-
10
WYKŁAD 1
Rozdział 1: Wiadomości wstępne
1.1. Istota, występowanie i znaczenie drgań
Drganiem nazywamy przebieg czasowy dowolnej wielkości fizycznej,
np.
przemieszczenia tłoka w cylindrze silnika spalinowego, kąta
obrotu wirnika, natężenia prądu
w obwodzie elektrycznym lub indukcji magnetycznej w rdzeniu
elektromagnesu, jeśli
przebieg ten charakteryzuje się tym, że wielokrotnie na przemian
rośnie i maleje, oscylując
wokół pewnej wartości średniej – stałej lub zmiennej w czasie.
Typowy doświadczalnie
uzyskiwany przebieg drgań przedstawia elektrokardiogram serca
pokazany na Rys. 1.1.
Analiza tego przebiegu drgań, niezależnie od tego, jaką wielkość
fizyczną przedstawia,
pozwala na diagnozowanie ważnych zmian w funkcjonowaniu tego
organu, zarówno
fizjologicznych, jak i chorobowych.
Rys. 1.1. Elektrokardiogram człowieka jako przykład przebiegu
drgań
Z powyższej definicji drgań wynika, że możemy mieć do czynienia
z drganiami
mechanicznymi, elektrycznymi, magnetycznymi i wieloma innymi
rodzajami drgań, które
mogą zależeć od siebie wzajemnie. Znajomość ich natury,
związanych z nimi zjawisk oraz
opisu matematycznego umożliwiającego analizę, nabiera
szczególnego znaczenia, zwłaszcza
w dobie szybkiego rozwoju układów mechatronicznych, których
istotą są sprzężenia elektro-
magneto-mechaniczne wynikające z budowy tych systemów oraz ich
sterowania. Drgania
występują powszechnie w przyrodzie, czego najbardziej
spektakularnym przykładem są
trzęsienia ziemi, turbulencje w atmosferze i naturalne efekty
akustyczne. Występują też w
maszynach, pojazdach i obiektach latających, powodując zmęczenie
materiałów, hałas, straty
energii oraz dyskomfort pasażerów i różne dysfunkcje urządzeń, a
często tragiczne katastrofy.
Drgania mogą być również użyteczne i celowo wzbudzane, np. w
instrumentach muzycznych,
w urządzeniach diagnostycznych, w rozmaitych metodach drążenia i
obróbki materiałów,
-
11
utwardzania i zagłębiania elementów w gruncie, wytwarzania
ciepła i w wielu innych
technologiach. Jasna jest więc motywacja do poznania natury,
przyczyn i opisu drgań oraz do
nabycia umiejętności ich analizowania i wpływania na ich
przebieg.
Przedmiotem tego wykładu są drgania mechaniczne, a więc zmienne
w czasie
przebiegi przemieszczeń lub prędkości ciał lub układów ciał
(mechanizmów, maszyn,
pojazdów), traktowanych modelowo jako układy punktów
materialnych i brył sztywnych na
gruncie Mechaniki ogólnej lub jako ciała odkształcalne, znane z
Wytrzymałości materiałów w
ujęciu statycznym. Do analizowanych przebiegów drganiowych
zaliczymy również zmienne
w czasie siły wewnętrzne, w tym naprężenia w rozpatrywanych
ciałach odkształcalnych,
powodujące między innymi groźne w skutkach zmęczenie
materiałów.
Kluczowe znaczenie w badaniu drgań ma określenie relacji
pomiędzy przyczyną
(procesem wzbudzenia lub wymuszenia) i skutkiem w postaci
zmiennego w czasie przebiegu
drgań. W niniejszym kursie Drgań mechanicznych relacje te będą
opisane równaniami
różniczkowymi - zwyczajnymi dla układów ciał modelowo
nieodkształcalnych oraz
równaniami cząstkowymi w przypadku rozpatrywanych ciał
odkształcalnych, takich jak pręty,
struny, wały i belki. Rozwiązując te równania i nadając
interpretacje fizyczną otrzymanym
wynikom, poznamy najważniejsze właściwości drgań, np. zjawisko
rezonansu, aby móc
skutecznie na nie wpływać.
