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Inhalt 1-1
Stand: 7.05.2013 [email protected]
Inhalt
Inhalt 1-1
1. Charakteristik der Windstrmung 1-1
1.1. Grundlagen der Strmungsmechanik 1-1
1.1.1. Eigenschaften der Luft 1-1
1.1.2. Bewegung von Strmungen 1-1
1.1.3. Grundgleichungen der Strmung 1-3
1.1.4. Laminare und turbulente Strmungen 1-4
1.1.5. Strmungsgrenzschicht 1-5
1.1.6. Strmungsablsung 1-6
1.2. Statistische Beschreibung des Zufallsprozesses 1-6
1.2.1. Eindimensionale Beschreibung 1-6
1.2.2. Mehrdimensionale Beschreibung 1-7
1.3. Extremwerttheorie 1-7
1.4. Baupraktische Regelungen fr das Windklima in Europa 1-9
2. Quasistatische Windlastformulierung 2-12
2.1. Windkrfte als Folge von Druckdifferenzen 2-12
2.2. Aerodynamische Formbeiwerte 2-12
2.2.1. Kraftbeiwerte 2-13
2.2.2. Druckbeiwerte 2-13
2.3. Admittanzanstze 2-14
3. Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-15
3.1. Benreaktion 3-15
3.1.1. Dynamik der Windfelder 3-15
3.1.2. Dynamik der Strukturen 3-17
3.1.3. Bestimmung der dynamischen Bauwerksreaktionen 3-18
3.1.4. Windlastdefinition fr schwingungsanfllige Baukrper nach
DIN EN 1991-1-4:2010
und DIN EN 1991-1-4:2010/NA 3-18
3.1.5. Berechnungsbeispiel zur Bestimmung der Benreaktion
3-20
3.2. Wirbelerregte Querschwingungen 3-21
3.2.1. Karmansche Wirbelstrasse 3-22
3.2.2. Aerodynamische Kraft infolge Wirbelablsung 3-25
3.2.3. Einflussfaktoren auf die aerodynamische Erregerkraft aus
Wirbelablsung 3-27
3.2.4. Berechnungsverfahren zur Bestimmung der wirbelerregten
Schwingungen 3-28
4. Literatur 4-30
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Charakteristik der Windstrmung 1-1
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1. Charakteristik der Windstrmung
1.1. Grundlagen der Strmungsmechanik
1.1.1. Eigenschaften der Luft
Luft ist ein Gas und daher streng genommen kompressibel. Die
Dichte der Luft
ist nicht konstant, sondern variiert abhngig von der
Lufttemperatur und dem
Luftdruck:
m
kg
TR
p
l
dabei sind: p Luftdruck [N/m]
Rl Gaskonstante der trockenen Luft [Nm/(kgK)]
T Temperatur [K]
Im weiteren Verlauf dieses Kapitels wird sich zeigen, dass die
Luftdichte einen
linearen Einfluss auf die resultierenden Windlasten hat. Aus
diesem Grund ist
die Abhngigkeit von Luftdruck und Temperatur prinzipiell bei der
Lastermitt-
lung nach obiger Gleichung zu bercksichtigen. Im Bauwesen wird
jedoch zu-
meist auf der sicheren Seite mit einem einheitlichen Luftdruck
von =1,25
kg/m gerechnet.
Aufgrund der direkten Abhngigkeit vom vorherrschenden Luftdruck,
ist die
Dichte darber hinaus indirekt abhngig von der
Strmungsgeschwindigkeit.
Geschwindigkeitsschwankungen bis ca. 50 m/s rufen jedoch nur
vergleichsweise
geringe nderungen der Luftdichte von = 0,01 kg/m hervor. Da
solche
Windgeschwindigkeiten nur in sehr exponierten Lagen berhaupt
erreicht wer-
den knnen, wird in der Bauwerksaerodynamik die Dichtenderung,
die durch
die Geschwindigkeit hervorgerufen wird, vernachlssigt.
1.1.2. Bewegung von Strmungen
Die Bewegung von Strmungsteilchen wird wie in der Mechanik bzw.
Dynamik
durch die Angabe der Koordinaten einzelner infinitesimal kleiner
Volumenele-
mente in Abhngigkeit von der Zeit beschrieben.
Ist der Geschwindigkeitsvektor v unabhngig von der Zeit, also in
einem Punkt
des Strmungsfeldes zu allen Zeiten gleich, so nennt man die
Strmung statio-
nr. Eine instationre Strmung hingegen ist von der Zeit abhngig,
wie z. B.
der Wind. Eine Momentaufnahme einer instationren Strmung zu
einem be-
stimmten Zeitpunkt kann durch Stromlinien beschrieben
werden.
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Charakteristik der Windstrmung 1-2
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Abbildung 1-1: Stromlinien eines Strmungszustandes und lokale
Geschwindigkeitvektoren
Bahnlinien stellen den Weg dar, den die einzelnen
Strmungsteilchen im Laufe
der Zeit nehmen. Sie sind also eine teilchenabhngige und keine
zeitabhngige
Beobachtung. Bahnlinien kann man sichtbar machen, indem man der
Strmung
einzelne sichtbare Partikel beimischt. Bei einer Beobachtung
einer Oberfl-
chenwasserstrmung knnen das einzelne schwimmende Partikel (z.B.
Alumi-
niumpulver) sein, in einer Luftstrmung knnen dies beispielsweise
Partikel
eines lnebels sein.
Im Sonderfall der eine stationre Strmung fallen Bahnlinien und
Stromlinien
zusammen.
Abbildung 1-2: Bahnlinien eines Strmungszustandes
Bestimmte instationre Bewegungen lassen sich durch eine
Koordinatentrans-
formation als stationre Bewegungen darstellen. Ein einfach
nachzuvollziehen-
des Beispiel ist die Umstrmung eines Schiffsrumpfes:
Fr einen am Ufer stehenden ruhenden Beobachter erscheint die
Strmung um
das vorbeifahrende Schiff als eine instationre. Er sieht die
Bahnlinien der
Strmung und das Strmungsbild ist zu jedem Zeitpunkt ein anderes.
Einem
Beobachter auf dem Schiff erscheint die Strmung um den Bug
stationr.
Stromlinien und Bahnlinien sind zu jeder Zeit gleich und das
Strmungsbild
ndert sich im Laufe der Zeit fr ihn nicht.
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Charakteristik der Windstrmung 1-3
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1.1.3. Grundgleichungen der Strmung
1.1.1.1 Kontinuittsgleichung
Es wird eine Stromrhre in einem stationren Strmungsfeld
betrachtet, die
durch Stromlinien begrenzt ist. Die jeweils umschlossenen Flchen
sind A1 und
A2. Da sich bei stationrer Strmung die Masse in der Rhre nicht
ndert und
ber den Mantel keine Masse ein- oder ausfliet, kann der
Massenfluss durch
die Flchen gleichgesetzt werden:
1 1 1 = 2 2 2
Fr eine inkompressible Strmung gilt 1 = 2. Die
Kontinuittsgleichung ver-
einfacht sich somit zu:
1 1 = 2 2
und drckt daher aus, dass die Durchstrmung einer Stromrhre einer
antipro-
portionalen Beziehung zwischen Querschnittsflche und
Geschwindigkeit un-
terworfen ist, d.h. bei groem Querschnitt ist die
Geschwindigkeit klein und
umgekehrt.
Abbildung 1-3: Bahnlinien eines Strmungszustandes
Die Kontinuittsgleichung stellt die wesentliche Beziehung bei
der Auslegung
von Strmungsfhrenden Kanlen dar.
1.1.1.2 Bernoullische Gleichung (fr eine stationre Strmung)
Die Bernoullische Gleichung beschreibt die auf ein
Strmungsteilchen wirken-
den Krfte in einer stationren und reibungsfreien Strmung,
welches sich ent-
lang einer Stromlinie von Punkt 1 nach Punkt 2 bewegt.
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Charakteristik der Windstrmung 1-4
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Abbildung 1-4: Stromlinie und Strmungsgren in den Punkten 1 und
2
Mit einem Krftegleichgewicht, der Integration ber den Weg und
einigen Um-
formungen erhlt man die Bernoullische Gleichung:
1 +
212 + 1 = 2 +
222 + 2 = .
dabei sind: pi statischer Druck Druckenergie
gzi geodtische Druck Potentielle Energie
/2u Geschwindigkeitsdruck Kinetische Energie
i Punkt auf der Stromlinie
Die Summe aus statischem und Geschwindigkeitsdruck wird als
Gesamtdruck
bezeichnet. Fr den Geschwindigkeitsdruck ist darber hinaus die
Bezeichnung
Staudruck gebruchlich.
