Witten Morse

7/29/2019 Witten Morse

http://slidepdf.com/reader/full/witten-morse 1/15

20/3/2011 1

ΤΠΕΡΤΜΜΕΣΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΧΡΙΑ

MORSE

(WITTEN 1982).

EDWARD WITTEN

(born August 26, 1951)

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

ΦΥΣΙΚΟΣMScΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ



20/3/2011 2

ΜΙΑ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΒΑΙΜΕΝΗ ΣΟ

ΑΡΘΡΟ ΣΟΤ WITTEN:

“SUPERSYMMETRY AND MORSE

THEORY”

ΣΟ ΠΕΡΙOΔΙΚΟ:

J. DIFFERENTIAL GEOMETRY 17 (1982)




20/3/2011 3

ΤΠΕΡΤΜΜΕΣΡΙΑ ΚΑΙ ΘΕΧΡΙΑ MORSE (WITTEN 1982).

ε άε βαληή εωξία εδίνπ ν ρώξνο Hilbert κνξεί λα γξαθεί

ζαλ ην επύ άξνζκα (direct sum) ηωλ ρώξωλ α , διαδή:

: ν ρώξνο ηωλ «κννλώλ» αηαζηάζεωλ : ν ρώξνο ηωλ «θεξκνλώλ» αηαζηάζεωλ

Οπίουμε:

• Σνπο Εξκηαλνύο ηειεζηέο , νπ αενλίνπλ ην

ρώξν ζην ρώξν α αληίζηξνθα.• Σνλ ηειεζηή , ν ννίνο δαξίλε ην ρώξν αό ην ρώξν

(α κεηξάε ηνλ αξκό ηωλ θεξκνλίωλ modulo 2)

iQ 1, 2,...i N ,

( 1) F

( 1) ( 1) F n F I

'cont d

Ιδόηηεο:

{( 1) , } 0 F

iQ

2(( 1) ) F I

(( 1) ) ( 1) F F

(involution),

(Εξκηαλόο).

Η δξάζ ηνπ ηειεζηή ζην ρώξν είλα:( 1) F

( 1) F

( 1) F

,

,




20/3/2011 4'cont d

Ο ζρέζεο (3) α (4) ξέε λα γελεπνύλ ζε κα βαληή εωξίαεδίνπ (αλαιινίωην ζε Lorentz).

Πεξνξόκαζηε ζε ρωξόρξνλν 2 δαζηάζεωλ, νόηε έρνπκε έλα κόλν

ηειεζηή νξκήο P. Έρνπκε:

2

1Q H P 2

2Q H P

1 2 2 1 0Q Q Q Q

(5)Jacobi

[ , ] [ , ] 0i iQ H Q P (6)

2 2

1 2

1( )

2 H Q Q

2 2

1 2

1( )

2 P Q Q [ , ( 1) ] [ , ( 1) ] 0 F F H P

(7)

(8) (9)

Μ αξληέο δνηκέο ελέξγεαο

,

,

ηλ αινύζηεξ «έδνζ» ηο ΤΚΜ, ααηνύκε λα ζρύνπλ:

{( 1) , } 0 F

iQ (1)

[ , ] 0iQ H (2)

2 ,iQ H i (3)

{ , } 0,i jQ Q i j (4)

,

,




5

'cont d

Η ζνπδαόηεξ εξώηζ γα κα πεξζπκκεηξή βαληνκραλή

εωξία είλα ην αηά όζνλ πάξρε (ή όρ) κα αηάζηαζ ζην ρώξν

Hilbert ννία λα «εξαϋλώνεηαι» αό ηνπο πεξζπκκεηξνύο ηειεζηέο

iQ , γα ηλ ννία διαδή λα έρνπκε:

0i

Q (10)