1.2. Modele układów drgających
Układem drgającym nazywamy pojedyńcze ciało lub układ ciał
(mechanizm, maszynę
pojazd lub inne urządzenie, którego elementy wykonują ruchy
powyżej określone jako
drgania. Układem drgającym jest więc zarówno pojazd poruszający
się po nierównościach
drogi, jak i wieżowiec w czasie trzęsienia ziemi oraz most
wiszący poddany działaniu silnego
wiatru bocznego (jak Tacoma Bridge w USA podczas spektakularnej
katastrofy w roku 1942).
Te i podobne rzeczywiste układy drgające – choć niezwykle
interesujące i ważne - nie będą
rozważane w ramach tego wykładu. Przedmiotem Drgań
mechanicznych, podobnie jak
Mechaniki ogólnej i Wytrzymałości materiałów, są modele ciał i
układów rzeczywistych –
możliwie proste, ale na tyle złożone, aby oddać najistotniejsze
interesujące nas właściwości
układu rzeczywistego. Modelowanie układu drgającego polega na
pomijaniu cech
drugorzędnych i mniej istotnych z punktu widzenia przyjętego
celu. Może to dotyczyć w
szczególności liczby stopni swobody modelowanego układu, jeśli
jego natura tej liczby z góry
nie narzuca. Jako przykład można podać modelowanie pojazdu
poruszającego się po
-
12
nierównościach drogi. Aby poznać zjawisko rezonansu drgań
pionowych, wystarczy
najprostszy model o jednym stopniu swobody. Badanie kątowych
drgań podłużnych wymaga
modelu o dwóch stopniach swobody, a drgań kątowych podłużnych i
poprzecznych – modelu
o co najmniej trzech stopniach swobody. Różne modelowanie
pojazdu traktowanego jako
układ ciał sztywnych w ruchu po nierównościach drogi pokazano na
Rys. 1.2.
Rys. 1.2 Modelowanie drgań pionowych pojazdu jako układu ciał
sztywnych w ruchu po
nierównościach drogi; stopnie swobody: (a) s=1, (b) s=2, (c)
s=4
W tym miejscu – jeszcze bez wyjaśnienia szczegółów – należy
zaznaczyć, że
pojedyncze ciało odkształcalne, w którym masa rozłożona jest w
sposób ciągły, takie jak
podatna giętnie belka czy odkształcalny skrętnie wał, należy
traktować jako układ o
nieskończenie wielu stopniach swobody. Taki układ nazywamy
ciągłym, w odróżnieniu od
znanych z Mechaniki ogólnej układów ciał sztywnych o skończonej
liczbie stopni swobody,
zwanych dalej układami dyskretnymi. Z punktu widzenia liczby
stopni swobody, modele
układów drgających można podzielić na trzy poniższe
kategorie:
a) układy dyskretne (złożone modelowo z punktów materialnych i
brył sztywnych),
b) układy ciągłe (ciała odkształcalne lub ich układy),
c) układy hybrydowe (zawierające zarówno ciała sztywne jak i
odkształcalne).
Modelowanie rzeczywistych układów drgających może również
obejmować rozmaite
uproszczenia dotyczące kształtu elementów, właściwości
materiałowych, właściwości oporów
ruchu lub ich zupełnego pominięcia, nieliniowości charakteru
wzbudzenia i innych cech. Z
modelowaniem wiąże się klasyfikacja drgań, o czym będzie mowa w
dalszej części wykładu.
1.3. Modele oddziaływań wzbudzających drgania
Podobnie jak rzeczywiste układy drgające, modelowaniu podlegają
oddziaływania
mechaniczne zależne od czasu (siły skupione lub rozłożone,
momenty napędowe),
-
13
powodujące te drgania. Od modelu oddziaływania zależy metoda
jaką należy zastosować w
badaniu drgań. Realne procesy )(tF wymuszające drgania mają
następujące modele:
a) proces harmoniczny
)sin()( tFtF a , (1.1)
gdzie aF oznacza amplitudę, - częstość kołową [rad/s], a - fazę
początkową procesu.
Przypomnijmy, że związek częstości kołowej z okresem procesu
harmonicznego T jest
następujący: T
2 ,
b) proces poliharmoniczny
n
i
iiai tFtF
1
)sin()( , (1.2)
gdzie iiaiF , , są ciągami liczb o interpretacji jak w punkcie
a),
c) proces okresowy nieharmoniczny, o okresie T
1
)2
sin()(
n
nan tT
nFtF
, (1.3)
gdzie anF i n są ciągami liczb wyznaczanymi na podstawie
rzeczywistej funkcji
)()( TtFtF , na podstawie teorii szeregów Fouriera [4,6],
d) proces skokowy
)( )( 0 tHFtF , (1.4)
gdzie 0F jest skokiem siły F od poziomu 0 w chwili 0t ( )(tH
jest funkcją Heaviside’a
[4]),
e) proces impulsowy
(t) )( 0 JtF , (1.5)
gdzie 0J jest impulsem siły wymuszającej w chwili 0t ( )(t jest
dystrybucją Diraca [4]).
