Colegiul Naţional de Informatică „ Spiru-Haret ” Suceava Matrici Referat la Matematică
Colegiul Naţional de Informatică „ Spiru-Haret ” Suceava
Matrici
Referat la Matematică
Elev :
Profesor :
Anul şcolar: 2008 - 2009
CUPRINS
1. MATRICI ……………………………………………………………………pg. 3
1.1. Tabel matriceal. Mulţimi de matrice1.2. Operaţii cu matrice
1.2.1. Adunarea matricelor1.2.2. Înmulţirea matricelor cu scalari1.2.3. Înmulţirea matricelor1.2.4. Puterea unei matrice pătratice1.2.5 Transpusa unei matrice
2. APLICAŢII…………………………………………………………………pg. 10
3. BIBLIOGRAFIE …………………………………………………………...pg. 23
2
MATRICI
Definiţie. Se numeşte matrice cu m linii şi n coloane (sau de tip ) un tablou cu m linii şi n coloane
ale cărui elemente sunt numere complexe.
1.1. Tabel matriceal. Mulţimi de matrice. Să considerăm următorul enunţ din domeniul economiei.„Un depozit de materiale se aprovizionează eşalonat pe o perioadă de 4 luni cu un anumit produs după urmatorul plan:
- în prima lună se aprovizionează cu 100 de bucăţi, la preţul unitar de 3 000 unităţi monetare (u.m.).
- În a doua lună se aprovizionează cu 120 bucăţi la preţul unitar de 3 500 u.m.- În luna a treia primeşte cu 10 bucăţi mai puţin decât în luna precedenentă, cu
preţul pe unitate de produs de 3 200 u.m., iar în luna a patra comandă o cantitate dublă faţă de prima lună plătind 3 200 u.m. pe unitatea de produs.”
Pentru ţinerea unei evidenţe cât mai clare, aceste date pot fi ordonate şi clasate în diverse moduri, astfel încât obţinerea unor informaţii legate de acest proces de aprovizionare să se realizeze cât mai eficient.
Astfel, datele de mai sus pot fi grupate într-un tabel de forma:
Luna 1 2 3 4Cantitate 100 120 110 200
Preţ unitar 3 000 3 500 3 200 3 200
Într-un mod mai simplificat, aceste date pot fi reorganizate într-un tabel de forma:
sau
Un astfel de tabel se numeşte tabel matriceal.
3
Primul tabel matriceal este format din 3 linii şi 4 coloane (este de tipul 3 x 4), iar al doilea tabel matriceal este format din 2 linii şi 4 coloane (este de tipul 2 x 4). Daca se ia în considerare numai linia care conţine cantităţile achiyiţionate lunar, se obţine un tabel de forma (100 120 110 200) numit tabel matriceal linie.
Dacă se consideră numai datele care caracterizează fenomenul în luna a treia se
obţine un tabel de forma sau , numit tabel matriceal
coloană.Aşadar, prin organizarea unor date legate de un fenomen în asemenea tabele
matriceale, se stabileşte de fapt o corespondenţă între poziţia ocupată de un număr din tabel şi valoarea acestuia.
Poziţia numărului din tabelul matriceal este uşor de identificat printr-o pereche ordonată de numere naturale (i, j) care arată că numărul se aflp pe linia i şi pe coloana j a tabelului.
Generalizarea unei astfel de corespondenţe, făcându-se abstracţie de natura materială a datelor folosite, conduce la introducerea unei noi noţiuni matematice.
Cazuri particulare1) O matrice de tipul (deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma
.2) O matrice de tipul (cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma
.
3) O matrice de tip se numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O
.
4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numeşte pătratică.
.
Sistemul de elemente reprezintă diagonala principală a
matricii A, iar suma acestor elemente se numeşte urma matricii A
notată Tr(A) . Sistemul de elemente reprezintă diagonala
secundară a matricii A.Suma elementelor de pe diagonala principală a matricei A se numeşte urma
matricei A şi se noteaya Tr (A).Mulţimea acestor matrici se notează . Printre aceste matrici una este foarte
importantă aceasta fiind
4
şi se numeşte matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).
Egalitatea matricelor
Fie matricele A, B , A= ( ) , B= .Definiţie.
Matricele A şi B se numesc matrice egale, dacă = , pentru fiecare i {1,2,…,m}, j {1,2,...,n}.
Problemă rezolvatăSă se determine a,b,x,y,m R astfel încât să aibă loc egalitatea de matrice A=B,
pentru , .
SoluţieDin egalitatea a =b rezultă Aplicând egalitatea a două numere
complexe se obţine , deci a {-1,1}, m=5.Din egalitatea a =b , rezultă 2b+1=7 şi b=3 . Egalităţile a =b şi a =b
conduc la relaţiile Se obţine x=2 si y=3.