1.1.4. Laminare und turbulente Strmungen
Von laminarer Strmung oder auch Schichtenstrmung spricht man,
wenn sich
die einzelnen Strmungsschichten getrennt voneinander bewegen.
Sie knnen
sich zwar mit einer unterschiedlichen Geschwindigkeit bewegen,
sie vermischen
sich jedoch nicht. Sichtbar machen kann man eine laminare
Strmung im Was-
ser wenn man einer Farbe einleitet und sich dann ein Farbfaden
innerhalb des
Strmungsfeldes ausbildet.
Bei Erhhung der Geschwindigkeit fngt der Farbfaden an zu
flattern und es
wird ein Zustand erreicht, bei dem das gesamte Strmungsfeld
gefrbt ist. Dann
spricht man von einer turbulenten Strmung. Der
Strmungshauptrichtung sind
rumliche Schwankungen berlagert. Diese Schwankungen knnen
regelmig
oder auch stochastisch sein (Bild 2.13). Die
Strmungsgeschwindigkeit wird
dann mit einem stationren und einem instationren Anteil nach
folgenden Glei-
chungen getrennt fr die jeweiligen Geschwindigkeitskomponenten
u, v, w be-
schrieben:
= +
= +
= +
Dabei bezeichnet die Komponente u die Windgeschwindigkeit in
Windrichtung,
die Komponenten v und w die jeweils zur Windgeschwindigkeit
orthogonalen
Komponenten. Die stationren Anteile werden mit Querstrich
gekennzeichnet
Stromlinie
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Charakteristik der Windstrmung 1-5
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(Mittelwert), die fluktuierenden Anteile mit Hochkomma
(Schwankungsanteil).
Abbildung 1-5: Knstlich generierter Zeitverlauf einer
Windgeschwindigkeitskomponente u
Die Umstrmung von Gebuden und die daraus resultierenden
Kraftwirkungen
werden von der Turbulenzstruktur des Windes beeinflusst. Mit der
mittleren
Geschwindigkeit und der Standardabweichung lsst sich der
sogenannte
Turbulenzgrad Iu fr die Hauptwindrichtung wie folgt
berechnen:
=
Der Turbulenzgrad ist eine wichtige Gre zur Beschreibung der
Turbulenz-
struktur, die z.B. auch bei der Konzeption eines Modellversuchs
bercksichtigt
werden muss. Sie ist auerdem die wesentliche Gre bei der
Erfassung von
Lastspitzen und zur korrekten Modellierung von dynamisch
geprgten System-
antworten.
1.1.5. Strmungsgrenzschicht
Fr Rohrstrmung oder Strmungen entlang von Wnden muss die Wirkung
der
Reibung bercksichtigt werden. An der Wand haftet die Strmung,
whrend in
einem gewissen Abstand zur Wand die Geschwindigkeit die der
freien Auen-
strmung erreicht. Die Strmung in der wandnahen Schicht wird als
Grenz-
schicht bezeichnet.
Abbildung 1-6: Grenzschichtausbildung an der reibungsbehafteten
Wand
Der Einfluss der Wandreibung klingt asymptotisch nach auen ab.
Der Grenz-
schichtrand ist dort erreicht, wo die Geschwindigkeit nur noch 1
Prozent vom
Wert der freien Auenstrmung abweicht.
Parallele Bahnlinien innerhalb der Grenzschicht weisen auf eine
laminare Str-
mung. Nach einer gewissen Lauflnge findet ein Umschlag in eine
turbulente
Grenzschicht statt, was zu einer Formvernderung im
Grenzschichtprofil fhrt.
In der Baupraxis ist nur die turbulente Grenzschicht von
Bedeutung.
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Charakteristik der Windstrmung 1-6
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1.1.6. Strmungsablsung
Strmungsablsungen knnen dann beobachtet werden, wenn ein Medium
ent-
lang einer Wand in Richtung wachsenden Druckes strmt, z.B. in
einem Dif-
fusor oder um einen Kreiszylinder. Die Strmungsgeschwindigkeit
auerhalb
der Grenzschicht nimmt stetig ab und der Druck steigt nach
Bernoulli dement-
sprechend an. Da der Gesamtdruck in der Auenstrmung und in der
Grenz-
schicht gleich ist, steigt auch der Druck in der Grenzschicht an
und die Teilchen
des Mediums werden abgebremst. Die Strmung kommt in
unmittelbarer
Wandnhe gnzlich zum erliegen, so dass die Teilchen die
Grenzschicht von der
Wand abdrngt: die Strmung lst ab. Hinter dem Ablsepunkt strmt
das Me-
dium an der Wand entgegen der Strmungsrichtung.
Ist der Druckanstieg zu klein, wie z.B. bei einem Diffusor mit
kleinem ff-
nungswinkel, kann der Strmungsimpuls in Strmungsrichtung
aufrecht erhalten
werden und die Strmung lst nicht ab. Bei der Umstrmung scharfer
Kanten
lst die Strmung immer ab (siehe Bild 2.3).
1.2. Statistische Beschreibung des Zufallsprozesses
1.2.1. Eindimensionale Beschreibung
Da es sich bei dem Lastfall Wind um einen Zufallsprozess auf der
Einwirkungs-
seite handelt, bedient man sich zu seiner vollstndigen
Beschreibung blicher-
weise statistischer Methoden.
Bereits in Abbildung 1-5 wurde ein exemplarischer Zeitschrieb
einer Windge-
schwindigkeitsreihe dargestellt. Fr eine nhergehende
statistische Beurteilung
kann nun die Dichteverteilung der auftretenden Geschwindigkeiten
angegeben
werden, und man kann fr bliche Windzeitreihen feststellen, dass
die zugrun-
deliegende Verteilung Gau ist. Aus dieser Erkenntnis folgt, dass
sowohl die
Lage als auch die Form der Verteilung vollstndig durch
Mittelwert und Stan-
dardabweichung beschrieben werden kann.
Abbildung 1-7: Knstlich generierter Zeitverlauf einer
Windgeschwindigkeitskomponente u
Entsprechend der Wahrscheinlichkeitstheorie fr normalverteilte
Prozesse kn-
nen somit aus diesen Gren diejenigen Windgeschwindigkeiten
abgeleitet wer-
den, die zu beliebigen berschreitenswahrscheinlichkeiten gehren
(hufig er-
forderlich fr das Sicherheitskonzept).
...
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Charakteristik der Windstrmung 1-7
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Zeitabhngige Funktionen knnen unterschiedlicher Natur sein, die
Autokorre-
lationsfunktion gibt Aufschluss darber ob es sich bei einer
zeitabhngigen
Funktion um einen Trend, ein rein stochastisches oder ein
periodisches Signal
handelt.
1.2.2. Mehrdimensionale Beschreibung
Neben der Zeitabhngigkeit ist fr die Bewertung der
resultierenden Windbelas-
tung auch die rumliche Ausdehnung der bewegten Luftmassen im
Bereich des
betrachteten windbeaufschlagten Bauwerks oder Bauteils
wesentlich. Eine wich-
tige Bedeutung kommt hierbei dem Korrelationsgrad der
einwirkenden Windge-
schwindigkeiten an verschiedenen Einwirkungspunkten zu.
Abbildung 1-8: Beispiel fr dreidimensionale knstliche
Windfelder
1.3. Extremwerttheorie
Das Sicherheitskonzept der europischen Windlastnormung fordert
fr Bemes-
sungszwecke die Verwendung von charakteristischen
Geschwindigkeitswerten
mit einer jhrlichen Nichtberschreitenswahrscheinlichkeit von
98%. Die zuge-
hrige statistische Wiederkehrperiode liegt damit bei R=50
Jahren.
Zur Bestimmung der charakteristischen Gren auf dem geforderten
Sicher-
heitsniveau wurde von Gumbel (1954) eine vergleichsweise einfach
zu hand-
habebene Vorgehensweise beschrieben, um die Formparameter einer
sog. Typ I-
Extremwertverteilung anhand von gemessenen jhrlichen
Extremwerten abzu-
leiten.