Należy zaznaczyć, że przyczyną wywołującą drgania może być nie
tylko siła lub
moment bezpośrednio działające na element układu, ale też zadany
ruch pewnego elementu
lub punktu układu. Tego typu wymuszenie nazywamy kinematycznym.
Tak więc,
wymuszenia podzielimy na siłowe (w tym poprzez momenty) oraz
kinematyczne (poprzez
zadane ruchy). Powyższa klasyfikacja, z wyjątkiem pozycji d) i
e) dotyczy też procesów
wymuszenia kinematycznego.
-
14
1.4. Klasyfikacja drgań
Istnieje wiele klasyfikacji drgań, wyróżniających kategorie
według rozmaitych
kryteriów. Poniżej podajemy najważniejsze z tych kryteriów i
odpowiadające im typy drgań.
Kryterium źródeł energii:
a) drgania swobodne – jedynym źródłem energii są warunki
początkowe, poprzez które
jednorazowo wprowadzana jest do układu energia potencjalna i
kinetyczna; energia ta
zostaje zachowana lub jest rozpraszana w wyniku pracy sił oporów
ruchu,
b) drgania wymuszone – energia jest dostarczana do układu w
wyniku pracy sił
wymuszających, a jednocześnie jest rozpraszana na skutek oporów
ruchu, przy czym
może dojść do zrównoważonego bilansu energii, co prowadzi do
drgań wymuszonych
ustalonych,
c) drgania wymuszone parametrycznie – źródłem energii są
wywołane przez czynniki
zewnętrzne lub wewnętrzne okresowe zmiany parametrów układu,
które mogą prowadzić
do narastania drgań, ale też do drgań ustalonych przy
zrównoważonym bilansie
energetycznym; przykładem mogą być drgania wahadła o okresowo
zmiennym momencie
bezwładności względem osi obrotu,
d) drgania samowzbudne – energia dostarczana jest do układu z
istniejącego stałego źródła w
wyniku pracy sił niezależnych jawnie od czasu (innych niż
wymuszenia siłowe,
kinematyczne i parametryczne), ale zależnych od bieżącego
położenia i prędkości
elementów układu; przykładem są drgania strun instrumentów
smyczkowych, którym
energii dostarcza praca siły tarcia smyczka po strunie, a stałym
źródłem energii jest muzyk
poruszający smyczkiem.
Kryterium stopni swobody (jak w modelowaniu układów):
a) drgania układów dyskretnych,
b) drgania układów ciągłych,
c) drgania układów dyskretno-ciągłych (hybrydowych).
Kryterium liniowości równań:
a) drgania liniowe,
b) drgania nieliniowe.
Kryterium prawdopodobieństwa dla zmiennych, wymuszeń i
parametrów:
a) drgania deterministyczne – wszystkie wielkości układu i
wzbudzenia są zdeterminowane,
b) drgania losowe – przynajmniej jedna wielkość jest zmienną lub
procesem losowym.
-
15
1.5. Składanie drgań harmonicznych
Rozpatrzmy najpierw problem sumowania algebraicznego drgań
harmonicznych.
Interesuje nas, jakie właściwości ma drganie będące sumą n
składników harmonicznych
)sin()sin(...)sin()(
1
111 ii
n
i
innn tatatatx
. (1.6)
Rozpatrzymy następujące przypadki szczególne.
a) Składniki harmoniczne mają tę samą częstość
Przyjmiemy n...21 . Wówczas:
)sin()sincoscossin()sin()(
1 1
tAtatatatx ii
n
i
n
i
iiii , (1.7)
gdzie
2
1
2
1
sincos
n
i
ii
n
i
ii aaA oraz
n
i
ii
n
i
ii
a
a
1
1
cos
sin
tg
. (1.8)
Wniosek
Suma dowolnej liczby drgań harmonicznych o jednakowej częstości
jest drganiem
harmonicznym o tej samej częstości oraz o amplitudzie i fazie
początkowej zależnej od
amplitud i faz początkowych składników, w sposób pokazany
powyżej.
