Wykład 4. Rozkłady teoretyczne Zmienna losowa jest to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przyjmuje wartość z pewnego zbioru liczb rzeczywistych z określonym prawdopodobieństwem. Rozkład normalny Podstawowym rozkładem zmiennej losowej ciągłej jest rozkład normalny (Gaussa-Laplace’a). Zmienna losowa X ma rozkład normalny, jeśli jej funkcja gęstości - określona dla wszystkich rzeczywistych wartości x - da się przedstawić za pomocą wzoru (4.1): , 2 ) ( exp 2 1 = ) ( 2 2 m x x f
Wykład 4. Rozkłady teoretyczne. Zmienna losowa jest to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przyjmuje wartość z pewnego zbioru liczb rzeczywistych z określonym prawdopodobieństwem. Rozkład normalny - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Wykład 4. Rozkłady teoretyczne
Zmienna losowa jest to taka zmienna, która w wyniku doświadczenia przyjmuje wartość z pewnego zbioru liczb rzeczywistych z określonym prawdopodobieństwem.
Rozkład normalnyPodstawowym rozkładem zmiennej losowej ciągłej jest rozkład normalny
(Gaussa-Laplace’a). Zmienna losowa X ma rozkład normalny, jeśli jej funkcja gęstości - określona dla wszystkich rzeczywistych wartości x - da się przedstawić za pomocą wzoru (4.1):
,2
)(exp
2
1=)(
2
2
mx
xf
Wykład 4. Rozkłady teoretyczne
Realizacje zmiennej losowej o rozkładzie normalnym są określone w przedziale - < x < +
Funkcja gęstości rozkładu normalnego, dana wzorem 4.1. ma następujące własności:
1) jest symetryczna względem prostej x = m (własność symetryczności),
2) osiąga maksimum dla x = m (własność jednomodalności),
3) jej ramiona mają dwa punkty przegięcia dla x1 m- σ;
4) oraz x2 m + σ ,
4) jest całkowicie określona przez dwa parametry: parametr m decyduje o przesunięciu krzywej, natomiast parametr σ decyduje o smukłości krzywej; własność określoności wyróżniamy zapisem N(m; σ) .
Tablica 4.1. Dystrybuanta rozkładu normalnego standaryzowanego N(0;1), I rodzaj tablic (pole pod krzywą od minus nieskończoność do x) u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
b) dane jest pole - poszukujemy kwantyl rozkładu normalnego:
- [fx]=>statystyczne=>rozkład.normalny.S.odw==> pole pod krzywą rozkładu normalnego od - do szukanego x.
Obliczanie prawdopodobieństw P(a<X<b) dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym można przedstawić przy pomocy zmiennej standaryzowanej U(0,1) w sposób następujący:
Wykład 4. Rozkłady teoretyczne; wyznaczanie pola pod krzywą rozkładu normalnego
)()(mbmXma
PbXaP
)())
()(ma
Fmb
Fmb
Uma
P
)()( ab uFuF
Wykład 4. Rozkłady teoretyczne; wyznaczanie pola pod krzywą rozkładu normalnego
Przykład 1:
Temperatura ciała ludzkiego jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią wynoszącą 36,6oC oraz odchyleniem standardowym . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo wybrany pacjent pewnego szpitala będzie miał temperaturę ciała:
a) mniejszą niż 36,3oC,
b) większą niż 37,6 oC,
c) większą niż 37,9 oC ale mniejszą niż 38,2oC.
ad. a)
)3,36( Xp
6,05,0
3,0
5,0
6,363,36
u
Wykład 4. Rozkłady teoretyczne; wyznaczanie pola pod krzywą rozkładu normalnego
gdzie w nawiasie okrągłym w liczniku (5.8) mamy odchyłki między średnimi grupowymi (lub przeciętnymi z poszczególnych podpróbek) a średnią ogólną dla całej próby.
Wariancja wewnątrz grup (wewnątrz podpróbek) (5.9):
rnnn
xxxxxx
rn
SSEMSE
r
n
k
n
krk
n
kkk
r
...
...
21
1 1
21
1
221
211
1 2
Przykład 5.1. Ceny wędlin w wylosowanych sklepach detalicznych Poznania. Czy ceny mięsa pochodzącego od różnych rzeźników różnią się istotnie?