Die Summenhufigkeitsfunktion der Typ I-Extremwertverteilung hat
die Form:
() = { [
]} (1.1)
dabei sind: u der Modalwert der Verteilung
a der Skalierwert
Die Wiederkehrperiode R kann direkt aus der
Summenhufigkeitsfunktion FU(u)
berechnet werden:
=1
1() (1.2)
Substituiert man nun in Gleichung (1.1) das FU(U) durch
Umstellung von Glei-
chung (1.2), so erhlt man die zur Wiederkehrperiode R zugehrige
Windge-
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Charakteristik der Windstrmung 1-8
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schwindigkeit UR:
= +1
{ [ (1
1
)]} (1.3)
Im Falle von ausreichend groen Wiederkehrperioden R, kann
Gleichung (1.3)
vereinfacht geschrieben werden:
= +1
() (1.4)
Zur Anwendung der Gumbel-Methode wurde in [5] folgendes Vorgehen
be-
schrieben:
Bestimmung des Hchstwertes der Windgeschwindigkeit Ui fr
jedes
Kalenderjahr
Sortierung der Geschwindigkeitswerte in aufsteigender
Reihenfolge,
entsprechend der Ordnungszahlen: 1,2,mN
Jedem Geschwindigkeitswert Ui wird eine Nichtberschreitens-
wahrscheinlichkeit pi zugeordnet, gem pi m/(N + 1)
Die reduzierte Wahrscheinlichkeit kann nun zu yi = ln( ln pi)
be-
rechnet werden
Die Windgeschwindigkeiten Ui knnen nun ber der reduzierten
Wahr-
scheinlichkeit yi aufgetragen werden.
Die skizzierte Vorgehensweise stellt eine praktische Alternative
zur Verwen-
dung von Gumbel-Wahrscheinlichkeitspapier dar, da die
Darstellung und die
Bestimmung der Regressionsfunktion nun in linearer Darstellung
erfolgen kn-
nen.
Zunchst ist zu prfen, ob die verwendeten Extremwerte tatschlich
entspre-
chend der angenommenen Typ 1-Extremwertverteilung verteilt sind.
Dies ist der
Fall, wenn sich die Daten im Gumbelpapier bzw. im linearen
Mastab ber die
reduzierte Wahrscheinlichkeit in guter Nherung durch eine Gerade
approximie-
ren lassen.
Aus der Regressionsgeraden knnen nun die Parameter fr den
Skalierungswert
a und den Modalwert u ermittelt. Der Ordinatenabschnitt
entspricht dem Mo-
dalwert u, die Steigung der geraden entspricht dem Kehrwert des
Skalierungs-
faktors a.
Der zu Wiederkehrperiode R zugehrige Wert der
Windgeschwindigkeit kann
nun bestimmt werden mittels der Gleichungen (1.3), bzw.
(1.4).
In der Abbildung Abbildung 1-9 ist beispielhaft die Auswertung
von meteorolo-
gischen Winddaten dargestellt. Die Ablesung des
charakteristischen Geschwin-
digkeitswertes erfolgt fr p=0,98 bei einer reduzierten
Wahrscheinlichkeit von
y=-ln(-ln(0,98))=3,91.
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Charakteristik der Windstrmung 1-9
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Abbildung 1-9: Exemplarische Auswertung der jhrlichen extremen
Windgeschwindigkei-
ten (10-mintiges Mittel) in H=10,0m Hhe ber einen Zeitraum von
T=50 Jahren bei einer
reduzierten Wahrscheinlichkeit von y=3,91 (entsprecht einer
Nicht-berschreitens-
wahrscheinlichkeit von p=0,98)
1.4. Baupraktische Regelungen fr das Windklima in Europa
Die europische Windlastnormung ist seit Beginn des Jahres 2011
im Normen-
werk Eurocode 1-1-4 vereinheitlicht. Neben diesem Basisdokument,
das in
Deutschland als DIN EN 1991-1-4 [2] erschienen ist, haben die
Mitgliedsstaaten
die Mglichkeit in bestimmten Grenzen abweichende Werte oder auch
Metho-
den fr ihre Staatsgebiete festzulegen. Dies geschieht in Form
der sog. Nationa-
len Anhnge, in Deutschland ist dies im Falle der Windlastnorm
die DIN EN
1991-1-4/NA:2010 [3].
Bei der Bestimmung von Windlasten sind also generell die
landesspezifischen
Regelungen ber die Nationalen Anhnge zu beachten, diese haben
Vorrang
gegenber den Angaben im Basisdokument.
Grundstzlich werden die Windlastzonenkarten in den Nationalen
Anhngen
behandelt. Fr Deutschland beispielsweise sieht die
1991-1-4/NA:2010 [3] da-
bei vier unterschiedliche Windlastzonen vor, fr die die
zugehrigen Basiswerte
der mittleren Windgeschwindigkeit (Mittelungszeit t=600s, Hhe
der Messung
in z=10,0m, Gelndekategorie II) angegeben werden.
y = 1,8104x + 17,667
0
5
10
15
20
25
30
-2 -1 0 1 2 3 4 5
Win
dgs
chw
ind
igke
it in
m/s
Reduzierte Wahrscheinlichkeit y
Exemplarische Extremwertstatistik
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Charakteristik der Windstrmung 1-10
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Abbildung 1-10: Windzonenkarte fr Deutschland [3]
In Fllen, in denen die Windlastzonenkarte nach Abbildung 1-10 zu
grob er-
scheint, knnen Einstufungen entsprechend der Verwaltungsgrenzen
beim Deut-
schen Institut fr Bautechnik heruntergeladen werden:
www.dibt.de/de/Data/TB/Windzonen_nach_Verwaltungsgrenzen.xls
Fr die Bestimmung der hhenabhngigen Geschwindigkeits- und
Turbulenz-
profile ist die Gelndesituation im Umfeld des Bauvorhabens zu
kategorisieren.
Hierzu wird zwischen vier sog. Gelndekategorien (I-IV, s.h.
Abbildung 1-11)
unterschieden, zustzlich definiert der deutsche Nationale Anhang
zwei Misch-
profile (Kste und Binnenland).
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Charakteristik der Windstrmung 1-11
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Abbildung 1-11: Gelndekategorien fr Deutschland [3]
Fr die Definition der Mischprofil wird auf die DIN EN
1991-1-4/NA:2010 [3]
verwiesen.
Die fr die baupraktische Bemessung im Normalfall magebenden
Hhenprofile
des Benwindgeschwindigkeitsdruckes knnen mit den zuvor genannten
Einstu-
fungen spezifisch fr den betrachteten Standort des Baukrpers
festgelegt wer-
den. Hierzu werden fr die einzelnen Gelndekategorien die
entsprechenden
Formel in
Tabelle 1 Berechnungsformeln fr hhenabhngige aerodynamische
Profile
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Quasistatische Windlastformulierung 2-12
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2. Quasistatische Windlastformulierung
2.1. Windkrfte als Folge von Druckdifferenzen
Umstrmte und durchstrmte Baukrper rufen aufgrund ihres
Strmungswider-
standes eine Druckdifferenz im Strmungsfeld hervor. Im Abschnitt
1.1.3 wurde
in diesem Zusammenhang die Bernoullische Energiegleichung
eingefhrt.
Windkrfte entstehen grundstzlich aus solchen Druckdifferenzen.
Fr die Nor-
mierung von Windwirkungen auf standardisierte Geometrien, werden
aerody-
namische Beiwerte eingefhrt, die letztendlich immer die
auftretenden Druck-
differenzen auf geometrische Gren und die Anstrmbedingungen
beziehen.
2.2. Aerodynamische Formbeiwerte
Die kinetische Energie des zuvor beschriebenen dreidimensionalen
Windge-
schwindigkeitsfeldes ruft die individuelle Bauteilbelastung
hervor. Die effektiv
einwirkenden Lastkomponenten sind ihrerseits von der
Bauteilgeometrie, der
Einbausituation, der aerodynamischen Dichtigkeit gegenber
windgeschtzten
Bereichen (z.B. Innenrumen), etc. abhngig.
Abhngig von dem betrachteten Krper der relevanten Windwirkung
und der
Mglichkeit zur Erfassung dieser Windwirkungen, werden
unterschiedliche
Formbeiwerte verwendet.
Im Falle geschlossener Oberflchen, knnen sehr einfach die
Differenzdrcke
direkt erfasst werden. Die zugehrigen Beiwerte werden dann als
(Differenz)-
druckbeiwerte bezeichnet. Bei Zusammengesetzten Bauteil
(beispielsweise
Fachwerktrger, Brckenquerschnitte) macht eine Messung der
Oberflchendr-
cke aufgrund der Vielzahl der beteiligten Flchen in den meisten
Fllen wenig
Sinn. Stattdessen werden in diesen Fllen die Gesamtwindwirkungen
(Krfte,
Momente) fr die Bestimmung von sog. Kraft- und Momentenbeiwerten
ermit-
telt.
Die Unterscheidung, ob Kraft- und Druckbeiwerte verwendet werden
sollen
resultiert darber hinaus aus dem Bemessungsziel. Kraftbeiwerte
werden im
Wesentlichen zur Beschreibung von resultierenden
Windlasteffekten, wie z.B.
von Fundamentkrften von Hochhusern oder Brckenbauwerken
verwendet.