b) Składniki harmoniczne mają różne częstości, ale częstości te
są współmierne
Współmierność częstości drgań oznacza, że istnieją takie liczby
naturalne nkkk ,..., 21 , że:
pkkk n
n
...2
2
1
1 ,
gdzie p jest pewną liczbą rzeczywistą. Korzystając z tej
właściwości możemy stwierdzić, że
okresy drgań składowych spełniają warunek:
2
... 2
...22
111111
2211
Tp
TkTkTkpTkTkTk nn
. (1.9)
Oznacza to, że istnieje wspólny okres dla wszystkich drgań
składowych, który jest też
okresem ich sumy. Jest on najmniejszą wspólną wielokrotnością
okresów drgań składowych.
Wniosek
Jeśli w ciągu częstości drgań składowych n ,..., 21 istnieje
choćby jedna para częstości
niewspółmiernych, to drganie sumaryczne )(tx jest
nieokresowe.
-
16
c) Przypadek dwóch składników harmonicznych o zbliżonych
częstościach
Precyzując ten przypadek, założymy, że:
tatatx )(sinsin)( 21 , gdzie const. , (1.10)
Uwaga
Przyjęta zerowość fazy początkowej pierwszego składnika
upraszcza obliczenia, ale nie
zmienia ogólności rozważań, ponieważ zachowane jest przesunięcie
w fazie obu składników.
Przekształcając wzór (1.10), otrzymujemy:
,)(sin)(cos)sin(sin)cos()sin(cos)cos(sinsin)(
221
221
tttAttattaa
ttattatatx
(1.11)
gdzie:
)cos(
)sin()( tg,)sin()cos()(
21
222
221
taa
tattataatA . (1.12)
Funkcje (t) i )( tA są wolnozmiennymi okresowymi funkcjami
czasu, przedstawiającymi
zmienną amplitudę i fazę początkową drgań )(tx . Okres obu tych
funkcji wynosi /2T .
Wniosek
Suma drgań harmonicznych o zbliżonych częstościach jest drganiem
zbliżonym do
harmonicznego, charakteryzującym się wolnozmienną amplitudą i
fazą początkową.
Zjawisko „falowania” amplitudy drgań znane jest pod nazwą
dudnienia (Rys. 1.3). Można je
często zaobserwować jako efekt akustyczny nakładania się dźwięku
emitowanego przez dwa
źródła, np. silniki samolotu o nieidealnie zsynchronizowanej
prędkości obrotowej.
Rys. 1.3. Przebieg amplitudy drgań w przypadku dudnienia
Warto zauważyć, że drganie )(tx jako suma drgań harmonicznych o
zbliżonych
częstościach, może być drganiem okresowym, jeśli częstości i są
współmierne lub
nieokresowym, jeśli warunek ten nie jest spełniony.
Przykład 1.1.
-
17
Wyznaczyć zmienną w czasie amplitudę drgań będących sumą drgań
harmonicznych o
jednakowej amplitudzie a i zerowej fazie początkowej.
Zauważmy najpierw, że postać sumowanych drgań może być zarówno
sinusowa, jak i
kosinusowa, to jest tatatx )sin(sin)( lub tatatx )cos(cos)(
.
Przyjmując postać sinusową i korzystając z wzoru (1.12),
otrzymujemy:
2
cos22
cos4))cos(1(2)sin()cos()( 222 t
at
atatataatA
. (a)
Dla postaci kosinusowej mamy najpierw
tattaatttattatatx sinsincoscossin sincos coscos)( (b)
oraz, jak dla postaci sinusowej:
2
cos2)sin()cos()(22 t
atataatA
. (c)
Wykres funkcji )(tA wraz z przebiegiem drgań )(tx pokazano na
Rys. 1.4.
Rys. 1.4. Suma drgań harmonicznych o zbliżonej częstości i
jednakowej amplitudzie
Koniec Przykładu 1.1.
Oprócz algebraicznego sumowania drgań (zachodzących w tym samym
kierunku)
rozważa się również ich sumowanie geometryczne w przypadku,
kiedy zachodzą w
kierunkach prostopadłych. Ograniczając się do płaszczyzny, np.