Observaţii1. Folosind proprietăţile relaţiei de egalitate pe mulţimea C, relaţia de egalitate pe
mulţimea are următoarele proprietăţi:
Dacă A=A, A (proprietatea de reflexivitate).
Dacă A=B, atunci B=A, A, B (proprietatea de simetrie).
Daca A=B şi B=c, atunci A=C, A,B,C (proprietatea de tranzitivitate).
2. Dacă matricele A,B snu sunt egale, se scrie A B.
1.2.1. Adunarea matricelor
Definiţie. Fie , , . Matricea C se numeşte suma
matricelor A, B dacă: = + , , .
Observaţii1) Două matrici se pot aduna dacă sunt de acelaşi tip, adică dacă au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de coloane, deci A, B .
5
2) Explicit adunarea matricelor A, B înseamnă:
+
=
.
Exemplu: Să se calculeze A + B pentru:
1. ;
2.
R. 1. Avem
2. Avem
.
Proprietăţi ale adunării matricelor (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică:
, A, B, C . (Comutativitatea adunării). Adunarea matricelor este comutativă, adică:
, A, B . (Element neutru). Adunarea matricelor admite matricea nulă ca element
neutru, adică astfel încât A + = A, A .
(Elemente opuse). Orice matrice A are un opus, notat , astfel încât
.
1.2.2. Înmulţirea matricelor cu scalari
Definiţie.Fie C şi A = . Se numeşte produsul dintre scalarul
C şi matricea A, matricea notată definită prin = .Obs.: A înmulţi o matrice cu un scalar revine la a înmulţi toate elementele matricii cu acest scalar.
Deci =
.
6
Exemplu Fie . Atunci 6A = .
Proprietăţi ale înmulţirii matricelor cu scalari , C, A ;
, C, A, B ;
, C, A ;
,1 C, A ;
1.2.3. Înmulţirea matricelor
Definiţie. Fie A = , B = . Produsul dintre matricele
A şi B (în aceasta ordine), notat AB este matricea C = definită prin
, , .
Observaţii1) Produsul AB a două matrici nu se poate efectua întotdeauna decât dacă A , B
, adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B,
când se obţine o matrice C = AB .
2) Dacă matricile sunt pătratice A, B atunci are sens întotdeauna atât AB cât şi BA, iar, în general, AB BA adică înmulţirea matricelor nu este comutativă.
Proprietăţi ale înmulţirii matricelor (Asociativitatea înmulţirii). Înmulţirea matricelor este asociativă, adică
, A , B , C . (Distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea). Înmulţirea matricelor
este distributivă în raport cu adunarea matricelor, adică A, B, C matrici
pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire. Dacă este matricea unitate, atunci
A .Se spune că este element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a matricelor.
1.2.4. Puterea unei matrice pătratice
7
Proprietatea de asociativitate a înmulţirii matricelor pătratice permite definirea puterii cu exponent natural a unei matrice pătratice.
Fie A (C). Definim se defineşte puterea n a matricei A prin .
Exemplu:
Daca A= atunci :
* =
* =
* =
1.2.5 Transpusa unei matrice
Definiţii:
Fie matricea A= . Se numeşte transpusa matricei A, matricea
, unde , pentru oricare k Operaţia prin care fiecărei marice A i se asociază matricea transpusă
se numeşte operaţia de tramsăinere a matricelor.
Observaţii:
1. Matricea transpusă se obţine din matricea A prin schimbarea liniilor în coloane şi a coloanelor în linii.
2. Dacă unde Tr(A) este urma matricei A.
8
APLICAŢII
1. Manual
Să se determine numerele reale x, y, z astfel încât să aibă loc egalitatea de matrici, în cazurile
a)
b)
c)
9
I. dacă , atunci II. dacă , atunci
d)
2. Să se calculeze în cazurile:
1) , .
2) ,
3. Se consideră matricile
,
,
.
Să se determine m, n, p astfel încât .
. Deci
4. Se consideră matricile .
, .
Să se calculeze: , .
5. Calculaţi produsele de matrici , unde
10
a) şi
b) şi
c) şi
d) şi
e) şi
6. Să se calculeze , dacă:
;
11
7. Fie . Să se calculeze , .
Inducţie matematică
(A)
Deci .
8. Calculaţi determinanţii de ordinul doi:
1)
2)
3)
9. Calculaţi determinanţii de ordinul trei:
1)
2)
3)
10. Calculaţi determinanţii următori:
1)
2)
12
11. Să se rezolve ecuaţiile:
1)
Deci .