Druckbeiwerte hingegen beschreiben die lokalen Flchenlasten auf
Bauwerks-
oberflchen, z.B. im Fassaden- oder Dachbereich.
Aus zahlreichen Messungen (vorwiegend im Windkanal) sind die
aerodynami-
schen Beiwerte fr frei angestrmte (nicht verschattete) Bauteile
und Bauwerks-
formen in der Regel gut dokumentiert. Mit ihrer Hilfe knnen die
Wirkungen
der Windbelastung hinsichtlich unterschiedlicher
Kraftwirkungsrichtungen
(Kraftbeiwerte cD, cL und cM) oder hinsichtlich der
individuellen Druckvertei-
lung (Druckbeiwerte cp,e, cp,i und cp,net) bezogen auf ein
definiertes Referenzma
zur Bercksichtigung von Mastabseffekten bestimmt werden.
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Quasistatische Windlastformulierung 2-13
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Die Anstrmcharakteristik ist bei allgemeinen Untersuchungen im
Falle von
Kraftbeiwerten zumeist weitgehend laminar (also turbulenzfrei)
und im Falle
von Druckbeiwerten fr die uere Bauwerkshlle zumeist mig
turbulent,
entsprechend der natrlichen Strmungsgrenzschicht im lndlichen
Gebiet (Ge-
lndekategorie II).
In den wenigsten Fllen entspricht bei baupraktischen Belangen
die Zusammen-
setzung des einwirkenden Windes den idealisierten Annahmen der
freien An-
strmung. Im Normalfall werden jedoch die entsprechenden Beiwerte
trotzdem
verwendet und mit dem an die individuelle Situation angepassten
regionalen
Windfeld kombiniert. Fr bliche Formen sind die aerodynamischen
Beiwerte
weitgehend bekannt und sie knnen Tabellenwerken oder Normen
entnommen
werden. Fr ungewhnliche Geometrien sind Windkanalversuche ein
geeignetes
Instrument, um realistische Strmungsbeiwerten zu erlangen.
2.2.1. Kraftbeiwerte
Entsprechend Ihrer Windwirkung knnen generell unterschiedliche
Kraft- und
Momentenbeiwerte fr die Lastbeschreibung verwendet werden. Im
Brckenbau
hat sich die Verwendung von zwei aerodynamischen Windkrften
(cDrag, d.h. in
Windrichtung und cLift, d.h. senkrecht zum Wind, entgegen der
Erdschwere) und
eines Momentenbeiwertes (cMoment, d.h. um die Brckenachse
tordierend) einge-
brgert.
Das Vorgehen zur Ermittlung der Kraftbeiwerte ist
vergleichsweise einfach. Es
werden die resultierenden Krfte z.B. im Bereich von
Brckenauflagern mittels
geeigneter Sensoren gemessen und mit einer geometrischen Gre
(z.B. Breite
des Brckendecks) sowie dem einwirkenden Bengeschwindigkeitsdruck
nor-
miert. Auf diese Weise erhlt man aerodynamische Beiwerte, die
unabhngig
vom Mastab und der einwirkenden Windgeschwindigkeit gltig
sind.
Bei der Verwendung der Kraftbeiwerte im Rahmen von
Bemessungsaufgaben
ist besonders auf die Gltigkeit der ihnen zugrundeliegen
Modellierung bezogen
auf die Planungsaufgabe zu achten, sowie die korrekte Verwendung
der zur
Normierung verwendeten Bezugsgren zu achten.
2.2.2. Druckbeiwerte
Auf die Oberflche eines Baukrpers wirkt infolge der
Windanstrmung eine
Druckkraft, die sich aus dem Produkt des rtlichen Druckes und
einer Flche
ergibt. Der resultierende Druck auf eine Flche A ergibt sich
durch die Differenz
zwischen dem rtlichen Druck p und dem ungestrten statischen
Referenzdruck
p0. Zur Definition des Druckbeiwertes wird diese Differenz auf
den Staudruck
bezogen:
=0
=
0
2
2
Wichtig bei der Angabe des Druckbeiwertes ist auch hier die
Bezugshhe, in der
die Bezugswindgeschwindigkeit definiert ist.
Zur Ermittlung von Druckbeiwerten werden die zu vermessenden
Oberflchen
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2-14
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mit geeigneten Drucksensoren bzw. mit Messstellen, die ber
druckweiterlei-
tende Schluche mit solchen Sensoren verbunden sind, ausgestattet
und im
Windkanal (ggf. unter Bercksichtigung unterschiedlicher
Anstrmrichtungen)
vermessen. Die auf diese Weise ermittelten Drcke werden mit dem
einwirken-
den Bengeschwindigkeitsdruck normiert. Auf diese Weise erhlt man
aerody-
namische Beiwerte, die unabhngig vom Mastab und der einwirkenden
Wind-
geschwindigkeit gltig sind.
2.3. Admittanzanstze
Als aerodynamische Admittanz wird die bertragung von der
Windstrmung in
Windkrfte verstanden. Dabei wird neben dem zuvor beschriebenen
Kraftbei-
wert auch die Reduktion der Windeffekte fr aufgrund geringerer
Gleichzeitig-
keit der hherfrequenten Strmungsanteile bercksichtigt.
Anschaulich kann die
Benfrequenz im direkten Zusammenhang mit der geometrischen Gre
der
Benballen gesehen werden, so dass sich mit zunehmender Frequenz
die Ab-
messungen der Benanteile verringern, und die Wind beanspruchten
Bauteile
mit abnehmender Gleichzeitigkeit belasten.
Die aerodynamische Vergrerungsfunktion HA(f) wird abhngig von
der Fre-
quenz formuliert. Am weitesten verbreitet ist die von Vickery
verffentlichte
Funktion.
Die aerodynamische Vergrerungsfunktion nimmt Werte zwischen 1
und 0 an,
tatschlich verkleinert sie also die effektive Windwirkung fr
zunehmende Ei-
unwirkungsfrequenzen.
Die Bercksichtigung von aerodynamischen Admittanzen ist
besonders bei der
dynamischen Untersuchung von Bauteilen wichtig, da fr die
Untersuchung von
Benresonanzeffekten eine realistische Bercksichtigung der
maximalen Bau-
teilantworten mglich ist.
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Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-15
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3. Schwingungsanflligkeit von Bauwerken
3.1. Benreaktion
Generell sind mit dem Begriff der Benreaktion die
Zeitabhngigkeit der Belas-
tung des Baukrpers und die damit einhergehende Zeitabhngigkeit
der Last-
wirkung verbunden.
Mit der Fluktuation der Windlastkomponenten auf der Oberflche
des Baukr-
pers gehen zwei wichtige Effekte einher:
1. Die Belastung ist Frequenzabhngig, niedrige Lastfrequenzen
gehen mit
einer stark korrelierten Lastwirkung einher, whrend mit
zunehmender
Lastfrequenz kleinere Benballen auf die Oberflche treffen, die
den
Baukrper nicht mehr gleichzeitig komplett belasten. Je grer
die
windbeaufschlagte Lasteinzugsflche, desto strker ist der
Lastminde-
rungseffekt.
2. Die Bauwerksantwort ist Frequenzabhngig, die Systemantworten
wer-
den im Bereich der Eigenfrequenzen dynamisch berhht.
Besonders
stark kommt dieser Effekt bei niedrigfrequenten und gering
gedmpften
Strukturen zum Tragen.
Fr eine nhere Betrachtung der Windlasteffekte, die sich aus
Benreaktion
ergeben, ist also eine detaillierte Kenntnis der dynamischen
Eingangsgre
(Windfelder) und des belasteten System (Struktur)
erforderlich.
3.1.1. Dynamik der Windfelder
Die Zeitabhngigkeit des Windes kann am anschaulichsten im
Frequenzbereich
beschrieben werden. Die Frequenzbereichsdarstellung ist dabei
nichts anderes
als die Zerlegung eines Zeitverlaufssignals in eine endliche
Zahl von harmoni-
schen Schwingungskomponenten. Der effizienteste Algorithmus zur
berfh-
rung von Zeitsignalen in die Frequenzbereichsdarstellung ist die
Fast-Fourier-
Transformation (FFT). Die Transformation eines beliebigen
Zeitsignals fhrt zu
Amplituden- und Phasenspektren, sie ist eindeutig und umkehrbar
(Inverse
FFT).
Die Frequenzbereichsdarstellung der
Windgeschwindigkeitsamplituden im sog.