Oxy formułujemy problem
następująco. Współrzędne prostokątne punktu P na płaszczyźnie
Oxy są drganiami
harmonicznymi:
).sin()(
),sin()(
22
11
tbty
tatx (1.13)
Jaki jest tor punktu P na płaszczyźnie Oxy ? Problem ten był
rozważany w kinematyce
punktu materialnego w kursie Mechaniki ogólnej [MO] i nawiązuje
bezpośrednio do
-
18
wykorzystania oscyloskopu w rejestracji i badaniu sygnałów
elektrycznych. Składanie drgań
w kierunkach prostopadłych jest też podstawą badania drgań na
płaszczyźnie fazowej, o czym
będzie mowa w dalszych wykładach.
Jakie zatem właściwości może mieć trajektoria punktu o
współrzędnych prostokątnych (1.13),
obserwowana np. na ekranie oscyloskopu? Przede wszystkim należy
zauważyć, że jeśli
częstości 21 i są współmierne, to istnieje wspólny okres obu
funkcji i punkt P po tym
okresie wraca do swego położenia początkowego (i każdego innego
zajmowanego na
trajektorii). Oznacza to, że trajektoria jest krzywą zamkniętą,
po której punkt P krąży, lub
otwartą, po której punkt P porusza się okresowo tam i z
powrotem.
Przykład 1.2
Na cewki odchylające oscyloskopu podawane są sygnały ttx cos)(
oraz tty 2cos2)( . Jaką
krzywą jest trajektoria obserwowana na ekranie?
Problem polega na znalezieniu krzywej )(xyy poprzez eliminację
czasu z równań
sygnałów. Dokonamy tego, wykorzystując wzory
trygonometryczne:
241cos22sincos22cos2 2222 xtttty . (a) Trajektoria obserwowana
na ekranie oscyloskopu jest więc parabolą pokazaną na Rys. 1.5.
Rys. 1.5. Parabola jako trajektoria obserwowana na ekranie
oscyloskopu w Przykładzie 1.2
Punkt ),( yxP porusza się po trajektorii tam i z powrotem,
zaczynając z położenia
początkowego (1,2) i powracając do tego położenia po każdym
okresie 2T [s].
Koniec Przykładu 1.2.
Dalsze rozważania dotyczące sumowania drgań zachodzących w
kierunkach
prostopadłych ograniczymy do przypadku drgań harmonicznych o
jednakowej częstości, ale
przesuniętych względem siebie w fazie. Można je zapisać
następująco:
-
19
).sin()(
),sin()(
tbty
tatx (1.14)
Eliminując czas, korzystamy z zależności trygonometrycznych:
sin 1cossincoscossin2
x
a
bbx
a
btbtby . (1.15)
Podnosząc wyrażenie (1.15) stronami do kwadratu,
otrzymujemy:
0sincos2 222
a
x
a
x
b
y
b
y. (1.16)
Równanie (1.16) przedstawia krzywą II stopnia. Jej wyróżnik
1cos4 222
ba
(1.17)
jest mniejszy lub równy zeru, co oznacza, że krzywa ta jest typu
eliptycznego i w zależności
od kąta przesunięcia fazowego , może być:
a) elipsą o środku w początku układu współrzędnych i osiach
obróconych względem osi
układu, jeśli 0cos ; dla 0cos elipsa ta ma osie równoległe do
osi układu xyO ,
b) prostą xa
by , gdy 1cos lub prostą x
a
by gdy 1cos .
1.6. Analiza harmoniczna drgań okresowych
Analiza harmoniczna drgań okresowych (ogólniej wszystkich
procesów okresowych,
w tym tych, które mogą wzbudzać drgania) polega na
przedstawieniu okresowej funkcji czasu
w postaci sumy procesów harmonicznych o różnych częstościach,
amplitudach i fazach
początkowych. Analizie harmonicznej służy aparat matematyczny
szeregów Fouriera [3,9].