12. Să se rezolve ecuaţiile:
1)
13. Fie pentru care . Să se arate că ,
.
Pentru x = 0 şi y = 1
Pentru x = 1 şi y = 0
Pentru x = 1 şi y = 1
Pentru x = 1 şi y
13
Deci
2. Bacalaureat
1. Să se determine matricea X din ecuaţia
2. a) Găsiţi matricea X astfel încât
b) Să se determine m astfel încât sistemul următor să fie compatibil şi apoi rezolvaţi-l:
a)
Deci .
b)
3. a) Fie matricea A ; , . Să se calculeze
şi şi apoi să se determine , în funcţie de n. b) Să se afle numere reale astfel încât
14
a)
Inducţie matematică
(A)
Deci .
b)
Deci .
4. a) Să se determine astfel încât:
b) Să se detrmine matricea A astfel încât:
a)
b)
.
5. Să se rezolve ecuaţia:
15
6. Dacă sunt rădăcinile ecuaţiei să se
calculeze determinantul .
7). Să se calculeze
f( x ) = (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 7)
=
8). Să se calculeze
9). Să se calculeze
f( x ) =(x – 1)arcsin x.
=
3. Bacalaureat 2009
1).
16
2).
3).
17
4).
18
5).
7).
19
8).
9).
20
10).
4). Olimpiada
O1). Să se rezolve sistemul:
Rezolvare:
Condiţii de existenţă: x,y R*+
21
Ecuaţia ataşată:
1
- - - - - - - - 0 - - - - - -
Deci
O2) Să se găsească valorile lui x astfel încât:
Răspuns:
Se observă că x=0 este soluţie
=
Se consideră şi
f(x) este strict crescătoare pe Rg(x) este strict descrescătoare pe R
O3) Fie a R. Să se rezolve în R ecuaţia: Rezolvare:
O4) Să se rezolve sistemul:
Rezolvare:
22
x=0 este soluţie unică a ecuaţiei
Condiţii de existenţă: x,y R*+
Observăm că este soluţie a sistemuluiVerificare:
33-22=27-4=23
Cazul 1 x (0;3)
Din relaţiile (1) şi (2)→contradicţie→nu există soluţii pentru x (0;3) (3)
Cazul 2 x (3;+∞)
Din relaţiile (1) şi (2)→contradicţie→nu există soluţii pentru x (3;+∞) (4)
Din relaţiile (3) şi (4)→ecuaţia are soluţie unică
O5) Să se rezolve ecuaţia:4x+9x+25x=6x+10x+15x
Răspuns:Observăm că x=0 verifică ecuaţia.Verificare: 1+1+1=1+1+1→3=3 (A)Soluţia 1: Notăm 2x=a
3x=b5x=c
ecuaţia 4x+9x+25x=6x+10x+15x se poate scrie a2+b2+c2=ab+ac+bc
a2+b2≥2aba2+c2≥2bcb2+c2≥2ac +2(a2+b2+c2) ≥2(ab+bc+ac)→ a2+b2+c2 ≥ab+bc+ac
Egalitatea are loc dacă a=b=c → 3x=2x=5x→x=0
Soluţia 2
4x+9x-6x =+10x+15x-25x ⁄ :10x
Definim următoarele funcţii:
23
f(x)= este strict descrescătoare pe
R
g(x)= este strict crescătoare pe R
O6) Să se rezolve ecuaţia:
Rezolvare:Observăm că x=2 este soluţie a ecuaţiei.Verificare:
Definim următoarele funcţii:
f(x)= , →f(x) este strict descrescătoare pe
R
g(x)=(sin )x, →g(x) este strict crescătoare pe R
f(x)+g(x)= este strict descrescătoare pe R
Deci x=2 este soluţie unică.
24
Soluţia unică este x=0
BIBLIOGRAFIE
1. Marius Burtea şi Georgeta Burtea, Manual de Matematică, clasa a XI-a, Editura Carminis.
2. C. Niţă, C. Năstăsescu, M. Brandiburu, D. Joiţa, Culegere de probleme pentru liceu - algebra - clasele IX - XII (editie noua revizuita si adaugita), Editura Rotech Pro.
3. Carmen Angelescu, Nicolae Baciu, Cătălin Zîrnă, Ismet Omer, Nicolae Buzduga, Ghid de recapitulare pentru BACALAUREAT 2009 - MATEMATICA M1+M2 , Editura Sigma.
4. Materia predată la oră, de către profesorul Oanea Călin.
5. Caietul de notiţe, dar şi de teme acasă.
6. Internet.
Powered by http://www.referat.ro/cel mai tare site cu referate
25