Leistungsdichtespektrum kann aufgefasst werden als Energiegehalt
der Einwir-
kungskomponente, die mit den jeweiligen (der Frequenz
entsprechenden) Wie-
derholraten einhergehen. Eine sehr bekannte Darstellung des
meteorologischen
Windgeschwindigkeitsspektrums ist als van-der-Hoven-Spektrum in
der Litera-
tur bekannt geworden. Fr bauwerksaerodynamische Fragestellungen
ist vor
allem der Bereich kurzer Wiederkehrperioden (Sekunden bis wenige
Minuten,
entsprechend ca. 0,01-10 Hz) relevant.
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Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-16
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Abbildung 3-1: Van-der-Hoven Spektrum der
Windgeschwindigkeitskomponenten
Im Bereich dieser Lastfrequenzen kommen beide im Abschnitt 3.1
beschriebe-
nen zeitabhngigen Windlasteffekte (Korrelationsminderung und
Resonanz-
vergrerung) zum Tragen.
Der groe Vorteil der Frequenzbereichsdarstellung von
stochastischen Windge-
schwindigkeitszeitreihen liegt darin, dass sich der zufllige
Charakter allein im
Phasenspektrum abbildet, whrend die Verteilung der
Geschwindigkeitskompo-
nenten im Amplitudenspektrum von der Stochastik unbeeinflusst
bleibt und
lediglich von aerodynamischen Standort- und Windklimatischen
Faktoren ab-
hngt. Im Klartext bedeutet dies, dass wiederholte Messungen der
Windge-
schwindigkeit zu unterschiedlichen Zeitfunktionen fhren werden,
die Amplitu-
denspektren jedoch nahezu identisch ausfallen (vgl. Abbildung
1-8).
Abbildung 3-2: Vergleich von Windereignissen im Zeitbereich
(oben) und im Spektralbe-
reich als Leistungsdichtespektrum (unten)
In den gngigen Windlastnormen werden Leistungsdichtespektren der
Windge-
schwindigkeit fr unterschiedliche Standorte und
Referenzwindbedingungen
angegeben. Sie basieren im Wesentlichen auf zahlreichen
Originalmessungen an
unterschiedlichen Standorten, wie sie von einer Vielzahl von
Autoren dokumen-
tiert wurden. Besonders die von Kaimal beschriebene
dimensionslose Formulie-
rung des Windlastspektrums wird inzwischen bevorzugt in den
Normen ver-
wendet:
()
2 =
6,8
(1 + 10,2 )53
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Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-17
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mit ist:
= ()
()
dabei sind: f Frequenz [Hz]
Lu(z) Integrales Lngenma der Turbulenz in Windrichtung am
Standort in der Bezugshhe z [m/s]
() Mittlere Windgeschwindigkeit am Standort in der Bezugs-
hhe z [m/s]
Die aerodynamischen Kenngren knnen standortabhngig den
Windlastnor-
men, z.B. aus Windzonenkarten und Topographiekategorien
entnommen wer-
den.
3.1.2. Dynamik der Strukturen
Die Relevanz von benbedingten Resonanzantworten hngt bei
Baustrukturen
mageblich von den Eigenfrequenzlagen und Dmpfungswerten ab. Auch
diese
Struktureigenschaften lassen sich im Frequenzbereich elegant in
Form der me-
chanischen Admittanz ausdrcken. Hiermit wird letztlich die
Systemantwort
infolge pulsierender Einheitslasten mit unterschiedlicher
Frequenz beschrieben
und sie stellt somit eine Erweiterung der statischen
Flexibilittsbeziehung (als
inverse der Steifigkeitsmatrix) im Hinblick auf die
Belastungsfrequenz dar.
Ausgehend von der matriziellen Bewegungsgleichung fr harmonisch
(nicht-
phasenverschoben) angeregte Systeme:
+ + = cos( )
Erfolgt die allgemeine Formulierung in der komplexen Zahlenebene
durch Be-
rcksichtigung der Ableitungen:
= 2
=
Die allgemeine Bewegungsgleichung fr beliebige Phasenlagen
ergibt sich zu:
(2 + + ) = eit Hierbei wird aufgrund der Analogie zur Statik der
Klammerausdruck aus der
obigen Gleichung als dynamische Steifigkeit bezeichnet. Durch
die matrizielle
Inversion wird die dynamische Steifigkeit schlielich in die
vollstndige kom-
plexe bertragungsfunktion des Systems HS berfhrt:
() = (2 + + )
1
Der Verlauf der mechanischen bertragungsfunktion fr
unterschiedliche Struk-
turdmpfungen macht deutlich, wie stark die Resonanzwirkung bei
Anregungen
im Bereich der Eigenfrequenz ausfllt. Niedrige
Dmpfungsdekremente von
z.B. =0,01 bis 0,02 treten bei Stahlschornsteinen auf, so dass
hier selbst kleine
Anregungskomponenten zu erheblichen Schwingamplituden fhren
knnen.
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Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-18
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Abbildung 3-3: Exemplarische Darstellung der mechanischen
bertragungsfunktion eines
MDOF-Systems und Frequenzzoom im Bereich der 1.
Eigenfrequenz
3.1.3. Bestimmung der dynamischen Bauwerksreaktionen
Wie zuvor beschrieben, erfolgt in der Bauwerksaerodynamik die
Beschreibung
der dynamischen Einwirkungsgren und des Systemverhaltens am
effektivsten
im Frequenzbereich. Bereits 1965 wurde von Alan Davenport ein
Verfahren
vorgestellt, dass die zuvor beschriebenen Spektralkomponenten
verwendet und
zur Bestimmung der benbedingten Windlastantworten verwendet
werden kann.
Dieses Prinzip wird als Davenportsches Spektralverfahren
bezeichnet und ist in
nahezu unvernderter Form die Standardmethode von heutigen
Windlastnor-
men.
In der nachstehenden Abbildung sind die einzelnen Komponenten
anschaulich
zusammengestellt.
Abbildung 3-4: Davenportsches Spektralverfahren zur Berechnung
beninduzierter Bau-
werksschwingungen
Die wesentlichen Eingangsgren die die Anwendung des Verfahrens
ermgli-
chen, wurden in den vorhergehenden Kapiteln.
3.1.4. Windlastdefinition fr schwingungsanfllige Baukrper
nach
DIN EN 1991-1-4:2010 und DIN EN 1991-1-4:2010/NA
Bei schwingungsanflligen Bauwerken bzw. Bauteilen muss
grundstzlich die
mit den Schwingamplituden einhergehende Laststeigerung aus der
Massentrg-
1,0E-05
1,0E-04
1,0E-03
1,0E-02
1,0E-01
1,0E+00
1,0E+01
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0
Ve
rfo
rmu
ng
[m]
Frequenz [Hz]
Dynamische bertragungsfunktion eines MDOF-Systems
d=0.005 d=0.02 d=0.05
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,35 4,37 4,39 4,41 4,43 4,45 4,47 4,49
Ve
rfo
rmu
ng
[m]
Frequenz [Hz]
Dynamische bertragungsfunktion eines MDOF-Systems (Zoom bei 1.
EF)
d=0.005 d=0.02 d=0.05
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Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-19
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heit der Struktur beim Nachweis bercksichtigt werden. In die
gngigen Nor-
men hat ein an das Davenport-Schema angelehntes Verfahren Einzug
gehalten,
dass gegenber dem im Abschnitt 3.1.3 vorgestellten
Spektralverfahren vor
allem der Einschrnkung auf Systeme mit einem dynamischen
Freiheitsgrad
unterliegt, bzw. sich auf System, die durch Generalisierung auf
ein 1-DOF Sys-
tem hinreichend genau abgebildet werden.
Darber hinaus gelten folgende Einschrnkungen:
- Das Verfahren ist gltig fr vertikale Kragsysteme in der
Grundschwin-
gungsform (z.B. Kamine, Hochhuser, etc.). Es darf nherungsweise
fr
Einfeldtrger in der Grundschwingungsform verwendet werden.
- Es darf linear-elastisches Tragverhalten angenommen
werden.
- Das Verfahren ist nicht fr durchlaufende Systeme, sowie fr
abge-
spannte Masten, seilverspannte Brcken und Bogenbrcken
anzuwen-
den.
Sofern das zu untersuchende System die Einschrnkungen verletzt,
ist das
Spektralverfahren (nach Abschnitt 3.1.3) bzw. im Falle von
Nichtlinearitten
erweiterte Methoden basierend auf Zeitbereichsuntersuchungen zu
verwenden.