Wykorzystamy w tym wykładzie niektóre rezultaty teorii szeregów
Fouriera, w sposób
niewymagający głębszych przypomnień lub studiów. Proces
(niekoniecznie ciągły) )(tx o
zadanym okresie T można przedstawić w postaci nieskończonego
szeregu składowych
procesów harmonicznych (zwanych harmonikami), w następujący
sposób:
1
0 sin cos)(
n
nn tnbtnaatx , (1.18)
gdzie T
2 jest częstością podstawową procesu i częstością jego pierwszej
harmoniki, 0a
jest wartością średnią procesu, rozumianą jako średnia
całkowa:
-
20
T
dttxT
a
0
0 )(1
(1.19)
a liczby nn ba i wyznacza się z wzorów znanych jako wzory Eulera
do szeregów Fouriera
[3,9]:
T
n
T
n dttntxT
bdttntxT
a
00
sin)(2
, cos)(2
. (1.20)
Poszczególne harmoniki w szeregu Fouriera (1.18) można
przedstawić w formie zawierającej
amplitudę i fazę początkową:
nnnn tnAtnbtna sin sin cos , (1.21)
gdzie
n
nnnnn
b
abaA tg,22 . (1.22)
Szereg Fouriera przyjmuje postać:
1
0 )( sin)(
n
nn tnAatx . (1.23)
Wynikiem analizy harmonicznej procesu lub drgań okresowych jest
widmo amplitudowo-
częstościowe oraz widmo fazowo-częstościowe. Widma (inaczej
spektra) są to diagramy
przedstawiające amplitudy kolejnych harmonik i ich fazy
początkowe odpowiadające
częstościom tych harmonik. Poszczególne harmoniki charakteryzują
się tym, ze ich częstości
są wielokrotnościami częstości podstawowej T/2 . Powoduje to, że
prążki widma
procesu okresowego leżą w równych odległościach od siebie.
Niektóre z nich mogą mieć
wysokość zerową. Ogólny charakter widm drgań okresowych pokazano
na Rys. 1.6.
Rys. 1.6. Widmo amplitudowo-częstościowe (a) i
fazowo-częstościowe (b) drgań okresowych
Przykład 1.3
Znaleźć widmo amplitudowo-częstościowe procesu okresowego,
przedziałami stałego,
pokazanego na Rys. 1.7.
-
21
Rys. 1.7. Proces okresowy z Przykładu 1.3
Z Rys. 1.7 wynika, że okres funkcji )(tx wynosi 2T . W
przedziale czasu
odpowiadającym okresowi, funkcję tę opisujemy następująco:
2 2
3 dla
2
30 dla
)(
t
ttx . (a)
Częstość podstawowa tej funkcji wynosi 12/2/2 T . Funkcję )(tx
przedstawimy
w postaci szeregu Fouriera (1.18). Wartość średnią 0a i
współczynniki nn ba , obliczamy na
podstawie wzorów Eulera:
2
1 )(
2
1)(
2
12/3
0
2
2/3
2
0
0
dtdtdttxa , (b)
2
3sin
2sin
1sin
1 cos )( cos
2
2 22/3
2/30
2/3
0
2
2/3
nn
ntn
ntn
ntdtntdtan
, (c)
2
3cos1
2cos
1cos
1sin )(sin
2
2 22/3
2/30
2/3
0
2
2/3
nn
ntn
ntn
ntdtntdtbn . (d)
Pierwszych 8 współczynników nn ba , oraz amplitud 22nnn baA
pokazano w Tabeli 1.1.
Tab. 1.1.
Numer harmoniki 1 2 3 4 5 6 7 8
na -2 0 2/3 0 -2/5 0 2/7 0
nb 2 2 2/3 0 2/5 2/3 2/7 0
nA 22 2 22 /3 0 22 /5 2/3 22 /7 0
-
22
Widmo amplitudowo-częstościowe funkcji )(tx pokazano na Rys.
1.8.
Rys. 1.8. Widmo amplitudowo-częstościowe funkcji )(tx z
Przykładu 1.3
1.7. Budowanie równań ruchu układów drgających
Przedmiotem naszego zainteresowania w tym kursie drgań
mechanicznych będą
dynamiczne równania ruchu modelowych układów złożonych z punktów
materialnych i brył
sztywnych, charakteryzujących się skończona liczą stopni swobody
i jak już wiemy
nazywanych układami dyskretnymi, a także równania wybranych
modelowych ciał
odkształcalnych w postaci prętów, strun wałów i belek,
traktowanych jako układy ciągłe.
