto#" oko%o 0.5 masy S%o&ca, temperatura we wn$trzu
podnosi si$ d
nie helu przebiega bardzo gwa
netarnych.
Je eli gwiazda wypali hel w rdzeniu to przy braku promieniowania podtrzymuj!cego
warstw$ zewn$trzn! gwiazda zaczyna si$ szyb
kar%a.
38.5.6 Bia e kar y
Bia%e kar%y s! gwiazdami o ma%ych rozmiarach (zbli onych do rozmiarów Ziemi) i
olbrzym
ciu ton (masa 1 cm m
Proces ten mo e by" bardzo d%ugotrwa%y.
Dalsza ewolucja zale y od masy gwiazdy.
Produktem stygni$cia bia%ych kar%ów o ma%ej masie s! czarne kar%y.
38.5.7 Czarne kar y
Czarne kar%y powstaj! w wyniku przej
kar%ów do stanu sta%ego. Towarzyszy temu szybkie ostygni$cie ca%ego obiektu do bar-
38-12
Z. K!kol-Notatki do Wyk%adu z Fizyki
Je eli w wyniku spalania helu masa rdzenia w$glowo-tlenowego wzro#nie powy ej
warto#ci oko%o 1.4 masy S%o&ca to w centrum nast!pi zapalenie w$gla. Proces ten jest
bar
zwanym odwrotnym rozpadem ) protony zaczynaj! przechodzi" w neutrony
wed%ug nast$puj!cej reakcji:
e- + p n + v
uj!, e przy g$sto#ciach 1011
g/cm3 neutrony s! znacznie
czniejsze ni protony. St!d nazwa „gwiazda neutronowa”. Takie g$sto#ci s! osi!gane
gdy gwiazda kurczy si$ do rozmiar km.
wiazda neutronowa mo e wirowa" wykonuj!c dziesi!tki obrotów na sekund$. Np.
&ca to spalanie w$gla prze-
buchu jest prawdopodobnie czarna dziura.
iemo liwia
wysy%anie w przestrze& jakichkolwiek informacji tzn. nie jest mo liwe komunikowanie
rawitacyjne „przytrzymuje” nawet #wiat%o tzn. fotony nie mo-
g! uciec z gwiazdy i zawsze „spadaj!” na jej powierzchni$. Cho" obserwacja czarnych
dzi
dzo gwa%towny i nazywany wybuchem supernowej.
Otoczka gwiazdy rozprasza si$ w przestrzeni, a centrum zapada tworz!c gwiazd$ neu-
tronow!.
38.5.8 Gwiazda neutronowa
W wyniku zapadania si$ centrum gwiazdy energie elektronów staj! si$ tak du e, e
w procesie
Dok%adne procesy przemiany materii zwyk%ej w materi$ bogat! w neutrony s! skompli-
kowane, ale obliczenia pokaz
li
ów rz$du dziesi!tek
G
gwiazda w centrum Mg%awicy Kraba jest tak! gwiazd! wiruj!c! 30 razy na sekund$.
Gwiazdy neutronowe mog! wysy%a" regularne promieniowanie (sygna%y radiowe wyso-
kiej cz$sto#ci). Taka gwiazda nazywa si$ pulsarem. Pierwszy pulsar odkryto w 1967 r.
Je eli gwiazda ma mas$ pocz!tkow! wi$ksz! ni 8 mas S%o
biega w ich centrum spokojnie.
Nast$pne fazy przebiegaj! bardzo szybko. Po wyczerpaniu w$gla zapalaj! si$ kolejno:
tlen, neon, magnez, krzem, nikiel. Ko&cowym produktem jest j!dro elazne, które wo-
bec braku dalszych 'róde% energii gwa%townie zapada si$.
Implozji centrum towarzyszy eksplozja otoczki prowadz!ca do wybuchu bardzo jasnej
supernowej. Pozosta%o#ci! po wy
38.5.9 Czarna dziura
Czarna dziura jest obiektem astronomicznym, który nie mo e by" bezpo#rednio ob-
serwowany, gdy bardzo silne pole grawitacyjne, którego jest 'ród%em, un
si$ z reszt! #wiata. Pole g
ur nie jest mo liwa to mo na obserwowa" procesy zachodz!ce w polu grawitacyj-
nym w otoczeniu czarnej dziury. Wci! jest to kontrowersyjny mechanizm opisuj!cy
„katastrofalne” zapadanie si$ gwiazd. Mo na jednak wyznaczy" warunki na mas$ i
promie&.
Graniczny promie& poni ej, którego nie mo emy ju zobaczy" gwiazdy (tzw. promie&
Schwartzschilda) jest dany wyra eniem
2GM20R $
c
38-13
Z. K!kol-Notatki do Wyk%adu z Fizyki
Dla masy j!dra ( elaznego) równej masie S%o&ca otrzymujemy R0 = 3 km.
38-14
Spis tresci.txte-fizyka – podstawy - Zbigniew KąkolZbiór wykładów w PDF gotowych do wydrukowania.
1. Wprowadzenie2. Ruch jednowymiarowy 3. Ruch na płaszczyźnie4. Dynamika punktu materialnego 5. Dynamika punktu materialnego II6. CiąŜenie powszechne (grawitacja) 7. Praca i energia8. Zasada zachowania energii 9. Zasada zachowania pędu10. Zasada zachowania pędu II 11. Elementy szczególnej teorii względności12. Ruch obrotowy 13. Ruch drgający14. Statyka i dynamika płynów 15. Fale w ośrodkach spręŜystych16. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I 17. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II18. Siła elektrostatyczna 19. Elektrostatyka I20. Elektrostatyka II 21. Prąd elektryczny i pole magnetyczne22. Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna 23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego24. Drgania elektromagnetyczne 25. Równania Maxwella26. Fale elektromagnetyczne 27. Optyka geometryczna i falowa28. Interferencja 29. Dyfrakcja30. Siatki dyfrakcyjne 31. Polaryzacja32. Światło a fizyka kwantowa 33. Model atomu Bohra34. Fale i cząstki 35. Lasery36. Atomy wieloelektronowe, układ okresowy pierwiastków 37. Materia skondensowana38. Fizyka jądrowa