Bauwerke gelten als schwingungsanfllig (im Sinne des Nationalen
Anhangs fr
Deutschland, DIN EN 1991-1-4/NA), wenn ihre Verformungen unter
Windein-
wirkungen durch Benresonanz um mehr als 10% vergrert werden. In
diesem
Falle mssen die Windlasten mittels geeigneter Methoden unter
Bercksichti-
gung der Strukturdynamik bestimmt werden, beispielsweise nach
dem Verfah-
ren des Benreaktionsfaktors. Nach diesem Verfahren wird eine
statische Er-
satzlast fr die Gesamtwindwirkung ermittelt:
= ()
dabei sind: cscd Strukturbeiwert [-]
cf Kraftbeiwert [-]
qp(ze) Bengeschwindigkeitsdruck in der Bezugshhe ze [N/m]
Aref Bezugsflche [m]
Die detaillierte Berechnungsweise des Strukturbeiwerts wird im
Abschnitt 3.1.5
anhand eines Berechnungsbeispiels dargestellt. Dort finden sich
auch die Ver-
weise auf die verwendeten Abschnitte bzw. Formeln der
Normstelle.
Die Bewertung, ob eine Struktur infolge der Benwirkung als
Schwingungsan-
fllig zu bezeichnen ist, erfolgt auf Basis des dynamischen
Faktors cd:
=1 + 2 2 + 2
1 + 2 ,
Die einzelnen Parameter sind [2] bzw. [3] beschrieben, auf eine
Wiedergabe
wird an dieser Stelle verzichtet. Im nachstehenden
Berechnungsbeispiel werden
die notwendigen Berechnungsschritte jedoch exemplarisch am
Beispiels ein
Stahlkamins dargestellt.
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Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-20
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3.1.5. Berechnungsbeispiel zur Bestimmung der Benreaktion
Im folgenden Beispiel soll ein Berechnungsablauf zur Bestimmung
der Benre-
sonanz fr einen Schornstein auf Basis der DIN 1055-4 gezeigt
werden. Das
System erfllt die o.g. Einschrnkungen, so dass die Anwendbarkeit
gegeben ist.
Basisgeometrie [1] DIN EN 1991-1-4
Hhe H 120 m [2] DIN EN 1991-1-4/NA:2010-12
Breite B 4 m
Dicke T 0,04 m
Querschnittsdaten
A 0,49763 m
I 0,97555 m4
W 0,48778 m
Dichte Stahl 8000 kg/m
Lngenbezogene Masse 3981,03 kg/m
quiv. Rauhigkeit k 0,5 mm [1] Tabelle 7.13
Standortbedingungen
Windzone 3 [2] Bild NA.A.1
vref 27,5 m/s "
Gelndekategorie II [2] Bild NA.B.1
Windcharakteristik in Hhe H=ze
Bezugshhe ze 72 m [1] Bild 6.1
Mittlere Geschwindigkeit vm 37,7 m/s [2] Tabelle NA.B.2
Mittlerer Geschwindigkeitsdruck qm 889,0 N/m
Turbulenzinstensitt Iv 0,139 "
Bengeschwindigkeitsdruck qp 1594,1 N/m "
Integrallngenma 207,0 m [2] Formel (NA.C.2)
Aerodynamische Beiwerte
Reynoldszahl Re 1,0E+07 [1] Formel (7.15)
Bezogene qu. Rauigkeit k/b 1,3E-01
Kraftbeiwert cf,0 1,212 [1] Bild 7.28
Schlankheit 21,0 [1] Tabelle 7.16, Zeile 2Vlligkeitsgrad 1 [1]
Formel (7.28)
Effektive Schlankheit 0,84 [1] Bild (7.36)
Kraftbeiwert cf 1,018 [1] Formel (7.19)
Dynamische Struktureigenschaften
Eigenfrequenz n1 0,279 Hz nach Petersen Baudynamik
Log. Dmpfungsdekrement 0,012 [1] Tabelle F.2
261.79
0,1
1
10
100
1000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Dynamische Vergrerungsfunktion
Sizze
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Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-21
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Das Berechnungsbeispiel macht deutlich, dass das
Berechnungsverfahren des
Benreaktionsfaktors gegenber der einfachen Bemessung mit dem
Benge-
schwindigkeitsdruck zwei Effekte mit sich bringt:
1. Lastabminderung aufgrund der Nicht-Gleichzeitigkeit der
Windlast (rea-
listischere Lastkorrelation durch aerodynmisches
Admittanzmodell), in
der Rechnung: B=0,605 (volle Lastkorrelation wrde B=1,0
bedeu-
ten).
2. Laststeigerung aufgrund der in der spektralen Leistungsdichte
der
Windkraft vorhandenen Lastkomponenten im Bereich der
Systemeigen-
frequenz, ), in der Rechnung: R=7,79 (Quasistatische Reaktion
wrde
R=1,0 bedeuten).
Im vorliegenden Fall zeigt sich, dass die Vernachlssigung der
Bauwerks-
schwingungen aus Benresonanz, eine erhebliche Unterbemessung des
Trag-
werks zur Folge gehabt htte.
Zustzlich bei schwingungsanflligen Bauwerken erforderliche
Ermdungs-
nachweise sind nicht Gegenstand dieses Berechnungsbeispiels.
3.2. Wirbelerregte Querschwingungen
Ein besonderes Phnomen in der Bauwersaerodynamik stellen die
sogenannten
Wirbelerregten Querschwingungen dar. Bei diesem dynamischen
Anregungs-
Bestimmung des Benreaktionsfaktors
B 0,605 [1] Formel (B.3)
fL 1,530 [1] Abschnitt B.1
h 4,080
b 0,136
aerody. bertragungsfkt. Rh 0,215 [1] Formel (B.7)
aerody. bertragungsfkt. Rb 0,915 [1] Formel (B.8)
SL 0,0963 [1] Formel (B.2)
R 7,7925 [1] Formel (B.6)
vE 0,2685 [1] Formel (B.5)
Spitzenfaktor kp 3,3763
Dynamischer Faktor cd 2,25 [2] Formel (NA.C.5)
Strukturbeiwert cscd 1,88 [1] Formel (6.1)
Bestimmung der Schwingungsanflligkeit
Dynamischer Faktor: cd 2,253 > 1.1
Bewertung schwingungsanfllig [2] Abschnitt NA.C.2
Bemessungslast
F=cscdcfqp(ze)BH 1756,2 kN [1] Formel (5.3)
Strukturantworten
max. Verformung (inkl. Benres.) 2,13 m Schneider Bautabellen
max. Verformung (quasistatisch) 0,95 m mit qb ermittelt
Einspannmoment 126444 kNm
Biegespannung B 259225,6 kN/m
259,2 N/mm
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Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-22
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mechanismus, liegt die Entstehungsursache bei alternierenden
Krften, die sich
in Folge periodisch ablsender Wirbel quer zur Anstrmrichtung
einstellen. Der
Prozess der harmonischen Wirbelablsung ist auf die Karmansche
Wirbelstras-
se zurckzufhren und ihre Stabilitt hngt von einer Reihe von
strmungsme-
chanischen Randbedingungen ab, auf die im Folgenden
detaillierter eingegangen
werden soll. Fr querschwingungsanfllige Bauwerke muss im
Nachweis der
Tragfhigkeit und im Ermdungsnachweis die auftretenden Amplituden
berck-
sichtigt werden.
Querschwingungsanfllige Bauwerke sind:
schlank, d.h. sie weisen geringe Steifigkeiten bezogen auf die
Lnge auf
schwach gedmpft
z.B. Trme, Schornsteine, Trger, Brcken
3.2.1. Karmansche Wirbelstrasse
In der Strmungsmechanik unterscheidet man zwei Strmungsformen.
Bei la-
minarer Strmung flieen Schichten unterschiedlicher
Geschwindigkeiten ne-
beneinander ohne starken Austausch von Teilchen quer zur
Strmungsrichtung.
Bei turbulenter Strmung ist die Vermischung der Teilchen
wesentlich intensi-
ver, so dass die Geschwindigkeit starke, unregelmige
Schwankungen auf-
weist.
Abbildung 3-5: Ausbildung der Karmanschen Wirbelstrasse am
Kreiszylinder (links) und
momentane Druckverteilung bei Wirbelablsung (rechts)
Die Reynolds-Zahl Re ist das Verhltnis von Trgheits- zu
Reibungskrften des
Mediums und beschreibt die Strmungsform des bewegten Mediums.
Sie be-
rechnet sich aus:
=
[]
dabei sind: d Bezugsbreite (z.B. Zylinderdurchmesser)
u Strmungsgeschwindigkeit
kinematische Viskositt (=1,510-5 m/s)
Unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl ist die Strmung laminar,
oberhalb tur-
bulent.
Auenstrmung und wandnaher Grenzschichtstrmung. In der
Grenzschicht
wchst die Geschwindigkeit quer zur Strmungsrichtung von Null bis
zu dem
Wert der ungestrten Auenstrmung, da die wandnahen
Strmungsteilchen am
Krper haften und die nchsten Schichten abbremsen
(Viskositt).