Statyczne równania przemieszczeń wyżej wymienionych układów
ciągłych (z wyjątkiem
strun) znane są Czytelnikowi z kursu Wytrzymałości materiałów
[9]. Budując ich dynamiczne
równania (równania drgań), wykorzystamy podstawowe założenia i
hipotezy przyjęte w
Wytrzymałości materiałów dla każdego z tych elementów. Budowa
równań ruchu poprzedza
analizę ich drgań i będzie zaprezentowana w odpowiedniej części
wykładu. W tym miejscu
zatem skoncentrujemy się na budowie równań ruchu układów
dyskretnych. Ze względu na
podstawowy zakres tego wykładu i jego rolę na poziomie studiów I
stopnia, rekomendowane
następujące metody układania równań ruchu układów
dyskretnych:
a) Metoda bezpośredniego zastosowania II prawa Newtona
Istnieje wiele układów drgających, nawet o wielu stopniach
swobody, które można
podzielić na elementy w postaci punktów materialnych, do których
można wprost zastosować
II prawo Newtona, uwzględniając wszystkie siły działające na te
elementy, w tym siły
zewnętrzne czynne, reakcje i opory ruchu oraz siły wewnętrzne
wszelkiej możliwej natury, w
tym w podatnych elementach sprężystych i tłumiących, którymi
połączone są punkty
materialne. Równanie ruchu i -tego elementu ma postać [1]:
),,...,,,...,,( 2121 txxxxxFxm niii , ),...,1( ni , (1.24)
gdzie im oraz ix oznaczają masę i współrzędną i -tego punktu
materialnego, a iF jest sumą
wszystkich sił odpowiadających współrzędnej ix , zależną ogólnie
od wszystkich
-
23
współrzędnych i ich pochodnych oraz od czasu. Wyrażenie (1.24)
jest układem n
sprzężonych równań różniczkowych zwyczajnych, ogólnie
nieliniowych i niejednorodnych.
Omawiając bezpośrednie wykorzystanie prawa Newtona do budowy
równań ruchu
układu drgającego, należy zauważyć, że elementy sprężyste,
traktowane jako bezmasowe,
mogą być nie tylko sprężynami liniowymi i obrotowymi, które są
już znane Czytelnikowi z
kursu mechaniki ogólnej [1], ale też mogą mieć charakter belek,
ram, prętów, wałów, płyt lub
innych elementów, których sprężyste przemieszczenia pod
działaniem sił statycznych
potrafimy wyznaczać na podstawie wiedzy z kursu Wytrzymałości
materiałów. Współczynnik
sztywności każdego takiego elementu można obliczyć jako stosunek
siły do wywołanego
przez tę siłę statycznego przemieszczenia.
Bezmasowe elementy sprężyste o sztywnościach 21 i kk można
łączyć równolegle lub
szeregowo, otrzymując element zastępczy o sztywności zk , jak
pokazano na Rys. 1.9.
Rys. 1.9. Łączenie bezmasowych elementów sprężystych: a)
równoległe, b) szeregowe
W połączeniu równoległym obydwa elementy mają jednakowe
wydłużenie 21 , takie
jak element zastępczy, a siła F w elemencie zastępczym jest
równa sumie sił w elementach
składowych, 21, FF . Wynika stąd sztywność elementu zastępczego
w połączeniu
równoległym:
21212121 )( kkkkkkkFFF z . (1.25)
Dwa elementy sprężyste połączone szeregowo przenoszą jednakową
siłę 21 FFF , a suma
ich wydłużeń stanowi wydłużenie elementu zastępczego 21 . Stąd
sztywność
zastępcza:
2121
21
111
kkkk
F
k
F
k
F
zz
. (1.26)
Zauważmy, reguły łączenia sprężyn w układach mechanicznych są
takie same, jak reguły
łączenia kondensatorów w obwodach elektrycznych.
Przykład 1.4.
-
24
Wyznaczyć sztywność zastępczą elementów sprężystych w postaci
sprężyny o sztywności sk
oraz belki wspornikowej o długości l i sztywności giętnej EI
[9], w połączeniach
pokazanych na Rys. 1.10.
Rys. 1.10. Połączenia sprężyny i belki wspornikowej: a)
równoległe, b) szeregowe
Najpierw należy określić sztywność elementu belkowego w
odniesieniu do ugięcia jej
swobodnego końca f pod działaniem pewnej próbnej siły F .
Sztywność tę wyznaczymy na
podstawie wiedzy z wytrzymałości materiałów, dotyczącej
zależności ugięcia belki
wspornikowej od jej obciążenia siłą na końcu:
3
3 3
3 l
EI
f
Fk
EI
Flf b . (a)
Sztywności zastępcze połączeń równoległego i szeregowego (Rys.
1.10 a,b) wynoszą więc:
równoległe:
3
3
3 3
3
:szeregowe ,3
l
EIk
l
EIk
kk
kkk
l
EIkkkk
s
s
bs
bs
ZsbsZ
, (b)
gdzie E oznacza moduł Younga, a I jest geometrycznym momentem
bezwładności przekroju
względem osi obojętnej naprężeń.