Αλ κα ηέηνα αηάζηαζ πάξρε, ηόηε αό ηλ (7) βιένπκε όη α έρε

πνρξεωηά μδενική ενέπγεια. Εθ’ όζνλ όκωο ν δνηκέο ελέξγεαο είλα

κ αξληέο, κα αηάζηαζ κε κδελή ελέξγεα α αληζηνρεί ζηλ

καηάζηαζ «κενού» ηνπ ζπζηήκαηνο. Λέκε ηόηε όη πεξζπκκεηξία είλα

μ-ζαζμέν ( unbroken Susy)Αλ ν ηειεζηέο δελ εμαϋιώλνπλ ην ελό, ιέκε όη πεξζπκκεηξία

είλα «αυθόπμηα ζαζμέν» (spondaneously broken)i

Q

Σώξα:: 0i K Q

0 H

0 P

Μνξνύκε ινόλ λα εξγαζνύκε ζηνλ πόρωξν νπ εξέρε ηο αηα-

ζηάζεο ν ννίεο «εμαϋιώλνληα» αό ηνλ ηειεζηή P:0 0 0

0

Σν πεξζπκκεηξό κνληέιν

α αλννεί ηο εμζώζεο:

2

iQ H

i{ , } 0

i j

Q Q i j , ,

(11) (12)20/3/2011




3/20/2011 Γιάννης Φιορεντίνος 6

ην paper κε ηίηιν Dynamical Breaking of Supersymmetry, Nuclear

Physics B 188 (1981), pages 513-555, o Edward Witten πνιόγζε

ηνλ δείη ( 1) F tr κεηαμύ άιιωλ ζηο εξηώζεο:

Τεξζπκκεηξήο εωξίαο 4 ζε 4-δαζηάζεο,

Τεξζπκκεηξώλ κ- Αβειαλώλ εωξώλ βακίδαο είζο ζηο4-δαζηάζεοα έδεμε όη είλα δάθνξνο ηνπ κδελόο. Έηζ ζηο δύν αξαάλω

εξηώζεο πεξζπκκεηξία είλα κα κ-ζαζκέλ ζπκκεηξία.

Είζο ζηα papers E. Witten, Nuclear PhysicsB

202 (1982) αToroidal Compactification without vector structure, 1997 , o Witten

πνιόγζε ην δείη ζε κα «ααξή» (ρωξίο διαδή ηλ

αξνπζία ύιο) πεξζπκκεηξή εωξία Yang-Mills α ηνλ βξήε

κ κδελό. Έηζ «ααξή» SYM εωξία (ρωξίο ύι) δελ ζάε

ηλ πεξζπκκεηξία.

( 1) F tr

'cont d

ΣΗΜΕΙΩΣΗ:



20/3/2011 7

η ζπλέρεα εωξνύκε:

• Μ: Ρκάλα νιιαιόηηα, δάζηαζο

• : Εμωηεξή αξάγωγνο , : ζππγήο ηο

• , : Ο ρώξνο ηωλ

d d d

pV 0,1, 2,..., p n p forms

Είζο ηνπο πεξζπκκεηξνύο ηειεζηέο:

1Q d d 2 ( )Q i d d (14 )a (14 )b

Κα ηνλ ηειεζηή Η:

(δξα ζηα ) H dd d d

(14 )c

ύκθωλα κε ην ιήκκα Poincare είλα:2 2

0d d

, νόηε:2 2

1 2Q Q H 1 2 1 2 2 1{ , } 0Q Q Q Q Q Q (15 )a (15 )b

νπ ανξίνπλ ηλ πεξζπκκεηξή άιγεβξα.

p forms

'cont d




20/3/2011 8

Η νκνηκία ( parity) p ανξίε ην αλ έρνπκε κνόλν ή θεξκόλν:

• p = άξηνο κνόλν

• p = εξηηόο θεξκόλν

Θεωξνύκε η ιεία α ξαγκαηή ζπλάξηζ h α η κεηαβιηή

.t R

Mέζω ηωλ ζρέζεωλ:

ht ht

t d e de

ht ht

t d e d e ,(16 )a (16 )b

Οξίνπκε ηνπο λένπο πεξζπκκεηξνύο ηειεζηέο:

1t t t Q d d , 2 ( )t t t Q i d d (17) (18)

Όκωο:2 2 0t t d d

2 2

1 2t t t Q Q H

1 2

{ , } 0t t

Q Q t (19)

'cont d ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ



20/3/2011 9

Η λέα Υακιηνλαλή είλα:t t t t t H d d d d

(20)

ύκθωλα ηώξα κε ηλ εωξία Hodge: dimker p p B (21)

Η ζππγία κε ηνλ όξν άλε ην θάζκα ηνπ λα εμαξηάηα αό

ην t, ν κδελνί όκωο ρώξν (null spaces) ηνπ α ηνπ ηαπηί-

νληα, νόηε:

ht e t H

t H H

( ) dim ker ( ) dim ker p p p p B t t B (22)

Αξκόο κδελώλ δνηκώλ αξκό κδελώλ δνηκώλt H H p B

Η δέα ηνπ Witten ήηαλ, κειεηώληαο ην θάζκα ηνπ γα κεγάια

t (όνπ αινπζηεύεηα αξεηά), λα έζε έλα άλω θξάγκα ζηνλ α-

ξκό (Betti), ζε ζρέζ κε ηα ξίζκα ζκεία ηο h.

t H

p B




20/3/2011 10

ε άε ζκείν p ηο Ρκάλαο νιιαιόηηαο Μ, ειέγνπκε

κα νξναλνλή βάζ αό εθαηόκελα αλύζκαηα ( )k a p

Θεωξνύκε ηα ζαλ ηειεζηέο α ζπκβνιίνπκε κε ηνπο

ζππγείο ηειεζηέο .

( )k a p ( )k a p

( )k a p

Σειεζηήο δκνπξγίαο( )k a p

Σειεζηήο αηαζηξνθήοΦεξκνλίνπ

Η Υακιηνλαλή γξάθεηα:t H

( )ht ht

t t t t t H d d d d e dd d d e

2

2 2

,( ) [ , ]i j

ii j

D hdd d d t dh t a a

D D j

2 2( ) ( )( ) ( )ij

i j

h hdh gradh

όνπ:

(23)

'cont d




20/3/2011 11

t H V

dd d d

22 2

,

[ , ] ( )i j

ii j

D hV t a a t gradh

D D j

(24)

t H Σειεζηήο ηύνπ Schrodinger

(V είλα ν όξνο ηο

«δπλακήο ελέξγεαο»)

Γα κεγάια t 2 2( )V t gradh (25)

Ο όξνο ηόηε γίλεηα νιύ κεγάινο νδγώληαο ζε ιύζεο κδε-

λώλ δναηαζηάζεωλ. Απηό ανηξέεηα ζηλ εξνρή ηωλ ξίζ-

κωλ ζκείωλ , όνπ ν ζπληειεζηήο ηνπ κδελίεηα.

V

( 0)dh 2t

Γα κεγάια ινόλ t ν δνζπλαξηήζεο ηνπ ζπγεληξώλνληα,

αηά άνν ηξόν, νληά ζηα ξίζκα ζκεία ηο ht H




12

Μνξνύκε λα αλαιύζνπκε ηλ αζπκηωηή ζπκεξθνξά ηωλ δνηκώλ,

αλαηύζζνληαο ζε δπλάκεο ηνπ , γύξω αό ηα ξίζκα ζκεία ηο h.1

t

Η ζπλάξηζ h, ( κ-εθπιζκέλ ζπλάξηζ Morse) δαέηε ηο δόηηεο:

• Όια ηα ξίζκα ζκεία ηο είλα ανκνλωκέλα.

• Όια ηα ξίζκα ζκεία ηο είλα κ-εθπιζκέλα.