-
Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-23
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Abgesehen von aerodynamischen Krpern, bei denen die Stromlinien
den Kr-
perkonturen folgen, findet an allen anderen Krpern eine Ablsung
der Str-
mung statt. Dabei werden die strmenden Teilchen vom Krper
abgedrngt. Das
Medium am Krper befindet sich nicht mehr in einer geordneten
Bewegung.
Eine Strmung lst ab, wenn eine Richtungsumkehr und eine
Rckstrmung in
der wandnahen Grenzschicht entstehen. Dafr mssen als
Voraussetzungen
erfllt sein, dass Reibungskrfte bertragen werden und ein
Druckanstieg ent-
steht oder dass an spitzen Kanten eine erzwungene Ablsung
entsteht.
Abbildung 3-6: Strmungsablsung und Richtungsumkehr
An einem Kreiszylinder erfolgt die Ablsung infolge Reibung und
Druckan-
stieg. Durch die Querschnittsverbreiterung entsteht ein
Druckanstieg, durch
den die Teilchen in Wandnhe, die aufgrund der Reibung schon
langsamer sind,
zustzlich abgebremst werden. Die Strmung am Krper kann zum
Stillstand
kommen und in Gegenrichtung zurckstrmen, whrend die
Auenstrmung
weiter vorwrts fliet. Dieser rcklufige Strom zwingt die Strmung
zur Abl-
sung von der Krperwand (Ablsepunkt).
Stromabwrts von diesem Punkt fliet am Krper das Medium gegen die
Str-
mungsrichtung. Hinter dem Ablsepunkt entsteht ein
Nachlaufgebiet, in dem ein
konstanter Heckdruck herrscht.
Abbildung 3-7: Strmungsablsung am Kreiszylinder
Der zurckflieende Teil der Strmung rollt sich auf einer Seite
des Zylinders
zu einem Wirbel auf. Aus Gleichgewichtsgrnden entsteht am Krper
entgegen-
gesetzt zur Strmungsrichtung ein Gegenwirbel.
Dadurch wird die Geschwindigkeit auf der einen Seite des Krpers
kleiner als
auf der anderen. Der entstehende Druckunterschied ruft eine
Kraft $F_y$ quer
zur Strmung hervor. Nach einer Weile lst sich auf der anderen
Zylinderseite
ein Wirbel ab und der Vorgang wiederholt sich in umgekehrter
Richtung. Es
entsteht eine wechselnde Querkraft Fy, die den Krper zu
Schwingungen anre-
gen kann.
-
Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-24
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Abbildung 3-8: Einteilung der Reynoldszahlbereiche beim
laminar-turbulenten bergang
der Zylindergrenzschicht nach Roshko
In Abhngigkeit der Reynolds-Zahl der Grenzschichtstrmung
entstehen an
einem Zylinder unterschiedliche Wirbelformen.
a) unterkritischer Bereich
Die Grenzschicht ist laminar. Sie erhlt wenig Energiezufuhr aus
der Auen-
strmung und lst vor dem Querschnittsmaximum ab. Es entsteht eine
stabile
Wirbelstrae, da die Ablselinie entlang des Zylinders gerade ist.
Der Ablse-
winkel ist kleiner als 90.
b) berkritischer Bereich
Es tritt laminare Ablsung auf. Die dabei entstehende Ablsezone
bleibt aber
lokal begrenzt. Die Strmung legt sich durch den Impulsaustausch
mit der Au-
enstrmung wieder an die Oberflche an. Von dieser Stelle an ist
die Strmung
in der Grenzschicht turbulent. Sie kann einem Druckanstieg nun
lnger folgen,
so dass sich der Ablsepunkt stromabwrts verschiebt und ein
schmales Nach-
laufgebiet entsteht.
-
Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-25
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Das laminare Wiederanlegen der Strmung wird von der Krmmung des
Zylin-
ders, von der Geschwindigkeit und der Turbulenz der Auenstrmung
beein-
flusst. Mit steigenden Reynolds-Zahlen wandert der Umschlagpunkt
in der
Grenzschicht stromaufwrts vor den laminaren Ablsepunkt, so dass
der Abl-
sepunkt aufgrund der anwachsenden Lauflnge sich in dieselbe
Richtung ver-
schiebt. Der Ablsewinkel variiert zwischen 135 und 110. Im
Nachlauf bil-
den sich keine ausgeprgten Wirbel, da die Ablsung entlang des
Zylinders un-
gleichmig erfolgt.
c) transkritischer Bereich
Es liegt eine rein turbulente Ablsung vor. Der Umschlagpunkt der
Grenz-
schicht befindet sich so weit vorne, dass die turbulente
Grenzschicht aufgrund
der langen Lauflnge viel Energie verliert und deshalb frhzeitig
ablst. Bei
einer rein turbulenten Ablsung liegt der Ablsewinkel bei ca.
110. Der
Nachlauf ist wieder breiter und die Wirbelbildung ausgeprgter,
da eine einheit-
liche Ablsung erfolgt.
Da die Form der Grenzschicht von der Zylinderoberflche und der
Turbulenz
der ungestrten Strmung beeinflusst wird, variieren die Grenzen
dieser drei
Reynolds-Zahl Bereiche in Abhngigkeit der Oberflche und der
Auenstr-
mung.
Die Entstehung von Wirbeln an einem Kreiszylinder ist abhngig
von folgenden
Faktoren:
Strmungsform in der Grenzschicht
Krmmung des Zylinders
Rauigkeit der Oberflche
Turbulenz der Auenstrmung
Die Grenzschichtstrmung an Querschnitten mit scharfen Kanten lst
immer ab,
da die Kanten eine Ablsung erzwingen. Die Wirbelbildung ist
unabhngig von
der Form der Grenzschichtstrmung. Entlang der Kanten des Krpers
bildet sich
eine gerade Ablselinie.
3.2.2. Aerodynamische Kraft infolge Wirbelablsung
Die alternierend ablsenden Wirbel der Luftstrmung bewirken am
ruhenden
Krper Druckunterschiede, die eine alternierende Kraft quer zur
Strmungsrich-
tung erzeugen.
(, ) = (, ) (, ) () [
]
-
Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-26
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dabei sind: plat(t,z) zeitabhngige Kraft pro Lngeneinheit
infolge
Wirbelablsung
clat lateraler Erregerkraftbeiwert (auch Seitentriebbeiwert)
Staudruck
d Breite quer zur Strmungsrichtung
Der Erregerkraftbeiwert clat ist am Kreiszylinder wie folgt
definiert:
= () sin()20
2
dabei sind: cp Druckbeiwert auf der Oberflche
r Zylinderradius
Winkel
q Staudruck im Staupunkt
p Differenz zwischen Staupunkt und betrachteter Stelle
Die Strouhal-Zahl St ist ein Proportionalittsfaktor, der die
Ablsefrequenz der
Wirbel beschreibt. Er berechnet wie folgt:
=
dabei sind: fw Wirbelfrequenz
d Zylinderdurchmesser
u Strmungsgeschwindigkeit
Die Strouhalbeziehung gibt an, dass die Ablsefrequenz der Wirbel
fw gleich
der Geschwindigkeit der Wirbel in Windrichtung dividiert durch
den Abstand lw
zwischen zwei gleichgerichteten Wirbeln ist. Da der Abstand lw
proportional zur
Breite d quer zur Windrichtung ist und die Geschwindigkeit der
Wirbel in
Windrichtung von der anstrmenden Windgeschwindigkeit u abhngt,
ist die
Ablsefrequenz proportional zum Quotienten u/d.
Abbildung 3-9: Schematische Darstellung der Wirbelablsungen am
Kreiszylinder
Die Wirbelablsefrequenz fw vergrert sich proportional zur
Windgeschwin-
digkeit und umgekehrt proportional zur Querschnittsbreite d. Sie
ist identisch
mit der Frequenz der Seitentriebskraft. Die erforderliche
Windgeschwindigkeit,
bei der die Wirbel mit der Bauwerkseigenfrequenz ablsen
(Resonanz) wird mit
der Strouhal-Zahl St berechnet:
-
Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-27
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=
Die Strouhal-Zahl eines Kreiszylinders wird beeinflusst von:
der Querschnittsform
der Rauigkeit der Oberflche
der Turbulenz der Auenstrmung
Die Strouhal-Zahl eines scharfkantigen Krpers hngt von dem
Verhltnis der
Tiefe zur Breite des Querschnitts ab, da eine erzwungene Ablsung
der Str-
mung stattfindet.