Koniec Przykładu 1.4.
Uwaga
W przypadku drgań w ruchu obrotowym względem stałej osi,
odpowiednie równania ruchu,
wynikające z prawa zmienności krętu względem osi obrotu,
zastosowanego do każdego z ciał
z osobna, mają postać analogiczną do (1.24):
),,...,,,,...,,( 2121 tMJ ssiii , ),...,1( si , (1.27)
gdzie iJ oraz i oznaczają masowy moment bezwładności względem
osi obrotu oraz kąt
obrotu i -tej bryły, a iM jest sumą momentów działających na tę
bryłę, względem jej osi
obrotu.
-
25
b) Metoda równań Lagrange’a
Równania Lagrange’a (II rodzaju) są znane z kursu mechaniki
ogólnej [1], z którym
skoordynowany jest ten wykład. Nie będziemy zatem ich
wyprowadzać ani szczegółowo
komentować. Ograniczymy się do podania ich rekomendowanej
postaci opartej na energii
kinetycznej, energii potencjalnej oraz dysypacyjnej funkcji
Rayleigha, ograniczając się do
przypomnienia sposobu korzystania z nich. Równania Lagrange’a
mają następującą postać:
),...,1( siQq
D
q
E
q
E
q
E
dt
di
ii
p
i
k
i
k
, (1.28)
gdzie DEE pk ,, oznaczają odpowiednio energię kinetyczną,
energię potencjalną i
dysypacyjną funkcję Rayleigha [1], s jest liczbą stopni swobody
układu, a iq oraz iQ
oznaczają współrzędne uogólnione oraz odpowiadające im siły
uogólnione wymuszające
drgania (niepotencjalne i niedysypacyjne). Równania Lagrange’a
(1.28) po wykonaniu
wszystkich niezbędnych operacji matematycznych stają się układem
równań różniczkowych
zwyczajnych, ogólnie nieliniowych i niejednorodnych. W dalszych
wykładach równania te
będziemy rozwiązywać, stosując standardowe metody analityczne i
interpretując fizycznie
otrzymane wyniki.
Budowa równań Lagrange’a, po podjęciu decyzji o modelu fizycznym
układu drgającego,
obejmuje następujące etapy.
1) Przyjęcie współrzędnych uogólnionych w liczbie równej liczbie
stopni swobody układu.
2) Zbudowanie energii kinetycznej układu w jego możliwym ruchu i
wyrażenie jej przez
współrzędne i prędkości uogólnione.
3) Zbudowanie wyrażenia na energię potencjalną układu w jego
chwilowym położeniu w
czasie ruchu i wyrażenie jej przez współrzędne uogólnione.
4) Zbudowanie wyrażenia na dysypacyjną funkcję Rayleigha i
wyrażenie jej przez
współrzędne i prędkości uogólnione.
5) Wyznaczenie wszystkich sił uogólnionych odpowiadających
przyjętym współrzędnym.
6) Wykonanie różniczkowań przewidzianych w wyrażeniu (1.28) i
końcowe sformułowanie
równań ruchu Lagrange’a.
W przypadku, gdy bezmasowe elementy sprężyste łączące punkty
materialne układu
drgającego są elementami belkowymi lub ramowymi, wygodne jest w
budowie równań ruchu
zastosowanie uogólnionej na dynamikę metody sił, stosowanej w
wytrzymałości materiałów
-
26
do obliczania statycznych przemieszczeń w ramach. Nie omawiamy
tej metody, odsyłając
Czytelnika do literatury uzupełniającej [2].
Pytania sprawdzające do Wykładu 1
1. Jakie jest znaczenie drgań w budowie maszyn?
2. Jakie właściwości ma drganie będące sumą: tttx 101sin100sin)(
?
3. Co to jest widmo drgań okresowych i jak się je otrzymuje? 4.
Klasyfikacja drgań ze względu na źródło energii. 5. Jaki opis i
właściwości mają drgania harmoniczne? 6. Co to jest proces skokowy?
7. Na czym polega analiza harmoniczna drgań? 8. Jaki jest warunek
okresowości sumy algebraicznej drgań harmonicznych? 9. Jakie są
reguły łączenia bezmasowych elementów sprężystych w układach
drgających? 10. Jaką postać mają równania Lagrange’a II rodzaju i
do czego służą?