Έζηω: Αξκόο ξίζκωλ ζκείωλ ηο h κε δείη p p M

Ολνκάνπκε: n-νζηή κξόηεξ δνηκή ηνπ ηειεζηή( ) ( )n

p t t H

Γα κεγάια t:( ) ( )

( ) ( )

2( ) ( ...)

n n p pn n

p p

B C t t A

t t (26)

'cont d

Ο αξκόο Betti = Αξκό ηωλ νπ είλα κδέλ p B ( ) ( )n

p t

Ο Αξκόο ηωλ κδελόκελωλ δελ είλα κεγαιύηεξνο αό

ηνλ αξκό ηωλ κδελόκελωλ (ζρέζ 26)

( ) ( )n p t

( )n

p A

Αξκόο κδελόκελωλ = (Αξκόο ξίζκωλ

ζκείωλ ηο h κε δείη p.)

( ) ( )n

p t p M Κα όωο α δνύκε αξαάηω:

20/3/2011 ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ



20/3/2011 13

2 3

1

1( ) (0) [ ]

2

n

i i i

i

h h O

(27) γα άναi

ηλ εξνρή ινόλ ηνπ ξίζκνπ ζκείνπ Υακιηνλαλή ξνζεγγίεηα αό

ηλ έθξαζ:

2 2 2 2

2( [ , ])

i

i

i i

t i i

i

H t t a a

(28) , ή

( )t i i i

i

H H t K

22 2 2

2 ii

i i H t

[ , ] j j

j K a a

(29)

i

H Υακιηνλαλή ελόο αινύ αξκνλνύ ηαιαληωηή

'cont d

ηλ εξνρή ελόο ξίζκνπ ζκείνπ p, κνξνύκε λα εζάγνπκε Επιείδεεο ζπληεηαγκέλεο

ειέγνληαο λα είλα: α αλαηύζζνπκε η κεηξή κέρξ όξνποi

( ) 0i p 2

i

2 2 231 1 2 2 ...

( ) (0) [ ]2

n nih h O

Λήκκα ηνπ Morse ή




20/3/2011 14

Σώξα: [ , ] 0i i δξα ζην νκκάη ηο πκαηνζπ-

λάξηζο νπ βξίζεηα κξνζηά αό

ην

i H

p form

Ο δνηκέο ηνπ α είλα ην άξνζκα ηωλ δνηκώλ

ηνπ α απηώλ ηνπ «δνξωηνύ όξνπ»t H

i H i it K

Ο αληίζηνρεο δνηκέο είλα:

i H (1 2 )i it N κε 0,1, 2...i N

i K 1 , νόηε:

t H [ (1 2 ) ]i i i i

i

t N n 1in 0,1, 2...i N , ,

Αξκόο εηώλ in p

Γα ην κδελζκό ηωλ δνηκώλ ηνπ ααηνύκε λα είλα ,

α είζο ειέγνπκε λα είλα:0i N t H i

i in sign

(30)




20/3/2011 15

Ο ηειεζηήο έρε κία αξβώο κδελή ιύζ, ζηλ εξνρή ηνπ

ξίζκνπ ζκείνπ, αλ απηό έρε δείη ίζν κε p.

Ο δναηαζηάζεο ηνπ κνξεί λα βξίζνληα ζηλ εξνρή ν-

νπδήνηε ξίζκνπ ζκείνπ. Γα άε ξίζκν ζκείν κε δείη p, έρνπκε κα κδελή δνη-

κή νπ αληζηνρεί ζε έλα .

Ο νιόο αξκόο ηωλ κδελώλ ζνύηα κε ηνλ αξ-

κό ηωλ ξίζκωλ ζκείωλ κε δείη p.

Αλ ν πνινγζκόο ήηαλ αξβήο:

Αξκόο κδελώλ =

Οξζκέλα αό ηα κδελά

κνξεί λα κλ

πθίζηαληα ιένλ

(Αζελείο αλζόηηεο Morse)

p p B M

t H

t H

p forms

p forms

p forms

p B

p form

1

2


Witten Morse

Documents