3.2.3. Einflussfaktoren auf die aerodynamische Erregerkraft aus
Wirbelablsung
Die effektiv wirkenden aerodynamischen Erregerkrfte sind von
einer Vielzahl
von Faktoren abhngig. Einige wesentliche Merkmale sind
nachfolgend zusam-
mengestellt:
Abhngigkeit von der Wirklnge frequenzgleiche, jedoch
phasenverschobenen
Wirbelablsungen entlang der Lngsachse des Zylinders, fhren mit
zunehmen-
der Distanz zum Ablsungszentrum zu abnehmenden
Lastkorrelationen.
Spitzeneffekt (engl.: tip-effect): Strung der seitlichen
Wirbelbildung am freien
Ende des Zylinders, da am stumpf endenden Zylinderkopf eine
waagerechte
Ablsung erzwungen wird. In einem Bereich, der auf ein bis zwei
Zylinder-
durchmesser geschtzt wird, findet keine geordnete Wirbelbildung
statt. Die
Erregerkraft ist in diesem Bereich reduziert.
Locking-in Effekt: In der Nhe der kritischen
Anstrmgeschwindigkeit, ndert
sich die Ablsefrequenz nicht mehr proportional zur
Anstrmgeschwindigkeit,
sondern springt bei zunehmender Amplitude auf die
Schwingfrequenz und bleibt
ber einem gewissen Geschwindigkeitsbereich konstant. Die
Schwingung be-
wirkt einen verbreiterten Geschwindigkeitsbereich, in dem die
Wirbel mit der
Eigenfrequenz des Systems ablsen. Schwankungen der
Strmungsgeschwin-
digkeit stren die einmal erregten Schwingungen weniger.
Mit zunehmender Amplitude nimmt die Korrelation der Erregerkrfte
im Reso-
nanzfall zu.
Abbildung 3-10: Schematische Darstellung des Locking-in
Bereiches und dortige Abwei-
chung von der Strouhal-Beziehung
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Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-28
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3.2.4. Berechnungsverfahren zur Bestimmung der wirbelerregten
Schwingungen
Der kritischste dynamische Schwingzustand eines Systems wird als
Resonanz-
zustand bezeichnet. In diesem Fall ist die Frequenz der
angreifenden ueren
Belastung gleich einer wesentlichen Eigenfrequenz des Systems.
Im resonanz-
fall wchst die Schwingamplitude kontinuierlich an, die
Begrenzung der resul-
tierenden Schwingungen wird in diesem Zustand allein durch die
dmpfungsbe-
dingte Energiedissipation des Systems bewerkstelligt. Aus diesem
Grund ist das
Strukturbedingte Dmpfungsvermgen im Resonanzzustand entscheidend
fr
die Gre der zu erwartenden Schwingamplituden.
Fr einfache Tragwerke (z.B. Trme, Schornsteine, einfeldrige
Brcken) kann
die Beschreibung des dynamischen Systemverhaltens hufig auf
ein
1-Freiheitsgradsystem (1-DOF) abgebildet werden
(Generalisierung). Die Be-
stimmung der zu erwartenden Bauwerksschwingungen unter
harmonischer Wir-
belablsung kann in diesem Fall auf Basis der generalisierten
Gren vorge-
nommen werden:
die Feder bildet die Steifigkeit c des Bauwerks ab
der viskose Dmpfer bildet die Strukturdmpfung d ab
die Punktmasse bildet die Masse des Systems ab
Voraussetzung fr die im Folgenden beschriebene
Systemgeneralisierung ist
eine Modalanalyse des Tragwerks und somit die Bestimmung der 1.
Eigenfre-
quenz f1 und der zugehrigen Modalform ().In der nachstehenden
Abbildung
ist der einfachste dynamische Fall des Einmassenschwingers
skizziert.
Abbildung 3-11: Schematische Darstellung eines
Einmassenschwingers und dynamische
Kenngren
Fr ein derartig vereinfachtes generalisiertes 1-DOF System, kann
die allgemei-
ne Bewegungsgleichung wie folgt formuliert werden:
+ + = ()
Die einzelnen Generalisierungsgren werden nach den bekannten
Regeln der
Strukturdynamik durch Normierung mit der zugehrigen Eigenformen
des
Tragwerks bestimmt. Die Generalisierungsgren lauten verkrzt im
einzelnen:
() = (, ) () ()
0 generalisierte Erregerkraft
= () 2(z)dz
0 generalisierte Masse
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Schwingungsanflligkeit von Bauwerken 3-29
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1 Hierbei bezeichnet das Lehrsche Dmpfungsma
= 2 = (21)
2 generalisierte Steifigkeit
= 2 Strukturdmpfung1
Zur Ermittlung von dynamischen Strukturantworten wird die
mechanische Ver-
grerungsfunktion des Systems formuliert. Diese beschreibt die
resultierende
Systemantwort infolge harmonischer Systemerregung in Abhngigkeit
der
Erregerkraftfrequenz:
=
1
(
1)2+[1(
1)2]2=
m
Im Resonanzfall lsen die Wirbel mit der Eigenfrequenz des
Bauwerks ab
(fw=f1). Die maximale Amplitude im eingeschwungenen Zustands
erreicht in
diesem Fall den Wert:
=
Die von ablsenden Wirbeln hervorgerufene Erregerkraft pro
Lngeneinheit
wird mathematisch erfasst:
() =
2 (, )
2 ()
Dabei ist (, ) die Standardabweichung des maximalen
Erregerkraftbeiwer-
tes, der phasenverschoben entlang der Achse angreift. Dieser
wird durch die
Standardabweichung des rtlichen Erregerkraftbeiwertes clat
(maximaler Wert in
einer Querschnittsebene) ersetzt.
Abbildung 3-12: Reale und vereinfachte Krfteverteilung unter
wirbelerregten Quer-
schwingungen
Die Phasenverschiebung der ablsenden Wirbel entlang der
Bauwerksachse
wird mit der Korrelationslnge L* als Ma der zeitgleich wirkenden
Krfte
bercksichtigt. Zur Ermittlung der grten Auslenkung werden die
korrelierten
Krfte in dem Bereich angesetzt, wo sie die grte Durchbiegung
hervorrufen.
Bei einem eingespannten Kragarm werden sie am freien Ende
angesetzt. Zur
Berechnung der maximalen Amplitude mit der Standardabweichung
des Erre-
gerkraftbeiwertes clat wird die Korrelationslnge in die Wirklnge
L umgewan-
delt. Die Wirklnge L ist grer als die Korrelationslnge L*, so
dass die gene-
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Literatur 4-30
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[1] EN 1990:2002 (D), 04.2002: Eurocode: Grundlagen der
Tragwerksplanung.
[2] DIN EN 1991-1-4:2010 (D), 12.2010: Einwirkungen auf
Tragwerke, Teil 1--4: Allgemeine Einwirkun-
gen, Windlasten; Deutsche Fassung EN
1991-1-4:2005+A1:2010+AC:2010.
[3] DIN EN 1991-1-4/NA:2010 (D), 12.2010: Nationaler Anhang -
National festgelegte Parameter, Euro-
code 1: Einwirkungen auf Tragwerke, Teil 1-4: Allgemeine
Einwirkungen, Windlasten.
[4] Emil Julius Gumbel: Statistics of extremes. Columbia
University Press, New York (1958).
[5] Holmes, John D. (2007): Wind loading of structures. 2. Ed.
London: Taylor & Francis.
ralisierte Erregerkraft Pgen infolge grerer Angriffslnge die
maximale Auslen-
kung des Systems hervorruft.
Um eine geschlossene Lsung der gesuchten Querschwingamplituden
im Reso-
nanzfall zu ermglichen, mssen weitere Gren eingefhrt werden:
=2
2 Scruton-Zahl (auch Massendmpfungsparamter)
= ()2(z)dz0
2(z)dz0
quivalente Masse pro Lngeneinheit
= |(z)|dz0
4 2(z)dz0
Beiwert der Schwingungsform
= (z)dz
(z)dz0
Wirklngenfaktor
Hiermit ergibt sich die Formel zur Berechnung der
Querschwingungsamplitude
im eingeschwungenen Resonanzzustand:
=
1
21
Die Berechnung der Querschwingamplituden muss im Allgemeinen
iterativ
erfolgen, da die Wirklnge L* und damit der Wirklngenfaktor KW
unmittelbar
von der berechneten Querschwingamplitude abhngen. In der aktuell
gltigen
Windlastnorm DIN 1055-4 wird fr die anzusetzende Wirklnge L*
angegeben:
= 6 fr
< 0,1
= 4,8 + 12
fr 0,1
0,6
= 12 fr
> 0,6
Die Berechnung ist in der Regel nach 1-2 Iterationen
abgeschlossen.
Mit den auf diese Weise berechneten Amplituden knnen dann die
Betriebsfes-
tigkeitsnachweis des Bauteils gefhrt.
4. Literatur